Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 1 Παρατηρήσεις Μην ανοίξετε το παρόν πριν σας υποδειχθεί. Κλειστά βιβλία, μπορείτε να έχετε μαζί σας μία (1) σελίδα Α4 (διπλής όψης). Μπορείτε να γράψετε με μπλε στυλό διαρκείας ή μαύρο μολύβι. Χρησιμοποιήστε για πρόχειρο τις αριστερές σελίδες. Καθαρογράψτε στα κενά. Οι αριθμοί σε παρενθέσεις αντιστοιχούν στην εκατοστιαία βαρύτητα ερωτημάτων. Έχετε τη σπουδαστική ταυτότητα στο θρανίο. Απαγορεύεται η χρήση & ύπαρξη κινητού τηλεφώνου στο θρανίο. Διάρκεια εξέτασης 3 ώρες. Μη ολοκληρωμένες λύσεις θα ληφθούν υπ'όψη. Το παρόν επιστρέφεται. Καλή επιτυχία! Πρόβλημα 1 15 Πρόβλημα 2 20 Πρόβλημα 3 20 Πρόβλημα 4 25 Πρόβλημα 5 20 Σύνολο 100
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 2 Πρόβλημα 1 (15) Θέλουμε να υπολογίσουμε την αντίσταση εισόδου ενός ενισχυτή (την αντίσταση όπως φαίνεται από τους ακροδέκτες εισόδου του). Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε ένα βολτόμετρο και μία πηγή τάσης. Μετράμε καταρχήν την πηγή με βολτόμετρο 3 ψηφίων (παρέχει 3 μόνο ψηφία μέτρησης, υποδιαστολή και πρόσημο, π.χ. -9.99 V) και μας δίνει τάση 0,20 V. (α) (4) Συνδέουμε στα άκρα της πηγής αντίσταση R 1 =1,4Ω, βλ. Σχ. (α), και μετράμε την τάση στα άκρα της. Το βολτόμετρο δείχνει 0,14V. Προτείνετε ένα μοντέλο ν(i) για την πηγή τάσης. V (i) = V s R 1 (1) Αφού αλλάζει η τάση όταν συνδέουμε την R 1, αυτό σημαίνει ότι η πηγή έχει εσωτερική αντίσταση. Προτείνουμε μοντέλο ισοδύναμο πηγής κατά Thevenin (σχήμα 1). Το βολτόμετρο στα άκρα της πηγής, άρα και της R 1, δείχνει 0,14V. Άρα I R 1 = 0,14 I = 0,14 = 0,14 = 0,1 A (σχήμα 2). Άρα, από τη σχέση (1), έχουμε: R 1 1,4 (1) V β = V s I R = 0,2 0,1 R 0,14 = 0,2 0,1 R R = 0,2 0,14 0,1 [R η εσωτερική αντίσταση της πηγής]. Άρα V (i) = 0,2 0,6 I = 0,6 Ω
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Hλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/200 3 (β) (4) Η πηγή συνδέεται στη συνέχεια με τον ενισχυτή και η τάση ν α στα άκρα του είναι 0,20 V, βλ. Σχ. (β). Τι τιμή φαίνεται να έχει η αντίσταση εισόδου R α του ενισχυτή; V a = 0,2 V Εφαρμόζω το Νόμο Τάσεων Kirchoff (NTK) στο βρόχο. V s + IR+V a = 0 0,2+IR+0,2=0 I = 0 Αφού το κύκλωμα δεν διαρέεται απο ρεύμα, ο ενισχυτής έχει άπειρη αντίσταση R a (ανοιχτό κύκλωμα) (γ) (4) Μεταξύ της πηγής και του ενισχυτή παρεμβάλλεται αντίσταση R 2 =10kΩ και επαναλαμβάνεται το προηγούμενο πείραμα, βλ. Σχ. (γ). Η τάση στα άκρα του ενισχυτή είναι τώρα ν α = 0,12 V. Τί τιμή φαίνεται να έχει η αντίσταση εισόδου R α του ενισχυτή; ΝΤΚ: V s + I (R+R 2 )+V a = 0 0,2+ I (10.000+0,6)+0,12 = 0 Άρα I = 0,08 10.000,6 0,08 R a = V a I R a = 15 kω 10 10 A = 0,08 3 10 = 0,12 120 10 3 = = 15kΩ 6 8 10 8 10 6 ma = 80 10 10 3 ma = 8 μα I = 8μΑ (δ) (3) Ποια τιμή R α από αυτές που υπολογίσατε στα ερωτήματα (β) και (γ) είναι η σωστή; Γιατί; Η πιο σωστή είναι η (γ). Αυτό συμβαίνει γιατί το βολτόμετρο δεν έχει τόσο μεγάλη ακρίβεια, ώστε να εντοπίσει την πολύ μικρή πτώση τάσης της R. Αν είχε την κατάλληλη ακρίβεια, η V a στην περίπτωση (β) δεν θα ήταν 0,2V.
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 4 Πρόβλημα 2 (20) Τρεις πηγές συνεχούς με εσωτερικές αντιστάσεις τροφοδοτούν ένα σύνθετο ομικό φορτίο, όπως απεικονίζεται στο σχήμα που ακολουθεί. Δίδεται: v s1 = v s2 = 200V, v s3 = 150V, R 1 = R 2 = R 3 = 6Ω, R = 15Ω. (α) (10) Υπολογίστε το ισοδύναμο Thevenin του υποκυκλώματος αριστερά των ακροδεκτών Α και Β, βλ. Σχ. 1(α), έτσι ώστε να λάβετε το αριστερό υποκύκλωμα του Σχ. 1(β). Κάνω μετασχηματισμό πηγών I s1 = V S 1 R 1 = 200 6 = 100/3Ω, I s 2 = V s 2 R 2 = 200 6 = 100/3Ω, I s 3 = V s 3 R 3 = 150 6 = 25Ω (σχ.1) Οι τρεις πηγές έντασης ενώνονται σε μία, αν τις προσθέσω: Ι s = I s1 +I s2 +I s3 = 100 3 + 100 3 + 75 3 = 275 3 A I s = 275 3 A Αντίστοιχα, οι τρεις αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες παράλληλα, οπότε
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Hλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/200 5 1 R 123 = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 = 3 R 1 R 123 = R 1 3 = 2 Ω (οι R 1, R 2, R 3 είναι ίσες). Καταλήγω στο σχ.2 Κάνω πάλι μετασχηματισμό πηγών και έχω V TH = I s R 123 = 275 550 2 = 3 3 V R TH = R 123 = 2Ω (β) Υπολογίστε το ισοδύναμο φορτίο R L των αντιστάσεων δεξιά των ακροδεκτών Α και Β στο Σχ. 1(α). Κάνουμε μετασχηματισμό τριγώνου αστέρα (Δ-Υ) στο τρίγωνο ΑΔΓ. R γ = R Δ 3 = R/3 (σχ.2) R ΕΓB = R+ R 3 = 4 R/3 (σχ.3) Ομοίως και για R ΕΔΒ. R ΕΓΒ, R ΕΔΒ παράλληλες και ίσες, άρα R EB = R ΕΓΒ 2 = 2R 3 Οπότε R ΑΒ = R 3 + 2R 3 = R
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 6 (γ) Χρησιμοποιώντας το Σχ.1 (β) και τα ισοδύναμα μεγέθη που υπολογίσατε, υπολογίστε το ρεύμα και την ισχύ που απορροφά το φορτίο. Σημείωση. Εάν δεν μπορέσατε να λύσετε το ερώτημα (β), θεωρήστε ότι R L =10Ω, (δεν είναι η σωστή αντίσταση). Έχουμε V TH = 550 3 ΝΤΚ: V TH +I (R TH +R L ) = 0 I = P R L = I 2 R L = 10,78 15 = 1743,1 W, R TH = 2Ω και R L = R = 15Ω V TH R TH + R = 550 3 17 = 550 51 10,78 A
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Hλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/200 7 Πρόβλημα 4 (25) Άνθρωποι με καρδιακές αρρυθμίες χρησιμοποιούν βηματοδότη. Το κύκλωμα ενός βηματοδότη παρίσταται στο σχήμα που ακολουθεί. Η καρδιά έχει αντίσταση R = 1kΩ, ενώ οι αντιστάσεις των καλωδίων αμελούνται. Ο (ηλεκτρονικός) διακόπτης Δ1 μετακινείται σε χρόνο t 0 = 0 από τον ακροδέκτη a στον b ενώ ο Δ2 κλείνει σε χρόνο t 1 =10ms. Σε χρόνο t 2 =1s οι δύο διακόπτες επανέρχονται στην αρχική τους θέση. Ο κύκλος επαναλαμβάνεται κάθε 1 s. (α) (8) Υπολογίστε την τάση v C2 για τη χρονική στιγμή 0 +, δηλαδή λίγο μετά τη μετακίνηση του Δ1. Ποιά φυσική ποσότητα διατηρείται; Φόρτιση C 1 ακαριαία (R=0). V C1 (0 ) = V C1 (0 + ) = 3V Αρχή διατήρησης του φορτίου: q(0 ) = C 1 V C1 = 50 10 6 3 = 150 μcb C ολ = C 1 +C 2 = 250 μcb q(0 + ) = C ολ V C2 V C 2 (0 + ) = q(0+ ) C ολ Άρα V C 2 (0 + ) = 0,6V = 150 10 6 = 0,6V 6 250 10 (β) (10) Καταστρώστε τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει την τάση στα άκρα της καρδιάς και των πυκνωτών (ν C1 ) για χρόνο 10ms < t < 1s. Σε πόσο χρόνο η τάση θα φτάσει στην τελική της τιμή; Για 10ms < t < 1s έχουμε το (σχ.1) (σχ.2) Για t>10ms: V C (10 ) = V C (10 + ) = 0,6V
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 8 dv C I C +I R = 0 C ολ + V C dt R = 0 ` V C +R C ολ dv c dt = 0 Εμείς έχουμε εκφόρτιση, άρα U C (t ' ) = U C (0 ') e t ' /T 2 T 2 = R C ολ = 1 10 3 250 10 6 = 0,25 sec Άρα U C (t ' ) = 0,6 e t '/ 0,25 U C (t ' ) = 0,6 e 4t'. Η εκφόρτιση όμως τώρα ξεκινά σε t=10ms, άρα t '=t 10ms = t 0,01 Οπότε U C (t) = 0,6 e 4 (t 0,01) = 0,6 e 4(t 0,01) = 0,6 e 4t e 0,04 U C (t) = 0,6 1,041 e 4t U C (t) = 0,624 e 4t, t 10ms (γ) (7) Σχεδιάστε την τάση ν C2 για χρόνο 10ms<t<1s. Η εκφόρτιση θεωρούμε ότι πρακτικά ολοκληρώνεται σε χρόνο 4 T 2 (4 σταθερά χρόνου). Άρα 4 T 2 = 4 0,25 = 1s = t s (χρόνος αποκατάστασης) Για t = 0,01 s, U C (0,01) = 0,6 e 4(0,01 0,01) = 0,6V
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Hλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/200 9 Η εφαπτομένη της U C (t) στην αρχή της εκφόρτισης, πέφτει στον άξονα του χρόνου σε χρόνο ίσο με το Τ 2 = 0,25 sec. Και επειδή η U C ξεκίνησε τη στιγμή 0,01 sec, η εφαπτομένη πέφτει στο χρόνο 0,251 sec.
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 10 Πρόβλημα 5 (20) Σε κάποια ορεινή κωμόπολη, η οικιακή κατανάλωση τροφοδοτείται από μικρό υδροηλεκτρικό έργο. Μια γεννήτρια παράγει τάση 1,15 kv, 50 Hz, ενώ ένας ιδανικός μετασχηματιστής με Ν1:Ν2 = 5:1 = 1:n υποβιβάζει την τάση της γεννήτριας 5 φορές και τροφοδοτεί όμοιες κατοικίες. Υποθέστε ότι κάθε κατοικία χρησιμοποιεί μία ηλεκτρική κουζίνα και ένα ηλεκτρικό ψυγείο, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. (α) (5) Υπολογίστε τη σύνθετη αντίσταση Ζ 2, μιας κατοικίας. Z L = jωl = j 2πf L = j 2π 50 20 10 3 = j 6,28 Ω η σύνθετη αντίσταση του πηνίου Ζ ψ = R Ψ +Ζ L = 10+ j 6,28 η σύνθετη αντίσταση του ψυγείου Ζ 2 = R k Z Ψ = Rk Z Ψ 20 (10+ j 6,28) = R k +Z Ψ 20+10+ j6,28 = 7,705<20,31o Ω η σύνθετη αντίσταση της κατοικίας σε μορφή phasor (β) (5) Υπολογίστε τη σύνθετη αντίσταση Ζ 2,10 δέκα όμοιων κατοικιών. Σε τι σύνδεση βρίσκονται αυτές μεταξύ τους; Όταν έχουμε 10 ίδιες αντιστάσεις παράλληλα συνδεδεμένες, όπως εδώ, ισχύει ότι 1 = 1 + + 1 = 10 Z Z 2,10 Z 2 Z 2 Z 2,10 = Z 2 2 10 = 7,705 10 <20,31o Ω Z 2,10 = 0,7705<20,31 o Ω
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Hλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/200 11 (γ) (5) Υπολογίστε τη σύνθετη αντίσταση Ζ 1,10 των δέκα κατοικιών όπως φαίνονται από το πρωτεύον (υπολογίστε δηλαδή την ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση των 10 κατοικιών Ζ 2,10 στο πρωτεύον). n = N 2 N 1 = 1 5 2 Z 1,10 = ( 1 Z n) 2,10 = 25 0,7705<20,31 o Z 1,10 = 19,263<20,31 o Ω (δ) (5) Υπολογίστε τη χωρητικότητα ενός πυκνωτή C τέτοιου ώστε αν τοποθετηθεί παράλληλα με την αντίσταση Ζ 1,10, ο συντελεστής ισχύος (συνημίτονο ισχύος) του συστήματος C Z 1,10 θα είναι 0,95. Το κύκλωμα τώρα φαίνεται στο (σχ.1). Βρίσκω το τρίγωνο ισχύος της Ζ 1,10 : V L = Z 1,10 Z 1,10 +2+3 j V = 19,263<20,31 o S 19,263<20,31 o +2+3j 1150<0o =994,232< 5,46 o V ( V S τάση αναφοράς V S = 1150<0 o ) I L = V L Z 1,10 = 994,232< 5,46o 19,263<20,31 o = 51,614< 25,77 o A Φαινομένη ισχύς S Z 1,10 = V L I L = 51,316<20,31 o kva = 48,126+ j 17,812 Άρα P L = 48,126 kw Q L = 17,812 kvar
Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ Εισαγωγή στα Ηλεκτρικά Κυκλώματα και Συστήματα 4/9/2006 12 Με προσθήκη C θα έχω: cosφ ' = 0,95 φ ' = cos 1 (0,95) = 18,195 o Άρα tanφ' = tan( 18,195) = 0,329. Όμως tanφ' = Q L ' P L Q L ' = P L tanφ Q L ' = 48,126 0,329 Q L ' = 15,833 kvar Άρα ο πυκνωτής θα έχει δώσει Q C = Q L Q L ' = 17,812 15,833 = 1,979 kvar Q C = 1979 VAR Q C = V C 2 ωc C = Q C V 2 C ω = 1979 F C = 6,373 μf 994,232 2 100π