ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος µεγέθους, που έχου µέση τιµή x Σχηµατίζουµε τις διαφορές t 1 x, t 2 x,..., t x. Να αποδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος τω διαφορώ αυτώ είαι ίσος µε µηδέ. Μοάδες 7 Α2. Α x 1, x 2,..., x είαι οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος µεγέθους και w 1, w 2,..., w n είαι οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθµισης (ϐαρύτητας), α ορίσετε το σταθµικό µέσο της µεταβλητής X. Μοάδες 4 Α3. Εστω Ω ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης. Να δώσετε τους ορισµούς του ϐέβαιου εδεχοµέου και του αδύατου εδεχοµέου. Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασµέη. α) Α οι συαρτήσεις f, g έχου στο x 0 όρια πραγµατικούς αριθµούς, τότε ( ) lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x). x x 0 x x0 x x0 ϐ) Για κάθε x > 0 ισχύει ( x ) = 1 x. γ) Η ταχύτητα εός κιητού που κιείται ευθύγραµµα και η ϑέση του στο άξοα κίησής του εκφράζεται από τη συάρτηση x = f(t), τη χροική στιγµή t 0 είαι υ(t 0 ) = f (t 0 ). δ) Μια συάρτηση f λέγεται γησίως ϕθίουσα σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, ότα για οποιαδήποτε σηµεία x 1, x 2 µε x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) < f(x 2 ). ε) Η διάµεσος είαι έα µέτρο ϑέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. Μοάδες 10 Νικόλαος. Κατσίπης 1
ΘΕΜΑ Β. ίεται η συάρτηση f(x) = 2 x 2 x + 1 1, x R. Β1. Να υπολογίσετε το f(x) 1 lim x 1 x 1. Μοάδες 10 Β2. Να υπολογίσετε το συτελεστή διεύθυσης της εφαπτοµέης της γρα- ϕικής παράστασης της συάρτησης f στο σηµείο της µε τετµηµέη x 0 = 0. Μοάδες 10 Β3. Να υπολογίσετε τη γωία που σχηµατίζει η παραπάω εφαπτοµέη µε το άξοα x x. Μοάδες 5 ΘΕΜΑ Γ. Οι τιµές της απώλειας ϐάρους, σε κιλά, 160 ατόµω, τα οποία ακολούθησα έα πρόγραµµα αδυατίσµατος, έχου οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εµφαίζοται στο παρακάτω πίακα ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ i [0,...)... 20 [...,...) 6 40 [...,...)... 45 [...,...)... 30 [...,...)... 25 ΣΥΝΟΛΟ - 160 Γ1. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είαι ίσο µε 4. Μοάδες 6 Γ2. Αφού µεταφέρετε στο τετράδιό σας το παραπάω πίακα σωστά συµπληρωµέο, α υπολογίσετε τη µέση τιµή x και τη τυπική απόκλιση s. Γ3. Να εξετάσετε α το δείγµα είαι οµοιογεές. Μοάδες 8 Μοάδες 5 Γ4. Α κάθε άτοµο έχει τη ίδια πιθαότητα α επιλεγεί, α υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχοµέου Α : η απώλεια ϐάρους εός ατόµου που επιλέχθηκε τυχαία α είαι από 7 µέχρι και 14 κιλά. Νικόλαος. Κατσίπης 2
ίεται ο τύπος Μοάδες 6 s 2 = 1 [ k x 2 i i ( k ) 2 x i i ]. ΘΕΜΑ. Εστω A, B δύο εδεχόµεα εός δειγµατικού χώρου Ω µε ατίστοιχες πιθαότητες P (A), P (B) και η συάρτηση f(x) = ln(x P (A)) 1 2 (x P (A))2 + P (B), x > P (A). 1. Να µελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα. Μοάδες 13 2. Α η συάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο x 0 µε τιµή f(x o ) = 0, α αποδείξετε ότι P (A) = 2 3 και P (B) = 1 2. Μοάδες 2 Λαµβάοτας υπόψη το ερώτηµα 2 και επιπλέο ότι P (A B) = 5 6, α ϐρείτε τη πιθαότητα 3. α µη πραγµατοποιηθού ταυτόχροα τα εδεχόµεα A, B. 4. α πραγµατοποιηθεί µόο έα από τα εδεχόµεα A, B. Μοάδες 5 Μοάδες 5 Νικόλαος. Κατσίπης 3
Εδεικτικές Απατήσεις ΘΕΜΑ Α. ΘΕΜΑ Β. ΘΕΜΑ Γ. Α1. Η απάτηση ϐρίσκεται στη σελίδα 93 του σχολικού ϐιβλίου. Α2. Η απάτηση ϐρίσκεται στη σελίδα 87 του σχολικού ϐιβλίου. Α3. Βέβαιο εδεχόµεο, λέγεται το εδεχόµεο το οποίο περιέχει όλα τα δυατά αποτελέσµατα του πειράµατος και πραγµατοποιείται σε κάθε εκτέλεση του πειράµατος (για παράδειγµα το Ω). Αδύατο εδεχόµεο, λέγεται το εδεχόµεο που δε πραγµατοποιείται σε καµία εκτέλεση του πειράµατος (για παράδειγµα το.) Α4. α) Σωστό. β) Λάθος. γ) Σωστό. δ) Λάθος. ɛ) Λάθος. Β1. Για x 1, Β2. f(x) 1 lim x 1 x 1 ( 2 x2 x + 1 1 ) = lim = x 1 x 1 2x(x 1) = lim x 1 (x 1) ( x 2 x + 1 + 1 ) = 2x = lim x 1 x2 x + 1 + 1 = = 1. f (x) = ( 2 x 2 x + 1 ) = 2 (x 2 x + 1) 2 x 2 x + 1 = 2x 1 x2 x + 1. Άρα, ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτοµέης της γραφικής παράστασης στο σηµείο (0, f(0)) είαι f (0) = 1. Β3. Α ω η γωία που σχηµατίζει η εφαπτοµέη µε το άξοα x x, τότε εϕω = f (0) = 1 και επειδή 0 ω < 180 0, έπεται ότι ω = 135 o. Νικόλαος. Κατσίπης 4
Γ1. Η πρώτη κλάση είαι [0, c) και η δεύτερη [c, 2c). Αφού το κέτρο της δεύτερης κλάσης είαι 6, έπεται ότι c + 2c 2 = 6 c = 4. Γ2. Για c = 4, ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ x i ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ i [0,4) 2 20 [4,8) 6 40 [8,12) 10 45 [12,16) 14 30 [16,20) 18 25 ΣΥΝΟΛΟ - 160 Για τη µέση τιµή, Για τη διακύµαση x = 5 x i i = 1600 160 = 10. s 2 = 5 (x i x) 2 i Οπότε, η τυπική απόκλιση = 4000 160 = 25. Γ3. Ο συτελεστής µεταβολής s = s 2 = 25 = 5. CV = s x = 5 10 = 50% > 10%, άρα το δείγµα δε είαι οµοιογεές. Γ4. Για τη απάτηση του ερωτήµατος, υποθέτουµε ότι τα στατιστικά δεδο- µέα είαι καταεµηµέα οµοιόµορφα σε κάθε κλάση. Ααζητούµε λοιπό το πλήθος τω παρατηρήσεω που ατιστοιχού στο διάστηµα [7, 14] = [7, 8) [8, 12) [12, 14]. Στο [7, 8) ατιστοιχεί το 1 τω παρατηρήσεω που ατιστοιχού στη 4 κλάση [4, 8), δηλαδή 10 παρατηρήσεις. Στο [8, 12) ατιστοιχού 45 παρατηρήσεις. Νικόλαος. Κατσίπης 5
ΘΕΜΑ. Στο [12, 14] ατιστοιχεί το 1 τω παρατηρήσεω, δηλαδή 15 παρατηρήσεις. 2 Άρα στο [7, 14] = [7, 8) [8, 12) [12, 14], ατιστοιχού συολικά 70 παρατηρήσεις. Οπότε, N(A) = 70. Επειδή τα εδεχόµεα είαι ισοπί- ϑαα, από το κλασικό ορισµό της πιθαότητας, (N(Ω) = 160) 1. Για x > P (A), είαι P (A) = N(A) N(Ω) = 70 160 = 7 16 = 43, 75%. f (x) = 1 x P (A) ( x P (A) ) = 1 ( ) 2 x P (A). x P (A) f (x) = 0 1 ( x P (A) ) 2 = 0 x = P (A)+1 ή x = P (A) 1. Η ϱίζα x = P (A) 1 απορρίπτεται, αφού από υπόθεση x > P (A). Αφού x P (A) > 0, το πρόσηµο της f (x), καθορίζεται από το πρόσηµο του (τριωύµου) 1 ( x P (A) ) 2 = x 2 + 2P (A)x + 1 P (A) 2, (λαµβάοτας υπόψη ότι P (A) 1 < 0 P (A) 1 P (A) + 1). Προκύπτει λοιπό ότι για P (A) < x < P (A) + 1, f (x) > 0, οπότε η f(x) γησίως αύξουσα και για P (A) + 1 < x, f (x) < 0, οπότε η f(x) γησίως ϕθίουσα. Στο x = P (A) + 1, η f(x) παρουσιάζει ολικό µέγιστο το f(p (A) + 1) = P (B) 1 2. 2. Από τα συµπεράσµατα του ερωτήµατος 1 και από τις υποθέσεις του ερωτήµατος 2, έπεται ότι 5 3 = P (A) + 1 και P (B) 1 2 = f(p (A) + 1) = 0, οπότε, P (A) = 2 3 και P (B) = 1 2. 3. Από το προσθετικό όµο προκύπτει ότι P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 2 3 + 1 2 5 6 = 1 3. Νικόλαος. Κατσίπης 6
Το εδεχόµεο α µη πραγµατοποιηθού ταυτόχροα τα εδεχόµεα A και B είαι το (A B). Οπότε, ) P ((A B) = 1 P (A B) = 1 1 3 = 2 3. 4. Το εδεχόµεο α πραγµατοποιηθεί µόο έα από τα A και B είαι το (A B) (B A). Τα εδεχόµεα A B και B A είαι ασυµβίβαστα. Οπότε, ( ) P (A B) (B A) = P (A B) + P (B A) = = P (A) P (A B) + P (B) P (A B) = = 2 3 1 3 + 1 2 1 3 = = 1 2. Νικόλαος. Κατσίπης 7