Φυσική Ι 1ο εξάμηνο. Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής. Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης.

Φυσική Ι 1ο εξάμηνο Γεώργιος Γκαϊντατζής Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης 9 ο μάθημα

Κεφάλαιο 1 Κινηματική του Στερεού Σώματος

Κίνηση στερεού σώματος Στερεό σώμα: σωματίδια του σώματος δεν έχουν μεταξύ τους αμοιβαίες κινήσεις (rigid-άκαμπτο σώμα) Όχι παραμορφώσεις σωμάτων (αμελητέες) υπό την επίδραση δυνάμεων Η ακαμψία καλή προσέγγιση

Κίνηση στερεού σώματος Σχήμα: Σφυρί σε ελεύθερη πτώση υπό την επίδραση της βαρύτητας. Παρατηρείστε την τροχιά του κέντρου μάζας. Κίνηση: Μεταβολή θέσης (μεταφορική κίνηση, δηλ. κίνηση του κέντρου μάζας) + Μεταβολή προσανατολισμού (περιστροφική κίνηση, δηλ. περιστροφή περί κάποιον άξονα) θεώρημα Euler: οποιαδήποτε μεταβολή του προσανατολισμού ενός στερεού σώματος μπορεί να θεωρηθεί ως περιστροφή περί κάποιον άξονα

Κίνηση στερεού σώματος

Περιστροφή περί σταθερό άξονα Σχήμα. Περιστροφή στερεού σώματος περί σταθερό άξονα (Ζ). Σχήμα. Καθοδηγητικό σημείο Ρ στο στερεό σώμα. Η ακτίνα του κύκλου που διαγράφεται από την κίνηση του σημείου είναι η ίδια με το μήκος της επιβατικής ακτίνας R x +y. Το μήκος του δρόμου είναι: sφr

Περιστροφή περί σταθερό άξονα Μέση γωνιακή ταχύτητα ω Δφ Δt Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ω dφ dt Συχνότητα ν ω π Περίοδος Τ π ω

Περιστροφή περί σταθερό άξονα

Περιστροφή περί σταθερό άξονα Μέση γωνιακή επιτάχυνση Στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση a a Δω Δt dω dt d φ dt s φr ds dt R dφ υ dt Rω dυ dt R dω dt α tan Rα Γωνιακή επιτάχυνση α υ R cent Rω Γραμμική επιτάχυνση

Κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Αναλογίες μεταξύ κυκλικών και γραμμικών ποσοτήτων

Κινητική ενέργεια περιστροφής Ροπή αδράνειας K 1 1 1 Ιω n n miυ i mi Ri ω i 1 i 1 Ολική κινητική ενέργεια Κ ενός περιστρεφόμενου στερεού σώματος Ι n i 1 m R i i Ροπή Αδράνειας περιστρεφόμενου σώματος περί δεδομένου άξονα. Μονάδες: kg m ή lb ft Ηέκφραση Κ ½ Ιω μοιάζει με την Κ ½ mυ Αντιστοίχηση υ με ω και m με Ι (μέτρο της αντίστασης που παρουσιάζει ένα σώμα στις μεταβολές της περιστροφικής του κίνησης.

Ροπή αδράνειας στερεού συνεχούς κατανομής μάζας Ι n m R ρ i i Ri ΔV I i 1 n i 1 ρr dv I MR 0

0 0 0 0 0 4 0 3 1 4 I 0 0 MR I R M l l R M R l dr R l RldR R dv R R R π ρ ρ π πρ πρ π ρ ρ

I ρr dv

Ροπή αδράνειας: μικρή όταν ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο μάζας, μεγάλη όταν διέρχεται από το άκρο της ράβδου.

Θεωρήματα των παράλληλων και κάθετων αξόνων I I + I I + Md CM Z X Y I

Ροπές αδράνειας μερικών σωμάτων

Στροφορμή σωματιδίου - Εξωτερικό γινόμενο L L L rpsin β r p mr υ Διατήρηση της στροφορμής σωματιδίου που κινείται με σταθερή ταχύτητα

Στροφορμή σωματιδίου - Εξωτερικό γινόμενο

Στροφορμή στερεού σώματος n i i m i r i L mr p r L 1 υ υ r r r r r r r r Εξαρτάται από την εκλογή του συστήματος συντεταγμένων (συνήθως στο κ.μ. ή στον άξονα περιστροφής) Πίνακας. Στροφορμή μερικών σωμάτων (μονάδες? kg m /s, J s)

Στροφορμή στερεού σώματος Το μέτρο της στροφορμής του σωματιδίου είναι: I L I L I K I L m R L R m r m r m L L r m mr mr p r L Z Z Z n i i i Z Z 1 1 ) sin ( )sin sin ( ) cos(90 sin 1 0 ω ω ω ω θ ω θ θ ω θ θ ω υ υ Ανάλογη με την έκφραση Κ p /m

Σύνοψη

Ερωτήσεις Γύρω από ποιόν άξονα η στροφορμή ενός σώματος είναι μεγαλύτερη? Υποθέστε ότι αντλείτε μάζα Μ θαλασσινού νερού και γεμίζετε μια λίμνη που βρίσκεται στη ξηρά. Πως αυτό μεταβάλλει τη στροφορμή της γης?

Ασκήσεις

Κεφάλαιο 13 Δυναμική του Στερεού Σώματος

Ροπή Στρέψεως Ροπή: τ r F rfsinθ (για θ 0 0 Μονάδες: N m Joule (μονάδα έργου) τ 0, και για θ 90 0 τ rf Η ροπή παίζει στην περιστροφική κίνηση το ρόλο που παίζει η δύναμη στην μεταφορική κίνηση. Μοχλοβραχίονας Εγκάρσια συνιστώσα της δύναμης

Η εξίσωση της περιστροφικής κίνησης Η στροφορμή σωματιδίου είναι: L r dl dt p dl dt d dt ( r p) m( υ υ) + ( r F) dr ( p) dt dl r dt + ( r F dp ) dt [ υ ( mυ)] + ( r F) Για σύστημα σωματιδίων, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ισούται: dl dt n i 1 r i F i dl x, y, z τ ολικ ή τ x, y, z Και εάν η ολική εξωτερική ροπή 0, τότε η στροφορμή του συστήματος διατηρείται dt (Lσταθερά) Νόμος διατήρησης της στροφορμής

Η εξίσωση της περιστροφικής κίνησης Η σχέση dl/dt τ, σε συνδυασμό με την αντίστοιχη εξίσωση dp/dt F ορίζουν πλήρως την περιστροφική και μεταφορική κίνηση του στερεού σώματος. Αν ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα Ζ ισχύει: dl Z d( Iω) dω τ Ζ τ Ζ I τ Ζ Ia τ Ζ dt dt dt Σε αντιστοιχία με την εξίσωση Newton για την μεταφορική κίνηση : mαf

Αντιστοίχηση εξισώσεων μεταφοράς και περιστροφής

Έργο, Ενέργεια και Ισχύς στην περιστροφική κίνηση dw F dr F φ τ Ζ φ tanrd d W τ Ζdφ Το έργο που παράγεται από τη ροπή μεταβάλλει την περιστροφική κινητική ενέργεια ενός σώματος. Ανηαρχικήκαιητελικήγωνιακήταχύτηταείναιω 1 και ω τότε η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος είναι : (απόδειξη?) W W Ε 1 ( U 1 Iω Iω 1 U + U 1 Iω 1 ) 1 Iω 1 σταθερά Θεώρημα έργου-ενέργειας στην περιστροφική κίνηση + U 1 1 Iω + U Εάν η δύναμη που δρα στο σώμα είναι διατηρητική (βαρύτητα, ελατήριο) τότε τοέργοισούταιμετοαρνητικότης μεταβολής της δυναμικής ενέργειας Διατήρηση της μηχανικής ενέργειας στην περιστροφική κίνηση dw dφ dw τ Ζ dφ τ Ζ P τ Ζω Ισχύς (PFυ) dt dt

Όταν η πήχη είναι κάθετη, z CM ½ l και η ενέργεια είναι: Ε 1 1 1 Iω + U ( Ml ) ω1 + MgzCM 0 + 3 Mg l Ότανηπήχηπέσειστοπάτωμα, z CM 0 και η ενέργεια είναι: Ε 1 1 ( 3 Ml ) ω + Mgz CM 1 6 Ml ω + 0 1 6 Ml ω Mg l ω 3g l ω 3 9,8 1 5,4rad / s

Διατήρηση της στροφορμής Αν η ολική εξωτερική ροπή 0, τότε η στροφορμή συστήματος διατηρείται (L(Ιω)σταθερά) Νόμος διατήρησης της στροφορμής Σχήμα. Γυροσκόπιο προσαρμοσμένο σε δακτυλίους διπλής ανάρτησης (αριστερά), κατευθυντικό γυροσκόπιο επιβατικού αεροπλάνου (κέντρο) και κλίση του άξονα περιστροφής της γης (δεξιά) Η γωνιακή ταχύτητα και ο προσανατολισμός του άξονα στο χώρο παραμένουν σταθερά, παρέχοντας μια απόλυτη κατεύθυνση αναφοράς.

Διατήρηση της στροφορμής

Διατήρηση της στροφορμής (γάτα )

Κύλιση Ανώτεροσημείοτροχού: ταχύτητα ωr+υυ+υυ (αναλυτικά, ωr ως προς το κέντρο που έχει ταχύτητα υ ως προς το δρόμο) Κατώτερο σημείο τροχού: ταχύτητα υ-ωrυ-υ0

Η ροπή του βάρους ως προς το σημείο επαφής είναι: τ Ζ MgRsinθ Ηροπήαδράνειαςτου χαλυβδοσωλήνα ως προς το κμ είναι: Ι CM MR, και ως προς το σημείο επαφής ΙΙ CM +MR MR +MR MR Η εξίσωση κίνησης είναι τ Ζ Ια ΜgRsinθ ΜR α α (1/R)gsinθ (γωνιακή επιτάχυνσηdω/dt) Η γραμμική επιτάχυνση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο είναι: a αr ½ gsinθ,45 m/s Εξίσωση μεταφορικής κίνησης: ΜαΜgsinθ f f M(gsinθ-α) Μ (gsinθ -½gsinθ) ½ Μgsinθ 883 N

(γραμμική επιτάχυνση)

Κ 1 Μ υ CM + K int

Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σωλήνα του προηγούμενου παραδείγματος χρησιμοποιώντας τη ροπή ως προς το κέντρο μάζας. Λύση Η ροπή ως προς το κέντρο μάζας oφείλεται στη δύναμη τριβής και είναι: τ Ζ,CM Rf Η ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο μάζας είναι: I CM α τ Ζ,CM MR α Rf MR (α/r) Rf Μα f (1) α: γωνιακή επιτάχυνση α: γραμμική επιτάχυνση ενώ η εξίσωση της μεταφορικής κίνησης είναι: Μα Μgsinθ f () Από (1), () προκύπτει ότι: f ½ Mgsinθ α ½gsinθ (μισό της συνιστώσας του βάρους)

Κύλιση

Μετάπτωση γυροσκοπίου dl/dt τ dl τdt rmgdt dθ dl/l rmgdt/l dθ/dt ω P rmg/l συχνότητα μετάπτωσης

Σύνοψη

Ερωτήσεις Πολλοί αγρότες έχουν τραυματιστεί όταν ξαφνικά το τρακτέρ με το οποίο έσυραν ένα βαρύ μηχάνημα αναποδογύρισε προς τα πίσω. Εξηγείστε πως συμβαίνει αυτό. Μια φέτα ψωμί πέφτει πάντοτε με τη βουτυρωμένη πλευρά προς τα κάτω. Ναι ήόχι? Στέκεστε πάνω σε ένα μεγάλο (και ανθεκτικό) πικάπ. Πως μπορείτε να στραφείτε κατά 180 0 χωρίς ούτε να κατεβείτε, ούτε να σπρώξετε κάποιο εξωτερικό σώμα? Αν περιστρέψετε ένα σφιχτοβρασμένο και ένα ωμό αυγό, με την ίδια γωνιακή ταχύτητα, ποιό θα σταματήσει πρώτο χρονικά? Γιατί χρειάζεται η μικρή, κατακόρυφη ουραία έλικα στα ελικόπτερα?

Ασκήσεις