ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Καθαρή Κάμψη Κωνσταντίνος Ι. Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2
1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Η μηχανική δοκιμή της καθαρής κάμψης... 5 4. Χρήσιμα μεγέθη κάμψης... 7 5. Κάμψη προβόλου... 8 6. Ελαστοπλαστική Συμπεριφορά... 12 7. Παραμορφώσεις σε ένα συμμετρικό μέλος που υπόκειται σε καθαρή κάμψη Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. 3
1. Σκοποί ενότητας Η παρουσίαση της καθαρής κάμψης η οποία αποτελεί μία εκ των βασικότερων μηχανικών δοκιμών που πραγματοποιούνται σε μεταλλικά και μη μεταλλικά υλικά. 2. Περιεχόμενα ενότητας Η μηχανική δοκιμή της καθαρής κάμψης Χρήσιμα μεγέθη κάμψης Κάμψη προβόλου Ελαστοπλαστική Συμπεριφορά Παραμορφώσεις σε ένα συμμετρικό μέλος που υπόκειται σε καθαρή κάμψη 4
3. Η μηχανική δοκιμή της καθαρής κάμψης Η μηχανική δοκιμή της καθαρής κάμψης αποτελεί μία εκ των βασικότερων μηχανικών δοκιμών που πραγματοποιούνται σε μεταλλικά και μη μεταλλικά υλικά. Ο επιθετικός προσδιορισμός καθαρή δηλώνει την ύπαρξη αποκλειστικά και μόνο καμπτικών ροπών στην φορτισμένη δοκό, με τελικό αποτέλεσμα την κάμψη της και την ανάπτυξη ορθών μηχανικών τάσεων, οι οποίες δεν οφείλονται σε αξονικά φορτία, αλλά σε καμπτικές ροπές, γι αυτό και καλούνται καμπτικές τάσεις ή ορθές τάσεις λόγω κάμψης. Συνοπτικά, οι συνθήκες που πρέπει να πληρούνται ώστε να αναπτυχθούν συνθήκες καθαρής κάμψης σε μία δοκό είναι οι ακόλουθες: ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM k 0 ΣM t = 0 Στο άνω σχήμα απεικονίζεται η δοκιμή της κάμψης τριών σημείων (3 point bending test), κατά την οποία η δοκός στηρίζεται αμφιέρειστα ή ως αμφιπροέχουσα και φέρει στο μέσον της σημειακό φορτίο P. Kατά την ανωτέρω φόρτιση και από την επίλυση των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας καθώς και από τον προσδιορισμό και τον σχεδιασμό του διαγράμματος καμπτικών ροπών, προκύπτουν τα ακόλουθα: [M] 5
M max = P L 4 Οι βασικές παραδοχές της καθαρής κάμψης είναι οι ακόλουθες: 1. Το ύψος h της διατοµής της δοκού είναι µικρότερο από το µισό του ανοίγματος A (h< A/2). 2. Υπάρχει τουλάχιστον ένας άξονας συμμετρίας. 3. Ο ουδέτερος άξονας της δοκού (διαμήκης), ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα βάρους των διατοµών, είναι ευθύγραμμος, όταν η δοκός είναι αφόρτιστη. 4. Τα εξωτερικά φορτία είναι κάθετα στον άξονα της δοκού και βρίσκονται στο επίπεδο φόρτισης ή καµπτόµενο επίπεδο, που συμπίπτει µε το επίπεδο συμμετρίας της δοκού (διαφορετικά θα έχουµε σύνθετη κατάσταση). 5. Η δοκός είναι από υλικό µε ίδιο µέτρο ελαστικότητας (Ε) σε εφελκυσµό και θλίψη και οι αναπτυσσόμενες τάσεις είναι µικρότερες του ορίου αναλογίας του υλικού, άρα ισχύει ο Νόµος του Hooke. 6. Οι διατοµές (κάθετες τοµές στον άξονα είναι επίπεδες, όταν η δοκός είναι απαραµόρφωτη και παραµένουν επίπεδες και κάθετες στον άξονα, ακόµα κι όταν αυτός καµπυλώνεται µετά τη φόρτιση (υπόθεση των Bernoulli-Navier). 6
4. Χρήσιμα μεγέθη κάμψης Η ροπή αδράνειας (ή γωνιακή μάζα) είναι μέγεθος της μηχανικής και εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής. Συμβολίζεται με Ι και έχει διαστάσεις μάζας επί μήκος στο τετράγωνο (σε μονάδες διεθνούς συστήματος kg m2). Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της απόστασης τους από έναν άξονα. Η γενική σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ενός συστήματος Ν σωματιδίων είναι η: όπου, η μάζα και απόσταση από τον άξονα περιστροφής του i-οστού σωματιδίου. Στη περίπτωση μίας συνεχούς κατανομής μάζας, η ροπή αδράνειας ενός στερεού γνωστής πυκνότητας μάζας ρ ορίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα Η ροπή αδράνειας έχει στην περιστροφική κίνηση την σημασία που έχει η μάζα στην γραμμική. Συγκεκριμένα, η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας σχετίζεται με την ικανότητα που έχουν τα σώματα να αντιστέκονται σε μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης. Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα, τόσο δυσκολότερα περιστρέφεται. Η ροπή αδράνειας ορίζεται πάντοτε ως προς κάποιον άξονα περιστροφή. : απόσταση του σημείου με τάση σ από τον παραπάνω άξονα. Απουσία αξονικών δυνάμεων ο άξονας της ροπής αδράνειας ταυτίζεται με τον ουδέτερο άξονα της διατομής. H μέγιστη ορθή τάση:. Η δεν μπορεί να ξεπερνά μια τιμή που είναι χαρακτηριστική για το υλικό. Στα ψαθυρά υλικά μιλάμε για τη θλιπτική ή εφελκυστική αντοχή του ενώ στα όλκιμα υλικά για το όριο διαρροής. Από αυτόν τον περιορισμό προκύπτει η μέγιστη ελαστική ροπή στο στοιχείο. Κατά το σχεδιασμό στοιχείων με επιτρεπόμενες τάσεις η χαρακτηριστική τάση του υλικού μειώνεται σε κάποιο ποσοστό που δίνεται από τον συντελεστή ασφαλείας. Στόχος είναι να καλυφθεί η αβεβαιότητα της πραγματικής αντοχής και να μειωθεί η πιθανότητα αστοχίας. παρακάτω παρουσιάζονται οι ορθές τάσεις σε διατομή που κάμπτεται λόγω συγκεντρωμένης ροπής σχηματικά στο σχήμα 10.: 7
5. Κάμψη προβόλου Ελεύθερη κάμψη, κατά την οποία το έλασμα έρχεται σε επαφή με τρεις μόνο περιοχές του εργαλείου και η γωνία κορυφής του πάνω τμήματος του εργαλείου (έμβολο) είναι πάντοτε μικρότερη της γωνίας κάμψης 8
Κάμψη - V, κατά την οποία οι γωνίες των δύο τμημάτων του εργαλείου είναι ίσες και το έλασμα στο τέλος της διαδρομής έχει πλήρη επαφή με τις αντίστοιχες επιφάνειες του εργαλείου (αντίθλιψη), Διπλή κάμψη ή κάμψη U Ελεύθερη κάμψη, κατά την οποία δεν υπάρχει καμία αντίθλιψη στο τέλος της διαδρομής του εμβόλου, με αποτέλεσμα ο πυθμένας του τεμαχίου να διαμορφώνεται έντονα κυρτός προς τα κάτω. Κλειστή κάμψη με αντίθλιψη στο τέλος της διαδρομής, κατά την οποία ο πυθμένας του τεμαχίου παρουσιάζεται στο τέλος της διαμόρφωσης ελαφρά κυρτός προς τα πάνω. Κλειστή κάμψη με συγκράτηση (μέσω ελατηρίων ή πνευματική), κατά την οποία ο πυθμένας του τεμαχίου είναι σχεδόν επίπεδος. Η διάταξη συγκράτησης χρησιμοποιείται ταυτόχρονα και για την εξόλκευση του τεμαχίου. Περιστροφική κάμψη, κατά την οποία χρησιμοποιείται εργαλείο στροφής (στροφέας) τμήματος του ελάσματος 9
Κάμψη μεταξύ ραούλων κατά την οποία με κατάλληλη μετάθεση και περιστροφή των ραούλων μεταξύ των οποίων ευρίσκεται το κατεργαζόμενο έλασμα, αλλάζει η καμπυλότητά του. 1) η ουδέτερη γραμμή είναι κεντροβαρικός άξονας της διατομής και τη διαχωρίζει σε εφελκυόμενο και θλιβόμενο τμήμα 2) όταν τα φορτία ενεργούν στο επίπεδο που περιέχει τον ένα κύριο άξονα αδράνειας της διατομής, ουδέτερη γραμμή είναι ο άλλος κύριος άξονάς της Στο[Σχ. 5] φαίνεται η τριγωνική κατανομή των ορθών τάσεων. Όταν Μz>0 τότε οι άνω είναι θλιπτικές και οι κάτω εφελκυστικές. Στη γενική κάμψη οι σχέσεις (2) γίνονται: 10
Ενώ στην περίπτωση συμμετρικής διατομής ως προς την ουδέτερη γραμμή έχουμε: Η ακτίνα καμπυλότητας δίνεται από : Ενώ η ολική γωνία στροφής από : Στην περίπτωση της καθαρής κάμψης (Μz = σταθερό), από την (4) προκύπτει ότι 1/R = σταθερά, δηλαδή η ελαστική γραμμή είναι τόξο κύκλου. Στην περίπτωση γενικής κάμψης έχουμε την διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής Όπου y=f το βέλος κάμψης. Η διαφορική εξίσωση της ελαστικής γραμμής ισχύει εφόσον στις προϋποθέσεις που ήδη έχουμε θέσει παραπάνω προσθέσουμε ακόμη τις εξής: 1) Η καμπυλότητα σε κάθε σημείο εξαρτάται μόνο από της τιμή της καμπτικής ροπής Μb 2) Το μέγιστο βέλος κάμψης είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με το μήκος l της δοκού 3) Το μήκος I της δοκού και το ύψος h της διατομής βρίσκονται στη σχέση : 10 h 1 20 h 4) Το ύψος h της διατομής και το πλάτος της b βρίσκονται στη σχέση : h 4 b 11
Με τις τελευταίες παραδοχές περιορίζουμε το μέγεθος των παραμορφώσεων (στρεβλώσεων των διατομών) που έχουμε εξαιτίας των αναπτυσσόμενων διατμητικών τάσεων στη γενική κάμψη. Με διάφορους τρόπους μπορούμε να προσδιορίσουμε σε κάθε δοκό την αλγεβρική εξίσωση της ελαστικής γραμμής, ξεκινώντας από τη διαφορική της εξίσωση. Έτσι για απλές δοκούς έχω τον Πίνακα 1: Πίνακας 1. 6. Ελαστοπλαστική Συμπεριφορά Όπως έχουμε αναφέρει στις περιπτώσεις διατομών όπου η ουδέτερη γραμμή αποτελεί άξονα συμμετρίας ισχύει : Όπου η Wz ονομάζεται ροπή αντίστασης της διατομής και είναι καθαρά μέγεθος που εξαρτάται από την γεωμετρία της διατομής. Π.χ. Κυκλική διατομή διαμέτρου d 12
Ορθογωνική διατομή Η ροπή αντίστασης από φυσική άποψη αποτελεί μέτρο της μέγιστης ικανότητας μιας δοκού να φέρει καμπτικές ροπές στην ελαστική περιοχή. Όταν η φόρτιση αυξηθεί πέρα από τα όρια αναλογίας και ελαστικότητας, παρατηρούμε αύξηση της ταχύτητας με την οποία μεταβάλλονται οι παραμορφώσεις, καθώς και την εμφάνιση πλαστικών παραμορφώσεων. Συγκεκριμένα, αρχίζει από τις έξω-έξω εφελκυόμενες και θλιβόμενες ίνες, η είσοδος διαδοχικών τμημάτων της διατομής στην πλαστική περιοχή, μέχρι να πλαστικοποιηθεί πλήρως [Σχ.6]. Η είσοδος των πρώτων εξωτερικών ινών στην πλαστική περιοχή θα συμβεί όταν το μέγεθος της τάσης από κάμψη σmax φτάσει στο όριο διαρροής σδ του υλικού. 13
7. Παραμορφώσεις σε ένα συμμετρικό μέλος που υπόκειται σε καθαρή κάμψη Ας αναλύσουμε τώρα τις παραμορφώσεις ενός πρισματικού μέλους που έχει ένα επίπεδο συμμετρίας και υπόκειται στα άκρα του σε ίσα και αντίθετα ζεύγη Μ και Μ τα οποία δρουν στο επίπεδο συμμετρίας. Το μέλος θα καμφθει υπό την επίδραση των ζευγών, αλλά θα παραμείνει συμμετρικό ως προς το επίπεδο αυτό (σχ 4.7). Επιπλέον επειδή η ροπή κάμψης Μ είναι ίδια με οποιαδήποτε εγκάρσια διατομή, το μέλος θα καμφθει ομοιόμορφα. Έτσι η γραμμή ΑΒ κατά μήκος της οποίας η ανω επιφάνεια του μέλους τέμνει το επίπεδο των ζευγών θα έχει σταθερή καμπυλότητα. Με άλλα λόγια, η γραμμή ΑΒ, η οποία ήταν αρχικά ευθεία, θα μετασχηματίσει σε ένα τόξο κύκλου με κέντρο το C και το ίδιο θα συμβεί και στην γραμμή Α Β (δεν φαίνεται στο σχήμα) κατά μήκος της οποίας η κάτω επιφάνεια του μέλλους τέμνει το επίπεδο συμμετρίας. Επίσης, σημειώνουμε ότι το μήκος της γραμμής ΑΒ θα μειωθεί όταν το μέλλος κάμπτεται όπως δείχνει το σχήμα δηλαδή, όταν Μ>0 ενώ η Α Β θα επιμηκυνθεί. Στη συνεχεία, θα αποδείξουμε ότι οποιαδήποτε εγκάρσια διατομή η οποία είναι κάθετη στον άξονα του μέλους παραμένει επίπεδη, και ότι αυτό το επίπεδο της διατομής διέρχεται από το C. Αν δεν ίσχυει αυτό, θα μπορούσαμε να βρούμε ένα σημείο Ε της αρχικής διατομής που διέρχεται απ το D (Sx. 4.8α) το όποιο, αφού το μέλος έχει καμφθει, δεν θα βρίσκεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στο επίπεδο συμμετρίας που περίεχε την γραμμήcd (Σχ 4.8b) Άλλα εξαιτίας της συμμετρίας του μέλους, θα υπάρχει ένα άλλο σημείο Ε το οποίο θα μετασχηματιστεί ακριβώς κατά τον ίδιο τρόπο. Ας υποθέσουμε ότι, αφού η δοκός έχει καμφθει, τα δυο σημεία θα βρίσκονται αριστερά του επίπεδου που ορίζεται από την CD, όπως φαίνεται στο σχ4.8b. Επειδή η ροπή κάμψης Μ είναι ίδια σε όλο το μέλος, μια όμοια κατάσταση θα επικρατούσε σε οποιαδήποτε άλλη εγκάρσια διατομή και τα σημεία που αντιστοιχούν στα Ε και Ε θα μετατοπίζονταν επίσης προς τα αριστερά. Έτσι ένας παρατηρητής στο Α θα έβγαζε το συμπέρασμα ότι η φόρτιση αναγκάζει τα σημεία Ε και Ε στις διαφορές εγκάρσιες διατομές να μετατοπίσουν προς τα εμπρός (προς τον παρατηρητή). Αλλά ένας παρατηρητής στο 14
Β, στον οποίο η φόρτιση μοιάζει να είναι ίδια και ο όποιος παρατήσει τα σημεία Ε και Ε στις ίδιες θέσεις (εκτός του ότι έχουν αντιστραφεί τώρα ) θα κατέληγε σε αντίθετο συμπέρασμα. Αυτή η αντίφαση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα Ε και Ε θα βρίσκονται στο επίπεδο που ορίζεται από την CDκαι, ως εκ τούτου, ότι η διατομή παραμένει επίπεδη και διέρχεται από το C. Θα πρέπει να επισημάνουμε, εντούτοις ότι αυτός ο συλλογισμός δεν αποκλείει την πιθανότητα παραμορφώσεων μέσα στο επίπεδο της διατομής Ας υποθέσουμε τώρα ότι το μέλος διαιρείται σε ένα μεγάλο αριθμό μικρών κυβικών στοιχείων με έδρες παράλληλες αντίστοιχα στα τρία επίπεδα συντεταγμένων. Η ιδιότητα που έχουμε επιδείξει, απαιτεί αυτά τα στοιχειά να μετασχηματιστούν όπως φαίνεται στο σχ 4.9 όταν το μέλος υπόκειται ζεύγη Μ και Μ. Επειδή όλες οι επιφάνειες που παριστάνονται στα δυο σχεδία του σχ4.9 σχηματίζουν γωνία 90ομεταξύ τους, συμπεραίνουμε ότι υχυ= υζχ=0και έτσι τχυ = τχz = 0. Όσον αφορά στις τρεις συνιστώσες της τάσης που δεν έχουμε συζητήσει ακόμη, δηλαδή τις σyσzκαι τyz, επισημαίνουμε ότι πρέπει να είναι μηδενικές στην επιφάνεια του μέλους. Επειδή όμως οι παραμορφώσεις που εμπλέκονται δεν απαιτούν καμία αλληλεπίδραση μεταξύ των στοιχείων μιας δεδομένης εγκάρσιας διατομής, μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτές οι τρεις συνιστώσες της τάσης είναι ίδιες με το μηδέν σε όλο το μέλος. Αυτή η υπόθεση επαληθεύεται τόσο πειραματικά όσο και με την βοήθεια της θεωρίας ελαστικότητας, για επιμήκεις πρισματικές δοκούς που υφίστανται μικρές παραμορφώσεις. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η μόνη μη μηδενική συνιστώσα της τάσης που ασκείται σε οποιοδήποτε μικρό κυβικό στοιχειό που θεωρήσαμε εδώ, είναι η ορθή συνιστώσα σχ. Έτσι, σε κάθε σημείο ενός λεπτού μέλους που βρίσκεται σε καθαρή κάμψη, έχουμε μια κατάσταση ομοαξονικής τάσης (uniaxial stress). Ενθυμούμενοι ότι για Μ>0 οι γραμμές ΑΒ και Α Β παρατηρούνται ότι μειώνονται και αυξάνονται σε μήκος, αντίστοιχα, συμπεραίνουμε ότι η τροπή εx και η τάση σxείναι αρνητικές στο άνω τμήμα του μέλους (θλίψη) και θετικές στο κάτω τμήμα (εφελκυσμός) Από τα παραπάνω έπεται ότι πρέπει να υπάρχει μια επιφάνεια παράλληλη προς την άνω και κάτω επιφάνεια του μέλους, όπου οι εx και σx είναι μηδενικές. Η επιφάνεια αυτή ονομάζεται ουδέτερη επιφάνεια (neutral surface). Η ουδέτερη επιφάνεια τέμνει το επίπεδο συμμετρίας κατά μήκος ενός τόξου κύκλουde(σχ 4.10α)και μια εγκάρσια διατομή κατά μήκος μιας ευθείας που ονομάζεται ουδέτερος άξονας (neutrall axis) της διατομής (σχ4.10 b). Τώρα, θα επιλέξουμε την αρχή των αξόνων συντεταγμένων 15
πάνω στην ουδέτερη επιφάνεια οποιουδήποτε σημείου από την ουδέτερη επιφάνεια να μετριέται στην y συντεταγμένη του. Συμβολίζοντας με ρ την ακτίνα τόξουde (σχ 4.10 α), με θ την επικεντρη γωνία που αντιστοιχεί στο DEκαι παρατηρώντας ότι το μήκος του τόξου DE ισούται με το μήκοςlτου απαραμορφωτου μέλους, έχουμε L=ρ*θ Θεωρώντας τώρα τόξο JK που βρίσκεται σε απόστασηyπάνω από την ουδέτερη επιφάνεια, σημειώνουμε ότι το μήκος L είναι L =(ρ-y)*θ Επειδή το αρχικό μήκος του τόξου JK ήταν ισο με L η παραμόρφωση του JKθα είναι η αν αντικαταστήσουμε δ=l -L δ=(ρ-y)θ-ρ*θ=-y*θ Η διαμήκης τροπή εχ στα στοιχεία του JK προκύπτει διαιρώντας το δ με το αρχικό μήκος L του JK. Οπότε εχ=δ/l =(-υ*θ)/(ρ*θ) ή εx=-y/ρ Το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι η ροπή κάμψης είναι θετική, και συνεπώς ότι η δοκός στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω. Εξαιτίας της απαίτησης να παραμένουν επίπεδες οι εγκάρσιες διατομές, οι ίδιες ακριβώς παραμορφώσεις θα εμφανίζονται σε όλα τα επίπεδα που είναι παράλληλα με το επίπεδο συμμετρίας. Έτσι, η έκφραση της τροπής εx ισχύει οπουδήποτε και κατά συνέπεια συμπεραίνουμε ότι η διαμήκης ορθή τροπή εx (longitudinal normal stress) μεταβάλλεται γραμμικά με την απόσταση y από την ουδέτερη επιφάνεια. Η τροπή εx φτάνει στη μεγίστη απόλυτη τιμή της όταν το y είναι μέγιστο. συμβολίζοντας με cτη μεγίστη απόσταση από την ουδέτερη επιφάνεια (η οποία αντιστοιχεί είτε στην άνω είτε στην κάτω επιφάνεια του μέλους) και με ε mτην μεγίστη απόλυτη τιμή της τροπής, έχουμε εm=c/ρ εχ = -y/c*εm 16