ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 27 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο απειροστικός λογισμός αποτελείται από το διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό. Η μαθηματική ανάλυση θεμελιώνεται στις έννοιες του συστήματος των πραγματικών αριθμών και των πραγματικών συναρτήσεων. Οι πραγματικοί αριθμοί συμβολίζονται με R.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποσύνολα πραγματικών αριθμών Φυσικοί αριθμοί Ν={1, 2, 3, }. Ακέραιοι αριθμοί Ζ={x-y: x, y Ν}={ -2, -1, 0, 1, 2, }. Ρητοί αριθμοί Q = {p/q: p, q Z}. Άρρητοι αριθμοί R Q. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από ρητούς και άρρητους αριθμούς.
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ R Σε κάθε δύο αριθμούς α, β R οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αντιστοιχούν στους αριθμούς α+β και αβ που ονομάζονται άθροισμα και γινόμενο των α και β αντίστοιχα. Ιδιότητες: 1. Αντιμεταθετική: α+β=β+α & αβ=βα, α, β R. 2. Προσεταιριστική: α+(β+γ)=(α+β)+γ & α(βγ)=(αβ)γ, α, β, γ R. 3. Επιμεριστική: α(β+γ)=αβ+αγ, α, β, γ R.
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ R (2) 4. Για το μηδέν (0) και τη μονάδα (1) ισχύουν: α+0=0+α=α & α1=1α=α Ονομάζονται ουδέτερα ή ταυτοτικά και είναι μοναδικά. 5. α R- {0} υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός α, α+(-α)=(-α)+α=0 Ονομάζεται προσθετικός αντίστροφος ή αντίθετος, μοναδικός. 6. α R- {0} υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός α -1, α α -1 = α -1α =1 Ονομάζεται πολλαπλασιαστικός αντίστροφος ή αντίστροφος, μοναδικός.
ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ R (3) Οι αριθμοί α, β R δύο πραγματικοί αριθμοί με β 0 τότε η διαίρεση του α δια β ορίζεται με α/β=αβ -1. Ο αριθμός α/β=αβ -1 ονομάζεται και λόγος του α δια β ή πηλίκο ή κλάσμα και είναι μοναδικός. Η εξίσωση βx= α με β 0 α/β (μοναδική λύση). Το πηλίκο των α και β, αριθμός x ώστε α=βx. α/0 αδύνατο & 0/0 απροσδιόριστο. Ο αριθμός μηδέν δεν έχει αντίστροφο.
ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΟΥ R Ανισότητα: α μεγαλύτερος ή μικρότερος του β. Συμβολίζεται: α>β ή α<β. α β, μικρότερος του β, το α προηγείται του β ή ότι ο β έπεται. Ιδιότητες ( α, β, γ R): 1. Τριχοτομία: α>β, α=β, α<β. 2. Μεταβατική: α>β & β>γ α>γ, α β & β γ α γ 3. α β ή α β, α+γ β+γ ή α+γ β+γ. 4. α β, εάν γ>0 τότε αγ βγ και εάν γ 0 τότε αγ>βγ.
ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΟΥ R (2) Ένας αριθμός α 0: Θετικός, εάν α>0 Αρνητικός, εάν α 0 Μη αρνητικός, α 0 Μη θετικός, α 0. Ομόσημος, αβ>0 εάν α 0 και β 0 Ετερόσημος, αβ 0 εάν α>0 και β 0 Αν 0 α β, τότε (1/β) (1/α) Αν α β και γ δ, α+γ β+δ; α β+γ δ, α+γ β+δ
ΟΛΙΚΗ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΟΥ R (3) Διπλές ανισότητες: α < β β < γ α β β < γ α < β β γ α β β γ α < β < γ α β < γ α < β γ α β γ
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΤΟΥ R Αν α, β R, καθένα από τα παρακάτω σύνολα ονομάζεται διάστημα του R με άκρα τα α και β. [α, β] {x R, α x β} κλειστό διάστημα (α, β] {x R, α x β} κλειστό δεξιά διάστημα [α, β) {x R, α x β} κλειστό αριστερά διάστημα (α, β) {x R, α x β} κλειστό αριστερά διάστημα Μήκος: ο μη αρνητικός αριθμός β - α Μη φραγμένα ή απειροδιαστήματα: το ένα άκρο είναι το - ή το +. Για κάθε α R: Κλειστό άνω φραγμένο {x R, x α} (-, α] Κλειστό κάτω φραγμένο {x R, x α} [α, + ) Ανοικτό άνω φραγμένο {x R, x α} (-, α) Ανοικτό κάτω φραγμένο {x R, x>α} (α, + )
ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ Εάν Ι 1 και Ι 2 δύο μη κενά διαστήματα, η τομή τους Ι 1 Ι 2 είναι ένα διάστημα που μπορεί να είναι και εκφυλισμένο. Εκφυλισμένο διάστημα: α=β, και τα σύνολα (α, β)=ø και [α, β] = {β}. Εάν Ι 1 και Ι 2 δύο μη κενά διαστήματα με Ι 1 Ι 2 0, η ένωση τους Ι 1 Ι 2 είναι ένα διάστημα. Εάν Ι 1 και Ι 2 δύο διαστήματα, η διαφορά τους Ι 1 - Ι 2 ή Ι 2 - Ι 1 είναι ένα διάστημα.
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Συμβολίζεται με α και ορίζεται ως εξής: α αν α 0 α = α αν α < 0 Εκφράζεται και με τον κανόνα: x = x 2 α, β R ισχύουν τα ακόλουθα: α = 0 α = 0, α = α αβ = α β, α β = α β με (β 0) Τριγωνική ανισότητα: α + β α + β Εάν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α 0, α β α β, α β = β α
ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ R Ένα σύνολο ΧcΒ: i. Άνω φραγμένο ή φραγμένο από πάνω στο R όταν και μόνο όταν υπάρχει ένας αριθμός α τέτοιος ώστε x α, x Χ. Ο α είναι άνω φράγμα του Χ. ii. iii. Κάτω φραγμένο ή φραγμένο από κάτω στο R όταν και μόνο όταν υπάρχει ένας αριθμός β τέτοιος ώστε β x, x Χ. Ο β είναι άνω φράγμα του Χ. Φραγμένο στο R αν και μόνο αν είναι άνω και κάτω φραγμένο.
ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ ΤΟΥ R (2) Αν ΧcR και Μ R τότε ο Μ είναι ελάχιστο άνω φράγμα του Χ αν είναι ένα άνω φράγμα του και για κάθε άλλο άνω φράγμα Μ του Χ ισχύει: Μ Μ. Το Μ ονομάζεται και ανώτερο πέρας ή supremum του Χ στο R και γράφουμε Μ=supX=sup{x:x X}. Αν ΧcR και m R τότε ο m είναι μέγιστο κάτω φράγμα του Χ αν είναι ένα κάτω φράγμα του και για κάθε άλλο κάτω φράγμα m του Χ ισχύει: m m. Το m ονομάζεται και κατώτερο πέρας ή infimum του Χ στο R και γράφουμε m=infx=inf{x:x X}. Αν Χ Ø ένα άνω φραγμένο (κάτω φραγμένο) υποσύνολο του R τότε το Χ έχει supremum (infimum).
ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ R ε περιοχή ή ε γειτνίαση Ν(α, ε) ή Ν(α, ε)={x R: x a < ε. Εσωτερικό σημείο Μεμονωμένο σημείο Ανοικτό σημείο Το Ø και το R είναι ανοικτά σύνολα: Ένωση Τομή
ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΔΟΜΗ ΤΟΥ R (2) Σημείο συσσώρευσης: κάθε γειτνίαση του α περιέχει ένα τουλάχιστον σημείο του S διαφορετικό του α. Ιδιότητες: 1. Αν α είναι ένα σημείο συsσώρευσης του S, τότε κάθε γειτνίαση του α περιέχει απείρως πολλά σημεία του S. 2. Ένα σύνολο σημείων ScR ονομάζεται φραγμένο αν και μόνο αν είναι υποσύνολο ενός πεπερασμένου διαστήματος. 3. Θεώρημα Bolzano Weierstrass 4. Κλειστό σύνολο: περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσης. Τομή - Ένωση 5. Αν ScR είναι ένα ανοικτό σύνολο τότε το συμπλήρωμα του είναι R - S είναι κλειστό.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Για την πραγματική συνάρτηση f:x Y Πεδίο ορισμού D(f) = X Πεδίο τιμών R(f) = Y
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Για τις πραγματικές συναρτήσεις f και g και τα σταθερά λ R, ορίζονται οι εξής πράξεις: 1. Άθροισμα: (f+g)(x)= f(x)+g(x), x D(f) D(g) 2. Διαφορά: (f-g)(x)= f(x)-g(x), x D(f) D(g) 3. Γινόμενο: (fg)(x)=f(x)g(x), x D(f) D(g) 4. Βαθμωτό γινόμενο: (λf)(x)=λf(x) 5. Αντίθετη: λ=-1, -f=(-1)f 6. Πηλίκο: f g x = f(x) g(x) 7. Δύναμη k R: f k x = (f x ) k 8. Γραμμικός συνδυασμός: λ 1 f + λ 2 g x = λ 1 f x + λ 2 g(x)
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (2) Για τις συναρτήσεις f, g, h και x D(f) D(g) D(h), το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο πληρούν τις ιδιότητες: Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης: (f+(g+h))(x)=((f+g)+h)(x)=(f+g+h)(x)=f(x)+g(x)+h(x) Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού: (f(gh))(x)=((fg)h)(x)=(fgh)(x)=f(x)g(x)h(x) Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση: (f(g+h))(x)=(fg+fh)(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) Επιμεριστική ιδιότητα της πρόσθεσης ως προς τον πολλαπλασιασμό: ((f+g)h)(x) )=(fh+gh)(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x)
ΕΙΔΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ταυτοτική συνάρτηση: Ιχ(x)=x Πολυωνιμικές συναρτήσεις: f x = α 0 + α 1 x + + a n 1 x n 1 + a n x n = n i=0 Γραμμική συνάρτηση: το πολυώνυμο πρώτου βαθμού; f x = α 0 + α 1 x, με α 1 0. a i x i Ρητές συναρτήσεις: f x = α 0+α 1 x+ +a n x n β 0 +β 1 x+ +β m x m Άρρητες συναρτήσεις: συνάρτηση f στον τύπο της οποίας εκτελούνται πράξεις όπως πρόσθεση, πολλαπλασιασμός, ύψωση σε δύναμη. π.χ.: f x = 3x2 + x 5 3x 2 ή h x = 2 3x
ΤΜΗΜΑΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ονομάζονται οι συναρτήσεις που έχουν διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικά υποδιαστήματα, π.χ. οι συναρτήσεις: o f x = o g x = x για 0 x 1 2x 1 για 1 x 2 x x = 1 για x < 0 1 για x > 0 o h x = x2 3 για x < 1 2x για x 2