ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΛΕΙΣΘΕΝΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΝΙΚΟΛΗΣ ΧΑΤΖΗΚΥΡΚΟΣ ΑΕΜ: 1318 Τίτλος: Συνέπειες της ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης στο όριο Chandrasekhar στα πλαίσια της θεωρίας Thomas-Fermi Επιβλέπων Καθηγητής: Μουστακίδης Χαράλαμπος
Περίληψη Οι εξαιρετικά υψηλές πυκνότητες, στους λευκούς νάνους και στους αστέρες νετρονίων, δίνουν το έδαφος για την εμφάνιση απροσδόκητων πλευρών της φύσης και την ευκαιρία να φτάσουμε πιο κοντά στα θεμέλια της. Στην παρούσα εργασία γίνεται μία αναλυτική μελέτη της ισορροπίας εκφυλισμένων συστημάτων φερμιονίων, όπως ένας λευκός νάνος. Στόχος, λοιπόν, της ανάλυσης αυτής είναι η διερεύνηση των συνεπειών της ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης σε ένα αέριο Fermi. Στο πρώτο κεφάλαιο, αναλύουμε τις ιδιότητες του αφόρτιστου αερίου Fermi, δικαιολογώντας την προσέγγιση του σε μηδενική θερμοκρασία, και εξάγουμε τις καταστατικές εξισώσεις, που το διέπουν στο σχετικιστικό και μη σχετικιστικό όριο. Επίσης, αποδεικνύουμε τις θεμελιώδεις σχέσεις που εκφράζουν την υδροστατική ισορροπία ενός αστρικού σώματος με σφαιρική συμμετρία. Σε συνδυασμό με τις καταστατικές εξισώσεις, αποδεικνύουμε μερικές σπουδαίες ιδιότητες των εκφυλισμένων αυτών συστημάτων, αλλά και το όριο Chandrasekhar. Επιπλέον, με χρήση αριθμητικής ανάλυσης, υπολογίζουμε τιμές της μάζας και της ακτίνας για πλήθος τιμών της σχετικιστικής παραμέτρου x F. Στο δεύτερο κεφάλαιο, εισάγουμε διορθώσεις, αρχικά με την απλούστερη δυνατή μορφή, μίας κυψελίδας Winger - Seitz, ώστε να υπολογίσουμε τη συνεισφορά του ηλεκτρικού φορτίου προς την κατεύθυνση της βαρυτικής κατάρρευσης. Βάσει αυτού, επομένως, εξάγουμε μία νέα καταστατική εξίσωση που λαμβάνει υπόψιν και το ηλεκτρικό φορτίο. Επειδή, όμως, το μοντέλο αυτό επιδέχεται πολλές βελτιώσεις, προχωρούμε σε μία επιπλέον διόρθωση της ενέργειας με την προσέγγιση Salpeter. Σύμφωνα με το μοντέλο αυτό, υπολογίζουμε εκ νέου τη μάζα του εκφυλισμένου συστήματος φερμιονίων, για πλήθος τιμών της x F, η οποία είναι αισθητά μειωμένη. Στο τρίτο και τελευταίο κομμάτι, εισάγεται το μεγαλύτερης ακρίβειας μοντέλο Thomas - Fermi και αποδεικνύουμε την ομώνυμη εξίσωση, χρησιμοποιώντας την εξίσωση Poisson. Με τον ίδιο τρόπο, αναλύουμε και το μοντέλο Thomas - Fermi - Dirac και εξάγουμε την καταστατική εξίσωση, που περιμένουμε να είναι και η πιο ακριβής.
Abstract The enormous density, occurring in the center of a white dwarf or a neutron star, can cause unexpected events and thus, an opportunity to explore the unknown foundations of nature. In this thesis, we elaborate on the equilibrium of degenerate fermion systems, such as a white dwarf. Our goal is to go over the consequences of the electromagnetic interaction onto the pressure of a degenerate Fermi gas. In the first chapter, we analyse the properties of an uncharged Fermi gas, explaining the validity of a zero temperature approximation and extracting the equation of state at both the relativistic and non-relativistic limit. Moreover, we prove the fundamental equations of hydrostatic equilibrium of a spherically symmetric star. Then, we proceed to prove some of the most remarkable properties of a degenerate Fermi gas as well as the Chandrasekhar limit itself. Furthermore, making use of numerical analysis, we estimate the mass and radius of a white dwarf for a wide range of values of the relativity parameter x F. In the second chapter, we introduce corrections, initially in the simple formula of a Wigner - Seitz cell. That is, to estimate the contribution of electric charge, pushing further towards gravitational collapse. It is simple, though, to improve upon this formula. We further develop our cell model by use of the Salpeter approximation. According to this, we re-evaluate the mass of the degenerate fermion system, for a wide range of values of the relativity parameter x F, which is evidently reduced. In the last chapter, we examine the Thomas - Fermi model and the proof of its fundamental equations, using Poisson s equation. In the same manner, the improved Thomas - Fermi - Dirac model is being analysed in order to extract its equation of state, with the expectation of a higher precision.
Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 7 1.1 Λευκός Νάνος................................... 7 1. Ιστορική αναδρομή................................ 7 1.3 Ο θάνατος ενός αστέρα.............................. 1 Αναλυτική επίλυση 11.1 Εξίσωση Lane - Emden.............................. 11. Fermi gas..................................... 15.3 Εκφυλισμός.................................... 17.4 Φύση του αερίου σε έναν λευκό νάνο.......................5 Καταστατική εξίσωση............................... 1.6 Πίεση ρελατιβιστικών και μη ρελατιβιστικών ηλεκτρονίων........... 4.7 Εξισορρόπηση της βαρύτητας.......................... 6.8 Σχέση Μάζας - Ακτίνας.............................. 7.9 Τιμές μάζας - ακτίνας............................... 3.1 Υπολογιστική επίλυση.............................. 35.11 Μέθοδος Runge - Kutta.............................. 41 3 Συνέπεις της ηλεκτρομαγντικής αλληλεπίδρασης 45 3.1 Κυψελίδα Wigner - Seitz............................. 45 3. Η προσέγγιση Salpeter.............................. 49 3.3 Πίεση στην προσέγγιση Salpeter......................... 51 3.4 Αριθμητκή επίλυση στην προσέγγιση Salpeter.................. 5 3.5 Εξίσωση Thomas - Fermi............................. 57 3.6 Ενέργειες στο μοντέλο Thomas - Fermi..................... 6 3.7 Πίεση στο μοντέλο Thomas - Fermi....................... 63 3.8 Μοντέλο Thomas - Fermi - Dirac......................... 65 3.9 Εξίσωση Thomas - Fermi - Dirac......................... 66 3.1 Πίεση στο μοντέλο Thomas - Fermi - Dirac................... 67 3.11 Relativistic Feynman - Metropolis - Teller.................... 69 4 Συμπεράσματα 71 5 Βιβλιογραφία 73
1 Εισαγωγή 1.1 Λευκός Νάνος Ο Λευκός Νάνος είναι μία από τις πιθανές τελικές καταστάσεις στις οποίες καταλήγει σχεδόν το σύνολο των αστέρων που μπορούμε να παρατηρήσουμε στον ουρανό το βράδυ. Μαζί με τους αστέρες νετρονίων και τις μελανές οπές συνιστούν ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον και ταυτόχρονα μυστηριώδες αντικείμενο έρευνας. Αυτό συμβαίνει διότι αποτελούν μία από τις ακραίες μορφές ενός σώματος, την οποία έχουμε τη δυνατότητα να πλησιάσουμε μόνο με τον νου μας, καθώς τίποτα πάνω στην γη δεν μας δίνει την ευκαρία να προσωμοιώσουμε με ένα πείραμα τις συνθήκες που επικρατούν πάνω και μέσα στα σώματα αυτά. 1. Ιστορική αναδρομή Ο πρώτος λευκός νανός ανακαλύφθηκε ήδη απο το 1783 από τον William Herschel. Ο νάνος αυτός είναι ο 4 Eridani B, μέρος ενός τριπλού αστρικού συστήματος μαζί με τους 4 Eridani A και 4 Eridani C και βρίσκεται στον ομώνυμο Ηριδανό αστερισμό. Ο πιο διάσημος λευκός νάνος, ο Σείριος Β, ανακαλύφθηκε δεύτερος το 186 από τον Alvan Graham Clark ως ο μικρότερος συνοδός του Σείριου Α. Την ύπαρξη του όμως είχε προτείνει το 1844 ο αστονόμος - μαθηματικός Friedrich Bessel προσπαθώντας να εξηγήσει τις άλλαγες της τροχιάς του Σείριου Α. Οι λευκοί νάνοι Σείριος Β και Eridani B στο νυχτερινό ουρανό. 7
Τρίτος στην σειρά είναι ο αστέρας του Van Maanen, που πήρε το όνομά του προς την τιμή του Adriaan Van Maanen, και συμπληρώνει την τριάδα των πρώτων παρατηρηθέντων νάνων και οι οποίοι ονομάζονται κλασσικοί λευκοί νάνοι. Σήμερα, ο όρος κλασσικός λευκός νάνος φαίνεται αστείος, όμως το 191 όταν ο Ernst Öpik υπολόγισε ότι ο 4 Eridani B, σύμφωνα με τις μετρήσεις φωτεινότητας ακτίνας και μάζας που είχε στα χέρια του, πρέπει να είναι δεκάδες χιλιάδες φορές πιο πυκνός από ότι ο Ήλιος, απεκάλεσε το συμπέρασμα αυτό αδύνατο. Πολύ πιο έντονες ήταν οι αντιρρήσεις του Arthur Stanley Eddington, o οποίος είχε δηλώσει ότι εάν η πληροφορία που μας δίνουν οι λευκοί νάνοι για τον εαυτό τους, μέσω του εκπεμπόμενου ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, είναι ότι πρόκειται για σώματα πιο πυκνά κατά έξι μονάδες κλίμακας από τον Ήλιο, τότε απλά λένε ανοησίες. Παραθέτοντας τις αναφορές αυτές, τείνουμε να τις χρωματίσουμε αρνητικά, όμως η περίοδος 19-193 έφερε πρωτοφανείς αλλαγές στον τρόπο με τον οποίο μέχρι τότε αντιλαμβανόμασταν την φύση. Το πέρασμα από την κλασσική φυσική, η οποία είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την έννοια της βεβαιότητας, στην κβαντική φυσική όπου κυριαρχεί η έννοια της πιθανότητας, ήταν ένα δύσκολο βήμα το οποίο είχε τόσο υποστηρικτές όσο και αντιπάλους. Το πρόβλημα της υδροστατικής ισορροπίας ενός λευκού νάνου, όσος χρόνος και αν περνούσε δεν θα μπορούσε ποτέ να απαντηθεί με την χρήση της κλασσικής φυσικής. Από την άλλη πλευρά, η κβαντική έδινε λύσεις σε μία σειρά από μέχρι τότε άλυτα προβλήματα, όπως παραδείγματος χάρη το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, και θα χρειάζονταν ελάχιστος χρόνος ακόμη μέχρι να λυθεί και η κατάσταση ισορροπίας των λευκών νάνων. Και έτσι συνέβη. Ο Wolfgang Pauli το 195 ανακάλυψε μίας από τις πιο σπουδαίες αρχές στη φυσική, την απαγορευτική αρχή του Pauli, ενώ παράλληλα αναπτύχθηκε η στατιστική Fermi - Dirac, από τους Enrico Fermi και Paul Dirac. Έτσι μπόρεσε μόλις λίγους μήνες αργότερα o William Alfred Fowler να δομήσει μία θεωρία, η οποία θα ερμήνευε την ευστάθεια ενός συστήματος, όπως ο λευκός νάνος. Το κεφάλαιο αυτό τελειώνει με τον Subrahmanyan Chandrasekhar, ο οποίος ολοκλήρωσε το διδακτορικό του υπό την επίβλεψη του Fowler. To 193, ο Chandrasekhar τελείωσε ό,τι ξεκίνησε ο Fowler, συμπεριλαμβάνοντας την ειδική θεωρία σχετικότητας πάνω στο ήδη υπάρχον μοντέλο των λευκών νάνων. Η μελέτη αυτή απεδείκνυε ότι ένα συμπαγές σώμα υποστηριζόμενο από την πίεση εκφυλισμένων ηλεκτρονίων δεν μπορεί να υπερβεί μία μάζα ίση με 1, 44M. Σε περίπτωση το σώμα ξεπεράσει το όριο αυτό, τότε καταστρέφεται η ευστάθεια ανάμεσα στην πίεση εκφυλισμένων ηλεκτρονίων και βαρυτικής έλξης και το σύστημα καταρρέει. Η μελέτη αυτή του Chandrasekhar, αν και δεν δίνει συμπέρασμα για την τελική κατάσταση του σώματος, αποτέλεσε αφετηρία για την έρευνα των καταρεύσαντων αστερων, που είναι από τα πιο εξωτικά αντικείμενα που υπάρχουν στο Σύμπαν. Εκείνη την εποχή έχουμε μία σειρά ανακαλύψεων. Ο James Chadwick διαπίστωσε για πρώτη φορά, το 193, την ύπαρξη του νετρονίου, ενώ το 1933 οι Walter Baade και Fritz Zwicky πρότειναν ως αίτιο δημιουργίας των Supernova ένα συμπαγές υπέρπυκνο σώμα αποτελούμενο από νετρόνια, δηλαδή έναν αστέρα νετρονίων. Οι Richard Tolman, Robert Oppenheimer και George Volkoff πέτυχαν, το 1939, μία πρώτη εκτίμηση για την ακτίνα και τη μάζα ενός αστέρα νετρονίων ίσες με M, 75M και R 1km, αντίστοιχα. Επίσης, υπολόγισαν το ομώνυμο όριο μάζας T.O.V., το οποίο εάν υπερβεί ένας αστέρας νετρονίων γίνεται ασταθής και συνεχίζεται η βαρυτική κατάρρευση σε μία μελανή οπή. Έκτοτε, η φυσική των εναπομείνοντων συστημάτων από την έκρηξη ενός αστέρα, αλλά και 8
διαδικασίες που συμβαίνουν μετέπειτα, όπως η απορρόφηση μάζας σε ένα διπλό σύστημα, έχει κεντρίσει το ενδιαφέρον της επιστημονικής κοινότητας και παραμένει μέχρι και σήμερα στο προσκήνιο των εξελίξεων. 9
1.3 Ο θάνατος ενός αστέρα Στο τέλος της ζωής του, ένας αστέρας ξεκινά την ανάφλεξη ηλίου. Το συμβάν αυτό είναι ιδιαίτερα σφοδρό και εύκολα αντιληπτό, διότι αυξάνει την λαμπρότητα του αστέρος έως και δέκα τάξεις μεγέθους. Η καύση του ηλίου γίνεται σε δύο βήματα και είναι γνωστή ως triple alpha proccess. Πρώτα πραγματοποείται ενδόθερμη πυρηνική σύντηξη μεταξύ δύο πυρήνων ηλίου με αποτέλεσμα έναν πυρήνα βυρηλλίου και ύστερα αυτός συμμετέχει στην εξώθερμη πυρηνική σύντηξη με έναν τρίτο πυρήνα ηλίου παράγοντας άνθρακα. Η διαδικασία αυτή μπορεί να επαναληφθεί ακόμη μία φορά για να παραχθεί οξυγόνο. Οι διαδικασίες αυτές αναπαριστώνται ως εξής: 4 He + 4 He 8 4Be ( 93, 7keV ) 8 4Be + 4 He 1 6 C (7, 3MeV ) 1 6 C + 4 He 16 8 O (7, 1MeV ) Εάν η θερμοκρασία του πυρήνα δεν είναι επαρκώς υψηλή, ώστε να συνεχίσει η νουκλεοσύνθεση το αποτέλεσμα είναι ο θάνατος του αστέρα, αφήνοντας πίσω ένα λευκό νάνο, αποτελούμενο από άνθρακα, οξυγόνο και άκαυστο ήλιο στα εξωτερικά στρώματα. Οι λευκοί νάνοι αυτοί δεν είναι οι μοναδικοί. Αρχικοί αστέρες με μεγαλύτερη μάζα, όχι όμως τόσο μεγάλη ώστε να γίνουν αστέρες νετρονίων ή μελανές οπές, συνεχίζουν την νουκλεοσύνθεση με πυρηνική σύντηξη του άνθρακα. Οι συντήξεις αυτές είναι οι Οι λευκοί αυτοί νάνοι ονομάζονται αντίστοιχα 1. Carbon - Oxygen White Dwarf 1 6 C + 1 6 C 1Ne + 4 He (4, 6MeV ) 1 6 C + 1 6 C 4 1Mg + γ (13, 3MeV ). Oxygen - Neon - Magnesium White Dwarf Ο λευκός νάνος, μετά την δημιουργία του, αποτελείται στο εσωτερικό του από ελεύθερους ιονισμένους πυρήνες μέσα σε ένα εκφυλισμένο αέριο ηλεκτρονίων. Mη έχοντας κάποια πηγή εσωτερικής ενέργειας, όπως οι αστέρες, ο λευκός νάνος ξεκινά μία ζωή, κατά την οποία ψύχεται διαρκώς μέσω ακτινοβολίας Planck. Σε μία εντελώς θεωρητική προσέγγιση, θα μπορούσε να ακτινοβολίσει όλη την θερμική του ενέργεια και να έρθει σε θερμική ισορροπία με το περιβάλλον. Ένα τέτοιο σώμα, όμως, δεν έχει παρατηρηθεί, και δεν πρόκειται να παρατηρηθεί, διότι η διαδικασία αυτή απαιτεί πάροδο του χρόνου μεγαλύτερη και από την ηλικία του Σύμπαντος. Ένας από τους πιο ψυχρούς λευκούς νάνους βρέθηκε το 1997 στο σμήνος των Πλειάδων, με επιφανειακή θερμοκρασία περίπου 3.9K. 1
Αναλυτική επίλυση.1 Εξίσωση Lane - Emden Οι αστέρες νετρονίων με τυπικές ταχύτητες διαφυγής, της τάξης του μισού της ταχύτητας του φωτός, διερευνούνται στα πλαίσια της γενικής θεωρίας σχετικότητας, ειδάλλως οδηγούμαστε σε επικίνδυνες ανακρίβειες. Από την άλλη πλευρά, οι λευκοί νάνοι με τυπικές ταχύτητες διαφυγής απο το βαρυτικό τους πεδίο, της τάξης των εκατοστών της ταχύτητας του φωτός, μας δίνουν το περιθώριο να χρησιμοποιήσουμε νευτώνεια θεωρία βαρύτητας. Yπολογίζουμε την ακτινική δύναμη πάνω σε μία στοιχειώδη μάζα διαστάσεων και r. Υποθέτουμε μία εκτατική πίεση P (r) στην κάτωθεν επιφάνεια ενός απειροστού όγκου, που ασκούν τα κατώτερα στρώματα του αστέρα, και μία πίεση P (r + dr), που ασκούν τα ανωτερα στρώματα λόγω βαρυτικού δυναμικού πάνω τους. Επίσης, θεωρούμε τη δύναμη λόγω βαρύτητας F μεταξύ της στοιχειώδους μάζας m και της σφαιρικής μάζας M(r), που βρίσκεται απο κάτω. Συνεπώς, η συνολική δύναμη πάνω στην στοιχειώδη μάζα m είναι F r = GM(r) m r P (r + dr)δa + P (r) A = m d r dt 11
Όπως ορίστηκε, η στοιχειώδης μάζα είναι Δm = ρ(r)δrδa. Αντικαθιστώντας και διαιρώντας με τις διαστάσεις του όγκου V = r A προκύπτει GM(r)ρ(r) { P (r + dr) P (r) } = ρ(r) d r r dr dr dt. Ο όρος μέσα στις αγκύλες αναπαριστά την παράγωγο της πίεσης συναρτήσει της απόστασης από το κέντρο. Επομένως, GM(r)ρ(r) r dp dr = ρ(r)d r dt. Η σχέση αυτή αποτελεί την εξίσωση κίνησης μίας στοιχειώδους μάζας m μέχρι το σύστημα να έρθει σε υδροστατική ισορροπία. Όταν επέλθει υδροστατική ισορροπία, τότε η παράγωγος στο δεύτερο μέρος μηδενίζεται. Έτσι, προκύπτει η θεμελιώδης εξισώση που περιγράφει την υδροστατική ισορροπία ενός αστρικού σώματος, dp dr = GM(r)ρ(r) r. Παρά την σπουδαιότητα της, η εξίσωση αυτή δεν είναι εύχρηστη στη μορφή αυτή και μία τροποποίηση της είναι αναγαία. Επομένως, εάν φέρουμε την εξίσωση στη μορφή και παραγωγίσουμε, προκύπτει d dr 1 dp ρ(r) dr = GM(r) r ( 1 dp ρ(r) dr ) = GM(r) r 3 G r dm dr. Κάνοντας ξανά χρήση της εξίσωσης της υδροστατικής ισορροπίας 1 dp ρr dr = GM r, 3 καθώς και της μάζας σώματος με σφαιρική συμμετρία βρίσκουμε Καταλήγουμε στην εξίσωση d dr dm dr = 4πr ρr ( ) 1 dp = dp ρ dr ρr dr 4πGρ. ( ) 1 r P = 4πGρ, r r ρ r 1
η οποία εξακολουθεί να είναι δύσχρηστη και απαιτείται η χρήση ενός πολυτροπικού μοντέλου. Υποθέτουμε, επομένως, πως η πίεση εξαρτάται από την πυκνότητα μέσα από μία σχέση της μορφής P = Kρ 1+ 1 n. Κατά την έκφραση αυτή, το n παίρνει θετικές τιμές, αφού η πίεση πρέπει να είναι μία αύξουσα συνάρτηση της πυκνότητας. Υποθέτουμε, στη συνέχεια, ότι η πυκνότητα είναι μία φθίνουσα συνάρτηση θ(r) της απόστασης από το κέντρο του αστέρα ρ = ρ c θ n, όπου ρ c είναι η κεντρική πυκνότητα. Άμεση συνέπεια της υπόθεσης αυτής είναι ότι Επιπρόσθετα, πρέπει να ισχύει όπου R η ακτίνα του αστέρα. θ() = 1 και θ () = θ(r) = για κάθε r > R, Η συνάρτηση θ(r) είναι αυθαίρετη. Μπορεί να έχει οποιαδήποτε μορφή, αρκεί να είναι φθίνουσα ως προς την απόσταση και να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες. Η πίεση, συνεπώς, είναι μία συνάρτηση της απόστασης P = Kρ 1+ 1 n = Kρ 1+ 1 n c θ n+1 Με αντικατάσταση των σχέσεων στην εξίσωση της υδροστατικής ισορροπίας βρίσκουμε ( ) 1 r 1 r r ρ c θ n r Kρ1+ n c θ n+1 = 4πGρ c θ n και με πράξεις συμπεραίνουμε ότι K ρ c 1+ 1 n ρ c 1 r r ( r (n + 1)Kρ 1 n 1 c 4πG θ (n + 1)θn θn r ( 1 r θ r r r ) = 4πGρ c θ n ) = θ n Για να απαλείψουμε τις σταθερές εισάγουμε μία νέα μεταβλητή r = aξ, για την οποία ισχύει και έχουμε (n + 1)Kρ 1 n 1 c 4πG r = ξ r 1 (n + 1)Kρ 1 n 1 c a 4πG a = ( 1 1 a ξ a ξ (n + 1)Kρ 1 n 1 c 4πG ξ = 1 a ξ ( a ξ 1 ) θ = θ n ξ a ξ ( ξ θ ) = θ n ξ ) 1 13
Έτσι, η εξίσωση της υδροσταικής ισορροπίας παίρνει την μορφή ( 1 ξ θ ) = θ n, ξ ξ ξ η οποία ονομάζεται εξίσωση Lane - Emden. Η εξίσωση αυτή, είναι μεγάλης σπουδαιότητας και χρησιμοποείται ιδιαίτερα για την διερεύνηση αστρικών σωμάτων, όπως οι λευκοί νάνοι. Η εξίσωση Lane - Emden δεν αρκεί ώστε να εξάγουμε οποιαδήποτε πληροφορία για ένα αστρικό σώμα. Παράλληλα, ισχύει πάντα η προφανής σχέση για τη μάζα ενός σώματος με σφαιρική συμμετρία, αλλά για παράγουμε μονοσήμαντες σχέσεις μεταξύ οποιωνδήποτε από τα τέσσερα βασικά μεγέθη (μάζα, ακτίνα, πίεση, πυκνότητα) χρειαζόμαστε τουλάχιστον μία επιπλέον πληροφορία για το σύστημα. Συνήθως, αυτή η πληροφορία είναι η καταστατική εξίσωση. 14
. Fermi gas Θεωρούμε ένα ηλετρόνιο, το οποίο βρίσκεται αυστηρώς περιορισμένο εντός ενός κύβου με αδιαπέραστα τοιχώματα. Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου, μετά από χωρισμό της εξίσωσης Schrödinger σε χρονοανεξάρτητη και χρονοεξαρτημένη, προκύπτει από την διαφορική εξίσωση Ψ q + k Ψ =, όπου q τυχαίος βαθμός ελευθερίας σε καρτεσιανό σύστημα και το κυματοδιάνυσμα του σωματιδίου. Η κυματοσυνάρτηση που προκύπτει είναι η Ψ = const. sin k = me ( nx π L ) sin και το ολικό κυματοδιάνυσμα k δίνεται από τη σχέση H ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι ( ny π ) sin L ( nx π ) L k = k x + k y + k z = π L (n x + n y + n z). E = π ml (n x + n y + n z) H μορφή της κυματοσυνάρτησης αυτής δεν είναι δυνατό να αναπαρασταθεί στον τρισδιάστατο χώρο, για να έχουμε όμως μία εποπτική εικόνα μπορούμε να αναπαραστήσουμε την Ψ συναρτήσει δύο βαθμών ελευθερίας. 15
Κάθε μία δυνατή τιμή της ενέργειας είναι μία σφαιρική επιφάνεια στο χώρο των φάσεων. Προφάνως, ο χώρος των φάσεων έχει σφαιρική συμμετρία και το πλήθος των φάσεων είναι 4πn dn. Αντικαθιστώντας την n = L π k προκύπτει ότι Πλήθος Ιδιοκαταστάσεων = ( ) 3 L 4πk dk π Όμως, οι ιδιοκαταστάσεις είναι σφαίρες και τις μετρούμε συνολικά οκτώ φορές, μία σε κάθε ογδοημόριο. Άρα το τελικό πλήθος ενεργειακών καταστάσεων είναι f(k)dk = ( ) 3 L 4πk dk. π Υποθέτουμε ότι το ηλεκτρόνιο με τις ιδιότητες αυτές είναι απολύτως αντιπροσωπευτικό. Δηλαδή κάθε άλλο ηλεκτρόνιο μέσα στο λευκό νάνο συμπεριφέρεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο. Υπό τις προυθέσεις αυτές, μιλάμε για ένα αέριο φερμιονίων, με γνωστές ενεργειακές καταστάσεις και με spin ίσο με ένα δεύτερο. 16
.3 Εκφυλισμός Εκτός από την κατανομή των ενεργειακών καταστάσεων, χρειάζεται επίσης να γνωρίζουμε και την στατιστική σύμφωνα με την οποία τα σωματίδια κατανέμονται σε αυτές. Σε πάρα πολύ χαμηλές θερμοκρασίες, όλα τα αέρια είναι εκφυλισμένα και ακολουθούν στατιστική Fermi - Dirac. Στο εσωτερικό ενός λευκού νάνου, μία τυπική θερμοκρασία είναι 1 6 K. Είναι αρχικά αμφίβολο εάν η θερμοκρασία αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί ως χαμηλή. Παρόλα αυτά, συναντάμε επίσης και πολύ υψηλές πυκνότητες, της κλίμακας 1 6 gr/cm 3. Δοκιμαστικά, επομένως, χρησιμοποιούμε στατιστική Fermi - Dirac. Έτσι, το πλήθος των σωματιδίων σε ένα χωρίο V = L 3 είναι N = g ( L π ) 3 4πk e ε µ kt + 1 dk Στην εξίσωση αυτή, με g αναπαριστούμε τον εκφυλισμό των ηλεκτρονίων λόγω του spin, με ε την ενέργεια του κάθε ηλεκτρονίου και με µ το χημικό δυναμικό Fermi. Αντίστοιχα, η ενέργεια του αερίου δίνεται από την σχέση U = ε g ( L π ) 3 4πk e ε µ kt + 1 dk και εάν υποθέσουμε ότι οι ταχύτητες είναι πολύ μικρότερες από αυτές του φωτός, τότε προκύπτει ( ) p 3 L U = m g 4πk dk. π e p /m µ kt + 1 Λόγω του εκθετικού όρου στον παρανομαστή, είναι απαραίτητη μία αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης. Επομένως, αντικαθιστούμε τον κυματάριθμο με το μέτρο της ορμής U = ( ) p 3 L m g 4πp dp. π e p /m µ kt + 1 Η αντικατάσταση αυτή προφανώς δεν επαρκεί και επομένως, θέτουμε ξ = e µ kt και x = p mkt Με χρήση της αντικατάστασης αυτής, προκύπτει ότι το πλήθος των σωματιδίων και η εσωτερική ενέργεια δίνονται από τις σχέσεις ( ) 3 L N = 4πg (mkt ) 3/ x π ξ 1 e x + 1 και ( ) 3 L (mkt ) 5/ x 4 U = 4πg π m ξ 1 e x + 1. Η τιμή των ολοκληρωμάτων αυτών εξαρτάται προφανώς από το ξ. Το χημικό δυναμικό Fermi είναι πάντα θετικό, όπως και η θερμοκρασία. Συνεπώς, ισχύει ξ 1. Για πολύ μεγάλες τιμές 17
του ξ, η κατανομή είναι Fermi - Dirac, ενώ, στην περίπτωση που προσεγγίζει την μόναδα, όπου το δυναμικό Fermi τείνει στο μηδέν, η κατανομή πλησιάζει την Maxwell - Boltzmann. Στο όριο αυτό, όπου η κατανομή γίνεται σχεδόν Maxwell - Boltzmann, μπορούμε να κάνουμε την απλοποίηση x ξ 1 e x + 1 x = ξ x e x. ξ 1 e x Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα και είναι Συνεπώς, βρίσκουμε x e x = π 4. ( ) 3 L π N = 4πg (mkt ) 3/ ξ π 4 N ( ) 3 1 π V = 4πg (mkt ) 3/ ξ ( 1 n = g π π ) 3 (πmkt ) 3/ ξ, όπου με n συμβολίζουμε την αριθμητική πυκνότητα. Λύνοντας ως προς ξ, βρίσκουμε ξ = (π )3 n (πmkt ) 3/ g και τελικώς, εάν θέσουμε μία θερμοκρασία εκφυλισμού καταλήγουμε στην σχέση T deg = (π ) πmk ξ = ( Tdeg T ( ) /3 n, g ) 3/. Όπως εξηγήσαμε, η σχέση αυτή ισχύει όταν το ξ παίρνει τιμές κοντά στην μονάδα. Προφανώς, λοιπόν, ανάλογα με την παραβίαση της συνθήκης αυτής ή μη, η κατανομή των σωματιδίων είναι Fermi - Dirac ή Maxwell - Boltzmann αντίστοιχα. Η θερμοκρασία εκφυλισμού εξαρτάται από την αριθμητική πυκνότητα και άρα για έναν λευκό νάνο είναι n = ρ m = 16 gr/cm 3 1, 67 1 4 gr = 6 19 cm 3 = 6 1 35 m 3. Συνεπώς, εάν αντικαταστήσουμε τις τιμές = 1, 34 1 34 J s, k = 1, 38 1 3 J/K, m = 1, 67 1 7 kg, βρίσκουμε ότι η T deg είναι ίση με T deg 1, 8 1 6 K. 18 4
Μία τυπική θερμοκρασία για το εσωτερικό ενός λευκού νάνου είναι 1 6 K και συνεπώς, προκύπτει ότι ( ) 1, 8 1 6 3/ ξ = = 1, 8 3/ =, 414. 1 6 Συμπεραίνουμε πως η συνθήκη παραβιάζεται και για θερμοκρασίες μέχρι και 1 6 ένας λευκός νάνος βρίσκεται έντονα σε κατάσταση εκφυλισμού. 19
.4 Φύση του αερίου σε έναν λευκό νάνο Στην προηγούμενη παράγραφο, είδαμε την την συμπεριφορά ενός αερίου νουκλεονίων, μη λαμβάνοντας υπόψιν τη συμμετοχή των ηλεκτρονίων. Η συμβολή τους όμως, στην εξισορρόπηση της βαρύτητας, είναι καθοριστική. Παίρνοντας σώμα με M = M και ακτίνα R = 1 4 km, μπορούμε να υπολογίσουμε την μέση απόσταση μεταξύ δύο νουκλεονίων l = ( ) 1/3 V N ( ) 4/3πR 3 1/3 ( ) 4/3 π 1 1 1/3 l = = = 1, 518pm M /m n 1 3 /1, 67 1 7 Για σύγκριση, η ακτίνα Bohr είναι ίση με a = 5, 9pm Συνεπώς, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι σε έναν λευκό νάνο, η ηλεκτρονιακή δομή έχει καταρρεύσει εντελώς. Τα πρωτόνια ή πυρήνες βρίσκονται σε εξαιρετικά μικρές αποστάσεις μεταξύ τους και τους διαχωρίζει ένα διάχυτο ρευστό ηλεκτρονίων, το οποίο εξισορροπεί τη βαρύτητα.
.5 Καταστατική εξίσωση Σύμφωνα με την στατιστική Fermi - Dirac, τα σωματίδια στοιβάζονται στις ενεργειακές στάθμες μέχρι μία μέγιστη ενέργεια, την ενέργεια Fermi, την οποία ελάχιστα σωματιδία υπερβαίνουν, όταν το σώμα είναι ψυχρό. Όπως δείξαμε και στην προηγούμενη παράγραφο, για θερμοκρασίες μέχρι και 1 6 K ένας λευκός νάνος βρίσκεται έντονα σε κατάσταση εκφυλισμού. Επομένως, μπορούμε να αντικασταστήσουμε την κατανομή Fermi - Dirac με μία βηματική συνάρτηση, η οποία δεν επιτρέπει σε κανένα σωματίδιο να υπερβεί την στάθμη Fermi. Η απλοποίηση αυτή είναι αρκετά δραστική αλλά δεν είναι καθόλου ανεδαφική. Επίσης, μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε αναλυτικά το πλήθος των ηλεκτρονίων, το οποίο εκφράζεται από εξαιρετικά απλές σχέσεις. Η στάθμη Fermi έχει κυματοδιάνυσμα mef k F = 1
και το πλήθος των ηλεκτρονίων N είναι H πυκνότητα ενέργειας είναι ίση με E = 1 (π) 3 N = kf N = V k3 F 3π n e = k3 F 3π = kf ( ) 3 L g 4πk dk π p3 F 3π 3. ε g 4πk dk και U = V E. Η στοιχειώδης ενέργεια ε για ένα σωματίδιο, που έχει κυματοδιάνυσμα k δίνεται από την σχέση Επομένως, ε = ( kc) + (mc ) E = 1 kf ( kc) + (mc (π) ) g 4πk dk. 3 Παραγοντοποιώντας με την ενέργεια μάζας ηρεμίας mc και εισαγάγοντας την νέα μεταβλητή το ολοκήρωμα παίρνει τη μορφή E = 4πg (mc ) 4 (π) 3 ( c) 3 x = kc mc, xf x x + 1 dx. Το ολοκήρωμα αυτό υπολογίζεται αναλυτικά και είναι ίσο με E = 1 4πg (mc ) 4 8 (π) 3 ( c) 3 [ x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F Τελευταίο βήμα της ενότητας αυτής είναι να εξάγουμε μία αναλυτική έκφραση της πίεσης μέσω των ήδη γνωστών σχέσεων. Από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο, γνωρίζουμε ότι δηλαδή, Με πράξεις, προκύπτει και P = U V x V = c mc k V = c de = T ds P dv = (V E) V E V = x E V x av mc V 1 3 = V E V E. = c 1 k mc 3 V = 1 x 3 V ].
Τελικώς, έχουμε ότι όπου έχουμε θέσει και P = 4πg (mc ) 4 [ xf ] (π) 3 ( c) 3 3 f(x F ) F (x F ), F (x F ) = 1 8 [ ] x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F f(x F ) = x F x F + 1. 3
.6 Πίεση ρελατιβιστικών και μη ρελατιβιστικών ηλεκτρονίων Αρχικά, είναι απαραίτητο να μετατρέψουμε την συνάρτηση P (x F ) σε μία συνάρτηση P (ρ). Η πυκνότητα ρ των ηλεκτρονίων δίνεται από τον τύπο λόγω της N = nv. Ομοίως, η πυκνότητα των νουκλεονίων είναι ρ = M V = Nm e N/n = nm e, ρ = A Z nm n. Παρόλα αυτά, επειδή η μάζα ενός νουκλεονίου είναι περίπου δύο χιλιάδες φορές μεγαλύτερη της μάζας του ηλεκτρονίου, λαμβάνουμε υπόψιν μόνο αυτή στους υπολογισμούς μας. Άρα, με διαδοχικές αντικαταστάσεις, βρίσκουμε ρ = A Z nm n = A Z m kf 3 n 3π = A ( ) Z m 1 me c 3 n x 3 3π F c Η απλή αντικατάσταση της μεταβλητής x F στην αναλυτική έκφραση της πίεσης είναι σύνθετη, λόγω της συνάρτησης arcsinh x F. Επομένως, διερευνούμε τι συμβαίνει στις οριακές περιπτώσεις, όπου η μεταβλητή x F τείνει στο μηδέν και όταν παίρνει τιμές πολύ μεγαλύτερες της μονάδας. Για την περίπτωση x F 1, δηλαδή για πλήρως ρελατιβιστικά φερμόνια, οι συναρτήσεις F (x F ) και f(x F ) παίρνουν την απλοποιημένη μορφή και Άρα η πίεση δίνεται από την σχέση P (x F ) = 4πg (m e c ) 4 (π) 3 ( c) 3 F (x F ) = 1 4 x4 F f(x F ) = x 3 F. P (x F ) = 4πg (π) 3 (m e c ) 4 ( c) 3 1 P (ρ) = 1 (m e c ) 4 4πg 1 ( c) 3 (π) 3 [ xf 3 x3 F 1 ] 4 x4 F 1 x4 F [ 3π Z A 1 m n ( c mc ) 3 ] 4/3 ρ 4/3 P (ρ) = 1 4 c 3 3π ( Z A 1 m n ) 4/3 ρ 4/3 Αντίστοιχα για την περίπτωση x F, δηλαδή για μη ρελατιβιστικά φερμιόνια, οι απλοποιήσεις πραγματοποιούνται με χρήση σειρών στο σημείο μηδέν. Τότε οι συναρτήσεις F (x F ) και f(x F ) παίρνουν την μορφή F (x F ) = 1 3 x3 F + 1 1 x5 F 4
και Εκτελώντας τις πράξεις, προκύπτει ότι P (x F ) = 4πg (m e c ) 4 (π) 3 ( c) 3 f(x F ) = x F + x4 F. [ xf 3 P (x F ) = 1 4πg (m e c ) 4 15 (π) 3 ( c) 3 και, κάνοντας ξανά αντικατάσταση, βρίσκουμε x5 F ( ) x F + x4 F 1 3 x3 F 1 ] 1 x5 F ( P (ρ) = 1 (m e c ) 4 4πg 3π Z ( ) ) 3 5/3 1 c ρ 5/3 15 ( c) 3 (π) 3 A m n m e c P (ρ) = 1 ( ) 5/3 (3π ) Z 1 3 ρ 5/3. 5 m e A m n 5
.7 Εξισορρόπηση της βαρύτητας Οι πιέσεις της προηγούμενης παραγράφου, δηλαδή για μη ρελατιβιστικά ηλεκτρόνια και P (ρ) = 1 ( Z (3π ) /3 5 m e A P (ρ) = 1 4 c 3 3π ( Z A 1 m n 1 m n ) 5/3 ρ 5/3 ) 4/3 ρ 4/3 για ρελατιβιστικά ηλεκτρόνια, είναι ικανές να αντισταθμίσουν την βαρύτητα, η οποία θέλει να συνθλίψει το σώμα σε ακόμη μικρότερες διαστάσεις. Ένα αστρικό σώμα έχει βαρυτική πίεση P grav = U grav = ( 3 ) GM V V 5 R P grav = 3 5 GM ( ) 1 V V 1/3 P grav = 1 GM 5 R 4 Για έναν λευκό νάνο με μία ηλιακή μάζα (M = 1M ) και ακτίνα R = 1 4 km, περιμένουμε πως τα ηλεκτρόνια θα κινούνται με ρελατιβιστικές ταχύτητες. Επομένως, αντικαθιστώντας όλες τις γνωστές σταθερές βρίσκουμε ότι P rel = 5, 89 1 1 P a και P grav = 5, 33 1 1 P a. Διαπιστώνουμε, επομένως, πως η πίεση εκφυλισμένων ηλεκτρονίων είναι όντως ικανή να αντισταθμίσει την βαρύτητα. Εάν επιχειρούσαμε το ίδιο με πίεση θερμικής φύσης, θα έπρεπε να υποθέσουμε θερμοκρασίες της τάξης των 1 1 K για να υπάρξει το ίδιο αποτέλεσμα. Γνωρίζουμε, όμως, ότι τέτοιες θερμοκρασίες δεν υφίστανται στο εσωτερικό των λευκών νάνων ούτε κατά τη στιγμή της γέννησης τους. 6
.8 Σχέση Μάζας - Ακτίνας Οι σχέσεις που δίνουν την πίεση συναρτήσει της πυκνότητας για μη ρελατιβιστικά και ρελατιβιστικά ηλεκτρόνια, τις οποίες αποδείξαμε σε προηγούμενη παράγραφο, αποτελούν στην ουσία τις καταστατικές εξισώσεις για εκφυλισμένο αέριο ηλεκτρονίων στο εσωτερικό ενός λευκού νάνου. Συνεπώς, έχουμε πλέον όλα τα εφόδια, ώστε να δείξουμε μερικά από τα σπουδαιότερα χαρακτηριστικά των λευκών νάνων. Εύκολα παρατηρούμε ότι για μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια ισχύει P = K nr ρ 5/3 P = K nr ρ 1+/3 n nr = 3/. Με τον ίδιο τρόπο, για πλήρως σχετικιστικά ηλεκτρόνια διαπιστώνουμε ότι P = K er ρ 4/3 P = K er ρ 1+1/3 n er = 3. Όπως είχαμε δείξει και σε προηγούμενη ενότητα, η εξίσωση Lane - Emden έχει την μορφή ( 1 ξ θ ) = θ n ξ ξ ξ και αντικαθιστώντας για τις περιπτώσεις της μεταβλητής n που μας ενδιαφέρουν, βρίσκουμε ότι ( 1 ξ θ ) = θ 3/, ξ ξ ξ για μη ρελατιβιστικά ηλεκτρόνια και 1 ξ ξ για πλήρως ρελατιβιστικά ηλεκτρόνια. ( ξ θ ) = θ 3, ξ Οι εξισώσεις αυτές δεν έχουν αναλυτικές λύσεις και η επίλυση τους είναι προτιμότερο να γίνεται υπολογιστικά. Παρόλα αυτά, στην ενότητα αυτή, δεν είναι απαραίτητο. Ο λόγος είναι ότι με ένα απλό τέχνασμα μπορούμε να εξάγουμε μία μονοσήμαντη σχέση ανάμεσα στην μάζα ένος λευκού νάνου και της ακτίνας του. Συγκεκριμένα, για σώμα με σφαιρική συμμετρία έχουμε Ολοκληρώνοντας τη σχέση αυτή, βρίσκουμε dm = 4πr ρdr = 4π(aξ) ρ dr dξ dξ dm = 4πa 3 ρ c [ξ θ n ]dξ. M dm = ξ1 4πa 3 ρ c [ξ θ n ]dξ. Στο σημείο αυτό, κάνοντας αντικατάσταση απευθείας από την εξίσωση Lane Emden ( ξ θ ) = ξ θ n ξ ξ 7
προκύπτει ότι M = ξ1 M = 4πa 3 ρ c ξ1 ( 4πa 3 ρ c ξ θ ξ ξ ( ξ M = 4πa 3 ρ c [ ξ θ ξ ] ξ θ ξ ξ=ξ 1, ) dξ ) dξ όπου είναι η ακτίνα του λευκού νάνου. R = aξ 1 Στη συνέχεια, επαναεισαγάγουμε τις μεταβλητές που προηγουμένως απαλείψαμε με την βοήθεια του a, και M = 4π [ (n + 1)Kρ 1 n 1 c 4πG [ (n + 1)K M = 4π 4πG R = [ [ R ρ c = ] 3/ ρ 3 n n c (n + 1)Kρ 1 n 1 c 4πG ξ 1 4πG (n + 1)K ] 3/ [ ρ c ξ θ ξ [ ξ θ ξ ] 1 ] n 1 n Θα απαλείψουμε αυτήν την φορά την κεντρική πυκνότητα, [ ] { 3/ [R (n + 1)K 4πG M = 4π 4πG ξ1 (n + 1)K [ ] 3/ [ M = R 3 n 1 n (n + 1)K 4πG 4π 4πG (n + 1)K [ ] n [ M = R 3 n 1 n (n + 1)K n 1 n+1 4π ξ n 1 1 θ 4πG ξ ξ 1 ] ] ξ=ξ 1 ξ=ξ 1 ] n } 3 n n [ 1 n ξ θ ξ ] 3 n [ n n+1 ξ n 1 1 θ ξ και μέσα από αυτήν τη σχέση, συγκρατώντας ότι για μη ρελατιβιστικά φερμιόνια ισχύει n = 3/, καταλήγουμε στο σπουδαίο συμπέρασμα ότι ] ξ=ξ 1 M = R 3 const. MR 3 = const. Δηλαδή ένα αστρικό σώμα, όπως ο λευκός νάνος, συρρικνώνεται, όσο αυξάνεται η μάζα του. ] ] ξ=ξ 1 ξ=ξ 1 8
Αντίστοιχα, για πλήρως ρελατιβιστικά φερμιόνια, για τα οποία ισχύει n = 3, ισχύει ότι M = R const. M = const. Δηλαδή, ένα αέριο εκφυλισμένων πλήρως ρελατιβιστικών φερμιονίων έχει μάζα που δεν εξαρτάται από την ακτίνα της σφαίρας, στην οποία εγκλωβίζεται. Το συμπέρασμα αυτό προφανώς δεν δείχνει ότι ένας λευκός νάνος μπορεί να συρρικνωθεί όσο θέλει, αλλά αντιθέτως ότι υπάρχει μία μάζα που όταν την υπερβεί, το σύστημα πλέον δεν μπορεί να υποστηριχθεί από την φυσική που μόλις αναπτύξαμε. 9
.9 Τιμές μάζας - ακτίνας Παρόλο που οι δυνατότητες που έχουμε μέσω της εξίσωσης Lane - Emden είναι πολλές, μπορούν να βρεθούν αριθμητικές τιμές για την μάζα και την ακτίνα ενός λευκού νάνου και με πιο απλούς τρόπους. Η ενέργεια ενός αερίου εκφυλισμένων ηλεκτρονίων είναι ίση με U = V 1 4πg (mc ) 4 8 (π) 3 ( c) 3 Με απλοποιήσεις προκύπτει U = V mc 1 ( c) 3 8π (mc ) 3 U = V k 3 F mc 1 ( k F c) 3 (mc ) 3 [ x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F [ ] x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F 8π U = V 3π n mc 1 U = 3π N mc 1 x 3 F x 3 F [ ] x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F 1 8π 1 8π [ x F (x F + 1) [ x F (x F + 1) ]. x F + 1 arcsinh x F ] x F + 1 arcsinh x F Εάν διαιρέσουμε την εσωτερική ενέργεια με την ποσότητα N mc, έχουμε μία νέα συνάρτηση U = 1 [ ] 3 x x 3 F (x F + 1) x F F 8 + 1 arcsinh x F. Μία αντίστοιχη διαδικασία μπορούμε να ακολουθήσουμε και για τη βαρυτική ενέργεια σώματος στο δικό του βαρυτικό δυναμικό. Συγκεκριμένα, είναι Όμως, για την μάζα Μ ισχύει U grav = U grav = M = r R R V grav dm GM r 4πr ρdr dm και αν υποθέσουμε ότι η πυκνότητα παραμένει σταθερή, τότε Επομένως, η βαρυτική ενέργεια είναι M = 4 3 πr3 ρ. R U grav = 4Gπr3 ρ 4πr ρdr 3r U grav = 3 GM 5 R 3 ]
και διαιρώντας και τη βαρυτική ενέργεια με την πόσοτητα Nmc, βρίσκουμε U grav = 3 ( ) ( ) GM M 5 Rc N e m e U grav = 3 ( ) ( ) GM Nn m n 5 Rc N e m e U grav = 3 ( ) ( GM A Nm ) Z n 5 Rc Nm e U grav = 3 ( ) ( GM A Nm ) Z n 5 Rc Nm e U grav = 3 ( ) ( ) GM mn. 5 Rc Y m e Έχουμε καταλήξει, επομένως, σε δύο εκφράσεις για την πυκνότητα ενέργειας εκφυλισμένου αερίου ηλεκτρονίων U deg = 1 [ ] 3 x x 3 F (x F + 1) x F F 8 + 1 arcsinh x F και την πυκνότητα βαρυτικής ενέργειας U grav = 3 5 ( ) ( GM mn Rc Y m e Στο σημείο αυτό, λόγω του εξαιρετικά μεγάλου εύρους στις τιμές των σταθερών του προβλήματος, μας διευκολύνει η εισαγωγή βαθμωτών μεγεθών, τα οποία αποτελούν μoνάδες μέτρησης για το υπόλοιπο πρόβλημα. Συγκεκριμένα, για την μεταβλητή x F έχουμε ( ) 3 ( ) 3 c c x 3 F = k 3 = 3π n m e c m e c ( ) 3 c x 3 F = 3π N ( ) 3 Z M c m e c V = 3π A m n m e c 4 3 πr3 ( ) ( ) ( ) 3 9πY M c x 3 mc F = 4 R m n Εισάγουμε, στη συνέχεια, τις νέες μεταβλητές ). M = MM και R = RR, όπου το μέγεθος M έχει διαστάσεις μάζας και το R διαστάσεις απόστασης. Αντικαθιστώντας, βρίσκουμε ( ) ( ) ( ) 3 9πY c x 3 M mc F = M 4 m n R R 3 31
και U grav = 3 5 Θέτοντας τώρα τις σύνθετες εκφράσεις ( ) ( ) GM mn R c Y m e M R. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 GM mn 9πY c M mc = = 1, 5 R c Y m e 4 m n R δικαίωμα το οποίο έχουμε, δεδομένου ότι οι M και R είναι αυθαίρετες σταθερές, προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων με λύσεις και M = 5 R = 5π 3 ( ) 3/ ( ) c Y G m n 15π 3 cg Y m e m n Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών και θέτοντας Y = 1/, βρίσκουμε τα χαρακτηριστικά μεγέθη M = 5, 755 1 3 kg =, 65M και R = 8.65km Η συνολική πυκνότητα ενέργειας είναι U total = U grav + U deg U total = M R + 3 8x 3 F U total = M /3 ( M R 3 ) 1/3 + 3 U total = M 3 x F + 3 8x 3 F [ ] x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F [ x 8x 3 F (x F + 1) F [ x F (x F + 1) x F + 1 arcsinh x F ]. x F + 1 arcsinh x F Ελαχιστοποιώντας την ενέργεια αυτή, μπορούμε να βρούμε το σημείο ισορροπίας της ενέργειας και επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση της ρίζας της εξίσωσης ( ) Utotal =. x F Η σχέση αυτή μας δίνει μία μονοσήμαντη σχέση μεταξύ της μεταβλητής x F και της μάζας M. Η παράγωγος, όμως, της ενεργειακής πυκνότητας είναι μία σύνθετη συνάρτηση του x F και η εύρεση της κάθε ρίζας αποδεικνύεται ιδιαίτερα χρονοβόρα. Για το λόγο αυτό, λύνουμε το πρόβλημα με χρήση της Mathematica. Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές των x F, M και R. M ] 3
x F M(M ) R(km) x F M(M ) R(km).1.38768 1.893.6 1.4437.7865..17941 14.8343.7 1.45966.61791.3.193316 1.98.8 1.47436.5386.4.87658 1.833.9 1.4879.4599.5.38573 9.7156 3 1.544.37786.6.483546 8.15135 3.1 1.513.376.7.57841 7.4168 3. 1.577.45.8.668511 6.8153 3.3 1.5374.1779.9.75758 6.981 3.4 1.541.11731 1.83671 5.85748 3.5 1.5564.665 1.1.9154 5.47355 3.6 1.55868.686 1..967377 5.13553 3.7 1.56619 1.95576 1.3 1.667 4.83543 3.8 1.5731 1.9713 1.4 1.845 4.56711 3.9 1.57978 1.8681 1.5 1.1917 4.3576 4 1.58594 1.81665 1.6 1.1739 4.1755 4.1 1.5917 1.77449 1.7 1.135 3.9933 4. 1.59715 1.7341 1.8 1.4948 3.7853 4.3 1.66 1.69568 1.9 1.834 3.563 4.4 1.677 1.6588 1.311 3.419 4.5 1.6116 1.6346.1 1.33938 3.777 4.6 1.61588 1.58957. 1.36413 3.141 4.7 1.6199 1.5574.3 1.38674 3.114 4.8 1.6373 1.558.4 1.474.9957 4.9 1.6735 1.49577.5 1.4633.8566 5 1.6377 1.46688 Από τον πίνακα, συμπεραίνουμε πως όσο προχωράμε σε μεγαλύτερες ταχύτητες, τόσο η μάζα πλησιάζει μία σταθερή τιμή, την οποία δεν μπορεί να υπερβεί. Στο όριο x F, η μάζα παραμένει πεπαρασμένη και έχει τιμή M οριακή =, 649519, 65M = 1, 7M Προφανώς, το όριο αυτό είναι εσφαλμένο, κάτι που οφείλεται στην εμφανώς λανθασμένη υπόθεση μας ότι η πυκνότητα είναι σταθερή. 33
Η μάζα του αστέρα συναρτήσει της μεταβλητής x F Η μάζα του αστέρα συναρτήσει της ακτίνας R 34
.1 Υπολογιστική επίλυση Μία πιο ακριβής τιμή για την οριακή μάζα Chandrasekhar, αλλά και γενικότερα μία πιο ακριβής πρόβλεψη της μάζας ενός λευκού νάνου μπορεί να γίνει μέσω της αριθμητικής επίλυσης της εξίσωσης Lane - Emden, αφού αναλυτικές λύσεις δεν υπάρχουν. Λύνουμε, επομένως, τις διαφορικές εξισώσεις ( 1 ξ θ ) = θ 3/ και ξ ξ ξ ( 1 ξ θ ) = θ 3, ξ ξ ξ με την βοήθεια της Mathematica. Είναι και οι δύο δεύτερης τάξης. Συνεπώς, χρειάζονται δύο αρχικές συνθήκες, ώστε να βρούμε μία ακριβή λύση. Οι αρχικές συνθήκες βρίσκονται προσεγγίζοντας την λύση θ(ξ), στο σημείο μηδέν με ένα πολυώνυμο της μορφής θ trial = 1 ξ 6 + nξ4 1 Στη συνέχεια, εξετάζουμε ξεχωριστά τη μη σχετικιστική και τη σχετικιστική περίπτωση. 1. Μη σχετικιστική περίπτωση Για ξ =, 1, οι αρχικές συνθήκες για τη μη σχετικιστική περίπτωση είναι θ non rel =.999 και θ non rel =.3 Ο μοναδικός τρόπος να απαραστήσουμε τις αριθμητικές λύσεις είναι γραφικά. Για τη μη σχετικιστική περίπτωση η λύση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Λύση της εξίσωσης Lane-Emden για n = 3/ Όπως έχουμε δείξει σε προηγούμενη παράγραφο, η μάζα πλέον είναι ίση με ξ1 M = 4πa 3 3/ρ c ξ θ 3/ dξ. 35
Συνεπώς, για να προσδιορίσουμε τη μάζα ενός λευκού νάνου στη μη σχετικιστική περίπτωση, χρειάζεται να υπολογίσουμε τη σταθερά a 3/ = a non rel και το ολοκλήρωμα ξ1 ξ θ 3/ dξ Πρώτα υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα. Το ξ 1 υπολογίζεται μέσω της εντολής FindRoot και είναι ίσο με ξ 1,non rel = 3, 653 Στο παρακάτω σχήμα αναπαριστάται το ζητούμενο ολοκλήρωμα για τιμές του ξ 1 στο διάστημα [, 3.653]. Τελικώς, προκύπτει ίσο με ξ1,non rel Η σταθερά a non rel είναι ίση με όπου και Αντικαθιστώντας τις σταθερές ξ θ 3/ dξ = a non rel = 3,653 [(n + 1)Kρ 1 n n 4πG K = K non rel = 1 ( Z (3π ) 3/ 5 m e A n = n non rel = 3/. = 6, 66 1 34 m e = 9, 1 1 31 ξ θ 3/ dξ =, 714. ] 1/, m n = 1, 67 1 7 Z A = 1 G = 6, 674 1 11 36 1 m n ) 5/3
προκύπτει και K non rel = 3, 1493 1 6 a non rel = 9, 65144 17 Συνεπώς, η μάζα στη μη σχετικιστική περίπτωση εξαρτάται από την κεντρική πυκνότητα και είναι ίση με M = 3, 66 1 5 ρ c Όπως έχουμε ήδη δείξει, όμως, η πυκνότητα εξαρτάται από τη μεταβλητή x F, μέσω της σχέσης ρ = A ( ) Z m 1 me c 3 n x 3 3π F c ρ 1/6 c και εφόσον ζητούμε την κεντρική πυκνότητα, ισχύει ρ c θ n = A ( Z m 1 me c n 3π c ρ c 1 = A ( Z m 1 me c n 3π c ρ c = A ( Z m 1 me c n 3π c ) 3 x 3 F ) 3 x 3 F ) 3 x 3 F. Τελικώς, έχουμε M = 1, 31986 1 3 x 3 F. Μία εξίσου κομψή σχέση προκύπτει και για την ακτίνα R = 9.96567 16 xf Μερικές τιμές της μάζας και της ακτίνας για διάφορες τιμές του x F δίνονται στον παρακάτω πίνακα. x F M(M ) R(km) x F M(M ) R(km).1.983 31514.6.38388 1865..593494 83.7.388614 11911.3.193 18194.8.474795 1114.4.167865 15757.9.566546 154.5.34599 1493 1.663546 9965 37
. Σχετικιστική περίπτωση Για την σχετικιστική περίπτωση ακολουθούμε ακριβώς την ίδια διαδικασία, όπως και πριν. Οι αρχικές συνθήκες προκύπτουν και πάλι με προσέγγιστη της θ(ξ) με την θ trial = 1 ξ 6 + nξ4 1, αυτήν τη φορά για n = n rel = 3, στο σημείο ξ =, 1. Το αποτέλεσμα είναι θ rel =.999 και θ rel =.3 Τη λύση, μπορούμε και πάλι να την αναραστήσουμε μόνο γραφικά, όπως και δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Λύση της εξίσωσης Lane-Emden για n = 3 Στην συνέχεια ζητούμε και πάλι να υπολογίσουμε τη μάζα ξ1,rel M = 4πa 3 3ρ c ξ θ 3 dξ, για την οποία χρειαζόνται η σταθερά a 3 = a rel και το ολοκλήρωμα ξ1,rel ξ θ 3 dξ. To ξ 1,rel βρίσκεται και αυτό με τον βοήθεια της εντολής FindRoot και είναι ίσο με ξ 1,rel = 6, 896. Το ολοκλήρωμα αναπαριστάται στο παρακάτω διάγραμμα στο διάστημα ξ [, 6.896], 38
όπου σχεδόν φαίνεται η ακριβής τιμή του που είναι ξ1,rel ξ θ 3 dξ = 6,896 ξ θ 3 dξ =, 183. Αντίστοιχα, η σταθερά a r el είναι ίση με ] [(3 + 1)K rel ρ 1 3 1/ 3 a rel =, 4πG όπου και προκύπτει ότι K rel = 1 4 c 3 3π ( Z A a rel = 1 m n ) 4/3 K rel = 4, 8951 1 9 4, 8957 19. ρ 1/3 c Τελικώς, η μάζα είναι ίση με [ ] 3 4, 8957 1 9 M = 4π ρ c, 183 ρ 1/3 c M = 4π[4, 8957 1 9 ] 3 [ M =, 85699 1 3 kg M = 1, 44M 1 ρ 1/3 c ] 3 ρ c, 183 Υπολογίσαμε, επομένως, το όριο Chandrasekhar και είναι σημαντικό να σχολιάσουμε πως, ενώ η μάζα που προκύπτει είναι σταθερή και ανεξάρτητη της παραμέτρου x F, αντίθετα η ακτίνα διατηρεί την εξάρτηση της από τη x F. Αυτό φαίνεται και από την σχέση R = a rel ξ 1,rel R =, 6645 17 x F. 39
Προφανώς, καταλήγουμε σε άτοπο. Θεωρητικά, η x F μπορεί να τείνει στο άπειρο και έτσι η ακτίνα να τείνει στο μηδέν, συμπεραίνοντας ότι δεν μπορεί να υπάξει λευκός νάνος με μάζα μεγαλύτερη από 1, 44M. 4
.11 Μέθοδος Runge - Kutta Η αριθμητική ανάλυση, σήμερα, είναι εξαιρετικά χρήσιμη στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Μέχρι τώρα, καταφέραμε και υπολογίσαμε τη μάζα και την ακτίνα ενός λευκού νάνου είτε για μεμονωμένες περιπτώσεις, είτε βάσει ανεδαφικών προσεγγίσεων. Με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης, έχουμε τη δυνατότητα εύρεσης της μάζας και ακτίνας για οποιαδήποτε περίπτωση. Υπάρχει, όμως, και ένα τίμημα, το σφάλμα που εισέρχεται στους υπολογισμούς μας. Ανακαλώντας την πρώτη παράγραφο του κεφαλαίου αυτού, είχαμε βρει πως η υδροστατική ισορροπία εκφράζεται από την εξίσωση Παρεμβαίνοντας στην παραγώγιση, βρίσκουμε Η πίεση όμως είναι γνωστή P (x F ) = 4πg (m e c ) 4 (π) 3 ( c) 3 ( x 3 F 3 dp dr = GM(r)ρ(r) r dp dr = dp dx F dx F dr dp dr = η d F dr dx F dr = 1 η dp dr. και η παράγωγος παίρνει την απροσδόκητα κομψή μορφή x F + 1 1 ) (x F + 1) x F 8 + 1 arcsinh x F F η = dp dx F = 4πg (m e c ) 4 (π) 3 ( c) 3 x 4 F 3 1 + x F. Αντικαθιστώντας την πυκνότητα ρ = m n 3π Y (m e c ) 3 ( c) 3 x3 F και θέτοντας g =, βρίσκουμε dx F dr = GM(r) m n r 3π Y (m e c ) 3 ( c) 3 x3 F ( c) 3 1 + x F (m e c ) 4 3π x 4 F dx F dr = GM(r) m n 1 + x F r c Y m e x F Η παράσταση αυτή μας είναι γνώριμη, διότι εάν εισάγουμε δύο νέες μεταβλητές M = MM και r = rr, 41
έχουμε Έπειτα από αντικατάσταση, καταλήγουμε στην [ dx F 3 dr = 5 3 5 dx F dr = dx F dr dr dr = 1 dx F R dr. ( ) ( GM mn R c Y m e και υπολογίζουμε τη μάζα μέσω της κλασσικής σχέσης dm dr = 4πr ρdr m n dm dr = 4πr 3π Y d(m M) dr dr dr = 4πr R m n 3π Y m n (m e c ) 3 ( c) 3 x3 F )] M 1 + x F r x F (m e c ) 3 ( c) 3 x3 F M dm R dr = 4πr R (m e c ) 3 3π Y ( c) 3 x3 F dm ( ) ( ) ( ) 4 dr = mn me c 3 R r x 3 F 3πY M c dm ( ) ( ) ( ) c 3 1 dr = 3 9πY M m e c r x 3 F 4 m n R Συνεπώς, προκύπτει το σύστημα διαφορικών εξισώσεων dx F dr = 5 M 1 + x F 3 r x F dm dr = 3 r x 3 F Το σύστημα αυτό αποτελεί ένα πρόβλημα, πιο σύνθετο στη λύση του και από τις δύο περιπτώσεις που ήδη συναντήσαμε. Μία μέθοδος με την οποία μπορούμε να λύσουμε το σύστημα είναι η Runge - Kutta. Σύμφωνα με την μέθοδο αυτή, εάν έχουμε y = f(x, y) και y(x ) = y τότε η γραφική αναπαράσταση της λύσης μπορεί να βρεθεί απο σημείο σε σημείο σύμφωνα με τη σχέση y n+1 = y n + h 6 (k 1 + k + k 3 + k 4 ), 4
όπου k 1 = f(x n, y n ) k = f(x n + h, y n + h k 1) k 3 = f(x n + h, y n + h k ) k 4 = f(x n + h, y n + hk 3 ) και h είναι το βήμα με το οποίο προχωρούμε από σημείο σε σημείο. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται παρακάτω. x F M(M ) R(km) x F M(M ) R(km).1.1659 31.5158.7 1.3587 5.3118..68.611.8 1.5337 5.1876.3.1866 18.147.9 1.6637 5.7581.4.161878 15.6544 3 1.8493 4.9611.5.13718 13.9466 3.5 1.14566 4.4781.6.7875 1.696 4 1.1911 4.8135.7.33769 11.718 4.5 1.57 3.763.8.395148 1.8761 5 1.5546 3.4845.9.4544 1.34 6 1.3664 3.5411 1.5388 9.63413 7 1.3414.7161 1.1.55347 9.13388 8 1.3647.459 1..6678 8.694 9 1.37347.477 1.3.646558 8.376 1 1.38965.56 1.4.68663 7.95311 1 1.438 1.77934 1.5.76118 7.6489 14 1.4119 1.56199 1.6.76441 7.3554 16 1.4199 1.3994 1.7.797456 7.9493 18 1.41988 1.595 1.8.89811 6.86119 1.499 1.1558 1.9.856331 6.6363 3 1.43.79971.887359 6.4476 4 1.43.61565.1.9196 6.415 5 1.43447.49919..93595 6.6338 6 1.4356.419779.3.958433 5.8976 7 1.4363.36854.4.97779 5.7873 8 1.43685.31947.5.998743 5.58469 9 1.4371.84539.6 1.149 5.44669 1 1.4371.56939 43
Μάζα του λευκού νάνου συναρτήσει της ακτίνας R Οριακές σχετικιστικές και μη σχετικιστικές περιπτώσεις 44
3 Συνέπεις της ηλεκτρομαγντικής αλληλεπίδρασης 3.1 Κυψελίδα Wigner - Seitz Το ηλεκτρικό φορτίο είναι ένα αναπόσπαστο κομμάτι της φύσης και η συμμετοχή του είναι σημαντική, σε οτιδήποτε γύρω μας. Μέχρι τώρα διερευνήσαμε τη φύση ενός λευκού νάνου ξεκινώντας από την υπόθεση ενός αφόρτιστου Fermi gas. Υπάρχει όμως το εξής παράδοξο. Χωρίς φορτίο, τα πρωτόνια και οι πυρήνες είναι ελεύθεροι να συσσωρευθούν στο κέντρο και εκεί να καταρρεύσουν βαρυτικά, με αποτέλεσμα έναν αστέρα νετρονίων ή μία μαύρη τρύπα. Ο πιο απλός τρόπος να εισάγουμε το ηλεκτρικό φορτίο στους υπολογισμούς μας είναι με την υπόθεση μίας κυψελίδας Wigner - Seitz. Σχηματική αναπαράσταση πλήθους κυψελίδων Wigner-Seitz Η κυψελίδα αυτή αποτελείται από ένα θετικό ιόν στο κέντρο και μία σφαρική ομογενή κατανομή ηλεκτρονίων που το περιβάλλει. Η ουδετερότητα εξασφαλίζεται μέσω της συνθήκης Z = n e V ws Η συνολική ενέργεια είναι αποτέλεσμα δύο συνιστωσών, των E e N και E e e. Η πρώτη είναι λόγω της αλληλεπίδρασης μεταξύ του θετικού ιόντος και της ομογενούς κατανομής ηλεκτρονίων, ενώ η δεύτερη είναι λόγω της αλληλεπίδρασης των ηλεκτρονίων μεταξύ τους. Η E e N υπολογίζεται εύκολα και είναι ίση με E e N = E e N = Rws Rws Q ion r dq Ze r 4πr n e ( e)dr E e N = 4πZe n e R ws. 45
Επειδή, όμως, ισχύει προκύπτει η κομψή έκφραση n e = Z V ws = Z 4 3 πr3 ws E e N = 3 Z e. R ws Αντίστοιχα για την E e e, βρίσκουμε ότι Όμως, ισχύει και έτσι Q e = E e e = r Rws Q e r dq. 4πr n e dr = 4 3 πr3 n e Rws 3 E e e = πr3 n e 4πr n e dr r E e e = (4πn e) Rws 5 3 5. Αντικαθιστώντας και πάλι την πυκνότητα n e, βρίσκουμε 4 E e e = 3 Z e. 5 R ws Επομένως, η συνολική ενέργεια λόγω ηλεκτρικού πεδίου είναι και προκύπτει ότι E C = E e N + E e e E C = 9 Z e 1 R ws U lattice = E unif V ws + E C. Η πίεση υπολογίζεται και πάλι από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο P = E total V P = E unifv ws V E C V P = P unif E C V P = P unif + 9 Z e V 1 R ws P = P unif + 9 1 Z e V P = P unif 1 9 3 1 P = P unif + 1 3 46 E C V ws Z e av 1/3 ws V ws 1 av 1/3 ws
Συνυπολογίζοντας την ηλεκτρομαγνητική αλληεπίδραση, συμπεραίνουμε πως εισέρχεται μία ενεργειακή διόρθωση, η οποία έχει αρνητικό πρόσημο και ενισχύει την βαρυτική κατάρρευση. Άρα ελαττώνεται και το όριο Chandrasekhar. Η ακτίνα της κυψελίδας καθορίζεται από την συνθήκη και, αντίστοιχα, ο όγκος της είναι Συνεπώς, η συνολική πίεση είναι όπου θυμίζουμε ότι n ws = 1 = 3 V ws ( 3 R ws = 4πn ws ( ) 1/3 3Z R ws = 4πn e ( 3Z R ws = 4π k3 F 3π ( 9πZ R ws = 4 V ws = Z n e = 3π Z P = P unif 1 9 Z e 1 3 1 R ws V [ ws ( P = P unif 3 4 1 Z e 9πZ P = P unif 1 ( ) 1 4 3 Z 1π 3 e 9π P unif = 4πg (m e c ) 4 (π) 3 ( c) 3 [ x 3 F 3 4πRws 3 ) 1/3 ) 1/3 ) 1/3 c m e c 1 x F ( ) 3 c 1. m e c x 3 F ) 1 3 me c c x F ( me c c ] [ ) 4 x 4 F, 1 3π Z ( me c c ) 3 x 3 F x F + 1 1 ( )] x F (x F + 1) x F 8 + 1 arcsinh x F. Με τον ίδιο τέχνασμα, όπως και στην περίπτωση του αφόρτιστου Fermi gas, δηλαδή dp dx F dx F dr = GMρ r, και με τις ίδιες μονάδες μέτρησης, όπως και προηγουμένως βρίσκουμε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων M =, 65M και R = 8, 65km, dm dr = 3r x 3 F 47 ]
και [ dx F dr = 5 M 3 r [ dx F dr = 5 M 3 r x F x F + 1 1 1 x F x F + 1 1 1 ( ) ] 1/3 1 4 e 9π c Z/3 ( ) 1/3 4 1 9π 137 Z/3 ] 1. Από την τελευταία εξίσωση, όμως, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση μίας κυψελίδας με σταθερή πυκνότητα, η διόρθωση που εισάγεται είναι η ίδια για λευκό νάνο οποιασδήποτε μάζας. Επομένως, το συγκεκριμένο μοντέλο χρειάζεται κάποια επιπλέον διόρθωση. 48
3. Η προσέγγιση Salpeter Μία βελτίωση στο μοντέλο της κυψελίδας Wigner - Seitz είναι η προσέγγιση Salpeter. Σύμφωνα με αυτή, υποθέτουμε πως η ηλεκτρονιακή πυκνότητα σε μία κυψελίδα δεν είναι ομογενής, αλλά δίνεται από την σχέση n(r) = n e [1 + ε(r)]. Ένα ηλεκτρόνιο μέσα στην κυψελίδα, αγνοώντας τον όρο ε(r) βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού V (r) = Ze r Ze ) (3 r, R ws το οποίο μπορεί να βρεθεί μέσα από εφαρμογή του νόμου Gauss. Η κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου είναι πλέον ϵ k = p F (r)c + m ec 4 m e c ϵ k = c (3π n e ) /3 (1 + ε) /3 + m ec 4 m e c. R ws Κάνοντας ανάπτυγμα γύρω από την αδιατάρακτη τιμή της κινητικής ενέργειας ϵ unif k = c (3π n e ) /3 + m ec 4 m e c και κρατώντας όρους μέχρι πρώτης τάξης, βρίσκουμε ϵ k = p F c + m ec 4 m e c + 1 p F c 3 p F c + m ec ε(r). 4 Προσδιορίζουμε, στη συνέχεια, την ε(r) υποθέτοντας ότι p F c + m ec 4 m e c + 1 p F c ε(r) = b + ev (r). 3 p F c + m 4 ec Παρόλο που στο μοντέλο αυτό υποθέτουμε μη σταθερή κατανομή του ηλεκτρικού φορτίου, περιμένουμε πως η συνολική ποσότητα του, σε μία κυψελίδα, παραμένει σταθερή. Επομένως, Rws Rws 4πr n(r)dr = 4πr ε(r) = Rws 4πr n e dr και μέσα από την σχέση αυτή βρίσκουμε την ακριβή τιμή της σταθεράς b, b = p F c + m ec 4 m e c 3 1 Ze. Τελικώς, βρίσκουμε μία αναλυτική σχέση για την διαταραχή ε(r), ε(r) = 3 1 p F c + m ec 4 p F c 49 5r 3 18rRws + 1Rws 3. rrws 3
Έχοντας μία αναλυτική σχέση, μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε τις ενεργειακές διορθώσεις λόγω μη σταθερής κατανομής του ηλεκτρικού φορτίου. Η επιπλέον δυναμική ενέργεια είναι η οποία προκύπτει Rws 4πr n(r)v (r)dr Rws 4πr n e V (r)dr, Rws 4πr n e V (r)ε(r)dr = 43π 175 Με χειραγώγιση των μεταβλητών μέσω των σχέσεων n e = p F c + m ec 4 p F c n e R ws Z e 4. ( ) 1/3 p3 F 3Z και R 3π 3 ws = 4πn e βρίσκουμε πως η ενέργεια αυτή είναι τελικά ίση με E 1 = 34 ( ) /3 4 e 4 175 9π c Z7/3 p F c + m ec 4. Αντίστοιχα, η διόρθωση στην κινητική ενέργεια είναι ( ) Rws 4πr 1 1 p F c 3 p F c + m ec ε(r) n(r)dr 4 που ισούται με Rws p F c Rws 4πr 1 6 p F c + m ec 4 ε (r)dr = 16π 175 και αλλάζοντας πάλι τις σταθερές έχουμε ( ) 4πr 1 1 p F c 3 p F c + m ec ε(r) n e dr, 4 p F c + m ec 4 p F c n e R ws Z e 4 E = 16 ( ) /3 4 e 4 175 9π c Z7/3 p F c + m ec 4. Η συνόλικη ενεργειακή διόρθωση είναι γνωστή ως ES T F = E 1 + E = 16 ( ) /3 4 e 4 175 9π c Z7/3 p F c + m ec 4, όπου τα αρχικά ΤF είναι προς τιμήν των Thomas και Fermi. Στο μοντέλο αυτό, η συνολική ενέργεια μίας κυψελίδας Wigner - Seitz είναι την οποία περιμένουμε να είναι πιο ακριβής. U = E unif V ws + E C + E T F S, 5
3.3 Πίεση στην προσέγγιση Salpeter Η διόρθωση που εισάγεται στην πίεση είναι PS T F = ET S F V PS T F = 16 ( ) /3 4 e 4 175 9π c Z7/3 p F V c + m ec 4 PS T F = 16 ( ) /3 4 e 4 1 p 175 9π c Z7/3 F c 3V ws p F c + m ec 4 PS T F = 1 ( ) /3 16 4 e 4 3V ws 175 9π c Z7/3 m e c x x + 1 [ PS T F = 1 ( ) ] 1 me c 3 ( ) /3 x 3 16 4 e 4 3 3π F Z c 175 9π c Z7/3 m e c x x + 1 PS T F = 1 ( ) (m e c ) 4 /3 16 4 e 4 x 5 9π ( c) 3 175 9π c Z4/3 x + 1 Συνεπώς, η συνολική πίεση είναι P = P unif + P C + P T F S, όπου οι P C και P unif ορίστηκαν σε προηγούμενες παραγράφους. 51
3.4 Αριθμητκή επίλυση στην προσέγγιση Salpeter Αυτήν την φορά το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που θέλουμε να λύσουμε υπολογιστικά είναι dm dr = 3r x 3 F όπου G 3 = 5 3 16 ( 4 175 9π ) /3 ( e c dx F dr = 5 3 G 1 = M r [G 1 + G + G 3 ] 1 x F x F + 1 ( ) 1/3 4 e 9π G = 1 1 ) Z 4/3 x F x F + 1 + 1 3 16 175 c Z/3 ( 4 9π ) /3 ( e c ) Z 4/3 x 3 F (x F + 1)3/ και πλέον παρατηρούμε ότι η διόρθωση, λόγω ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης, εξαρτάται από την μεταβλητή x F. Στα παρακάτω διαγράμματα, λύνουμε υπολογιστικά το σύστημα διαφορικών εξισώσεων για διάφορες τιμές του Z σε σύγκριση με το αφόρτιστο αέριο Fermi. Μάζα συναρτήσει της απόστασης σε αφόρτιστο και φορτισμένο αέριο Fermi με Z = 6 5