Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της οπoίας το µέτρο έχει την µέγιστη τιµή F max, ώστε όταν αποσυρθεί η δύναµη αυτή το σώµα Σ να εκτελεί ασφαλή ταλάντωση χωρίς το σώµα Σ να χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος. i) Να δείξετε ότι: F max = m + m )g όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Nα δείξετε ότι ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ τη στιγµή t= που αρχίζει η ταλάντωσή του, είναι ίσος µε F max, αν ως θετική φορά στην κατακόρυφη διεύθυνση ληφθεί η προς τα άνω. ΛYΣH: i) Έστω ότι το σώµα Σ µε την επίδραση µιας κατακόρυφης δύνα µης F φέρεται πολύ σιγά από τη θέση ισορροπίας του Ο στη θέση Κ, οπότε το ελατήριο θα υποστεί µια πρόσθετη συσπείρωση α=f/k, όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Αποσύρωντας τη δύναµη F το σώµα εκτελεί µόνιµη κατακό ρυφη απλή αρµονική ταλάντωση εφ όσον το σώµα Σ δεν χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος. Αυτό σηµαίνει ότι, όταν το Σ βρίσκεται στην
ανώτατη θέση του Α το µέτρο της δύναµης N που δέχεται το σώµα Σ από το οριζόντιο έδαφος πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση N. Όταν το µέτρο της F λάβει την µεγιστη επιτρεπόµενη τιµή F max, τότε το µέτρο της N µηδενίζεται τη στιγµή που το Σ βρίσκεται στη θέση Α το δε ελατήριο στη θέση αυτή θα είναι τεντωµένο και η δύναµη που εξασκεί στο Σ θα εξου δετερώνει το βάρος του m g, δηλαδή θα ισχύει η σχέση: m g = kx * x * = m g / k ) όπου m η µάζα του Σ και x * η επιµήκυνση του ελατηρίου από την φυσική του κατάσταση. Στην περίπτωση αυτή το Σ θα εκτελεί οριακά απλή αρµονι κή ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης την θέση ισορροπίας του Ο και µε το µέγιστο επιτρεπτό πλάτος x, για το οποίο θα ισχύουν οι σχέσεις: x = " # x = x + x * $ = x + x * ) όπου x η συσπείρωση του ελατηρίου όταν το Σ είναι στη θέση ισορροπίας του Ο. Όµως ισχύει x =m g/k, όπου m η µάζα του Σ, οπότε η ) παίρνει τη µορφή: F min k = m g k + m g k F max = m + m )g 3) ii) Για τις αλγεβρικές τιµές της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντούµενου σώµατος Σ ισχύουν οι σχέσεις: x = x µ "t + #) v = x "$%&"t + #)) 4) όπου ω η γωνιακή συχνότητα και φ η αρχική φάση του Σ. Οι σχέσεις 4) την στιγµή t= που το σώµα αφήνεται ελεύθερο στην κατώτατη θέση του Κ, δίνουν: -x = x µ" = x #$%&" ) µ" = - #$%" = & = 3" 5)
Άρα η εξίσωση της αποµάκρυνσης του Σ έχει τη µορφή: $ x = x µ "t + 3# & ) = F min % k µ $ "t + 3# & ) 6) % Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του Σ είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνι σταµένη δύναµη που δέxεται το σώµα, δηλαδή ισχύει: dp dt = -kx 6) dp dt = - kf min k µ $ & "t + 3# % ) = -F µ "t + 3# t= $ min & % ) dp$ # & " dt % t= 3) = F min dp$ # & " dt % t= = m + m )g P.M. fysikos Ένα µικρό σώµα Σ µάζας m, µπορεί να ολισθαί νει χωρίς τριβή κατά µήκος ευθύγραµµου κοίλου οδηγού, που είναι στερεωµένος σε οριζόντιο επίπεδο. Tο σώµα έλκεται από ένα σταθερό σηµείο K του οριζοντίου επιπέδου, το οποίο προβάλλεται επί του οδηγού στο σηµείο O αυτού, µε δύναµη της οποίας το µέτ ρο µεταβάλλεται µε την απόστασή του r από το σηµείο K σύµφωνα µε τη σχέση: F=λr όπου λ θετικός συντελεστής αναλογίας. Kάποια στιγµή το σώµα αφήνεται ελεύθερο σε απόσταση x από το O και αφού φθάσει σ αυτό συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε ακίνητο σφαιρίδιο, µάζας 3m που βρίσκεται στο Ο. i) Nα βρεθεί η µέγιστη αποµάκρυνση του σώµατος Σ από το O, µετά την κρούση. ii) Mετά πόσο χρόνο από τη στιγµή της κρούσεως το σώµα θα ξα ναβρεθεί στο σηµείο O; ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σώµα Σ σε µια τυχαία θέση Μ, πριν συγκρουσθεί µε το σφαιρίδιο µάζας 3m, στην οποία η αποµάκρυνσή του ως προς το Ο είναι x. Στη θέση αυτή το σώµα δέχεται τη δύναµη F από το ελκτικό κέντρο Κ, η οποία αναλύεται στην παράλληλη προς τον οδηγό συνιστώσα F x και την κάθετη προς αυτόν συνιστώσα F y και την αντίδραση N από τον οδηγό η οποία διευθύνεται κάθετα προς τον οδηγό και αναιρεί τη συνιστώ σα F y, αφου το σώµα δεν έχει την δυνατότητα να µετακινείται κατά τη διεύ θυνση αυτή. Θεωρώντας θετική φορά στη διεύθυνση κίνησης του σώµατος
τη φορά της αποµάκρυνσης x, παρατηρούµε ότι η αλγεβρική τιµή της συνι σταµένης δύναµης F " επί του σώµατος δίνεται από τη σχέση: F " = -F x = -F#µ$ F " = -"rx/r) = -"x ) όπου x η αλγεβρική τιµή της αποµάκρυνσης x του σώµατος. Η σχέση ) εγγυάται ότι το σώµα εκτελεί κατα µήκος του οδηγού απλή αρµονική ταλάν τωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο και σταθερά επαναφοράς D=λ. Τη στιγµή που το σώµα συγκρούεται στη θέση Ο µε το σφαιρίδιο µάζας 3m η ταχύτητά του v έχει µέγιστο µέτρο x ω, όπου ω η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσής του ίση µε λ/m) /. Αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα του σώµατος θα αντιστραφεί και το µέτρο της θα είναι: 3m - m$ v = v # & = x " 3m + m% ) Eφόσον µετά την κρούση το σώµα εξακολουθεί να έλκεται από το Κ, η κίνησή του θά είναι πάλι απλή αρµονική ταλάντωση µε το ίδιο κέντρο και την ίδια γωνιακή συχνότητα, αλλά µε νέο πλάτος x, για το οπoίο ισχύει: v = x x / = x x = x / 3) ii) Ο χρόνος t * που µεσολαβεί µεταξύ της κρούσεως του σώµατος Σ στη θέση Ο και της επανόδου του στη θέση αυτή είναι ίσος µε Τ/, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σώµατος, δηλαδή ισχύει: t * = T = m " = m " P.M. fysikos Ένα σώµα µάζας m, έχει δεθεί στο ένα άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στερεώνεται στο οριζόντιο έδαφος. Tο σώµα αρχικά ισορροπεί καί κάποια στιγµή, λόγω εσωτερικής έκρηξης, διασπάται σε δύο κοµµάτια της ίδιας µάζας, εκ των οποίων το ένα κινείται κατακό ρυφα πρός τα πάνω καί φθάνει σε ύψος h=mg/4k από το σηµείο της έκρηξης, ενώ το άλλο διατηρεί τη σύνδεσή του µε το ελατήριο. Nα βρεθεί σε πόσο χρόνο από την έκρηξη, το κοµµάτι που παραµέ
νει στο ελατήριο θα βρεθεί γιά πρώτη φορά στην κατώτατη θέση του. ΛΥΣΗ: Εάν v, v είναι οι ταχύτητες των µαζών m =m/ και m = m/ που προκύπτουν αµέσως µετά την εσωτερική έκρηξη του σώµατος µάζας m θα ισχύει, συµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής κατά τον πολύ µικρό χρόνο που διαρκεί η έκρηξη, η σχέση: m v + m v = v = - v ) δηλαδή οι ταχύτητες v, v είναι αντίθετες. Όµως η µάζα που φθάνει σε ύψος h=mg/4k πάνω από το σηµείο έκρηξης Α εκτελεί κατακόρυφη βολή προς τα πάνω και εποµένως ισχύει: h = v g mg 4k = v g v = mg k ) v = mg k ) To σώµα που παραµένει συνδεδεµένο µε το ελατήριο εκτελεί κατακό ρυφη απλή αρµονική ταλάντωση µε σταθερά επαναφοράς k και κέντρο ταλάντωσης Ο που βρίσκεται υψηλότερα από τη θέση έκρηξης Α κατά x * και µάλιστα ισχύει: kx * = mg/ x * = mg/k 3) Εφαρόζοντας για την ταλάντωση αυτή το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, παίρνουµε τη σχέση: mv 4 + kx * = kx ),3) m mg k + k mg $ # & " k % = kx m g 4k + m g 4k = kx x = m g k x = mg k 4)
όπου x το πλάτος της ταλάντωσης. Εξάλλου εάν φ είναι η αρχική φά ση της ταλάντωσης και λάβουµε ως θετική φορά πάνω στην κατακό ρυφη διεύθυνση την προς τα κάτω, θα έχουµε τις σχέσεις: x * = x µ" v = x #$%&" ) ),3) mg/k = mgµ" /k #$%" > & ) µ"= / #$%" > & ) = " 4 Άρα η εξίσωση της αποµάκρυνσης της µάζας m θα έχει τη µορφή: # x = x µ% $ k m t + " & 4 5) Εάν t είναι η χρονική στιγµή που η µάζα m θα βρεθεί για πρώτη φορά στην κατώτατη θέση της, θα ισχύει: # x = x µ% $ k m t + " & # 4 µ% $ k m t + " & 4 = k m t + 4 = t = 4 m k P.M. fysikos Oµογενής τροχαλία, µάζας m και ακτίνας R, µπορεί να κυλίεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ συγκρατούµενη µε αβαρές και µη εκτατό νήµα, το οποίο έχει περι τυλιχθεί στο αυλάκι της τροχαλίας, το δε ελεύθερο άκρο του είναι στερεωµένο κατά τέτοιο τρόπο ώστε το νήµα να είναι παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο βλέπε σχήµα). Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το κέντρο µάζας της τροχαλίας έχει ταχύτητα v της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς το κεκλιµένο επίπε δο. Να διερευνηθεί η η κίνηση της τροχα λίας για τις διάφορες τιµές του συντελεστή τριβής µεταξύ αυτής και του κεκλιµένου επιπέδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας ως προς τον γεωµετρικό της άξονα και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Επί της τροχαλίας ενεργει το βάρος της w που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, η δύναµη F από το νήµα τάση του νήµατος) και η δύναµη από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην τριβή T και την
κάθετη αντίδραση N. Η δύναµη F παρουσιάζει ροπή περί τον γεωµετρικό άξονα της τροχαλίας, η οποία την θέτει σε δεξιόστροφη περιστροφή περί τον άξονα αυτόν µε αποτέλεσµα το σηµείο επαφής της Μ µε το νήµα να αποκτά περιστροφική ταχύτητα v αντίρροπη της µεταφορικής του ταχύτητας v C, η οποία αποτελεί την ταχύτητα του κέντρου µάζας C της τροχαλίας. Όµως το σηµείο Μ θεωρούµενο και ως σηµείο του νήµατος έχει µηδενική ταχύτητα, αφού το νήµα είναι συνεχώς ακίνητο, που σηµαίνει ότι οι ταχύτητες v και v C είναι αντίθετες, δηλαδη ισχύει: v C = v v C = R ) Εξάλλου το σηµείο επαφής Α της τροχαλίας µε το κεκλιµένο επίπεδο έχει ταχύτητα διάφορη του µηδενός και µάλιστα η µεταφορική του ταχύτητα v C είναι λόγω της δεξιόστροφης περιστροφής της τροχαλίας και της σχέσεως ) ίση µε την περιστροφική του ταχύτητα, που σηµαίνει ότι η τριβή T είναι τριβή ολισθήσεως. Όλα τα παραπάνω δηλώνουν ότι η τροχαλία δεν κυλίεται επί του κεκλιµένου επιπέδου, αλλά εκτελεί σύνθετη κίνηση, η οποία αποτελείται από µια µεταφορική κίνηση µε επιτάχυνση a C και µια πε ριστροφική κίνηση περί τον γεωµετρικό της άξονα, µε γωνιακή επιτάχυνση, των οποίων τα µέτρα λόγω της ) ικανοποιούν κάθε στιγµή τη σχέση: a C = ω R ) Eφαρµόζοντας για τη µεταφορική κίνηση της τροχαλίας το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, έχουµε τη σχέση: w - F - T = ma C mgµ" - F - nn = ma C mgµ" - F - nmg#$%" = ma C 3) όπου n o συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ τροχαλίας και κεκλιµένου επιπέδου. Eφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική κίνηση της τροχα λίας το θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, έχουµε:
) FR - TR = I FR - nmgr"#$ = mr %/ F = nmg"#$ + ma C / 4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις 3) και 4) παίρνουµε: mgµ" - nmg#$%" - ma C / - nmg#$%" = ma C gµ" - ng#$%" = 3a C / a C = gµ" - n#$%")/ 3 5) Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: i) Eάν ισχύει ηµφ-nσυνφ= ή n=εφφ/, τότε a C = και η µεταφορική κίνηση της τροχαλίας θα είναι ισοταχής µε ταχύτητα v, η δε γωνιακή ταχύ τητα της περιστροφικής της κίνησης θα παραµένει σταθερή µε µέτρο v /R. ii) Eάν ισχύει ηµφ-nσυνφ> ή n<εφφ/, τότε a C > που σηµαίνει ότι η τόσο η µεταφορική κίνηση όσο και η περιστροφική κίνηση της τροχαλίας είναι οµαλά επιταχυνόµενη, µε αποτέλεσµα το µέτρο της µεταφορικής της ταχύτητας και της γωνιακής της ταχύτητας να αυξάνεται γραµµικά µε το χρόνο. iii) Eάν ισχύει ηµφ-nσυνφ< ή n>εφφ/, τότε a C < που σηµαίνει το κέντρο µάζας της τροχαλίας επιβραδύνεται οµαλά και κάποια χρονική στιγµή θα µηδενιστεί η ταχύτητά του. Αυτό θα συµβεί τη χρονική στιγµή t * που ικανοποιεί τη σχέση: 5) = v + a C t * = v + gt * µ" - n#$%")/ 3 t * = 3v /gn"#$ - %µ$) Στην περίτωση αυτή και η περιστροφική κίνηση της τροχαλίας θα είναι οµαλά επιβραδυνόµενη και τη στιγµή t * θα µηδενιστέι η γωνιακή της ταχύτητα και αυτή για t> t * θα ηρεµεί επί του κεκλιµένου επιπέδου. P.M. fysikos Λεπτό κυκλικό στεφάνι ακτίνας R εκτοξεύεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα και τη στιγµή που έρχεται σε επαφή µε το κεκλιµένο επίπεδο το κέντρο µάζας του έχει ταχύτητα v παράλληλη προς το επίπεδο µε φορά προς τα κάτω, ενώ ταυτόχρονα το στεφάνι περιστρέφεται περί άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του µε γωνιακή ταχύτητα, της οποίας η φορά προσδίδει στο σηµείο επαφής ταχύτητα οµόρροπη της v. Εάν ο συντελεστης οριακής τριβής µεταξύ στεφανιού και κεκλιµένου επιπέδου είναι n=εφφ, να δείξετε ότι το στεφάνι αρχικά θα ολισθαίνει και στη
συνέχεια θα κυλίεται. Πόσος είναι ο χρόνος της ολίσθησης και ποία η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του κατά τα δύο αυτά στά δια της κίνησής του; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Aπό τη στιγµή που το στεφάνι θα αποκτήσει επαφή µε το κεκλιµέ νο επίπεδο δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα w και τη δύναµη από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύεται στην τριβή T και την κάθετη αντίδραση N. Επειδή τη στιγµή αυτή το σηµείο επαφής της στεφάνης µε το επίπεδο έχει ταχύτητα διάφορη του µηδενός η τριβή T είναι τριβή ολίσθησης, που σηµαίνει ότι σε πρώτο σταδίο το στεφάνι δεν κυλίεται, αλλά ολισθαίνει επί του κεκλιµένου επιπέδου και ταυτόχρονα περιστρέφεται δεξιόστροφα γεγονός που το εγγυάται η αρχική του γωνιακή ταχύτητα. Eφαρµόζοντας για τη µεταφορική κίνηση του στεφανιού το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, παίρνουµε τη σχέση: w - T = ma C mgµ" - nn = ma C mgµ" - nmg#$%" = ma C a C = gµ" - n#$%") = ) διότι τα δεδόµενα του προβλήµατος απαιτούν να ισχύει n=εφφ. Άρα η µετα φόρική κίνηση της τροχαλίας σε πρώτο στάδιο είναι οµαλή µε ταχύτητα v. Όµως η ροπή της τριβής T περί άξονα που είναι κάθετος στο στεφάνι και διέρχεται από το κέντρο του επιβραδύνει την περιστροφική του κίνηση δηλα δή του προσδίδει γωνιακή επιβράδυνση, της οποίας το µέτρο θα βρεθεί µε εφαρµογή του θεµελιώδους νόµου της στροφικής κίνησης, οπότε θα έχουµε τη σχέση: TR = I nmgr"#$ = mr % = ng"#$% /R ) Από την ) παρατηρούµε ότι η είναι σταθερή, δηλαδή η περιστροφή του στεφανιού είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, που σηµαίνει ότι το µέτρο της γωνι ακής του ταχύτητας µειώνεται γραµµικά µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέ ση: ) = - t = - ngt"#$% /R 3) Eξάλλου από την 3) προκύπτει ότι υπάρχει χρονική στιγµή t * που η γωνι ακή ταχύτητα του στεφανιού µηδενίζεται, δηλαδή τη στιγµή αυτή ισχύει η
σχέση: = - ngt * "#$% /R t * = R/ng"#$% = R/g&%%"#$% t * = R/g"µ# 4) Όµως τη στιγµή t * το σηµείο επαφής του στεφανιού µε το κεκλιµένο επί πεδο έχει ταχύτητα v µε αποτέλεσµα η τριβή T να εξακολουθεί να είναι τριβή ολισθήσεως και διατηρεί την φορά της αλλά τώρα η ροπή της αντιστρέ φει την περιστροφική κίνηση του στεφανιού η οποία γίνεται αριστερόσ τροφη και επιπλέον επιταχυνόµενη, µε γωνιακή επιτάχυνση της οποίας το µέτρο δίνεται πάλι από τη σχέση ). Κατά το σταδιο αυτό το σηµείο επαφής του στεφανιού µε το κεκλιµένο επίπεδο αποκτά περιστροφική ταχύ τητα αντιρροπή της v, ενώ η µεταφορική του ταχύτητα παραµένει αναλ λοίωτη αφού καµιά µεταβολή δεν συνέβη στην µεταφορική κίνηση του στεφανιού που εξακολουθεί να είναι ισοταχής µε ταχύτητα v. Κάποια στιγ µή t η ταχύτητα του σηµείου επαφής θα µηδενιστεί και το στεφάνι θα αρχί σει κυλιόµενο ισοταχώς επί του κεκλιµένου επιπέδου µε µεταφορική ταχύ τητα v και γωνιακή ταχύτητα αντίρροπη της µέτρου v /R. Η χρονική στιγµή υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: t = t * + v R ),4) t = R g"µ# + v R Rng$%&# t = R g"µ# + v g$##%&# t = R + v g"µ# P.M. fysikos