Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Transcript

1 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική

2 72

3 Fringe: Season 1 Episode 10 73

4 Επίλυση Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης Έστω το γενικό Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης: y n+2 = a y n+1 + b y n (1) (Όπως στα Δ.Δ.Σ. 1 ης τάξης) ας υποθέσουμε ότι η λύση είναι της μορφής: y n r n + c 2 s n όπου r, s : σταθερές και c 1, c 2 σταθερές που εξαρτώνται από τις αρχικές τιμές y 0, y 1 ( ) + b ( c 1 r n + c 2 s ) n ( ) + c 2 s n ( s 2 as b) = 0 (2) Η (1), τότε, γράφεται: c 1 r n+2 + c 2 s n+2 = a c 1 r n+1 + c 2 s n+1 c 1 r n r 2 ar b Η εξίσωση: x 2 ax b = 0 : χαρακτηριστική εξίσωση x 1 = r s = x 2 y n r n + c 2 s n : γενική λύση 74 Αν: r > s y 1 r n Αν είναι γνωστές οι αρχικές τιμές y 0, y 1 : η κύρια λύση και r : η κύρια χαρακτηριστική ρίζα c 1 = y sy 1 0 r s c 2 = y ry 1 0 s r

5 Οι χαρακτηριστικές ρίζες : r, s = a ± a2 + 4b 2 a 2 > 4b a 2 = 4b a 2 < 4b Πραγματικές άνισες Πραγματικές (διπλή) Μιγαδικές Παράδειγμα 1 ο : Να μελετηθεί το Δ.Δ.Σ.: Λύση: y n+2 = y n+1 + 2y n Το Δ.Δ.Σ. γράφεται: y n+2 y n+1 2y n = 0 Άρα η χαρακτηριστική εξίσωση: x 2 x 2 = 0 έχει ρίζες: x 1 = 2, x 2 = -1 Σύμφωνα με όσα είπαμε, η γενική λύση είναι: y n 2 n + c 2 ( 1) n Αν είχαμε το πρόβλημα των αρχικών τιμών: y 0 = 5, y 1 = 4 Οι σταθερές υπολογίζονται ως: c 1 = 3, c 2 = 2 75 Άρα η ειδική λύση είναι: y n = 3 2 n + 2 ( 1) n

6 Άρα η κύρια χαρακτηριστική ρίζα είναι το r = 2 Οπότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις σχετικά με την ευστάθεια: (i) r > 1 c 1 r n (ii) r = 1 c 1 r n c 1 (iii) 0 r < 1 c 1 r n 0 (iv) 1< r < 0 c 1 r n 0 (v) r = 1 c 1 r n (vi) r < 1 c 1 r n Δ.Δ.Σ. : ασταθές Σταθερή ακολουθία Δ.Δ.Σ. : ευσταθές (με μορφή σκάλας) Δ.Δ.Σ. : ευσταθές (με μορφή ιστού αράχνης) Ταλαντώνεται μεταξύ δύο τιμών Ταλαντώνεται αλλά με αυξανόμενο μέγεθος 76

7 Παράδειγμα 2 ο : Να μελετηθεί το Δ.Δ.Σ.: Λύση: y n+2 = 4y n+1 4y n Το Δ.Δ.Σ. γράφεται: y n+2 4y n+1 + 4y n = 0 Άρα η χαρακτηριστική εξίσωση: x 2 4x + 4 = 0 έχει ρίζες: x 1 = 2 = x 2 Σύμφωνα με όσα είπαμε, η γενική λύση είναι: y n 2 n + c 2 n 2 n ΠΡΟΣΟΧΗ Αν είχαμε το πρόβλημα των αρχικών τιμών: y 0 = 6, y 1 = 4 Οι σταθερές υπολογίζονται ως: c 1 = 6, c 2 = -4 Άρα η ειδική λύση είναι: y n = 6 2 n 4 n 2 n Οπότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις σχετικά με την ευστάθεια: 77 (i) r 1 y n : (ii) r 1 y n : (iii) r < 1 y n 0 δεν συγκλίνει ταλαντώνεται Αφού r = 2 > 1: η y n αποκλίνει, και άρα το Δ.Σ.Σ. ασταθές

8 Παράδειγμα 3 ο : Να μελετηθεί το Δ.Δ.Σ.: y n+2 4y n+1 +16y n = 0 Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: x 2 4 ± x +16 = 0, με ρίζες: r,s = 2 Άρα σε τριγωνομετρική μορφή: y n 4 n cos nπ 3 + c2 4n sin nπ 3 όπου: R = a 2 + b 2 = ( 2 3) 2 = 4 cosϑ = a R = 2 4 = 1 2, sinϑ = b R = = 3 2 ϑ = π 3 = 2 ± 2 3i Αν είχαμε το πρόβλημα των αρχικών τιμών: y 0 = 2, y 1 = 3 Οι σταθερές υπολογίζονται ως: c 1 = 2, c 2 = 3 6 Οπότε διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις σχετικά με την ευστάθεια: (i) R > 1 r,s : (ii) R = 1 r,s : (iii) R < 1 r,s : έξω απ το μοναδιαίο κύκλο πάνω στο μοναδιαίο κύκλο μέσα στο μοναδιαίο κύκλο y n : αποκλίνει, άρα το Δ.Δ.Σ. ασταθές y n : ταλαντώνεται με σταθ. πλάτος y n : συγκλίνει, άρα το Δ.Δ.Σ. ευσταθές 78

9 Πληκτρολογήστε στο Maxima τις παρακάτω εντολές, για να μελετήσετε και να συγκρίνετε τη λύση στο Παράδειγμα 1 (που δόθηκε πιο πριν στα Δ.Δ.Σ. 2ης τάξης) (%i1) load( solve_rec )$ (%i2) solve_rec(y[n+2]=y[n+1]+2*y[n], y[n]); (%o2) y n = %k 1 2 n + %k 2 (-1) n Φορτώνει το πακέτο «solve_rec» στο Maxima Λύνουμε την Δ.Δ.Σ. και υπολογίζουμε τη Γενική Λύση. (%i3) solve_rec(y[n+2]=y[n+1]+2*y[n], y[n], y[0]=5, y[1]=4); (%o3) y n = 3 2 n + 2 (-1) n Λύνουμε την Δ.Δ.Σ. με αρχικές συνθήκες και υπολογίζουμε τη Ειδική Λύση. Φυσικά η εντολή solve_rec μπορεί να σας βοηθήσει και να λύσει Δ.Δ.Σ. 1 ης τάξης (όπως π.χ. το Παράδειγμα 3): (%i4) solve_rec(y[n+1]=a*y[n]+c, y[n], y[0]=y0); (%o4) y n = a n y 0 + an c a 1 c a 1 79

10 Ασκήσεις: 1. Το μοντέλο του Samuelson (1939) σε διακριτό χρόνο, καταλήγει σε ένα Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης: C t = a + by t 1 I t = v( Y t 1 Y t 2 ) G t = G ( t) Y t (b + v)y t 1 + vy t 2 = a + G E t = C t + I t + G t Y t = E t Να μελετηθεί το μοντέλο για τις εξής τιμές των παραμέτρων: a = 50, b = 0,75, v = 4, G = Χρησιμοποιώντας το Excel, συγκρίνατε τα δύο Δ.Δ.Σ., και για τις τιμές των παραμέτρων αρχικών τιμών που δίνονται: y t+1 = (1+ a)y t by t 2 x t+1 = (1+ a)x t 1+ bx t (i) a = 1,5 b = 0,1 y 0 = x 0 = 1 (ii) a = 1,5 b = 0,1 y 0 = x 0 = 22 (iii) a = 2,2 b = 0,1 y 0 = x 0 = 1 (iv) a = 2,2 b = 0,1 y 0 = x 0 = Να μελετηθούν ως προς την ευστάθεια, τα παρακάτω μοντέλα προσφοράς ζήτησης: (i) q t d = 10 3p t (ii) q t d = 25 4 p t (iii) q t d = 45 2,5p t 80 q t s = 2 + p t 1 q t d = q t s q s t = 3+ 4 p t 1 q s t = 5 + 7,5p t 1 q d s t = q t q d s t = q t

11 4. Δίνεται το ακόλουθο λογιστικό μοντέλο: y t+1 = 3,84y t (1 y t ) Να γίνει η μελέτη του σε ένα φύλλο εργασίας του Excel. Ξεκινήστε με αρχική τιμή y 0 = 0,1 και υπολογίστε τους πρώτους 100 όρους της ακολουθίας. Χρησιμοποιώντας τον 100 ο όρο ως αρχική τιμή, υπολογίστε τους επόμενους 100 όρους της ακολουθίας. Επαναλάβετε άλλη μία φορά τη διαδικασία και επιβεβαιώστε ότι το σύστημα τείνει σε μια περιοδική τροχιά 3 κύκλων: { y 1, y 2, y 3 } = { 0,149407, 0,488044, 0,959447} Προσπαθήστε να το μελετήσετε και με το Maxima. 5. Το μοντέλο του Solow σε διακριτό χρόνο δίνεται από το ακόλουθο σύστημα εξ.: Y t = F(K t, A t L t ) K t+1 = K t + δ K t S t = sy t I t = S t L t+1 L t = n L t A t = γ t A 0 όπου Δείξτε ότι: ˆkt+1 = (1 δ ) ˆk t + sf ( ˆk t ) γ (1+ n) ˆk είναι ο λόγος κεφαλαίου / εργασία, δηλ.: 6. Η ακολουθία Fibonacci είναι η: x n = x n 1 + x n 2, x 0 = 1, x 1 = 1 (i) (ii) ˆk = K AL Χρησιμοποιώντας το Excel, δημιουργήστε αυτή την ακολουθία και βρείτε τους 100 πρώτους όρους (επαληθεύστε ότι όλοι είναι ακέραιοι) Λύστε το Δ.Δ.Σ. 2 ης τάξης με τη χρήση του Maxima, και δείξτε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας συμπίπτουν με αυτούς που βρήκατε με το Excel. 81