Μόρφωση διατοµής γραµµικών φορέων από επί µέρους γραµµικά και επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία.

Μόρφωση διατοµής γραµµικών φορέων από επί µέρους γραµµικά και επιφανειακά πεπερασµένα στοιχεία. Ι.Ν. ουδούµης ρ. Πολιτικός Μηχανικός, αναπλ. καθηγητής Τµήµ. Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Χ. Κοτανίδης, ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ. Χ. Στεργιοπούλου, ιπλ. Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ. Λέξεις κλειδιά: σύνθεση διατοµής, µόρφωση διατοµής, διατοµή µε πεπερασµένα στοιχεία ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στην παρούσα εργασία µελετώνται και προτείνονται εναλλακτικοί τρόποι προσο- µοίωσης του ολόσωµου δοµικού συστήµατος πλακών-δοκών. Η ακρίβεια και αξιοπιστία των εξεταζόµενων µοντέλων τεκµηριώνεται µε µία σειρά συγκριτικών παραµετρικών αναλύσεων σε γραµµικούς φορείς, συγκρίνοντας τα αποτελέσµατά τους µε τις γνωστές "ακριβείς" λύσεις του προβλήµατος. Επίσης εξετάζεται η συµπεριφορά τους στην προσοµοίωση επιφανειακών και χωρικών φορέων. Με τη χρήση συνδυασµού γραµµικών κι επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων, δηλαδή στοιχείων κελύφους για την πλάκα και στοιχείων δοκού για τον κορµό της δοκού, δεν α- παιτείται πλέον η χρήση της έννοιας του συνεργαζόµενου πλάτους των πλακοδοκών, ενώ τα φορτία της πλάκας κατανέµονται µε πιο ακριβή τρόπο στις δοκούς. Παράλληλα, υπάρχει η δυνατότητα αποτελεσµατικής εφαρµογής του µοντέλου στην στατική ανάλυση των προεντεταµένων δοκών. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στις ολόσωµες κατασκευές από οπλισµένο σκυρόδεµα, από τις πρώτες ακόµη εφαρµογές τους και µέχρι σήµερα, η αναλυτική προσοµοίωση της περιοχής των δοκών του δοµικού συστήµατος πλακών-δοκών έχει επικρατήσει να γίνεται χρησιµοποιώντας σχεδόν αποκλειστικά γραµµικά στοιχεία δοκών µε διατοµή Τ ή Γ, µε σταθερό ως επί το πλείστον πλάτος πέλµατος. Το "συνεργαζόµενο πλάτος" της πλάκας, που θεωρείται ότι αποτελεί το πλάτος πέλµατος αυτών των διατοµών (συµµετέχοντας έτσι στα γεωµετρικά χαρακτηριστικά των διατοµών), παρέχεται είτε από κατάλληλους ειδικούς πίνακες της σχετικής µε το θέµα βιβλιογραφίας είτε από αντίστοιχους απλοποιηµένους τύπους του Κανονισµού έργων Οπλισµένου Σκυροδέµατος (Κ.Ο.Σ.), των οποίων όµως η γενικότητα εφαρµογής και η επαρκής ακρίβεια των αποτελεσµάτων δεν είναι πάντοτε δεδοµένη. Επί πλέον, τα φορτία των πλακών που µεταβιβάζονται στις δοκούς, έχει επικρατήσει να κατανέµονται σύµφωνα µε προσεγγιστικούς τρόπους, που έχουν σαν αποτέλεσµα την τελική εφαρµογή τριγωνικών, τραπεζοειδών ή και οµοιόµορφων φορτίων, χωρίς να λαµβάνουν υπ' όψη την εξάρτηση αυτών των φορτίων από την σχετική δυσκαµψία των πλακών ως προς τις δοκούς στις οποίες εδράζονται. Όµως, οι αυξηµένες δυνατότητες των σηµερινών υπολογιστικών συστηµάτων µάς επιτρέπουν τη χρήση ακριβέστερων µοντέλων για την προσοµοίωση της περιοχής σύνδεσης πλακών-δοκών των ολόσωµων κατασκευών, χρησιµοποιώντας µοντέλα µε συνδυασµούς γραµµικών κι επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων. Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείµενο τη µόρφωση των διατοµών των γραµµικών φορέων µε µοντέλα γραµµικών κι επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων και την εφαρµογή τους στην προσοµοίωση της περιοχής των δοκών των ολόσωµων επιφανειακών φορέων του δισδιάστατου και τρισδιάστατου χώρου. 1

2. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Τα µοντέλα τα οποία εξετάζονται στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, για την αναλυτική προσο- µοίωση των διατοµών των πλακοδοκών του ολόσωµου δοµικού συστήµατος πλακών-δοκών, είναι τα εξής (εικόνα 1): Μοντέλο 1 ("γραµµικό" µοντέλο): Χρησιµοποιείται ένα γραµµικό στοιχείο χωρικής δοκού µε διατοµή T ή Γ (εικόνα 1a). Μοντέλα 2a/2b ("γραµµικό" µοντέλο): Χρησιµοποιείται ένα γραµµικό στοιχείο ορθογωνικής διατοµής για τον κορµό κι ένα για το πέλµα. Η συνεργασία τους σαν ενιαία διατοµή εξασφαλίζεται µε ένα κατακόρυφο στοιχείο δοκού (εικόνα 1b), το οποίο στην παραλλαγή 2a έχει πεπερασµένα αδρανειακά χαρακτηριστικά, ενώ στην παραλλαγή 2b "άπειρα" (στερεός σύνδεσµος). Μοντέλα 3a/3b ("σύνθετο" µοντέλο): Για τον κορµό της διατοµής χρησιµοποιείται γραµµικό στοιχείο ορθογωνικής διατοµής, ενώ για το πέλµα χρησιµοποιούνται 4κοµβα στοιχεία κελύφους. Η συνεργασία πέλµατος-κορµού σαν ενιαία διατοµή εξασφαλίζεται µε ένα κατακόρυφο στοιχείο δοκού (εικόνα 1c), το οποίο στην παραλλαγή 3a έχει πεπερασµένα αδρανειακά χαρακτηριστικά, ενώ στην παραλλαγή 3b "άπειρα" (στερεός σύνδεσµος). Μοντέλο 4 ("επιφανειακό" µοντέλο): Κορµός και πέλµα της διατοµής προσοµοιώνονται µε 4κοµβα στοιχεία κελύφους. Το πάχος του πέλµατος λαµβάνεται µειωµένο, ώστε να ληφθεί υ- πόψη η αλληλοεπικάλυψη πέλµατος-κορµού που αναπόφευκτα υπάρχει, όπως φαίνεται στην εικόνα 1d. Ο έλεγχος της αξιοπιστίας και η καταλληλότητα των εξεταζόµενων µοντέλων τεκµηριώνεται µε την βοήθεια συγκριτικής παραµετρικής µελέτης (Κοτανίδης Χ., Στεργιοπούλου Χ., 2001) σε φορείς του µονοδιάστατου, δισδιάστατου και τρισδιάστατου χώρου, θεωρώντας γραµµικώς ελαστική συµπεριφορά υλικών (διατοµές χωρίς ρηγµάτωση). Ειδικότερα εξετάζονται τα ακόλουθα δοµικά συστήµατα: Το βασικό δοµικό σύστηµα του προβόλου µε σταθερό πλάτος πέλµατος (διατοµή Τ). Ένα ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών δοκών. Ένα ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών χωρικού πλαισίου µε εφαρµογή προέντασης. 2.1 οµικό σύστηµα προβόλου µε σταθερή διατοµή Στο δοµικό σύστηµα του προβόλου µε σταθερό πλάτος πέλµατος (εικόνα 2), η έννοια της διατοµής είναι µονοσήµαντα ορισµένη. εχόµενοι ότι ισχύουν οι κλασσικές παραδοχές της στατικής λειτουργίας των γραµµικών φορέων (επιπεδότητα διατοµής και αµετάβλητο του σχήµατος της διατο- µής µετά την παραµόρφωση, "µικρές" διαστάσεις διατοµής σε σχέση µε το µήκος του φορέα), το µοντέλο 1 µε ένα µόνο στοιχείο δοκού κατά µήκος του προβόλου δίδει την "ακριβή" λύση του προβλήµατος και µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν βάση σύγκρισης των υπολοίπων µοντέλων 2, 3 και 4, των οποίων η ακρίβεια εξαρτάται από τη πυκνότητα διακριτοποίησης. Εικόνα 1: Τα µοντέλα προσοµοίωσης της διατοµής πλακοδοκού 2

Εικόνα 2: Οι ελευθερίες κίνησης του άκρου του προβόλου και οι επιβαλλόµενες φορτίσεις Μελετήθηκαν επιµήκεις πρόβολοι µε λόγο L/h =14,3 καθώς και κοντοί πρόβολοι µε λόγο L/h=1,43 όπου L είναι το µήκος του προβόλου και h το στατικό ύψος της διατοµής του (h=0,70m). Οι πρόβολοι που µελετήθηκαν έχουν διατοµή σχήµατος Τ, µε σταθερό κορµό και µεταβαλλόµενα πλάτη πελµάτων, όµως για λόγους συντοµίας στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται τα αποτελέσµατα που αντιστοιχούν σε πλάτος πέλµατος b=1,20 m. Η πυκνότητα διακριτοποίησης, που καθορίζεται από τον αριθµό Ν των τµηµάτων που χωρίζεται κάθε πρόβολος κατά µήκος, ήταν επίσης µεταβαλλόµενη (Ν=4,6,8,10,20). Τα προαναφερθέντα µοντέλα προσοµοίωσης του προβόλου φορτίσθηκαν µε τις 3 περιπτώσεις µοναχικού φορτίου στο άκρο και µε συνεχές οµοιόµορφο φορτίο, όπως φαίνεται στην εικόνα 2. Σε όσες διατοµές του δεξιού άκρου εµφανίζονται περισσότεροι από ένας κόµβοι, επιβλήθηκε καταναγκασµένη δέσµευση µετατόπισης των κόµβων µε τη µορφή απολύτως στερεού σώµατος (body constraint). Τα µοντέλα επιλύθηκαν µε Η.Υ. και υπολογίσθηκαν οι µετακινήσεις του δεξιού άκρου τους και οι αντιδράσεις στην θέση της πάκτωσης, µε την βοήθεια των οποίων µπορούν να υπολογισθούν µονοσήµαντα το µητρώο δυσκαµψίας του αντίστοιχου αµφίπακτου φορέα, το διάνυσµα φόρτισης για συνεχές φορτίο και οι ορθές τάσεις στην θέση της πάκτωσης (Μητσοπούλου Ε.Ν., ουδούµης Ι.Ν. 1998). 2.2 Ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών δοκών Για την προσοµοίωση του ολόσωµου δοµικού συστήµατος πλακών-δοκών που φαίνεται στην εικόνα 3, από τα προαναφερθέντα 4 µοντέλα χρησιµοποιούνται τα ακόλουθα: Μοντέλο 1 ("γραµµικό"): Για κάθε δοκό γίνεται η παραδοχή σταθερού συνεργαζόµενου πλά- Εικόνα 3: οµικό σύστηµα πλακών-δοκών, µε σηµειακές στηρίξεις στις διασταυρώσεις των δοκών. Σηµειώνονται τα σηµεία Α, Β, Γ,, Μ, ελέγχου των µετακινήσεων και των τάσεων. 3

τους, το οποίο υπολογίζεται σύµφωνα µε τις διατάξεις του Κανονισµού έργων Οπλισµένου Σκυροδέµατος (Κ.Ο.Σ.) και διαµορφώνεται ανάλογη διατοµή σχήµατος Τ. Για λόγους οµοιο- µορφίας χρησιµοποιούνται διατοµές Τ τόσο για τις εσωτερικές, όσο και για τις περιµετρικές δοκούς (αντί διατοµών Γ). Υπογραµµίζεται ότι λόγω της απλοποιητικής παραδοχής του σταθερού συνεργαζόµενου πλάτους και σε αντίθεση µε όσα ίσχυαν στην περίπτωση του προβόλου, το µοντέλο αυτό δεν αποδίδει την "ακριβή λύση" του προβλήµατος, η δε χρήση του στην προσοµοίωση του εξεταζόµενου δοµικού συστήµατος γίνεται για να διαπιστωθεί το µέγεθος του σφάλµατος που διαπράττεται, δεδοµένου ότι αποτελεί το µοντέλο που κατ' εξοχή χρησιµοποιείται στην καθηµερινή πράξη. Για να επιτύχουµε κατανοµή της φόρτισης παρόµοια µε τα υπόλοιπα µοντέλα, χρησιµοποιούµε έναν κάνναβο από στοιχεία κελύφους µε στοιχειώδη δυσκαµψία και οµοιόµορφη φόρτιση που αντιστοιχεί στο ίδιο βάρος της πλάκας.. Μοντέλο 3 ("σύνθετο"): Ο κορµός προσοµοιώνεται µε 1 γραµµικό στοιχείο δοκού, το πέλµα µε 4κοµβα στοιχεία κελύφους, ενώ στη σύνδεση κορµού-πέλµατος χρησιµοποιείται στερεός σύνδεσµος. Η διάταξη των στοιχείων είναι αντίστοιχη µε αυτή της εικόνας 1c, µε την διαφορά ότι στο εξεταζόµενο µοντέλο προσοµοίωσης δε λαµβάνουµε καθόλου υπόψη τις έννοιες της "πλακοδοκού" και του "συνεργαζόµενου πλάτους" της, όπως κάναµε στο µοντέλο 1. Απλά, η πλάκα σε όλη της την έκταση προσοµοιώνεται µε στοιχεία κελύφους τα οποία έχουν πάχος ίσο µε το πάχος της πλάκας, ενώ η περιοχή σύνδεσης πλακών-δοκών διαµορφώνεται σύµφωνα µε την εικόνα 1c. Το µοντέλο αυτό χαρακτηρίζεται από την απλότητα και τη γενικότητά του. Όπως θα φανεί στην συνέχεια από τα αποτελέσµατα της µελέτης των προβόλων που ακολουθούν, η συ- µπεριφορά του µοντέλου 3 είναι ιδιαίτερα ικανοποιητική, οπότε στα συγκριτικά αποτελέσµατα που αφορούν το δοµικό σύστηµα πλακών-δοκών, το µοντέλο 3 µε τον πυκνότερο κάνναβο επιλέγεται ως µοντέλο αναφοράς. Μοντέλο 4 ("επιφανειακό"): Όλο το δοµικό σύστηµα προσοµοιώνεται µε στοιχεία κελύφους. Στην περιοχή σύνδεσης πλακών-δοκών, η διάταξη των στοιχείων είναι αντίστοιχη µε αυτή του σχήµατος 1d, µε την διαφορά ότι δε λαµβάνουµε καθόλου υπόψη τις έννοιες της "πλακοδοκού" και του "συνεργαζόµενου πλάτους" της. Τα µοντέλα αυτά επιλύθηκαν µε Η.Υ. και υπολογίσθηκαν οι κατακόρυφες µετακινήσεις και οι ορθές τάσεις των διατοµών στα µέσα ορισµένων δοκών (εικόνα 3, σηµεία Α, Β, Μ) και στις παρειές στηρίξεων των δοκών (εικόνα 3, σηµεία Γ, ). Ως "παρειές" των στηρίξεων θεωρήθηκαν τα σηµεία που βρίσκονται σε απόσταση 0,08L εκατέρωθεν της στήριξης, όπου L η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών στηρίξεων. 2.3 Ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών χωρικού πλαισίου και εφαρµογή προέντασης Το προαναφερθέν σύστηµα πλακών-δοκών εξετάζεται σε πλήρη χωρική λειτουργία µε την προσθήκη υποστυλωµάτων στις διασταυρώσεις των δοκών (Εικόνα 4). Παράλληλα, επιβάλλονται δυνάµεις προέντασης στις δοκούς που είναι προσανατολισµένες κατά τη διεύθυνση y-y. Η σύγκριση γίνεται µεταξύ του "σύνθετου" µοντέλου 3 (στο οποίο δεν γίνεται καµία απλουστευτική παραδοχή (a) (b) (c) Εικόνα 4: οµικό σύστηµα πλακών-χωρικού πλαισίου, (a) "Γραµµικό" µοντέλο 1 µε πλακοδοκούς, (b) Φόρτιση µοντέλου 1 από κατανοµή φορτίων πλακών, (c) "Σύνθετο" µοντέλο 3. 4

περί συνεργαζόµενου πλάτους κλπ.) και του συµβατικού γραµµικό µοντέλου 1, το οποίο χρησιµοποιείται ως επί το πλείστον στην πράξη, και αφορά τον τρόπο κατανοµής των κατακόρυφων φορτίων των πλακών στις δοκούς καθώς και την εικόνα της κατανοµής των ορθών τάσεων στις πλάκες λόγω προέντασης. 3. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ 3.1 οµικό σύστηµα προβόλου µε σταθερή διατοµή Ακολουθούν συγκριτικά διαγράµµατα των ορθών τάσεων στην κάτω ίνα του κορµού της πλακοδοκού στο σηµείο της πάκτωσης του προβόλου. Τα διαγράµµατα αναφέρονται στην περίπτωση του επιµήκους προβόλου µε λόγο L/h =14,3 για διάφορες πυκνότητες διακριτοποίησης και για τις προαναφερθείσες 4 βασικές περιπτώσεις φόρτισης. Κάθε διάγραµµα συνοδεύεται κι από πίνακα στον οποίο παρουσιάζονται οι αποκλίσεις από το µοντέλο αναφοράς 1. 1 2α 2β 3α 3β 4 0-5000 -10000-15000 -20000-25000 -30000 σ u κορì. : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (q=10) τýλο 2α 18.65% 16.15% 13.14% 11.15% 6.49% 2β 18.20% 12.85% 9.81% 7.86% 3.58% 3α 20.14% 17.30% 14.14% 12.11% 7.53% 3β 19.70% 13.87% 10.71% 8.74% 4.66% 4-21.21% -14.49% -10.83% -8.34% -3.70% Εικόνα 5: Σύγκριση ορθών τάσεων στην κάτω ίνα του κορµού για συνεχές φορτίο q=10kn/m 420 418 416 414 412 410 1 2α 2β 3α 3β 4 σ u κορì. : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (F x ) τýλο 2α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 4-0.55% -0.55% -0.55% -0.55% -0.55% Εικόνα 6: Σύγκριση ορθών τάσεων στην κάτω ίνα του κορµού για φορτίο Fx=100kN 5

1 2α 2β 3α 3β 4-35000 -40000-45000 -50000 σ u κορì. : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (F z ) τýλο 2α 11.29% 9.31% 7.33% 6.10% 2.12% 2β 10.99% 7.26% 5.37% 4.23% 2.06% 3α 11.62% 9.78% 7.83% 6.63% 2.85% 3β 11.32% 7.62% 5.78% 4.69% 2.68% 4-11.89% -7.66% -5.53% -4.24% -1.62% Εικόνα 7: Σύγκριση ορθών τάσεων στην κάτω ίνα του κορµού για κατακόρυφο φορτίο Fz=100kN 4350 4330 4310 4290 4270 4250 1 2α 2β 3α 3β 4 σ u κορì. : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (M y ) τýλο 2α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 4 0.50% 0.50% 0.50% 0.50% 0.50% Εικόνα 8:. Σύγκριση ορθών τάσεων στην κάτω ίνα του κορµού για καµπτική ροπή Μy=100kN m 1 2α 2β 3α 3β 4 1.69E-04 1.68E-04 1.67E-04 1.66E-04 1.65E-04 U 1 : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (F x ) τýλο 2α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 4-0.55% -0.55% -0.55% -0.55% -0.55% Εικόνα 9: Σύγκριση οριζόντιων µετατοπίσεων ελεύθερου άκρου, λόγω οριζόντιας δύναµης Fx=100kN 1 2α 2β 3α 3β 4-0.120-0.122-0.124-0.126-0.128-0.130 U 3 : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (F z ) τýλο 2α 3.62% 3.71% 2.62% 2.01% 0.47% 2β 3.24% 1.52% 0.92% 0.64% 0.26% 3α 3.83% 4.00% 2.91% 2.30% 0.73% 3β 3.45% 1.72% 1.11% 0.83% 0.48% 4-0.67% 0.19% 0.50% 0.64% 0.82% Εικόνα 10: Σύγκριση κατακόρυφης βύθισης ελεύθερου άκρου, λόγω κατακόρυφης δύναµης Fz=100kN 6

1 2α 2β 3α 3β 4-3.62E-03-3.64E-03-3.66E-03-3.68E-03-3.70E-03 R 2 : Αποκλßσειò απü το γραììικü ìοντýλο (M y ) τýλο 2α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 2β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3α 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 3β 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 4 0.72% 0.72% 0.72% 0.72% 0.72% Εικόνα 11: Σύγκριση στροφής ελεύθερου άκρου, λόγω καµπτικής ροπής My=100kN m, ΜοντÝλο Σýγκριση ìετατüπισηò U3 L=10m (q=10) Αριθìüò τìηìüτων N 10 Απüκλιση 20 Απüκλιση 1-4,59E-02 0,00% -4,59E-02 0,00% 2α -4,71E-02 2,68% -4,64E-02 1,09% 2β -4,63E-02 0,85% -4,60E-02 0,22% 3α -4,74E-02 3,40% -4,66E-02 1,53% 3β -4,65E-02 1,43% -4,62E-02 0,59% 4-4,63E-02 0,95% -4,63E-02 0,87% Εικόνα 12: Σύγκριση βυθίσεων ελεύθερου άκρου προβόλου, λόγω συνεχούς φορτίου q=10kn/m ΜοντÝλο Σýγκριση στροφþò R2 L=10m (q=10) Αριθìüò τìηìüτων N 10 Απüκλιση 20 Απüκλιση 1 6.08E-03 0.00% 6.08E-03 0.00% 2α 6.08E-03 0.00% 6.08E-03 0.00% 2β 6.08E-03 0.00% 6.08E-03 0.00% 3α 6.11E-03 0.50% 6.08E-03 0.00% 3β 6.11E-03 0.50% 6.08E-03 0.00% 4 6.15E-03 1.22% 6.13E-03 0.82% Εικόνα 13: Σύγκριση στροφής ελεύθερου άκρου προβόλου, λόγω συνεχούς φορτίου q=10kn/m Από όλα αυτά τα διαγράµµατα και τους πίνακες που παρουσιάσθηκαν, διαπιστώνουµε ότι, ό- σον αφορά τις µετακινήσεις των άκρων του προβόλου για τις 3 περιπτώσεις φόρτισης µε µοναχικά φορτία στο άκρο, τα αποτελέσµατα πρακτικά ταυτίζονται, ακόµα και για αραιή διακριτοποίηση. Η ίδια εικόνα ισχύει και για τις ορθές τάσεις στην θέση της πάκτωσης, που οφείλονται στις 3 περιπτώσεις φόρτισης µε µοναχικά φορτία, µε εξαίρεση την περίπτωση φόρτισης µε κατακόρυφη δύναµη F z, όπου απαιτούνται τουλάχιστον Ν=10 τµήµατα για να πάρουµε πολύ καλά αποτελέσµατα.. Στην περίπτωση φόρτισής τους µε συνεχές φορτίο q=10kn/m, τα µοντέλα 2b και 3b δίνουν ε- λαφρώς καλύτερα αποτελέσµατα από τα αντίστοιχά τους 2a και 3a, τόσο στις τάσεις όσο και στις µετακινήσεις. Επίσης τα µοντέλα 2b, 3b και 4 δίδουν σχεδόν ταυτόσηµα αποτελέσµατα στις τάσεις και µετακινήσεις, όµως απαιτείται πυκνότητα διακριτοποίησης Ν 10 ώστε οι τάσεις τους να εµφανίζουν απόκλιση <10% σε σχέση µε την "ακριβή λύση" (του µοντέλου 1) και πυκνότητα Ν 20 ώστε οι τάσεις τους να εµφανίζουν απόκλιση <5% σε σχέση µε την "ακριβή λύση". εδοµένου δε ότι, από τις µετακινήσεις του δεξιού άκρου του προβόλου και τις αντιδράσεις (τάσεις) στην θέση της πάκτωσης για τις προαναφερθείσες περιπτώσεις φόρτισης, προκύπτουν µονοσήµαντα τα µητρώα δυσκαµψίας και φόρτισης του αντίστοιχου αµφίπακτου φορέα, είναι φανε- 7

ρό ότι τα µητρώα αυτά των προσεγγιστικών µοντέλων 2b, 3b και 4 τείνουν να ταυτισθούν µε τα αντίστοιχα του "ακριβούς" µοντέλου 1 για επαρκή πυκνότητα διακριτοποίησης (π.χ. Ν 20). 3.2 Ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών δοκών Ακολουθούν πίνακες µε τις βυθίσεις και τις ορθές τάσεις στα σηµεία ελέγχου Α, Β, και Μ του εξεταζόµενου δοµικού συστήµατος (βλέπε εικόνα 3). Αναφορικά µε την πυκνότητα διακριτοποίησης, στους πίνακες περιλαµβάνονται µοντέλα µε 6 στοιχεία κατά x και 10 κατά y, δηλαδή 1 στοιχείο α- νά µέτρο (συµβολισµός 6x-10y), µε 12 στοιχεία κατά x και 10 κατά y (συµβολισµός 12x-10y), καθώς και µε 24 στοιχεία κατά x και 20 κατά.y. Ως µοντέλο αναφοράς λαµβάνεται το µοντέλο 3 στην περίπτωση της πυκνότερης διακριτοποίησής του (24 στοιχεία κατά x και 20 κατά.y), τα αποτελέσµατα του οποίου παρουσιάζονται µε σκιασµένη γραµµή στους πίνακες που ακολουθούν. Σηìεßο Α Σýγκριση βýθισηò και ορθþν τüσεων ΜοντÝλο Βýθιση U 3 Απüκλιση σ u κορìüò Απüκλιση σ ο πýλìα Απüκλιση 1-6x-10y -0.01021 7.61% 8643.7 11.65% -3265.5-2.41% 3-6x-10y -0.00960 1.22% 7911.5 2.19% -3409.0 1.87% 4-6x-10y -0.00977 2.99% 7917.2 2.26% -3279.7-1.99% 3-12x-10y -0.00965 1.73% 7917.9 2.27% -3435.4 2.66% 4-12x-10y -0.00978 3.10% 7909.1 2.16% -3292.7-1.60% 3-24x-20y -0.00948 0.00% 7742.0 0.00% -3346.3 0.00% 4-24x-20y -0.00989 4.28% 8033.8 3.77% -3332.5-0.41% Εικόνα 14: Σύγκριση βύθισης και ορθών τάσεων µε το µοντέλο αναφοράς 3, στο σηµείο Α. Σηìεßο B Σýγκριση βýθισηò και ορθþν τüσεων ΜοντÝλο Βýθιση U 3 Απüκλιση σ u κορìüò Απüκλιση σ ο πýλìα Απüκλιση 1-6x-10y -0.00066 15.48% 1741.7-6.33% -556.7 107.66% 3-6x-10y -0.00065 12.82% 2047.1 10.10% -347.6 29.67% 4-6x-10y -0.00054-4.90% 1684.6-9.40% -187.1-30.20% 3-12x-10y -0.00058 0.67% 1872.2 0.69% -269.5 0.52% 4-12x-10y -0.00057-0.26% 1800.4-3.17% -231.7-13.55% 3-24x-20y -0.00057 0.00% 1859.3 0.00% -268.1 0.00% 4-24x-20y -0.00057 0.19% 1813.1-2.49% -242.4-9.58% Εικόνα 15: Σύγκριση βύθισης και ορθών τάσεων µε το µοντέλο αναφοράς 3, στο σηµείο Β. Σηìεßο Μ Σýγκριση βýθισηò και ορθþν τüσεων ΜοντÝλο Βýθιση U 3 Απüκλιση σ u κορìüò Απüκλιση σ ο πýλìα Απüκλιση 1-6x-10y -0.01577 11.82% 14248.6 10.23% -4663.8 22.34% 3-6x-10y -0.01429 1.31% 13159.5 1.80% -3935.9 3.24% 4-6x-10y -0.01389-1.55% 12646.7-2.17% -3542.8-7.07% 3-12x-10y -0.01431 1.45% 13176.2 1.93% -3970.4 4.15% 4-12x-10y -0.01391-1.39% 12651.6-2.13% -3557.7-6.68% 3-24x-20y -0.01411 0.00% 12926.7 0.00% -3812.2 0.00% 4-24x-20y -0.01405-0.38% 12834.4-0.71% -3596.1-5.67% Εικόνα 16: Σύγκριση βύθισης και ορθών τάσεων µε το µοντέλο αναφοράς 3, στο σηµείο Μ. 8

Ακολουθεί η συγκριτική παρουσίαση των ορθών τάσεων των δοκών κατά x-x, στην κάτω ίνα του κορµού και στην άνω ίνα του πέλµατος στις παρειές των στηρίξεων Γ και, στις οποίες συµβάλλουν δοκοί κατά x-x και y-y. Σηìεßο Γ Σýγκριση ορθþν τüσεων στιò παρειýò των στηρßξεων σε απüσταση 0.5m εκατýρωθεν ΑριστερÜ σ u κορìüò Απüκλιση σ ο πýλìα Απüκλιση 3-12x-10y -1035.78-5.21% 316.17-11.50% 4-12x-10y -1155.84 5.78% 564.66 58.06% 3-24x-20y -1092.74 0.00% 357.25 0.00% 4-24x-20y -1133.69 3.75% 351.66-1.56% ÄεξιÜ 3-12x-10y -937.87-4.92% 374.00-7.28% 4-12x-10y -1113.52 12.89% 564.66 39.99% 3-24x-20y -986.40 0.00% 403.35 0.00% 4-24x-20y -1088.06 10.31% 440.57 9.23% Εικόνα 17: Σύγκριση ορθών τάσεων στις παρειές της στήρίξης Γ, σε απόσταση 0,5m εκατέρωθεν Σηìεßο Ä Σýγκριση ορθþν τüσεων στιò παρειýò των στηρßξεων σε απüσταση 0.5m εκατýρωθεν ΑριστερÜ σ u κορìüò Απüκλιση σ ο πýλìα Απüκλιση 3-12x-10y -603.00-6.95% -147.26 46.84% 4-12x-10y -687.33 6.06% 19.61-119.55% 3-24x-20y -648.04 0.00% -100.28 0.00% 4-24x-20y -663.06 2.32% -94.93-5.34% ÄεξιÜ 3-12x-10y -603.00-6.95% -147.26 46.84% 4-12x-10y -687.33 6.06% 19.61-119.55% 3-24x-20y -648.04 0.00% -100.28 0.00% 4-24x-20y -663.06 2.32% -94.93-5.34% Εικόνα 18: Σύγκριση ορθών τάσεων στις παρειές της στήρίξης, σε απόσταση 0,5m εκατέρωθεν ιαπιστώνουµε ότι για το µοντέλο 3 η πυκνότητα των 12 στοιχείων κατά x και 10 κατά y δίδει πολύ καλά αποτελέσµατα (απόκλιση <4%) στην µέση των ανοιγµάτων, ενώ για τις παρειές των στηριγµάτων απαιτείται πυκνότερη διακριτοποίηση. Επίσης, για το µοντέλο 4 απαιτείται πυκνότητα 24 στοιχείων κατά x και 20 στοιχείων κατά y για να επιτευχθεί απόκλιση <10%. Τέλος διαπιστώνουµε ότι για το "γραµµικό" µοντέλο 1 µε σταθερό πλάτος πέλµατος (ίσο µε το συνεργαζόµενο πλάτος, όπως αυτό υπολογίζεται σύµφωνα µε τον Κ.Ο.Σ.), το οποίο χρησιµοποιείται κατά κόρον στην καθηµερινή πράξη, η πυκνότητα των 6 στοιχείων κατά x και 10 στοιχείων κατά y, αλλά και (κυρίως) η παραδοχή του σταθερού συνεργαζόµενου πλάτους οδηγούν σε ανακριβή αποτελέσµατα. 3.3 Ολόσωµο δοµικό σύστηµα πλακών χωρικού πλαισίου µε εφαρµογή προέντασης Στις εικόνες 19 και 20 συγκρίνεται η λειτουργία των µοντέλων 1 και 3, λόγω επιβολής οµοιόµορφου κατακόρυφου φορτίου στις πλάκες. Παρουσιάζονται οι κατανοµές των φορτίων που "µεταβιβάζουν" οι πλάκες στις δοκούς, τόσο για τις περιµετρικές δοκούς κατά x-x (εικόνα. 19), όσο και για τις περιµετρικές δοκούς κατά y-y (εικόνα 20). Για το "γραµµικό" µοντέλο 1, οι κατανοµές αυ- 9

τές προέκυψαν εφαρµόζοντας την ευρέως χρησιµοποιούµενη απλοποιητική παραδοχή των επιφανειών επιρροής των δοκών που οδηγεί σε τριγωνικές και τραπεζοειδείς φορτίσεις τους. Για το "σύνθετο" µοντέλο 3, οι κατανοµές αυτές προέκυψαν από τον ακριβή υπολογισµό των επικοµβίων αντιδράσεων στην περίµετρο κάθε πλάκας, λόγω οµοιόµορφου φορτίου. Είναι προφανές ότι, στην περίπτωση του µοντέλου 3, η κατανοµή είναι πιο οµαλή αλλά και διαφορετική αριθµητικά, που σηµαίνει ότι η συµβατική µέθοδος κατανοµής που χρησιµοποιείται στα γραµµικά µοντέλα είναι προσεγγιστική όχι µόνο ως προς τη µορφή και το µέγεθος των φορτίων, αλλά και ως προς την κατανοµή ανά διεύθυνση. ΚατανοìÞ φορτßων πλακþν στο ìοντýλο 1 ΠεριìετρικÞ δοκüò κατü x-x ΚατανοìÞ φορτßων πλακþν στο ìοντýλο 3 ΠεριìετρικÞ δοκüò κατü x-x Εικόνα 19: Σύγκριση κατανοµής φορτίων πλακών στις περιµετρικές δοκούς κατά x-x, όπως προκύπτει από την παραδοχή των "τριγωνικών φορτίων" στο µοντέλο 1 κι όπως µεταφέρεται από τα κελύφη στις δοκούς στο µοντέλο 3. ΠεριìετρικÞ δοκüò κατü y-y ìε x=0 ΜοντÝλο 1 ΜοντÝλο 3 Εικόνα 20: Σύγκριση κατανοµής φορτίων πλακών στην περιµετρική δοκό κατά y-y µε x=0, όπως προκύπτει από την παραδοχή των "τραπεζοειδών φορτίων" στο µοντέλο 1 κι όπως µεταφέρεται από τα κελύφη στις δοκούς στο µοντέλο 3. Στην εικόνα 21 παρουσιάζεται η κατανοµή των ορθών δυνάµεων µεµβράνης Fy στο πέλµα των δοκών y-y, και σε πλάτος ίσο µε το συνεργαζόµενο του γραµµικού µοντέλου 1, λόγω εφαρµογής κεντρικής προέντασης µε ευθύγραµµους τένοντες κατά µήκος του κεντροβαρικού άξονα του µοντέλου 1. Στο αριστερό τµήµα (a) φαίνεται η κατανοµή των ορθών δυνάµεων στο µοντέλο 3 και 10

(a) Εικόνα 21: Κατανοµή ορθών (θλιπτικών) τάσεων πλάκας λόγω προέντασης, σε πλάτος ίσο µε το συνεργαζόµενο των δοκών y-y (οι ανοιχτές αποχρώσεις σηµαίνουν µικρές τάσεις). (a): στο "σύνθετο" µοντέλο 3, (b): στο "γραµµικό" µοντέλο 1 (καθηµερινή πράξη). (b) στο δεξιό τµήµα (b) η αντίστοιχή κατανοµή στο µοντέλο 1 (οµοιόµορφη θλίψη). Η σαφής υπεροχή του µοντέλου, 3 στην ορθή απόδοση της εντατικής κατάστασης της πλάκας.λόγω προέντασης, είναι προφανής. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Από την συγκριτική παραµετρική µελέτη προέκυψε ότι, σε πραγµατικούς γραµµικούς (ραβδόµορφους) φορείς µε διατοµή Γ ή Τ (για τους οποίους δεν τίθεται θέµα εκλογής συνεργαζόµενου πλάτους), το "σύνθετο" µοντέλο 3 δίνει πολύ καλά αποτελέσµατα συγκρινόµενο µε την "ακριβή" λύση που δίδεται από το "γραµµικό" µοντέλο 1. Με αυτό τον τρόπο τεκµηριώνεται η καταλληλότητα του "σύνθετου" µοντέλου στην εν γένει προσοµοίωση διατοµών µορφής Γ ή Τ. Κατά την προσοµοίωση ολόσωµου δοµικού συστήµατος πλακών-δοκών, το πρόβληµα της α- ξιοπιστίας της εκλογής του συνεργαζόµενου πλάτους των πλακών (που συµµετέχει στην διατοµή των πλακοδοκών) παύει να υφίσταται στην περίπτωση χρήσης του "σύνθετου" µοντέλου 3, διότι παύει να υπάρχει η ανάγκη χρήσης αυτής της έννοιας. Επίσης το "σύνθετο" µοντέλο 3 παρουσιάζει µια σειρά από πλεονεκτήµατα σε σχέση µε το παραδοσιακό "γραµµικό" και το περισσότερο δύσχρηστο "επιφανειακό". Από τη µια, µέσω της χρήσης επιφανειακών στοιχείων για την πλάκα, εξασφαλίζεται η αυτόµατη και ακριβέστερη (σε σχέση µε τις προσεγγιστικές µεθόδους) κατανοµή των φορτίων της πλάκας στις συνδεόµενες µε αυτήν δοκούς, χωρίς την ανάγκη πρόσθετων υποχρεωτικών απλοποιητικών παραδοχών. Από την άλλη, µέσω της χρήσης των στοιχείων δοκού, παρέχονται άµεσα αποτελέσµατα για τα εντατικά µεγέθη του κορµού και είναι περισσότερο εφικτή η εφαρµογή του "σύνθετου µοντέλου" σε πολλά υπάρχοντα προγράµµατα Η.Υ που έχουν δυνατότητες ανάλυσης προεντεταµένων δοκών. 11

5. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Κοτανίδης Χ., Στεργιοπούλου Χ., 2001: Μόρφωση διατοµής γραµµικών φορέων από επιµέρους πεπερασµένα στοιχεία και εφαρµογή στην προσοµοίωση δοµικού συστήµατος, ιπλωµατική Εργασία στο Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη 2001. MacLeod J.A., 1990: Analytical Modelling of Structural Systems, Ellis Horwood, 1990. Μητσοπούλου Ε.Ν, ουδούµης Ι.Ν., 1998: Aριθµητικές µέθοδοι ανάλυσης των κατασκευών, έκδοση Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη 1998. SAP2000, 2000: Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures, Computers and Structures, Inc., Berkeley, USA. 12