Μέρος Ι: Μονοβάθμια Συστήματα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Hellenic Open University Μέρος Ι: Μονοβάθμια Συστήματα Διδάσκων: Ε.Ι. Σαπουντζάκης Δυναμική των Κατασκευών 1

Περιεχόμενα 1. Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης. Ελεύθερες Ταλαντώσεις Μονοβαθμίων Συστημάτων 3. Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 4. Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 5. Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Σεισμική Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων 7. Γενικευμένα Μονοβάθμια Συστήματα

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 3

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Απλές Κατασκευές ι. Μονώροφα πλαίσια ιι. Υπερυψωμένη δεξαμενή ύδατος ιιι. Εξιδανικευμένη κατασκευή πέργκολας. Μονοβάθμιο Σύστημα ι. Στοιχείο Μάζας ιι. Στοιχείο Δυσκαμψίας ιιι. Στοιχείο Απόσβεσης Ο αριθμός των ανεξάρτητων μετατοπίσεων που απαιτείται για να καθοριστούν οι μετατοπισμένες θέσεις όλων των μαζών σε σχέση με την αρχική τους θέση καλείται αριθμός των βαθμών ελευθερίας (DOFs ή β.ε.) 4

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 3. Σχέση Δύναμης Μετατόπισης ι. Γραμμικώς ελαστικά συστήματα: s EI = 1EIc EI k = = 4 3 3 h h EI = 3EIc EIc k = = 6 3 3 h h α. b β. b Για ρεαλιστική τιμή της δυσκαμψίας της δοκού, η πλευρική δυσκαμψία του πλαισίου υπολογίζεται με γνωστές διαδικασίες Στατικής Ανάλυσης. «Μητρώο δυσκαμψίας πλαισίου με 3 β.ε. (u, φ 1,φ ) και στατική συμπύκνωση των στροφικών β.ε.» ιι. Ανελαστικά συστήματα: f = f ( uu, ) s s f = c ku 5

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 4. Δυναμική Απόσβεση ι. Ενεργειακή απώλεια από: α. Θέρμανση λόγω τριβής β. Τριβή στις μεταλλικές συνδέσεις γ. Άνοιγμα - κλείσιμο μικρορωγμών στο σκυρόδεμα δ. Τριβή μεταξύ δομικού σκελετού και μη δομικών στοιχείων όπως οι τοίχοι πλήρωσης Γραμμικός ιξώδης αποσβεστήρας: fd = cu 6

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 5. Εξίσωση της Kίνησης ι. Eξωτερική δύναμη μεταβάλλεται με το χρόνο (t): p = p( t) ιι. Ελαστική (ανελαστική) δύναμη αντίστασης: ιιι. Δύναμη απόσβεσης: ιv. Μετατόπιση της μάζας u = u( t) v. Ταχύτητα της μάζας u = u ( t) vι. Επιτάχυνση της μάζας u = u ( t) Χρήση του ου Νόμου του Νεύτωνα: p fs fd = mu ( ) mu + cu + f ( u, u ) = p t s f f s D 7

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 6. Σύστημα Μάζας Ελατηρίου - Αποσβεστήρα Το κλασικό μονοβάθμιο σύστημα είναι το σύστημα Μάζας Ελατηρίου- Αποσβεστήρα Με χρήση του ου Νόμου του Νεύτωνα ή της Αρχής D Alembert: ( ) mu + cu + f ( u, u ) = p t s 8

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 7. Εξίσωση Κίνησης: Σεισμική Διέγερση t Συνολική μετατόπιση της μάζας u ( Μετατόπιση του εδάφους ug ( t) Σχετική μετατόπιση u( t) ( ) = ( ) + ( ) t u t u t ug t t Εξίσωση της κίνησης: mu + cu + ku = t u ( t) g ( ) mu + cu + ku = mu t eff ( ) = ( ) p t mu t g 9

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 8. Εντατικά Μεγέθη Μελών Μετά τον προσδιορισμό της απόκρισης σε κάθε χρονική στιγμή μπορούν να προσδιοριστούν οι στροφές των κόμβων. 4 EI EI 6 EI 6 M = θ + θ + u EI u L L L L a a b a b 1 1 6 6 Va = EI u 3 a EI u EI EI 3 b + θ a + θ b L L L L M V ( ) u t Από τη γνωστή μετατόπιση και στροφή κάθε άκρου κάθε μέλους μπορούν να υπολογισθούν (M,Q) μέσω των συντελεστών δυσκαμψίας, ενώ οι τάσεις να εξαχθούν από τα εντατικά μεγέθη. Ομοίως, b b 1

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 9. Επαλληλίζοντας Στατική και Δυναμική Απόκριση ι) Για ένα γραμμικό σύστημα οι συνολικές δυνάμεις μπορούν να προσδιορισθούν επαλληλίζοντας τα αποτελέσματα δυο ξεχωριστών αναλύσεων : (1) Στατικής Ανάλυση «μόνιμα, κινητά φορτία...» () Δυναμική Ανάλυση «φορτία μεταβαλλόμενα στο χρόνο» ιι) Η ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων ΔΕΝ μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητες αναλύσεις. 11

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 9. Επαλληλίζοντας Στατική και Δυναμική Απόκριση ι) Για ένα γραμμικό σύστημα οι συνολικές δυνάμεις μπορούν να προσδιορισθούν επαλληλίζοντας τα αποτελέσματα δυο ξεχωριστών αναλύσεων : (1) Στατική Ανάλυση «μόνιμα, κινητά φορτία...» () Δυναμική Ανάλυση «φορτία μεταβαλλόμενα στο χρόνο» ιι) Η ανάλυση μη γραμμικών συστημάτων ΔΕΝ μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητες αναλύσεις. 1. Μέθοδοι Επίλυσης της Διαφορικής Εξίσωσης Διαφορική εξίσωση ας τάξης ( ) mu + cu + ku = p t Αρχική μετατόπιση Αρχική ταχύτητα u u ( ) ( ) 1

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 1. Μέθοδοι Επίλυσης της Διαφορικής Εξίσωσης ι. Κλασική λύση α. γενική λύση β. μερική λύση u c u p ιι. Ολοκλήρωμα Duhamel ιιι. Μέθοδοι στο πεδίο των συχνοτήτων α. μετασχηματισμός Laplace β. μετασχηματισμός Fourier ιv. Αριθμητικές μέθοδοι ( ) = ( ) + ( ) u t u t u t c p t 1 u( t) = p( τ) sin ωn ( t τ) dτ mω n ω n = k / m 1 iωt u( t) = H( ω) P( ω) e dω π iωt ( ω) = ( ) = ( ) P F p t p t e dt 13

Εξισώσεις Κίνησης και Μέθοδοι Επίλυσης 11. Παραδείγματα Προβλήματα ι. ιιι. ιι. ιv. 14

Ελεύθερες Ταλαντώσεις Μονοβαθμίων Συστημάτων 15

Ελεύθερες Ταλαντώσεις 1. Ελεύθερη Ταλάντωση Χωρίς Απόσβεση Θέτοντας mu + ku = p( t ) = η διαφορική εξίσωση ελεύθερης ταλάντωσης: με αρχικές συνθήκες: u ( ) u ( ) Η επίλυση ομογενούς διαφορική εξίσωση: ( ) u u( t) = u( ) cosωnt+ sinωnt ωn όπου ω n = k / m π Tn = ω n f n f n = 1/ T ωn = π n 16

Ελεύθερες Ταλαντώσεις. Ελεύθερη Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση mu + cu + ku = Διαιρώντας με τη μάζα m: c c u + ζωnu + ωnu = όπου ζ = = mω c Συντελεστής κρίσιμης απόσβεσης c = mω = k / ω cr n n Είδη κίνησης: ι. Απόσβεση ίση με κρίσιμη ιι. Απόσβεση μεγαλύτερη από κρίσιμη ιιι. Απόσβεση μικρότερη από κρίσιμη n cr 17

Ελεύθερες Ταλαντώσεις 3. Συστήματα με Απόσβεση Μικρότερη της Κρίσιμης Η λύση της εξίσωσης ελεύθερης ταλάντωσης με γνωστές αρχικές συνθήκες, για c<c cr είναι: ( ) ζω u( ) ωd = ωn 1 ζ ζω u + n u( t) = e t u( ) cosω n Dt+ sinωdt ωd Η ιδιοπερίοδος Τ D συνδέεται με την Τ n T D = T n 1 ζ 18

Ελεύθερες Ταλαντώσεις 3. Συστήματα με Απόσβεση Μικρότερη της Κρίσιμης Η πιο σημαντική επίδραση της απόσβεσης είναι ο ρυθμός μείωσης της ελεύθερης ταλάντωσης. Η σχέση μεταξύ του λόγου δύο διαδοχικών μεγίστων της αποσβενυμένης ελεύθερης ταλάντωσης u( t) ( + T ) u t D e n D = = e πζ ζω T 1 ζ 4. Ο λόγος απόσβεσης (ζ) προσδιορίζεται μέσω ΠΕΙΡΑΜΑΤΩΝ ελεύθερης ταλάντωσης 19

Ελεύθερες Ταλαντώσεις 5. Ενέργεια στην Ελεύθερη Ταλάντωση Η εισαγόμενη ενέργεια σε ένα μονοβάθμιο ταλαντωτή λόγω αρχικής μετατόπισης και ταχύτητας είναι: 1 1 EI = k u( ) + m u( ) Κινητική: E 1 s t k u Παραμόρφωσης Ελατηρίου: 1 ( ) = ( ) E ( ) ( ) k t = m u ( ) 1 u Es( t) = k u( ) cosωnt+ sinωnt ωn ( ) 1 u Ek ( t) = mωn u( ) sinωnt+ cosωnt ωn Η ολική ενέργεια είναι ανεξάρτητη του χρόνου και ίση με την αρχική.

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση + = sin ( ω ) με αρχικές συνθήκες: u ( ) u ( ) mu ku p t o Η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης: P ( ) po 1 u t = sin t k 1 / ( ω ω ) Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: u ( t) = Acos( ω t) + Bsin ( ω t) c n n Οι σταθερές Α,Β προσδιορίζονται θέτοντας τις αρχικές συνθήκες u t = u t + u t και τελικά ( ) ( ) ( ) ( ) c u po ω/ ω n po 1 u( t) = u( ) cos( ωnt) + sin ( ωnt) + sin ωt ωn k 1 ( ω/ ωn) k 1 ( ω/ ωn) P n ( ω ) ( ) Παροδική Μόνιμη

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση Η μόνιμη δυναμική απόκριση μπορεί να εκφραστεί ως: 1 u( t) = ( ust ) sin t 1 ( ω/ ωn ) ( ω ) Αγνοώντας τα δυναμικά φαινόμενα, η στατική παραμόρφωση κάθε χρονική στιγμή: po ust ( t) = sin ( ωt) k Μέγιστη τιμή: p ust = k ( ) o 3

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση 1 1 / n Ο όρος απεικονίζεται : ( ω ω ) Για ω/ω η <1 τα u και p έχουν το ίδιο πρόσημα. Οπότε η μετατόπιση είναι σε φάση με την επιβαλλόμενη δύναμη. Για ω/ω η >1 τα u και p έχουν αντίθετο πρόσημα. Οπότε η μετατόπιση είναι εκτός φάσης με την επιβαλλόμενη δύναμη. 4

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση Γωνία φάσης: o ω < ωn ϕ = o 18 ω > ωn Παράγων απόκρισης παραμορφώσεων (ή μετατοπίσεων): R d u = = 1 ( ust ) 1 ( ω/ ω ) n Για R d λίγο μεγαλύτερο από το 1 το εύρος δυναμικής παραμόρφωσης είναι ουσιαστικά το ίδιο με της στατικής. 5

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση Γωνία φάσης: o ω < ωn ϕ = o 18 ω > ωn Παράγων απόκρισης παραμορφώσεων (ή μετατοπίσεων): R d u = = 1 ( ust ) 1 ( ω/ ω ) n Η συχνότητα συντονισμού ορίζεται ως η επιβαλλόμενη συχνότητα για την οποία το R d μεγιστοποιείται. 6

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση Γωνία φάσης: o ω < ωn ϕ = o 18 ω > ωn Παράγων απόκρισης παραμορφώσεων (ή μετατοπίσεων): R d u = = 1 ( ust ) 1 ( ω/ ω ) n Για R d <1 το εύρος δυναμικής παραμόρφωσης είναι μικρότερο από της στατικής. 7

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Αρμονική Ταλάντωση Συστημάτων Χωρίς Απόσβεση ω = ω n o Για η μερική λύση είναι up( t) = ntcos( nt) k ω ω και για αρχικές συνθήκες ηρεμίας u ( ) u ( ) 1 p u t t t t k ω ω ω ( n n n ) ( ) = o cos( ) sin ( ) p η συνολική λύση είναι: ( ) 1 = cos sin ( ) u t π t π t π t ust Tn Tn Tn Το εύρος παραμόρφωσης αυξάνει επ αόριστον. «Συντονισμός» Ακαδημαϊκό αποτέλεσμα. 8

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση mu + cu + ku = p ωt με αρχικές συνθήκες: u ( ) u ( ) o sin ( ) Η μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης: u ( t) = Csin ( ωt) + Dcos( ωt) ( ω ω ) p 1 / όπου: C = k 1 ( ω/ ωn) + ζ ( ω/ ωn) p ζω / ωn D = k 1 ( ω/ ωn) + ζ ( ω/ ωn) P n ζωn Η γενική λύση: u ( t) = e t ( Acosω t+ Bsinω t) c D D ω = ω 1 ζ Οι σταθερές Α,Β προσδιορίζονται θέτοντας τις αρχικές συνθήκες. με D n 9

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Τελικά u( t) = uc( t) + up( t) ζω ( ) ( ) u t = e Acosω t+ Bsinω t + Csinωt+ Dcosωt n t D D Παροδική Μόνιμη Μετά από λίγο μένει μόνο η επιβαλλόμενη απόκριση. Το μέγιστο της παραμόρφωσης μπορεί να συμβεί πριν το σύστημα φτάσει τη μόνιμη κατάσταση. 3

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Για ω = ω n και για αρχικές συνθήκες ηρεμίας: 1 ζω ζ n u( t) = ( u ) t st e cosωdt+ sinω cos Dt ωnt ζ 1 ζ Η απόσβεση περιορίζει την απόκριση στην φραγμένη τιμή ( ) u u ζ = / st Για συστήματα με μικρή απόσβεση 1 ζωn u( t) = ( u ) ( t st e 1) cosωnt ζ Περιβάλλουσα Συνάρτησης ζ =.5 31

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση ( ω = ω n ) Το μέγιστο u j μετά από j κύκλους: u j πζ j u = 1 e Όσο πιο μικρή είναι η απόσβεση τόσο πιο μεγάλος ο αριθμός των κύκλων που απαιτείται για να επιτευχθεί ένα συγκεκριμένο ποσοστό του u του μόνιμου εύρους. 3

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Η μόνιμη παραμόρφωση του συστήματος: u( t) = ( ust ) R sin ( ) d ωt ϕ 1 όπου u = C + D και ϕ tan ( D/ C) R d u = = ( u ) st 1 ( ω ω ) ζ ( ω ω ) = Αντικαθιστώντας τα C,D: 1 / n + / n ϕ = ( ) ( ω ω ) ζ ω/ ω 1 n tan 1 / n Στατική Δυναμική 33

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Για R d λίγο μεγαλύτερο του 1 το εύρος δυναμικής παραμόρφωσης είναι ουσιαστικά ανεξάρτητο από την απόσβεση. po u = ( ust ) = k Η συχνότητα συντονισμού ορίζεται ως η επιβαλλόμενη συχνότητα για την οποία το R d μεγιστοποιείται. ( ust ) po u = = ζ cω Για R d τείνει στο μηδέν το εύρος δυναμικής παραμόρφωσης είναι ουσιαστικά ανεξάρτητο από την απόσβεση. n ωn po u = ( ust ) = ω mω 34

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Δυναμικοί παράγοντες απόκρισης: ι) Παράγων απόκρισης παραμόρφωσης: u( t) u = Rd sin ( ωt ϕ) Rd = p / k u ιι) Παράγων απόκρισης ταχύτητας: p ( ) u t / km ( ωt ϕ) = R cos v R v ( ) n st ω = R ω d ιιι) Παράγων απόκρισης επιτάχυνσης: u ( t) ω = Ra sin ( ωt ϕ) Ra = p / m ωn R d 35

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις. Αρμονική Ταλάντωση με Ιξώδη Απόσβεση Συχνότητες Συντονισμού: ι) Συχνότητα Συντονισμού/ Παράγων απόκρισης παραμόρφωσης: ωn 1 ζ ιι) Συχνότητα Συντονισμού/ Παράγων απόκρισης ταχύτητας: 1 ω n R v = ζ ιιι) Συχνότητα Συντονισμού/ Παράγων απόκρισης επιτάχυνσης: ωn 1 ζ R a R d 1 = ζ 1 ζ 1 = ζ 1 ζ 36

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 3. Μετάδοση Δυνάμεων και Μόνωση Ταλαντώσεων Σύστημα μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα υπόκειται σε αρμονική δύναμη. Η δύναμη που μεταφέρεται στη βάση: ft = fs + fd = ku + cu u και u Αντικαθιστώντας τα ( ) ( ω ϕ) ω ( ω ϕ) ft = ust R sin cos d k t + c t Η μέγιστη τιμή της ( f ) T ω = Rd 1+ ζ p ω n Μεταδοτικότητα: 1/ 1+ ( ζω / ωn ) TR = 1 ( ω/ ωn) + ( ζω/ ωn) 37

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 4. Απόκριση σε Εδαφική Κίνηση u t u ωt Μονοβάθμιο σύστημα σε αρμονική εδαφική κίνηση ( ) = sin Η εξίσωση κίνησης είναι: mu g u( t) = Rd sin ( ωt ϕ) k u t t = u t + u t Η επιτάχυνση της μάζας είναι: ( ) ( ) ( ) Ο λόγος της επιτάχυνσης που μεταδίδεται στη μάζα προς το εύρος της εδαφικής επιτάχυνσης είναι γνωστός ως μεταδοτικότητα ΤR του συστήματος : ( ) = = t u 1+ ζω / ωn TR u g 1 ( ω/ ωn) + ( ζω/ ωn) g 1/ g g 38

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 5. Μετρητές Ταλαντώσεων ι) Μέτρηση της επιτάχυνσης ιι) Μέτρηση της μετατόπισης 6. Ισοδύναμη Ιξώδης Απόσβεση Η συνηθέστερη μέθοδος προσδιορισμού της ισοδύναμης ιξώδους απόσβεσης είναι να εξισωθεί η ενέργεια που αναλώνεται σε έναν κύκλο ταλάντωσης της πραγματικής κατασκευής και ενός ισοδύναμου ιξώδους συστήματος. 1 ED ζ eq = 4π E So 39

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 7. Συστήματα με Μη Ιξώδη Απόσβεση ι) Απόσβεση ανεξάρτητη της συχνότητας nk f = u η: ο συντελεστής απόσβεσης D ω Η ενέργεια που αναλώνεται σε έναν κύκλο ταλάντωσης συχνότητας ω είναι ανεξάρτητη του ω. E = πnku = πne D So ιι) Μόνιμη απόκριση σε αρμονική δύναμη mu + u + ku = p ( t) Για επιβαλλόμενη φόρτιση p t = p ωt ( ) sin o nk ω ( u ) st 1 ( ω/ ωn ) u = 1 + n 4

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 8. Αρμονική Ταλάντωση με Τριβή Coulomb mu + ku ± F = p ( t) Το πρόσημο της τριβής μεταβάλλεται με την διεύθυνση της κίνησης. Η ενέργεια που αναλώνεται λόγω τριβής Coulomb σε έναν κύκλο ταλάντωσης με εύρος ταλάντωσης u είναι το εμβαδόν του βρόχου υστέρησης του διαγράμματος Δύναμης Τριβής-Μετατόπισης. EF = 4Fu Η απώλεια ενέργειας λόγω τριβής Coulomb ανά κύκλο είναι λιγότερη από την εισερχόμενη ενέργεια. Το εύρος ταλάντωσης θα αυξάνει κύκλο με κύκλο χωρίς όριο. 41

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 9. Παράγων Απόκρισης Παραμόρφωσης και Γωνία Φάσης Λύση συστήματος με Μη Ιξώδη Απόσβεση και χρήση Ισοδύναμης Ιξώδους Απόσβεσης. Η εξίσωση των ενεργειών για ω=ω η ζ = eq n Η προσεγγιστική λύση συμπίπτει με την ακριβή για ω=ω η και είναι αρκετά ακριβής για πολλές πρακτικές εφαρμογές μηχανικού. 4

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 9. Παράγων Απόκρισης Παραμόρφωσης και Γωνία Φάσης Λύση συστήματος με Τριβή Coulomb και χρήση Ισοδύναμης Ιξώδους Απόσβεσης. Η εξίσωση των ενεργειών ζ eq 1 uf = uf = F / k πω/ ω u n Αν η δύναμη τριβής είναι αρκετά μικρή η λύση είναι πρακτικώς ημιτονοειδής. Αν η δύναμη τριβής είναι μεγάλη η λύση απέχει από το ημίτονο. 43

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Περιοδική Διέγερση Μια συνάρτηση p καλείται περιοδική με περίοδο Τ αν ικανοποιεί p(t + jt) = p t j =,.., 1,,1,..., ( ) 44

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Περιοδική Διέγερση Μια συνάρτηση p καλείται περιοδική με περίοδο Τ αν ικανοποιεί p(t + jt) = p t j =,.., 1,,1,..., Μια περιοδική συνάρτηση μπορεί να διαχωριστεί στις αρμονικές της συνιστώσες με χρήση σειρών Fourier: π p( t) = a + aj cos( jωt) + bjsin ( jωt) ω = T a 1 T T bj = p ( t) sin ( jωt ) dt j = 1,,3,... T = T T Θεμελιώδης αρμονική j= 1 j= 1 ( ) p t dt ( ) a j = p ( t) cos( jωt ) dt j = 1,,3,... T 45

Απόκριση σε Αρμονικές και Περιοδικές Διεγέρσεις 11. Παραδείγματα Προβλήματα ι. ιι. ιιι. 46

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 47

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) ιι. Απόκριση σε αυθαίρετη δύναμη. Απόκριση σε Βαθμιδωτές και Γραμμικώς Κλιμακούμενες Δυνάμεις ι. Βαθμιδωτή δύναμη ιι. Ομαλά κλιμακούμενη ή γραμμικά αυξανόμενη δύναμη ιιι. Βαθμιδωτή δύναμη με πεπερασμένο χρόνο ανάπτυξης 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου ιιι. Συμμετρικός τριγωνικός παλμός 48

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο Ψάχνουμε τη λύση της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης: ( ) mu + cu + ku = p t με αρχικές συνθήκες: u ( ) = u ( ) = Αναπτύσσοντας τη γενική λύση, η δύναμη p(t) αντιμετωπίζεται σαν μια ακολουθία ωθήσεων απειροελάχιστης διάρκειας και η απόκριση του συστήματος στη δύναμη p(t) είναι το άθροισμα των επιμέρους αποκρίσεων του συστήματος σε ξεχωριστές ωθήσεις. 49

Dirac: Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) Μια πολύ μεγάλη δύναμη που δρα για μικρό χρονικό διάστημα Στην οριακή τιμή που ε δ ( t τ) με κέντρο t = τ ονομάζεται μοναδιαία ωστική δύναμη Η συνάρτηση Dirac ορίζει μαθηματικά τη μοναδιαία ώθηση 5

Μια πολύ μεγάλη δύναμη που δρα για μικρό χρονικό διάστημα Dirac: Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) Στην οριακή τιμή που ε ονομάζεται μοναδιαία ωστική δύναμη Η συνάρτηση Dirac ορίζει μαθηματικά τη μοναδιαία ώθηση δ ( t τ) με κέντρο t = τ Δεύτερος νόμος κίνησης Νεύτωνα: d ( mu ) = p dt Για σταθερή μάζα: p = mu 51

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) Ολοκληρώνοντας και τα μέλη της εξίσωσης ως προς τον χρόνο Μέγεθος ώθησης t pdt = m( u u 1) = m u t 1 Μεταβολή ορμής 5

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) Ολοκληρώνοντας και τα μέλη της εξίσωσης ως προς τον χρόνο Μέγεθος ώθησης t pdt = m( u u 1) = m u t 1 Μεταβολή ορμής Η μοναδιαία ώθηση προκαλεί ελεύθερη ταλάντωση εξαιτίας της αρχικής ταχύτητας και μετατόπισης. Η απόκριση του συστήματος: ( t = τ u ( τ) = 1/ m, u( τ) = ) 1 ζωn ( ) ( ) t τ u t = e sin ωd ( t τ) t τ mω D 53

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ι. Απόκριση σε μοναδιαία ωστική δύναμη (Unit Impulse) Ολοκληρώνοντας και τα μέλη της εξίσωσης ως προς τον χρόνο Μέγεθος ώθησης t pdt = m( u u 1) = m u t 1 Μεταβολή ορμής Η μοναδιαία ώθηση προκαλεί ελεύθερη ταλάντωση εξαιτίας της αρχικής ταχύτητας και μετατόπισης. Η απόκριση του συστήματος: Χωρίς απόσβεση: 1 u( t) = sin ωn ( t τ) t τ mω D 54

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 1. Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο ιι. Απόκριση σε αυθαίρετη δύναμη Μια αυθαίρετα μεταβαλλόμενη δύναμη μπορεί αν αντιπροσωπευθεί από μια σειρά απειροελάχιστων μικρών ωθήσεων. Η απόκριση του συστήματος τη χρονική στιγμή t είναι το άθροισμα των αποκρίσεων σε όλες τις ωθήσεις μέχρι εκείνο το χρόνο. t ( ) = ( ) ( ) ut pτ ht τ dτ Η απόκριση του συστήματος: t 1 ζωn ( t τ ) u( t) = p( τ) e sin ωd ( t τ) dτ mω D 55

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις. Απόκριση σε Βαθμιδωτές και Γραμμικώς Κλιμακούμενες Δυνάμεις ι. Βαθμιδωτή δύναμη Μια βαθμιδωτή δύναμη αυξάνει απότομα από μηδενική τιμή στην τιμή p mu + cu + ku = p Η απόκριση του συστήματος με / χωρίς απόσβεση. ζω ζ n u( t) = ( u ) 1 t st e cosωdt+ sinω Dt 1 ζ ( ) = ( ) ( ω ) u t u 1 cos st nt u = u = p / k Η μέγιστη τιμή της u(t): ( ) st ( ) = p p t 56

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις. Απόκριση σε Βαθμιδωτές και Γραμμικώς Κλιμακούμενες Δυνάμεις ιι. Ομαλά κλιμακούμενη ή γραμμικά αυξανόμενη δύναμη Με χρήση του ολοκληρώματος Duhamel η λύση της διαφορικής εξίσωσης χωρίς απόσβεση: t t p( t) = p 1 τ u( t) = p sinωd ( t τ) dτ t r mω t n r t T Tn tr πtr / Tn t Tn sin π / ( ) = ( u ) u t st Η στατική μετατόπιση σε κάθε χρονική στιγμή ( ) p t ust ( t) = = u k ( st ) t t r n 57

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις. Απόκριση σε Βαθμιδωτές και Γραμμικώς Κλιμακούμενες Δυνάμεις ιιι. Βαθμιδωτή δύναμη με πεπερασμένο χρόνο ανάπτυξης Για t<t r η λύση είναι γνώστη από (ιι.) sin ( ) = ( u ) n u t st t tr ω t ωnt Για t>t r η απόκριση προσδιορίζεται με χρήση του ολοκληρώματος Duhamel 1 u t u t t t ( ) = ( ) 1 sinω sinω ( ) st n n r ωntr ( ) p t ( ) p t t t t = p t tr / r r 58

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις. Απόκριση σε Βαθμιδωτές και Γραμμικώς Κλιμακούμενες Δυνάμεις ιιι. Βαθμιδωτή δύναμη με πεπερασμένο χρόνο ανάπτυξης Η u(t) αποκτά τη μέγιστη τιμή της κατά τη διάρκεια της φάσης απόκρισης όπου η δύναμη παραμένει σταθερή : 1 u = u + t + t ( ) 1 ( 1 cosω ) ( sinω ) st n r n r ωntr Παράγων απόκρισης παραμόρφωσης R d = = + ( ) ( πt T ) u sin r / 1 u πt / T st r r r 59

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις Μέθοδοι επίλυσης: ι) Κλασική μέθοδος επίλυσης διαφορικής εξίσωσης ιι) Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα Duhamel ιιι) Εκφράζοντας τον παλμό ως επαλληλία δυο απλούστερων συναρτήσεων για τις οποίες η λύση είναι ήδη διαθέσιμη. Για παράδειγμα ο παλμός ορθογωνικής μορφής είναι μια βηματική συνάρτηση p 1 (t) συν τη βηματική συνάρτηση p (t) ίσου εύρους αλλά με χρονική διαφορά t d Η απόκριση είναι το άθροισμα των αποκρίσεων των δυο βηματικών συναρτήσεων. 6

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός mu + ku = p t t t t d d u ( ) = u ( ) = α. Φάση εξαναγκασμένης ταλάντωσης u( t) 1 cosω 1 cos ( u ) n st πt = t = t t T β. Φάση ελεύθερης ταλάντωσης n ( ) u td u( t) = u( t ) cosω ( t t ) + sinω t t ω (Βαθμιδωτή δύναμη) d ( ) d n d n d n 61

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός mu + ku = p t t t t d d u ( ) = u ( ) = α. Φάση εξαναγκασμένης ταλάντωσης u( t) 1 cosω 1 cos ( u ) n st πt = t = t t T β. Φάση ελεύθερης ταλάντωσης u t u t = u t t t + t t ( ) ( ) cosω ( ) d n d n d n (Βαθμιδωτή δύναμη) d Αρχικές συνθήκες t = t d ( d ) u( t ) ( ) [ ] sinω ( ) 1 cos d = ust ωntd ωn u ( t ) = ( u ) ω sinω t d st n n d 6

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός Αντικαθιστώντας τις παραπάνω u( t) ( u ) st ( ) = cosω t t cosω t t t n d n d Μέγιστη μετατόπιση κατά την διάρκεια της φάσης της εξαναγκασμένης ταλάντωσης R d u ( π ) 1 cos t / T t / T 1/ / 1/ d d d n = = ( ust ) t d Tn Μέγιστη μετατόπιση κατά την διάρκεια της φάσης της ελεύθερης ταλάντωσης u πt d Rd = = sin u T ( ) st n 63

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου mu + ku = ( π ) p sin / t td t t t t d d u ( ) = u ( ) = Η λύση παρουσιάζεται για ω ω t / T 1/ και ω = ω t / T = 1/ Περίπτωση 1 η : ω ω t / T 1/ n d d Περίπτωση η : ω = ω t / T = 1/ n d d n d d n d d H ανάλυση οργανώνεται σε: εξαναγκασμένη ταλάντωση ελεύθερη ταλάντωση 64

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου Περίπτωση 1 η : ω ω t / T 1/ β. Φάση ελεύθερης ταλάντωσης ( ) ( ) n d d α. Φάση εξαναγκασμένης ταλάντωσης u( t) 1 ( ) 1 ( T /t ) t T n t = sin π sin π t t ust t n d d td Tn ( ) ( π ) ( T /t ) 1 u t Tn / td cos td / T n t 1 t d = sin π t t ust T n d n Tn d d 65

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου Περίπτωση η : ω = ω t / T = 1/ n d d α. Φάση εξαναγκασμένης ταλάντωσης ( ) 1 sin cos ( ) u t πt πt πt = t t ust Tn Tn Tn β. Φάση ελεύθερης ταλάντωσης d u( td ) ( u ) st π =, u t = t = t ( ) d d u( t) π t 1 cos π ( u ) T st = t t n d 66

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου Μέγιστη μετατόπιση κατά την διάρκεια της φάσης της εξαναγκασμένης ταλάντωσης R d u 1 πl T πl sin sin n = = ( ust ) 1 ( T / ) 1 td / Tn td 1 Tn /t n t + + d d Μέγιστη μετατόπιση κατά την διάρκεια της φάσης της ελεύθερης ταλάντωσης R d u ( Tn / td) cos ( πtd / Tn) ( / ) 1 = = ( ust ) Tn td Μέγιστη μετατόπιση όταν t / T = 1/ d d R d u π = ( = ust ) 67

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιιι. Συμμετρικός τριγωνικός παλμός mu + ku = p ( t) u ( ) = u ( ) = H ανάλυση οργανώνεται σε τρείς διαφορετικές φάσεις: t t d / t / t t d td t d Ο τρόπος για να λυθεί το πρόβλημα είναι να εκφραστεί ο τριγωνικός παλμός ως επαλληλία τριών γραμμικώς αυξανόμενων συναρτήσεων και η απόκριση του συστήματος είναι το άθροισμα των αποκρίσεων των γραμμικών συναρτήσεων. 68

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ιιι. Συμμετρικός τριγωνικός παλμός Το τελικό αποτέλεσμα είναι: t Tn π t td sin t td π td Tn u( t) t T n π td πt td = 1 + sin t sin t td ust td π td Tn Tn T n π td π π t sin t sin ( t td) sin td t π td Tn Tn Tn ( ) 69

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις Αν η διάρκεια του παλμού είναι t d είναι μεγαλύτερη από T n / το ολικό μέγιστο της μετατόπισης εμφανίζεται κατά την διάρκεια του παλμού (εξαναγκασμένη ταλάντωση), αλλιώς κατά την φάση της ελεύθερης ταλάντωσης και επηρεάζεται από το ολοκλήρωμα του παλμού. I t d = ( ) p t dt Εάν t d / T n τείνει στο δημιουργείται ωστική δύναμη και η απόκριση είναι: 1 u( t) = I sin ω n t mω n Μέγιστο της απόκρισης: I π u = kt n 7

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός I = pt d u ( u ) st = t π T d n t π T d n 71

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός I = pt d ( u ) ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου u u I= ( / π ) pt d ( u ) st st = t π T d = t T 4 d n n t π T d n t T 4 d n 7

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 3. Απόκριση σε Παλμικές Διεγέρσεις ι. Ορθογωνικός παλμός I = pt d ( u ) ιι. Παλμός μισού κύκλου ημιτόνου ιιι. Συμμετρικός τριγωνικός παλμός u u I= ( / π ) pt d ( u ) st st = t π T d = t T 4 d n n t π T d n t T 4 d n t π T d n I pt d / u = ( u ) st t = π T d n 73

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 4. Επίδραση της Ιξώδους Απόσβεσης Αν η διέγερση είναι μοναδικός παλμός, η επίδραση της απόσβεσης στη μέγιστη απόκριση δεν είναι συνήθως σημαντική, εκτός αν το σύστημα έχει εξαιρετικά μεγάλη απόσβεση. Ομοίως η ενέργεια που καταναλώνεται λόγω της απόσβεσης σε σύστημα που υποβάλλεται σε διεγέρσεις παλμικού τύπου είναι μικρή. 74

Απόκριση σε Αυθαίρετες, Βαθμιδωτές και Παλμικές Διεγέρσεις 5. Απόκριση σε Εδαφική Κίνηση Η επιτάχυνση του εδάφους μπορεί αν αντικατασταθεί από την ενεργό δύναμη: p t mu t eff ( ) = ( ) g Το φάσμα απόκρισης για επιβαλλόμενη δύναμη p(t) είναι ένα γράφημα του R d ως προς τις κατάλληλες παραμέτρους (ω/ω η ή t d /T n ). ( u ) st ( peff ) u g = = k ω n Όπου u είναι η μέγιστη τιμή του u ( t) g Για σύστημα χωρίς απόσβεση, η ολική επιτάχυνση της μάζας σχετίζεται με t την μετατόπιση μέσω u ( ) = ωn u έτσι παίρνουμε: t u ωnu u Rd = = Rd = u u u ( ) st g g g 75

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 76

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 1. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς 4. Μέθοδος Newmark 5. Ευστάθεια και Υπολογιστικά Σφάλματα 6. Ανάλυση Μη Γραμμικής Απόκρισης- Μέθοδος Newmark 77

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 1. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων Για ένα ανελαστικό σύστημα η εξίσωση κίνησης που πρέπει να επιλυθεί είναι: ( ) ή mu ( t) mu + cu + f ( u, u) = p t με αρχικές συνθήκες: u( ) = u ( ) s u = u Η εφαρμοζόμενη δύναμη δίνεται με ένα πλήθος διακριτών τιμών (Ν) p i =p (t i ) ti = ti+ 1 ti i =,..., N Η απόκριση προσδιορίζεται για τις χρονικές στιγμές (t i ) ( ) mu + cu + f = p i i s i i g 78

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 1. Μέθοδοι Χρονικών Βημάτων Το βήμα από το χρόνο i στο χρόνο i+1 δεν είναι μια ακριβής διαδικασία. Οι τρείς σημαντικές προϋποθέσεις για μια αριθμητική διαδικασία είναι: ι) Σύγκλιση ιι) Ευστάθεια ιιι) Ακρίβεια Είδη χρονικών βηματικών μεθόδων: ι) Μέθοδοι βασισμένες σε παρεμβολή της εξίσωσης διέγερσης ιι) Μέθοδοι βασισμένες σε εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών της ταχύτητας και επιτάχυνσης ιιι) Μέθοδοι βασισμένες στην υποτιθέμενη μεταβολή της επιτάχυνσης 79

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Παρεμβάλλοντας τη διέγερση σε κάθε χρονικό βήμα και αναπτύσσοντας τη ακριβή λύση με χρήση γνωστών μεθόδων, μπορεί να αναπτυχθεί μια πολύ αποτελεσματική αριθμητική διαδικασία. Για μικρά χρονικά διαστήματα, η γραμμική παρεμβολή είναι ικανοποιητική: pi p( τ) p τ με p = p p = i + ti i i+ 1 i και η εξίσωση χωρίς απόσβεση γράφεται: pi mu ku pi t τ u( ) = u + = + u ( ) = u i Η απόκριση είναι άθροισμα τριών τμημάτων: 8

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Παρεμβάλλοντας τη διέγερση σε κάθε χρονικό βήμα και αναπτύσσοντας τη ακριβή λύση με χρήση γνωστών μεθόδων, μπορεί να αναπτυχθεί μια πολύ αποτελεσματική αριθμητική διαδικασία. Για μικρά χρονικά διαστήματα, η γραμμική παρεμβολή είναι ικανοποιητική: pi p( τ) p τ με p = p p = i + ti i i+ 1 i και η εξίσωση χωρίς απόσβεση γράφεται: pi mu ku pi t τ u( ) = u + = + u ( ) = u i Η απόκριση είναι άθροισμα τριών τμημάτων: α. ελεύθερη ταλάντωση λόγω αρχικών συνθηκών για τ= 81

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Παρεμβάλλοντας τη διέγερση σε κάθε χρονικό βήμα και αναπτύσσοντας τη ακριβή λύση με χρήση γνωστών μεθόδων, μπορεί να αναπτυχθεί μια πολύ αποτελεσματική αριθμητική διαδικασία. Για μικρά χρονικά διαστήματα, η γραμμική παρεμβολή είναι ικανοποιητική: pi p( τ) p τ με p = p p = i + ti i i+ 1 i και η εξίσωση χωρίς απόσβεση γράφεται: pi mu ku pi t τ u( ) = u + = + u ( ) = u i Η απόκριση είναι άθροισμα τριών τμημάτων: β. σταθερή αιφνιδίως επιβαλλόμενη δύναμη με μηδενικές αρχικές συνθήκες 8

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Παρεμβάλλοντας τη διέγερση σε κάθε χρονικό βήμα και αναπτύσσοντας τη ακριβή λύση με χρήση γνωστών μεθόδων, μπορεί να αναπτυχθεί μια πολύ αποτελεσματική αριθμητική διαδικασία. Για μικρά χρονικά διαστήματα, η γραμμική παρεμβολή είναι ικανοποιητική: pi p( τ) p τ με p = p p = i + ti i i+ 1 i και η εξίσωση χωρίς απόσβεση γράφεται: pi mu ku pi t τ u( ) = u + = + u ( ) = u i Η απόκριση είναι άθροισμα τριών τμημάτων: γ. ομαλώς αυξανόμενη δύναμη με μηδενικές αρχικές συνθήκες 83

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Προσαρμόζοντας τις κατάλληλες λύσεις για τις τρείς περιπτώσεις, προκύπτει: u i pi p i τ sinωτ n u( τ) = uicosωτ n + sinωτ n + ( 1 cosωτ n ) + ωn k k ti ωn ti ( τ ) u u i pi pi 1 = uisinωτ n + cosωτ n + sinωτ n + 1 cosωτ n ω ω k k ω t ( ) ( ) n n n i Η τιμή αυτών των εξισώσεων για τ=δt i δίνει την μετατόπιση και ταχύτητα την χρονική στιγμή i+1 Οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν ως κλειστοί τύποι: u = Au + Bu + + Cp + D p i 1 i i i i u = i 1 Au ' + i Bu ' + + i C' p + i D' pi 84

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης. Μέθοδοι Βασισμένες σε Παρεμβολή της Διέγερσης Για σύστημα με απόσβεση μικρότερη της κρίσιμης (ζ<1) οι συντελεστές Α,Β,C,,D υπολογίζονται και παρουσιάζονται στον Πίνακα 5..1 του βιβλίου. Για σταθερό χρονικό διάστημα Δt οι συντελεστές Α,Β,C,,D χρειάζεται αν υπολογιστούν μόνο μία φορά. Αφού οι περιοδικοί τύποι προέκυψαν από την ακριβή λύση της εξίσωσης κίνησης, ο μόνος περιορισμός στο μέγεθος του Δt είναι να επιτρέπει μια καλή προσέγγιση της εξίσωσης διέγερσης και να παρέχει αποτελέσματα για την απόκριση σε χρονικά διαστήματα μικρού εύρους (να μην χάνονται κορυφές) Χρήσιμη διαδικασία για διέγερση ορισμένη σε χρονικά διαστήματα μικρού εύρους σεισμική εδαφική επιτάχυνση. Η ακριβής λύση της εξίσωσης κίνησης που απαιτείται για αυτήν την αριθμητική διαδικασία είναι εφικτή μόνο για γραμμικά συστήματα. 85

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε μια προσέγγιση πεπερασμένων διαφορών των παραγώγων ως προς το χρόνο της μετατόπισης. Για σταθερά Δt i =Δt οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ταχύτητας και επιτάχυνσης είναι: u i = u u t i+ 1 i 1 Οπότε και η εξίσωση κίνησης γράφεται: ( t) u i u u + u = i+ 1 i i 1 ( t) ui+ 1 ui + ui 1 ui+ 1 ui 1 m + c + ku i = p t Όπου τα u i και u i-1 είναι γνωστά από την εφαρμογή της διαδικασίας τα προηγούμενα χρονικά βήματα. i 86

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς Μεταφέροντας τις γνωστές ποσότητες στο δεξιά μέλος: m c m c m + u 1 = p u 1 k u ( t) t + ( t) t ( t) i i i i ή αλλιώς: ku ˆ pˆ και άρα ο άγνωστος u i+1 δίνεται από: ui 1 = i+ 1 i + = pˆ k ˆi 87

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς Μεταφέροντας τις γνωστές ποσότητες στο δεξιά μέλος: m c m c m + u 1 = p u 1 k u ( t) t + ( t) t ( t) i i i i ή αλλιώς: ku ˆ pˆ και άρα ο άγνωστος u i+1 δίνεται από: ui 1 = i+ 1 i k Η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική i στιγμή χωρίς χρήση της κατάστασης ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι ονομάζονται ρητές μέθοδοι. + = pˆ ˆi 88

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς Μεταφέροντας τις γνωστές ποσότητες στο δεξιά μέλος: m c m c m + u 1 = p u 1 k u ( t) t + ( t) t ( t) i i i i ή αλλιώς: ku ˆ pˆ και άρα ο άγνωστος u i+1 δίνεται από: ui 1 = i+ 1 i k Η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική i στιγμή χωρίς χρήση της κατάστασης ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι ονομάζονται ρητές μέθοδοι. Το χρονικό διάστημα Δt πρέπει να είναι αρκετά μικρό. Απαίτηση ευστάθειας: t 1 < Σε μονοβάθμια συστήματα τυπικά: t/ T.1 T n < n π + = pˆ ˆi 89

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 3. Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς Για τον προσδιορισμό της μετατόπισης την πρώτη χρονική στιγμή u 1 απαιτούνται οι u και u 1. Οπότε για i=: u u u = t 1 1 1 1 ( t) u u u + u = Επιλύοντας ως προς u 1 την πρώτη και αντικαθιστώντας στην δεύτερη: ( ) ( t) u = u t u + u 1 Όπου η αρχική ταχύτητα και μετατόπιση είναι γνώστες, ενώ η επιτάχυνση την χρονική στιγμή δίνεται από τη εξίσωση κίνησης: u = p cu ku m 9

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Το 1959 ο N.M. Newmark ανέπτυξε μια οικογένεια μεθόδων χρονικών βημάτων που βασίζονται στις εξισώσεις: ( 1 γ) ( γ ) u = u + t u + t u i+ 1 i i i+ 1 ( ) (.5 β) ( β ) u = u + t u + t u + t u i+ 1 i i i i+ 1 οι παράμετροι β και γ ορίζουν την μεταβολή της επιτάχυνσης σε ένα χρονικό βήμα και προσδιορίζουν τα χαρακτηριστικά της ευστάθειας και της ακρίβειας της μεθόδου. 1 1 β 6 4 Τυπικές τιμές των παραμέτρων β και γ: γ = 1 91

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Το 1959 ο N.M. Newmark ανέπτυξε μια οικογένεια μεθόδων χρονικών βημάτων που βασίζονται στις εξισώσεις: ( 1 γ) ( γ ) u = u + t u + t u i+ 1 i i i+ 1 ( ) (.5 β) ( β ) u = u + t u + t u + t u i+ 1 i i i i+ 1 οι παράμετροι β και γ ορίζουν την μεταβολή της επιτάχυνσης σε ένα χρονικό βήμα και προσδιορίζουν τα χαρακτηριστικά της ευστάθειας και της ακρίβειας της μεθόδου. Ειδικές Περιπτώσεις: Για γ = 1/ και β = 1/4 Σταθερή Μέση Επιτάχυνση 9

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Το 1959 ο N.M. Newmark ανέπτυξε μια οικογένεια μεθόδων χρονικών βημάτων που βασίζονται στις εξισώσεις: ( 1 γ) ( γ ) u = u + t u + t u i+ 1 i i i+ 1 ( ) (.5 β) ( β ) u = u + t u + t u + t u i+ 1 i i i i+ 1 οι παράμετροι β και γ ορίζουν την μεταβολή της επιτάχυνσης σε ένα χρονικό βήμα και προσδιορίζουν τα χαρακτηριστικά της ευστάθειας και της ακρίβειας της μεθόδου. Ειδικές Περιπτώσεις: Για γ = 1/ και β = 1/6 Γραμμική Μεταβολή Επιτάχυνση 93

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Μη επαναληπτική διατύπωση Αυξητικές ποσότητες: ui = ui+ 1 ui u i = u i+ 1 u i u i = u i+ 1 u i pi = pi+ 1 pi Οι εξισώσεις μπορούν να γραφτούν: u i = ( t) u i + ( γ t) u i t ui = ( t) u i + u i + β ( t) u i Λύνοντας την δεύτερη ως προς την αυξητική επιτάχυνση και αντικαθιστώντας στην αυξητική εξίσωση κίνησης m u i + c u i + k ui = pi προκύπτει: kˆ u = pˆ όπου: γ 1 ˆk = k+ c+ m β t β ( t) i i 1 γ 1 γ pˆ i = pi + m+ c u i + m+ t 1 c u i β t β β β 94

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Μη επαναληπτική διατύπωση pˆ Οπότε και η αυξητική μετατόπιση υπολογίζεται u ˆ i i = k Από την Δu i υπολογίζονται η αυξητική ταχύτητα και επιτάχυνση και έπειτα: u = i 1 u + + i ui u = i 1 u + + i u i u = i 1 u + + i u i Στη μέθοδο Newmark, η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι καλούνται πεπλεγμένες μέθοδοι. 95

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Μη επαναληπτική διατύπωση pˆ Οπότε και η αυξητική μετατόπιση υπολογίζεται u ˆ i i = k Από την Δu i υπολογίζονται η αυξητική ταχύτητα και επιτάχυνση και έπειτα: u = i 1 u + + i ui u = i 1 u + + i u i u = i 1 u + + i u i Στη μέθοδο Newmark, η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι καλούνται πεπλεγμένες μέθοδοι. Η μέθοδος Newmark για να είναι ευσταθής: t 1 1 T π γ β n 96

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Μη επαναληπτική διατύπωση pˆ Οπότε και η αυξητική μετατόπιση υπολογίζεται u ˆ i i = k Από την Δu i υπολογίζονται η αυξητική ταχύτητα και επιτάχυνση και έπειτα: u = i 1 u + + i ui u = i 1 u + + i u i u = i 1 u + + i u i Στη μέθοδο Newmark, η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι καλούνται πεπλεγμένες μέθοδοι. Για Σταθερή Μέση Επιτάχυνση γ = 1/ β = 1/4 t/ Tn Οπότε η μέθοδος Μέση Επιτάχυνση είναι ευσταθής για κάθε Δt αλλα είναι ακριβής μόνο για μικρά Δt. 97

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Μη επαναληπτική διατύπωση pˆ Οπότε και η αυξητική μετατόπιση υπολογίζεται u ˆ i i = k Από την Δu i υπολογίζονται η αυξητική ταχύτητα και επιτάχυνση και έπειτα: u = i 1 u + + i ui u = i 1 u + + i u i u = i 1 u + + i u i Στη μέθοδο Newmark, η λύση την χρονική στιγμή i+1 προσδιορίζεται από τη κατάσταση ισορροπίας τη χρονική στιγμή i+1. Τέτοιες μέθοδοι καλούνται πεπλεγμένες μέθοδοι. Για Γραμμική Μεταβολή Επιτάχυνση γ = 1/ 1/6 β = t/ T n.551 Ωστόσο και εδώ για να είναι η μέθοδος ακριβής το Δt πρέπει να είναι πολύ μικρότερο από όριο ευστάθειας. 98

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Σύνοψη της μεθόδου: Ειδικές περιπτώσεις: Α) Για γ=1/, β=1/4 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Μέσης Επιτάχυνσης Β) Για γ=1/, β=1/6 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Γραμμικής Επιτάχυνσης 99

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark Σύνοψη της μεθόδου: Ειδικές περιπτώσεις: Α) Για γ=1/, β=1/4 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Μέσης Επιτάχυνσης Β) Για γ=1/, β=1/6 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Γραμμικής Επιτάχυνσης 1) Αρχικοί υπολογισμοί: u = Επιλογή p cu ku m t γ 1 ˆk = k+ c+ m β t β ( t) 1 γ 1 γ a = m+ c b= m+ t 1 c β t β β β 1

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 4. Μέθοδος Newmark ) Υπολογισμοί σε κάθε χρονικό βήμα i: ˆp = p + au + bu u = i i i i i ˆp ˆk i 1 1 1 γ γ γ u i = u i u i u i u i = ui u i + t 1 u i β β t β β t β β ( t) u = u + u u = u + u u = u + u i+ 1 i i i+ 1 i i i+ 1 i i 3) Αντικατάσταση του i με i+1 και επανάληψη του ) 11

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 5. Ευστάθεια και Υπολογιστικά Σφάλματα Οι αριθμητικές διαδικασίες που οδηγούν σε φραγμένες λύσεις αν το χρονικό βήμα είναι μικρότερο από κάποιο όριο ευστάθειας ονομάζονται υπό συνθήκες ευσταθής. Οι αριθμητικές διαδικασίες που οδηγούν σε φραγμένες λύσεις ανεξαρτήτως του μεγέθους του χρονικού βήματος ονομάζονται άνευ συνθηκών ευσταθής. Η μέθοδος της μέσης επιτάχυνσης είναι άνευ συνθηκών ευσταθής. Η μέθοδος της γραμμικής επιτάχυνσης είναι υπό συνθήκες ευσταθής. t/ T n.551 Η μέθοδος της κεντρικών διαφορών είναι υπό συνθήκες ευσταθής. t/ T < 1/ π n 1

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 5. Ευστάθεια και Υπολογιστικά Σφάλματα Οι αριθμητικές διαδικασίες που οδηγούν σε φραγμένες λύσεις αν το χρονικό βήμα είναι μικρότερο από κάποιο όριο ευστάθειας ονομάζονται υπό συνθήκες ευσταθής. Οι αριθμητικές διαδικασίες που οδηγούν σε φραγμένες λύσεις ανεξαρτήτως του μεγέθους του χρονικού βήματος ονομάζονται άνευ συνθηκών ευσταθής. Η μέθοδος της μέσης επιτάχυνσης είναι άνευ συνθηκών ευσταθής. Η μέθοδος της γραμμικής επιτάχυνσης είναι υπό συνθήκες ευσταθής. t/ T n.551 Η μέθοδος της κεντρικών διαφορών είναι υπό συνθήκες ευσταθής. t/ Tn < 1/ π Τα κριτήρια ευστάθειας δεν είναι περιοριστικά στην ανάλυση μονοβαθμίων συστημάτων αφού το t/ Tn επιλέγεται πολύ μικρότερο για να είναι ακριβή τα αριθμητικά αποτελέσματα. 13

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 5. Ευστάθεια και Υπολογιστικά Σφάλματα Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα mu + ku = με u ( ) = 1 ( ) u = Το πρόβλημα επιλύεται με διάφορες αριθμητικές μεθόδους συγκρίνοντας τα αποτελέσματα στο παρακάτω διάγραμμα. Η επιλογή του χρονικού βήματος εξαρτάται εκτός από την ιδιοπερίοδο ταλάντωσης και από την χρονική μεταβολή της δυναμικής διέγερσης. 14

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 5. Ευστάθεια και Υπολογιστικά Σφάλματα Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα mu + ku = με u ( ) = 1 ( ) u = Το πρόβλημα επιλύεται με διάφορες αριθμητικές μεθόδους συγκρίνοντας τα αποτελέσματα στο παρακάτω διάγραμμα. Η επιλογή του χρονικού βήματος εξαρτάται εκτός από την ιδιοπερίοδο ταλάντωσης και από την χρονική μεταβολή της δυναμικής διέγερσης. Για την επιλογή του χρονικού βήματος λύνουμε το πρόβλημα με ένα Δt, στη συνέχεια για ένα μικρότερο Δt και συνεχίζουμε την διαδικασία μέχρι οι δύο διαδοχικές λύσεις σχεδόν να συμπίπτουν. 15

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark H Μέθοδος Newmark επεκτείνεται προκειμένου να εφαρμοστεί σε μη γραμμικά συστήματα Είναι πιο πολύπλοκη σε σχέση με τη μέθοδο κεντρικών διαφορών, αλλά παρουσιάζει αυξημένη ακρίβεια 16

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark H Μέθοδος Newmark επεκτείνεται προκειμένου να εφαρμοστεί σε μη γραμμικά συστήματα Είναι πιο πολύπλοκη σε σχέση με τη μέθοδο κεντρικών διαφορών, αλλά παρουσιάζει αυξημένη ακρίβεια Έχουμε την προσαυξητική μορφή της εξίσωσης κίνησης: ( ) m u + c u + f = p i i s i i Η προσαυξητική ελαστική δύναμη δίνεται ως: ( ) = ( ) f k u s i i sec i 17

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark H Μέθοδος Newmark επεκτείνεται προκειμένου να εφαρμοστεί σε μη γραμμικά συστήματα Είναι πιο πολύπλοκη σε σχέση με τη μέθοδο κεντρικών διαφορών, αλλά παρουσιάζει αυξημένη ακρίβεια Έχουμε την προσαυξητική μορφή της εξίσωσης κίνησης: Η προσαυξητική ελαστική δύναμη δίνεται ως: ( ) = ( ) ( ) m u + c u + f = p i i s i i f k u s i i sec i Τέμνουσα δυσκαμψία 18

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Η τέμνουσα δυσκαμψία δεν είναι γνωστή, οπότε θεωρούμε ότι για μικρό Δt μπορεί να αντικατασταθεί από την εφαπτομενική δυσκαμψία Οι προσαυξητικές εκφράσεις των ελαστικών δυνάμεων και της εξίσωσης κίνησης τροποποιούνται ως εξής: 19

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Η τέμνουσα δυσκαμψία δεν είναι γνωστή, οπότε θεωρούμε ότι για μικρό Δt μπορεί να αντικατασταθεί από την εφαπτομενική δυσκαμψία Οι προσαυξητικές εκφράσεις των ελαστικών δυνάμεων και της εξίσωσης κίνησης τροποποιούνται ως εξής: ( ) ( ) f k u s i i T i Εφαπτομενική δυσκαμψία ( ) m u + c u + k u = p i i i T i i 11

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Σύμφωνα με τα παραπάνω η μη επαναληπτική εκδοχή της μεθόδου Newmark που παρουσιάστηκε για τη γραμμική ανάλυση μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για τη μη γραμμική ανάλυση Η διαδικασία αυτή εφαρμοζόμενη με σταθερό χρονικό βήμα Δt μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικά σφάλματα Το σταθερό χρονικό βήμα καθυστερεί τον εντοπισμό των σημείων ισορροπίας στις θέσεις εναλλαγής Σφάλμα λόγω χρήσης εφαπτομενικής και όχι τέμνουσας δυσκαμψίας 111

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Τα σφάλματα μπορούν να περιοριστούν χρησιμοποιώντας μικρότερα και μεταβαλλόμενα χρονικά βήματα Δt Το σφάλμα λόγω της εφαπτομενικής δυσκαμψίας μπορεί να περιοριστεί μέσω επαναληπτικής διαδικασίας Σε αναλογία με τη γραμμική ανάλυση έχουμε: 11

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Τα σφάλματα μπορούν να περιοριστούν χρησιμοποιώντας μικρότερα και μεταβαλλόμενα χρονικά βήματα Δt Το σφάλμα λόγω της εφαπτομενικής δυσκαμψίας μπορεί να περιοριστεί μέσω επαναληπτικής διαδικασίας Σε αναλογία με τη γραμμική ανάλυση έχουμε: όπου: k ˆ u = ˆp i i i 1 γ 1 γ ˆpi = pi + m+ c u i + m+ t 1 c u i β t β β β γ 1 ˆk i = ki + c+ m β t β t ( ) 113

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Η παραπάνω εξίσωση είναι μη γραμμική καθώς το k i εξαρτάται από τη μετακίνηση u. Η επαναληπτική διαδικασία που εφαρμόζεται σε κάθε βήμα είναι γνωστή ως τροποποιημένη Μέθοδος Newton-Raphson και διατυπώνεται ως: 114

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Η παραπάνω εξίσωση είναι μη γραμμική καθώς το k i εξαρτάται από τη μετακίνηση u. Η επαναληπτική διαδικασία που εφαρμόζεται σε κάθε βήμα είναι γνωστή ως τροποποιημένη Μέθοδος Newton-Raphson και διατυπώνεται ως: 1) Αρχικοποίηση: ( ) ( ) ( ) + = = 1 u u f ( f ) R = ˆp kˆ = kˆ i 1 i s s i i T i ) Σε κάθε επανάληψη (j=1,,3, ): Επίλυση: ( j) ( j 1) = + ( j u u u ) i+ 1 i+ 1 ( j) ( j = ) ( j ˆk u R u ) T ( j) ( j) ( j 1) ( j) ( ) f = f f + kˆ k u s s T T ( j+ 1) ( j) ( j R = R f ) 115

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Η επαναληπτική διαδικασία σταματάει μετά από l επαναλήψεις όταν η προσαυξητική μετατόπιση Δu (l) γίνει αρκετά μικρή. Δηλαδή θα είναι: u ( l u ) u i = ( ) l j u j= 1 < ε Η συνολική μετατόπιση από το βήμα i στο βήμα i+1 δίνεται ως: Η συνολική ταχύτητα και επιτάχυνση δίνονται ως: 1 1 = 1 γ γ = γ ui ui ui ui ui ui ui + t 1 u i β β t β β t β β ( t) 116

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Σύνοψη της μεθόδου: Ειδικές περιπτώσεις: Α) Για γ=1/, β=1/4 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Μέσης Επιτάχυνσης Β) Για γ=1/, β=1/6 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Γραμμικής Επιτάχυνσης 117

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark Σύνοψη της μεθόδου: Ειδικές περιπτώσεις: Α) Για γ=1/, β=1/4 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Μέσης Επιτάχυνσης Β) Για γ=1/, β=1/6 η μέθοδος ταυτίζεται με τη Μέθοδο Γραμμικής Επιτάχυνσης 1) Αρχικοί υπολογισμοί: u = Επιλογή ( ) p cu f s m t 1 γ 1 γ a = m+ c b= m+ t 1 c β t β β β 118

Αριθμητικός Υπολογισμός Δυναμικής Απόκρισης 6. Μη γραμμική ανάλυση: Μέθοδος Newmark ) Υπολογισμοί σε κάθε χρονικό βήμα i: ˆp = p + au + bu i i i i Προσδιορισμός εφαπτ. δυσκαμψίας k γ 1 ˆk i = ki + c+ m β t β Eπίλυση ως προς u ( t) ( t) i 1 1 1 γ γ γ u i = u i u i u i u i = ui u i + t 1 u i β β t β β t β β ui+ 1= ui+ ui u i+ 1= u i+ u i u i+ 1 = u i + u i 3) Αντικατάσταση του i με i+1 και επανάληψη του ) i 119