Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

6. Ανατροφοδότηση Κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Ανατροφοδότηση Κατάστασης Σχεδίαση νόµων ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης µε σκοπό την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος για την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου αναφορικά µε τα χαρακτηριστικά απόκρισης µεταβατικής κατάστασης, και µόνιµης κατάστασης. Ζητούµενο: εύρεση «κερδών» ανάδρασης της κατάστασης στην είσοδο Αναγκαία & ικανή συνθήκη αυθαίρετης τοποθέτησης πόλων: ελεγξιµότητα Τι γίνεται όταν το σύστηµα δεν είναι πλήρως ελέγξιµο - Σταθεροποίηση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Ο Νόμος Ανάδρασης Έστω το ΓΧΑΣ, δηλ.η προς έλεγχο εγκατάσταση (plant): Θεωρούµε νόµο ελέγχου της µορφής: Σκοπός είναι η εύρεση των «κερδών» ανάδρασης Κ της κατάστασης στην είσοδο για την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος µε σκοπό την επίτευξη επιθυµητής απόκρισης κλειστού βρόχου Γενικά: Για µία είσοδο (m = 1): r=0è Ρυθμιστής (Regulator) : σύγκλιση Kostas J. Kyriakopoulos στο ΣΙ ( 0 ) - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Καθορισμός της Δυναμικής Απόκρισης Επιδιώξεις για το σύστηµα κλειστού βρόχου: Ασυµπτωτική Ευστάθεια Συγκεκριµένα Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης σε είσοδο βαθµίδας: Χρόνος ανύψωσης (rise time) Χρόνος κορυφής (peak time) Εκατοστιαία υπερακόντιση (percent overshoot) Χρόνος Αποκατάστασης (settling time) Πως η θέση των ιδιοτιµών επηρεάζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά? Ασυµπτωτική Ευστάθεια : ο πίνακας Α-Β Κ να έχει το πραγµατικό τµήµα όλων των ιδιοτιµών του αυστηρά αρνητικό Χαρακτηριστικά Μεταβατικής Απόκρισης: η σχέση των ιδιοτιµών µε αυτά τα χαρακτηριστικά είναι σαφής µόνο για συστήµατα 1 ης και 2 ης τάξης. Για συστήµατα µεγαλύτερης τάξης βασιζόµαστε σε προσεγγίσεις «κυριαρχούντων υποσυστηµάτων» (domaining subsystem). Πως κάνουµε δηλαδή την επιλογή των ιδιοτιµών («πόλων»)? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 1 ης τάξης Σε σύστηµα 1 ης τάξης, ή µία και µοναδική ιδιοτιµή καθορίζει την απόκριση δεδοµένου ότι η χρονική σταθερά τ δείχνει τον χρόνο αποκατάστασης-95% (3τ) Το παραπάνω σχήµα δίχνει την τυπική απόκριση συστήµατος 1 ης τάξης σε είσοδο συνάρτησης βαθµίδας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης Εάν στο παράδειγµα (που έχουµε δει και στην εισαγωγή) θεωρήσουµε ως είσοδο της µορφής δηλαδή ανηγµένη δύναµη ως προς k, που αντιστοιχεί σε «εντολή µετακίνησης» τότε Απόσβεση Φυσική Συχνότητα Ιδιοτιμές Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υπο-απόσβεση 0 < ξ < 1 : Υποαπόσβεση Απόκριση σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Χαρακτηριστικά Απόδωσης: Χρόνος Ανύψωσης: 10% è 90% Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: Χρόνος Αποκατάστασης: χρόνος µετά από τον οποίο το σύστηµα παραµένει σε µία ζώνη 2% γύρω από την µόνιµη τιµή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Ανοικτός Βρόχος) Στο πρoηγούµενο σύστηµα για m = 1 kg, c = 1 N s/m, k = 10 N/m Χρόνος Ανύψωσης: = 0.30 s Χρόνος Μέγιστης Υπερακόντισης: Μέγιστη Υπερακόντιση: =1.01 s = 60.5% Χρόνος Αποκατάστασης: = 8 s Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Η απόκριση ανοικτού βρόχου που µόλις είδαµε, είναι χαρακτηριστική των συστηµάτων µε µικρή απόσβεση και όπως φάνηκε από το σχήµα, δεν είναι ικανοποιητική. Αντίθετα, θα επιθυµούσαµε µεγίστη υπερακόντιση ~4% και χρόνο αποκατάστασης ~2 s (σε σύγκριση µε τις τωρινές τιµές ~60% και ~7.3 s, αντίστοιχα). Προς τούτο, υιοθετούµε έλεγχο ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης (ουσιαστικά, σε αυτή τη περίπτωση, PD) : Αν αυτός είσαχθεί στο σύστηµα (ανοικτού βρόχου): Λαµβάνουµε το σύστηµα κλειστού βρόχου: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) Από την υπερακόντιση υπολογίζουµε τον επιθυµητό λόγο απόσβεσης : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = π + 100 ξ π 2 PO= 4 1 ξ 100 e ξ 0.716 2 2 Και από τον χρόνο αποκατάστασης υπολογίζουµε την επιθυµητή φυσική t 2 4 4 S = συχνότητα : t! ω! = 2.79 rad / sec S n ξ ω ξ t n S Η επιθυµητή φυσική συχνότητα απόσβεσης είναι : Υπενθυµίζουµε ότι στο σύστηµα ανοικτού βρόχου είχαµε: Ενώ τώρα, στο σύστηµα κλειστού βρόχου έχουµε: = ( s) H = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ 2 ης τάξης: Υποαπόσβεση Παράδειγμα (Κλειστός Βρόχος) ( s) H = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί Η µεταβατική απόκριση καθορίζεται συνήθως µε τη µορφή ανισοτήτων και όχι ισοτήτων. Για συστήµατα : 1 ης τάξης: καθορίζεται ένα άνω φράγµα του χρόνου που χρειάζεται για προσέγγιση κατά ένα ποσοστό (π.χ. 95%) της µόνιµης κατάστασης. 2 ης τάξης: καθορίζονται φράγµατα σε κάποια (ή όλα) από τις προδιαγραφές: χρόνο ανύψωσης, χρόνο µεγίστης υπερακόντισης, µεγίστη υπερακόντιση, και χρόνο αποκατάστασης. Αυτά οδηγούν σε αποδεκτές περιοχές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας. Αυτές αντιστοιχίζονται σε αποδεκτές περιοχές των ιδιοτιµών του συστήµατος κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα Για το παράδειγµα που έχουµε ήδη αναλύσει,αναζητούµε τις ιδιοτιµές που ικανοποιούν τις προδιαγραφές : ( PO 100) ln ( PO ) ln PO = = = = π + 100 4 ts! 2 ξ ωn 2 ξ ωn 2 ξ ω ξ π 2 PO= 4 1 ξ 1 1 O O O 100 e 4 ξ 0.716 θ cos ( ξ) cos ( 0.716) 44.27 44.27 θ 44.27 2 2 n Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε πραγµατικό µέρος, αριστερότερα του -2. t P π π = 0.5 ωd = 6.28 rad / sec ω 0.5 d Υπενθυµίζουµε ότι Αναζητούµε ιδιοτιµές µε φανταστικό µέρος, εκτός του διαστήµατος (-6.28, +6.28). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ : Ανισοτικοί Περιορισμοί - Παράδειγμα ωd 6.28 rad Παρατηρούµε ότι η δοµή των συνθηκών 1 1 & 3 είναι τέτοια όπου η 2 ικανοποιείται πάντα. Συνήθως τίθενται και άλλες συνθήκες που περιορίζουν: προς το θετικότερο το πραγµατικό µέρος των ιδιοτιµών για να περιορισθεί το εύρος ζώνης συστήµατος. Τη φυσική συχνότητα των ιδιοτιµών για να µην οδηγείται (συχνά) η είσοδος του συστήµατος σε κορεσµό. κλπ. O 44.27 θ 44.27 ξ ω 2 n O Εποµένως οι επιθυµητές περιοχές των ιδιοτιµών αντιστοιχούν συνήθως σε 2 συµµετρικές ως προς τον φανταστικό άξονα «ευσταθείς νησίδες». του Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Οταν είναι δυνατόν, τα συστήµατα υψηλής τάξεως προσεγγίζονται από κυριαρχούντα συστήµατα 1 ης ή 2 ης τάξης. Στα κυριαρχούντα υποσυστήµατα οι ιδιοτιµές καθορίζονται όπως προηγουµένως. Οι υπόλοιπες ιδιοτιµές µπορεί να είναι και 10 φορές πιο αριστερά απο τις κυριαρχούσες (αρκεί να µην διεγείρουν πιθανούς θορύβους) Μία (1) κυριαρχούσα ιδιοτιµή : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για µία κυριαρχούσα ιδιοτιµή, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

Επιλογή Ιδιοτιμών για ΓΧΑΣ Υψηλής Τάξεως Δύο (2) κυριαρχούσες ιδιοτιµές : Ο πίνακας δείχνει τις θέσεις των υπολοίπων ιδιοτιµών για 2 κυριαρχούσες ιδιοτιµές, ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος. Το σχήµα δείχνει τις αντίστοιχες αποκρίσεις σε είσοδο µοναδιαίας βαθµίδας Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

Επιλογή Δυναμικής Απόκρισης / ΧΠ / Ιδιοτιμών με τη Μεθοδολογία ΙΤΑΕ Το κριτήριο ITAE (Integral of Time multiplying the Absolute value of Error) οδηγεί σε διαµόρφωση της δυναµικής απόκρισης µε κριτήριο την ελαχιστοποίηση της αντικειµενικής συνάρτησης Στην περίπτωση που επιλεγούν Σ.Μ της µορφής τότε τα ΧΠ που προκύπτουν από το ΙΤΑΕ δίδονται στον παρακάτω πίνακα (ανάλογα µε τη τάξη του συστήµατος) και οι αντίστοιχες αποκρίσεις (για µοναδία βαθµίδα) φαίνονται διπλα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Τοποθέτηση Πόλων Κλειστού Βρόχου με Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Θεώρηµα: Αν A! n n, B! n m τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας K! m n έτσι ώστε σ(α-β Κ) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο. Ουσιαστικά το παραπάνω θεώρηµα θέτει την ελεγξιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός συστήµατος, µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το Κ? Τύπος Ackermann : Για συστήµατα µίας εισόδου, δηλ. A! n n, B! n 1, τότε όπου! n n ο πίνακας ελεγξιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη για ελεγξιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό χαρακτηριστικό πολυώνυµο δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Έστω το SISO ΓΧΑΣ 0 1 0 0 A= 0 0 1 B 0 = C = 1 0 0 18 15 2 1 Για προδιαγραφές PO = 6 % t s = 3 sec Λαµβάνουµε ( PO 100) ln ( PO ) [ ] ln PO = = = = π + 100 4 ts! 3 ωn 2rad/sec ξ ω = = ξ π 2 PO= 6 1 ξ 100 e 6 ξ 0.67 2 2 n Ιδιοτιµές Αν και ευσταθείς, µόνο µε ελαφρά απόσβεση λ1,2 = 1.33± j1.49 : κυριαρχούσες ιδιοτιµές Η τελευταία ιδιοτιµή επιλέγεται 10 φορές πιο γρήγορη, δηλ. 3 2 Επιθυµητό ΧΠ: α ( ) ( )( )( ) λ 3 = 13.33 s = s+ 1.33+ j1.49 s+ 1.33 j1.49 s+ 13.33 = s + 16s + 39.55s+ 53.26 = 3 2 = s + s + s+ α α α Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2 1 0 21

Τύπος του Ackermann: Παράδειγμα Ο πίνακας ελεγξιµότητας είναι Επίσης, από το ΧΠ έχουµε: Και από τον τύπο του Ackermann: 1 K = [ 0 0 1] P α ( A) = [ 35.26 24.55 14] Ο έλεγχος u= K x+ r δίνει την απόκριση του διπλανού σχήµατος στην οποία ικανοποιούνται οι συνθήκες δυναµικής απόκρισης. ΟΜΩΣ: Πως επιτυγχάνεται η επιθυµητή µόνιµη κατάσταση? Θα δούµε παρακάτω... Αν δεν είναι άµεσα διαθέσιµη η κατάσταση? Τι γίνεται σε MIMO συστήµατα? 0 0 1 15 2 1 1 P= 0 1 2 P 2 1 0 = 1 2 11 1 0 0 35.26 24.55 14 3 2 α ( A) = A + 16A + 39.55A+ 53.26 I = 252 174.74 3.45 62.1 200.25 167.84 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

Δυνατότητα Σταθεροποίησης Σε οιοδήποτε ελέγξιµο σύστηµα είναι δυνατή η κατά τις προδιαγραφές τοποθέτηση των πόλων και κατα συνέπεια η σταθεροποίησή (stabilization) του. Είναι δυνατή όµως η σταθεροποίηση ενός µη πλήρως ελέγξιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως ελέγξιµο. Γιατί? Όµως το υποσύστηµα (Α 11, Β 1 ) είναι ένα πλήρως ελέγξιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Δυνατότητα Σταθεροποίησης Αν επιλέξουµε τότε Από την block άνω τριγωνική µορφή (block upper triangular) του πίνακα κλειστού βρόχου είναι φανερό ότι µε τα κέρδη µπορούν να τοποθετήσουµε κατά βούλιση τους 2 (ελέγξιµους) πόλους ενώ ο 3 ος είναι το -2, που είναι ευσταθής. ( ) ( ) ( ) Ορισµός: Το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But, ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,Β), είναι σταθεροποιήσιµο (stabilizable) αν υπαρχει πίνακας κερδών ανάδρασης κατάστασης Κ για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-Β Κ έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Ελεγξιµότητα è Δυνατότητα Σταθεροποίησης (Stabilizability) Δυνατότητα Σταθεροποίησης è Ελεγξιµότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Δυνατότητα Σταθεροποίησης ( ) ( ) ( ) Έστω το ΓΧΑΣ xt! = Axt + But που δεν είναι πλήρως ελέγξιµο. Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που δίδει τους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερδών οπότε ο πίνακας κλειστού βρόχου του µετασχηµατισµένου συστήµατος είναι Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, Β 1 ) είναι πλήρως ελέγξιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. Με τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν µπορούνα να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα σταθεροποίησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το δεν παίζε κανένα ρόλο στη σταθεροποίηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

Δυνατότητα Σταθεροποίησης : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ στο παρελθόν Εξετάσαµε την ελεγξιµότητά του, και Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα ελέγξιµα και µη ελέγξιµα τµήµατα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Για το (Α 11, Β 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Επιλέγουµε λοιπόν και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A B K, A ˆ B ˆ K ˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Kˆ = K T 1 A= T A T ( ) 1 1 B= T B A B K = T A B K T ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση ση µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε νόµο ελέγχου τότε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι Με είσοδο αναφοράς η σαφής προδιαγραφή είναι ( ) ( ) p m p Προφανώς yt, rt! G! Όλη η ανάλυση που θα ακολουθήσει προϋποθέτει ότι m p, δηλαδή αριθµό εισόδων µεγαλύτερο ή ίσο αυτό των εξόδων, και Κ τέτοιο ώστε το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ασυµπτωτικά ευσταθές. Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι H s = C s I A+ B K B G! Επειδή Για να είναι πρέπει =??? CL ( ) ( ) 1 p p Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς Για να είναι πρέπει = Ι p p Ποιός πίνακας G! m p ικανοποιεί αυτή τη συνθήκη? 1 p p 1 m = p : τότε προφανώς C ( A B K) B! G= C ( A B K) B Αν C ( A B K) 1 B µη αντιστρέψιµος τότε λέµε ότι το σύστηµα κλειστού βρόχου έχει ένα µηδενιστή µετάδοσης (transmission zero) στο s = 0. Για να το καταλάβουµε, ας θεωρήσουµε ένα SISO µε τη ΣΜ: C ( s I A+ B K) 1 B. Αυτό θα έχει ένα µηδενιστή στο s = 0. ( ) 1 p m m > p : τότε C A B K B! δηλ. Έχει περισσότερες στήλες από γραµµές. Αν εποµένως rank C ( A B K ) 1 B = p τότε ο G υπολογίζεται από τον ψευδοαντίστροφο Moore-Penrose 1 T 1 1 G= C ( A B K) B C ( A B K) B C ( A B K) B Για να είναι yss = Kdc R πρέπει = Κ dc Πώς αλλάζει η παραπάνω ανάλυση? T 1 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Κέρδος Εισόδου Αναφοράς - Παράδειγμα Σε προηγούµενη φάση, προχωρήσαµε σε τοποθέτηση πόλων µέσω ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης για ένα ΓΧΑΣ µε ΣΜ ανοικτού βρόχου και το κέρδος DC ανοικτού βρόχου Καταλήξαµε στο κερδος και προέκυψε η απόκριση στα αριστερά και η ΣΜ κλειστού βρόχου Επειδή m = p = 1 è ( ) 1 1 1 G= C A B K B K dc = 53.26 = 2.96 18 που οδηγεί στην απόκριση που εµφανίζεται στο δεξιό σχήµα Kdc ( ) = H 0 = 118 1/18 u= K x+ r u= K x+ G r Σερβο- Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ μηχανισμοί 30

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Είδαµε ότι ο υπολογισµός του κέρδους G προϋποθέτει τον υπολογισµό του παράγοντα, ο οποίος στηρίζεται αποκλειστικά στις παραµέτρους του µοντέλου του συστήµατος. Μια τέτοια προσέγγιση δεν είναι «εύρωστη» (robust) γιατι στην πράξη συµβαίνουν τα παρακάτω: Αβεβαιότητα ακριβούς γνώσης των παραµέτρων του συστήµατος Προσεγγιστική παράσταση του συστήµατος (µη θεώρηση όρων άγνωστης ή πολύπλοκης δυναµικής) Μεταβολή των παραµέτρων του συστήµατος. Πως µπορούµε να εξασφαλίσουµε καλή απόδωση υπό αυτές τις συνθήκες? Εδώ προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Προτείνεται ο συνδυασµός της µεθοδολογίας χρήσης ενός ολοκληρωτή του σφάλµατος, και των προηγουµένων µεθοδολογιών ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Η προτεινόµενη µεθοδολογία είναι εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Εδώ, θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο Δηλαδή: το s=0 δεν 2) 0 σ(α) είναι ούτε πόλος ούτε 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήµατος ανοικτού βρόχου μηδενιστής του συστήματος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωµα του σφάλµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Ο νόµος ελέγχου είναι και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Plant A,B Οι εξίσώσεις του αντίστοιχου συστήµατος κλειστού βρόχου είναι ( ) = A x( t) + B u( t) ( ) y( t) = r( t) C x( t)!x t! ξ = r t Και εποµένως η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Εποµένως πρέπει να µπορούµε να τοποθετούµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου Αυτό προϋποθέτει την ελεγξιµότητα του ζεύγους Από την 2 η προϋπόθεση, δηλ. 0 σ(α), ο Α δεν έχει µηδενική ιδιοτιµή è δεν είναι ιδιόµορφος è A 0 Από την 3 η προϋπόθεση, δηλ. Η(0) 0 è SISO Υπενθυµίση από Γραµ. Άλγεβρα: Εποµένως ο δεν είναι ιδιόµορφος. Από την 1 η Ελέγξιμο προϋπόθεση, δηλ. (Α,Β) ελέγξιµο Μπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση, µέσω του πίνακα κερδών, τις (n+1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Θεωρούµε ότι ο πίνακας κερδών υπολογίσθηκε ωστε να εξασφαλίζεται η ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου. Θέλουµε να δείξουµε ότι αν è Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Από τη γραµµική άλγεβρα Αυτό έχει νόηµα γιατί, όπως αποδείξαµε προηγουµένως, A 0, οπότε Εποµένως Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Στο παρελθόν είδαµε το SISO ΓΧΑΣ Είναι στην «κανονική µορφή ελεγκτή», εποµένως το ζεύγος (Α, Β) είναι ελέγξιµο και έτσι ικανοποιείται η 1 η προϋπόθεση. Βρήκαµε ότι η ΣΜ ανοικτού βρόχου είναι και εποµένως δεν υπάρχει ούτε πόλος, ούτε µηδενιστής στο s = 0, ικανοποιόντας τις προϋποθέσεις 2 η και 3 η. Σύµφωνα µε την προηγηθείσα ανάλυση Παράδειγμα 0 1 0 0 A= 0 0 1 B 0 = C = 1 0 0 18 15 2 1 [ ] Αυτό είναι ΓΧΑΣ 4 ης τάξης. Επιλέγουµε ιδιοτιµές σύµφωνα µε το κριτήριο ΙΤΑΕ επιλέγοντας ω n = 2 rad/s : = που έχει ιδιοτιµές : Με τον τύπου του Ackermann βρίσκουµε Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Δεδοµένου ότι ο νόµος ελέγχου είναι: Και το σύστηµα κλειστού βρόχου: Σε επόμενη φάση θα δούμε πως αντιμετωπίζεται η μη- άμεση διαθεσιμότητα κατάστασης Αποµένει να αξιολογήσουµε την «ευρωστία» του σύστήµατος, θεωρόντας µία απόκλιση από την δυναµική του συστήµατος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα ΓΧΑΣ µε Διαταραχή λ 1,2,3 = 1, ±j4 ΓΧΑΣ κανονικό 0 1 0 A = 0 0 1 18 15 2 Από ανάλυση προ- προηγούμενης διαφάνειας Το σύστηµα, παρόλη τη «διαταραχή», παραµένει ασυµπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Από τις αποκρίσεις των συστηµάτων, κανονικού και «διαταραγµένου», βλέπουµε την επίδραση της διαταραχής στην µεταβατική απόκριση. Είναι φανερό όµως ότι επειδή το «διαταραγµένο» σύστηµα έχει διατηρήσει την ευστάθειά του, ένεκα του ολοκληρωτικού όρου, επιτυγχάνει µηδενικό τελικό σφάλµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

7. Παρατηρητές και Ανάδραση Εξόδου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

Εκτίμηση Κατάστασης Η χρήση ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης στο ΓΧΑΣ προαπαιτεί την ακριβή γνώση της κατάστασής του. Αυτό δεν είναι πάντοτε άµεσα δυνατό και, όπως αποδεικνύεται για πλήρως παρατηρήσιµα ΓΧΑΣ, οδηγούµαστε στη σχεδίαση «Παρατηρητών» (Observers) δηλαδή συστηµάτων που στηριζόµενα στη - σε πραγµατικό χρόνο - γνώση των εισόδου και εξόδου του παραπάνω συστήµατος επιτελούν την «εκτίµηση» (estimation) της κατάστασης του ΓΧΑΣ. Εκτίμηση Κατάστασης Ακολούθως, εισάγεται η έννοια της «Ανιχνευσιµότητας» (Detectability) για εκείνες τις περιπτώσεις όπου το σύστηµα δέν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Η εκτίµηση ˆx( t) της κατάστασης (στη θέση της πραγµατικής της τιµής xt ( ) µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο σχήµα ελέγχου ανάδρασης µεταβλητών κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

Ο Παρατηρητής Έστω το προς έλεγχο ΓΧΑΣ : Θεωρούµε παρατηρητή της µορφής: Εκτίμηση Κατάστασης Σκοπός είναι η εύρεση των «πίνακα κερδών παρατηρησης» L που δίνει το βάρος µε το οποίο λαµβάνεται υπόψη ο όρος (η «απόκλιση» της εξόδου που θα προέκυπτε από την εκτίµηση από τη τρέχουσα πραγµατική έξοδο) σε ένα ΓΧΑΣ, που κατά τ αλλα προσοµοιώνει τη δυναµική της εγκατάστασης. Αν ορίσουµε το σφάλµα εκτίµησης µπορούµε να πάρουµε τη δυναµική σφάλµατος : Προφανώς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

Ο Παρατηρητής Αν τότε οπότε η δοµή της δυναµικής σφάλµατος!"( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) xt = A LC xt συνεπάγεται (γιατί?) xt! = 0 xt ˆ = xt t 0 Όµως ΔΕΝ είναι δυνατόν πάντοτε να ξέρουµε την αρχική κατάσταση, δηλ. ( ) ( ) ( ) Όµως, µε κατάλληλη επιλογή του L, το xt!" = A LC xt " µπορεί να γίνει ευσταθές και το xt! να τείνει στο 0. ( ) Η δοµή του παρατηρητή και όλου του συστήµατος φαίνονται αναλυτικότερα,από πριν, στο διπλανό σχήµα. Επίσης, καταλήξαµε στη παραπάνω Δ.Ε. σφάλµατος, κάνοντας την ΥΠΟΘΕΣΗ ότι οι πίνακες Α, Β, C του παρατηρητή (δηλ. το µοντέλο που «τρέχει» σε λογισµικό) ταυτίζονται µε αυτούς του πραγµατικού συστήµατος. Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή Επειδή σ(α-l C) = σ((α-l C) Τ ) και (Α-L C) Τ =Α Τ -C T LT, άν θεωρήσουµε τις αντιστοιχίες : Α Α Τ Β C Τ K L Τ βλέπουµε ότι η τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-L C µέσω του L είναι αντίστοιχη µε τη τοποθέτηση ιδιοτιµών του Α-Β Κ µέσω του Κ.Υπάρχει δηλ. διαδικότητα (duality) µεταξύ των προβληµάτων. Θεώρηµα: Αν A! n n, C! p n τότε για κάθε σύνολο n µιγαδικών αριθµών {µ 1, µ 2,, µ n }, στο οποίο οι µη αµιγώς πραγµατικοί εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη, υπάρχει ένας πίνακας L! n p έτσι ώστε σ(α-l C) = {µ 1, µ 2,, µ n } αν και µόνο αν το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιµο. Το παραπάνω θεώρηµα θέτει την παρατηρησιµότητα ως αναγκαία και ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη (εφόσον οι µη αµιγώς πραγµατικές εµφανιζονται ως συζυγή ζεύγη) τοποθέτηση όλων των ιδιοτιµών ενός παρατηρητή, µέσω κατάλληλου πίνακα κερδών ανατροφοδότησης. Πως ευρίσκεται αυτό το L? Τύπος Ackermann: Για συστήµατα µίας εξόδου, δηλ. A! n n, C! 1 n, τότε 1 όπου L= α ( A) Q ( A C) [! ], 0 0 0 1 T T T T T T n ( ) 1 T Q= C C A C A!! n n ο πίνακας παρατηρησιµότητας που επειδή εµφανίζεται σε µορφή αντιστρόφου είναι εµφανής η ανάγκη γιά παρατηρησιµότητα : οι συντελεστές του δίνονται από το επιθυµητό ΧΠ του Α-L C δηλ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ Πόλοι Ανοικτού Βρόχου Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T è Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = 1 1 1 T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = 0 0 0 T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). Στη συνέχεια θα δούµε και την περίπτωση κλειστού βρόχου. 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

Τοποθέτηση Πόλων Παρατηρητή: Παράδειγμα - 2 Στο παρελθόν θεωρήσαµε το ΓΧΑΣ Επιλέξαµε πόλους κλειστού βρόχου Επιλέγουµε πόλους παρατηρητή κατά πολύ ταχύτερους (~10 φορές) για να συγκλίνει γρήγορα η εκτίµηση, δηλ. 1 = α ( ) (, ) [ 0 0! 0 1] T L = [ ] L A Q A C 158 3624 43624 T Τα µεγάλα κέρδη παρατηρητή οφείλονται στους επιλεγέντες πολύ γρήγορους πόλους παρατηρητη. Αυτό δυνητικά οδηγεί σε «ευαίσθητο» σύστηµα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Σερβομηχανισμοί 48

Ανιχνευσιμότητα Σε οιοδήποτε παρατηρήσιµο σύστηµα είναι δυνατή η ανάπτυξη παρατηρητή µε πόλους κατά τις προδιαγραφές τοποθετηµένους και κατα συνέπεια η παρατήρησή του. Είναι δυνατή όµως η παρατήρηση ενός µη πλήρως παρατηρήσιµου συστήµατος? Απάντηση: Ναι υπό τη προυπόθεση ότι το σύστηµα είναι ανιχνεύσιµο (detectable) Παράδειγµα: Το SISO ΓΧΑΣ Όπως φαίνεται παρακάτω είναι µη πλήρως. παρατηρήσιµο. Όµως το υποσύστηµα (Α 11, C 1 ) είναι ένα πλήρως παρατηρήσιµο σύστηµα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Ανιχνευσιμότητα Αν επιλέξουµε τότε Από την block κάτω τριγωνική µορφή (block lower triangular) του πίνακα παρατηρητή είναι φανερό ότι µε το κέρδος l 1 µπορούµε να τοποθετήσουµε κατά βούληση τον 1 ο πόλο ενώ οι 2 ος & 3 ος είναι οι -1, -2, που είναι ευσταθείς, και κατά συνέπεια το ίδιο και η δυναµική σφάλµατος. Τα κέρδη l 2, l 3 δεν µπορούν να έχουν καµµία επίδραση στη δυναµική σφάλµατος. Ορισµός: Το ΓΧΑΣ y= C x ή αλλοιώς το «ζεύγος» (Α,C), είναι Ανιχνεύσιµο (Detectable) αν υπαρχει πίνακας κερδών παρατηρητή L για τον οποίο όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α-L C έχουν αυστηρά αρνητικό πραγµατικό τµήµα. Παρατηρησιµότητα è Ανιχνευσιµότητα (Detectability) x! = A x+ B u Ανιχνευσιµότητα è Παρατηρησιµότητα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

Ανιχνευσιμότητα x! = A x+ B u Έστω το ΓΧΑΣ όπου το (Α,C) δεν είναι πλήρως παρατηρήσιµο. y= C x Ως γνωστόν, υπάρχει µετασχηµατισµός που δίδει τους πίνακες του µετασχηµατισµένου συστήµατος όπου το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο. Γι αυτό το σύστηµα, θεωρούµε τον κατάλληλα «κατατµηµένο» πίνακα κερ- -δών οπότε ο πίνακας παρατη- -ρητή του µετασχηµατισµένου συστήµατος : Αυτός ο πίνακας έχει ιδιοτιµές: Αυτές του όπου, επειδή το (Α 11, C 1 ) είναι πλήρως παρατηρήσιµο, µπορούν να τοποθετηθούν (π.χ. µε τον τύπο του Ackermann) κατά βούληση, και Αυτές του (που δεν µπορούνα να µετακινηθούν). Εποµένως η δυνατότητα παρατήρησης του ΓΧΑΣ προϋποθέτει ότι το έχει ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους. Παρατηρούµε δε ότι το L 2 δεν παίζε κανένα ρόλο στη παρατήρηση του συστήµατος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

Ανιχνευσιμότητα : Παράδειγμα Για το ΓΧΑΣ Εξετάσαµε την παρατηρησιµότητά του, και Είδαµε το τρόπο µετασχηµατισµού του σε µορφή που «ξεχωρίζουν» τα παρατηρήσιµα και µη παρατηρήσιµα τµήµατα Επειδή Α 22 = -3, προφανώς το σύστηµα είναι σταθεροποιήσιµο. Για το (Α 11, C 1 ) επιλέγουµε ιδιοτιµές - 2 ± j 2 και µέσω του τύπου του Ackermann υπολογίζεται ο σχετικός πίνακας κερδών L 1 = [ 1 3] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο πινακας έχει τις επιθυµητές ιδιοτιµές. Επιλέγουµε λοιπόν L ˆ = [ 1 3 0] T και µπορεί να πιστοποιηθεί ότι ο έχει ιδιοτιµές - 2 ± j 2, -3. Επειδή θέλουµε οι διοτιµές των A L C, Aˆ Lˆ Cˆ να ταυτίζονται, βάσει των ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 L= T L 1 A= T A T ( ) 1 C = C T A L C = T A L C T ( ) ( ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Για τη σταθεροποίση µέσω ανάδρασης / ανατροφοδότησης κατάστασης του ΓΧΑΣ γνωρίζουµε ότι: η ελεγξιµότητα του ζευγους (Α, Β) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η τοποθέτηση πόλων κλειστου βρόχου µέσω του νόµου ελέγχου η παρατηρησιµότητα του ζευγους (Α, C) είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι δυνατή η εκτίµηση κατάστασης του ΓΧΑΣ µέσω του παρατηρητή Αν γίνει διασύνδεση των παραπάνω συστηµάτων προκύπτει το συνολικό σύστηµα του σχήµατος: Controller Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού Η διασύνδεση µεταξύ παρατηρήτή και ελεγκτή οδηγεί στη δοµή Το σχήµα της προηγούµενης σελίδας εξειδικεύεται στο δοµικό διάγραµµα ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt! Axt BK xt Brt T T Παρατηρούµε ότι δηλαδή x x! = T x xˆ όπου I I 0 I 1 T = = T και εποµένως [ ] [ ] Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Η Ιδιότητα του Διαχωρισμού H block τριγωνική µορφή του συνολικού πίνακα δείχνει ότι οι 2n ιδιοτιµές είναι Λόγω του ότι οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων ΔΕΝ επηρεάζουν τις ιδιοτιµές, προφανώς Αυτή είναι η Ιδιότητα Διαχωρισµού (Separation Property) που καθορίζει ότι: οι 2n πόλοι του συστήµατος x xˆ T διαχωρίζονται: [ ] σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστηµα ελέγχου και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του K στον πίνακα Α-ΒΚ, και σε αυτές που αντιστοιχούν στο σύστηµα παρατήρησης και καθορίζονται απο κατάλληλη επιλογή του L στον πίνακα Α-LC. Οι πόλοι του Α-LC πρέπει να είναι (~10 φορές) ταχύτεροι από τους κυριαρχούντες του Α-ΒΚ. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έστω το ΓΧΑΣ (ήδη εξετασθέν) Πόλοι Ανοικτού Βρόχου «Οριακά Ευσταθές» Σύστημα Το σύστηµα ανοικτού βρόχου ΔΕΝ είναι ΒΙΒΟ ευσταθές. Για το σύστηµα «συντονίζεται» και οδηγεί σε µη-φραγµένη απόκριση (να δειχθεί). Επιλέγουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς πόλους κλειστού βρόχου. è ΧΠ: Από τον τύπο του Ackermann προκύπτει: Κ Ο πίνακας κλειστού βρόχου είναι: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Έπιλέξαµε: Πόλοι Παρατηρητή ΧΠ Παρατηρητή 1 ( ) ( ) [ ] L= α A Q A, C 0 0! 0 1 T Αν θέλουµε απλή σταθεροποίηση τότε επιλέγουµε r(t) = 0 στον νόµο ελέγχου ˆ οπότε ( ) = ( ) + ( ) ut Kxt rt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 xt ˆ! Axt ˆ But L yt yt ˆ Axt ˆ But L yt Cxt ˆ A LC xt ˆ But Lyt ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) Παρατηρητής Αν θεωρήσουµε τις τροχιές που προκύπτουν από το ΓΧΑΣ για [ ] x 0 = 1 1 1 T από τον παρατηρητή (όπως εµφανίζεται παραπάνω) και για x ˆ = 0 0 0 T [ ] Είναι φανερή η ασυµπτωτική σύγκλιση της εκτίµησης του παρατηρητή προς τη πραγµατική τροχιά του ΓΧΑΣ (που µάλιστα δεν είναι συγκλίνουσα). 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

Ως γνωστόν xt ˆ = A LC xt ˆ + But + Lyt. Από προηγουµένως Οπότε Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) xt ˆ! A LC BK xt Lyt ( ) = Cxt ( ) yt xt ˆ! A LC BK xt LCxt ( ) = ( ) ˆ( ) + ( ) ( ) = Kxt ˆ( ) ut x! = A x BK xˆ ( ) = ( ) + ( ) xt! Axt But Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

Αντιστάθμιση Βασισμένη σε Παρατηρητές Ιδιότητα Διαχωρισμού: Παράδειγμα - 1 Στο διπλανό σχήµα, φαίνονται τα αποτελέσµατα προσοµοιώσεων για Φαίνονται η σύγκλιση της κατάστασης στο «0», και η σύγκλιση της εκτίµησης προς την πραγµατική κατάσταση Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω, θα αλλάξει κάποια από τις 2 καµπύλες και ποιά? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Μέχρι στιγµής δόθηκε έµφαση στη µεταβατική απόκριση. Τώρα θα ασχοληθούµε µε τη παρακολούθηση εισόδου βαθµίδας µέσω δύο (2) προσεγγίσεων: Ενσωµάτωση της εισόδου αναφοράς στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Σερβοµηχανισµοί: Ενσωµάτωση ολοκληρωτικού παράγοντα του σφάλµατος στο νόµο ελέγχου µε ανατροφοδότηση κατάστασης. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

Αν στο ΓΧΑΣ xt! = Axt + But χρησιµοποιήσουµε νόµο ελέγχου ut Kxt ˆ Grt τότε επειδή ˆx x x γίνεται Ως γνωστόν Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Κέρδος Εισόδου Αναφοράς ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) xt! ( ) = Axt ( ) BK xt ˆ( ) + BGrt ( ) που =! xt! ( ) = ( A BK ) xt ( ) + BK xt "( ) + BGrt ( ) xt!"( ) = ( A LC ) xt "( ) Ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι: CL δηλαδή ίδιος µε τη περίπτωση διαθέσιµης κατάστασης. Άρα ισχύει η ανάλυση του προηγούµενου κεφαλαίου Γιατί ο πίνακας µεταφοράς κλειστού βρόχου είναι ίδιος? ( ) ( ) 1 p p = +! H s C s I A B K B G Οι ΣΜ καθορίζουν τη σχεση εισόδου-εξόδου για ΜΗΔΕΝΙΚΕΣ αρχικές συνθήκες... Εδώ: Αυτό όµως θα σήµαινε xt!( ) = 0 t 0. Άρα οι περιπτωσεις: (α) µε παρατηρητή και (β) χωρίς παρατηρητή, θα ήταν ίδιες... ( ) ( ) ( ) ( ) [ 0] ( ) "( ) ( ) ( ) xt! A BK BK xt BG = + r t xt 0 ( A LC ) xt 0!" " y t = C x t x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62 T ( )

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Η µεθοδολογία του Σερβοµηχανισµού προτάθηκε προγουµένως ως εύρωστη αναφορικά µε τις αβεβαιότητες των παραµέτρων ανοικτού βρόχου, µε την έννοια ότι: Διασφαλίζεται η παρακολούθηση της εισόδου βαθµίδας, Εφόσον η ευστάθεια κλειστού βρόχου είναι δεδοµένη. Σκοπεύουµε να επιτύχουµε: Ασυµπτωτική ευστάθεια του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Ασυµπτωτική παρακολούθηση εισόδου αναφοράς τύπου συνάρτησης βαθµίδας. Θεωρούµε την περίπτωση SISO και στηριζόµαστε στις παρακάτω προϋποθέσεις: Το s=0 δεν είναι ούτε 1) Το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιµο και παρατηρήσιµο πόλος ούτε μηδενιστής 2) 0 σ(α) του συστήματος ανοικτού βρόχου 3) Η(0) 0, όπου Η(s) η ΣΜ του συστήµατος ανοικτού βρόχου Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

Αν r(t) είναι η είσοδος αναφοράς, ο προτεινόµενος νόµος ελέγχου είναι όπου είναι φανερό ότι το ξ(t) είναι το ολοκλήρωµα του σφάλµατος και το συνολικό δοµικό διάγραµµα είναι Αν λάβουµε υπόψη µας και τις βασικές εξισώσεις : [ K k ] ˆ I x( t) ξ ( t) xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) y( t) = C x( t) xt ˆ ( ) = xt ( ) xt "( ) Καταλήγουµε στο σύστηµα κλειστού βρόχου: Εποµένως, η απόκριση του συστήµατος εξαρτάται από τις 2n+1 ιδιοτιµές αυτού του συστήµατος. Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64 T

Ο πίνακας δυναµικής είναι block άνω τριγωνικός. Προφανώς, ένεκα παρατηρησιµότητας, n πόλοι τοποθετούνται µέσω του L στο block: (A-L C) Μπορούµε, όπως είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, να κάνουµε ασυµπτωτικά ευσταθείς, µέσω του πίνακα κερδών [Κ k Ι ], τις (n+1) ιδιοτιµές του πίνακα κλειστού βρόχου : Θέλουµε να δείξουµε ότι αν è Εποµένως : Πρέπει να βρούµε την σχέση των στο ΣΙ του συστήµατος κλειστού βρόχου, και Μετά να αποδέιξουµε ότι Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» Βασει της ανάλυσης του προηγούμενου κεφαλαίου è ( ) 0= A L C x! x! = 0 Ο (Α-LC) είναι ασυμπτωτικά ευσταθής è μη ιδιόμορφος SS SS Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Σε ΓΧΑΣ που εξετάσαµε προηγουµένως, βρήκαµε τον πίνακα κερδών του σερβοµηχανισµού. Επίσης, σε προηγούµενο παράδειγµα βρήκαµε τα κέρδη παρατηρητή Εποµένως L = Σύστηµα xt! ( ) = Axt ( ) + But ( ) 0 1 0 0 Έξοδος A= 0 0 1 B= 0 yt C = [ 1 0 0 ( ) = Cxt ( ) ] Νόµος Ελέγχου 18 15 2 1 [ ] 158 3624 43624 T Παρατηρητής Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66

Παρακολούθηση Εισόδου Βαθμίδας: Αντιστάθμιση μέσω Παρατηρητή Σχεδιασμός «Σερβομηχανισμού» : Παράδειγμα Για r(t)=1 t 0, λαµβάνουµε την απόκριση εξόδου και µεταβλητών κατάστασης. Ποιά από τις 2 συγκλίσεις είναι ταχύτερη και γιατί? ( ) Αν το xˆ 0 επιλεγεί διαφορετικά απ ότι παραπάνω τι θα αλλάξει? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 67