ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε την παράµετρο t IR και προσθέτουµε τα διανύσµατα και tβ =α+ tβ= i j+ 4k+ t( 2i + 3j+ = ( 1+ 2t) i + ( 1+ 3t) j+ ( 4+ t) k = xi + yj+ zk Παραµετρικές εξισώσεις: Αντικαθιστούµε το µε xi + yj+ zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t Καρτεσιανές εξισώσεις: Απαλείφουµε το t από τις παραµετρικές εξισώσεις, επιλύνοντας ως προς t και εξισώνοντας τις λύσεις x 1 y+ 1 = = z 4 2 3 Παρατηρούµε π.χ. πως η σχέση x 1 y + = 1 δίνει 3x 2y = 5 και η σχέση y + 1 = z 4 δίνει 2 3 3 y 3z = 13. Κάθε µια από τις σχέσεις 3x 2y = 5 και y 3z = 13 περιγράφει ένα επίπεδο. Η απουσία µιας µεταβλητής σηµαίνει πως τα εν λόγω επίπεδα είναι παράλληλα προς τον αντίστοιχο άξονα (η εξίσωση κάθε επιπέδου ως γραµµική σχέση δύο µόνον µεταβλητών στην περίπτωση αυτή περιγράφει επίσης ευθεία γραµµή, την τοµή του επιπέδου µε το επίπεδο των δύο άλλων αξόνων). Από το σύστηµα των καρτεσιανών εξισώσεων για την ευθεία µας µπορούµε να επιλέξουµε δύο οποιαδήποτε άλλα επίπεδα τα οποία δεν έχουν αυτή τη χαρακτηριστική ιδιότητα π.χ. προσθέτοντας και αφαιρώντας τις εξισώσεις 3x 2y = 5 και y 3z = 13 κατά µέλη, δηλαδή: 3x 2y = 5 3x 2y = 5 3x y 3z = 8 και y 3z = 13 y 3z = 13 3x 3y + 3z = 18 Εν γένει η εξίσωση ενός επιπέδου έχει τη µορφή α x+β y+γ z =δ και οι καρτεσιανές εξισώσεις µιας ευθείας προκύπτουν από τη λύση, εφόσον υπάρχει ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε τρεις αγνώστους απαλείφοντας διαδοχικά µια διαφορετική µεταβλητή.
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 2/6 Πρόβληµα 1 Να βρεθεί η εξίσωση της τοµής των επιπέδων x + y 3z = 6, 2x y + z = 4. Απαλείφοντας διαδοχικά τις µεταβλητές y & x: x+ y 3z = 6 3x 2z = 10 2x y + z = 4 x+ y 3z = 6 2x+ 2y 6z = 12 3y 7z = 8 2x y + z = 4 2x + y z = 4 Επιλύουµε ως προς την κοινή µεταβλητή z: 3x 10 3x 2z = 10 z = 2 3x 10 3y 8 και z = = Καρτεσιανές εξισώσεις 3y 8 2 7 3y 7z = 8 z = 7 Θέτουµε z(t) = t και επιλύουµε ως προς x & y: 2t + 10 7t + 8 x(t) =, y(t) =, 3 3 z(t) = t και θέτουµε t = 3s: 10 8 x(s) = 2s +, y(s) = 7s +, 3 3 z(s) = 3s Παραµετρικές εξισώσεις Μεταγράφουµε σε διανυσµατική µορφή 10 8 = i + j+ s( 2i + 7j+ 3k ) ιανυσµατική εξίσωση 3 3 Εναλλακτικά, απαλείφοντας διαδοχικά τις µεταβλητές y & z: x+ y 3z = 6 3x 2z = 10 2x y + z = 4 και επιλύουµε ως προς την κοινή µεταβλητή x: x+ y 3z = 6 7x 2y = 18 6x 3y + 3z = 12 2y + 18 2z + 10 x = = Καρτεσιανές εξισώσεις 7 3 Θέτουµε x(t) = t και επιλύουµε ως προς y & z: 7t 18 3t 10 x(t) = t, y(t) =, z(t) = και θέτουµε t = 2s 2 2 x(s) = 2s, y(s) = 7s 9, z(s) = 3s 5 Παραµετρικές εξισώσεις Μεταγράφουµε σε διανυσµατική µορφή: = 9i + 5j+ s 2i + 7j+ 3k ιανυσµατική εξίσωση ( )
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 3/6 ) Επίπεδο Επίπεδο διέρχεται από τα σηµεία Α (0, 1, 1), Β (2, 1, 0) και Γ (-2, 0, 3). Τα διανύσµατα θέσης των σηµείων Α, Β και Γ είναι αντίστοιχα: = j+ k, = 2i + j, = Γ 2i + 3k. Θέτουµε: β= = 2i k, γ= = 2i j+ 2k Γ Α β Β = + tβ+ sγ θ γ Γ φ Ο ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε τις παραµέτρους t,s IR και προσθέτουµε τα διανύσµατα, t β, sγ = + tβ+ sγ = j+ k+ t( 2i + s( 2i j+ 2 = ( 2t 2s) i + ( 1 s) j + ( 1 t + 2s) k = xi + yj+ zk Παραµετρικές εξισώσεις: Αντικαθιστούµε το µε xi + yj+ zk συνιστώσες των διανυσµάτων x(t,s) = 2t 2s, y(t,s) = 1 s, z(t,s) = 1 t + 2s Καρτεσιανή εξίσωση: Απαλείφουµε τα t και s από τις παραµετρικές εξισώσεις και εξισώνουµε τις y = 1 s s = 1 y & z = 1 t+ 2s = 1 t+ 2( 1 y ), x = 2t 2s = 2t 2( 1 y) = + ( ) = + ( ) + = + ( ) ( ) x = 2t 2( 1 y) x = 2t 2( 1 y) z 1 t 2 1 y 2z 2 2t 4 1 y Άρα x+ 2y+ 2z = 4 Επίσης αν υπολογίσουµε το διάνυσµα =β γ= i + 2j+ 2k την ίδια προβολή επί του, δηλαδή cos θ = cos φ. 2z x 2 4 1 y 2 1 y = 4 2y τα διανύσµατα και έχουν
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 4/6 Αλλά = cos φ, = cosθ, εποµένως = και επειδή = j+ k i + 2j+ 2k = 4 και = xi + yj+ zk i + 2j+ 2k = x+ 2y+ 2z η ( ) ( ) ( ) ( ) εξίσωση του επιπέδου είναι x+ 2y+ 2z = 4 Επιπλέον η προβολή των και ισούται µε cosθ= = Εποµένως από την Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου α x+β y+γ z =δ συνάγουµε πως το διάνυσµα α i +β j+γk είναι κάθετο στο επίπεδο και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση µε ( ) 1 2 2 2 2 δ α +β +γ Πρόβληµα 2 Να βρεθεί η Καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου = (1+ s t)i + (2 s)j + (3 2s+ 2t)k. Αρκεί να βρούµε ένα διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο και το διάνυσµα θέσης οποιουδήποτε σηµείου του επιπέδου. Η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου γράφεται = i + 2j+ 3k+ t( i + 2 + s(i j 2 Άρα το διάνυσµα = i + 2j+ 3k είναι το διάνυσµα θέσης του σηµείου Α (1, 2, 3) του επιπέδου, τα διανύσµατα i + 2k, i j 2k είναι παράλληλα προς το επίπεδο και το διάνυσµα = ( i + 2 (i j 2 = 2i + k είναι κάθετο στο επίπεδο. Εποµένως η εξίσωση του επιπέδου = είναι 2i + k = i + 2j+ 3k 2i + k = 5 ή 2 x + z = 5. ( ) ( ) ( ) Πρόβληµα 3 Να βρεθεί η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου x+ 2y+ 2z = 4. Αρκεί να βρούµε τρία σηµεία που ανήκουν στο επίπεδο. Θέτουµε τιµές στις δύο από τις τρεις συντεταγµένες και υπολογίζουµε την τρίτη από την καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου, π.χ. (0,0,2),(0,2,0),(4,0,0). Παρατηρούµε επίσης πως η εξίσωση του επιπέδου = + tβ+ sγ εφόσον β=, γ= Γ γράφεται και συναρτήσει των διανυσµάτων θέσεως των τριών σηµείων = + t + s = 1 t s + t + s ( ) ( ) ( ) Γ Άρα η διανυσµατική εξίσωση του επιπέδου είναι: = 1 t s 2k + t 2 j + s 4i = 2k + t 2 j + 2k + s 4i + 2k ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Παρατήρηση Η εξίσωση αυτή δεν θυµίζει σε τίποτε την αρχική διανυσµατική εξίσωση (βλ.. σελ. 3 των Σηµειώσεων) αλλά µπορούµε να διαπιστώσουµε πως τα κάθετα διανύσµατα στο επίπεδο είναι 2 j + 2k 4i + 2k = 4 i + 2 j + 2k. συγγραµµικά. Πράγµατι ( ) ( ) ( ). Γ
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 5/6 Γ) Γωνίες Γ1) Η γωνία θ που σχηµατίζουν οι ευθείες 1 = 1 + tβ 1 και 2 = 2 + tβ 2 είναι οι γωνία που β1 β2 σχηµατίζουν τα παράλληλα προς τις ευθείες διανύσµατα, άρα cos θ=. Αν οι ευθείες δεν β β είναι παράλληλες, περίπτωση κατά την οποία cos θ =± 1, οι ευθείες ενδέχεται να τέµνονται ή να είναι ασύµβατες. Αν c os θ< 0 η (ζητούµενη) οξεία γωνία είναι π θ. Πρόβληµα 4 Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες 1 = i j+ 3k+ t( i j+ 2 = 2i + 4j+ 6k+ t( 2i + j+ 3 και να ελεγχθεί αν τέµνονται ή όχι. 1 2 Τα διανύσµατα i j+ k και 2i + j + 3k δεν είναι συγγραµµικά εποµένως οι ευθείες δεν είναι παράλληλες. ( i j+ ( 2i + j+ 3 4 cos θ= = 2 2 2 2 2 2 1 + ( 1) + 1 2 + 1 + 3 3 14 Επίσης η σχέση 1 = 2 συνεπάγεται 1+ t = 2+ 2s, 1 t = 4+ 2s,3+ t = 6+ 3s. 1+ t = 2+ 2s t = 3 1 t = 4 + 2s και οι τιµές αυτές ικανοποιούν τη σχέση 3+ t = 6+ 3s, άρα οι ευθείες s = 2 τέµνονται. Πρόβληµα 5 Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζουν οι ευθείες 1 = i + k+ t( i + 3j+ 4 2 = 2i + 3j+ t( 4i j+ και να ελεγχθεί αν τέµνονται ή όχι. Τα διανύσµατα i + 3j+ 4k και 4i j + k δεν είναι συγγραµµικά εποµένως οι ευθείες δεν είναι παράλληλες. ( i + 3j+ 4 ( 4i j+ 5 1 cos θ= = = 2 2 2 2 2 2 1 + 3 + 4 4 + ( 1) + 1 25 17 17 Αλλά η σχέση 1 = 2 συνεπάγεται 1+ t = 2+ 4s,3t = 3 3s (και 1+ 4t = s) από όπου t = 1,s = 0 που δεν ικανοποιούν την 1+ 4 t = s. Άρα οι ευθείες δεν τέµνονται. Γ2) Η γωνία θ που σχηµατίζουν τα επίπεδα 1 = 1 και 2 = 2 είναι ίση µε τη γωνία των καθέτων στα επίπεδα διανυσµάτων 1 και 1 2 2, εποµένως cos θ=. Αν cos θ < 0 η (ζητούµενη) οξεία γωνία είναι π θ. Γ3) Η γωνία θ που σχηµατίζει η ευθεία = + tβ 1 2 και και µε το επίπεδο = ισούται µε π φ, όπου 2 φ κάθετο στο επίπεδο διάνυσµα η οξεία γωνία που σχηµατίζει το παράλληλο προς την ευθεία διάνυσµα β. Εποµένως si θ= β. β µε το
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 6/6 ) Αποστάσεις 1) Απόσταση σηµείου µε διάνυσµα θέσεως από την ευθεία µε εξίσωση = + tβ. Α γινοµένου των πλευρών ( ) β β Θεωρούµε το παραλληλόγραµµο µε πλευρές και β, επί του επιπέδου που ορίζουν η ευθεία και το σηµείο. Το εµβαδόν του ισούται αφενός µε το γινόµενο της βάσης β επί το ύψος (), που είναι και η ζητούµενη απόσταση, και αφετέρου µε το µέτρο του εξωτερικού 1. Εποµένως () = ( ) β. β 2) Απόσταση σηµείου µε διάνυσµα θέσεως από το επίπεδο µε εξίσωση = D, D > 0 (Η συµβατική συνθήκη D > 0 σηµαίνει πως το διάνυσµα αποµακρύνεται από την αρχή των αξόνων και ικανοποιείται εύκολα µε αλλαγή του προσήµου του αριστερού µέλους). D Αν ˆ = το µοναδιαίο άνυσµα κάθετο στο επίπεδο τότε d = είναι η απόσταση του επιπέδου από την αρχή των αξόνων, = ˆ η προβολή του στο και η ζητούµενη απόσταση ισούται µε ˆ d (αρνητικό πρόσηµο στο αποτέλεσµα σηµαίνει πως το σηµείο και η αρχή των αξόνων βρίσκονται από την ίδια πλευρά του επιπέδου). ˆ d ˆ