HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 2: Συστήματα διακριτού χρόνου

2 Συστήματα διακριτού χρόνου Σύστημα διακριτού χρόνου: Μετασχηματισμός Τ που μετατρέπει το σήμα εισόδου x[] στο σήμα εξόδου y[]: y[]=t{x[]} Παραδείγματα Σύστημα μετατόπισης (shift system) y[ ] = x[ d ] Σύστημα κινητού μέσου (movig average) g) M 2 y [ ] = x [ k] M + M + = 2 k M x[] T{.} y[] 2

3 Συστήματα διακριτού χρόνου x[] T{.} Κατηγορίες συστημάτων Στατικά/δυναμικά (Static/dyamic): Στατικό η έξοδόςy[] για κάθε εξαρτάται από την τιμή της εισόδου x[] την ίδια χρονική στιγμή μόνο, π.χ. y[] = (x[]) 2 Γραμμικά/ μη γραμμικά(liear/oliear): Γραμμικό ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης T{ ax[ ] + a2x2[ ]} = at { x[ ]} + a2t{ x2[ ]} a, a2 π.χ. το σύστημα συσσώρευσης (accumulator) y [ ] = [ ] είναι x γραμμικό (γιατί?) k = Χρονικά αμετάβλητα/ χρονικά μεταβλητά (Time ivariat/ time varyig): Χρονικά αμετάβλητο οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση 0 στην είσοδο x[] έχει ως αποτέλεσμα την ίδια χρονική μετατόπιση στην έξοδο y[], ή ισοδύναμα η απόκριση y[] σε μια συγκεκριμένη είσοδο x[] είναι ανεξάρτητη από το ποια ακριβώς χρονική στιγμή διεγείρουμε το σύστημα) Αν x [ ] y [ ] τότε x [ 0] y [ 0] π.χ. το σύστημα συσσώρευσης είναι χρονικά αμετάβλητο (γιατί?) y[] 3

4 Κατηγορίες συστημάτων Συστήματα διακριτού χρόνου x[] T{.} } y[] Αιτιατά/ μη αιτιατά (causal/ocausal): Αιτιατό Η έξοδος y[] για κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από τιμές της εισόδου x[k] στο παρόν και το παρελθόν (k ). Ισοδύναμα Οι μεταβολές της εξόδου ενός αιτιατού συστήματος έπονται των μεταβολών της εισόδου του Παράδειγμα: y [ ] = x [ d ] Αιτιατό για d 0, μη αιτιατό για d <0 Το σύστημα της εμπρός διαφοράς (forward differece) y [ ] = x [ + ] x [ ] δεν είναι αιτιατό, το σύστημα της όπισθεν διαφοράς (backward differece) y[ [ ] = x [ ] x [ ] είναι. Ευσταθή/ασταθή φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου (ΦΕΦΕ) (bouded iput bouded output (BIBO) stable) Για κάθε φραγμένη είσοδο x[], η έξοδος y[] είναι επίσης φραγμένη, δηλ. υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί Μ,Κ Κώστε: Αν x [ ] M τότε y [ ] K π.χ. το σύστημα y[] = (x[]) 2 είναι ευσταθές ΦΕΦΕ Ο συσσωρευτής είναι ευσταθές σύστημα? 4

5 Κατηγορίες συστημάτων Συστήματα διακριτού χρόνου x[] h y[] Γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (ΓΧΑ) συστήματα (Liear Time Ivariat (LTI) systems) Ιδιαίτερα σημαντική κλάση συστημάτων, λόγω των πολλών εφαρμογών και των αναλυτικών αποτελεσμάτων που ισχύουν γι αυτά Η συμπεριφορά των ΓΧΑ προσδιορίζεται πλήρως από την κρουστική τους απόκριση h[], η οποία ορίζεται ως η απόκρισή τους στην κρουστική συνάρτηση διακριτού χρόνου δ[] Για ένα γραμμικό σύστημα: superpositio y [ ] = T x [ k ] δ [ k ] = x [ kt ] { δ [ k ]} = x [ kh ] k [ ] k= k= k= όπου h k () είναι η απόκριση του συστήματος στον κρουστικό παλμό δ[ k] Αν επιπλέον το σύστημα είναι επιπλέον και χρονικά αμετάβλητο, ισχύει h k ()=h( k). Άρα για ΓΧΑ συστήματα: y [ ] = xkh [ ] [ k] = x [ ]* h [ ] k = Συνελικτικό άθροισμα (Covolutio sum) Το άθροισμα αυτό προσδιορίζει την απόκριση ενός ΓΧΑ συστήματος σε κάθε πιθανή είσοδο αν η κρουστική του απόκριση h[] είναι γνωστή. 5

6 6 Συνέλιξη Γραφική ερμηνεία

7 Συνέλιξη Η συνέλιξη είναι αντιμεταθετική (commutative), δηλ. x [ ]* h [ ] = h [ ]* x [ ] k= xkh [ ] [ k ] = hk [ ] x [ k ] k= x[] h y[] Πως υπολογίζουμε τη συνέλιξη μεταξύ δύο σημάτων? αντιστροφή (flip) μετατόπιση (shift) hk [ ] h [ k ] h [ k ] πολλαπλασιασμός (multiply) άθροιση (sum) x[ kh ] [ k] xkh [ ] [ k] k =. Αντιστροφή ως προς χρόνο του h[k] (ή του x[k]): h[ k] 2. Μετατόπιση κατά : h[ k] 3. Πολλαπλασιασμός με τις τιμές του x[] για τις οποίες υπάρχει επικάλυψη 4. Άθροιση των τιμών αυτών Η διαδικασία γίνεται για όλες τις τιμές του ( << ) 7

8 Παράδειγμα:, 0 N h [ ] = u [ ] u [ N] = 0, otherwise x [ ] = au [ ] αντιστροφή (flip) πολλαπλασιασμός (multiply) μετατόπιση (shift) hk [ ] h[ k] h [ k] άθροιση (sum) x[ kh ] [ k] xkh [ ] [ k] k = <0: Δεν υπάρχει επικάλυψη y [ ] = 0 0 N : + k a y [ ] = xkh [ ] [ k ] = a = k= N 0 k= a 0 Συνέλιξη N+ + N k a a N+ a y [ ] = a = = a k= N+ a a Σημείωση: Για πεπερασμένα αθροίσματα γεωμετρικών σειρών με λόγο α ισχύει: k a a a =, N N a N N N k= N 2

9 Τελικά λοιπόν: y[ ] a a = 0, < 0 +, 0 N N N+ a a, > N a Συνέλιξη 9

10 Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων x[ ]* h[ ] = h[ ]* x[ ] Αντιμεταθετική (commutative): Προσεταιριστική (associative): x[ ]*( h[ ]* h2[ ]) = ( x[ ]* h[ ])* h2[ ] Επιμεριστική (distributive): x[ ]*( h[ ] + h [ ]) = x[ ]* h[ ] + x[ ]* h [ ] Σύνδεση σε σειρά (cascade coectio) 2 2 h [ ] = h[ ]* h[ ] 2 x[] h [] h 2 [] y[] Παράλληλη σύνδεση (Parallel coectio) h [ ] = h[ ] + h[ ] x[] y[] 2 Ευσταθή ΦΕΦΕ ΓΧΑ συστήματα: Αναγκαία και ικανή συνθήκη για την κρουστική απόκριση k = hk [ ] < Αιτιατά ΓΧΑ συστήματα h[ [ ] = 0, < 0 Ορισμός: Ένα ΓΧΑ σύστημα λέγεται πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (fiite impulse respose (FIR) system) αν η κρουστική του απόκριση h[] είναι μη μηδενική σε πεπερασμένο αριθμό χρονικών στιγμών, έχει δηλαδή πεπερασμένη διάρκεια. Αν η h[] έχει άπειρη διάρκεια, το σύστημα λέγεται άπειρης κρουστικής απόκρισης (ifiite impulse respose (IIR) system). h [] h 2 2[ [] + 0

11 Παραδείγματα Σύστημα ιδεατής καθυστέρησης Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων FIR ή ΙIR? FIR, Αιτιατό? ΝΑΙ, Ευσταθές ΦΕΦΕ? ΝΑΙ Σύστημα εμπρός διαφοράς (forward differece) FIR ήιir? FIR, Αιτιατό? OXI, Ευσταθές ΦΕΦΕ? ΝΑΙ Σύστημα πίσω διαφοράς (backward differece) FIR ή ΙIR? FIR, Αιτιατό? NAI, Ευσταθές ΦΕΦΕ? ΝΑΙ

12 Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων Παραδείγματα Σύστημα κινητού μέσου (movig average) M 2 y [ ] = x [ k] M + M 2 + k= M M 2 h [ ] = δ[ k] = M + M + 2 k= M, M M2 = M+ M2 + 0, αλλιώς FIR ήιιr? FIR, Αιτιατό? όταν M 0, M 2 0, Ευσταθές ΦΕΦΕ? ΝΑΙ Σύστημα συσσωρευτή (accumulator) FIR ή ΙΙR? IIR, Αιτιατό? NAI, Ευσταθές ΦΕΦΕ? OXI 2

13 Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων Τα συστήματα FIR είναι πάντα ευσταθή αν οι τιμές της κρουστικής τους απόκρισης είναι πεπερασμένες Τα συστήματα IIR κάποιες φορές είναι ευσταθή, π.χ. αν τότε οπότε το σύστημα είναι ευσταθές ΦΕΦΕ. Αν α >, το σύστημα είναι ασταθές Παράδειγμα: Λόγω των παραπάνω ιδιοτήτων, τα 3 συστήματα του σχήματος είναι πανομοιότυπα και η συνολική κρουστική απόκριση είναι: h [ ] = ( δ[ + ] δ[ ])* δ[ ] = = δ[ ]*( δ[ + ] δ[ ]) = = δ[ ] δ[ ] Σημείωση: Συνέλιξη με το κρουστικό σήμα x [ ]* δ[ ] = x [ ] d d 3

14 Ιδιότητες ΓΧΑ συστημάτων Αντίστροφο σύστημα (Iverse system) του συστήματος με κρουστική απόκριση h[]: Ένα σύστημα το οποίο αν συνδεθεί σε σειρά με το h[] προκύπτει το μοναδιαίο σύστημα, με άλλα λόγια η συνολική κρουστική απόκριση είναι δ[]: h[ ]* h [ ] = h [ ]* h[ ] =δ[ ] i i Παράδειγμα: Το αντίστροφο σύστημα του συσσωρευτή είναι το σύστημα της όπισθεν διαφοράς (backward differece) h [ ] = u [ ]*( δ[ ] δ[ ]) = = u [ ] u [ ] = = δ[ ] 4

15 Εξισώσεις διαφορών (differece equatios) Ένας εναλλακτικός τρόπος αναπαράστασης ΓΧΑ συστημάτων διακριτού χρόνου είναι η χρησιμοποίηση γραμμικών εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές (κατ αναλογία με τις διαφορικές εξισώσεις σε συνεχή χρόνο), οι οποίες έχουν τη γενική μορφή: Παράδειγμα: Ο συσσωρευτής Αναδρομική αναπαράσταση η( (recursive represetatio) 5

16 Εξισώσεις διαφορών (differece equatios) Όπως και στην περίπτωση διαφορικών εξισώσεων, η γενική λύση μιας εξίσωσης διαφορών είναι το άθροισμα της ομογενούς λύσης και μιας μερικής λύσης, δηλ.: y [ ] = yh[ ] + yp[ ] όπου y h [] είναι η λύση της ομογενούς εξίσωσης διαφορών: N k = 0 ay[ k] = 0 k h Η λύση της ομογενούς είναι της μορφής: N h[ ] = Amzm m= y όπου z m είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης της ομογενούς, δηλ της: az az a N = 0 Αν κάποια ρίζα έχει πολλαπλότητα Κ τότε σε αυτή τη ρίζα αντιστοιχεί όρος της K K 2 μορφής ( A + A A K ) zm στην λύση της ομογενούς Παραδείγματα:. Ομογενής y [ ] y [ ] 6 y [ 2] = 0 2 Χαρακτηριστική εξίσωση z z 6= 0 Ρίζες 2 και 3, άρα: yh[ ] = A( 2) + A23 6

17 Εξισώσεις διαφορών (differece equatios) Παραδείγματα: 2. Ομογενής y [ ] + 6 y [ ] + 2 y [ 2] + 8 y [ 3] = Χαρακτηριστική εξίσωση z + 6z + 2z+ 8= 0 2 Ρίζα 22 με πολλαπλότητα 3, άρα: y h [ ] = ( A + A2+ A3)( 2) Σημείωση: Μπορούμε να βρούμε τις ρίζες ενός πολυωνύμου με την εντολή roots στο Matlab Πως προσδιορίζουμε τις τιμές των Α m? Βοηθητικές (αρχικές) συνθήκες (auxilliary (iitial) coditios). Χρειάζονται τέτοιες συνθήκες για μια εξίσωση διαφορών τάξης, με άλλα λόγια χρειαζόμαστε τα y[ ],y[ 2],,y[ N]. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα N εξισώσεων με N αγνώστους (τα Α m ) Μερική λύση: Αυτή εξαρτάται από τη μορφή της εισόδου x[]. Αν ορίσουμε με f() το δεύτερο μέλος της εξίσωσης διαφορών τότε: 2 Αν η f[] είναι της μορφής f + f2+ f3 αναζητούμε μερική λύση με την ίδια 2 μορφή δηλ y [ p ] = p + p2+ p3 k k Αν η f[] είναι της μορφής ( f + f f k + f k+ ) β και το βδ δεν είναι k k ρίζα της χαρ/κης εξίσωσης αναζητούμε yp[ ] = ( p + p pk+ pk+ ) β k k Αν η f[] είναι της μορφής ( f + f f k + fk+ ) β και το β είναι ρίζα της χαρ/κης εξίσωσης με πολλ/τα Κ αναζητούμε K k k y [ ] = ( p + p p + p ) β p 2 k k+ 7

18 Εξισώσεις διαφορών (differece equatios) Παράδειγμα: y [ ] 2 y [ ] = 3 x [ ] = 3 2 Λύση ομογενούς y [ h ] = A 2 Αναζητούμε μερική λύση της μορφής y [ ] 2 p = p Αντικαθιστούμε στην εξίσωση: p2 2( ) p2 = 3 2 p = 3 Γενική λύση: y [ ] = A Μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις διαφορών με το μετασχηματισμό Ζ (επόμενο κεφάλαιο) Μπορούμε επίσης να βρούμε τις τιμές της εξόδου y[] αναδρομικά ξεκινώντας από τις αρχικές συνθήκες και προχωρώντας ανά μια χρονική στιγμή, δηλ. υπολογίζουμε το y[0] από τις y[ ],,y[ N], μετά την y[] από τις y[0],,y[ N+] κ.ο.κ. Μια εξίσωση διαφορών δεν αντιστοιχεί απαραίτητα σε ΓΧΑ σύστημα. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει να βρίσκεται σε αρχικές συνθήκες ηρεμίας, δηλ. θα πρέπει αν η είσοδος είναι μηδενική πριν από κάποια χρονική στιγμή 0 θα πρέπει και η έξοδος να είναι μηδενική για < 0. Τότε το σύστημα θα είναι ΓΧΑ και αιτιατό. 8

19 Εξισώσεις διαφορών (differece equatios) Αν στην αρχική εξίσωση Ν=0, τότε δεν χρειαζόμαστε βοηθητικές συνθήκες και απλά έχουμε M b k y [ ] = x [ k] k = 0 a0 Η κρουστική απόκριση του συστήματος που αντιστοιχεί σε αυτή την εξίσωση είναι M bk h [ ] = [ k] k 0 a δ = 0 επομένως αντιστοιχεί σε αιτιατό σύστημα FIR. 9