1 6.3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανάλογα ποσά : ύο ποσά τα λέµε ανάλογα όταν µεταβάλονται µε τέτοιο τρόπο ώστε όταν πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) το ένα µε έναν αριθµό να πολλαπλασιάζεται (διαιρείται) και το άλλο µε τον ίδιο αριθµό. 2. Μία ιδιότητα: Αν τα ποσά και είναι ανάλογα τότε οι αντίστοιχες τιµές τους έχουν πάντα το ίδιο πηλίκο δηλαδή = α. Το πηλίκο α το λέµε συντελεστή αναλογίας. 3. Ένα επακόλουθο : Αν = α τότε = α. α 100, δηλαδή τα ποσά και είναι ανάλογα µε α συντελεστή αναλογίας το 100. Το ως ποσοστό του : Αν το είναι το α % του τότε = ΣΧΟΛΙΑ 1. Υπολογισµός ποσοστού : Αν θέλω να υπολογίσω το ποσοστό α % ενός ποσού, πολλαπλασιάζω το µε το κλάσµα α 100 2. Από το ένα ποσό στο άλλο : Από τη σχέση = α, όταν ξέρουµε δύο απο τα τρία γράµµατα βρίσκουµε το άλλο.
2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Αν τα ποσά και είναι ανάλογα, να συµπληρώσετε τον πίνακα 3 6,2,8 10 8 Είναι = 8 = 1,6 Θεωρία 2 Εποµένως για τη 1 η στήλη έχουµε = 1,6 άρα = 3 1,6=,8 3 για τη 2 η 10 στήλη έχουµε = 1,6 άρα = 10:1,6 = 6,2 Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που συµπληρώθηκαν είναι τα κόκκινα. 2. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά α) ύο ποσά λέγονται ανάλογα αν οι αντίστοιχες τιµές τους έχουν σταθερό... β) Σε δύο ανάλογα ποσά αν υποδιπλασιάσουµε την τιµή του ενός τότε...και η τιµή του άλλου. γ) Τα ανάλογα ποσά συνδέονται µε τη σχέση..., όπου... ο συντελεστής αναλογίας. Απάντηση α) ύο ποσά λέγονται ανάλογα αν οι αντίστοιχες τιµές τους έχουν σταθερό πηλίκο. β) Σε δύο ανάλογα ποσά αν υποδιπλασιάσουµε την τιµή του ενός, τότε υποδιπλασιάζεται και η τιµή του άλλου. γ) Θεωρία 1-2 Τα ανάλογα ποσά συνδέονται µε την σχέση = α όπου α ο συντελεστής αναλογίας 3. Να εξετάσετε αν τα ποσά και του παρακάτω πίνακα είναι ανάλογα. 3 21 18 1 7 6 10 2 36 30 1 Θεωρία 2 = 6 10 2 36 30 1 = = = = εποµένως τα ποσά δεν είναι ανάλογα 3 21 18 1 7
3. Αν στον παρακάτω πίνακα τα ποσά και είναι ανάλογα µε συντελεσή αναλογίας α = 2 3, να συµπληρώσετε τον πίνακα 0 2 0 3 2 3 6 6 9 Είναι = 3 = 1, άρα = 1, 2 Με βάση τη σχέση αυτή βρίσκουµε τις τιµές που λείπουν και συµπληρώνουµε τον πίνακα όπως φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που λείπουν είναι τα κόκκινα. 8 3. Στις παρακάτω προτάσεις σηµειώστε Σ όπου τα ποσά είναι ανάλογα και Λ όπου δεν είναι. α) Η περίµετρος ενός τετραγώνου και το µήκος της πλευράς του Σ β) Η τιµή πώλησης ενός υφάσµατος και το µήκος του Σ γ) Η αµοιβή για µία εργασία και ο χρόνος της εργασίας Σ δ) Το ύψος ενός ανθρώπου και η ηλικία του Λ ε) Ο χρόνος κίνησης ενός αυτοκινήτου και η ταχύτητα της κίνησης για µία διαδροµή στ) Ο τόκος και το επιτόκιο Σ ζ) Η πλευρά ενός κύβου και ο όγκος του Λ η) Η τιµή ενός προϊόντος και το ποσοστό έκπτωσης Σ θ) Η παροχή νερού και ο χρόνος που χρειάζεται να γεµίσει µία δεξαµενή Λ ι) Το ύψος ενός τριγώνου µε σταθερή βάση και το εµβαδόν του Σ α) Η περίµετρος Π και η πλευρά α συνδέονται µε την σχέση Π = α που είναι σχέση αναλογίας άρα η πρόταση είναι σωστή β) Αν α είναι η τιµή πώλησης της µονάδας µήκους, τότε για µονάδες µήκους η τιµή πώλησης του υφάσµατος είναι = α που είναι σχέση αναλογίας. Άρα η πρόταση είναι σωστή γ) Αν α είναι η αµοιβή της εργασίας στη µονάδα του χρόνου, τότε για µονάδες χρόνου η αµοιβή της εργασίας είναι = α που είναι σχέση αναλογίας. Άρα η πρόταση είναι σωστή δ) εν υπάρχει σχέση που να συνδέει το ύψος ενός ανθρώπου µε την ηλικία του. Άρα η πρόταση είναι λανθασµένη ε) Είναι φανερό ότι όσο µεγαλύτερη είναι η ταχύτητα τόσο λιγότερος είναι ο χρόνος για την παραγµατοποίηση µιας διαδροµής. Οπότε η πρόταση είναι λάθος
στ) Αν τοκίσουµε κεφάλαιο Κ µε επιτόκιο α % για ένα έτος, θα πάρουµε τόκο Τ που δίνεται από τη σχέση Τ = α% Κ, η οποία είναι σχέση αναλογίας. Άρα η πρόταση είναι σωστή ζ) Αν V ο όγκος και α η πλευρά, τότε V = α 3. Ισότητα η οποία δεν είναι σχέση αναλογίας, οπότε τα ποσά δεν είαι ανάλογα, άρα η πρόταση είναι λάθος. η) Αν είναι η τιµή ενός προϊόντος και α % το ποσοστό έκπτωσης, τότε η τιµή πώλησης µετά την έκπτωση δίνεται από τη σχέση = α 100 = α 1 100, η οποία είναι σχέση αναλογίας, άρα η πρόταση είναι σωστή. θ) Είναι φανερό ότι όσο µεγαλύτερη είναι η παροχή τόσο λιγότερος είναι ο χρόνος για να γεµίσει η δεξαµενή. Οπότε η πρόταση είναι λάθος ι) Αν Ε είναι το εµβαδόν β η σταθερή βάση και υ το ύψος, τότε το εµβαδόν δίνεται από τη σχέση Ε = 2 1 βυ, η οποία είναι σχέση αναλογίας, άρα η πρόταση είναι σωστή. 6. Για τα ποσά και ισχύει = α 0. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες. α) Όσο αυξάνεται το θα αυξάνεται και το β) Όσο ελαττώνεται το θα ελαττώνεται και το γ) Όσο αυξάνεται το ελατώνεται το Αφού = α, τα ποσά και είναι ανάλογα. Οπότε α) σωστό β) σωστό γ) λάθος 7. Αν = 2%, από τις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση. Α. = 0, Β. = 1 Γ. = 1. = 0,2 2 1 2% = = εποµένως 100 = 1 άρα = 1, οπότε σωστό είναι το Β
8. Αν = α 0, χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες. α) = α β) = 1 α γ) = α δ) = 1 α Από την θεωρία έχουµε ότι α) Σ β) Λ γ) Λ δ) Σ 9. 13 Ο λόγος δύο αριθµών είναι. Αν ο ένας είναι το 1 να βρείτε τον άλλο. Έστω ο ζητούµενος αριθµός. Όταν αυτός είναι µεγαλύτερος από το 1, θα ισχύει Όταν αυτός είναι µικρότερος από το 1, θα ισχύει 13 = 1 13 1 = άρα = 19 = 19 : = 39 άρα 13 = 7 =7 : 13 7 = 13 10. Πόσο θα αυξηθεί η περίµετρος ενός ισοπλεύρου τριγώνου αν η πλευρά του αυξηθεί κατά % ; Αν α είναι η πλευρά του τριγώνου, αυτή µετά την αύξηση θα γίνει α = α + α = α + 0,0α = 1,0α 100 Η περίµετρος µετά την αύξηση γίνεται Π = 3 1,0α = 3,12α, ενώ πριν την αύξηση είναι Π = 3α Η αύξηση της περιµέτρου είναι 3,12α 3α = 0,12α Όταν η περίµετρος είναι 3α η αύξηση είναι 0,12α Αν η περίµετρος είναι 100, έστω ότι η αύξηση είναι. Επειδή τα ποσά περίµετρος αύξηση είναι ανάλογα, έχουµε την αναλογία 3α 100 = 0,12α άρα 3α = 12α συνεπώς = 12α:3α = Εποµένως η περίµετρος αυξήθηκε κατά % Έας άλλος τρόπος προσδιορισµού του ποσοστού της αύξησης είναι και ο εξής : Η αύξηση κατά 0,12α αντιπροσωπεύει τα 0,12α = 0,0 = της περιµέτρου, 3α 100 δηλαδή αντιπροσωπεύει το % της περιµέτρου
6 11. Ο λόγος δύο αριθµών είναι 3. Αν ο µεγαλύτερος είναι το 6, να βρείτε τον µικρότερο. Αν είναι ο ζητούµενος αριθµός, αφού αυτός είναι µικρότερος του 6, θα ισχύει 6 = άρα = 168 οπότε =168 : = 33,6 3 12. Ένα προϊόν έχει τιµή 30 και πωλείται µε έκπτωση 2%. Ένας πελάτης διαθέτει 22. Μπορεί να αγοράσει το προϊόν; Αν είναι η τιµή του προϊόντος µετά την έκπτωση τότε έχουµε τον πίνακα Τα ποσά αρχική τιµή τιµή µετά την έκπτωση είναι ανάλογα. Άρα 100 30 = 7 οπότε 100 = 220 άρα = 220 : 100 = 22, Εποµένως δεν επαρκούν τα 22 για την αγορά του προϊόντος Αρχική τιµή 100 30 Τιµή µετά την έκπτωση 7 Θεωρία 1-2 13. Στα βιβλία ο ΦΠΑ είναι 8%. Πόσο θα πωληθεί µαζί µε τον ΦΠΑ ένα βιβλίο αξίας 0 πριν ΦΠΑ ; Αν είναι η τιµή του προϊόντος µετά τον ΦΠΑ, τότε έχουµε τον πίνακα Τα ποσά αρχική τιµή τιµή µετά τον ΦΠΑ είναι ανάλογα. 100 0 Άρα = οπότε 100 = 00 108 = 00 : 100 = Εποµένως το βιβλίο θα πουληθεί Αρχική τιµή 100 0 Τιµή µετά τον ΦΠΑ 108 Θεωρία 1-2
7 1. Ορθογωνίου οι διαστάσεις είναι και +. α) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την περίµετρο Π µε το. β) Να εξετάσετε αν τα ποσά Π και είναι ανάλογα. γ) Να συµπληρώσετε τον πίνακα α) Π = 2 + 2 ( + ) = 2 + 2 + 10 = + 10 β) Είναι φανερό ότι η σχέση Π = + 10 δεν είναι σχέση αναλόγων ποσών γ) Αν = 2 τότε Π = 2 + 10 = 18 Αν Π = 20 τότε 20 = + 10 = 20 10 = 10 = 10: = 2, Αν = τότε Π = + 10 = 26 Αν Π = 8 τότε 8 = + 10 = 8 10 = 8 = 8 : = 12 2 2, 12 Π 18 20 26 8 Συµπληρωµένος ο πίνακας φαίνεται παραπάνω. Τα στοιχεία που συµπληρώθηκαν είναι τα κόκκινα.