- PDF ΔΩΡΕΑΝ Λήψη

0 1 0 1/3 2/3 1 0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1 0 1

Α Δ Β Γ Ε Ζ

dim log log

dim log log dim log log dim log log dim log log dim log log dim log log

ln lim ln

inf dim inf

min a d(a, B) b a B B

max max

max max db(a) A B

max h(a, B) A B

(α) (β) (γ) 1 2 3 1 5 9 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 6 7 8 10 11 12 2

Επαναλαμβανόμενο Σύστημα Συναρτήσεων z W(z) ελκυστής Συμπλήρωμα του ελκυστή Μόνο γεωμετρία Γεωμετρία και μέτρο Εκτιμητής απόστασης Ακέραιος χρόνος διαφυγής Συνάρτηση δυναμικού Συνεχής χρόνος διαφυγής Χρήση ομοιόμορφου μέτρου Χρήση αναλλοίωτου μέτρου Σταθμισμένος μέσος χρόνος διαφυγής

A t x Ax t

A 0 W( A 0 ) W ( A 0 ) W ( A 0 ) W ( A 0 ) W ( A 0 ) W ( A 0 ) W ( A 0 )

t = 0 t = 1 t = 2 120 o s s/3 s/3 s/3 s/3 60 o 60 o

ln log

z 0 α) β)

Ελκυστικό σημείο Το σημείο 0+ i 0 έλκει τα εσωτερικά σημεία του μοναδιαίου δίσκου α) β)

lim lim

0.4 0.2 0-0.2-0.1-0.2-0.3-0.4-0.25-0.3-0.35-0.4-0.5-0.4-0.6-0.6-0.45-0.7 1.2 1.25 1.3 1.35 1.4 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

lim 1 0.5 0-0.5-1 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5

Ἦ τοι μὲν πρώτιστα Χάος γένετ. αὐτὰρ ἔπειτα Γαῖ εὐρύστερνος Ἡσίοδος (Θεογονία Θ116 117)

pn k 0.3 pn k 2.4 0.9 0.8 5 10 15 20 25 30 n 1.2 5 10 15 20 25 30 n 0.7 0.8 0.6 0.5 0.6 0.4 0.3 0.4 pn k 0.8 5 10 15 20 25 30 n 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 pn k 1.85 pn k 2.5 1.2 5 10 15 20 25 30 n 0.8 0.6 0.4 pn k 2.9 0.8 5 10 15 20 25 30 n 1.2 0.8 5 10 15 20 25 30 n 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 max

cos exp

1 0.8 0.6 xn1 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xn

1.4 1.2 1 xn1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 x n

ln ln ln ln ln

ln ln ln

lim lim ln ln lim ln

lim ln

0-1 -2-3 -4 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

1 0.8 0.6 xn1 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x n

25000 20000 15000 10000 5000 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

1 x n r x n1 1x n1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 r

Κλιµακοστασιο Χ0=0.1 α=1.75 Ρα=3/7 Ελικας α=2.75 Ρα=7/11 1 0 Pa Pa 0 1

S1 : 0<s<1 S1 Ελκυστικο σηµειο το 0 S2 S2 : 1<s<0 Ελκυστικο σηµειο το 0 Sx Εσω Ελιξ Εσω Κλιµακοστασιο Sx

U1: S>1 U2 : S< 1 Εξω Κλιµακοστασιο Εξω Ελιξ

α=1.75 Χ0=0.1 C 0 Pa 1 L R

α=3 α=3 Pa Pa

α=3.236 α=3.236 Pa Xl Pa Xn

δκ 1 δκ 3 3.5

HH U1 U2 High HL LH Low LL b1 d1 b2 d2

α=1.6 Στενο Περασµα 0 Xk=X0 1

α=1.7264 Νεο σταθερο σηµειο 0 Χκρ=0.7286 1

α=3.8284 0 1/2 Χ Χ0=0.5524 1 Τεινει τελικως στο Χ Σαγµατικο σηµειο

α=3.8284 0 1/2 Χ Χ0>0.5524 1 Τεινει στην ευσταθη περιοχη

Εισαγωγή στη γεωμετρία του χάους Αιτιοκρατικό χάος: Ευαισθησία, μίξη και περιοδικά σημεία Τάξη και χάος: Διπλασιασμός της περιόδου και ο χαοτικός της καθρέπτης Παράξενοι έλκτες: Ο γεωμετρικός τόπος του χάους Σύνοψη Διακριτά δυναμικά συστήματα σε 2Δ Συνεχή Δυναμικά Συστήματα: Διαφορικές Εξισώσεις Διατηρητικά και μη δυναμικά συστήματα Συνεχή δυναμικά συστήματα Ο έλκτης Hénon Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα ενός μετασχηματισμού έκτασης και δίπλωσης, είναι η απεικόνιση Hénon 𝑓 ℝ2 ℝ2 με 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 + 1 𝑎𝑥2, 𝑏𝑥) όπου 𝑎 και 𝑏 είναι σταθερές (Συνήθως για μελέτη επιλέγονται οι τιμές 𝑎 = 1, 4 και 𝑏 = 0, 3. 0.4 0.2-1 -0.5 1 0.5-0.2-0.4 Β. Δρακόπουλος.............. Μορφοκλάσματα και Χάος......................... 238/266.

0.21 0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68

0.191 0.19 0.189 0.188 0.187 0.186 0.625 0.63 0.635 0.64

log dim log dim dim log log dim

cos sin sin cos

sin cos sin cos sin

0.6 0.4 0.2-1 -0.5 0.5 1-0.2-0.4-0.6

lim ln

y 20 0-20 40 z 20 0-10 0 x 10 20