ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Με την ολοκλήρωση αυτής της ενότητας, θα είστε σε θέση: Να κατανοήσετε την ιδιότητα της συνέλιξης και τις τεχνικές επίλυσης των προβλημάτων υπολογισμού της συνέλιξης δύο σημάτων. 4

Περιεχόμενα ενότητας 1. Συνέλιξη Συνεχούς Χρόνου 2. Συνέλιξη Διακριτού Χρόνου 3. Ασκήσεις εξάσκησης από την τρίτη διάλεξη 4. Ασκήσεις για λύση από την τρίτη διάλεξη 5

Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΡΟΝΟΥ (Continuous time convolution)

Σχέση Μεταξύ Εισόδου Εξόδου Συστήματος Στην ενότητα αυτή θα διατυπώσουμε μια βασική σχέση της θεωρίας συστημάτων: τη σχέση της ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ. Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής μπορούμε να προσδιορίζουμε την έξοδο y(t) ενός γραμμικού συστήματος όταν γνωρίζουμε α) την είσοδο x(t) του συστήματος και β) την απόκριση του συστήματος, όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(t).

Το ολοκλήρωμα της συνέλιξης Για κάθε γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα συνεχούς χρόνου ισχύει ότι η απόκριση y(t) του όταν αυτό διεγείρεται από είσοδο x(t) δίνεται από τη σχέση: Y(t)= x(τ) h(t-τ)dτ = x(t) * h(t) Η συνάρτηση h(t), η οποία είναι η έξοδος του συστήματος όταν αυτό διεγείρεται από τη συνάρτηση δ(t) καλείται κρουστική απόκριση (impulse response) του συστήματος.

Ιδιότητες της Συνέλιξης (1) 1. Αντιμεταθετική ιδιότητα

Ιδιότητες της Συνέλιξης (2) 2. Προσεταιριστική ιδιότητα

Ιδιότητες της Συνέλιξης (3) 3. Επιμεριστική ιδιότητα

Ιδιότητες της Συνέλιξης (4) 4. Ταυτοτική ιδιότητα

Γραφικός προσδιορισμός της συνέλιξης (1) Για να υπολογίσουμε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης Y(t)= x (τ) h(t-τ)dτ.

Γραφικός προσδιορισμός της συνέλιξης (2) Για κάθε χρονική στιγμή t, ακολουθούμε τα βήματα: 1 Βήμα: Ανάκλαση. Σχεδιάζεται το σήμα h(-τ). Το σήμα h(-τ) δεν είναι παρά η ανάκλαση του σήματος h (τ) ως προς τον κατακόρυφο άξονα. 2o Βήμα: Χρονική Μετατόπιση. Σχεδιάζεται το σήμα h(t - τ). Το σήμα h(t-τ) προκύπτει μετατοπίζοντας το σήμα h(-τ) κατά t. 3o Βήμα: Πολλαπλασιασμός. Προσδιορίζεται το γινόμενο x(τ). h(t - τ) 4 Βήμα: Ολοκλήρωση ή Εμβαδομέτρηση. Ολοκληρώνεται το γινόμενο x(τ). h(t -τ) ή υπολογίζεται το εμβαδό της αλληλοεπικάλυψης των σημάτων x(τ) και h(t - τ). Το αποτέλεσμα είναι ίσο με την έξοδο του συστήματος y(t) την χρονική στιγμή t. 5 Βήμα: Επανάληψη. Επαναλαμβάνονται τα παραπάνω βήματα για τις διάφορες τιμές του χρόνου t.

Γραφική αναπαράσταση του συνελικτικού ολοκληρώματος (1) Ας θεωρήσουμε την κρουστική απόκριση του σχήματος

Γραφική αναπαράσταση του συνελικτικού ολοκληρώματος (2)

Γραφική αναπαράσταση του συνελικτικού ολοκληρώματος (3)

Γραφική αναπαράσταση του συνελικτικού ολοκληρώματος (4) Παρατηρούμε τις επικαλύψεις του h(t-τ) με την είσοδο x(t) και κάθε φορά ολοκληρώνουμε εδώ μεταξύ a και t.

Παράδειγμα #1 υπολογισμού της συνέλιξης

Το πρώτο βήμα περιλαμβάνει την ανάκλαση. Στο στάδιο αυτό επιλέγεται ένα από τα δύο σήματα (το απλούστερο, εδώ δεν έχει διαφορά γιατί τα δύο σήματα είναι ίδια) και σχεδιάζεται το συμμετρικό του ως προς τον κατακόρυφο άξονα. Λύση 1ο Βήμα

Λύση 2ο Βήμα

Λύση 3ο Βήμα Από την σχέση ορισμού της συνέλιξης προκύπτει ότι η τιμή της συνάρτησης y(t) -δηλαδή η τιμή της συνέλιξης των δύο σημάτων την χρονική στιγμή t- εξαρτάται από την αλληλοεπικάλυιμη που έχουν τα δύο σήματα την συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Επομένως για να υπολογιστεί η συνέλιξη για κάθε τιμή της μεταβλητής t, Θα πρέπει κανείς να φανταστεί ότι το σήμα h(t - τ) ολισθαίνει και `μετακινείται' σε σχέση με το σήμα x(t).

Λύση 4ο Βήμα (1)

Λύση Συνολικά

Παράδειγμα #2 Να υπολογιστεί η έξοδος ενός γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος που έχει κρουστική απόκριση: h t 1 t 0 t 1 0 όταν η είσοδος του είναι το σήμα: x t 1, 0 t 2 0,

Λύση (1)

Λύση (2)

Λύση (3) 3. Στην περίπτωση όπου η κατοπτρική μορφή της κρουστική απόκριση έχει μετατοπιστεί κατά 1 t<2. H έξοδος του συστήματος είναι ίση με: t y t 1 1 h t d 2 t 1 4. Στην περίπτωση όπου η κατοπτρική μορφή της κρουστική απόκριση έχει μετατοπιστεί κατά 2 t 3. H έξοδος του συστήματος είναι ίση με: 2 1 2 3 2 t y t 1 h t d t 1

Λύση (4) 5. Τέλος το γινόμενο h(t-τ)x (τ) είναι ίσο με μηδέν για κάθε τιμή του χρόνου t μεγαλύτερη ή ίση με 3 Η έξοδος, λοιπόν, του συστήματος είναι:

Γραφικό παράδειγμα συνέλιξης #1

Γραφικό παράδειγμα συνέλιξης #2

Β ΜΕΡΟΣ ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ (Discrete time convolution)

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - Συνέλιξη Convolution Sum

Γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα διακριτού χρόνου Το άθροισμα της συνέλιξης Για κάθε γραμμικό και χρονικά αναλλοίωτο σύστημα συνεχούς χρόνου ισχύει ότι η απόκριση y(n) του όταν αυτό διεγείρεται από είσοδο x(n) δίνεται από τη σχέση: Tο σήμα h(n), καλείται απόκριση μοναδιαίου δείγματος ή διακριτή κρουστική απόκριση.

Συνέλιξη Διακριτού Χρόνου Η πράξη η οποία συνδυάζει δύο σήματα x(n) και h(n) για το σχηματισμό του σήματος y(n), καλείται συνέλιξη διακριτού χρόνου και συμβολίζεται ως: y(n)= h(n)*x(n)

Ιδιότητες της συνέλιξης

Τεχνικές υπολογισμού συνέλιξης Υπάρχουν τρεις τεχνικές που χρησιμοποιούνται συνήθως για τον υπολογισμό της συνέλιξης δύο σημάτων πεπερασμένης διάρκειας: Αναλυτική Με πίνακα Μέθοδος του σβαρνίσματος Μια τέταρτη τεχνική, αρκετά πιο πολύπλοκη από τις τρεις παραπάνω, είναι η γραφική. Η γραφική τεχνική είναι η μόνη που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην περίπτωση που ένα από τα δύο σήματα είναι άπειρης διάρκειας.

Παράδειγμα υπολογισμού συνέλιξης

1. Λύση με Αναλυτική τεχνική (1)

2. Λύση με χρήση Πίνακα

3. Λύση με τη μέθοδο του σβαρνίσματος (1) Τεχνική του σβαρνίσματος: Τα διαδοχικά βήματα για τον υπολογισμό της y[η] είναι τα εξής: α. Σχεδιάστε τις ακολουθίες χ[k] και h[k]. β. Σχεδιάστε την ανάκλαση της h[k], δηλ την h[- k] γ. Μετατοπίστε την h[-k] αριστερά, έτσι ώστε το δεξιότερο μη-μηδενικό στοιχείο της h[-k] να συμπίπτει με το αριστερότερο μη-μηδενικό στοιχείο της χ[k].

3. Λύση με τη μέθοδο του σβαρνίσματος (2)

Παρατήρηση (1)

Αποσυνέλιξη (Deconvolution) Αποσυνέλιξη ή αναγνώριση του συστήματος είναι ο υπολογισμός της κρουστικής απόκρισης του συστήματος όταν είναι γνωστή η απόκρισή του σε άλλη κάποια διέγερση πλην της κρουστικής.

Παράδειγμα - Λύση

Παράδειγμα #1 υπολογισμού συνέλιξης στο MATLAB nx=0:10; x=0.5.^nx; nh=-1:4; h=ones(1,lengt h(nh)) y=conv(x,h); stem([min(nx)+ min(nh):max(nx)+max( nh)],y)

Παράδειγμα #2 υπολογισμού συνέλιξης στο MATLAB p=[0 ones(1,10) zeros(1,5)]; x=p; h=p; y=conv(x,h); n=-1:14; subplot(2,1,1),stem(n, x(1:length(n))) n=-2:24; subplot(2,1,2),stem(n, y(1:length(n)))

Παράδειγμα #1 υπολογισμού συνέλιξης στο MATLAΒ - Αποτέλεσμα

Animation παραδείγματα συνέλιξης Συνέλιξη 2 τετραγωνικών σημάτων Κάντε κλικ στην εικόνα.

Animation παραδείγματα συνέλιξης Κάντε κλικ στην εικόνα. Συνέλιξη 2 εκθετικών σημάτων

Animation παραδείγματα συνέλιξης Συνέλιξη τετραγωνικού και εκθετικού σήματος Κάντε κλικ στην εικόνα.

Animation παραδείγματα συνέλιξης Συνέλιξη τετραγωνικού και τριγωνικού σήματος Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ασκήσεις εξάσκησης από την τρίτη διάλεξη

Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί η συνέλιξη των παρακάτω διακριτών σημάτων. Άσκηση 1

Λύση της Άσκησης 1 (1)

Πρέπει να μελετήσουμε δύο περιπτώσεις Λύση της Άσκησης 1 (3)

Σχεδίαση της συνέλιξης των δύο διακριτών σημάτων Λύση της Άσκησης 1 (4)

Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί η συνέλιξη των παρακάτω διακριτών ακολουθιών: Άσκηση 2

Να βρεθεί η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων του σχήματος. Άσκηση 3

Αποτέλεσμα της συνέλιξης Λύση της Άσκησης 3 (7)

Οι ενέργειες της αντιστροφής και ολίσθησης μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιαδήποτε συνάρτηση. Παρατήρηση

Λύση της Άσκησης 3 (9) Αντιστρέφοντας και ολισθαίνοντας την x(t) αντί της h(t):

Λύση της Άσκησης 3 (13) Αντιστρέφοντας και ολισθαίνοντας την x(t) αντί της h(t). Τελικό αποτέλεσμα της συνέλιξης:

Ας υποθέσουμε ότι x(t)= h(t) = p(t), όπου p(t) είναι ο τετραγωνικός παλμός του σχήματος. Να υπολογιστεί η συνέλιξη x(t)*h(t). Άσκηση 4

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της συνέλιξης πρέπει να θεωρήσουμε τέσσερις περιπτώσεις: Λύση της Άσκησης 4 (1)

Περίπτωση 1: Λύση της Άσκησης 4 (2)

Να υπολογιστεί και σχεδιαστεί η συνέλιξη των παρακάτω αναλογικών σημάτων: Άσκηση 5

Λύση της Άσκησης 5 (1) Αντικαθιστούμε το t με στις f(t) και g(t) Επιλέγουμε να αντιστρέψουμε και ολισθήσουμε την g( ) αφού είναι απλούστερη και συμμετρική.

Να βρεθεί η συνέλιξη των δύο συναρτήσεων πύλης του σχήματος. Άσκηση 6

Ασκήσεις για λύση από την τρίτη διάλεξη

Ασκήσεις για Λύση (1)

Ασκήσεις για Λύση (2)

Τέλος Ενότητας