Αριθμητική Διερεύνηση Πλευρικής Αντίστασης Πασσάλου και Πασσαλοσειράς σε Συνεκτικό και μη- Συνεκτικό Έδαφος υπό Επίπεδη Παραμόρφωση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Αριθμητική Διερεύνηση Πλευρικής Αντίστασης Πασσάλου και Πασσαλοσειράς σε Συνεκτικό και μη- Συνεκτικό Έδαφος υπό Επίπεδη Παραμόρφωση ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΕΙΡΗΝΗ Γ. ΠΑΠΑΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ Πολιτικός Μηχανικός Διπλωματούχος Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2016

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία διερευνάται αριθμητικά η οριακή πλευρική τάση πασσάλων κυκλικής διατομής σε συνεκτικό και μη συνεκτικό έδαφος και η σύγκριση των αποτελεσμάτων με προηγούμενες αναλυτικές και αριθμητικές λύσεις. Στην εργασία εξετάζονται η συμπεριφορά μεμονωμένων πασσάλων καθώς και πασσαλοομάδας, με μεταβλητή την απόσταση s μεταξύ των πασσάλων, για πασσάλους d= 1m. Η ανάλυση μπορεί να χρησιμεύσει τόσο στην επίλυση προβλημάτων ευστάθειας πρανών και τοίχων αντιστήριξης όσο και σε θεμελιώσεις κτιρίων σε πασσάλους. Το πρόβλημα επιλύεται σαν πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης και οι υπολογισμοί εκτελούνται χρησιμοποιώντας το ιδανικά ελαστοπλαστικό μοντέλο για το έδαφος και το γραμμικό-ελαστικό μοντέλο για τον πάσσαλο, με τα προγράμματα PLAXIS 2D και 3D. Εφαρμόστηκαν δύο περιπτώσεις ανάλυσης με ελεγχόμενη μετατόπιση: η πρώτη με μετακίνηση πασσάλου και ακίνητο έδαφος (ενεργητικός πάσσαλος) και η δεύτερη με μετακίνηση εδάφους και ακίνητο πάσσαλο (παθητικός πάσσαλος). Για το συνεκτικό έδαφος με φ= 0 ο η ανάλυση εκτελείται με το πρόγραμμα PLAXIS 2D με τριγωνικά στοιχεία. Για μη συνεκτικό έδαφος λόγω του ότι επιθυμείται να εφαρμοστούν γνωστά κατακόρυφα φορτία η ανάλυση της επίπεδης παραμόρφωσης γίνεται με το πρόγραμμα PLAXIS 3D με τετραεδρικά στοιχεία. Από τα αποτελέσματα των αναλύσεων συνάγεται ότι: 1. O μηχανισμός αστοχίας και η αντίστοιχη πλευρική τάση αστοχίας μπορούν να εντοπιστούν κυρίως από την συγκέντρωση κινηματικών μεγεθών σε ζώνες ολίσθησης γύρω από τον πάσσαλο. Τα διαγράμματα αυτά περιλαμβάνουν τις εκτροπικές παραμορφώσεις, τις διαφορικές και ολικές μετακινήσεις. 2. Η πλευρική τάση αστοχίας εντοπίζεται πολύ πριν το τέλος της καμπύλης δυνάμεων-μετατοπίσεων η οποία στα προγράμματα PLAXIS εκτείνεται μέχρι μετατόπιση ίση με 0.5 m, σε περιοχή μεγάλων παραμορφώσεων χωρίς διακοπή του αλγορίθμου. i

3. Οι καμπύλες δυνάμεων-μετατοπίσεων δεν παρουσιάζουν κράτυνση για το συνεκτικό έδαφος και αντίθετα με το τι συμβαίνει για το μη συνεκτικό. 4. Οι αναλύσεις έγιναν με ν= 0.495 και ν= 0.4. Όλες οι αναλύσεις με ν= 0.4 παρουσίασαν και μερική αστοχία. 5. Για το συνεκτικό υλικό η πλευρική τάση αστοχίας ισούται με 11.96 που σχεδόν ταυτίζεται με την αναλυτική λύση των Randolph και Houlsby (11.94). Οι αναλύσεις για το μη συνεκτικό έγιναν για τρία ζεύγη τιμών οριζοντίων και κατακόρυφων τάσεων. Οι αντίστοιχες τάσεις αστοχίας ήταν συστηματικά μεγαλύτερες από 2% έως 21% και οι μετατοπίσεις διπλάσιες από τις τιμές που προκύπτουν από την αριθμητική ανάλυση των Loukidis και Vavourakis (2014). 6. Προτείνεται μια τροποποιημένη σχέση πρόβλεψης των πλευρικών τάσεων p L που έχει την μορφή. Από τα αριθμητικά αποτελέσματα προκύπτει ότι Ν Lu =14.6~16.2. 7. Για την πασσαλόσειρα σε συνεκτικό έδαφος διαπιστώθηκε ότι η αδιάστατη πλευρική τάση P L /(c u d) ξεκινά από ένα μέγιστο για s/d=1.2, περνάει ένα ελάχιστο (10.84) για s/d=2.5 και παίρνει την τιμή 11.96 για s/d=4.5 (δράση μεμονωμένου πασσάλου). 8. Για μη συνεκτικό έδαφος παρόλο που οι καμπύλες δεν είναι ομαλές παρουσιάζεται η ιδία γενική τάση. Σε αύτη την περίπτωση η συμπεριφορά μεμονωμένου πασσάλου αρχίζει μετά το s/d= 6. 9. Οι μηχανισμοί αστοχίας για συνεκτικό και μη συνεκτικό έδαφος διαφέρουν. Στην πρώτη περίπτωση η περιοχή ολίσθησης είναι συμμετρική. Στην δεύτερη περίπτωση, η περιοχή αυτή είναι πιο εκτεταμένη έμπροσθεν του πασσάλου. Αυτό συμβαίνει για s/d< 4.5 και s/d< 6 για τις δυο περιπτώσεις αντίστοιχα. Μετά από αυτά, τα όρια και η μορφή των γραμμών ολίσθησης είναι συμμετρικά γύρω από τον πάσσαλο. ii

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... i ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... iii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xix ΠΡΟΛΟΓΟΣ... xxi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - BΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ... 5 2.1 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΓΙΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΕΔΑΦΗ... 5 2.2 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΓΙΑ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΕΔΑΦΗ... 9 2.2.1 Αναλυτικές Λύσεις... 9 2.2.2 Αριθμητικές Λύσεις... 10 2.3 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΟΜΑΔΑΣ... 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΣΕ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ... 21 3.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ... 21 3.1.1 Περίπτωση 1... 23 3.1.2 Περίπτωση 2... 35 iii

3.1.3a Περίπτωση 3a... 44 3.1.3b Περίπτωση 3b... 54 3.2 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ... 66 3.2.1 Περίπτωση 1... 67 3.2.2a Περίπτωση 2a... 78 3.2.2b Περίπτωση 2b... 88 3.2.3 Περίπτωση 3... 100 3.3 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ...... 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΣΕ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ... 113 4.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ... 113 4.2 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ... 115 4.3 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ... 119 4.3.1 Περίπτωση 1: σ' h0 /σ' v0 : 100/100... 119 4.3.2 Περίπτωση 2: σ' h0 /σ' v0 : 100/200... 127 4.3.3 Περίπτωση 3: σ' h0 /σ' v0 : 200/400... 134 4.4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΩΝ LOUKIDIS ΚΑΙ VAVOURAKIS (2014)... 146 iv

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 - OΡΙΑΚΗ ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΤΑΣΗ ΠΑΣΣΑΛΟ ΣΕ ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ... 149 5.1 ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ ΣΕ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ... 150 5.1.1 Μετακίνηση του εδάφους- Ακλόνητος Πάσσαλος... 150 5.1.2 Μετακίνηση του πασσάλου - Ακλόνητο Έδαφος... 157 5.1.3 Σύγκριση με Αναλυτικές Λύσεις... 161 5.1.4 Σύγκριση με αναλυτικές λύσεις των Matsii και Derevenets... 163 5.1.5 Μηχανισμοί Αστοχίας... 163 5.2 ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ ΣΕ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ... 176 5.2.1 Σχέσεις πλευρικών τάσεων - λόγων s/d... 176 5.2.2 Καμπύλες πλευρικών τάσεων μετατοπίσεων... 181 5.2.3 Μηχανισμοί Αστοχίας... 184 5.2.4 Διαστατική Ανάλυση.212 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ... 217 6.1 ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.217 6.2 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3... 217 6.3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4... 218 6.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5... 218 6.4.1 Πασσαλοσειρά σε συνεκτικό έδαφος.218 6.4.2 Πασσαλοσειρά σε μη συνεκτικό έδαφος....219 6.5 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ... 219 v

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ..221 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α... 225 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β... 231 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ... 243 vi

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.α Σχήμα 1.β Σχήμα 2.1 Σχήμα 2.2 Σχήμα 2.3 Σχήμα 2.4 Σχήμα 2.5 Σχήμα 2.6 Σχηματική αναπαράσταση ενισχυμένου πρανούς με πασσάλουςπασσαλοστοιχία 2 Σχηματική αναπαράσταση ενισχυμένου πρανούς με πασσάλουςπασσαλοομάδα 2 Επιφάνεια παραμόρφωσης γύρω από τον πάσσαλο για την περίπτωση τραχείας επιφάνειας πασσάλου (Randolph και Houlsby (1984)) 8 Το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων των Loukidis & Vavourakis (2014) 11 Γράφημα της πλευρικής αντίστασης πασσάλου κανονικοποιημένης ως προς την αρχική οριζόντια ενεργό τάση, από αναλύσεις που έγιναν για διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία και διαφορετικούς λόγους Poisson (Loukidis και Vavourakis (2014), Fig.5) 12 Σύγκριση του πλαστικού μηχανισμού μεταξύ συνεκτικού και συνεκτικού υλικού με c και φ ( Loukidis και Vavourakis (2014), Fig.8) 13 Σύγκριση των οριακών πλευρικών φορτίων που δίνονται από τις εξισώσεις (2), (3) και (4) ως προς την εφαπτομένη της γωνίας τριβής 14 Το μοντέλο των Ito και Matsui (1975) για "πλαστική παραμόρφωση" ολισθαίνοντος εδάφους, στο μεσοδιάστημα δυο πασσάλων 15 Σχήμα 2.7 Διαμήκης μετακίνηση του εδάφους, Matsii και Derevenets (2005) 17 Σχήμα 2.8 Πλαστικοποιημένα σημεία και σημεία αποκοπής, Matsii & Derevenets (2005) 17 Σχήμα 2.9 Σχήμα 2.10 Διαγράμματα που δείχνουν την εξάρτηση a) της οριακής πλευρικής τάσης q του εδάφους και b) της οριακής δύναμης P λόγω αισθητικής κίνησης του εδάφους, από την απόσταση των πασσάλων L/D για φ=0 ο -20 ο, Matsii και Derevenets (2005) 18 Διάγραμμα που δείχνει την εξάρτηση του αδιάστατου λόγου q/c συναρτήσει του λόγου L/D, Matsii και Derevenets (2005) 19 Σχήμα 3.1 Υπό εξέταση μοντέλα 22 Σχήμα 3.2 Καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (1) (PLAXIS 2D) 23 Σχήμα 3.3 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (1) 24 Σχήμα 3.3.1.a Βήμα 48: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 27 vii

Σχήμα 3.3.1.b Βήμα 48: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 28 Σχήμα 3.3.2 Βήμα 71: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 29 Σχήμα 3.3.3 Βήμα 74: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 30 Σχήμα 3.3.4 Βήμα 84: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 31 Σχήμα 3.3.5 Βήμα 113: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 32 Σχήμα 3.3.6.a Βήμα 133: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 33 Σχήμα 3.3.6.b Βήμα 133: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 34 Σχήμα 3.4 Καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (2) (PLAXIS 2D) 35 Σχήμα 3.5 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (2) 36 Σχήμα 3.5.1.a Βήμα 63: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 38 Σχήμα 3.5.1.b Βήμα 63: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 39 Σχήμα 3.5.2 Βήμα 86: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 40 Σχήμα 3.5.3 Βήμα 125: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 41 Σχήμα 3.5.4.a Βήμα 140: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 42 Σχήμα 3.5.4.b Βήμα 140: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 43 Σχήμα 3.6 Καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (3α) (PLAXIS 2D) 44 Σχήμα 3.7 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3α) 45 Σχήμα 3.7.1.a Βήμα 27: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 48 Σχήμα 3.7.1.b Βήμα 27: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 49 Σχήμα 3.7.2 Βήμα 39: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 50 Σχήμα 3.7.3 Βήμα 66: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 51 Σχήμα 3.7.4.a Βήμα 92: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 52 Σχήμα 3.7.4.b Βήμα 92: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 53 Σχήμα 3.8 Καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3b) (PLAXIS 3D) 54 Σχήμα 3.9 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3b) 55 Σχήμα 3.9.1.a Βήμα 84: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 58 viii

Σχήμα 3.9.1.b Βήμα 84: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 59 Σχήμα 3.9.2 Βήμα 124: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 60 Σχήμα 3.9.3.a Βήμα 250: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 61 Σχήμα 3.9.3.b Βήμα 250: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 62 Σχήμα 3.9.4 Βήμα 335: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 63 Σχήμα 3.9.5.a Βήμα 360: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 64 Σχήμα 3.9.5.b Βήμα 360: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 65 Σχήμα 3.10 Σχήμα 3.11 a) Πρώτο υπο εξέταση μοντέλο, b) Δεύτερο υπο εξέταση μοντέλο c) Τρίτο υπο εξέταση μοντέλο 66 Καμπύλη φορτίου -μετατόπισης για την Περίπτωση (1) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D 67 Σχήμα 3.12 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (1) 68 Σχήμα 3.12.1.a Βήμα 98: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 70 Σχήμα 3.12.1.b Βήμα 98: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 71 Σχήμα 3.12.2 Βήμα 116: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 72 Σχήμα 3.12.3 Βήμα 145: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 73 Σχήμα 3.12.4.a Βήμα 212: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 74 Σχήμα 3.12.4.b Βήμα 212: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 75 Σχήμα 3.12.5 Βήμα 264: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 76 Σχήμα 3.12.6.a Βήμα 305: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 77 Σχήμα 3.13 Καμπύλη φορτίου F y - μετατόπισης u (m) για την περίπτωση 2a (PLAXIS 2D) 78 Σχήμα 3.14 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (2a) 79 Σχήμα 3.14.1.a Βήμα 8: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 81 Σχήμα 3.14.1.b Βήμα 8: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 82 Σχήμα 3.14.2 Βήμα 36: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 83 Σχήμα 3.14.3 Βήμα 111: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 84 ix

Σχήμα 3.14.4 Βήμα 118: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 85 Σχήμα 3.14.5.a Βήμα 132: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 86 Σχήμα 3.14.5.b Βήμα 132: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 87 Σχήμα 3.15 Καμπύλη φορτίου -μετατόπισης για την περίπτωση (2b) (PLAXIS 2D) 88 Σχήμα 3.16 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (2b) 89 Σχήμα 3.16.1.a Βήμα 99: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 92 Σχήμα 3.16.1.b Βήμα 99: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 93 Σχήμα 3.16.2 Βήμα 309: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 94 Σχήμα 3.16.3 Βήμα 361: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 95 Σχήμα 3.16.4 Βήμα 423: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 96 Σχήμα 3.16.5 Βήμα 439: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 97 Σχήμα 3.16.6.a Βήμα 448: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 98 Σχήμα 3.16.6.b Βήμα 448: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 99 Σχήμα 3.16 Καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3) (PLAXIS 2D) 100 Σχήμα 3.17 Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3) 101 Σχήμα 3.17.1a Βήμα 73: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 103 Σχήμα 3.17.1b Βήμα 73: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 104 Σχήμα 3.17.2 Βήμα 92: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 105 Σχήμα 3.17.3 Βήμα 126: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 106 Σχήμα 3.17.4 Βήμα 172: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 107 Σχήμα 3.17.5a Βήμα 196: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 108 Σχήμα 3.17.5.b Βήμα 196: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 109 Σχήμα 4.1 Μεταβολή της κανονικοποιημένης πλευρικής αντίστασης πασσάλου προς την κανονικοποιημένη πλευρική μετακίνηση (Loukidis & Vavourakis, 2014) 116 Σχήμα 4.2 Μεταβολή της κανονικοποιημένης πλευρικής αντίστασης πασσάλου προς την κανονικοποιημένη πλευρική μετακίνηση (PLAXIS 3D) 116 x

Σχήμα 4.3 Σύγκριση αποτελεσμάτων PLAXIS 3D- Loukidis & Vavourakis (2014) (Οι κόκκινες καμπύλες αντιστοιχούν στα αποτελέσματα του PLAXIS 3D) 117 Σχήμα 4.4 Διάγραμμα p σ h0 u/d για σ' h0 / σ' v0 = 100 /100 kpa 117 Σχήμα 4.5 Σχήμα 4.6 Διάγραμμα p σ h0 Διάγραμμα p σ h0 u/d για σ' h0 / σ' v0 = 100 /200 kpa u/d για σ' h0 / σ' v0 = 200 /400 kpa 118 118 Σχήμα 4.7 Καμπύλη πλευρικής δύναμης F y -μετατόπισης u με αρχικό πεδίο τάσεων σ' h0 =100 kpa και σ' v0 =100 kpa, (PLAXIS 3D) 119 Σχήμα 4.7.1.a Βήμα 66: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 121 Σχήμα 4.7.1.b Βήμα 66: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 122 Σχήμα 4.7.2.a Βήμα 80: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 123 Σχήμα 4.7.2.b Βήμα 80: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 124 Σχήμα 4.7.3.a Βήμα 97: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 125 Σχήμα 4.7.3.b Βήμα 97: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 126 Σχήμα 4.8 Καμπύλη πλευρικής δύναμης F y -μετατόπισης u, με αρχικό πεδίο τάσεων σ'h0=100 kpa και σ'v0=200 kpa (PLAXIS 3D) 127 Σχήμα 4.8.1.a Βήμα 63: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 128 Σχήμα 4.8.1.b Βήμα 63: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 129 Σχήμα 4.8.2.a Βήμα 71: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 130 Σχήμα 4.8.2.b Βήμα 71: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 131 Σχήμα 4.8.3.a Βήμα 87: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 132 Σχήμα 4.8.3.b Βήμα 87: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 133 Σχήμα 4.9 Καμπύλη πλευρικής δύναμης Fy-μετατόπισης u, με αρχικό πεδίο τάσεων σ' h0 =200 kpa και σ' v0 =400 kpa (PLAXIS 3D) 134 Σχήμα 4.9.1.a Βήμα 20: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 136 Σχήμα4.9.1.b Βήμα20: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 137 Σχήμα 4.9.2.a Βήμα 28: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 138 Σχήμα 4.9.2.b Βήμα 28: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 139 xi

Σχήμα 4.9.3.a Βήμα 40: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 140 Σχήμα 4.9.3.b Βήμα 40: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 141 Σχήμα 4.9.4.a Βήμα 44: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 142 Σχήμα 4.9.4.b Βήμα 44: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 143 Σχήμα 4.9.5.a Βήμα 178: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 144 Σχήμα 4.9.5.b Βήμα 178: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 145 Σχήμα 5.1 Ισαπέχοντες πάσσαλοι 149 Σχήμα 5.2 Κάνναβος όπως δίνεται από το PLAXIS για ολόκληρο, μισό και τέταρτο του πασσάλου 152 Σχήμα 5.3a Σχήμα 5.3b Σύγκριση αποτελεσμάτων για μισό, ολόκληρο και εν τέταρτο του καννάβου (κανονικοποίηση ως προς c u *d) 153 Σύγκριση αποτελεσμάτων για μισό, ολόκληρο και εν τέταρτο του καννάβου (κανονικοποίηση ως προς c u *s). 153 Σχήμα 5.4 a) πυκνός κάνναβος b) αραιός κάνναβος c) πολύ αραιός κάνναβος 154 Σχήμα 5.5.a Σχήμα 5.5.b Σύγκριση αποτελεσμάτων για πυκνό, πολύ αραιό και αραιό κάνναβο (κανονικοποίηση ως προς c u *d). 155 Σύγκριση αποτελεσμάτων για πυκνό, πολύ αραιό και αραιό κάνναβο. (κανονικοποίηση ως προς c u *s) 155 Σχήμα 5.6 Αποτελέσματα αναλύσεων με λόγους Poisson 0.4 και 0.495 156 Σχήμα 5.7 Αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων 157 Σχήμα 5.8.a Σχήμα 5.8b Σύγκριση αποτελεσμάτων για μετακίνηση στον πάσσαλο και για μετακίνηση στο έδαφος. (κανονικοποίηση ως προς c u *d) 159 Σύγκριση αποτελεσμάτων για μετακίνηση στον πάσσαλο και για μετακίνηση στο έδαφος. (κανονικοποίηση ως προς c u *s) 159 Σχήμα 5.9 Σύγκριση αποτελεσμάτων PLAXIS 2D και PLAXIS 3D 160 Σχήμα 5.10.a Σχήμα 5.10.b Σύγκριση αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων με αναλυτικές λύσεις (κανονικοποίηση ως προς c u *d) 162 Σύγκριση αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων με αναλυτικές λύσεις (κανονικοποίηση ως προς c u *s) 162 Σχήμα 5.11.1 s/d=1.2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 164 xii

Σχήμα 5.11.2 s/d=1.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 165 Σχήμα 5.11.3 s/d=2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 166 Σχήμα 5.11.4 s/d=2.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 167 Σχήμα5.11.5 s/d=3: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 168 Σχήμα 5.11.6 s/d=3.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 169 Σχήμα 5.11.7 s/d=4: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 170 Σχήμα 5.11.8 s/d=4.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 171 Σχήμα 5.11.9 s/d=5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 172 Σχήμα 5.11.10 s/d=5.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 173 Σχήμα 5.11.11 s/d=6: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 174 Σχήμα 5.11.12 s/d=6.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 175 Σχήμα 5.12.a Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s/d. Τα σημεία αντιστοιχούν στο τελευταίο βήμα των καμπυλών F y -u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 178 Σχήμα 5.12.b Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d ( έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στο τελευταίο βήμα των καμπυλών F y -u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 178 Σχήμα 5.12.c Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s/d. Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 179 Σχήμα 5.12.d Σχήμα 5.12.e Σχήμα 5.12.f Σχήμα 5.13 Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s /d (έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 179 Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d. Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*s) 180 Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d (έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*s) 180 Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ' v0 /σ' h0 =100/100 181 xiii

Σχήμα 5.14 Σχήμα 5.15 Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ' v0 /σ' h0 =100/300 182 Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ'v0/σ'h0=200/400 182 Σχήμα 5.16.a Περίπτωση s / d= 1.2 πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u. 183 Σχήμα 5.16.b Περίπτωση s / d= 1.2 πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u (έως 0.05). 183 Σχήμα 5.17.1 s/d=1.2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 185 Σχήμα 5.17.2 s/d=1.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 186 Σχήμα 5.17.3 s/d=2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 187 Σχήμα 5.17.4 s/d=3: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 188 Σχήμα 5.17.5 s/d=4: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 189 Σχήμα 5.17.6 s/d=6: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 190 Σχήμα 5.17.7 s/d=12: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 191 Σχήμα 5.17.8 s/d=20: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 192 Σχήμα 5.17.9 s/d=30: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 193 Σχήμα 5.18.1 s/d=1.2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 194 Σχήμα 5.18.2 s/d=1.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 195 Σχήμα 5.18.3 s/d=2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 196 Σχήμα 5.18.4 s/d=3: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 197 Σχήμα 5.18.5 s/d=4: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 198 Σχήμα 5.18.6 s/d=6: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 199 Σχήμα 5.18.7 s/d=12: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 200 Σχήμα 5.18.8 s/d=20: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 201 Σχήμα 5.18.9 s/d=30: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 202 Σχήμα 5.19.1 s/d=1.2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 203 xiv

Σχήμα 5.19.2 s/d=1.5: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 204 Σχήμα 5.19.3 s/d=2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 205 Σχήμα 5.19.4 s/d=3: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 206 Σχήμα 5.19.5 s/d=4: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 207 Σχήμα 5.19.6 s/d=6: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 208 Σχήμα 5.19.7 s/d=12: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 209 Σχήμα 5.19.8 s/d=20: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 210 Σχήμα 5.19.9 s/d=30: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 211 Σχήμα 5.20.a Καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-2 214 Σχήμα 5.20.b Μεγεθυμένη καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-2 214 Σχήμα 5.21.a Καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-4 215 Σχήμα 5.21.b Μεγεθυμένη καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-4 215 Σχήμα 5.22.a Καμπύλη F y -u για s/d = 2 για σ' ho / E s = 0.33*10-2 216 Σχήμα 5.22.b Καμπύλη F y -u για s/d = 2 για σ' ho / E s = 0.33*10-4 216 xv

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1.1 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ορθών παραμορφώσεων ανά σημείο 25 Πίνακας 3.1.2 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο 36 Πίνακας 3.1.3 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και κυρίων παραμορφώσεων ανά σημείο 46 Πίνακας 3.1.4 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο 56 Πίνακας 3.2.1 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. 68 Πίνακας 3.2.2a Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο 79 Πίνακας 3.2.2.b Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο 90 Πίνακας 3.2.3 Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο 101 Πίνακας 3.3.1 Σύγκριση λόγου p L /(c u ) μεταξύ PLAXIS 2D και 3D και ακριβούς αναλυτικής λύσης των Randolph & Houlsby (1984), για μετακίνηση πασσάλου 111 Πίνακας 4.1 Ιδιότητες υλικού εδάφους και πασσάλου 114 Πίνακας 4.2 Σύγκριση αποτελεσμάτων μεταξύ PLAXIS 3D και Loukidis και Vavourakis (2014) 146 xvii

Πίνακας 5.1 Υπο εξέταση περιπτώσεις 150 Πίνακας 5.2 Μέγιστες πλευρικές τάσεις pl συναρτήσει των λόγων s/d και σ' ho / Es 213 xviii

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ d c u ή c ή s u E s f s F y h J K c : η διάμετρος του πασσάλου : η αστράγγιστη διατμητική αντοχή : μέτρο ελαστικότητας εδάφους : η οριακή τριβή στην διεπιφάνεια πασσάλου- εδάφους : οριζόντιο φορτίο : ύψος του καννάβου : αδιαστατη παραμετρος : συντελεστές που δίνονται από νομογραφήματα συναρτήσει της γωνίας τριβής και του βάθους z K p K q : συντελεστής παθητικών ωθήσεων : συντελεστές που δίνονται από νομογραφήματα συναρτήσει της γωνίας τριβής και του βάθους z K 0 k N p N pl P L p L q s u z z' : συντελεστής πλευρικής τάσης σε ισορροπία : παράμετρος με διαστάσεις kn/m : αδιάστατη παράμετρος : οριακή τιμή του N p σε βάθος : οριζόντιο οριακό φορτίο (δύναμη) : η οριακή πλευρική αντίσταση εδάφους (τάση) : η κατακόρυφη τάση στο εξεταζόμενο βάθος : η απόσταση μεταξύ των πασσάλων : οριζόντια μετατόπιση : το βάθος από την επιφάνεια του εδάφους : πάχος προσομοιώματος ("φέτας") μη συνεκτικού υλικού xix

γ s Δ Δu ε 1 ε 1 ν ξ σ v0 σ h0 φ : εκτροπικές παραμορφώσεις : αδιάστατη παράμετρος : αυξητικές μετατοπίσεις : μέγιστες ολικές ορθές παραμορφώσεις : ορθές παραμορφώσεις στις ζώνες ολίσθησης : λόγος Poisson : αδιάστατη παράμετρος : η κατακόρυφη ενεργός τάση : η οριζόντια ενεργός τάση : η γωνία εσωτερικής τριβής του εδαφικού υλικού xx

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα Διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Γεωτεχνικής Μηχανικής του Πανεπιστημίου Πατρών. Στη διεξαγωγή της καθοριστική ήταν η συμβολή τόσο των καθηγητών όσο και των φοιτητών-συνεργατών. Αρχικά οφείλω να εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον επιβλέποντα καθηγητή μου, Γεώργιο Μυλωνάκη, καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, η βοήθεια και η καθοδήγηση του οποίου ήταν αναγκαία και καθοριστική στη διεξαγωγή της παρούσας έρευνας. Ευχαριστίες επίσης εκφράζονται στους Ομότιμους Καθηγητές του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, Γεώργιο Αθανασόπουλο και Δημήτριο Ατματζίδη για το γεγονός ότι ήταν πάντοτε διαθέσιμοι για την επίλυση οποιασδήποτε απορίας και προβληματισμού που πρόεκυπτε κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών. Ιδιαίτερες ευχαριστίες απευθύνονται προς τον συνταξιούχο Επίκουρο Καθηγητή, Κωνσταντίνο Παπαντωνόπουλο για της αποφασιστικής σημασίας υποδείξεις και τα εύστοχα σχόλια του. Η συμβολή του ήταν ουσιώδους σημασίας και αναγκαία για τη διεξαγωγή της παρούσας έρευνας και συνέβαλλε στην επιστημονική μου κατάρτιση σε ένα ευρύ φάσμα θεμάτων Γεωτεχνικής Μηχανικής. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την υποψηφία Διδάκτορα Ξένια Καρατζιά, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε κατά την διεξαγωγή των αναλύσεων και την προετοιμασία της διατριβής αλλά και την συμπαράστασή της κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Είναι υποχρέωση μου να αναφερθώ και να ευχαριστήσω τους υποψήφιους Διδάκτορες Φωτεινή Λυραντζάκη και Βασίλη Κίτση και τον Διδάκτορα Γεράσιμο Μουλίνο για την βοήθεια τους και τις εύστοχες παρατηρήσεις τους κατά την διάρκεια των αριθμητικών αναλύσεων με το πρόγραμμα PLAXIS. Θέρμες ευχαριστίες εκφράζονται προς τον μεταπτυχιακό φοιτητή Μάριο Λιανό για την βοήθεια, την στήριξη και την συμπαράσταση που μου παρείχε αλλά και τις όμορφες στιγμές που περάσαμε κατά την διάρκεια των σπουδών μας. xxi

Με την ολοκλήρωση των μεταπτυχιακών μου σπουδών, θα ήθελα να εκφράσω την αμέριστη ευγνωμοσύνη μου στους γονείς μου, Γιώργο και Βασιλική, οι οποίοι επωμίστηκαν το οικονομικό βάρος των σπουδών μου. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τον αδελφό μου, Γιάννη για την στήριξη και την συμπαράστασή του κατά την συγκατοίκησή μας στην Πάτρα καθώς επίσης για την βοήθεια και την υποστήριξη που μου παρείχε κατά την συγγραφή της διατριβής. Συνολικά θέλω να ευχαριστήσω την ευρύτερη οικογένεια και τους φίλους μου που με στήριζαν και με ενθάρρυναν σε κάθε στάδιο των μεταπτυχιακών μου σπουδών. xxii

1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της εργασίας είναι η διερεύνηση της οριακής πλευρικής τάσης κυκλικών πασσάλων σε συνεκτικό και μη συνεκτικό έδαφος και η σύγκριση των αποτελεσμάτων με διαθέσιμες αναλυτικές και αριθμητικές λύσεις. Στην εργασία εξετάζονται η συμπεριφορά μεμονωμένων πασσάλων και πασσαλοομάδων, με μεταβλητή την απόσταση s μεταξύ των πασσάλων, για δεδομένη διάμετρο πασσάλου, d. Οι υπολογισμοί γίνονται με τα αριθμητικά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων PLAXIS 2D και PLAXIS 3D. Απομονώνονται ένα οριζόντιο στρώμα ("φέτα") μοναδιαίου πάχους και το πρόβλημα αναλύεται σαν πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης. Για το συνεκτικό έδαφος με φ= 0 o η ανάλυση πραγματοποιείται με το πρόγραμμα PLAXIS 2D με τριγωνικά στοιχεία. Για μη συνεκτικό έδαφος και στην περίπτωση που επιθυμείται να οριστούν γνωστά κατακόρυφα φορτία η ανάλυση της επίπεδης παραμόρφωσης πραγματοποιείται με το πρόγραμμα PLAXIS 3D με τετραεδρικά στοιχεία. Οι υπολογισμοί εκτελούνται χρησιμοποιώντας το ιδανικά ελαστοπλαστικό μοντέλο για το έδαφος και το γραμμικό-ελαστικό μοντέλο για τον πάσσαλο. Οι παραδοχές για το ελαστοπλαστικό μοντέλο καθώς και το επιστημονικό υπόβαθρο του PLAXIS παρατίθενται στα Παραρτήματα A και B αντιστοίχως. Η ανάλυση εφαρμόζεται τόσο για την ευστάθεια πρανών και τοίχων αντιστήριξης όσο και για θεμελιώσεις κτηρίων σε πασσάλους, τα οποία υφίστανται οριζόντιες δυναμικές η ψευδοδυναμικές καταπονήσεις. Ειδικά για την ευστάθεια των πρανών, ένα από τα πιο κοινά προβλήματα που καλείται να αντιμετωπίσει ο πολιτικός μηχανικός, η πιο διαδεδομένη και ευρέως αποδεκτή μέθοδος είναι η χρήση κατακορύφων πασσάλων. Οι πάσσαλοι αυτοί αγκυρώνονται στο στερεό υπόβαθρο και συμπεριφέρονται όπως και οι τοίχοι αντιστήριξης με την διαφορά ότι είναι τοποθετημένοι σε αποστάσεις μερικών διαμετρών ο ένας από τον άλλον. Μπορούν να τοποθετηθούν είτε σε μια σειρά (πασσαλοστοιχία) είτε σε πολλές σειρές (πασσαλοομάδα) όπως φαίνεται στα Σχήματα 1a και 1b. Οι πάσσαλοι που χρησιμοποιούνται για την ευστάθεια πρανών χαρακτηρίζονται ως "παθητικοί" καθώς αναλαμβάνουν πλευρικό φορτίο έμμεσα λόγω της κίνησης του εδάφους.

2 Σχήμα 1.a: Σχηματική αναπαράσταση ενισχυμένου πρανούς με πασσάλους- πασσαλοστοιχία Σχήμα 1.b: Σχηματική αναπαράσταση ενισχυμένου πρανούς με πασσάλους- πασσαλοομάδα

3 Ο τρόπος που μια πασσαλοομάδα αντιστέκεται στην ολίσθηση του πρανούς είναι ο εξής: οι πάσσαλοι τοποθετούνται σε μεγάλο βάθος στο "σταθερό" στρώμα του πρανούς, διαπερνώντας την ολισθαίνουσα επιφάνεια. Ασκούν οριζόντια δύναμη η οποία αντιστέκεται στην κίνηση του ολισθαίνοντος εδάφους. Κατά τον τρόπο αυτό αυξάνεται ο συντελεστής ασφάλειας (FS) του πρανούς. Η δύναμη που ασκείται στο έδαφος από τους πασσάλους αναπτύσσεται καθώς το έδαφος κινείται μεταξύ των πασσάλων και αυξάνεται συνεχώς έως ότου αναπτυχθεί ο μηχανισμός πλαστικής ροής γύρω από τον πάσσαλο. Όταν γίνει αυτό, η δύναμη που ανθίσταται στην κίνηση του ολισθαίνοντος εδάφους θα φτάσει σε μια μέση οριακή τιμή P L, που προσδιορίζει το οριακό φορτίο της πασσαλοσειράς. Η δομή της εργασίας έχει ως εξής: Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η βιβλιογραφική ανασκόπηση για τις υπάρχουσες αναλυτικές και αριθμητικές επιλύσεις του προβλήματος. Η ανασκόπηση επικεντρώνεται στις περιπτώσεις μεμονωμένου πασσάλου και πασσαλοσειράς σε συνεκτικό και μη συνεκτικό έδαφος. Στο Κεφάλαιο 3 εξετάζεται η περίπτωση μεμονωμένου πασσάλου σε συνεκτικό έδαφος. Στο Κεφάλαιο 4 εξετάζεται η περίπτωση μεμονωμένου πασσάλου σε μη συνεκτικό έδαφος. Στο Κεφάλαιο 5 εξετάζεται η περίπτωση πασσαλοσειράς και στους δύο τύπους εδαφων. Στο Κεφάλαιο 6 συνοψίζονται τα συμπεράσματα και γίνονται προτάσεις για περαιτέρω έρευνα.

5 2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2.1 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΓΙΑ ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΕΔΑΦΗ Ο προσδιορισμός του οριακού φορτίου μεμονωμένου, πλευρικώς φορτισμένου πασσάλου έχει αποτελέσει, κατά το πρόσφατο παρελθόν, έντονο πεδίο έρευνας. Σύμφωνα με τον Hansen (1961), η αστοχία του συστήματος πασσάλου-εδάφους προκύπτει με τον σχηματισμό ενός πρίσματος σε οριακή ισορροπία στη ζώνη περί την εδαφική επιφάνεια και σε συνθήκες πλαστικής ροής σε βάθος, ώστε να ισχύει (βλ. Κωστόπουλος, 2003, σελ. 230): p L = q K q + s u K c (2.1) όπου p L η οριακή αντίσταση εδάφους (σε διαστάσεις τάσης), q η κατακόρυφη τάση στο εξεταζόμενο βάθος, s u η αστράγγιστη διατμητική αντοχή και K q, K c οι συντελεστές που δίνονται από νομογραφήματα συναρτήσει της γωνίας διατμητικής αντοχής και του βάθους z. Οι Reese (1958) και Matlock (1970) πρότειναν την παρακάτω σχέση για την εύρεση του οριακού φορτίου (βλ. Κωστόπουλος, 2003, σελ. 232): p L = N p s u (2.2) όπου N p = 3 + σ v0 + J ( z ). Ο συντελεστής J λαμβάνει την τιμή 0.50 για κανονικώς s u D στερεοποιημένες (NC) αργίλους και την τιμή 0.25 για υπερστερεοποιημένες (OC) αργίλους. Ο όρος σ v0 αναφέρεται στην κατακόρυφη ενεργό τάση και z στο βάθος από την επιφάνεια του εδάφους. Σύμφωνα με τον Broms (1964a), το φορτίο αστοχίας ενός πασσάλου σε ένα αμιγώς συνεκτικό εδαφικό υλικό και σε βάθος από την επιφάνεια του εδάφους μεγαλύτερο των τριών διαμετρών (στο οποίο επικρατούν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης), ισούται περίπου με (βλ. Κωστόπουλος, 2003, σελ. 230):

6 p L = 9 s u (2.3) Σε βάθη μικρότερα των τριών διαμετρών, οι τιμές του οριακού φορτίου είναι μικρότερες λόγω του σχηματισμού ενός τρισδιάστατου μηχανισμού αστοχίας. O Miao et al. (2006) παρατηρήσεων μέσα από μια σειρά αναλύσεων πως το βάθος από το οποίο επικρατούν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης είναι οι περίπου τέσσερις διάμετροι και όχι τρεις. Οι Murff και Hamilton (1993) πρότειναν την ακόλουθη σχέση για την εύρεση του οριακού φορτίου αστοχίας σε συνεκτικά εδάφη (βλ. Fleming et al., 2008, σελ. 152): p L = N P s u + σ v0 (2.4) Ο όρος N P εκφράζεται ως μια συνάρτηση, η οποία επιτρέπει τη μεταβολή της συνοχής του εδάφους με το βάθος. Για την περίπτωση που η συνοχή του εδάφους μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος, δηλαδή s u = s u0 + k z, το N P θα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση : N p = N pl N pl 2 e ξ z d (2.5) όπου ξ = 0.25 + 0.05 ( s u0 k d ) 0.55. O όρος N pl αναφέρεται στην οριακή τιμή του N p σε βάθος και μπορεί να πάρει την τιμή 9 κατά τον Broms (1964a). Για την εύρεση της αντίστασης ενός πλευρικά φορτιζόμενου κυκλικού τεμάχους πασσάλου σε συνεκτικό έδαφος φορτιζόμενου πλευρικά, οι Randolph και Houlsby (1984) ανέπτυξαν λύσεις, βασιζόμενες στα θεωρήματα άνω και κάτω ορίου της οριακής ανάλυσης. Η ανάλυση τους στηρίζεται στις παρακάτω παραδοχές : α) Το εδαφικό υλικό είναι απαραμόρφωτο, ιδανικά πλαστικό, πλήρως συνεκτικό (υπό αστράγγιστες συνθήκες), με συνοχή c ανεξάρτητη της μέσης τάσης (φ = 0) β) Ισχύουν συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης (e zz = e zx = e zy = 0) σε εδαφικό μέσο που εκτείνεται στο άπειρο. Επιπλέον οι Randolph και Houlsby εξέτασαν την επίδραση της τραχύτητας της διεπιφάνειας εδάφους-πασσάλου σε σχέση με την τιμή του οριακού φορτίου.

7 Η λύση του κάτω ορίου της θεωρίας της πλαστικότητας βασίζεται στη θεώρηση των κατάλληλων τασικών πεδίων έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις : α) Οι τάσεις βρίσκονται σε ισορροπία με τα εφαρμοζόμενα φορτία β) δεν παραβιάζεται το φορτίο αστοχίας του υλικού σε κανένα σημείο του χώρου και γ) ικανοποιούνται οι συνοριακές συνθήκες των τάσεων. Συνεπώς, λαμβάνοντας ως δεδομένο πως το τασικό πεδίο δεν παραβιάζει το κριτήριο αστοχίας σε κανένα σημείο, η λύση του κάτω ορίου θα είναι ασφαλής, δηλαδή το εφαρμοζόμενο φορτίο θα είναι ίσο η μικρότερο από το πραγματικό φορτίο αστοχίας. Καθώς ο πάσσαλος φορτίζεται πλευρικά, μια περιοχή υψηλών μέσων τάσεων δημιουργείται μπροστά από τον πάσσαλο και χαμηλών τάσεων πίσω από αυτόν, το έδαφος διαρρέει (πλαστικοποιείται ) γύρω από τον πάσσαλο από το μπροστινό του τμήμα προς τα πίσω. Λόγω συμμετρίας, το επίπεδο με y=0 που περνά από το κέντρο του πασσάλου παράλληλα στην διεύθυνση κίνησης, θα είναι το επίπεδο των κυρίων τάσεων στον κύκλο του Mohr. Οι χαρακτηριστικές αστοχίας βρίσκονται στην διεύθυνση των 45 Ο. Ορίζοντας Δ= sin -1 (f s / s u ), όπου f s η οριακή τριβή στην διεπιφάνεια πασσάλουεδάφους και s u η αστράγγιστη διατμητική αντοχή του εδαφικού υλικού, το αποτέλεσμα της ανάλυσης του κάτω ορίου δίνεται από την σχέση (βλ. "The limniting pressure on a circular pile loaded laterally in cohesive soil, Randolph and Houlsby, 1984) : Ν pl = P L = π + 2Δ + 2cosΔ + 4[cos s u d Δ + sin 2 Δ ] (2.6) 2 όπου d η διάμετρος του πασσάλου. Η τιμή του Ν pl κυμαίνεται από 9.14 για λεία διεπιφάνεια πασσάλου- εδάφους, έως 11.94 για τραχεία διεπιφάνεια. Στην άλλη προσέγγιση, αυτή του άνω ορίου, επιλέγεται ένας μηχανισμός αστοχίας και το φορτίο αστοχίας υπολογίζεται εξισώνοντας το ρυθμό διάχυσης της ενέργειας μέσα στο παραμορφωμένο εδαφικό υλικό, με το έργο των εξωτερικών φορτίων. Το αποτέλεσμα της ανάλυσης του άνω ορίου δίνεται από τη σχέση (βλ. "The limniting pressure on a circular pile loaded laterally in cohesive soil, Randolph and Houlsby, 1984) :

8 Ν pl = P L = π + 2Δ + 2cosψ 2 + sinψ (2.7) s u d όπου ψ = ( π Δ ). Η παραπάνω έκφραση είναι ταυτόσημη με εκείνη του κάτω ορίου 4 2 όταν σε αυτήν πραγματοποιηθεί η αντικατάσταση του ψ. Με βάση τα παραπάνω η ανάλυση των Randolph και Houlsby (1984) κρίθηκε ακριβής, αφού οι λύσεις άνω και κάτω ορίου συνέπιπταν, κάτι που αναθεωρήθηκε στην συνέχεια. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η περιοχή παραμόρφωσης όπως πρόεκυψε από την ανάλυση των Randolph και Houlsby (1984). Σχήμα 2.1 : Επιφάνεια παραμόρφωσης γύρω από τον πάσσαλο για την περίπτωση τραχείας επιφάνειας πασσάλου (Randolph και Houlsby (1984). Σε μια νεότερη μελέτη των Martin και Randolph (2006), με τίτλο "Upper-bound analysis of lateral pile capacity in cohesive soil", προταθήκαν τρεις νέες λύσεις άνω ορίου για το πρόβλημα του κυκλικού πασσάλου που υπόκεινται σε πλευρική φόρτιση. Η πρώτη λύση βασίζεται στον μηχανισμό αστοχίας που προτάθηκε από τους Randolph και Houlsby (1984). Η λύση τους παρέχει ένα περιορισμένο εύρος τιμών για το ακριβές φορτίο αστοχίας. Η δεύτερη λύση βασίζεται σε έναν εντελώς

9 διαφορετικό μηχανισμό αστοχίας, ο όποιος προτάθηκε από τον Martin. Η λύση αυτή καταλήγει σε ακριβή αποτελέσματα για μικρές τιμές του συντελεστή f s / s u. Εντέλει προτείνεται ένας υβριδικός μηχανισμός αστοχίας, έτσι ώστε να παρέχεται πολύ μεγάλη ακρίβεια για όλο το εύρος των τιμών του συντελεστή f s / s u. Ένα από τα συμπεράσματα της μελέτης είναι ότι η λύση της οριακής ανάλυσης στο άρθρο των συγγραφέων του 1984 είναι ακριβής μόνο για τραχύ πάσσαλο (11.94), καθώς η λύση του άνω ορίου ήταν γενικώς λανθασμένη. Για λείο πάσσαλο, το οριακό φορτίο αστοχίας κυμαίνεται από 9.14 s u έως 9.20 s u.. Οι παραπάνω παρατηρήσεις είναι κρίσιμες για την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων ελαστοπλαστικών αναλύσεων με πεπερασμένα στοιχεία. 2.2 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΓΙΑ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΑ ΕΔΑΦΗ 2.2.1 Αναλυτικές λύσεις Σύμφωνα με τον Broms (1964b) το οριακό φορτίο σε μη συνεκτικό έδαφος υπολογίζεται από την ακόλουθη προσεγγιστική σχέση (βλ. Fleming et al., 2008, σελ. 149): p L = 3 K p σ v0 = 3 [ 1+sinφ 1 sinφ ] σ v0 (2.8) όπου φ η γωνία τριβής του εδαφικού υλικού. Ο Reese et al. (1974) διατύπωσαν έναν σφηνοειδή μηχανισμό αστοχίας στο μπροστινό μέρος του πασσάλου, ο οποίος οδηγεί σε μια διακύμανση του φορτίου αστοχίας όσο αυξάνεται το βάθος, αρχικά ανάλογη με το K p και σε μεγαλύτερα βάθη ανάλογη με το Κ 3 p. Για συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης η εξίσωση των Reese et al. (1974) είναι η ακόλουθη (βλ. " Limit lateral resistance of vertical piles in plane strain", Loukidis and Vavourakis, 2014) : p L = K P 3 + K 0 K P 2 tanφ 1 K p σ v0 (2.9)

10 όπου K 0 είναι ο συντελεστής πλευρικής τάσης σε ισορροπία. Η σχέση που πρότεινε η Barton (1982) για την εύρεση του οριακού φορτίου είναι η εξής (βλ. Fleming et al., 2008, σελ. 150): p L = K P 2 σ v0 d (2.10) 2.2.2 Αριθμητικές αναλύσεις Η πιο πρόσφατη εργασία για το οριακό φορτίο μεμονωμένου πασσάλου είναι αυτή των Loukidis και Vavourakis (2014), Στο άρθρο τους εξέτασαν το οριακό φορτίο για την περίπτωση μεμονωμένου πασσάλου σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης (plane strain) για μη συνεκτικό και έδαφος με συνοχή και γωνία τριβής, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Το πρόγραμμα που χρησιμοποιήθηκε για τις αναλύσεις ήταν το ABAQUS. Το εδαφικό τους μοντέλο είναι ελαστοπλαστικό και ακολουθεί το κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb. Το έδαφος έχει μέτρο ελαστικότητας Ε= 30.000 kpa, λόγος του Poisson ν=0,3 και ο συντελεστή πλευρικής εδαφικής τάσης σε ισορροπία K 0 = 0.5. Στις περισσότερες αναλύσεις, η γωνία τριβής είναι φ=30 0 και η γωνία διαστολικότητας είναι μηδενική. To τέμαχος του πασσάλου έχει διάμετρο d=1 m (η τιμή του d δεν έχει σημασία) και είναι απαραμόρφωτο ενώ η διεπιφάνεια πασσάλουεδαφους είναι απόλυτα τραχεία με γωνία τραχύτητας δ = φ. Όσον αφορά τις συνοριακές συνθήκες, οι κόμβοι στην περίμετρο του πασσάλου είναι πακτωμένοι, ενώ στις παράλληλες προς τον άξονα y πλευρές του καννάβου τοποθετηθήκαν κυλίσεις έτσι ώστε να επιτρέπεται η μετακίνηση κατά y. Στις παράλληλες προς τον άξονα x πλευρές εφαρμόστηκαν μετακινήσεις ίσες με 0,2d m. Ο κάνναβος που χρησιμοποιήθηκε αποτελούταν από 8-κομβα τετράπλευρα και 6-κομβα τριγωνικά στοιχεία. Λόγω συμμετρίας ο κάνναβος που χρησιμοποιήθηκε είχε διαστάσεις 6d*36d.

11 Σχήμα 2.2: Το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων των Loukidis και Vavourakis (2014) Οι Loukidis και Vavourakis (2014) παρατήρησαν πως προκειμένου να επιτευχθεί μια τιμή οριακού φορτίου P L, η τιμή της γωνίας διαστολικότητας θα πρέπει να είναι ίση με το μηδέν (ψ= 0). Αυτό επειδή το συγκεκριμένο πρόβλημα συνοριακών τιμών είναι πλήρως περιορισμένο, μη μηδενική τιμή διαστολικότητας του εδάφους οδηγεί σε συνεχώς αναπτυσσόμενη περιοριστική τάση (κλείδωμα του εδάφους) περιμετρικά του πασσάλου. Έτσι χρησιμοποιήθηκε σε όλες τις αναλύσεις μηδενική γωνία διαστολικότητας. Στη συνέχεια ακολούθησαν αναλύσεις για διαφορετικά ζεύγη τάσεων σ h0, σ v0. Το εδαφικό υλικό που εξετάστηκε έχει γωνία τριβής 30 0, μηδενική συνοχή και μηδενική γωνία διαστολικότητας. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων φαίνονται στο Σχήμα 2.3. Με βάση αυτό το σχήμα οι Loukidis και Vavourakis (2014) εικάζουν ότι η οριακή πλευρική τάση είναι ανάλογη της οριζόντιας τάσης σ h0 παρά της κατακόρυφης.

12 Αυτό όμως δεν φαίνεται να ισχύει διότι συγκρίνοντας τις περιπτώσεις #1 και #3 που διαφέρουν μόνο κατά την οριζόντια τάση σ h0 και τις περιπτώσεις #3 και #4 που διαφέρουν μόνο κατά την κατακόρυφη τάση σ v0 η διαφορά της μέγιστης τάσης μεταξύ # 1 και #3 και #3 και #4 είναι πρακτικά η ίδια. Σχήμα 2.3: Γράφημα της πλευρικής αντίστασης πασσάλου κανονικοποιημένης ως προς την αρχική οριζόντια ενεργό τάση, από αναλύσεις που έγιναν για διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία και διαφορετικούς λόγους Poisson (Loukidis και Vavourakis (2014), Fig.5) Επιπλέον, από τις αναλύσεις των Loukidis και Vavourakis συμπεραίνεται ότι η οριακή αντίσταση P L είναι ανεξάρτητη του λογού του Poisson. Επίσης η γεωμετρία του πλαστικού μηχανισμού που αναπτύσσεται γύρω από τον πάσσαλο δεν επηρεάζεται από τις ιδιότητες του εδαφικού υλικού και το αρχικό τασικό πεδίο. Όσον αφορά τη γωνία τριβής φ, οι Loukidis και Vavourakis παρατήρησαν πως αυξάνοντας την γωνία τριβής, αυξάνεται και το μέγεθος του μηχανισμού αστοχίας (το οποίο παραπέμπει σε γεωμετρία μηχανισμού τύπου λογαριθμικής σπείρας). Όλες οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν για ψ = 0, διότι για ψ 0 οι καμπύλες πλευρικής

13 φόρτισης-μετατόπισης αυξάνονται συνεχώς χωρίς να παρουσιάζουν μέγιστη οριακή αντίσταση. Σχήμα 2.4: Σύγκριση του πλαστικού μηχανισμού μεταξύ συνεκτικού και συνεκτικού υλικού με c και φ ( Loukidis & Vavourakis (2014), Fig.8). Επίσης, από αναλύσεις με συνεκτικό και υλικό με συνοχή και γωνία τριβής φ 0, οι μηχανισμοί αστοχίας όπως προκύπτουν από τα διαγράμματα γ max (Σχήμα 2.1) έχουν το ίδιο σχήμα και μέγεθος. Από πρόσθετες αναλύσεις προκύπτει ότι η οριακή πλευρική τάση εδάφους με συνοχή και τριβή μπορεί να εκφραστεί προσθέτοντας την οριακή τάση για συνεκτικό έδαφος στο p L που προκύπτει από μη συνεκτικό υλικό ( c= 0, φ 0) ως εξής: p L = 12c + 14 σ h0 tanφ (2.11) όπου P L το οριακό πλευρικό φορτίο του πασσάλου, c η συνοχή και φ η γωνία τριβής του εδαφικού υλικού και σ h0 η ενεργός οριζόντια τάση. Στο Σχήμα 2.5, γίνεται η σύγκριση των οριακών φορτίων σε πλευρική φόρτιση, όπως αυτό δίνεται από τρεις διαφορετικές εξισώσεις, ως προς την εφαπτόμενη της γωνίας τριβής. Η εξίσωση (2) είναι η προτεινόμενη από τους Loukidis και Vavourakis. Η εξίσωση (3) αναφέρεται στη λύση των Reese et al (1974): p L = K 3 p + K 0 K 2 P tanφ 1 K σ v0 (2.12) p

14 όπου K P ο συντελεστής πλευρικής ώθησης, K 0 ο συντελεστής πλευρικής εδαφικής τάσης σε ισορροπία, φ η γωνία τριβής του εδάφους και σ v η ενεργός κατακόρυφη τάση. Η εξίσωση (4) αναφέρεται στην πρόταση του Broms (1964b) για την εύρεση του οριακού πλευρικού φορτίου πασσάλου σε μη συνεκτικό έδαφος και είναι η ακόλουθη: p L = 3 K p σ v0 = 3 1+sinφ 1 sinφ σ v0 (2.13) Από το Σχήμα 2.5 παρατηρείται πως η καμπύλη που αντιστοιχεί στην εξίσωση που προτείνεται από τους Loukidis και Vavourakis δίνει πολύ μικρότερο οριακό φορτίο σε σχέση με τις καμπύλες (3) και (4). Αυτό οφείλεται στο ότι οι λύσεις δεν είναι αυστηρά τύπου οριακής ισορροπίας. Επίσης η εξάρτηση από την γωνία τριβής, φ είναι πιο έντονη στις εξισώσεις (3) και (4). Η εξάρτηση αύτη εκφράζεται μέσω του συντελεστή παθητικής ώθησης K P = tan 2 (π/4 + φ/2). Σχήμα 2.5: Σύγκριση των οριακών πλευρικών φορτίων που δίνονται από τις εξισώσεις (2), (3) και (4) ως προς την εφαπτομένη της γωνίας τριβής.

15 2.3 ΟΡΙΑΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΠΑΣΣΑΛΟΟΜΑΔΑΣ Η μόνη γνώστη αναλυτική λύση για το πλευρικό οριακό φορτίο πασσαλοσειράς κατά τη διεύθυνση κάθετα στον άξονα της είναι αυτή των Ito και Matsui (1975), όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.6. Όμως όπως προκύπτει από την σύγκριση με πιο πρόσφατη αριθμητική ανάλυση των Matsii και Derevenets (2005) που θα παρουσιαστεί στη συνεχεία, η αξιοπιστία της δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική. Επιπλέον οι Loukidis και Vavourakis (2014) αναφέρουν ότι η αξιοπιστία της είναι αμφίβολη διότι σε μεγάλες τιμές του s/d (μεμονωμένος πάσσαλος) τα αποτέλεσμα έρχονται σε αντίθεση με την αναλυτική λύση των Randolph και Houlsby (1984) για c 0 και φ = 0 o. Για το πρόβλημα αυτό έχει πρόσφατα προταθεί μια αναλυτική λύση από τον Di Laora (2016, προσωπική επικοινωνία) η όποια εξ όσων γνωρίζουμε δεν είναι δημοσιευμένη. Ακολουθώντας τους συμβολισμούς της παρούσας εργασίας η εξίσωση που προτείνεται είναι η εξής: P L (8+π) tan ε = 2π + 2 2 (2 ε) + c u d 2 2 (2.14) όπου cos ε = s d 1 (1+ π 4 ) και s η απόσταση μεταξύ των πασσάλων. Σχήμα 2.6: Το μοντέλο των Ito και Matsui (1975) για "πλαστική παραμόρφωση" ολισθαίνοντος εδάφους, στο μεσοδιάστημα δυο πασσάλων.

16 Η μόνη εργασία που αναλύει το πρόβλημα της πασσαλοσειράς με το πρόγραμμα PLAXIS 2D παρόμοια με την παρούσα εργασία είναι αυτή των Matsii και Derevenets (2005). Το άρθρο είναι μεταφρασμένο από τα ρωσικά στα αγγλικά και έτσι ορισμένα σημεία και λεπτομέρειες της ανάλυσης δεν είναι σαφή. Οι αναλύσεις έγιναν με κίνηση του εδάφους και παγιωμένο πάσσαλο, για λογούς s/d από 2 έως 6, όπου s οι αποστάσεις των κέντρων των πασσάλων. Χρησιμοποιήθηκε ελαστοπλαστικό μοντέλο με c= 30kPa και φ= 0 ο, 10 ο, 20 ο και 30 ο. Τα σχήματα 2.7 και 2.8 δείχνουν ποιοτικά την εξέλιξη των διαμήκων μετακινήσεων και των αντίστοιχων πλαστικοποιημένων σημείων σε διάφορα σταδία μετακίνησης. Παρατηρούμε ότι η αναλυτική λύση των Ito και Matsui (1975) δεν συμφωνεί με την λύση των πεπερασμένων στοιχείων για φ 0 (Σχήμα 2.9α και 2.9β). Η προσέγγιση είναι πολύ καλύτερη για φ= 0 όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.10. Το Σχήμα 2.10 δείχνει την σχέση του λόγου q/c συναρτήσει του λόγου L/D (p/c u και s/d, αντίστοιχα συμφώνα με τους συμβολισμούς της παρούσας εργασίας), όπου q και c η μεγίστη πλευρική τάση και c u η αστράγγιστη διατμητική αντοχή για γωνία φ=0 ο.

17 Σχήμα 2.7: Διαμήκης μετακίνηση του εδάφους, Matsii και Derevenets (2005) Σχήμα 2.8: Πλαστικοποιημένα σημεία και σημεία αποκοπής, Matsii και Derevenets (2005)

18 Σχήμα 2.9: Διαγράμματα που δείχνουν την εξάρτηση a) της οριακής πλευρικής τάσης q του εδάφους και b) της οριακής δύναμης P λόγω αισθητικής κίνησης του εδάφους, από την απόσταση των πασσάλων L/D για φ= 0 ο -20 ο, Matsii & Derevenets (2005).

19 Σχήμα 2.10: Διάγραμμα που δείχνει την εξάρτηση του αδιάστατου λόγου q/c συναρτήσει του λόγου L/D, Matsii και Derevenets (2005). Η διεθνής βιβλιογραφία περιλαμβάνει πολλές άλλες αριθμητικές αναλύσεις για την πλευρική φόρτιση πασσάλου, αλλά αυτές αφορούν περισσότερο πασσαλοομάδες και εξετάζουν ολόκληρους πασσάλους με τριδιάστατα ομοιώματα κυρίως με πεπερασμένα στοιχειά και σε σύνθετο έδαφος. Μερικές από αυτές τις προσεγγίσεις περιέχονται στα άρθρα των Bransby και Springman (1999), Chen και Martin (2002), Kahyuoglou και άλλοι (2012), Kourkoulis και άλλοι (2011).

21 3. ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΣΕ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ Η οριακή πλευρική τάση μεμονωμένου κυλινδρικού πασσάλου υπολογίζεται αριθμητικά με τα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων PLAXIS 2D και PLAXIS 3D. Ο υπολογισμός μπορεί να γίνει με δυο κινηματικά ελεγχόμενους ισοδυνάμους τρόπους, είτε δίνοντας μεταβαλλόμενη μετακίνηση στον πάσσαλο, κρατώντας το έδαφος ακίνητο (παγιωμένο έδαφος), είτε μετακινώντας το έδαφος κρατώντας τον πάσσαλο ακίνητο (παγιωμένος πάσσαλος). Τα αποτελέσματα μπορεί επίσης να επηρεαστούν από άλλους παράγοντες όπως η πυκνότητα του καννάβου, ο αριθμός των κόμβων των στοιχείων ή ακόμη από τη μορφή του πεδίου ορισμού του εντατικού πεδίου (καννάβου) ή λόγω εσωτερικής ιδιομορφίας ενός προγράμματος. Για τους λόγους αυτούς εξεταστήκαν τρείς περιπτώσεις με μετακίνηση του πασσάλου και δύο περιπτώσεις με μετακίνηση του εδάφους, με διαφορετικά πεδία ορισμού. Οι υπολογισμοί έγιναν με πυκνό διδιάστατο κάνναβο και 15-κομβα στοιχεία για μέγιστη ακρίβεια 3.1 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ Για τις δυο πρώτες περιπτώσεις με μετακίνηση πασσάλου (παγιωμένο έδαφος), χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα PLAXIS 2D για επίπεδη παραμόρφωση με κάνναβο διαστάσεων 3d*3d (Σχήμα 3.1.a) και για τη δεύτερη που περιέχει τον μισό πάσσαλο και κάνναβο 2.5d*10d (Σχήμα 3.1.b), όπου d η διάμετρος του πασσάλου. Στην τρίτη περίπτωση η ανάλυση έγινε με τριδιάστατο κάνναβο τετράπλευρων δεκάκομβων πυραμίδων με το PLAXIS 3D, με πεδίο ορισμού ένα παραλληλεπίπεδο διαστάσεων 5d*10d (Σχήμα 3.1.c) και πάχους 0.05 d, που προσομοιώνει το ίδιο πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης. Στις αναλύσεις έχει ληφθεί d= 1 m, καθώς η απόλυτη τιμή της διαμέτρου του πασσάλου δεν επηρεάζει τα αποτελέσματα. Στις δυο πρώτες περιπτώσεις η ανάλυση έγινε για λόγο Poisson ν= 0.495. Για την τρίτη περίπτωση εξεταστήκαν δύο περιπτώσεις με λόγο Poisson 0.495 (περίπτωση 3a) και ν= 0.4 (περίπτωση 3b).

22 a) b) c) Σχήμα 3.1: Υπό εξέταση μοντέλα

23 3.1.1 Περίπτωση 1 Για την περίπτωση 1 παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D (Σχήμα 3.2). Από την καμπύλη του Σχήματος 3.2 επιλέγονται έξι συγκεκριμένα σημεία, που χαρακτηρίζουν σημεία αλλαγής καμπυλότητας και πυκνότητας των βημάτων του προγράμματος, έτσι ώστε να εξεταστεί η εξέλιξη του σχηματισμού του μηχανισμού αστοχίας, που εντοπίζεται με βάση τις εκτροπικές παραμορφώσεις γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και τις ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις. Τα υπό εξέταση σημεία είναι τα ακόλουθα 48, 71, 74, 84, 113 και το 133, το οποίο αντιστοιχεί στο τελευταίο σημείο της καμπύλης. Προκειμένου να δοθεί μια καλύτερη εικόνα της θέσης των σημείων αυτών, δίνεται στο Σχήμα 3.3 η μεγέθυνση της καμπύλης φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m) Σχήμα 3.2: Καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (1) (PLAXIS 2D)

24 Σχήμα 3.3: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (1) Στον παρακάτω πινάκα παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια και ελάχιστες ολικές ορθές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι ορθές παραμορφώσεις στις ζώνες ολίσθησης που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο. Οι αρνητικές τιμές των ε 1 αντιστοιχούν σε θλιπτικές παραμορφώσεις σύμφωνα με τα PLAXIS 2D και 3D.

25 Πίνακας 3.1.1 : Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ορθών παραμορφώσεων ανά σημείο. A/A 48 71 74 84 113 133 u (m) 0.003 0.004 0.005 0.01 0.04 0.5 F y (kn) 1176.8 1193.8 1194.5 1195.9 1196.1 1196.1 min ε 1 (%) -7.2-8.1-10.6-26.9-123 -663 - - -1-2 έως-4-10 έως -20-40 έως -120 Στα σχήματα 3.3.1 έως 3.3.6 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων, των ολικών και των αυξητικών μετατοπίσεων u και Δu. Για τα σημεία 48 και 133 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 71, 74, 84 και 113 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης για την περίπτωση που εξετάζεται προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: τα πλαστικοποιημένα σημεία εμφανίζονται ήδη από τα πρώτα βήματα της ανάλυσης (βήμα 48), στο μπροστινό μέρος του πασσάλου καθότι κινείται σε κατεύθυνση y. Προχωρώντας στα επόμενα βήματα της ανάλυσης τα πλαστικοποιημένα σημεία εξαπλώνονται σταδιακά περιμετρικά του πασσάλου. Στο βήμα αυτό παρατηρούμε ότι μόνο οι διαφορικές μετατοπίσεις Δu υποδεικνύουν τον αναπτυσσόμενο μηχανισμό αστοχίας. Στο βήμα 71, έκτος των διαφορικών μετατοπίσεων και το διάγραμμα της εκτροπικής παραμόρφωσης γ s παρουσιάζει συγκέντρωση των παραμορφώσεων που υποδεικνύει τον μηχανισμό αστοχίας. Στο βήμα 74 και το διάγραμμα των συνολικών μετατοπίσεων παρουσιάζει συγκέντρωση των μετατοπίσεων στις ίδιες ζώνες με το γ s και το Δu. Από το βήμα 84 έως το βήμα 133 ο μηχανισμός αστοχίας φαίνεται από όλα τα διαγράμματα γ s, u και Δu και τα πλαστικοποιημένα σημεία περιβάλλουν πλήρως τον πάσσαλο.

26 Από τον Πινάκα 3.1.1 προκύπτει ότι η μεγίστη παραμόρφωση στις επιφανείας συγκέντρωσης των παραμορφώσεων (επιφάνειες ολίσθησης) στα σημεία 74 και 94 είναι 1% και 2-4% αρά σύμφωνη με τη θεωρία των μικρών παραμορφώσεων, ενώ για τα σημεία 113 ια 133 είναι 10-20% και 40-120% αντίστοιχα, δηλαδή μη σύμφωνη με την προαναφερθείσα θεωρία. Παρατηρούμε επίσης ότι εντούτοις το μέγιστο φορτίο F y είναι περίπου το ίδιο για τα σημεία 84, 113 και 133. Κατά συνέπεια, από τα αποδεκτά σημεία 74 και 84 έχουμε ότι το μέγιστο φορτίο κυμαίνεται από 1194.5 kn έως 1195.9 kn Το τμήμα της καμπύλης μετατοπίσεων δυνάμεων που προχώρα μέχρι 0.2 d είναι περισσότερο προϊόν της ευστάθειας του αλγορίθμου του PLAXIS. Σε όλες τις φάσεις παρατηρούμε ότι τα πλαστικοποιημένα σημεία φτάνουν μέχρι τα όρια του πεδίου ορισμού της ανάλυσης διαστάσεων 3d*3d γεγονός που δεν είναι αποδεκτό. Θεωρητικά αυτό μπορεί να επηρεάσει τα αποτελέσματα δεδομένου ότι εξετάζεται μεμονωμένος πάσσαλος. Για τον λόγο αυτό στις επόμενες αναλύσεις επιλέχτηκαν πεδία ορισμού 5d*10d.

Σχήμα 3.3.1.a: Βήμα 48: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 27

Σχήμα 3.3.1.b: Βήμα 48: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 28

Σχήμα 3.3.2: Βήμα 71: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 29

35 3.1.2 Περίπτωση 2 Στην περίπτωση αυτή η ανάλυση γίνεται με το PLAXIS 2D (για συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης) και επιλέγεται μεγαλύτερο πεδίο ορισμού 5d*10d. Όμως, λόγω συμμετρίας ως προς τον άξονα κίνησης του πασσάλου χρησιμοποιείται ο μισός κάνναβος με διαστάσεις 2.5d*10d. Παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn) - μετατόπισης u (m) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D. Όπως και στην περίπτωση 1, επιλέγονται τέσσερα συγκεκριμένα σημεία (63, 86, 125 και 140) για τα όποια εξετάζεται ο σχηματισμός του μηχανισμού αστοχίας μέσω των εκτροπικών παραμορφώσεων, τα πλαστικοποιημένα σημεία, οι ολικές και οι αυξητικές μετατοπίσεις. Στο Σχήμα 3.5 δίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn) - μετατόπισης u (m). Σχήμα 3.4: Καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (2) (PLAXIS 2D)

36 Σχήμα 3.5: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (2) Στον πίνακα 3.1.2 παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια, οι ελάχιστες κύριες παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες κύριες παραμορφώσεις στα επίπεδα ολίσθησης, που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο. Υπενθυμίζεται ότι στο πρόγραμμα PLAXIS οι αρνητικές τιμές των ολικών παραμορφώσεων αντιστοιχούν σε θλιπτικές παραμορφώσεις. Πίνακας 3.1.2 : Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 63 86 125 140 u(m) 0.01 0.015 0.019 0.5 F y (kn) 596.2 598.1 598.1 598.2 ε 1 (%) -9.3-13.5-244 -646 (%) -0.5-1 έως -2-20 έως -60-180 έως -204

37 Στα σχήματα 3.5.1 έως 3.5.4 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων και των ολικών και αυξητικών μετατοπίσεων. Για τα σημεία 63 και 140 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 86 και 125 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης για την υπο εξέταση περίπτωση προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: τα πλαστικοποιημένα σημεία είναι εμφανή στο πρώτο επιλεχθέν σημείο (63) και εκτείνονται γύρω από τον πάσσαλο. Προχωρώντας στα επόμενα βήματα της ανάλυσης τα πλαστικοποιημένα σημεία δεν φαίνεται να αλλάζουν αισθητά τη μορφή του σχηματισμού τους. Συνεπώς στο επιλεχθέν σημείο (63) έχει επιτευχτεί σε μεγάλο ποσοστό η πλαστικοποίηση του εδαφικού υλικού. Επιπλέον, στο βήμα αυτό ο μηχανισμός αστοχίας υποδεικνύεται μόνο από τις διαφορικές μετατοπίσεις Δu. Στο επόμενο επιλεχθέν βήμα 86, η εικόνα του μηχανισμού αστοχίας είναι πλέον εμφανής από όλα τα διαγράμματα (εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, πλαστικοποιημένων σημείων, διαφορικών μετατοπίσεων Δu και ολικών μετατοπίσεων u). Την ίδια εικόνα για τον μηχανισμό αστοχίας παρατηρούμε μέχρι και το τελικό βήμα (140). Από τον Πινάκα 3.1.2 παρατηρούμε ότι μέχρι το βήμα 86 η μέγιστη παραμόρφωση είναι 13.5%. Από το διάγραμμα των μέσων παραμορφώσεων στις επιφάνειες ολίσθησης προκύπτει ότι οι παραμορφώσεις κυμαίνονται μεταξύ 1% έως 2%, που είναι αποδεκτές για την θεωρία των μικρών παραμορφώσεων. Για το βήμα 125 οι αντίστοιχες μέσες παραμορφώσεις στις ζώνες συγκέντρωσης κυμαίνονται μεταξύ του 20% και του 60%. Είναι δηλαδή μη αποδεκτές για μικρές παραμορφώσεις. Αντιθέτως το σημείο 86 θεωρείται αποδεκτό. Η δύναμη που αντιστοιχεί σε αυτό το σημείο είναι 598.1 kn ανά τρέχον μετρό πασσάλου για τον μισό κάνναβο, επομένως 1196 kn/m για τον ολόκληρο. Το τμήμα της καμπύλης μετατοπίσεων δυνάμεων που προχωρά μέχρι 0,5*d είναι πιθανώς προϊόν της ευστάθειας του αλγορίθμου του PLAXIS. Παραδόξως όμως τα μέγιστα φόρτια είναι πρακτικά τα ίδια μετά το βήμα 86 και ταυτίζονται με αυτά της περίπτωσης 1, στο σημείο 84.

44 3.1.3.a Περίπτωση 3a Στην περίπτωση 3α, η οποία άφορα ανάλυση με το πρόγραμμα PLAXIS 3D, το εδαφικό υλικό έχει λόγο Poisson ν= 0,495. Παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το πρόγραμμα (Σχήμα 3.6). Επιλέγονται τέσσερα σημεία (27, 39, 66 και 92) για τα οποία θα εξεταστεί η εξέλιξη του μηχανισμού αστοχίας, των πλαστικοποιημένων σημείων, καθώς και των ολικών και των διαφορικών μετατοπίσεων. Στο Σχήμα 3.7 φαίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m) Σχήμα 3.6: Καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3α) (PLAXIS 2D)

45 Σχήμα 3.7: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3α) Όπως παρατηρείται από τo Σχήμα 3.7, η καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m) για την υπο εξέταση περίπτωση, χαρακτηρίζεται από μια περιοχή καμπής, σε αντίθεση με την καμπύλη της περίπτωσης 3.3 που εξετάζεται στη συνέχεια. Συνεπώς από τα διαγράμματα των διαφόρων σημείων, αναμένεται να σχηματιστεί ένας μηχανισμός αστοχίας. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες κυριες παραμορφώσεις που αντιστοιχούν στις γραμμές ολίσθησης.

46 Πίνακας 3.1.3: Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και κυρίων παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 27 39 66 92 u (m) 0.010 0.017 0.105 0.500 F y (kn) 59.5 60.4 60.4 60.6 ε 1 (%) -4.4-7.1-54.0-262 -1.25 έως - 1.75-1.2 έως -2.0-16 έως -20-80 έως -100 Στα Σχήματα 3.7.1 έως 3.7.4 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης (γ s ), των πλαστικοποιημένων σημείων και των ολικών και αυξητικών μετατοπίσεων. Για τα σημεία 27 και 92 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 39 και 66 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Από τα αποτελέσματα της ανάλυσης για την περίπτωση 3.1.3.a, συμπεραίνονται τα παρακάτω: τα πλαστικοποιημένα σημεία έχουν ήδη διαμορφωθεί στο βήμα 27 περιβάλλοντας τον πάσσαλο. Η μορφή τους στα βήματα που ακολουθούν δεν αλλάζει δραματικά, όμως από το βήμα 39 και έπειτα παρατηρούνται κάποιες περιοχές υποχώρησης τους. Στο βήμα 27 ο μηχανισμός αστοχίας υποδηλώνεται μόνο από τις διαφορικές μετατοπίσεις. Επιπλέον είναι εμφανές πως τόσο τα πλαστικοποιημένα σημεία όσο και οι εκτροπικές παραμορφώσεις παρουσιάζουν παρόμοια μορφή συγκέντρωσης γύρω από τον πάσσαλο, καθότι οι δεύτερες συνδέονται άμεσα με την αστοχία. Στο σημείο 39, ο μηχανισμός αστοχίας μπορεί να προβλεφθεί όχι μόνο από το διάγραμμα των διαφορικών μετατοπίσεων αλλά και από εκείνο των εκτροπικών τάσεων. Από το σημείο 66 μέχρι και το τελευταίο ο μηχανισμός αστοχίας είναι πλέον εμφανής σε όλα τα διαγράμματα. Από τον Πινάκα 3.1.3, παρατηρούμε πως στο βήμα 39 η μεγίστη παραμόρφωση είναι 7.0%. Από τo χρωματικό διάγραμμα των ε 1 όμως προκύπτει ότι οι παραμορφώσεις στις επιφάνειες ολίσθησης κυμαίνονται από 1.2% έως 2.0% που είναι αποδεκτές για την θεωρία των μικρών παραμορφώσεων. Το φορτίο σε αυτό το βήμα είναι 60.4 kn.

47 Για το σημείο 66 οι αντίστοιχες παραμορφώσεις κυμαίνονται μεταξύ του -16% έως - 20%. Από αυτό το σημείο και έπειτα οι παραμορφώσεις δεν θεωρούνται πλέον μικρές και τα αποτελέσματα για τα αντίστοιχα βήματα κρίνονται ως ανακριβή. Παρατηρείται όμως πως η τιμή του οριακού φορτίου δεν διαφέρει σημαντικά μεταξύ του σημείου 39 και του σημείου 92, του οποίου τα αποτελέσματα θεωρούνται ανακριβή. Το τμήμα της καμπύλης μετατοπίσεων δυνάμεων που προχωρά μέχρι την τιμή 0.5*d είναι περισσότερο προϊόν της ευστάθειας του αλγορίθμου του PLAXIS. Η τιμή του οριακού φορτίου που δίνεται από την καμπύλη δύναμης μετατόπισης, διαιρείται με το πάχος του τριδιάστατου μοντέλου (0.05 m). Έτσι η τιμή του οριακού φορτίου θα είναι 1209 kn ανά τρέχον μέτρο πασσάλου, τιμή μόλις 1.2% μεγαλύτερη της θεωρητικής τιμής 1194 kn των Randolph και Houlsby.

Σχήμα 3.7.3.: Βήμα 66: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 51

54 3.1.3.b Περίπτωση 3b Η περίπτωση 3b άφορα ανάλυση επίσης με το πρόγραμμα PLAXIS 3D αλλά με λόγο Poisson ν=0.4. Στο Σχήμα 3.8 παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)- μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το πρόγραμμα. Επιλέγονται πέντε συγκεκριμένα σημεία, (84, 124, 250, 335 και το 360). Με βάση τα επιλεγμένα σημεία θα εξεταστεί η εξέλιξη του μηχανισμού αστοχίας, των πλαστικοποιημένων σημείων, των ολικών και των διαφορικών μετατοπίσεων. Στο Σχήμα 3.9 φαίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u(m). Σχήμα 3.8 : Καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3b) (PLAXIS 3D)

55 Σχήμα 3.9: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3b) Όπως παρατηρείται από τo Σχήμα 3.9, η καμπύλη φορτίου F y (kn)- μετατόπισης u(m) για την περίπτωση 3b χαρακτηρίζεται από δυο σημεία καμπής που χωρίζουν τη συνολική καμπύλη σε τρία περίπου ευθύγραμμα τμήματα. Η πρώτη καμπή παρατηρείται στην περιοχή όπου το φορτίο έχει φτάσει περίπου στη μισή τιμή του φορτίου αστοχίας. Ακολουθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα μέχρι τη δεύτερη καμπή μετά την οποία το φορτίο φτάνει στην μεγίστη τιμή του. Η μορφή αυτή της καμπύλης φανερώνει την ύπαρξη δυο μηχανισμών αστοχίας, μίας μερικής και μίας ολικής όπως θα δούμε στη συνέχεια. Στον παρακάτω πινάκα παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια, οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες παραμορφώσεις στις επιφάνειες ολίσθησης που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο.

56 Πίνακας 3.1.4: Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 84 124 250 335 360 u (m) 0.021 0.061 0.165 0.316 0.500 Fy (kn) 36.1 47.1 60.1 60.2 60.2 ε 1 (%) -24.4-80.9-153.6-233 -414 - -3.26 έως -4.36-13.5 έως -18.2-40 έως -60-148 έως - 188 Στα Σχήματα 3.9.1 έως 3.9.5 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων και των ολικών και αυξητικών μετατοπίσεων u και Δu. Για το σημεία 84 παρουσιάζονται όλα τα προαναφερθέντα διαγράμματα, αλλά δεν εντοπίζεται μηχανισμός αστοχίας. Τα πλαστικοποιημένα σημεία φτάνουν ως τα πλευρικά όρια. Στο σημείο 124 ένας μηχανισμός μερικής αστοχίας γίνεται εμφανής στο διάγραμμα εκτροπικής παραμόρφωσης και τα πλαστικοποιημένα σημεία επεκτείνονται προς τα εμπρός και πλευρικά. Στην πραγματικότητα ο μηχανισμός ξεκινάει στο σημείο 112 με F y = 42.3 kn και αντιστοιχεί τάση p L /c u =8.46, όμως στο βήμα αυτό ο μηχανισμός δεν είναι ευκρινής όπως στο βήμα 124. Στο σημείο 250 παρουσιάζονται όλα τα διαγράμματα. Στο διάγραμμα εκτροπικών παραμορφώσεων εμφανίζονται δυο μηχανισμοί αστοχίας: ο τοπικός και ο ολικός. Όμως το διάγραμμα των Δu προοιωνίζει τον αναπτυσσόμενο μηχανισμό ολικής αστοχίας. Καθαρός μηχανισμός ολικής αστοχίας από όλα τα διαγράμματα εμφανίζεται στο σημείο 360. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα της ανάλυσης για την περίπτωση 3b, συμπεραίνονται τα εξής: τα πλαστικοποιημένα σημεία έχουν ήδη αρχίσει να εμφανίζονται από το πρώτο υπο εξέταση σημείο 84, επεκτεινόμενα στο τμήμα μπροστά από τον πάσσαλο και ταυτόχρονα κοντά στα πλευρικά σύνορα του πεδίου. Καθώς προχωράμε στα επόμενα βήματα της ανάλυσης, τα πλαστικοποιημένα σημεία επεκτείνονται σε όλη την έκταση του μοντέλου, περιβάλλοντας τον πάσσαλο. Το παράδοξο είναι πως μετά το βήμα 250, κατά τα τελευταία βήματα της ανάλυσης,

57 φαίνεται πως τα πλαστικοποιημένα σημεία έχουν επεκταθεί σε όλη την έκταση του μοντέλου έμπροσθεν του πασσάλου, παρότι το σύνορο του πεδίου ανάλυσης βρίσκεται σε ικανή απόσταση από τον πάσσαλο ώστε να μην επηρεαστεί ο μηχανισμός αστοχίας. Από τον πινάκα 3.1.4, παρατηρούμε πως στο βήμα 124, η μεγίστη παραμόρφωση είναι 80.94%. Από τo χρωματικό διάγραμμα των ε 1 όμως προκύπτει ότι οι παραμορφώσεις στα επίπεδα ολίσθησης κυμαίνονται από 3.26% έως 4.36% μεγέθη εν γένει αποδεκτά από την θεωρία των μικρών παραμορφώσεων. Για τα σημείο 250 οι αντίστοιχες παραμορφώσεις κυμαίνονται μεταξύ του -13.5% έως -18.2%. Από αυτό το σημείο και έπειτα οι παραμορφώσεις δεν θεωρούνται πλέον μικρές και τα αποτελέσματα για τα αντίστοιχα βήματα κρίνονται ως μη αποδεκτά. Η τιμή του οριακού φορτίου που δίνεται από την καμπύλη δύναμης-μετατόπισης, διαιρείται με το πάχος του τριδιάστατου μοντέλου (0.05 m). Έτσι η τιμή του οριακού φορτίου θα είναι 1201 kn ανά τρέχον μετρό πασσάλου. Παρατηρούμε ότι τόσο οι καμπύλες φορτίου-μετατόπισης όσο η έκταση των πλαστικοποιημένων σημείων διαφέρουν ποιοτικά για τις περιπτώσεις 3.1.3.a και 3.1.3.b. όπου η μόνη διάφορα είναι ο λόγος του Poisson, δηλαδή η συμπιεστότητα του εδαφικού υλικού. Το φαινόμενο αυτό δεν ήταν αναμενόμενο αλλά φαίνεται να επιβεβαιώνεται από τις αναλύσεις του κεφαλαίου 5. Όμως τα μέγιστα φορτία στην ολική αστοχία είναι πρακτικά τα ιδία και στις δυο περιπτώσεις.

66 3.2 ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΤΟΥ ΕΔΑΦΟΥΣ Για όλες τις περιπτώσεις με μετακίνηση εδάφους (με τον πάσσαλο παγιωμένο), χρησιμοποιήθηκε το PLAXIS 2D για επίπεδη παραμόρφωση και εξεταστήκαν τρεις περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση κατά την οποία εξετάζεται μοντέλο ολόκληρου καννάβου και διαστάσεων 5d*10d. Για την δεύτερη περίπτωση, όπου λόγω συμμετρίας εξετάζεται ο μισός κάνναβος διαστάσεων 2.5d*10d, πραγματοποιήθηκαν δυο αναλύσεις για δυο λόγους Poisson ν= 0.495 και ν= 0.4. Στην τρίτη περίπτωση εξετάζεται πάλι λόγω συμμετρίας το 1/4 του κανάβου διαστάσεων 2.5d*5d με ν=0.495. Οι παραπάνω περιπτώσεις παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.10. c) a) b) Σχήμα 3.10: a) Πρώτο υπο εξέταση μοντέλο, b) Δεύτερο υπο εξέταση μοντέλο c) Τρίτο υπο εξέταση μοντέλο

67 3.2.1 Περίπτωση 1 Όπως προηγουμένως, για την παράγραφο 3.1 παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)- μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D για ν= 0.495 (Σχήμα 3.11 ) Από την καμπύλη αύτη επιλέγονται έξι χαρακτηριστικά σημεία (98, 116, 145, 212, 264 και 305). Για αυτά τα σημεία παρουσιάζονται ο μηχανισμούς αστοχίας, τα πλαστικοποιημένα σημεία, οι ολικές και οι διαφορικές μετατοπίσεις. Στο Σχήμα 3.12 φαίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn) - μετατόπισης u(m) Σχήμα 3.11: Καμπύλη φορτίου -μετατόπισης για την Περίπτωση (1) (PLAXIS 2D).

68 Σχήμα 3.12: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (1) Στον παρακάτω πινάκα παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια, οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες παραμορφώσεις επιλεγμένο σημείο. Οι αρνητικές τιμές των ε 1 παραμορφώσεις. για κάθε αντιστοιχούν σε θλιπτικές Πίνακας 3.2.1: Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 98 116 145 212 264 305 u (m) 0,001 0.011 0.015 0.069 0.200 0.500 F y (kn) 1151 1160 1165 1171 1175 1176 Min ε 1 (%) -6.3-7.4-10.8-59.4-172.4-172.4 - - -6.3 έως -7.9 - - -

69 Στα Σχήματα 3.12.1 έως 3.12.6 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων και των ολικών και των αυξητικών μετατοπίσεων. Για τα σημεία 98 και 305 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 116, 145, 212 και 264 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Παρατηρώντας τα αποτελέσματα των αναλύσεων για την υπο εξέταση περίπτωση, προκύπτουν τα παρακάτω συμπεράσματα: τα πλαστικοποιημένα σημεία παρουσιάζονται να έχουν σχηματιστεί περιμετρικά του πασσάλου ήδη από το βήμα 98. Η μορφή τους δεν παραμένει ίδια για τα πρώτα δυο σημεία (98 και 116). Από το βήμα 145 και έπειτα τα πλαστικοποιημένα σημεία φαίνεται να υποχωρούν στο πίσω μέρος του πασσάλου έως ότου λάβουν την τελική τους μορφή στο βήμα 305, στο οποίο εξαπλώνονται κυρίως σε μεγάλη έκταση στο έμπροσθεν τμήμα και πλευρικά του πασσάλου. Επίσης στο βήμα 98 παρατηρούμε πως ο μηχανισμός αστοχίας δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί σε κανένα διάγραμμα και ότι η συγκέντρωση των ολικών και των αυξητικών μετατοπίσεων είναι περίπου η ίδια. Προχωρώντας στο βήμα 116, παρατηρείται από τα διάγραμμα των εκτροπικών παραμορφώσεων πως αρχίζει να εμφανίζεται συγκέντρωση των παραμορφώσεων κατ τροπή ώστε να υποδεικνύεται ο μηχανισμός αστοχίας. Ο μηχανισμός αυτός παρατηρείται και από το διάγραμμα των διαφορικών μετατοπίσεων Δu. Στο σημείο 145 παρουσιάζεται συγκέντρωση εκτροπικών παραμορφώσεων στην ίδια ζώνη που παρουσιάζεται συγκέντρωση διαφορικών μετατοπίσεων. Σε αυτό το βήμα ο μηχανισμός αστοχίας έχει αρχίσει να υποδηλώνεται και από το διάγραμμα των ολικών μετατοπίσεων. Στα επόμενα βήματα ο μηχανισμός αστοχίας είναι πλέον εμφανής σε όλα τα διαγράμματα (εκτροπικών παραμορφώσεων, ολικών και διαφορικών μετατοπίσεων) και παρουσιάζεται η εξέλιξη του έως το τελευταίο βήμα (305). Από τον πινάκα 3.2.1 παρατηρείται πως οι μέγιστες παραμορφώσεις ξεκινούν από 6.3 % στο βήμα 98 και φτάνουν μέχρι το 173 % για το τελευταίο βήμα. Οι δε παραμορφώσεις είναι -0.063 έως -0.079 και -1.6 έως -2.1 για τα βήματα 145 και 264 αντίστοιχα. Ως έναρξη της αστοχίας μπορεί να θεωρηθεί το σημείο 145 και σαν τελικά αποδεκτό το σημείο 212 με αντίστοιχα φόρτια 1165 kn/m και 1171 kn/m.

78 3.2.2a Περίπτωση 2a Για την περίπτωση 2a, κατά την οποία έγινε ανάλυση για μισό μοντέλο πασσάλου και λόγο Poisson v= 0.495, παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης (m), όπως δίνεται από το PLAXIS 2D (Σχήμα 3.13). Από την καμπύλη αύτη επιλέγονται πέντε σημεία: 8, 36, 111, 118 και 132. Στο Σχήμα 3.14 δίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn)-μετατόπισης u (m). Σχήμα 3.13: Καμπύλη φορτίου F y -μετατόπισης u (m) για την περίπτωση 2a (PLAXIS 2D)

79 Σχήμα 3.14: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου-μετατόπισης για την περίπτωση (2a) Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια και οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι επικρατούσες παραμορφώσεις που παρατηρούνται στην ζώνη του μηχανισμού αστοχίας,. Πίνακας 3.2.2a : Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 8 36 111 118 132 u (m) 0.002 0.007 0.07 0.21 0.5 F y (kn) 372.3 544.2 598.2 598.3 598.3 min ε 1 (%) 1.3-5.5-194.7-349.7-865.3 - - -2.5 έως -3-50 έως -60-200 έως 240 Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξελικτική πορεία της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων των ολικών και των αυξητικών μετατοπίσεων u και Δu.

80 Για τα σημεία 8 και 132 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 36, 111 και 118 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία. Από τα αποτελέσματα της ανάλυσης συμπεραίνονται τα παρακάτω: τα πλαστικοποιημένα σημεία είναι εμφανή από το πρώτο επιλεχθέν βήμα (8) και περιβάλλουν τον πάσσαλο. Προχωρώντας στα επόμενα βήματα της ανάλυσης τα πλαστικοποιημένα σημεία δεν φαίνεται να αλλάζουν αισθητά την κατανομή τους. Κατά συνέπεια στο σημείο 8 έχει επιτευχθεί η πλαστικοποίηση του εδαφικού υλικού σε ένα πολύ μεγάλο ποσοστό. Επιπλέον, στο βήμα αυτό ο μηχανισμός αστοχίας υποδεικνύεται μόνο από τις διαφορικές μετατοπίσεις Δu. Στο επόμενο επιλεχθέν βήμα 36 ο μηχανισμός αστοχίας γίνεται εμφανής και από το διάγραμμα των εκτροπικών παραμορφώσεων γ s. Από το βήμα 86 έως το βήμα 132 ο μηχανισμός αστοχίας φαίνεται σε όλα τα διαγράμματα γ s, u και Δu. Από τον πινάκα 3.2.2α παρατηρούμε ότι η μέγιστη παραμόρφωση στις επιφάνειες ολίσθησης στο σημείο 111 είναι από -2.5 έως -3, άρα σύμφωνη με την θεωρία των μικρών παραμορφώσεων. Για τα σημεία 118 και 132 κυμαίνεται από -50 έως -60 και από -200 έως 240 αντίστοιχα. Επομένως δεν είναι σύμφωνη με την προαναφερθείσα θεωρία. Παρατηρείται επίσης πως το μέγιστο φορτίο F y είναι περίπου το ίδιο για τα σημεία 111, 118 και 132. Έτσι από το αποδεκτό σημείο 111 ορίζεται το οριακό φορτίο και ισούται με F y = 598.3*2 =1196.6 kn/m.

Σχήμα 3.14.1.b.: Βήμα 8: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 82

88 3.2.2.b Περίπτωση 2b Η ανάλυση έχει τα ιδία χαρακτηριστικά με την προηγούμενη αλλά με λόγο Poisson ν= 0.4. Στο Σχήμα 3.15 παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)- μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D. Επιλέγονται έξι χαρακτηριστικά σημεία τα οποία είναι τα εξής: 99, 309, 361, 423, 439 και 448. Για τα σημεία αυτά εξετάζεται ο μηχανισμός αστοχίας, τα πλαστικοποιημένα σημεία, οι ολικές και οι διαφορικές παραμορφώσεις. Στο Σχήμα 3.16 δίνεται η μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου F y (kn) - μετατόπισης u (m). Σχήμα 3.15: Καμπύλη φορτίου -μετατόπισης για την περίπτωση (2b) (PLAXIS 2D).

89 Σχήμα 3.16: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (2b) Εκ πρώτης όψεως, η μορφή της καμπύλης φορτιού-μετατόπισης είναι, παραδόξως, παρόμοια με εκείνης που εξετάστηκε για την περίπτωση του μοντέλου ολοκλήρου πασσάλου με μετακίνηση στο κέντρο του πασσάλου του οποίου η ανάλυση πραγματοποιήθηκε με το PLAXIS 3D (περίπτωση 3b της παραγράφου 3.1.3). Το κοινό σημείο είναι ότι ο λόγος Poisson είναι ίδιος στις δυο περιπτώσεις και ίσος με 0.4. Φαίνεται λοιπόν ότι ο λόγος Poisson μπορεί να επηρεάσει την εξέλιξη, αν όχι και το τελικό φορτίο της αστοχίας. Στην καμπύλη για την περίπτωση 2b παρατηρούνται δύο σημεία καμπής. Η πρώτη καμπή εμφανίζεται για φορτίο ίσο με το 1/2 του φορτιού αστοχίας. Ακολουθεί ένα ευθύγραμμο τμήμα και στην συνέχεια εμφανίζεται η δεύτερη καμπή μετά την όποια το φορτίο λαμβάνει την οριακή του τιμή. Αναμένονται να σχηματιστούν δυο μηχανισμοί αστοχίας, ένας μηχανισμός μερικής αστοχίας μετά την περιοχή της πρώτης καμπυλότητας και ένας μηχανισμός ολικής αστοχίας μετά την δεύτερη καμπυλότητα. Οι δύο αυτοί μηχανισμοί συνυπάρχουν για μερικά σημεία μετά το πέρας της δεύτερης καμπυλότητας, ενώ στη συνέχεια ο δεύτερος μηχανισμός (ολικής αστοχίας) δεσπόζει έναντι του πρώτου (μερικής αστοχίας).

90 Στον παρακάτω πινάκα παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια, οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες παραμορφώσεις επιλεγμένο σημείο. Οι αρνητικές τιμές των ε 1 παραμορφώσεις. για κάθε αντιστοιχούν σε θλιπτικές Πίνακας 3.2.2.b : Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 99 309 361 423 439 448 u (m) 0,003 0.063 0.127 0.211 0.294 0.500 F y (kn) 160.6 473.2 588.1 596.1 598.9 598.7 Min ε 1 (%) -0.24-123.2-236.8-283.9-339.1-648.1 - -1.4 έως -4.3-6.5 έως -7.7-21,8 έως -26,2-54 έως -71-106 έως -132 Στα σχήματα 3.16.1 έως 3.16.6 που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων, των ολικών και των αυξητικών μετατοπίσεων. Για τα σημεία 99 και 448 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 309, 361, 423 και 439 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Από τα αποτελέσματα της ανάλυσης συμπεραίνονται τα παρακάτω: στο σημείο 99 τα πλαστικοποιημένα σημεία παρατηρούνται κοντά στον πάσσαλο ενώ σε όλη την έκταση που εκτείνεται μπροστά από τον πάσσαλο, παρατηρούνται σημεία εφελκυσμού. Αυτό συμβαίνει λόγω της κίνησης του εδάφους. Έπειτα τα πλαστικοποιημένα σημεία εμφανίζονται πίσω από τον πάσσαλο και εκτείνονται μέχρι το όριο του πεδίου ορισμού. Επίσης σε αυτό το βήμα δεν υπάρχει ακόμη ένδειξη του μηχανισμού αστοχίας από κανένα διάγραμμα. Στο επόμενο σημείο (309), από το διάγραμμα των διαφορικών μετατοπίσεων υποδηλώνεται ο πρώτος μηχανισμός (μερικής αστοχίας). Στο σημείο 361, ο μηχανισμός μερικής αστοχίας αποτυπώνεται πλήρως στο διάγραμμα των εκτροπικών μετατοπίσεων. Όμως από το διάγραμμα των

91 διαφορικών μετατοπίσεων προβλέπεται η ύπαρξη του επόμενου μηχανισμού (ολικής) αστοχίας. Στο σημείο 423, το διάγραμμα των εκτροπικών μετατοπίσεων υποδεικνύει την ύπαρξη και των δυο μηχανισμών (ολικής και μερικής) αστοχίας ταυτοχρόνως. Από το διάγραμμα των διαφορικών μετατοπίσεων όμως, διαφαίνεται η επικράτηση του μηχανισμού ολικής αστοχίας. Από το σημείο 439 μέχρι το πέρας της ανάλυσης είναι πλέον φανερή η επικράτηση του δεύτερου μηχανισμού τόσο από το διάγραμμα εκτροπικών παραμορφώσεων όσο και από το διάγραμμα των διαφορικών μετατοπίσεων. Στην πραγματικότητα η μερική αστοχία φαίνεται να ξεκινά στο βήμα 271 αλλά τα διαγράμματα είναι πιο ευκρινή από το βήμα 309 και έπειτα. Στο βήμα 271 έχουμε F y =397.3 kn και P L /c u =7.95 Από τον πινάκα 3.2.2.b παρατηρούμε ότι μέχρι το βήμα 309 η μέγιστη παραμόρφωση είναι -123.2. Από το διάγραμμα των ε 1 όμως προκύπτει ότι οι παραμορφώσεις κυμαίνονται από -1.4% έως -4.3% που είναι αποδεκτές από την θεωρία των μικρών παραμορφώσεων. Για το βήμα 361, όπου βρισκόμαστε πλέον στην περιοχή της δεύτερης καμπυλότητας, η μέγιστη παραμόρφωση είναι -237%, όμως η μέση τιμή των παραμορφώσεων στις επιφάνειες ολίσθησης κυμαίνεται από -6.4% έως -7.714%. Η τιμή του φορτίου σε αυτό το σημείο είναι 588.1 kn. Τα υπόλοιπα σημεία (423, 439, 448) εμφανίζουν πολύ μεγάλες τιμές παραμορφώσεων στις επιφάνειες ολίσθησης και τα αποτελέσματά τους δεν θεωρούνται ακριβή. Επομένως το αξιόπιστο σημείο για τον προσδιορισμό του οριακού φορτίου είναι 361. Θα πρέπει να αναφερθεί πως η τιμή του οριακού φορτίου δεν παρουσιάζει σημαντική αλλαγή μεταξύ του σημείου 361 και 448. Το οριακό φορτίο για το σημείο 361 είναι 1176.3 kn/m και είναι κατάντι μεγαλύτερο από τις προαναφερθείσες αναλύσεις.

100 3.2.3 Περίπτωση 3 Έτσι και για την παρούσα περίπτωση παρουσιάζεται η καμπύλη φορτίου F y (kn)- μετατόπισης u(m) όπως δίνεται από το PLAXIS 2D (Σχήμα 3.16). Επιλέγονται πέντε σημεία 73, 92, 12, 172 και 196) έτσι ώστε να εξεταστεί ο σχηματισμός του μηχανισμού αστοχίας, των πλαστικοποιημένων σημείων, των ολικών και αυξητικών μετατοπίσεων. Σχήμα 3.16 : Καμπύλη φορτίου- μετατόπισης για την περίπτωση (3) (PLAXIS 2D)

101 Σχήμα 3.17: Μεγεθυμένη καμπύλη φορτίου -μετατόπισης για την περίπτωση (3) Στον ακόλουθο πίνακα παρουσιάζονται οι μετακινήσεις, τα φόρτια, οι ελάχιστες ολικές παραμορφώσεις ε 1 καθώς και οι μέσες ολικές παραμορφώσεις αντιστοιχούν σε κάθε σημείο. Πίνακας 3.2.3 : Χαρακτηριστικές τιμές μετατόπισης, δύναμης και ολικών παραμορφώσεων ανά σημείο. Α/Α 73 92 126 172 196 u (m) 0.011 0.013 0.016 0.099 0.500 F y (kn) 288.9 299.2 300.3 300.5 300.5 ε (%) -29.08-41.43-57.94-530 -2815 που (%) - - -2.5 έως -3.13-75 έως -94-350 έως - 438

102 Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζεται η εξέλιξη της μορφής της συνολικής εκτροπικής παραμόρφωσης γ s, των πλαστικοποιημένων σημείων και των ολικών και αυξητικών μετατοπίσεων u και Δu. Για τα σημεία 73 και 196 παρουσιάζονται η συνολική εκτροπική τάση γ s, τα πλαστικοποιημένα σημεία και οι ολικές και αυξητικές μετατοπίσεις u και Δu, ενώ για τα σημεία 92, 126 και 172 παρουσιάζονται μόνο η συνολική εκτροπική παραμόρφωση γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Από τα αποτελέσματα της ανάλυσης συμπεραίνονται τα παρακάτω: τα πλαστικοποιημένα σημεία φαίνεται να εκτείνονται σε μια περιοχή σε σχήμα τεταρτοκυκλίου γύρω από τον πάσσαλο. Από το βήμα 126 και έπειτα υποχωρούν σε ορισμένες περιοχές. Η πλαστικοποιημένη περιοχή δεν εκτείνεται έως τα όρια του πεδίου ορισμού. Στο σημείο 73 φαίνεται να αρχίζει να σχηματίζεται ο μηχανισμός αστοχίας από το διάγραμμα των εκτροπικών παραμορφώσεων. Τα όρια της περιοχής που περιορίζεται από τις ζώνες ολίσθησης (διάγραμμα γ s ) σχεδόν ταυτίζεται με την περιοχή εμφάνισης των πλαστικοποιημένων σημείων. Στο σημείο 92 παρατηρείται πως η εξέλιξη του μηχανισμού αστοχίας έχει προχωρήσει. Το γεγονός αυτό αποτυπώνεται και στο διάγραμμα αυξητικών μετατοπίσεων αλλά και σε εκείνο των εκτροπικών τάσεων. Στη συνέχεια στο βήμα 126, το διάγραμμα των αυξητικών μετατοπίσεων παρουσιάζει συγκέντρωση των μετατοπίσεων στις ίδιες ζώνες με το γ s. Από το βήμα 172 και έπειτα ο τελικός μηχανισμός αστοχίας έχει σχηματιστεί πλήρως και είναι εμφανής σε όλα τα διαγράμματα που παρουσιάζονται. Θεωρώντας ότι η αστοχία αντιστοιχεί στο σημείο 126 το τελικό φορτίο εκτιμάται σε F y = 4*300.3= 1201.2 kn/m δηλαδή 0.6% μεγαλύτερο από αυτό των Randolph και Houlsby.

Σχήμα 3.17.1a: Βήμα 73: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 103

Σχήμα 3.17.1b: Βήμα 73: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 104

Σχήμα 3.17.5a.: Βήμα 196: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 108

110 3.3 ΣΥΝΟΨΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Συνολικά η αριθμητική προσέγγιση του οριακού φορτίου για τον τραχύ πάσσαλο (11.94 s u d) είναι εξαιρετικά ικανοποιητική, με σφάλμα της τάξης του 1 (11.96-12.07 s u d) για μετακίνηση πασσάλου. Η περίπτωση λείου πασσάλου δεν εξετάστηκε. Όπως φαίνεται από τα διαγραμμάτα F y - u οι καμπύλες δεν παρουσιάζουν κράτυνση μετά το φορτίο αστοχίας. Μη αναμενόμενο ήταν το γεγονός ότι οι περιπτώσεις με ν=0.4 (συμπιεστό υλικό) παρουσιάζουν πρώτα μερική και ακολούθως ολική αστοχία όπως φαίνεται από τις καμπύλες F y - u και τα κινηματικά διαγράμματα γ s. Η σύγκριση των p L όλων των περιπτώσεων φαίνεται στους πίνακες που ακολουθούν. Εντός παρενθέσεως οι τιμές για μερική αστοχία (περιπου στο 70% της ολικής αστοχίας).

111 Πίνακας 3.3.1: Σύγκριση λόγου p L /(c u ) μεταξύ PLAXIS 2D και 3D και ακριβούς αναλυτικής λύσης των Randolph & Houlsby (1984), για μετακίνηση πασσάλου P L A X I S R & H (1984) A/A 1 (2D) 2 (2D) 3a (3D) 3b (3D) Λόγος Poisson,ν ν=0.495 ν=0.495 ν=0.495 ν=0.4 u (m) 0.01 0.016 0.017 0.165 F y P L 1196 598.1 60.4 60.1 (42.3) p L /(c u ) 11.96 11.96 12.07 12.02 (8.46) p L /(c u ) 11.94 Πίνακας 3.3.2: Σύγκριση λόγου p L /(c u ) μεταξύ PLAXIS 2D και Randolph & Houlsby (1984), για μετακίνηση εδάφους P L A X I S R & H (1984) A/A 1 2a 2b 3 Λόγος Poisson,ν ν=0.495 ν=0.495 ν=0.4 ν=0.495 u (m) 0.069 0.120 0.127 0.016 F y P L 1171.1 598.2 588.1 (397.3) 300.3 p L /(c u ) 11.71 11.96 11.76 (7.95) 12.01 p L /(c u ) 11.94

113 4. ΟΡΙΑΚΗ ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΤΑΣΗ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΩΝ ΠΑΣΣΑΛΩΝ ΣΕ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η συμπεριφορά του μεμονωμένου πασσάλου σε μη συνεκτικό υλικό με το πρόγραμμα PLAXIS 3D. Αναλύονται περιπτώσεις που υπολογίστηκαν από τους Loukidis και Vavourakis (2014) με ένα διδιάστατο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων και πραγματοποιείται η σύγκριση με τα αποτελέσματα του PLAXIS 3D. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω οι Loukidis και Vavourakis (2014) χρησιμοποίησαν διδιάστατο μοντέλο στις αναλύσεις τους. Tο συγκεκριμένο πρόβλημα αυτό δεν μπορεί να προσομοιωθεί στο PLAXIS 2D καθώς είναι αδύνατο να εισαχθεί το αρχικό κατακόρυφο τασικό πεδίο σε πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με προσομοίωση οριζόντιας εδαφικής "φέτας" στο PLAXIS 3D. 4.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Σε αντίθεση με τις αναλύσεις που πραγματοποιήθηκαν με το πρόγραμμα PLAXIS 2D, χρησιμοποιήθηκε ολόκληρος και όχι μισός κάνναβος. Ο λόγος είναι ότι όταν επιχειρήθηκε η ανάλυση με μισό κάνναβο παρουσιάστηκαν προβλήματα μη ομαλής συμπεριφοράς του προγράμματος στις συνοριακές συνθήκες που δεν κατέστη δυνατόν να αντιμετωπιστούν. Το εδαφικό υλικό προσομοιώνεται σαν μια "φέτα" με πάχος z'= 1/100 της μικρής πλευράς του μοντέλου. Η αναλογία μικρής πλευράς προς πάχος επιλέχτηκε έτσι ώστε να είναι η ελάχιστη δυνατή και παράλληλα να μπορούν να σχηματιστούν οι πεπερασμένες πυραμίδες που χρησιμοποιούνται από το PLAXIS 3D. Η διαστάσεις του καννάβου είναι 12d*36d, περίπου ίδιες με εκείνες που χρησιμοποιήθηκαν από τους Loukidis και Vavourakis (2014). Oι εν λόγω συγγραφείς εφάρμοσαν παθητική φόρτιση, δηλαδή κίνηση του εδάφους με ακίνητο τον πάσσαλο. Επισημαίνουν όμως ότι το πρόβλημα του ενεργού πασσάλου (κατά το οποίο ο πάσσαλος κινείται ως προς το σταθερό έδαφος) είναι ταυτόσημο με το πρόβλημα του παθητικού πασσάλου (κατά το οποίο το έδαφος σπρώχνει τον πάσσαλο). Στην παρούσα εργασία εφαρμόστηκε ενεργητική φόρτιση. Στο κέντρο του πασσάλου εφαρμόσθηκε μεγίστη μετακίνηση ίση με 0.5 m, η οποία είναι ομοιόμορφη σε όλο το πάχος της εδαφικής "φέτας". Η διεπιφάνεια πασσάλου-εδαφικού υλικού επιλέχτηκε να είναι τραχεία, όπως στις προηγούμενες αναλύσεις.

114 Οι κατακόρυφες πλευρικές επιφάνειες της "φέτας" που είναι παράλληλες στο επίπεδο yz έχουν τη δυνατότητα οριζόντιας μετακίνησης κατά τον άξονα y, οι κατακόρυφες πλευρικές επιφάνειες ανάντη και κατάντη που είναι παράλληλες στο επίπεδο xz, είναι αμετάθετες ως προς όλες τις διευθύνσεις, ενώ οι οριζόντιες επιφάνειες που είναι παράλληλες στο επίπεδο xy είναι αμετάθετες κατά τον άξονα z. Για να επιτευχθεί η προσομοίωση του αρχικού τασικού πεδίου, εφαρμόζονται επιφανειακά φορτία σε όλες τις πλευρές του καννάβου. Στις οριζόντιες πλευρές που είναι παράλληλες στο επίπεδο xy εφαρμόσθηκε κατακόρυφο επιφανειακό φορτίο σ' v0, ενώ στις κατακόρυφες πλευρικές που είναι παράλληλες στο επίπεδο xz και σε αυτές που είναι παράλληλες στο yz εφαρμόστηκε οριζόντιο επιφανειακό φορτίο σ' h0. Οι παράμετροι των υλικών που χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζονται στον παρακάτω πινάκα: Πίνακας 4.1: Ιδιότητες υλικού εδάφους και πασσάλου Έδαφος Πάσσαλος Μοντέλο Mohr-Coulomb Γραμμικά Ελαστικό Μέτρο ελαστικότητας, Ε 30.000 kn/m 2 30 9 kn/m 2 Λόγος του Poisson, ν 0,3 0,15 Αστράγγιστη διατμητική 0 kpa - αντοχή, c u Γωνία τριβης, φ 30 0 - Γωνία διαστολικότητας, ψ 0 - Στο τελικό στάδιο του υπολογισμού των αποτελεσμάτων (καρτέλα Staged Construction), δημιουργήθηκαν τρεις φάσεις υπολογισμών. Κατά την αρχική φάση (initial phase) εισάγονται τα χαρακτηριστικά του εδαφικού υλικού χωρίς τον πάσσαλο. Κατά την πρώτη φάση (Phase 1), εισάγεται το αρχικό τασικό πεδίο, ενώ κατά την δεύτερη φάση (Phase 2) ενεργοποιείται η προκαθορισμένη μετακίνηση που εφαρμόζεται στο κέντρο του πασσάλου και οι συνοριακές συνθήκες. Ο τρόπος υπολογισμού που επιλέχτηκε ήταν η πλαστική ανάλυση (plastic analysis) και ο αντίστοιχος μέγιστος αριθμός βημάτων ανάλυσης (max steps) 10000. Η προσομοίωση έγινε για τα τρία ζεύγη κατακόρυφων και οριζοντίων τάσεων σ' h0 / σ' v0 : 100 /100 kpa, 100 /200 kpa και 200 /400 kpa, τα οποία αντιστοιχούν σε λόγους Κ 0 ίσους με 1 και 1/2.

115 4.2 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Στα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αναλύσεων των Loukidis και Vavourakis (2014) και του PLAXIS 3D. Η πλευρική αντίσταση πασσάλου για τις αναλύσεις των Loukidis και Vavourakis (2014) έχει κανονικοποιηθεί με την οριζόντια ενεργό τάση σ' h0, ενώ για τις αναλύσεις με τον PLAXIS 3D έχει κανονικοποιηθεί με την οριζόντια ενεργό τάση σ' h0, με το πάχος της "φέτας". Δηλαδή η πλευρική τάση στον πάσσαλο είναι δεδομένου ότι z=s/100. Παρατηρούμε ότι οι τιμές που υπολογίζουμε είναι πραγματικά διπλάσιες από αυτές που υπάρχουν στα διαγράμματα των Loukidis και Vavourakis (2014), οι οποίες φαίνεται να παρουσιάζουν τα αποτελέσματα για τις αναλύσεις για το μισό κάνναβο και κατά συνέπεια το μισό φορτίο. Όπως θα δούμε στον συγκριτικό πινάκα 4.2, για τον ίδιο λόγο οι τιμές των που προκύπτουν από την εξίσωση 2.11 που προτείνεται από τους Loukidis και Vavourakis (2014) είναι διπλάσιες από αυτές των αντιστοιχών διαγραμμάτων (Σχήμα 2.3) που παρουσιάζονται. Στα διαγράμματα που ακολουθούν παρουσιάζονται οι καμπύλες κανονικοποιημένης πλευρικής αντίστασης πασσάλου προς την κανονικοποιημένη μετακίνηση για τις τρεις περιπτώσεις τάσεων που προαναφέρθηκαν. Από τα Σχήματα 4.1, 4.2 και 4.3 παρατηρείται πως χρησιμοποιώντας το PLAXIS 3D επιτυγχάνεται μια πιο σταθερή καμπύλη, αλλά και λίγο μεγαλύτερη τιμή της πλευρικής αντίστασης p, όπως φαίνεται από τα Σχήματα 4.4 έως 4.6. Αυτό πιθανόν να σημαίνει ότι ο αλγόριθμος μη-γραμμικής ανάλυσης του PLAXIS για να εξισορροπεί τις πλεονάζουσες η υπολειπόμενες δυνάμεις είναι πιο σταθερός από εκείνον του ABAQUS. Δηλαδή οι επαναληπτικές διαδικασίες (iterations) που χρησιμοποιεί το PLAXIS είναι πιο σταθερές από εκείνες του ABAQUS.

116 5 4 3 p/σ' h0 2 σ' h0 =100kPa, σ' v0 =100kPa σ' h0 =100kPa, σ' v0 =200kPa 1 σ' h0 =200kPa, σ' v0 =400kPa 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 u/d Σχήμα 4.1 : Μεταβολή της κανονικοποιημένης πλευρικής αντίστασης πασσάλου προς την κανονικοποιημένη πλευρική μετακίνηση (Loukidis και Vavourakis, 2014) 6 5 4 p/σ' h0 3 2 σ' h0 =100kPa, σ' v0 =100kPa σ' h0 =100kPa, σ' v0 =200kPa 1 σ' h0 =200kPa, σ' v0 =400kPa 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u/d Σχήμα 4.2 : Μεταβολή της κανονικοποιημένης πλευρικής αντίστασης πασσάλου προς την κανονικοποιημένη πλευρική μετακίνηση (PLAXIS 3D)

117 Σχήμα 4.3: Σύγκριση αποτελεσμάτων PLAXIS 3D- Loukidis & Vavourakis (2014) ( Οι κόκκινες καμπύλες αντιστοιχούν στα αποτελέσματα του PLAXIS 3D) 6 5 4 p/σ' h0 3 2 1 Loukidis & Vavourakis (2014) PLAXIS 3D, παρούσα εργασία 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u/d Σχήμα 4.4: Διάγραμμα για σ' h0 / σ' v0 = 100 /100 kpa,

118 6 5 4 p/σ' h0 3 2 1 Loukidis & Vavourakis (2014) PLAXIS 3D, παρούσα εργασία 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u/d Σχήμα 4.5: Διάγραμμα για σ' h0 / σ' v0 = 100 /200 kpa, 5 4 3 p/σ' h0 2 1 Loukidis & Vavourakis (2014) PLAXIS 3D, παρούσα εργασία 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u/d Σχήμα 4.6: Διάγραμμα για σ' h0 / σ' v0 = 200 /400 kpa

119 4.3 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Στην συνεχεία παρουσιάζονται οι μηχανισμοί αστοχίας για τις τρεις περιπτώσεις για 100/100, 100/200, 200/400 που προαναφέρθηκαν. Για κάθε περίπτωση δίνονται οι καμπύλες πλευρικής δύναμης Fy-μετατόπισης u, τα διαγράμματα εκτροπικών τάσεων, τα πλαστικοποιημένα σημεία και τα διαγράμματα u και Δu. Τα δυο τελευταία παρουσιάζονται και ως καμπύλες μέσων τιμών και με διανύσματα μετατοπίσεων. Για κάθε μία από τις περιπτώσεις, τα ανωτέρω στοιχεία παρουσιάζονται για επιλεγμένα βήματα της φόρτισης για να φανεί η εξελικτική πορεία του φαινόμενου. Η επιλογή των σημείων γίνεται από τις αντίστοιχες καμπύλες πλευρικής δύναμης- μετατόπισης (F y -u). 4.3.1 Περίπτωση 1. σ' h0 / σ' v0 : 100 / 100 kpa Στην περίπτωση αυτή από την καμπύλη πλευρικής δύναμης F y -μετατόπισης u Σχήμα 4.7, επιλέγονται τρία χαρακτηριστικά σημεία (66, 80 και 97). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 4.7.1a έως 4.7.3.b. Σχήμα 4.7: Καμπύλη πλευρικής δύναμης Fy-μετατόπισης u με αρχικό πεδίο τάσεων σ' h0 =100 kpa και σ' v0 =100 kpa, (PLAXIS 3D)

120 Από τα σχήματα προκύπτει ότι: 1. Στο βήμα 66 φαίνεται ότι έχουν εμφανιστεί και επεκταθεί τα πλαστικοποιημένα σημεία, στο διάγραμμα γ s φαίνεται αμυδρά ο μηχανισμός αστοχίας. Οι ολικές μετατοπίσεις u δεν καταδεικνύουν μηχανισμό αστοχίας, σε αντίθεση με τις διαφορικές μετατοπίσεις Δu. 2. Στο βήμα 80 ο μηχανισμός αστοχίας είναι εμφανής σε όλα τα διαγράμματα. Άρα στο βήμα αυτό και σε μετατόπιση μεταξύ 0.15d και 0.18d m έχει επέλθει αστοχία. 3. Στο τελικό βήμα 97 τα διαγράμματα είναι πρακτικά ιδία με του βήματος 80. Από τα διαγράμματα u και Δu παρατηρούμε μια ελαφριά απώλεια συμμετρίας. Αυτή οφείλεται στο μη συμμετρικό κάνναβο λόγω της αυτόματης δημιουργίας καννάβου από το PLAXIS.

127 4.3.2 Περίπτωση 2. σ' h0 / σ' v0 : 100 / 200 kpa Στην περίπτωση αυτή από το Σχήμα 4.8 επιλέγονται τρία χαρακτηριστικά σημεία τα: 63, 71, 87. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 4.7.1a έως 4.7.3.b. Σχήμα 4.8: Καμπύλη πλευρικής δύναμης Fy-μετατόπισης u, με αρχικό πεδίο τάσεων σ' h0 =100 kpa και σ' v0 =200 kpa ( PLAXIS 3D) Από τα σχήματα φαίνεται ότι: 1. Στο βήμα 63 μόνον οι εκτροπικές παραμορφώσεις αλλά κυρίως οι διαφορικές μετατοπίσεις προοιωνίζουν τον μηχανισμό αστοχίας. 2. Στο βήμα 71 ο μηχανισμός αστοχίας φαίνεται σε όλα τα διαγράμματα και η αστοχία εμφανίζεται σε μετατόπιση μεταξύ 0.15 και 0.2 m, όπως προηγουμένως. 3. Στο τελικό βήμα 87 όλα τα διαγράμματα είναι πρακτικά τα ιδία με αυτά του βήματος 71. Παρατηρούμε και εδώ, για τους ίδιους λόγους που προαναφέρθηκαν, την ασυμμετρία στα διαγράμματα u και Δu.

134 4.3.3 Περίπτωση 3. σ' h0 / σ' v0 : 200 / 400 kpa Στην περίπτωση αυτή από το Σχήμα 4.9 επιλέγονται πέντε χαρακτηριστικά σημεία, τα: 20, 28, 40, 44 και 178. Παρατηρείται ότι λόγω των υψηλών τάσεων σ' h0 και σ' v0 η καμπύλη παρουσιάζεται πιο "πλαστικοποιημένη" με πιο απαλή καμπή από τις προηγούμενες περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 4.9.1a έως 4.9.5.b Σχήμα 4.9: Καμπύλη πλευρικής δύναμης Fy-μετατόπισης u, με αρχικό πεδίο τάσεων σ' h0 =200 kpa και σ' v0 =400 kpa, (PLAXIS 3D) Από τα σχήματα φαίνεται ότι: 1. Στο βήμα 20, πριν την καμπή, δεν υπάρχει ένδειξη του μηχανισμού αστοχίας αλλά σημαντική περιοχή των πλαστικοποιημένων σημείων γύρω από τον πάσσαλο. 2. Στο βήμα 28, το εύρος της πλαστικοποιημένης περιοχής αυξάνει αλλά δεν υπάρχει κινηματική ένδειξη της αστοχίας. 3. Στο βήμα 40, μόνο τα διαγράμματα των εκτροπικών παραμορφώσεων γ s και των αυξητικών παραμορφώσεων Δu, εμφανίζουν μηχανισμό αστοχίας.

135 4. Στο βήμα 44 ο μηχανισμός αστοχίας φαίνεται σε όλα τα διαγράμματα. Επιπλέον τα πλαστικοποιημένα σημεία συγκεντρώνονται γύρω από τον πάσσαλο εντός την περιοχής των εκτροπικών παραμορφώσεων γ s και των αυξητικών παραμορφώσεων Δu. Από τις Δu παρατηρούμε μια ανάπτυξη προς τα αριστερά του πασσάλου. Η αστοχία του πασσάλου εκδηλώνεται μεταξύ των βημάτων 40 και 44 σε μετακίνηση περίπου 0.3 m, δηλαδή μεγαλύτερη από τις δυο προηγούμενες περιπτώσεις λόγω μεγαλυτέρων τάσεων σ' h0 και σ' v0. Στο τελικό βήμα 178 παρατηρούμε μια νέα ανεξάρτητη ζώνη πλαστικοποίησης σημείων ανάντη του πασσάλου και ασύμμετρα Δu προς τα δεξιά αυτή τη φορά. Σε μετακίνηση 0.5m προφανώς βρισκόμαστε σε περιοχή μεγάλων παραμορφώσεων, δηλαδή έκτος των ορίων εφαρμογής της υπόθεσης των μικρών παραμορφώσεων που χρησιμοποιείται. Συνεπώς τα αποτέλεσμα του βήματος 178 είναι αναξιόπιστα.

Σχήμα 4.9.3.b.: Βήμα 40: Ολικές και διαφορικές μετακινήσεις 141

146 4.4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΑΥΤΑ ΤΩΝ LOUKIDIS ΚΑΙ VAVOURAKIS (2014) Από τα αποτελέσματα της προηγούμενης παραγράφου 4.3 προκύπτει ότι για τις περιπτώσεις των (σ' h0 / σ' v0 ) = 100/100 kpa και 100/300 kpa η μετακίνηση των πασσάλων κατά την αστοχία κυμαίνεται από 0.15d έως 0.18d, ενώ για την περίπτωση 200/400 kpa κυμαίνεται από 0.25d έως 0,30d. Στον Πινάκα 4.2 που ακολουθεί συνοψίζονται οι μετατοπίσεις, οι μέγιστες πλευρικές δυνάμεις και τάσεις από τα αποτελέσματα του PLAXIS 2D και τα αντίστοιχα αποτελέσματα των Loukidis και Vavourakis (2014), τόσο από τις αριθμητικές αναλύσεις όσο και από την προτεινόμενη εξίσωση. Οι τιμές των Loukidis και Vavourakis (2014) αντιστοιχούν στον μισό κάνναβο και πρέπει να διπλασιαστούν για να αντιστοιχούν στις τιμές του PLAXIS 3D και στην ημιεμπειρική εξίσωση των ιδίων συγγραφέων (εξίσωση 2.11) Πίνακας 4.2: Σύγκριση αποτελεσμάτων μεταξύ PLAXIS 3D και Loukidis και Vavourakis (2014) P L A X I S 3D L O U K - V A V σ' h0 /σ' v0 100/100kPa 100/200kPa 200/400kPa Μετατόπιση 0.15 0.18 0.15 0.18 0.25 0.30 u(m) Φορτίο Fy 100.015 101.131 110.714 111.899 220.862 224.587 (kn) (kpa) 833.46 842.74 922.6 932.48 1840.5 1871.54 / σ' h0 8.33 8.42 9.22 9.32 9.20 9.34 Μετατόπιση u(m) (kpa) 413 (-1.2%) 0.10 0.12 0.20 368 (-1.3%) 844 (-1.1%) / σ' h0 4.13 3.68 4.22 (eq. 2.11) 808.3 (-4.08%) 808.3 (-13.3%) 1616.3 (-13.62%)

147 Παρατηρούμε ότι οι μετακινήσεις κατά την αστοχία με το PLAXIS 3D είναι 1.2 με 1.5 φορές μεγαλύτερες από αυτές των αριθμητικών αναλύσεων των Loukidis και Vavourakis (2014), όπως προκύπτουν απ τα διαγράμματα ανηγμένων τάσεων-μετατοπίσεων του Σχήματος 2.3 (Σχήμα 5 στο πρωτότυπο άρθρο). Στον πίνακα 4.2 συγκρίνονται επίσης οι τάσεις μεταξύ των δυο αριθμητικών επιλύσεων και της εξίσωσης 2.11. Σημειώνεται ότι για την σύγκριση οι τιμές κατά Loukidis και Vavourakis πολλαπλασιάστηκαν επί δύο. Σε παρένθεση δίνεται και η διάφορα % με βάση τα αποτελέσματα που αντιστοιχούν σε μετακινήσεις 0.18και 0.3 του PLAXIS 3D. Παρατηρούμε ότι η εξίσωση (2.11) δίνει καλές προβλέψεις για την πρώτη περίπτωση και λιγότερο καλές αλλά με ανεκτή απόκλιση περίπου 13% για εφαρμογές στην πράξη. Η σύγκριση των p L / σ' h0 μεταξύ των αριθμητικών αναλύσεων για τις τρεις περιπτώσεις σ' h0 /σ' v0 παρουσιάζει αποκλίσεις 2%, 26.6% και 10.7% αντίστοιχα με τα αποτελέσματα των Loukidis και Vavourakis (2014) να έχουν μικρότερα. Επίσης οι μηχανισμοί αστοχίας του μεμονωμένου πασσάλου φαίνεται να είναι οι ίδιοι οι παρόμοιοι μεταξύ των δυο αναλύσεων. Κατόπιν αυτών και μετά από προσωπική επικοινωνία του κ. Μυλωνάκη με τον κ. Λουκίδη, η εξίσωση (2.11) μπορεί να πάρει την μορφή: (4.1) όπου ο συντελεστής φέρουσας ικανότητας σε αστράγγιστες συνθήκες που είναι 11.94 για τραχύ και περίπου 9.16 για λείο πάσσαλο. Αν θεωρηθεί ότι για μη συνεκτικό έδαφος ισχύει : μορφή που υποδεικνύεται στο Σχήμα 2.4 (Fig. 7 στο πρωτότυπο). (4.2)

148 Με εφαρμογή των αντίστοιχων εντατικών καταστάσεων του Caquot προκύπτει η εξίσωση για συνεκτικό υλικό με c και φ μεγαλύτερα του μηδενός που είναι: (4.3) H εξίσωση αυτή δείχνει ότι η συνοχή και η τριβή συμβάλλουν ανεξάρτητα η κάθε μια στον προσδιορισμό του. Αυτό διαπιστώθηκε ανεξάρτητα από προσθετές αριθμητικές ανάλυσης των Loukidis και Vavourakis (2014). Από τα αποτελέσματα της αριθμητικής ανάλυσης για τραχύ πάσσαλο (Πίνακας 4.2) με c=0, φ=30 0 και με γνωστό το υπολογίζεται το από τις τρεις περιπτώσεις σ' h0 /σ' v0 100/100, 100/300 και 200/400. Οι τιμές που προκύπτουν είναι αντίστοιχα 14.6, 16.1 και 16.2. Κατά συνέπεια οι τιμές που μπορεί να λάβει το κυμαίνονται στην πράξη από περίπου 14 μέχρι 16. Η εξάρτηση του συντελεστή από τη γωνία τριβής φ δεν έχει διερευνηθεί στην παρούσα εργασία και μία μικρή απόκλιση από την σχέση 4.2 που βασίζεται στο Σχήμα 2.4 δεν μπορεί να αποκλειστεί.

149 5. ΟΡΙΑΚΗ ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΤΑΣΗ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΣΕ ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ Το υπο εξέταση πρόβλημα άφορα πασσαλοσειρά άπειρων θεωρητικά, ισαπεχόντων πασσάλων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων τους είναι s, μέγεθος που είναι ο βασικός παράγοντας που επηρεάζει την οριακή πλευρική τάση των πασσάλων. Από το Σχήμα 5.1 είναι προφανές ότι λόγω συμμετρίας σε άπειρα παράλληλα επίπεδα αρκεί να αναλύσουμε έναν μοναδικό πάσσαλο όπως έγινε στα προηγούμενα κεφάλαια 3 και 4. Στην παρούσα εργασία εξετάστηκαν οι περιπτώσεις συνεκτικού και μη συνεκτικού εδάφους. Και στις δύο περιπτώσεις τα αποτελέσματα των αναλύσεων επηρεάζονται από τους ίδιους παράγοντες που προαναφέρθηκαν δηλαδή την πυκνότητα του καννάβου, τη γεωμετρία του καννάβου, το καταστατικό προσομοίωμα και την εσωτερική ιδιομορφία του προγράμματος. Οι παράγοντες αυτοί ελήφθησαν υπ' όψη στις αναλύσεις που ακολουθούν. Για τις αναλύσεις αυτές χρησιμοποιήθηκαν τα προγράμματα PLAXIS 2D και 3D. Σχήμα 5.1: Ισαπέχοντες πάσσαλοι.

150 5.1 ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ ΣΕ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ 5.1.1 Μετακίνηση του εδάφους - ακλόνητος πάσσαλος Για το συνεκτικό έδαφος εξετάστηκαν δυο τύποι φόρτισης: α) παγιωμένος πάσσαλος με κίνηση του εδάφους και β) παγιωμένο έδαφος με κίνηση του πασσάλου. Κάθε τύπος ανάλυσης περιλαμβάνει υπολογισμούς για τις εξής δώδεκα τιμές των s/d: 1.2, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6 και 6.5. Σε αυτήν την ενότητα εξετάζονται διάφορες περιπτώσεις με μετακίνηση επιβαλλόμενη στο έδαφος και ακλόνητο πάσσαλο. Οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν με την χρήση του PLAXIS 2D (για συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης). Εξεταστήκαν τρεις ισοδύναμοι λόγω συμμετρίας κάνναβοι (ολόκληρος, μισός και εν τέταρτo) με διαστάσεις 2s*s/2, 2s*s και s*s/2 όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.2. c) a) b) Σχήμα 5.2: Κάνναβος όπως δίνεται από το PLAXIS για ολόκληρο, μισό και τέταρτο του πασσάλου.

151 Εξετάστηκαν έξι περιπτώσεις με δώδεκα αναλύσεις έκαστη. Αυτές συνοψίζονται στον πινάκα 5.1. Πίνακας 5.1: Υπο εξέταση περιπτώσεις Περίπτωση Πυκνότητα καννάβου Λόγος Poisson Κάνναβος 1 πυκνός 0.495 2 αραιός 0.495 3 πολύ αραιός 0.495 μισός 4 πυκνός 0.4 5 πυκνός 0.495 ολόκληρος 6 πυκνός 0.495 τέταρτο Σε όλες τις περιπτώσεις ο πάσσαλος ήταν απόλυτα τραχύς. Η τιμή του οριακού φορτίου που δίνεται από τις αναλύσεις του PLAXIS 2D κανονικοποιείται με δυο τρόπους: α) ως προς την αστράγγιστη διατμητική αντοχή του εδαφικού υλικού και β) ως προς τη διάμετρο του πασσάλου. Στα Σχήματα 5.3a και 5.3b παρουσιάζονται τα κανονικοποιημένα αποτελέσματα των αναλύσεων για ολόκληρο, μισό και το τέταρτο του καννάβου. Η επίδραση του καννάβου εξετάζεται για τις περιπτώσεις 1, 5 και 6. Παρατηρείται ότι τα αποτελέσματα των αναλύσεων για την περίπτωση του ολόκληρου καννάβου καταλήγουν σε λίγο χαμηλότερη τιμή του φορτίου αστοχίας σε σύγκριση με τα υπόλοιπα. Για τον ολόκληρο κάνναβο η τιμή του κανονικοποιημένου οριακού φορτίου για μεγάλους λόγους s/d όπου πλέον οι πάσσαλοι συμπεριφέρονται ως μοναχικοί, ισούται με 11.75. Η τιμή αυτή, είναι κατά 1,6% χαμηλότερη από τη θεωρητική λύση των Randolph και Houlsby (1984) που είναι 11.94. Όσον άφορα την περίπτωση με το 1/4 του καννάβου, η κανονικοποιημένη τιμή για το οριακό φορτίο για μεγάλους λόγους s/d, ισούται με 12.03. Οι αναλύσεις για τον μισό κάνναβο φαίνεται πως κατέληξαν στην καλύτερη δυνατή τιμή για το οριακό φορτίο (11.96) και είναι πρακτικά ίση με τη θεωρητική λύση των Randolph και Houlsby. Σε όλες τις περιπτώσεις μετά τον λόγο s/d =4.5 οι πάσσαλοι συμπεριφέρονται σαν μεμονωμένοι, το οποίο συμφωνεί με τη βιβλιογραφία (Poulos & Davis, 1980, Fleming et al., 2008).

152 Παρατηρούμε επίσης ότι οι διαφορές της τιμής του οριακού φορτίου για τις παραπάνω αναλύσεις μπορεί να οφείλονται στην έλλειψη συμμετρίας του καννάβου. Το PLAXIS δεν παρέχει στον χρήστη την δυνατότητα να επέμβει στη συμμετρία του καννάβου. Ο μίσος κάνναβος, είναι ισοδύναμος με συμμετρικό ολόκληρο. Επομένως ο κάνναβος αναφοράς προτείνεται να είναι ο μισός κανναβος. Από την κανονικοποίηση ως προς s (Σχήμα 5.3.b) προκύπτει ότι η καμπύλη φθίνει διαρκώς.

153 18 17 16 Μισός Κάνναβος Ολόκληρος Κάνναβος Τέταρτο του Καννάβου P L /(c u d) 15 14 13 12 11.96 12.03 11 11.75 10 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.3a: Σύγκριση αποτελεσμάτων για μισό, ολόκληρο και εν τέταρτο του καννάβου (κανονικοποίηση ως προς c u *d). 16 14 12 Μισός Κάνναβος Ολόκληρος Κάνναβος Τέταρτο του Καννάβου 10 P L /(c u s) 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.3b: Σύγκριση αποτελεσμάτων για μισό, ολόκληρο και εν τέταρτο του καννάβου (κανονικοποίηση ως προς c u *s).

154 Προκειμένου να εξεταστεί η επίδραση της πυκνότητας του καννάβου συγκρίνονται τα αποτελέσματα των περιπτώσεων 1, 2 και 3 για πυκνό (4799 στοιχεία, 38953 κόμβοι), αραιό (1443 στοιχεία, 11872 κόμβοι) και πολύ αραιό κάνναβο (788 στοιχεία, 6558 κόμβοι), όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.4. Από τα Σχήματα 5.5.a και 5.5.b είναι προφανές πως η πυκνότητα του καννάβου δεν ασκεί ουσιαστική επιρροή στα αποτελέσματα των αναλύσεων. a) b) c) Σχήμα 5.4: a) πυκνός κάνναβος b) αραιός κάνναβος c) πολύ αραιός κάνναβος

155 18 17 16 Πυκνός κάνναβος Πολύ αραιός κάνναβος Αραιός κάνναβος P L /(c u d) 15 14 13 12 11 10 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.5.a: Σύγκριση αποτελεσμάτων για πυκνό, πολύ αραιό και αραιό κάνναβο. (κανονικοποίηση ως προς c u *d). 16 14 12 Πυκνός Κάνναβος Πολύ Αραιός Κάνναβος Αραιός Κάνναβος P L /(c u s) 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.5.b: Σύγκριση αποτελεσμάτων για πυκνό, πολύ αραιό και αραιό κάνναβο. (κανονικοποίηση ως προς c u *s).

156 Στο Σχήμα 5.6 συγκρίνονται οι περιπτώσεις 1 και 4 του Πινάκα 5.1. Παρατηρούμε ότι ο λόγος Poisson δεν έχει καμιά επίδραση στο οριακό φορτίο. Όμως σε όλες τις περιπτώσεις με ν= 0.4 παρατηρούμε ότι οι καμπύλες δύναμης Fy-μετατόπισης u παρουσιάζουν δυο σημεία καμπής και μερική αστοχία (βλ. 5.1.5) όπως και στις προηγούμενες ενότητες 3 και 4. Τέλος στο Σχήμα 5.7 παρουσιάζεται η ελάχιστη της ανηγμένης ως προς d οριακής πλευρικής τάσης (10.84) για s/d= 2.5 18 17 v=0.495 ν=0.4 16 15 P L /(c u d) 14 13 12 11 10 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.6: Αποτελέσματα αναλύσεων με λόγους Poisson 0.4 και 0.495.

157 18 17 PLAXIS 2D 16 15 P L /(c u d) 14 13 11.96 12 11 10.84 10 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 s / d Σχήμα 5.7: Αποτελέσματα αριθμητικών αναλύσεων Παρατηρούμε ότι στα Σχήματα 5.3α, 5.5α, 5.6 και 5.7α οι καμπύλες p L /(c u d)-s/d ξεκινούν από ένα μέγιστο για s/d=1.2 και στην συνέχεια η τιμή της ανηγμένης πλευρικής τάσης μειώνεται και στη θέση s/d=2.5 παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με 10.84. Έπειτα η τιμή αυξάνεται μέχρι το s/d=4.5. Για s/d 4.5 η τιμή της ανηγμένης πλευρικής τάσης μένει σταθερή και ίση με 11.96, που αντιστοιχεί στην τιμή για μεμονωμένο πάσσαλο. Αυτό συμβαίνει διότι όταν το s/d= 1 η πασσαλοσειρά δρα σαν ενιαίο τοιχείο που συμπιέζει το έδαφος ανάντη. Όσο το s/d μεγαλώνει, τα πλευρικά επίπεδα στα μέσα των δυο πάσσαλων δρουν ως λείες επιφάνειες και μειώνουν την πλευρική αντίσταση του πασσάλου. Ταυτόχρονα ο βολβός των τάσεων μεγαλώνει αυξάνοντας την αντίσταση του πασσάλου. Οι δυο αντίθετες τάσεις ισορροπούν στο ελάχιστο για s/d= 2.5 και στη συνέχεια η ισορροπία των δυνάμεων αντιστρέφεται έως ότου ο βολβός του μηχανισμού αστοχίας δεν επηρεάζεται από τα πλευρικά όρια και ο πάσσαλος λειτουργεί ως μεμονωμένος.

158 5.1.2 Μετακίνηση του πασσάλου - ακλόνητο έδαφος Πραγματοποιήθηκαν δυο αναλύσεις, μία με το PLAXIS 2D με μισό πυκνό κάνναβο και ν= 0.495, και μία με το PLAXIS 3D για ολόκληρο κάνναβο και ν= 0.4. Οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν για τις δώδεκα τιμές του λόγου s/d, που προαναφέρθηκαν. Ο σκοπός των αναλύσεων αυτών ήταν να διερευνηθεί η επιρροή α) της διαφορετικής παγίωσης (πασσάλου ή εδάφους) και β) της χρήσης καννάβων 2D και 3D στα αποτελέσματα της τιμής του οριακού φορτίου. Στα Σχήματα 5.8.a και 5.8.b συγκρίνονται τα αποτελέσματα των δυο αναλύσεων για παγιωμένο πάσσαλο και παγιωμένο έδαφος (περίπτωση 1 του πινάκα 5.1) για κανονικοποίηση ως προς d και ως προς s αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα ταυτίζονται. Στο Σχήμα 5.9 συγκρίνονται τα αποτελέσματα των PLAXIS 2D και PLAXIS 3D. Ο κάνναβος που χρησιμοποιήθηκε στις τριδιάστατες αναλύσεις παρουσιάζει κάποιες διαφορές σε σχέση με εκείνον των διδιάστατων αναλύσεων, προκειμένου τα αποτελέσματα να είναι πιο ακριβή. Αρχικά εξετάζεται ολόκληρος και όχι ο μισός κάνναβος. Προκειμένου να μπορέσουν να σχηματιστούν τα τριγωνικά στοιχεία του PLAXIS 3D, το πάχος (ύψος) του μοντέλου θα πρέπει να κυμαίνεται μεταξύ του 1/10 και του 1/100 του μήκους της μικρής πλευράς του μοντέλου (δηλαδή της πλευράς που προσομοιώνει την απόσταση μεταξύ των πάσσαλων, s). Τελικά επιλέχτηκε το 1/100 του μήκους s. Θα πρέπει να σημειωθεί πως με το τριδιάστατο ομοίωμα προσομοιώνονται συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Στη συνέχεια προκαθορισμένη μετακίνηση ασκείται στο κέντρο (σε όλο το ύψος) του πασσάλου και όχι στα όρια της εδαφικής λωρίδας.

159 18 17 Παγίωση Πασσάλου Παγίωση Εδάφους 16 P L /(c u d) 15 14 13 12 11 10 1 2 3 4 5 6 s / d Σχήμα 5.8a: Σύγκριση αποτελεσμάτων για μετακίνηση στον πάσσαλο και για μετακίνηση στο έδαφος. (κανονικοποίηση ως προς c u *d). 16 14 12 Παγίωση Πασσάλου Παγίωση Εδάφους P L /(c u s) 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 s/d Σχήμα 5.8b: Σύγκριση αποτελεσμάτων για μετακίνηση στον πάσσαλο και για μετακίνηση στο έδαφος. (κανονικοποίηση ως προς c u *s).

160 Όπως και στη διδιάστατη ανάλυση, το παραπάνω πρόβλημα αναλύθηκε για δώδεκα τιμές της απόστασης μεταξύ των κέντρων των πασσάλων, s προς την διάμετρο του πασσάλου d (1 s/d 6.5). Στο Σχήμα.5.8 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων για τη διδιάστατη και την τριδιάστατη ανάλυση. Όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς τα αποτελέσματα των δυο τύπων αναλύσεων δίνουν πολύ κοντινές τιμές, με διαφορές μικρότερες του 1%. 18 16 PLAXIS 2D PLAXIS 3D Randolph & Houlsby P L /(c u d) 14 11.96 11.99 12 11.94 (exact) 10 1 2 3 4 5 6 7 s/d Σχήμα 5.9: Σύγκριση αποτελεσμάτων PLAXIS 2D και PLAXIS 3D

161 5.1.3 Σύγκριση με αναλυτικές λύσεις Στα Σχήματα 5.10.a και 5.10.b συγκρίνονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων με κανονικοποίηση ως προς d και s με την αναλυτική λύση του Di Laora (2016), την λύση των Randolph και Ηoulsby και την λύση του Reese (1986). Από το Σχήμα 5.10 παρατηρείται πως η λύση του Di Laora (2016), από s/d = 3 και μετά σταθεροποιείται στην τιμή 11.94 και συνεπώς ταυτίζεται με την λύση των Randolph και Ηoulsby. Αντίθετα, τα αποτελέσματα των αριθμητικών αναλύσεων υποδεικνύουν μια περιοχή μεταξύ των λόγων s/d 2 έως 4.5 στην οποία η κανονικοποιημενη τιμή του φορτίου αστοχίας παρουσιάζει χαμηλότερες τιμές του 11.96 με ελάχιστο το 10.890. Για λογούς s/d μεγαλύτερους του 4.5 σταθεροποιείται στην τιμή 11.96. Απo το Σχήμα 5.10, γίνεται εμφανές ότι η λύση άνω ορίου του Di Laora (2016) δίνει μεγαλύτερες τιμές για το φορτίο αστοχίας από αυτό που δίνουν οι αριθμητικές αναλύσεις.

162 20 15 11.94 (exact) 11.96 P L /(c u s) 10 11 5 PLAXIS 2D (παρούσα εργασία) Di Laora Randolph & Houlsby Reese 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 s/d Σχήμα 5.10.a: Σύγκριση αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων με αναλυτικές λύσεις (κανονικοποίηση ως προς c u *d). 20 PLAXIS 2D (παρούσα εργασία) Di Laora 15 P L /(c u s) 10 5 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 s/d Σχήμα 5.10.b: Σύγκριση αποτελεσμάτων αριθμητικών αναλύσεων με αναλυτικές λύσεις (κανονικοποίηση ως προς c u *s).

163 5.1.4 Σύγκριση με αριθμητική ανάλυση των Matsii και Derevenets (2005) Από το Σχήμα 2.8 παρατηρούμε ότι η κανονικοποιημένη καμπύλη των q/l-l/d δεν παρουσιάζει χαμηλότερες τιμές από αυτή του Σχήματος 5.2.a. αλλά μοιάζει περισσότερο στην κανονικοποιημένη μορφή του Σχήματος 5.2.b. Σε κάθε περίπτωση οι κανονικοποιημένες τιμές των τάσεων δεν ταιριάζουν αριθμητικά. Υπάρχει όμως ασάφεια στο πως ορίζεται και πως υπολογίζεται η παράμετρος που ονομάζεται "pressure" και είναι σε kn/m. 5.1.5 Μηχανισμός αστοχίας Ο μηχανισμός αστοχίας γίνεται εμφανής με το διάγραμμα της εκτροπικής παραμόρφωσης και τα πλαστικοποιημένα σημεία. Στο Σχήμα 5.11.1 έως 5.11.12 παρουσιάζονται τα διαγράμματα για δώδεκα s/d από 1.5 έως 6.5. τα διαγράμματα μέγιστης εκτροπικής τάσης παρουσιάζονται με τις καμπύλες ίσων τιμών (contour lines). Στο τελευταίο βήμα για u=0.5m παρατηρείται πως από s/d 1.2 έως 4 τα διαγράμματα επηρεάζονται από τα πλευρικά σύνορα του καννάβου. Για s/d =4.5 τα γ s δεν επηρεάζονται, ενώ τα πλαστικοποιημένα σημεία εκτείνονται ως τα πλευρικά σύνορα. Από s/d 5 τα διαγράμματα αυτά δεν εκτείνονται έως τα πλευρικά σύνορα.

Σχήμα 5.11.1: s/d=1.2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 164

Σχήμα 5.11.3: s/d=2: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 166

Σχήμα5.11.5.: s/d=3: Εκτροπική παραμόρφωση και πλαστικά σημεία 168

176 5.2 ΠΑΣΣΑΛΟΣΕΙΡΑ ΣΕ ΜΗ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΕΔΑΦΟΣ Για την ανάλυση της πασσαλοσειράς σε μη συνεκτικό έδαφος χρησιμοποιήθηκε ολόκληρος κάνναβος με διαστάσεις s*2s*z' με τριδιάστατα στοιχεία (PLAXIS 3D). Εξετάστηκαν τρεις περιπτώσεις με σ' v0 / σ' h0 : 100/100, 100/300 και 200/400 (οι τιμές σε kn). Για κάθε μία περίπτωση πραγματοποιήθηκαν 22 αναλύσεις με διαφορετικά s/d. Οι λόγοι που εξετάστηκαν είναι: α) 1.2 έως 6.5 όπως στην παράγραφο 5.1 (12 τιμές) και β) 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20 και 30 (10 τιμές). Οι αναλύσεις έγιναν για ενεργητικό πάσσαλο με παγιωμένο έδαφος. Οι οριακές πλευρικές τάσεις σε αδιάστατη μορφή δίνονται από την εξίσωση 5.2.1 Σχέσεις πλευρικών τάσεων - λόγων s / d Οι οριακές αδιάστατες τάσεις σε συνάρτηση με τους λόγους s/d παρουσιάζονται στα Σχήματα 5.12.a έως και 5.12.d. Κατά την ανάλυση δεν κατέστη δυνατόν να κρατηθούν ενδιάμεσα βήματα για τεχνικούς λόγους (μεγάλο μέγεθος αρχείων). Οπότε δεν είναι δυνατόν να εντοπισθούν με ακρίβεια τα φορτία αστοχίας. Η επιλογή των φορτίων αστοχίας έγινε με δυο τρόπους: α) πρώτα επιλέχτηκαν οι πλευρικές τάσεις που αντιστοιχούν σε μετατόπιση 0.2 m των καμπύλων δυνάμεωνμετατοπίσεων που είναι u/d= 0.5 για τις περιπτώσεις 100/100 και 200/400 και στο βήμα με u/d= 0.2 για την περίπτωση 100/300. β) Δεύτερον εκτιμήθηκαν τα σημεία αστοχίας από τις καμπύλες δυνάμεων-μετατοπίσεων (Σχήματα 5.14 έως 5.16) με βάση τη μέγιστη δύναμη ή τα σημεία αλλαγής καμπυλότητας (Παράρτημα Γ). Οι καμπύλες της πρώτης περίπτωσης παρουσιάζονται στα Σχήματα 5.12.a, 5.12.b και 5.12.e ενώ της δεύτερης στα Σχήματα 5.12.c, 5.12.d και 5.12.f. Παρατηρούμε ότι από s/d= 1.2 έως 6 οι καμπύλες έχουν και αυτές την μορφή που έχει η περίπτωση του συνεκτικού εδάφους. Από το s/d= 6 έως 16 υπάρχει μια περιοχή μικρών διακυμάνσεων που στη συνέχεια σταθεροποιείται. Όμως από το s/d= 6 έως το

177 s/d= 30 κατά μέσον όρο οι καμπύλες είναι περίπου οριζόντιες και αυτές των περιπτώσεων 100/100 και 200/400 σχεδόν ταυτίζονται. Παρατηρούμε ότι η περίπτωση 100/300 δίνει σημαντικά μεγαλύτερες τιμές από τις άλλες δύο περιπτώσεις. Το γεγονός δεν μπορεί να ερμηνευθεί με τα διαθέσιμα στοιχεία και πρέπει να αποτελέσει μέρος μελλοντικής έρευνας. Από όλα τα Σχήματα είναι εμφανής η επίδραση του λόγου σ' h0 / σ' v0. Παρατηρούμε επίσης μια διαφορά μεταξύ των Σχημάτων 5.12.b και 5.12.d για s / d 3 Μπορεί να λεχθεί ότι οι τιμές s/d=4.5 έως 5 που σηματοδοτούν την συμπεριφορά μεμονωμένου πασσάλου για το συνεκτικό υλικό είναι πιθανόν ελαφρά μεγαλύτερες και συγκεκριμένα 6 έως 7 για το μη συνεκτικό υλικό ( Σχήμα 5.12.b.). Αυτό μπορεί να ερμηνευθεί ως αποτέλεσμα του αυξημένου μεγέθους του μηχανισμού για φ 0.

178 20 15 100/100 100/300 200/400 p L / σ' h0 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 s / d Σχήμα 5.12.a: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d. Τα σημεία αντιστοιχούν στο τελευταίο βήμα των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 20 15 100/100 100/300 200/400 p L / σ' h0 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s / d Σχήμα 5.12.b: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d ( έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στο τελευταίο βήμα των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d)

179 20 15 100/100 100/300 200/400 p L / σ' h0 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 s / d Σχήμα 5.12.c: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d. Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d) 20 15 100/100 100/300 200/400 p L / σ' h0 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s / d Σχήμα 5.12.d: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d (έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*d)

180 20 15 100/100 100/300 200/400 P L /(z s σ' h0 ) 10 5 0 5 10 15 20 25 30 s / d Σχήμα 5.12.e: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d. Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*s) 20 15 100/100 100/300 200/400 P L /(z s σ' h0 ) 10 5 0 5 10 15 20 25 30 s / d Σχήμα 5.12.f: Αδιάστατη πλευρική τάση συναρτήσει του s / d (έως 8). Τα σημεία αντιστοιχούν στα εκτιμώμενα μέγιστα φορτία των καμπυλών F y - u. (κανονικοποίηση ως προς z'*s)

181 5.2.2 Καμπύλες πλευρικών δυνάμεων μετατοπίσεων Τα Σχήματα 5.13, 5.14 και 5.15 παρουσιάζουν τις καμπύλες οριακών δυνάμεων - μετατοπίσεων. Για λόγους ευκρίνειας παρουσιάζονται οι καμπύλες που αντιστοιχούν σε δέκα επιλεγμένους λόγους s/d: 1.2, 1.5, 2, 3, 4, 6, 12, 16, 20 και 30. Παρατηρούμε ότι σε όλες τις άλλες καμπύλες με s/d= 1.2 παρουσιάζεται κράτυνση η οποία γενικά είναι εντονότερη για s/d 6 (Σχήματα 5.13, 5.14 και 5.15) Για s/d=1.2 παρατηρούμε ότι οι καμπύλες στα Σχήματα 5.16.a και 5.16.b για s/d= 1.2 δεν παρουσιάζουν έντονο σημείο καμπής ώστε να εντοπιστεί αστοχία, παρά μόνον για πολύ χαμηλά φορτία ( Σχήμα 5.16.b). Αν αυτά τα σημεία θεωρηθούν αστοχίες και δεν αποτελούν κάποια ιδιαιτερότητα του προγράμματος τότε οι καμπύλες 5.12.a έως 5.12.c θα έχουν ένα πολύ χαμηλό ελάχιστο για s/d= 1.2. Στην παρούσα εργασία θεωρήθηκε ότι υπάρχει μια ονομαστική οριακή δύναμη που αντιστοιχεί περίπου στο σημείο όπου η αρχική εφαπτομένη αρχίζει να αποκλίνει από την καμπύλη 100F y / s - u. Οι καμπύλες αυτές πιθανόν να αντιστοιχούν σε συμπεριφορά τοίχου (πετάσματος ) αντιστήριξης. Το σημείο αυτό απαιτεί πρόσθετη μελλοντική διερεύνηση. Σχήμα 5.13: Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ' v0 /σ' h0 =100/100

182 1400 1200 1.2 16 20 30 6 12 1000 4 14 100*F y / s (kn/m) 800 600 3 2 1.5 400 200 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 u (m) Σχήμα 5.14: Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ' v0 /σ' h0 =100/300 2500 1.2 20 14 2000 12 6 4 100*F y /s (kn/m) 1500 1000 1.5 3 2 500 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u (m) Σχήμα 5.15: Πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u για σ' v0 /σ' h0 =200/400

183 180 160 140 120 F y (kn) 100 80 60 40 20 100/100 100/300 200/400 s/d= 1.2 0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u (m) Σχήμα 5.16.a: Περίπτωση s / d= 1.2 πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u. 40 30 100/100 100/300 200/400 s/d= 1.2 F y (kn) 20 10 0 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 u (m) Σχήμα 5.16.b: Περίπτωση s / d= 1.2 πλευρικές οριακές δυνάμεις συναρτήσει της μετατόπισης u (έως 0.05).

184 5.2.3 Μηχανισμοί αστοχίας Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζονται τα διαγράμματα εκτροπικών τάσεων και τα πλαστικοποιημένα σημεία για τους τρεις λόγους σ v0 /σ h0 : 100/100, 100/300 και 200/400. Λόγω μη καταγραφής των ενδιάμεσων αποτελεσμάτων τα διαγράμματα αυτά αντιστοιχούν στο τελευταίο βήμα της κάθε ανάλυσης που είναι 0.5, 0.2 και 0.5 αντίστοιχα για τους τρεις προαναφερθέντες λόγους σ' v0 /σ' h0 αντίστοιχα. Για λόγους συντομίας τα διαγράμματα δίνονται για εννέα επιλεγμένους λόγους s/d που είναι χαρακτηριστικοί του φαινόμενου. Η παράθεση και των 22 αναλύσεων συνέβαλε στην κατανόηση της συμπεριφοράς της πασσαλοομάδας. Από τα σχήματα των εκτροπικών παραμορφώσεων παρατηρούμε ότι οι επιφάνειες ολίσθησης δεν παρουσιάζουν συμμετρία όπως στην περίπτωση του συνεκτικού εδάφους αλλά εκτείνονται περισσότερο προς τα ανάντη του πασσάλου και τέμνουν τα πλευρικά επίπεδα σε γωνία 45 0. Αυτό φαίνεται για παράδειγμα στα Σχήματα 5.11.5 και 5.19.5 με s/d= 4. Όμως όταν ο πάσσαλος λειτουργεί σαν μεμονωμένος τα σχήματα γίνονται συμμετρικοί κύκλοι γύρω από τον πάσσαλο, όπως φαίνεται στα σχήματα 5.11.8 για s/d= 4.5 και 5.19.6 για s/d= 6. Παρατηρείται επίσης ότι λόγω συμμετρίας του καννάβου τα σχήματα δεν είναι απολύτως συμμετρικά ως προς τον άξονα κίνησης του πασσάλου κατά y. Α. σ' v0 /σ' h0 = 100/100 Από το Σχήμα 5.17.1 έως το 5.17.9 για s/d έως 5 τα διαγράμματα έχουν τυπικές μορφές αλληλεπίδρασης με τους γειτονικούς πασσάλους. Από s/d= 6 και μετά τα διαγράμματα δίνουν μορφές "ολικής αστοχίας" και συμπεριφοράς μεμονωμένου πασσάλου. Β. σ' v0 /σ' h0 =100/300 Από τα Σχήματα 5.18.1 έως 5.18.9 παρατηρούμε μέχρι s/d=12 οι παρατηρήσεις είναι ίδιες με εκείνες της προηγούμενης περίπτωσης. Για s/d= 20 και 30 η πλαστικοποιημένη ζώνη διαφοροποιείται και εκτείνεται σε όλη την περιοχή του καννάβου ( η κίνηση του πασσάλου προς τα πάνω). Γ. σ' v0 /σ' h0 =200/400: Στην περίπτωση αυτή οι μηχανισμοί είναι περίπου ίδιοι όπως στην περίπτωση Α. (Σχήματα 5.19.1 έως 5.19.9)

212 5.2.4 Διαστατική Ανάλυση Το υπό εξέταση πρόβλημα χαρακτηρίζεται από 5 διαστατικές παραμέτρους (d, s, c, E s, σ' ho ) και 3 αδιάστατες (φ, Κ ο, ν, ψ). Καθώς ο αριθμός των θεμελιωδών διαστάσεων είναι 2 (L, F), προκύπτει βάσει του θεωρήματος Buckingham (1914), ότι ο απαιτούμενος αριθμός αδιάστατων παραμέτρων ("λόγων") για την περιγραφή της λύσης είναι Ν 1 + N 2 - M = 5 + 4-2 = 7 Το παραπάνω θεώρημα δεν καθορίζει ποιες είναι οι συγκεκριμένες παράμετροι. Είναι όμως εύλογο να επιλεγούν οι: (c/ σ' ho ), (σ' ho / E s ), (s/d), φ, Κ ο, ν, ψ Επίσης, το ζητούμενο οριακό φορτίο P L μπορεί να κανονικοποιηθεί με τους εναλλακτικούς τρόπους P L / (d z' σ' ho ) P L / (s z' σ' ho ) Επιπλέον, η αριθμητική ανάλυση του προβλήματος εισάγει τρεις πρόσθετες αδιάστατες παραμέτρους, τους λόγους ύψους προς πλάτος και πάχους προς πλάτος του καννάβου (h/s), (z'/s) και τον αριθμό τον κόμβων Ν. Μια πλήρης διερεύνηση θα απαιτούσε υπολογισμούς για 22 σημεία s / d, τρεις λόγους (σ ho '/ E s ) και Κ 0, δηλαδή σύνολο 198 υπολογισμών με τις ακόλουθες παραμέτρους: (c/ σ ho ') = 0 (σ' ho / E s ) = 0.33 x 10-4, 0.33 x 10-2, 0.66 x 10-2 (s/d) = 1.2-6.5 (12 τιμές) και 7-20 (10 τιμές) φ = 30 ο Κ ο = 1/3, 1/2, 1 ν = 0.3 ψ = 0

213 h/s = 2 z'/s = 10-2 N = 10 3 (περίπου) Στην παρούσα εργασία έγιναν ενδεικτικά υπολογισμοί για s/d =1.5 και 2 για K 0 =1 (σ' h0 = σ' v0 =100 kpa) και σ ho '/ E s = 0.33*10-2 και 0.33*10-4. Τα αποτελέσματα έχουν ως εξής: Πίνακας 5.2: Μέγιστες πλευρικές τάσεις p L συναρτήσει των λόγων s/d και σ ho '/ E s s/d 0.33*10-2 σ' ho / E s 0.33*10-4 p L 1.5 από 5.13 έως 14.4 από 5.64 έως 16.88 2.0 5.57 5.58 Για την περίπτωση s/d = 1.5 και σ' ho / E s =0.33*10-2 η καμπύλη F y -u (Σχήματα 5.20.a και 5.20.b) παρουσιάζει μία μη ομαλή μορφή που δεν επιτρέπει εύκολο εντοπισμό του φορτίου αστοχίας και θέτει ερωτήματα για την ορθή λειτουργία του αλγορίθμου. Το ίδιο συμβαίνει και στην περίπτωση όπου σ' ho / E s =0.33*10-4 (Σχήμα 5.21.a) όμως εδώ η καμπύλη φτάνει μέχρι u= 0.2 m και η λειτουργία του αλγορίθμου διακόπτεται πριν φτάσει τον στόχο u= 0.5 m όπως συνέβη με την προηγούμενη περίπτωση (Σχήμα 5.20.a). Επίσης η καμπύλη του Σχήματος 5.21.a παρουσιάζει μια πολύ πιο στιφρή συμπεριφορά με μέγιστο φορτίο F y =330 kn (για u= 0.2 m) έναντι ενός F y =19.2 kn (για u= 0.5 m) σε σχέση με του Σχήματος 5.20.a. Με τα υπάρχοντα στοιχεία δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί με ακρίβεια το φορτίο αστοχίας για τις περιπτώσεις με s/d = 1.5. Αν στο Σχήμα 5.20.b θεωρηθεί ως αστοχία το σημείο 14 ή το 67 τότε τα αντίστοιχα p L είναι ίσα με 5.13 και 14.4 αντίστοιχα. Παρομοίως από το Σχήμα 5.21 ως αστοχία θεωρηθεί ένα από τα δυο πρώτα σημεία καμπής (11 και 20), τότε το p L μπορεί να έχει τιμές 5.64 και 16.88 αντίστοιχα. Αν χρησιμοποιηθεί το σημείο 231 (Σχήμα 5.21.a) τότε p L = 146 τιμή πολύ μεγάλη και μη συμβατή με τις υπόλοιπες. Για την περίπτωση s/d= 2 παρατηρούμε ότι η μορφή των καμπυλών είναι διγραμμική και ο λόγος σ ho '/ E s δεν φαίνεται να επηρεάζει τις μέγιστες πλευρικές τάσεις p L. Όμως για σ' ho / E s =0.33*10-4 ο αλγόριθμος διακόπτεται μετά από μετακίνηση u= 0.005 m και η συμπεριφορά της καμπύλης είναι πολύ πιο στιφρή. Κατά συνέπεια η επίδραση του λόγου σ ho '/ E s χρειάζεται σημαντική διερεύνηση.

214 Σχήμα 5.20.a: Καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-2 Σχήμα 5.20.b: Μεγεθυμένη καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-2

215 Σχήμα 5.21.a: Καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-4 Σχήμα 5.21.b: Μεγεθυμένη καμπύλη F y -u για s/d = 1.5 για σ' ho / E s = 0.33*10-4

216 Σχήμα 5.22.a: Καμπύλη F y -u για s/d = 2 για σ' ho / E s = 0.33*10-2 Σχήμα 5.22.b: Καμπύλη F y -u για s/d = 2 για σ' ho / E s = 0.33*10-4

217 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με βάση τα αποτελέσματα των αναλύσεων της παρούσας έρευνας είναι δυνατόν να διατυπωθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα. 6.1 ΓENΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ 1. Η πλευρική τάση αστοχίας δεν επηρέαζεται από το μέγεθος και την πυκνότητα του καννάβου, από τη χρήση διδιάστατου ή τριδιάστατου καννάβου, από το λόγο Poisson και από το αν κινείται το έδαφος ή ο πάσσαλος. 2. Ο μηχανισμός αστοχίας και η πλευρική τάση αστοχίας εντοπίζονται από την συγκέντρωση κινηματικών μεγεθών σε ζώνες ολίσθησης γύρω από τον πάσσαλο (διαγράμματα γ s, u, Δu). 3. Η πλευρική τάση αστοχίας εμφανίζεται πριν το τέλος της καμπύλης F y - u (0.2d ή 0.5d στους υπολογισμούς). 4. Οι καμπύλες δυνάμεων- μετατοπίσεων παρουσιάζουν κράτυνση για μησυνεκτικό υλικό σε αντίθεση με το συνεκτικό. 5. Οι μετατοπίσεις επηρεάζονται από το λόγο του Poisson και από το αν κινείται το έδαφος ή ο πάσσαλος. 6. Για λόγο Poisson ν= 0.4 παρουσιάζεται και μερική αστοχία. 6.2 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Οι τιμές των ανηγμένων τάσεων p L /c u διαφέρουν ελάχιστα από την θεωρητική των Randolph και Houlsby (11.94) (από 0.16 έως 1.6%). 2. Για μετακίνηση πασσάλου η αστοχία ενεργοποιείται για μετακινήσεις u/d από 0.010d έως 0.017d για ν= 0.495 και 0.165d για ν= 0.4. 3. Για μετακινήσεις εδάφους οι αντίστοιχες μετακινήσεις κυμαίνονται από 0.069d έως 0.120d για ν= 0.495 και 0.127d για ν= 0.4. 4. Τα πλαστικοποιημένα σημεία εμφανίζονται πρώτα σε επαφή με τον πάσσαλο και αρχίζουν να επεκτείνονται σε φορτία μικρότερα του ενός τρίτου του μεγίστου.

218 6.3 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 1. Οι αναλύσεις για το μη συνεκτικό υλικό έγιναν για τρία ζεύγη τιμών σ' h0 / σ' v0. Τα αποτελέσματα της παρούσας αριθμητικής ανάλυσης για τις τάσεις αστοχίας είναι πολύ κοντά με τα αριθμητικά αποτελέσματα των Loukidis & Vavourakis (2014). 2. Η αστοχία γίνεται για μετακίνηση μεταξύ 0.15 και 0.18 m για σ' h0 /σ' v0 100/100 και 100/200 και 0.25 και 0.30 m για την περίπτωση 200/400. 3. Για το μη συνεκτικό έδαφος, οι μετατοπίσεις κατά την αστοχία είναι διπλάσιες και οι αντίστοιχες πλευρικές τάσεις αστοχίας συστηματικά μεγαλύτερες από 2% έως 21% από αυτές των Loukidis και Vavourakis (2014). 4. Οι καμπύλες τάσεων μετατοπίσεων είναι πιο ομαλές από αυτές των Loukidis και Vavourakis (2014) και δεν διακόπτονται μέχρι και μετακίνηση 0.5m. 5. H ημιεμπειρική εξίσωση, δίνει σχετικά καλές προβλέψεις με τιμές μικρότερες μέχρι και 13% σε σχέση με το PLAXIS 2D. 6. Προτείνεται μια τροποποιημένη μορφή της εξίσωσης η εξής: Aπό τα αριθμητικά αποτελέσματα των τριών περιπτώσεων σ' h0 /σ' v0 προκύπτει ότι ο συντελεστής παίρνει τιμές 14.6, 16.1 και 16.2 αντίστοιχα 6.4 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 5 6.4.1 Πασσαλοσειρά σε συνεκτικό έδαφος 1. H αδιάστατη πλευρική τάση P L /(c u d) ξεκινά από ένα μέγιστο για s/d=1.2, περνάει ένα ελάχιστο (10.84) για s/d=2.5 και παίρνει την τιμή 11.96 για s/d=4.5 (δράση μεμονωμένου πασσάλου). 2. H αδιάστατη πλευρική τάση P L /(c u s) ξεκινά από ένα μέγιστο για s/d=1.2 και φθίνει διαρκώς επιβραδυνόμενη μέχρι την τιμή s/d=6.5. 3. Οι μηχανισμοί αστοχίας (διαγράμματα γ s και πλαστικοποιημένα σημεία) είναι συμμετρικοί και επηρεάζονται από την απόσταση μέχρι την τιμή s/d= 4.5. Για s/d 4.5 η αλληλεπίδραση παύει και ο πάσσαλος συμπεριφέρεται ως μεμονωμένος.

219 6.4.2 Πασσαλοσειρά σε μη συνεκτικό έδαφος 1. Οι καμπύλες ανηγμένης πλευρικής τάσης συναρτήσει του s/d για τις τρεις περιπτώσεις σ' h0 /σ' v0 που εξεταστήκαν ξεκινούν από ένα μέγιστο, έχουν χαμηλότερες τιμές στο διάστημα 1.5 s/d 6 όμως δεν είναι ομαλές και διαφέρουν για τις τρεις περιπτώσεις. 2. Οι καμπύλες δυνάμεων-μετατοπίσεων παρουσιάζουν κράτυνση που γίνεται εντονότερη για s/d 6 και παρουσιάζουν ομαλότερη μετάβαση στην πλαστική περιοχή. Εξαίρεση αποτελούν οι καμπύλες για s/d= 1.2 που έχουν απότομη κλίση και δεν παρουσιάζουν σημείο καμπής. 3. Τα διαγράμματα γ s και τα πλαστικοποιημένα σημεία δείχνουν ότι οι μηχανισμοί αστοχίας δεν είναι συμμετρικοί και ότι η εμφάνιση συμπεριφοράς μεμονωμένου πασσάλου αρχίζει μετά το s/d= 6 έναντι s/d= 4.5 για συνεκτικό υλικό. 6.5 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ Προτείνεται σε ενδεχόμενη περαιτέρω έρευνα να διερευνηθεί λεπτομερέστερα η συμπεριφορά του πασσάλου και της πασσαλοσειράς σε μη συνεκτικό υλικό με περισσότερες περιπτώσεις λόγων σ' h0 /σ' v0 αλλά και μεγέθους των σ' v0 και ενδεχομένως με άλλες παραμέτρους της διαστατικής ανάλυσης. Ειδικότερα για την πασσαλοσειρά μπορεί να εξετασθεί και διαφορετικός τρόπος διαστασιολόγησης του καννάβου επιλέγοντας σταθερό ύψος καννάβου 10d και πλάτος s/2 για μισό κάνναβο ή s για ολόκληρο. Ιδιαίτερη έμφαση θα πρέπει να δοθεί στην εξέταση της συμπεριφοράς του αλγορίθμου για περισσότερες τιμές στην περιοχή s/d 2 με καννάβους κατάλληλης πυκνότητας.

221 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Baquelin F.J., Frank P.A., Said Y., (1977). "Theoritical Study of Lateral Reaction Mechanism of Piles", Geotechnique, 1977, 27(3), 405-434 Barton, Y.O., (1982). " Laterally Loaded Model Piles in Sand: Centrifuge Tests and Finite Element Analyses, Ph.D. Thesis, University of Cambridge. Bransby M.F., Springman S., (1999). "Selection of Load-transfer Functions for Pasive Lateral Loading of Pile Groups ", Computers and Geotechnics 24, 155-184 Broms, B.B. (1964). "Lateral Resistance of Piles in Cohesive Soils", Journal SMFD, Proc ASCE, Vol 90, SM2, 27-63 Broms B.B. (1964). "Lateral Resistance of Piles in Cohesionless Soils", Journal SMFD, Proc ASCE, Vol 90, SM3, 123-156 Chen C.Y., Martin G.R., (2002). "Soil-Structure Interaction for Landslide Stabilizing Piles", Computers and Geotechnics 29, 363-386 DiLaora R., (2016). Προσωπική Επικοινωνία Fleming K., Weltman A., Randolph M., Elson K., (2009). "Piling Engineering, Taylor and Francis. Hansen, J. Brinch, (1961). "The Ultimate Resistance of Rigid Piles against Transversal Forces", Danish Geot. Inst. Bull No 12, Copenhagen, 5-9 Ito T., Matsui T., (1975), "Methods to Estimate Lateral Force Acting on Stabilizing Piles", Soils and Foundations, vol 15, No4, Dec Kalyaoglu M.R., Imancli G., Onal O., Kayalar A.S., (2012). KSCE Journal of Civil Engineering, 16 (4): 562-570 Kourkoulis R., Gelagoti F., Anastasopoulos I., GAzetas G., (2011). "Slope Stabilizing Piles and Pile_ Groups : Parametric Study and Design Insights. Journal of Geotech. and Geoenv. Engineering, ASCE, July 2011

222 Loukidis D., Vavourakis V., (2014), "Limit Lateral Resistance of Vertical Piles in Plane Strain", Numerical Methods In Geotechnical Engineering - Hicks, Brinkgreve & Rohe (Eds), Taylor Francis Group, London Martin C.M, Randolf M.F., (2006). "Upper-Bound Analysis of Lateral Pile capacity in Cohesive Soil", Geotechnique 56, N.2, 141-145 Matlock, H.S., (1970). "Correlations for Design of Laterally Loaded Piles in Soft Clay", 2nd Annual Offshore Technology Conf., Houston Matsii S.I., Derevenets F.N., (2005). "Application of Finite-Element Method to Investigate Interaction Between Slide-Prone Soils and Piles", Soil Mechanics and foundation Engineering, Vol 42, No 4 Miao, L.F., Goh, A.T.C., Wong, K.S. and The, C.I., (2006). "Three-dimensional Finite Element Analyses of Passive Pile Behavior", International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 30: 599-613 Michalowski R.L.,"The Rule of Equivalent States in Limit-State Analysis of Soils", Journal of Geotech. and Geoenv. Engineering, ASCE, January 2001 Murff, J.D. and Hamilton J.M., (1993). " P-Ultimate for Undrained Analysis of Laterally Loaded Piles", ASCE Journal of Geotechnical Engineering, 119(1): 91-170 Randolf M.F., Houlsby G.T, (1984). "The Limiting Pressure on a Circular Pile Loaded Laterally in Cohesive Soil" Reese L.C., (1958). " Discussion of paper by B. McClelland and J.A. Focht", Trans. ASCE, 123: 1071-1074 Reese L.C., Cox W.R. and Koop F.D., (1974). "Analysis of Laterally Loaded Piles in Sand", 6th annual Offshore Technology Conf., Houston, OTC 2080, Vol. 2, pp. 473-485 Reese L.C., Van Imppe W.F., (2001). Single Piles and Pile Groups Under Lateral Loading", Κωστόπουλος Σ.Δ., (2003) "Γεωτεχνικές Κατασκευές", Εκδώσεις ΙΩΝ

223 Παπαντωνόπουλος Κ.Ι, (2014). "Υπολογιστική Γεωτεχνική Μηχανική με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων", Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Εκτυπώσεων.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 225

227 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΤΟ ΕΔΑΦΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ MOHR-COULOMB Το εδαφικό μοντέλο Mohr-Coulomb είναι ένα απλό και πολύ διαδεδομένο μοντέλο (γραμμικά ελαστικό τέλεια πλαστικό). Το γραμμικά ελαστικό μέρος του βασίζεται στον νόμο του Hooke της ισοτροπικής ελαστικότητας. Το τέλεια πλαστικό μέρος του βασίζεται στο κριτήριο αστοχίας των Mohr-Coulomb. Η πλαστικότητα περιλαμβάνει την ανάπτυξη μη αναστρέψιμων (ανελαστικών) παραμορφώσεων. Προκειμένου να οριστεί μαθηματικά πότε συμβαίνει η κατάσταση πλαστικότητας, εισάγεται μια συνάρτηση διαρροής f (συνάρτηση τάσεωνπαραμορφώσεων). Η πλαστική διαρροή συμβαίνει όταν f= 0. Αυτή η συνθήκη μπορεί να παρασταθεί σαν μια επιφάνεια στον χώρο των κύριων τάσεων. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗ- ΤΕΛΕΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ Η βασική αρχή της ελαστοπλαστικότητας είναι ότι οι παραμορφώσεις και παράγωγοι τους, αναλύονται σε ελαστικές και πλαστικές παραμορφώσεις. e p (Α.1) e p (Α.2)

228 Σχήμα Α.1: Βασική αρχή του ελαστοπλαστικού μοντέλου ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΣΤΟΝ ΧΩΡΟ MOHR-COULOMB Το εδαφικό μοντέλο Mohr-Coulomb βασίζεται σε πέντε εδαφικές παραμέτρους οι οποίες προσδιορίζονται πειραματικά. Οι παράμετροι είναι οι εξής: E : το μέτρο ελαστικότητας Young [ kn/m 2 ] ν : ο λόγος Poisson [-] φ : η γωνία τριβής [ ο ] c : η συνοχή [kn/m 2 ] ψ : η γωνία διαστολικότηατς [ ο ] Στο παρακάτω σχήμα παρουσιάζεται το μοντέλο Mohr-Coulomb.

229 Σχήμα Α.2: Κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb Συμφωνά με τον Johnson et al (2006) η θραύση εξαρτάται μόνο από τις δυο ακραίες κύριες τάσεις (σ 1 και σ 3 ) και είναι ανεξάρτητη από την ενδιάμεση κύρια τάση σ 2. Στην τριαξονική εντατική κατάσταση, το κριτήριο Mohr-Coulomb, λαμβάνει το σχήμα μιας ακανόνιστης εξαγωνικής πυραμίδας. Οι επιφάνειες αστοχίας ορίζονται από την εξαγωνική πυραμίδα και η θραύση πραγματοποιείται όταν σε ορισμένα σημεία του εδάφους οι τάσεις λαμβάνουν τις οριακές τους τιμές. Γίνεται η παραδοχή ότι τα σημεία αυτά βρίσκονται πάνω σε μια συνεχή επιφάνεια ολισθήσεως κατά μήκος της οποίας παρατηρείται το φαινόμενο της πλαστικής ροής. Στο μοντέλο αυτό το εδαφικό υλικό συμπεριφέρεται γραμμικώς ελαστικά μέχρι την κατάσταση αστοχίας του. Συμφωνά με τους Smith and Griffith (1982) η εξίσωση που διέπει την επιφάνεια αστοχίας των Mohr-Coulomb είναι:

230 cos * 2 * sin 2 3 1 3 1 c F (Α.3) Η παραπάνω εξίσωση γράφεται: cos 3 * sin sin cos * * sin * 3 1 2 1 c J I F (Α.4) Όπου: z y x I 1 2 2 2 2 2 2 2 6 1 zx yz xy x z z y y x J Σχήμα Α.3 : a) Κριτήριο αστοχίας των Mohr-Coulomb στο χώρο (c= 0) b) Κριτήριο αστοχίας των Mohr-Coulomb στο οκταεδρικό επίπεδο

233 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ PLAXIS ΣΥΝΤΟΜΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ Στην παρούσα παράγραφο δίνεται ένα σύντομο ιστορικό της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ, Finite Element Method). Είναι δυνατόν να δούμε την Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων από δυο διαφορετικές οπτικές γωνίες. Από μια αυτήν του μαθηματικού όπου η ΜΠΣ περιγράφεται σαν μια γενική μέθοδος επίλυσης συστημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων που εκφράζουν την συμπεριφορά κάποιου φυσικού συστήματος. Η μέθοδος βασίζεται στην αριθμητική ελαχιστοποίηση κάποιας ολοκληρωματικής συνάρτησης (π.χ δυναμικής ενέργειας) ή κάποιου σφάλματος (σταθμισμένα υπόλοιπα) που απορρέουν από τις μερικές διαφορικές εξισώσεις του προβλήματος. Από την πλευρά του μηχανικού, η ΜΠΣ μπορεί να θεωρηθεί σαν μια γενική μέθοδος ανάλυσης υλικών συστημάτων που αποτελούνται από διακριτά μέλη, είτε αυτά καθορίζονται από την φύση τους όπως τα δομικά στοιχεία (δοκοί, υποστυλώματα, πλάκες) είτε τεχνικά από το μηχανικό (πεπερασμένα στοιχεία). Από την άποψη αυτή η μέθοδος αποτελεί μια γενίκευση της μεθόδου ανάλυσης γραμμικών φορέων με μητρώα και εφαρμόζεται στην ανάλυση τόσο συνέχων όσο και ασυνεχών σωμάτων. Στις αρχές του 20 ου αιώνα αναπτύχτηκε η βάση της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων από τον Γερμανό μαθηματικό Ritz (1909). Το 1915 ο Ρώσος μαθηματικός Galerkin ανέπτυξε σε βάθος την θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων. Λόγω της απουσίας του ηλεκτρονικού υπολογιστή η διάδοση και η ανάπτυξη της ΜΠΣ παρέμειναν στάσιμες. Προφανώς η εφαρμογή της μεθόδου δεν είναι δυνατή χωρίς την ύπαρξη των υπολογιστών και δεν είναι τυχαίο ότι η απαρχή της ραγδαίας εξέλιξης της από την δεκαετία του 40 και έπειτα, συμπίπτει με την εμφάνιση και την εξέλιξη των υπολογιστών. Το 1941 ο Hrennikof ανέπτυξε την μέθοδο του πλαισίου (frame work method), συμφώνα με την οποία ένα επίπεδο ελαστικό μέσο μπορεί να αντικατασταθεί με ένα ισοδύναμο σύστημα ράβδων και δοκών, για την εύρεση των τάσεων μέσα σε συνεχή στερεά σώματα. Το 1943 ο Γάλλος μαθηματικός Courant πρότεινε μια παραλλαγμένη μορφή της εύρεσης των τάσεων. Έλυσε το πρόβλημα της στρέψης χρησιμοποιώντας τριγωνικά στοιχεία με την αρχή της ελαχίστης δυναμικής ενέργειας (minimum potential energy) και την ονόμασε Rayleigh-Ritz μέθοδο. Το

234 1955 ο Έλληνας Argyris έγραψε ένα βιβλίο με θέμα Ενεργειακά Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 21 θεωρήματα και η μέθοδος των μητρώων και εισήγαγε τις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1956 οι Αμερικανοί Τurner, Clough, Martin και Top έκαναν την πρώτη χρήση των δισδιάστατων (2D) στοιχείων. Διατύπωσαν τα μητρώα δυσκαμψίας για τα στοιχεία δικτυώματος, δοκού και για τα τριγωνικά και τετραγωνικά στοιχεία σε επίπεδη ένταση και ανέπτυξαν την μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας έτσι ώστε να καταλήξουν στο συνολικό μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής. Το 1960 ο Ι. Αργύρης και ο Kelsey δημοσίευσαν την εργασία τους η οποία βασιζόταν στις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1960 ο Clough καθηγητής του πανεπιστημίου University of California, Berkeley της Αμερικής, χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το όνομα Πεπερασμένα στοιχεία (Finite elements) στην εργασία του και από τότε όλοι χρησιμοποιούν την παραπάνω ονομασία. Το 1967 οι Zienkiewicz και Chung έγραψαν το πρώτο βιβλίο των πεπερασμένων στοιχείων. Από τότε ένας μεγάλος αριθμός δημοσιεύσεων και βιβλίων ακολούθησε με αντικείμενο την εφαρμογή των πεπερασμένων στοιχείων στην μηχανική, στα ρευστά, τη θερμότητα, την ακουστική, την κατεργασία των μετάλλων, τον ηλεκτρισμό και ηλεκτρομαγνητισμό και σε πολλές άλλες επιστήμες. Στην γεωτεχνική μηχανική αρχίζει να εφαρμόζεται από το δεύτερο μισό της δεκαετίας του 1960. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΜΠΣ Προκείμενου να διεξάγουμε και να επιλύσουμε ένα πρόβλημα μηχανικής με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ακολουθούντα οι τα παρακάτω βήματα: BHMA 1 o : Διακριτοποίηση της γεωμετρίας σε πεπερασμένα στοιχεία και επιλογή του είδους των στοιχείων Στο πρώτο βήμα, ο χώρος που καταλαμβάνει το υλικό σύστημα χωρίζεται σε υποχώρους (στοιχεία) με κόμβους που συνδέονται μεταξύ τους. τα στοιχεία μπορεί να είναι μονοδιάστατα, διδιάστατα η τρισδιάστατα ανάλογα με την εξιδανίκευση που επιλέγεται σύμφωνα με την φύση του προβλήματος. Επομένως επιλέγεται το είδος του στοιχείου που θα προσομοιώσει καλυτέρα την φυσική συμπεριφορά του υλικού.

235 Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων εξαρτάται από το μέγεθος και τον αριθμό των στοιχείων. Δηλαδή όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των στοιχείων και όσο μικρότερο το μέγεθος τους τόσο μεγαλύτερη η ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Θα πρέπει όμως να ληφθεί υπόψη πως μεγαλύτερη ακρίβεια σημαίνει και μεγαλύτερο υπολογιστικό κόστος. ο αριθμός, το μέγεθος και ο τύπος των στοιχείων έγκειται στην κρίση του μηχανικού, έτσι ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια με τον μικρότερο υπολογιστικό φόρτο. Στα δισδιάστατα προβλήματα του γεωτεχνικού μηχανικού συνήθως γίνεται χρήση τριγωνικών στοιχείων. Το κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία, χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό κόμβων που βρίσκεται πάνω στο στοιχείο. Με μεγαλύτερο αριθμό κόμβων επιλέγεται συνάρτηση παρεμβολής μεγαλύτερου βαθμού και η ακρίβεια είναι μεγαλύτερη. Για τον λόγο αυτό συνήθως γίνεται χρήση 15- κομβων τριγωνικών στοιχείων και όχι 6-κομβων. Σχήμα Β.1: Τριγωνικά στοιχεία (α) έξι κόμβων και (β) δεκαπέντε κόμβων. ΒΗΜΑ 2 ο : Επιλογή κύριων μεταβλητών Αν σε ένα υλικό σύστημα επιβληθεί μια δράση τότε αυτή ακολουθητέοι από μια αντίδραση. Παραδείγματος χάρη η επιβολή δύναμης η υδραυλικού φορτίου ακολουθητέοι από μια ροη (παροχή) και αντίστροφα. Συνεπώς οι μεταβλητές που χαρακτηρίζουν ένα σύστημα εμφανίζονται κατά αλληλένδετα ζεύγη. Για την επίλυση του προβλήματος θα πρέπει να επιλεγεί μια εκ των δυο μεταβλητών του κάθε ζεύγους. Αυτές ονομάζονται κυρίες η πρωτεύουσες μεταβλητές ενώ οι υπόλοιπες ονομάζονται εξαρτημένες η δευτερεύουσες. Για τα προβλήματα που αφορούν παραμορφώσιμα σώματα, οι κύριες μεταβλητές μπορεί να είναι οι μετατοπίσεις η οι τάσεις στους κόμβους, για προβλήματα ροής είναι οι πιέσεις του νερού των πόρων η