Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται µιας ακίνητης σταθερής τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, η οποία µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της (σχ. 8). Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα στο ελευθερο άκρο του οποίου έχει δεθεί µικρό σώµα Σ, µάζας m. Η ράβδος ισορροπεί όταν πάνω στο οριζόντιο τµήµα της ΑΒ κυλίεται ισοταχώς µικρή σφαίρα µάζας m, µε ταχύτητα v που κατευθύνεται προς το άκρο Β. Εάν την χρονική στιγµή t= η σφαίρα βρίσκεται στο άκρο Α να εκφράσετε την ταχύτητα του σώµατος Σ σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, o συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ της τροχαλίας και του τµήµα τος ΟΑ της ράβδου, η απόσταση ΟΑ=L, η ροπή αδράνειας Ι=ΜR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα την χρονική στιγµή t που το κέντρο της µικ ρής σφαίρας βρίσκεται σε απόσταση x από το άκρο Β. Η σφαίρα δέχεται το βά ρος της m g και την δύναµη επαφής N 1 από το οριζόντιο τµήµα της ράβδου της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο τµήµα αυτό, διότι η σφαίρα κυλίεται ισοτα χώς. Εξάλλου το σώµα Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του m g και Σχήµα 8 της τάσεως Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:
mg - Q = ma Q = mg - ma (1) όπου a η επιτάχυνση του σώµατος. Εστιάζοντας στην τροχαλία παρατηρούµε ότι αυτή περιστρέφεται υπό την επίδραση δύο ροπών, της ροπής περί τον άξονα της της τριβής ολίσθήσεως T που δέχεται από το κατακόρυφο τµήµα ΟΒ της ράβδου και της αντίστοιχης ροπής της τάσεως Q ' του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Q'R - TR = I' QR - TR = MR '/ Q - T = MR'/ Q - nn = MR'/ () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και N η κάθετη αντίδραση που δέχεται από το κατακόρυφο τµήµα της ράβδου. Τέλος αναφερόµενοι στην ράβδο παρατηρούµε ότι αυτή ισορροπεί υπό την επίδραση της δύναµης N ' 1 που δέχε ται από την σφαίρα, η οποία είναι αντίθετη της N 1, δηλαδή ίση µε m g, την δύ ναµη επαφής από την τροχαλία που αναλύεται στην T ' (αντίδραση της τριβής Σχήµα 9 T ) και στην N ' (αντίδραση της κάθετης δύναµης N) και την δύναµη P από την άρθρωση Ο (σχ. 9). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί την άρθρωση Ο, είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση: N' 1 x - N'L = N 1 x = NL mgv t = NL N = mgv t / L (3) Η σχέση (), λόγω των (1) και (3), γράφεται:
mg-ma-nmgv t /L=MR'/ mg-ma-nmgv t /L=Ma/ mg(1 - nv t / L) = (m + M/)a a = mg(l-nv t)/ L(m + M) (4) Εάν d v είναι η µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος Σ µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, η (4) γράφεται: dv dt = mg(l-nv t) L(m + M) dv = mg(l-nv t)dt L(m + M) (4) Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε: v = mg L(m + M) Lt- nv t $ # " & + C (5) % Αν δέχθούµε ότι την χρονική στιγµή t= το σώµα είναι σε ηρεµία (v=), τότε η σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η (5) γράφεται: v = mg ( L(m + M) L-nv t )t P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ, µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέ φεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ένα έξυπνο έντοµο µάζας m/1 πέφτει κάθετα πάνω στην ράβδο στο µέσον Γ του τµήµατος ΟΑ µε ταχύτητα v. Αµέσως µετά το έντοµο αρχίζει να κινείται πάνω στην ράβδο µε κατεύθυνση προς το άκρο της Α και µε τέτοιο τρόπο, ώστε η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου να διατηρείται σταθερή και ίση µε την γωνιακή της ταχύ τητα αµέσως µετά την πρόσκρουση του εντόµου. Nα βρείτε σε συνάρ τηση µε τον χρόνο την απόσταση του εντόµου από το κέντρο Ο της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL /1 ως προς άξονα που διέρ χεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: Θα δεχθούµε ότι η κρούση του έξυπνου εντόµου µε την ράβδο είναι πλαστική, που σηµαίνει ότι αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα του εντόµου είναι ίδια µε την ταχύτητα του σηµείου Γ της ράβδου. Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) που διαρκεί η κρούση, η ώθηση της ροπής του βάρους m g /1 του εντόµου περί το Ο είναι ασήµαντη (τείνει στο µηδέν) η δε αντίστοιχη ώθη ση της ροπής του βάρους m g της ράβδου είναι µηδενική και σύµφωνα µε το θεώρηµα ώθησης-στροφορµής η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-έντοµο δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: (O) L "#$ %&'( = L (O) )µ*+,- µ./ (O) L "#$ %&'( (O) = L )µ*+,- µ./
mv 1 L ' 4 = ml 1 + m L$ ) # & 1 " 4% ( ) *, +, - v 4 = L 1 + L $ # & ' " 16% 1v = 43L = 1v / 43L (1) Σχήµα 1 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου περί το Ο, αµέσως µετά την κρούση της µε το έντοµο. Εξετάζοντας το σύστηµα ράβδος-έντοµο την χρο νική στιγµή t που αυτό βρίσκεται σε απόσταση r από το Ο (r>l/4) θα έχουµε για την στροφορµή του L περί το Ο, την σχέση: L = ml 1 + mr $ # " 1 & ' = ml ' % 1 + mr ' 1 () Σχήµα 11 Παραγωγίζοντας την () ως προς τον χρόνο t και λαµβάνοντας υπ όψη ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και ίση µε, παίρνουµε την σχέση: d L dt = ml 1 d L dt = mr 5 d dt + mr 1 dr dt d dt + mr 1 dr dt d L dt = mr dr 5 dt k (3) όπου k το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα περιστροφής της ράβδου, το οποίο
συµβατικά ελήφθη οµόρροπο της. Εφαρµόζοντας εξάλλου την στιγµή t τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: d L dt = (O) d L dt = mg 1 r"#$ k = mg 1 r"#(%t) k (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: mr 5 dr dt k = mg 1 r"#$(t) k dr dt = g "#$t dr = g "#$tdt (5) Ολοκληρώνοντας την (5) παίρνουµε: r = gµ"t / " + C (6) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί µε βάση την αρχική συνθήκη ότι για t= είναι r=l/4, οπότε από την (6) προκύπτει: L/ 4 = + C C = L/ 4 Έτσι η σχέση (6) παίρνει την µορφή: r = g "µt + L 4 (1) r = 43 $ # & " 1% L g v 'µ(t + L 4 r = L 4 1 + 43 ) $ Lg, + # & " 1% v 'µ(t. * + -. P.M. fysikos Λεπτή ράβδος ΟΑ µήκους L, είναι αρθωµένη στο άκρο της Ο όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Στο άκρο της Α έχει στερεωθεί µικρό σφαιρίδιο ενώ ένα δεύτερο σφαιρίδιο της ίδιας µάζας µε το προηγούµενο µπορεί να µετατοπίζεται κατά µήκος της ράβδου. Να βρεθεί σε ποια θέση πρέπει να στερεωθείο το δεύτερο σφαιρίδιο, ώστε όταν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη στην οριζόντια θέση να φθάσει στην κατακόρυφη θέση στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα της ράβδου και των δύο σφαιριδίων, όταν η ράβδος σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση ( φ π/). Στην θέση αυτή επί του συστήµατος ενεργούν τα βάρη m g των δύο σφαιριδίων και η δύναµη από την άρθρωση Ο. Εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:
" (O) = I (O) #' mg(om') + mg(aa') = [m(om) + m(oa) ]' gx"#$ + gl"#$ = (x + L )%' '= g"#$%(x + L)/(x + L ) (1) Σχήµα 1 όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην θεωρούµενη θέση και x η από σταση ΟΜ. Για να βρεθεί η ράβδος από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση στον ελάχιστο χρόνο, πρέπει για κάθε φ µε φ π/ το µέτρο της ' να παρου σιάζει την µέγιστη αντίστοιχη τιµή του. Αυτό θα συµβεί αν η µερική παράγω γος "'/x της (1) ως προς την µεταβλητή x είναι µηδενική σε κάθε θέση του συστήµατος που ορίζει η σχέση φ π/. Έτσι θα πρέπει να ισχύει: "' x = g"#$ % (x + L ) - (x + L)x ( ' & (x + L ) * = ) (x + L ) - (x + L)x = x + Lx - L = () H () αποτελεί εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς x και έχει δύο ρίζες ετερόση µες από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα: x = L( - 1) (3) Θεωρώντας την δεύτερη µερική παραγωγο "'/ x της (1) ως προς x έχουµε: "' x = x ' g#$%& (-x - Lx + L )* ) ( (x + L ), + "' x =g#$%& ' (-x - L)(x + L ) - (-x - Lx + L )(x + L )x * ) ( (x + L ) 4, (4) + Για x = L( - 1) και φ π/ από την (4) προκύπτει: "'/ x < που σηµαίνει ότι όταν η απόσταση ΟΜ λάβει την τιµή L( - 1), τότε το µέτρο της ' παρουσιάζει στις θέσεις φ π/ µέγιστη αντίστοιχη τιµή. P.M. fysikos
Mια οµογενής σφαίρα ακτίνας R, κυλίεται ισοτα χώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η σφαίρα προσκρούει σε σταθερό εµπόδιο, ύψους h. Nα υποθέσετε ότι µεταξύ της σφαίρας και του εµποδίου υπάρχει κατάλληλη τριβή, ώστε όσο χρόνο η σφαίρα είναι σ επαφή µε το εµπόδιο να αποφεύγεται η ολίσθησή της πάνω σ αυτό. i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. ii) Nα δείξετε ότι η αναγκαία συνθήκη, ώστε η σφαίρα να υπερπηδή σει το εµπόδιο, εκφράζεται µε την σχέση: v 1gh 7 " 1-5h % $ ' # R & -1 όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. H ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C, δίνεται από την σχέση Ι C =mr /5, όπου m η µάζα της. ΛYΣH: i) Eάν Δt είναι ο χρόνος κρούσεως της σφαίρας µε το εµπόδιο Α, τότε επειδή Δt η ώθηση της ροπής του βάρους w της σφαίρας περί το σηµείο Α θα τείνει στο µηδέν. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ροπή της δύναµης που δέχε ται η σφαίρα από το εµπόδιο (αντίδραση του εµποδίου), περί το σηµείο Α είναι µηδενική, οπότε η στροφορµή της στεφάνης περί το Α παραµένει σταθερή στην διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση: L "#$ %&'( = L )µ*+,- µ./ L "#$ %&'( = L )µ*+,- µ./ (1) Όµως το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης περί το ακίνητο σηµείο Α, λίγο πριν την κρούση της µε το εµπόδιο, είναι: L "#$ %&'( = mv Rµ" + I C # () Σχήµα 13 Σχήµα 14 όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της στεφάνης περί το Α. Όµως ισχύει I C =mr /5 και ω =v /R, οπότε η () γράφεται:
L "#$ %&'( = mv Rµ" + mr (v /R)/ 5 = mv R(/5 + µ") (3) Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας περί το M, αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο είναι: L µ"#$% µ&'( = I A ' (4) όπου I Α η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το σηµείο Α και ' η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαί ρας περί το Α αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο. Όµως για την I Α ισχύει η σχέση: I A = I C + mr = mr /5 + mr = 7mR /5 οπότε η (4) γράφεται: L µ"#$% µ&'( = 7mR ' /5 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (3) και (5) παίρνουµε: mv R(/5 + µ")= 7mR #' /5 v R( + 5µ")= 7R v' / R v' = v 7 ( + 5µ") v' = v 7 5(R - h) $ # + " R & = v ' % 7 7-5h * ), (6) ( R + όπου v ' η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας. αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο ii) Για να υπερπηδήσει η σφαίρα το εµπόδιο χωρίς να ολισθήσει πάνω σ αυτό, πρέπει τη στιγµή που η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας της (ως προς ση µείο περιστροφής Α) είναι κατακόρυφη, η κινητική της ενέργεια να είναι µεγαλύτερη ή οριακά ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: K AC' (7) Σχήµα 15 Eφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας, µεταξύ των θέσεων ΑC και AC της επιβατικής ακτίνας του κέντρου µάζας της (σχ. 15), παίρνουµε την σχέση:
K AC + U AC = K AC' + U AC' 7mR 5 K AC' = 7mv' 1 - mg(1 - µ")= 7mv' 1 v' R + mgrµ" = K AC' + mgr - mg 1 - R - h (7) # & % ( $ R ' 7mv' 1 - mg 1 - R - h $ # & ' 7v' " R % 1 gh (6) R 7 v 7-5h 1 7 # " R $ & % ' gh R v 1-5h $ # & " 7R% ' 1gh R v 1gh R " 1-5h % $ ' # 7R& -1 P.M. fysikos Μια οµογενής λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, στέκεται κατακόρυφα µε το ένα της άκρο Ο να ακουµπάει σε τραχύ οριζόντιο έδαφος. Την χρονική στιγµή t= διαταράσσουµε ελαφ ρά την ράβδο µε αποτέλεσµα αυτή να πέσει στο έδαφος. Να βρείτε: i) την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από το έδαφος, σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατί ζει κάθε στιγµή µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ii) την τιµή της γωνίας φ, για την οποία επίκειται η ολίσθηση της ράβ δου. Προς ποια κατεύθυνση θα ολισθήσει η ράβδος; Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ του άκρου της ράβδου και του εδάφους και η ροπή αδράνειας Ι=mL /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε την ράβδο στην τυχαία θέση, όπου αυτή σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Στην θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της m g και την δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα R x και στην κατακόρυφη συνιστώσα R y. Εφαρµόζοντας Σχήµα 16
για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, παίρνουµε την σχέση: mgl + = mgl "#$ + 1 ml 3 % = 3g L (1 - "#$%) (1) όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην θεωρούµενη θέση. Εξάλλου, εαν ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, συµφωνα µε τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: mgl ml 3g µ" = #' '= "µ# () 3 L Για το κέντρο µάζας C της ράβδου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς που διαγράφει, δίνει την σχέση: mg"#$ - %µ$ - R y "#$ = mv C L/ µ" + R y #$%" = mg#$%" - mv C L Όµως το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας C είναι ίσο µε ωl/, οπό τε η σχέση (3) γράφεται: (3) µ" + R y #$%" = mg#$%" - m L & L 4 (1) µ" + R y #$%" = mg#$%" - 3mg(1 - #$%") µ" + R y #$%" = mg (5#$%" - 3) (4) Eξάλλου για το κέντρο µάζας C της ράβδου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύ τωνα κατά την κάθετη προς την ακτίνα της τροχιάς του διεύθυνση, δίνει: mgµ" + #$%" - R y µ" = m dv C dt "#$ - R y %µ$ = m L&' - mg%µ$ () "#$ - R y %µ$ = 3mg 4 %µ$ - mg%µ$ (5) Οι σχέσεις (4) και (5) θεωρούµενες ως σύστηµα πρώτου βαθµού µε αγνώστους τις ποσότητες και R y µας επιτρέπουν να εκφράσουµε τις ποσότητες αυτές σε
συνάρτηση µε την γωνία φ. Από την λύση του συστήµατος αυτού παίρνουµε τε λικά τις σχέσεις: = 3mg 4 µ"(3#$%" - ) και R y = mg 4 (3"#$ - 1) (6) ii) Η ράβδος αρχίζει να ολισθαίνει όταν η γωνία φ λάβει την τιµή φ για την οποία ισχύει η σχέση: (6) = n R y 3µ" (3#$%" - ) = n(3#$%" - 1) µ" (3#$%" - ) (3#$%" - 1) = n 3 (7) Eάν η γωνία φ που θα προκύψει από την τριγωνοµετρική εξίσωση (7) ικανο ποιεί την σχέση συνφ >/3, τότε > και αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος θα γλυσ τρίσει προς τα πίσω. Αν όµως είναι συνφ </3, τότε < και η ράβδος θα γλυσ τρίσει προς τα εµπρός. P.M. fysikos