ΑΣΚΗΣΗ 3 (θεωρία παιγνίων) Οι δύο μεγαλύτερες τράπεζες μιας χώρας, Α και Β, εκτιμούν ότι μια άλλη τράπεζα, η Γ, θα κλείσει στο προσεχές διάστημα και πρόκειται να προχωρήσουν σε διαφημιστικές εκστρατείες με σκοπό την προσέλκυση των πελατών της. Υπάρχουν τέσσερις κύριες κατηγορίες διαφημιστικών μέσων τις οποίες μπορούν να επιλέξουν: Έντυπα (περιοδικά, εφημερίδες), Διαδίκτυο (ιστοσελίδες, κοινωνικά δίκτυα), Φυλλάδια (που θα μοιράζονται στους υποψήφιους πελάτες) και ενημέρωση των υποψήφιων πελατών. Θεωρώντας ότι η «επιρροή» τυχόν μικρότερων τραπεζών θεωρείται αμελητέα, ο παρακάτω πίνακας πληρωμών δείχνει το ποσοστό (%) των πελατών που θα προσελκύσει η τράπεζα Α ανάλογα με τη στρατηγική που θα ακολουθήσουν αυτή και η Β (δηλαδή η τράπεζα Β θα προσελκύσει τους υπόλοιπους πελάτες). B Ε Δ Φ Τ Ε 20 25 20 45 Δ 35 75 30 45 A Φ 30 30 40 50 Τ 40 45 25 55 Ερώτημα 1 Να εντοπίσετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές. Αφού τις διαγράψετε, να σχηματίσετε τον νέο πίνακα πληρωμών που θα προκύψει. Για την τράπεζα Α υποδεέστερη στρατηγική είναι αυτή που δίνει μικρότερα ή ίσα ποσά σε σύγκριση με κάποια άλλη στρατηγική της ίδιας ομάδας. Αρχικά θα εξετάσουμε τις στρατηγικές της τράπεζας Α και συγκεκριμένα το ζευγάρι Έντυπα Διαδίκτυο. Δηλαδή Έντυπα (Ε) 20 25 20 45 Διαδίκτυο (Δ) 35 75 30 45 Σύγκριση 35 > 20 75 > 25 30 > 20 45 = 45

Μεταξύ των στρατηγικών Έντυπα και Διαδίκτυο προέκυψε ότι η στρατηγική Έντυπα είναι υποδεέστερη, αφού όλα της τα νούμερα είναι μικρότερα ή ίσα, της στρατηγική Διαδίκτυο και γι αυτό διαγράφεται. Συνεχίζουμε με το ζεύγος Διαδίκτυο Φυλλάδια Διαδίκτυο (Δ) Φυλλάδια (Φ) 35 75 30 45 30 30 40 50 Σύγκριση 35 > 30 75 > 30 30 < 40 45 < 50 Επομένως δεν προκύπτει καμία υποδεέστερη στρατηγική. Στη συνέχεια εξετάζουμε το ζεύγος Φυλλάδια ενημέρωση Φυλλάδια (Φ) 30 30 40 50 40 45 25 55 Σύγκριση 30 < 40 30 < 45 40 > 25 50 < 55 Επίσης δεν προκύπτει καμία υποδεέστερη στρατηγική. Τέλος θα εξετάσουμε τον τελευταίο συνδυασμό Διαδίκτυο ενημέρωση. Διαδίκτυο (Δ) 35 75 30 45 40 45 25 55 Σύγκριση 35 < 40 75 > 45 30 > 25 45 < 55 Ούτε τώρα προκύπτει υποδεέστερη στρατηγική. Αντίθετα για την τράπεζα Β υποδεέστερη στρατηγική είναι αυτή που δίνει μεγαλύτερα ή ίσα ποσά σε σύγκριση με κάποια άλλη στρατηγική της ίδιας ομάδας. 2

Έντυπα (Ε) Διαδίκτυο (Δ) Σύγκριση Διαδίκτυο (Δ) 35 75 35 < 75 Φυλλάδια (Φ) 30 30 30 = 30 40 45 40 < 45 Μεταξύ των στρατηγικών Έντυπα και Διαδίκτυο προέκυψε ότι η στρατηγική Διαδίκτυο είναι υποδεέστερη, αφού όλα της τα νούμερα είναι μεγαλύτερα ή ίσα, της στρατηγική Έντυπα και γι αυτό διαγράφεται. Συνεχίζουμε με το ζεύγος Έντυπα Φυλλάδια Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Σύγκριση Διαδίκτυο (Δ) 35 30 35 > 30 Φυλλάδια (Φ) 30 40 30 < 40 40 25 40 > 25 Άρα δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική. Στη συνέχεια εξετάζουμε το ζεύγος Έντυπα ενημέρωση Έντυπα (Ε) Σύγκριση Διαδίκτυο (Δ) 35 45 35 < 45 Φυλλάδια (Φ) 30 50 30 < 50 ενημέρωση (Τ) 40 55 40 < 55 Και μεταξύ των στρατηγικών Έντυπα και ενημέρωση προέκυψε ότι η στρατηγική ενημέρωση είναι υποδεέστερη, αφού όλα της τα νούμερα είναι μεγαλύτερα, της στρατηγικής Έντυπα και γι αυτό διαγράφεται. Ερώτημα 2 Να εφαρμόσετε το κριτήριο minimax για να βρείτε αν υπάρχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές. Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Ελάχιστα γραμμών Διαδίκτυο (Δ) 35 30 30 Φυλλάδια (Φ) 30 40 30 40 25 25 Μέγιστα στηλών 40 40 Από την εφαρμογή αμιγών στρατηγικών δεν προκύπτει ισορροπία. Για την τράπεζα Α, η οποία εφαρμόζει τη στρατηγική maximin (μέγιστο των ελαχίστων), δηλαδή επιλέγει το ελάχιστο κάθε γραμμής και από αυτά το μέγιστο έχει σημείο ισορροπίας το 30, όταν η τράπεζα Β που εφαρμόζει στρατηγική minimax (ελάχιστα των μέγιστων), επιλέγει το μέγιστο κάθε στήλης και από αυτά το ελάχιστο, δηλαδή το 40. 3

Ερώτημα 3 Από τον πίνακα πληρωμών που προέκυψε μετά τη διαγραφή τυχόν υποδεέστερων στρατηγικών, να βρείτε τη μεικτή στρατηγική που πρέπει να ακολουθήσει η κάθε τράπεζα και την αναμενόμενη τιμή του παιγνίου στο σημείο ισορροπίας. Στη συνέχεια θα παραθέσουμε τη γραφική επίλυση του παιγνίου με σκοπό να μείνουν δύο στρατηγικές και από την τράπεζα Α. Σημείωση : Το γράφημα πρέπει να είναι όσο γίνεται πιο ακριβές γι αυτό συνίσταται η χρήση χάρακα. Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Διαδίκτυο (Δ) 35 30 Φυλλάδια (Φ) 30 40 40 25 40 35 30 Α (Τ) Κ Α (Φ) Α (Δ) 40 30 25 Β (Ε) Β (Φ) 4

Ο παίκτης που έχει απομείνει με δύο στρατηγικές, δηλαδή ο Β, απεικονίζεται πάντα στις στήλες. Μέσα στο διάγραμμα απεικονίζονται οι στρατηγικές του αντίπαλου δηλαδή εδώ της τράπεζας Α. Εφόσον η τράπεζα Β εφαρμόζει στρατηγική minimax, δηλαδή από τα μέγιστα επιλέγει το ελάχιστο, γραμμοσκιάζουμε το πάνω τμήμα του διαγράμματος και επιλέξουμε το κατώτερο σημείο (Κ) ως σημείο ισορροπίας (έντονη μαύρη γραμμή). Σημείωση : Απαραίτητα μετά το τέλος αυτής της διαδικασίας θα πρέπει ο ένας τουλάχιστον παίκτης να απομείνει με δύο στρατηγικές. Από το σημείο Κ διέρχονται οι ευθείες Α φυλλάδια και Α τηλεφωνική ενημέρωση Διαδίκτυο απορρίπτεται και ο τελικός πίνακας πληρωμών θα είναι :. Άρα η στρατηγική Α Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Φυλλάδια (Φ) (Χ) 30 40 (1-Χ) 40 25 Στη συνέχεια ορίζουμε x την πιθανότητα η τράπεζα Α να εφαρμόσει τη στρατηγική Φ (φυλλάδια) (Α Φ) και 1- x την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Τ (τηλεφωνική ενημέρωση) (Α Τ). Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις τις οποίες πρέπει να εξισώσουμε για να υπολογίσουμε το x. V(B E, A) = 30x 40 V(B, A) 40x 25 Επομένως έχουμε 1x 1x 30x 401 x 40x + 251 x 30x + 40 40x 40x + 25 25x 25x 15 30x 40x 40x + 25x 25 40 x 0,6 ή 60% και 1 x 1 0, 6 0,4 ή 40% 25 25 Άρα υπάρχει 60% πιθανότητα, αν το παίγνιο επαναληφθεί n φορές, η τράπεζα Α να εφαρμόσει τη στρατηγική Φ (φυλλάδια) και 40% να εφαρμοστεί η στρατηγική Τ (τηλεφωνική ενημέρωση). Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για την τράπεζα Β όπου θα ορίσουμε y την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Ε (έντυπα) (Β Ε) και 1-y την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Φ (φυλλάδια) (Β Φ). Έντυπα (Ε) (Y) Φυλλάδια (Φ) (1-Y) Φυλλάδια (Φ) 30 40 ενημέρωση 40 25 (Τ) Έτσι προκύπτουν οι σχέσεις V(A, B) = 30y 40 1y V(A, B) 40y + 25 1y Επομένως έχουμε 1y 1y 30y 40 40y + 25 30y + 40 40y 40y + 25 25y 25y 15 30y 40y 40y + 25y 25 40 y 0, 6 ή 60% και 1 y 1 0, 6 0, 4 ή 40% 25 25 Άρα υπάρχει 60% πιθανότητα, αν το παίγνιο επαναληφθεί n φορές, η τράπεζα Β να εφαρμόσει τη στρατηγική Ε (έντυπα) και 40% να εφαρμοστεί η στρατηγική Φ (φυλλάδια). 5

Η τιμή του παίγνιου θα προκύψει αν αντικαταστήσουμε την τιμή x = 0,60 σε μία από τις παρακάτω εξισώσεις 1x 1x V(B Φ, A) = 30x 40 ή V(B Τ, A) 40x 25 της τράπεζας Α Δηλαδή 1 x 30x 40 30 0,60 40 1 0,60 = 18 + 16 = 34 ή 40x 25 1x 40 0, 60 25 10,60 24 + 10 = 34 ή αντίστοιχα σε το Υ = 0,60 σε μία από τις παρακάτω εξισώσεις της τράπεζας Β 1y 1y V(A, B) = 30y 40 V(A, B) 40y + 25 Δηλαδή 30y + 40(1-y) = 30 * 0,60 + 40 * (1-0,60) = 18 + 16 =34 και 40y + 25(1-y) = 40*0,60+25(1-0,60) =24+10 =34 Σημείωση : σε περίπτωση που δεν βρείτε τις ίδιες τιμές, έχετε κάνει σίγουρα λάθος. Η τιμή του παιγνίου αναφέρεται πάντα στον παίκτη Α ο οποίος αναμένεται να λάβει ποσοστό 34% και ο παίκτης Β 66%. Ερώτημα 4 Μετά από περαιτέρω ανάλυση, η τράπεζα Α εκτιμά ότι για κάθε 10.000 ευρώ που θα δαπανήσει σε ειδικές πρόσθετες προωθητικές ενέργειες που θα ενισχύουν μία οποιαδήποτε από τις στρατηγικές της, Ε, Δ, Φ, Τ, αυξάνεται κατά μία μονάδα το ποσοστό πελατών που θα προσελκύσει εις βάρος της τράπεζας Β με τη συγκεκριμένη στρατηγική (δηλαδή αυξάνονται κατά 1% οι τιμές της αντίστοιχης σειράς του αρχικού πίνακα πληρωμών, ενώ οι υπόλοιπες τιμές του πίνακα δεν αλλάζουν). Με ποια από τις 4 στρατηγικές πρέπει να γίνει αυτό, και μέχρι ποιού ποσού, ώστε το παίγνιο που θα προκύψει να έχει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές που να αυξάνει το αναμενόμενο ποσοστό πελατών της τράπεζας Α σε σχέση με την αναμενόμενη τιμή που προέκυψε στο Ερώτημα 3; 6

παρατηρούμε ότι εάν η τράπεζα Α επενδύσει 100.000 είτε στη στρατηγική διαδίκτυο (Δ) είτε στη στρατηγική Φυλλάδια (Φ) αυξάνοντας έτσι κατά 10% τις πληρωμές τους η αλλαγή του πίνακα πληρωμών θα δώσει σημείο ισορροπίας με αμιγείς στρατηγικές και μερίδιο της τράπεζας Α 40 > 34. Έστω ότι η τράπεζα Α επενδύει 100.000 αυξάνοντας τις πληρωμές της στρατηγικής διαδίκτυο κατά 10%. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας πληρωμών γίνεται: Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Ελάχιστα γραμμών Διαδίκτυο (Δ) 45 40 40 Φυλλάδια (Φ) 30 40 30 40 25 25 Μέγιστα στηλών 45 40 Επομένως υπάρχει ισορροπία εφαρμόζοντας η τράπεζα Α τη στρατηγική διαδίκτυο και η τράπεζα Β τη στρατηγική φυλλάδια με το μερίδιο της Α να διαμορφώνεται σε 40 > 34. Έστω ότι η τράπεζα Α επενδύει 100.000 αυξάνοντας τις πληρωμές της στρατηγικής φυλλάδια κατά 10%. Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας πληρωμών γίνεται: Έντυπα (Ε) Φυλλάδια (Φ) Ελάχιστα γραμμών Διαδίκτυο (Δ) 35 30 30 Φυλλάδια (Φ) 40 50 40 40 25 25 Μέγιστα στηλών 40 50 Επομένως υπάρχει ισορροπίας εφαρμόζοντας η τράπεζα Α τη στρατηγική φυλλάδια και η τράπεζα Β τη στρατηγική έντυπα με το μερίδιο της Α να διαμορφώνεται σε 40 > 34. E-mail: info@onlineclassroom.gr 7