Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Η μέθοδος του Herbrand (H) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτασιακές Ερμηνείες π τ σ Page 3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 {π,τ,σ} {π,τ} {π,σ} {π} {σ,τ} {τ} {σ} {} Για ν σταθερές υπάρχουν 2 ν ερμηνείες Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Σχεσιακές Ερμηνείες {} {π(α)} (τ(α)} {π(α), τ(α)} {π(β)} (τ(β)} {π(β), τ(β)} {π(γ)} {τ(γ)} Άπειρες Ερμηνείες {π(γ), τ(γ)} {π(δ)} (τ(δ)} {π(δ), τ(δ)} {π(α), π(β)} {π(α), π(β), π(γ)} {π(α), π(β), π(γ), π(δ)}... ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος Page 4

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Λογική Συνεπαγωγή Από ενα σύνολο υποθέσεων Δ συνεπάγεται λογικά το συμπέρασμα φ αν και μόνο αν κάθε ερμηνεία που ικανοποιεί τις υποθέσεις ικανοποιεί και το συμπέρασμα. Page 5 Στην προτασιακή λογική ο αριθμός των ερμηνειών είναι πεπερασμένος και επομένως είναι δυνατόν να ελέγξει κάποιος τη λογική συνεπαγωγή σε πεπερασμένο χρόνο. Στη σχεσιακή λογική ο αριθμός των ερμηνειών είναι άπειρος και επομένως η απ ευθείας εφαρμογή του ορισμού της λογικής συνέπειας δεν είναι δυνατή. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Καλά Νέα Page 6 Δεδομένου ενός συνόλου προτάσεων, υπάρχει ένα υποσύνολο ερμηνειών που καλούνται ερμηνείες Herbrand (Η). Υπό ορισμένες συνθήκες ο έλεγχος των ερμηνειών Η αρκεί για να απαοφασίσουμε τη λογική συνεπαγωγή. Ελέγχοντας μόνο τις ερμηνείες Η συνεπάγεται λιγότερη δουλειά από το να ελέγξουμε όλες τις ερμηνείες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Herbrand (H) To Η σύμπαν για ένα σύνολο προτάσεων στη σχεσιακή λογική (με μια τουλάχιστον σταθερά οντοτήτων) είναι το σύνολο όλων όρων δίχως μεταβλητές (καθορισμένων όρων) που μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας μόνο τις σταθερές από αυτές τις προτάσεις. Αν δεν υπάρχουν σταθερές οντοτήτων, τότε προσθέτουμε μια αυθαίρετη σταθερά, ας πούμε α. Page 7 Η Η βάση για ένα σύνολο προτάσεων είναι το σύνολο όλων των καθορισμένων ατομικών προτάσεων που μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας μόνο τις σταθερές από το Η σύμπαν. Μια Η ερμηνεία για ένα σύνολο προτάσεων είναι οποιοδήποτε υποσύνολο της Η βάσης για αυτές τις προτάσεις. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 8 Προτάσεις Χ. (π(α,χ) π(χ,β)) Χ. Υ. Ζ. (π(χ,y) π(χ,y) π(χ,ζ)) Ηerbrand (H) Σύμπαν {α, β} Ηerbrand (H) βάση {π(α,α), π(α,β), π(β,α), π(β,β) } ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ηerbrand (H) Ερμηνείες {} {π(α,α)} {π(α,β)} {π(β,α)} {π(β,β)} {π(α,α), π(α,β)} {π(α,α), π(β,α)} {π(α,α), π(β,β)} {π(α,β), π(β,α)} 16 Ερμηνείες < {π(α,β), π(β,β)} {π(β,α), π(β,β)} {π(α,α), π(α,β), π(β,α)} {π(α,α), π(β,α), π(β,β)} {π(α,α), π(β,β), π(β,α)} {π(α,β), π(β,α), π(β,β)} {π(α,α), π(α,β), π(β,α), π(β,β)} Page 9 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Θεώρημα Herbrand Page 11 Ένα σύνολο από προτάσεις δίχως ποσοδείκτες έχει μοντέλο αν και μόνο αν έχει ένα μοντέλο Herbrand. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Προτάσεις π(α,χ) π(χ,υ) π(υ,χ) Page 12 Μοντέλο {π(α,α), π(α,β), π(α,γ), π(β,α), π(γ,α)} Η βαση {π(α,α)} Η Μοντέλο {π(α,α)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μέθοδος Herbrand Ορισμός: Προσθέστε την άρνηση του συμπεράσματος στο σύνολο των υποθέσεων σχηματίζοντας έτσι το σύνολο ικανοποίησης. Εξετάστε όλες της Η ερμηνείες. Διαγράψτε κάθε ερμηνεία που δεν ικανοποιεί τις προτάσεις του συνόλου ικανοποίησης. Αν όλες οι ερμηνείες Η διαγραφούν, τότε από το θεώρημα του Herbrand, το σύνολο δεν μπορεί να ικανοποιηθεί. Page 13 Πληρότητα και Ορθότητα: Η άρνηση του συμπεράσματος οδηγεί σε άτοπο, άρα οι υποθέσεις συνεπάγονται λογικά το συμπέρασμα. Τερματισμός: Αφού υπάρχει πεπερασμένος αριθμός Η εrμηνειών, η διαδικασία τερματίζει. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ειδικές περιπτώσεις Page 14 Καθορισμένη Λογική Οχι μεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες μεταβλητές θεωρούνται έμμεσα καθορισμένες με καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναστησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Υποθέσεις {} π(α) τ(α) {π(α)} π(β) τ(β) {π(β)} π(α) π(β) {τ(α)} {τ(β)} Συμπέρασμα {π(α), π(β)} τ(α) τ(β) {τ(α), τ(β)} {π(α), τ(α)} {π(β), τ(β)} Σύνολο Ικανοποίησης {π(β), τ(α)} π(α) τ(α) {π(α), τ(β)} π(β) τ(β) {π(α), π(β), τ(α)} π(α) π(β) {π(α), π(β), τ(β)} (τ(α) τ(β)) {τ(α), τ(β), π(α)} {τ(α), τ(β), π(β)} {π(α), τ(α), π(β), τ(β)} Page 15 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ειδικές περιπτώσεις Page 16 Καθορισμένη Λογική Οχι μεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες μεταβλητές θεωρούνται έμμεσα καθορισμένες με καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναστησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Υποθέσεις {} π(χ) τ(χ) {π(α)} π(α) τ(α) {τ(α)} {π(α), τ(α)} Page 17 Συμπέρασμα τ(α) Σύνολο Ικανοποίησης π(χ) τ(χ) π(α) τ(α) τ(α) Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Πρόβλημα Υποθέσεις π(χ) τ(χ) π(χ) τ(χ) Page 18 Συμπέρασμα τ(χ) Άρνηση Συμεράσματος τ(χ) Λάθος: Αυτό λέει ότι το τ είναι ψευδές για όλα τα Χ (το Χ είναι ελεύθερη μεταβλητή) Χ. τ(χ) Ναι, αλλά εδώ υπάρχει ποσοδείκτης! ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Καθολικά και Υπαρξιακά Προσδιορισμένες Προτάσεις Page 19 Η άρνηση μια πρότασης φ στην Καθολική Λογική είναι η καθολικά προσδιορισμένη πρόταση Χ1... Χν.φ, όπου Χ1... Χν είναι ελεύθερες μεταβλητές στη φ. Η άρνηση μπορεί να επιμεριστεί Χ1... Χν.φ Χ1... Χν. φ Αν μια πρόταση είναι προσδιορισμένη μόνο με καθολικούς ποσοδείκτες, τότε η άρνηση της είναι προσδιορισμένη μόνο με υπαρξιακούς ποσοδείκτες Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Skolemization Page 20 H Skolemization μέθοδος για μια πρόταση που προσδιορίζεται μόνο με υπαρξιακούς ποσοδείκτες οδηγεί σε μια πρόταση δίχως ποσοδείκτες, όπου όλες οι μεταβλητές έχουν συστηματικά αντικατασταθεί. Παράδειγμα Παράδειγμα Χ. τ(χ) τ(α) Χ. Υ, (π(χ,υ) τ(χ,β)) π(α,δ) τ(α,β) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Σπουδαιότητα Page 21 Θεώρημα Skolemization: Ένα σύνολο από προτάσεις στη σχεσιακή λογική είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνο αν οι προτάσεις που προκύπτουν από το Skolemization αυτών είναι ικανοποιήσιμο. Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια τροποποίηση της μεθόδου του Herbrand. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Τροποποιημένη Μεθοδος Herbrand Page 22 Αρχικός ορισμός: Η προσθήκη της άρνησης του συμπεράσματος δημιουργεί το σύνολο ικανοποίησης. Νέος ορισμός: Αρνηση του συμπεράσματος. Προσθέστε το skolemization της άρνησης στις υποθέσεις, ώστε να δημιουρηθεί το σύνολο ικανοποίησης. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Υποθέσεις Συμπέρασμα π(χ) τ(χ) τ(χ) π(χ) τ(χ) Άρνηση Χ τ(χ) Συμπέρασμα τ(χ) Εφαρμογή της άρνησης Χ. τ(χ) Σύνολο Ικανοποίησης τ(α) Skolemization π(χ) τ(χ) τ(α) π(χ) τ(χ) Page 23 Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Υποθέσεις Συμπέρασμα τ(α,α) τ(χ,χ) τ(β,β) Άρνηση Χ τ(χ,χ) Συμπέρασμα τ(χ,χ) Εφαρμογή της άρνησης Χ. τ(χ,χ) Σύνολο Ικανοποίησης τ(γ,γ) Skolemization τ(α,α) τ(γ,γ) τ(β,β) Page 24 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Ειδικές περιπτώσεις Page 25 Καθορισμένη Λογική Οχι μεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες μεταβλητές θεωρούνται έμμεσα καθορισμένες με καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναστησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων To Θεώρημα του Herbrand δεν εφαρμόζεται. Προτάσεις τ(α,α) τ(β,β) Χ τ(χ,χ) Page 26 Μοντέλο {τ(α,α), τ(β,β), τ(α,γ), τ(β,γ)} Η βάση Τομή {τ(α,α), τ(β,β), τ(α,β), τ(β,α), τ(β,β)} {τ(α,α), τ(β,β) } Δεν είναι μοντέλο και δεν υπάρχει Η μοντέλο ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Καλά νέα (κατά κάποιο τρόπο) Page 27 Λύση : Skolemization στις προτάσεις ώστε να απαλοίψουμε τους υπαρξιακούς ποσοδείκτες. Προσοχή διότι δεν έχουμε να κάνουμε με προτάσεις που έχουν μόνο υπαρξιακούς ποσοδείκτες. Αρα χρειαζόμαστε κάποια άλλη τεχνική. Κοιτάξτε παρακάτω στη διαφάνεια 222). Υπάρχουν δυσκολίες στην εφαρμογή της τροποποιημένης μεθόδου του Herbrand για τη συναρησιακή λογική: Δείτε παρακάτω. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Ειδικές περιπτώσεις Page 28 Καθορισμένη Λογική Οχι μεταβλητές, οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Καθολική Λογική Οχι συναρτήσεις, οχι ποσοδείκτες Οι ελεύθερες μεταβλητές θεωρούνται έμμεσα καθορισμένες με καθολικούς ποσοδείκτες Υπαρξιακή Λογική Οχι συναρτήσεις Συναρτησιακή Λογική Οχι ποσοδείκτες. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Το Η σύμπαν για τη συναρτησιακή λογική. Παλιός ορισμός: To Η σύμπαν για ένα σύνολο προτάσεων στη σχεσιακή λογική (με μια τουλαχιστον σταθερά οντοτήτων) είναι το σύνολο όλων όρων δίχως μεταβλητές (καθορισμένων όρων) που μπορούν να σχηματιστούν χρησιμοποιώντας μόνο τις σταθερές από αυτές τις προτάσεις. Αν δεν υπάρχουν σταθερές οντοτήτων, τότε προσθέτουμε μια αυθαίρετη σταθερά, ας πούμε α. Page 29 Αν υπάρχουν συναρτησιακές σταθερές, και επομένως συναρτησιακοί όροι, όλοι οι καθορισμένοι συναρτησιακοί όροι περιέχοναι στο Η σύμπαν. {α,β,f(a), f(β), f(f(a)), f(f(β)), f(f(f(a))), f(f(f(β)))), } Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Το θεώρημα του Herbrand για τη συναστησιακή λογική Θεώρημα Herbrand : Ένα σύνολο προτάσεων δίχως ποσοδείκτες έχει μοντέλο αν και μόνο αν έχει Herband μοντέλο. Page 30 Εδώ δεν έχουμε ποσοδείκτες. Συνεπώς, η τροποποιημένη μέθοδος του Herbrand δουλεύει. Ζήτωωωω!!!!! ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Λυπηρό Θεώρημα Page 31 :-( Το μέγεθος του σύμπαντος του Herbrand για τη συναστησιακή γλώσσα είναι άπειρο. Άρα ο έλεγχος για τον έλεγχο μοντέλου δεν είναι εφικτός σε πεπερασμένο χρόνο. Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Γενικό πρόβλημα Ο αριθμός των μοντέλων Herbrand μπορεί να είναι πολύ μεγάλος. Page 32 Ν σταθερές οντοτήτων Μ σχεσιακές σταθερές βαθμού κ Αριθμός κ-άδων: Ν κ Αριθμός ερμηνειών Herbrand (2^ N k ) ^ M Ν=10 Μ=3 Κ=2 Αριθμός ερμηνειών Herbrand 2 300 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος

Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Περίληψη Η μέθοδος του Herbrand δουλεύει για τη καθορισμένη λογική Η μέθοδος του Herbrand δουλεύει για την καθολική λογική Η μέθοδος του Herbrand δεν δουλεύει για την υπαρξιακή λογική. Υπάρχουν περιπτώσεις που μπορεί να δουλέψει με Skolemization χρησιμοποιώντας την τροποποιημένη μέθοδο του Herbrand. Η μέθοδος του Herbrand δουλεύει για τη συναρτησιακή λογική αλλά υπάρχουν άπειρες ερμηνείες. Page 33 Σε οποιαδήποτε πάντως περίπτωση, ο αριθμός των Η ερμηνειών μπορεί να είναι πολύ μεγάλος. Λύση: Αποδείξεις με χρήση κανόνων συμπερασμού ή/και αξιωματικών σχημάτων. Γεώργιος Βούρος