Περιεχόµενα ΜέροςΑ :Άλγεβρα 1.1 Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις...9 1.2 Εξισώσειςα βαθµού...16 1.3 Επίλυσητύπων...30 1.4 Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων...36 1.5 Ανισώσειςα βαθµού...43 2.1 Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού...59 2.2 Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί...71 2.3 Προβλήµατα...75 3.1 Ηέννοιατηςσυνάρτησης...82 3.2 Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης...90 3.3 Ησυνάρτησηy=αx...99 3.4 Ησυνάρτησηy=αx+β...105 3.5 Ησυνάρτηση α y = -Ηυπερβολή...114 x 4.1 ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα...120 4.2 Γραφικέςπαραστάσεις...124 4.3 Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων...133 4.4 Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων...148 4.5 Μέσητιµή- ιάµεσος...153 ΜέροςΒ :Γεωµετρία 1.1 Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας...167 1.2 Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών...170 1.3 Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων...175
ΜέροςΒ :Γεωµετρία 1.4 Πυθαγόρειοθεώρηµα...187 2.1 Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας...193 2.2 Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας...200 2.3 Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης...206 2.4 Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και60...211 2.5 Ηέννοιατουδιανύσµατος...220 2.6 Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων...225 2.7 Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες...234 3.1 Εγγεγραµµένεςγωνίες...238 3.2 Κανονικάπολύγωνα...246 3.3 Μήκοςκύκλου...253 3.4 Μήκοςτόξου...258 3.5 Εµβαδόνκυκλικούδίσκου...265 3.6 Εµβαδόνκυκλικούτοµέα...272 4.1 Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο...280 4.2 Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου...286 4.3 Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου...294 4.4 Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης...302 4.5 Οκώνοςκαιταστοιχείατου...311 4.6 Ησφαίρακαιταστοιχείατης...320 4.7 Γεωγραφικέςσυντεταγµένες...330
Ερωτήσειςκατανόησης 1.NααντιστοιχίσετεκάθεστοιχείοτηςστήληςΑτουπαρακάτωπίνακαµεένα στοιχείοτηςστήληςβ. ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) 2x+5x 3x i) 4x β)x 3x+4x ii) 5x γ) x+3x 6x iii) 4x δ) 2x+4x 7x iv) 2x Απάντηση ΓιαναγράψουµεσεαπλούστερηµορφήτιςαλγεβρικέςπαραστάσειςτηςστήληςΑ, χρησιµοποιούµετηνεπιµεριστικήιδιότητα (α+β) γ=α γ+β γ, αφούπρώτα τηµετατρέψουµεστηνακόλουθηµορφή: α γ+β γ=(α+β) γ Ηισότητααυτήµαςδείχνειπωςέναάθροισµαµπορείναγραφείσεµορφήγινοµέ- νουδύο(ήκαιπερισσότερων)παραγόντων. α) 2x+5x 3x=(2+5 3)x=4x,άρα(α) (iii). β)x 3x+4x=(1 3+4)x=2x,άρα(β) (iv). γ) x+3x 6x=( 1+3 6)x= 4x,άρα(γ) (i). δ) 2x+4x 7x=( 2+4 7)x= 5x,άρα(δ) (ii). 2.Γιακάθεαλγεβρικήπαράστασητης1ηςστήληςτουεπόµενουπίνακα,δίνονται τρειςαπαντήσειςα,βκαιγ,απότιςοποίεςµίαµόνοείναισωστή.ναεπιλέξετε τησωστήαπάντηση. 9
Α Β Γ α)2x 4x+6x = 12x 2x 4x β)3y 3y+4y = 4y 10y 5y γ) 5α+3α α = 3α 3α 9α δ)3α 4β+4β 5α= 8α+8β 2α 2α Απάντηση α) 2x 4x+6x=(2 4+6)x=4x,άρα(α) Γ. β) 3y 3y+4y=(3 3+4)y=4y,άρα(β) Α. γ) 5α+3α α=( 5+3 1)α= 3α,άρα(γ) Β. δ) Παρατηρούµεότιστηναλγεβρικήπαράστασηέχουµεδυοµεταβλητές.Θαεφαρ- µόσουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. ηλαδήστους 3α, 5α και 4β, 4β.Έχουµε: άρα(δ) Γ. 3.ΝααντιστοιχίσετεκάθεπαράστασητηςστήληςΑµετηνίσητηςπαράσταση πουβρίσκεταιστηστήληβ. ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) (3x+5)+(x 6) i) 4x+11 β)( 3x+5) (x 6) ii) 4x+1 γ)( 3x+5) (x+6) iii) 4x 1 δ) (3x+5) (x 6) iv)4x 1 Απάντηση ΓιαναγράψουµεµεπιοαπλήµορφήτιςαλγεβρικέςπαραστάσειςτηςστήληςΑ,θα πρέπει πρώτα να κάνουµε απαλοιφή παρενθέσεων και στη συνέχεια να εφαρµό- σουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα.γιανααπαλείψουµετιςπαρενθέσειςεργαζόµα- στεωςεξής: Ότανµιαπαρένθεσηέχειµπροστάτηςτο+(ήδενέχειπρόσηµο),µπορούµενα τηναπαλείψουµεµαζίµετο+(εάνέχει)καιναγράψουµετουςόρουςπουπερι- έχειµεταπρόσηµάτους. 10 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις
Ότανµιαπαρένθεσηέχειµπροστάτηςτο,µπορούµενατηναπαλείψουµεµαζί µετο καιναγράψουµετουςόρουςπουπεριέχειµεαντίθεταπρόσηµα. α) (3x+5)+(x 6)=3x+5+x 6=3x+x+5 6=(3+1)x+(5 6)=4x 1, άρα(α) (iv). β)( 3x+5) (x 6)= 3x+5 x+6= 3x x+5+6=( 3 1)x+(5+6)= = 4x+11,άρα(β) (i). γ)( 3x+5) (x+6)= 3x+5 x 6=( 3 1)x+(5 6)= 4x 1, άρα(γ) (iii). δ) (3x+5) (x 6)= 3x 5 x+6=( 3 1)x+( 5+6)= 4x+1, άρα(δ) (ii). Ασκήσεις 1.Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιααλγεβρικήπαρά- στασητιςπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Τηνπερίµετροενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτεροαπό τοπλάτοςτου. Λύση α) Ανσυµβολίσουµεµεxέναναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxέναναριθµόκαιµεyένανάλλοαριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Τ ο x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Ανσυµβολίσουµεµεymτοπλάτοςενόςορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότο πλάτοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 11
2.Ναχρησιµοποιήσετεµιαµεταβλητήγιαναεκφράσετεµεµιααλγεβρικήπα- ράστασητιςπαρακάτωφράσεις: α) Τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπατάτες, ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β) Τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηαναγραφό- µενητιµήσυν19%φπα. Λύση α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσε αυτήτηντιµήείναι: 19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναι: y+0,19y=(1+0,19)y=1,19y 3.Nααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β Λύση Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα: α γ+β γ=(α+β) γ α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=(14+12+1)y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=(14 12 1+3)ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=(1 2+3 4)β= 2β. 4.Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ) x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x 12 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις
Λύση Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµιαµόνοµεταβλητή.Εφαρ- µόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. = 7x+4ω. 5.Nα απλοποιήσετε τις παραστάσεις A, B και στη συνέχεια να υπολογίσετε τηντιµήτους: α) Α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β) Β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. Λύση α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 13
6.Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 3β)+3(α+2β),όταν α=0,02 και β=2005. 1 β) Β=3(x+2y)+2(3x+y)+y,όταν x+y=. 9 Λύση α) ΑπλοποιούµεαρχικάτηνπαράστασηΑ: Α=2(α 3β)+3(α+2β)=2α 6β+3α+6β=2α+3α 6β+6β= =(2+3)α+( 6+6)β=5α+0 β=5α ΠαρατηρούµεότιητιµήτηςπαράστασηςΑεξαρτάταιαπότηµεταβλητήα,αλλά όχιαπότηµεταβλητήβ.υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςα,όταν α=0,02: Α=5 0,02=0,1 β) ΑπλοποιούµεαρχικάτηνπαράστασηΒ: Β=3(x+2y)+2(3x+y)+y=3x+6y+6x+2y+y=3x+6x+6y+2y+y= =(3+6)x+(6+2+1)y=9x+9y=9(x+y) ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,ότανείναι x+ y = 1 9 : 1 9 1 B= 9 = = 1 9 9 7.Oιδιαιτολόγοι,γιαναεξετάσουνανέναάτοµοείναιαδύνατοήπαχύ,χρησι- B µοποιούντοναριθµό 2 υ (δείκτηςσωµατικούβάρουςήbodymassindex,δη- λαδήβμι),όπουβτοβάροςτουατόµουκαιυτούψοςτουσεµέτρα.ανάλογα µετοαποτέλεσµααυτό,τοάτοµοκατατάσσεταισεκατηγορίασύµφωναµετον παρακάτωπίνακα: ΓΥΝΑΙΚΕΣ ΑΝ ΡΕΣ Κανονικόβάρος 18,5-23,5 19,5-24,9 1οςβαθµός παχυσαρκίας 2οςβαθµός παχυσαρκίας 3οςβαθµός παχυσαρκίας 23,6-28,6 28,7-40 πάνωαπό40 25-29,9 30-40 πάνωαπό40 14 Ηέννοιατης εταβλητής Αλγεβρικέςπαραστάσεις
Nαχαρακτηρίσετε: α) ΤοΓιώργο,µεβάρος87κιλάκαιύψος1,75µέτρα. β) ΤηνΑλέκα,µεβάρος64κιλάκαιύψος1,42µέτρα. γ) Τονεαυτόσας. Λύση B α) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ όταν Β=87 και υ=1,75: Β 87 87 = = 28,41 2 2 υ 1,75 3,0625 Άρα,οΓιώργοςκατατάσσεταιστηνκατηγορίατωνανδρώνµε1οβαθµόπαχυσαρ- κίας. B β) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ ότανείναι Β=64 και υ=1,42: B 64 64 = = 31,74 2 2 υ 1,42 2, 0164 Άρα,ηΑλέκακατατάσσεταιστηνκατηγορίατωνγυναικώνµε2οβαθµόπαχυσαρ- κίας. B γ) Υπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασης 2, υ αντικαθιστώνταςόπουβτοβάρος µαςκαιόπουυτούψοςµας.στησυνέχειαανάλογαµετοαποτέλεσµα,βρίσκουµε απότονπίνακασεποιακατηγορίαανήκουµε. 15
Ερωτήσειςκατανόησης 1.Στιςπαρακάτωισότητεςνασυµπληρώσετετοναριθµόπουλείπει: α) 5+ =35 β) 5 =35 γ) 127 =103 δ) 32 =35 ε) 14+ =5 στ)2 +3=17 Απάντηση Σεκάθεπερίπτωσηαναζητούµεκατάλληλοαριθµό,οοποίοςθαεπαληθεύειτηνισό- τητα. α)5+30=35. β)5 7=35. γ) 127 24=103. δ) 32 ( 3)=35. ε) 14+( 9)=5. στ)2 7+3=17. 2.Ναεξετάσετεανοιπαρακάτωπροτάσειςείναισωστές(Σ)ήλανθασµένες(Λ). α) Hεξίσωση 2x=6 έχειλύσητοναριθµό3. β) Hεξίσωση 5x+x=x είναιταυτότητα. γ) Οιεξισώσεις x+1=5 και x+5=1 έχουνλύσητονίδιοαριθµό. δ) Ηεξίσωση 3x=0 είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση 0 x=0 είναιαδύνατη. Απάντηση α) Σ. (Ηεξίσωση 2x=6 έχειλύσητοναριθµό3,διότι 2 3=6.) β) Λ.(Ηεξίσωση 5x+x=x γράφεται 5x+x x=0 ή 5x=0. Άραηεξίσωση έχειλύσητοναριθµό x=0.) γ) Σ. (Ηεξίσωση x+1=5 γράφεται x=5 1 ή x=4,άραέχειλύσητοναριθ- µό4.ηεξίσωση x+5=1 έχειλύσητοναριθµό4,διότι 4+5=1.) δ) Λ.(Ηεξίσωση 3x=0 έχειλύσητοναριθµό0.) ε) Λ.(Ηεξίσωση 0 x=0 έχειλύσηοποιονδήποτεαριθµό.) 16 Εξισώσειςα βαθ ού
3.ΝααντιστοιχίσετεκάθεεξίσωσητηςστήληςΑµετηλύσητηςστηστήληΒ. Απάντηση ΣΤΗΛΗΑ ΣΤΗΛΗΒ α) 2x=4 i) 8 β) 3x= 9 ii)3 1 γ) x = 4 iii) 2 2 δ) 2x=3+x iv) 3 ΣεκάθεπερίπτωσηλύνουµετηνεξίσωσητηςστήληςΑωςπροςτοx. α) Γιανααποµονώσουµετοx,διαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου,δηλα- δήµετο 2καιστησυνέχειααπλοποιούµετακλάσµατα.Είναι: 2x=4ή 2x = 4, 2 2 δηλαδήx= 2 Άρα(α) (iii). β) Είναι: 3x= 9ή 3x 9 =, 3 3 δηλαδήx= 3 Άρα(β) (iv). γ) Πολλαπλασιάζουµεκαιταδυοµέλητηςεξίσωσηςµετο2γιαναπάρουµεµια εξίσωσηχωρίςπαρονοµαστές.ηδιαδικασίααυτήλέγεταιαπαλοιφήπαρονοµαστών. Είναι: 1 x 2x x= 4 ή = 4 ή = 2( 4), δηλαδήx= 8 2 2 2 Άρα(γ) (i). δ) Πρέπει να αποµονώσουµε το x στο ένα µέλος της εξίσωσης. Σε µια εξίσωση µπορούµε να «µεταφέρουµε» όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσηµότους.είναι: 2x=3+xή2x x=3ή1 x=3,δηλαδήx=3 Άρα(δ) (ii). 17
Ασκήσεις 1.Nαεξετάσετεανοαριθµόςπουδίνεταιείναιηλύσητηςεξίσωσης: α) 2x+3=21 x= 7 β) 3x+5=7,5 x=0,5 γ) 3x+4=7x 6 x=1 Λύση Γιαναεξετάσουµεανέναςαριθµόςείναιλύσηµιαςεξίσωσηςεργαζόµαστεωςεξής: Αντικαθιστούµε τον άγνωστο της εξίσωσης µε τον αριθµό και έτσι προκύπτει µιαισότηταµεγνωστούςόρους. Ανηισότηταείναισωστή,σηµαίνειότιοαριθµόςεπαληθεύειτηνεξίσωση,δη- λαδήοαριθµόςείναιλύσητηςεξίσωσης. Ανηισότηταείναιλανθασµένη,σηµαίνειότιοαριθµόςδενεπαληθεύειτηνεξί- σωση,δηλαδήοαριθµόςδενείναιλύσητηςεξίσωσης. α) Στηνεξίσωση 2x+3=21 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο 7καιέτσι προκύπτειηισότητα: 2( 7)+3=21 14+3=21 17=21 Επειδήηισότηταείναιλανθασµένη,οαριθµός 7δενείναιλύσητηςεξίσωσης. β) Στηνεξίσωση 3x+5=7,5 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο0,5καιέτσι προκύπτειηισότητα: 3 0,5+5=7,5 1,5+5=7,5 6,5=7,5 Επειδήηισότηταείναιλανθασµένη,οαριθµός0,5δενείναιλύσητηςεξίσωσης. γ) Στηνεξίσωση 3x+4=7x 6 αντικαθιστούµετονάγνωστοµετο1καιέτσι προκύπτειηισότητα: 3 1+4=7 1 6 3+4=7 6 1=1 Επειδήηισότηταείναισωστή,οαριθµός1είναιλύσητηςεξίσωσης. 18 Εξισώσειςα βαθ ού
2.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) 2x+21=4+x 5 β) 9+7y+y=1 2y γ) 3t 3(t+1)=t+2(t+1)+1 Λύση α) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2x+21=4+x 5ή 2x x=4 5 21ή x= 22 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x= 22. β) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 9+7y+y=1 2yή 7y+y+2y=1+9ή 10y=10ή 10y 10 = 10 10 ή y=1 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη y=1. γ) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 3t 3(t+1)=t+2(t+1)+1ή 3t 3t 3=t+2t+2+1ή 3t 3t t 2t=2+1+3ή 3t=6ή 3t 6 = 3 3 t= 2 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη t= 2. 19
3.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) 4(2x+1) 6(x 1)=3(x+2) β) 3(y+1)+2(y 4)=2y (y 6) γ) 6(ω+2)+3=3 2(ω 4) Λύση α) Έχουµεδιαδοχικά: 4(2x+1) 6(x 1)=3(x+2) 8x+4 6x+6=3x+6 8x 6x 3x=6 4 6 1 x= 4 1x 4 = 1 1 x=4 β) Έχουµεδιαδοχικά: 3(y+1)+2(y 4)=2y (y 6) 3y+3+2y 8=2y y+6 3y+2y 2y+y=6 3+8 4y=11 4y 11 = 4 4 γ) Έχουµεδιαδοχικά: 11 y = ή y = 2,75 4 6(ω+2)+3=3 2(ω 4) 6ω+12+3=3 2ω+8 6ω+2ω=3+8 12 3 8ω= 4 8ω 4 = 8 8 1 ω= ή ω= 0,5 2 20 Εξισώσειςα βαθ ού
4.Nαλύσετετιςεξισώσεις: α) γ) 2x + 3 3x 5 = β) 2 4 2(x 1) 2 1 3x = 2 4 Λύση 7x 6 5x + 2 = 3 4 α) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2x + 3 3x 5 = ή 2 4 2x + 3 3x 5 4 = 4 ή 2 4 2(2x+3)=3x 5ή 4x+6=3x 5ή 4x 3x= 5 6ή x= 11 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x= 11. β) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 7x 6 5x + 2 = ή 3 4 7x 6 5x + 2 12 = 12 ή 3 4 4(7x 6)=3(5x+2)ή 28x 24=15x+6ή 28x 15x=6+24ή 13x=30ή = 13x 30 13 13 ή 21
x = 30 13 30 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x =. 13 γ) Γιαναλύσουµετηνεξίσωση,ακολουθούµεταεξήςβήµατα: 2(x 1) 2 1 3x = ή 2 4 2(x 1) 2 1 3x 4 = 4 ή 2 4 2[2(x 1) 2]=1 3xή 2(2x 2 2)=1 3xή 2(2x 4)=1 3xή 4x 8=1 3xή 4x+3x=1+8ή 7x=9ή 7x 9 = 7 7 ή x = 9 7 9 Ηεξίσωσηέχειµοναδικήλύση(ήρίζα)τη x =. 7 5.Nαλύσετετιςεξισώσεις: x+4 x 4 1 3x y 1 2y+7 1 3y α) = 2 β) =y+ 5 3 15 3 6 2 1 1 ω 23 γ) (ω + 4) 7 = (1 ω) + 4 7 4 Λύση α) Έχουµεδιαδοχικά: x+ 4 x 4 1 3x = 2 5 3 15 22 Εξισώσειςα βαθ ού
β) Έχουµεδιαδοχικά: x+ 4 x 4 1 3x 15 = 15 2 5 3 15 x+ 4 x 4 1 3x 15 15 = 15 15 2 5 3 15 3(x+4) 5(x 4)=(1 3x) 30 3x+12 5x+20=1 3x 30 3x 5x+3x=1 30 12 20 x= 61 y 1 2y+ 7 1 3y = y + 3 6 2 y 1 2y+ 7 1 3y 6 = 6 y+ 3 6 2 y 1 2y+ 7 1 3y 6 6 = 6y+ 6 3 6 2 2(y 1) (2y+7)=6y+3(1 3y) 2y 2 2y 7=6y+3 9y 2y 2y 6y+9y=3+2+7 3y=12 3y 12 = 3 3 y=4 γ) Έχουµεδιαδοχικά: 1 1 ω 23 (ω + 4) 7 = (1 ω) + 4 7 4 ω+ 4 1 ω ω 23 7 = + 4 7 4 + 28 ω 4 7 = 28 1 ω + ω 23 4 7 4 ω+ 4 1 ω ω 23 28 28 7 = 28 + 28 4 7 4 7(ω+4) 196=4(1 ω)+7(ω 23) 23