ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ +Αχ +Βψ+ Γ =0 παριστάνει : και ακ- v Κύκλο όταν : Α +Β A B -4Γ > 0, με κέντρο Κ(-,- ) A + B - 4G τίνα ρ=. v ημείο όταν : Α +Β -4Γ = 0. v Είναι αδύνατη όταν : Α +Β -4Γ < 0. ΠΑΡΑΒΟΗ Εξίσωση Εστία Διευθετούσα Κορυφή ψ =ρ χ Ε( r,0) χ = - r χ =ρ χ Ε(0, r ) ψ = - r Άξονας υμμετρίας Εφαπτομένη στο Α( x ), y Ο(0,0) χχ ψ ψ =ρ (χ+χ ) Ο(0,0) ψψ χ χ =ρ (ψ+ψ ) ΕΕΙΨΗ Εξίσωση Εστίες Κέντρο x x b + b y + y Εφαπτομένη στο Α( x ), y x x y y = Ε (-γ,0), Ε(γ,0) Ο(0,0) + = b x x y y = Ε (0,-γ), Ε(0,γ) Ο(0,0) + = b Παρατήρηση : Ισχύει πάντα α, β, γ > 0 και α = β +γ, όπου α > γ και α >β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

ΥΠΕΡΒΟΗ Εξίσωση Εστίες Κέντρο x y - b y - b x Εφαπτομένη στο Α( x Ασύμπτωτες ), y x x y y = Ε (-γ,0), Ε(γ,0) Ο(0,0) - = b y y x x = Ε (0,-γ), Ε(0,γ) Ο(0,0) - = b Παρατήρηση : Ισχύει πάντα ότι : α, β, γ > 0, γ = α +β, γ > α, γ >β. y = ± b x y = ± x b ΒΑΙΚΕ ΠΑΡΑΤΗΡΗΕΙ Έστω Α( x, y ) και Β= ( x, y ) δυο σημεία μιας κωνικής τομής και Μ το μέσο του ΑΒ. Τότε : v Αν είναι γνωστό το Μ(α,β), για να βρούμε την εξίσωση της ΑΒ κάνουμε τα εξής : Επειδή τα Α και Β ανήκουν σε δοσμένη κωνική τομή, οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση της κωνικής τομής. Προκύπτουν έτσι δυο εξισώσεις. Τις παραπάνω εξισώσεις τις αφαιρούμε κατά μέλη, παραγοντοποιούμε τις διαφορές x - x, y - y και σχημα- τίζουμε μια σχέση της οποίας το ένα μέλος είναι το κλάσμα :. y - y x - x Θέτουμε x + x = και y + y = b. y - y Έχοντας υπολογίσει το κλάσμα έχουμε ήδη βρεί x - x τον συντελεστή διεύθυνσης της ΑΒ, επίσης γνωρίζουμε το Μ, οπότε βρίσκουμε την εξίσωση της ΑΒ. v Αν η χορδή ΑΒ της παραβολής C: ψ =ρχ, διέρχεται από την εστία της τότε ισχύει ότι : y y = - p ( Διότι τα Α, Β, Ε συνευθειακά ) Οι εφαπτόμενες της C στα Α και Β τέμνονται πάνω στην διευθετούσα της. Αν οι εφαπτόμενες στα Α και Β τέμνονται στο ( x ), τότε η ΑΒ έχει εξίσωση : ψ ψ 0 =ρ (χ+χ 0 ). 0, y0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

ΑΚΗΕΙ. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : α ) Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: χ +ψ = 5, στο σημείο Α(,-) είναι ε :. β ) Η εξίσωση χ +ψ +Αχ+ Βψ+ Γ =0, παριστάνει κύκλο όταν :.. γ ) Αν η εξίσωση χ +ψ +Αχ +Βψ+ Γ =0 παριστάνει κύκλο, τότε το κέντρο του και η ακτίνα του είναι : Κ(,.), ρ=. δ ) Οι παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C:χ +ψ =9 είναι :χ=. ψ=. Να χαρακτηριστούν ως ωστές ή άθος οι παρακάτω προτάσεις :. Ο κύκλος με κέντρο Κ(,-), ο οποίος διέρχεται από το Α(4,3) έχει εξίσωση : (χ-) +(ψ+) = 5.. Η ευθεία με εξίσωση χ+ψ-=0 εφάπτεται στον κύκλο C: χ +ψ =. 3. Η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου C: χ +ψ =3, στο σημείο Α(-,3) είναι η : χ-3ψ-3=0 4. Η εξίσωση : χ +ψ +χ-ψ-=0 παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(-,) και ακτίνα ρ=. 5. Η ακτίνα του κύκλου χ +ψ +αχ+βψ+γ=0 είναι: A + B - 4G ρ=. 4 6. Η ευθεία 3χ-4ψ-9=0 εφάπτεται στον κύκλο C: (χ-) +(ψ-3) =5. 7. Ο κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΑΒ, όπου Α(-3,4) και Β(3,-4), έχει εξίσωση : χ +ψ =5. 8. Η εξίσωση : χ +ψ +λχ+(λ+)ψ-λ-=0 παριστάνει κύκλο για κάθε λî Â. 3. Να αντιστοιχήσετε κάθε εξίσωση κύκλου της στήλης Α με την εξίσωση μιας εφαπτομένης του από τη στήλη Β. ΤΗΗ Α ι ) χ +ψ =0 ιι ) χ +ψ -χ+4ψ+3=0 ιιι ) χ +ψ -4ψ-=0 ΤΗΗ Β. χ+ψ+3=0. χ+ψ-7=0 3. 3χ-ψ-0=0 4. χ+ψ-5=0 4. Ένας κύκλος C έχει κέντρο το σημείο (0,0) και εφάπτεται στην ευθεία ε : χ+ψ-4=0. Να βρείτε : ι ) την εξίσωση του κύκλου. ιι ) το σημείο επαφής Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

ιιι ) την άλλη εφαπτομένη του κύκλου που είναι παράλληλη στην ε. 5. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου που έχει εξίσωση : ι ) χ +ψ -6χ-8ψ-=0 ιι ) χ +ψ +6χ=0 ιιι ) χ +ψ -0χ+4ψ+5=0 ιν ) 4χ +4ψ -36χ+45=0. 6. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου όταν : α ) έχει κέντρο Κ(-,4) και διέρχεται από το Α(4,). β ) έχει διάμετρο το ΑΒ με Α(,3) και Β(-3,5). 7. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου, όταν το κέντρο του είναι σημείο της ευθείας ε : 4χ-5ψ+=0 και διέρχεται από τα σημεία Α(,) και Β(-,4). 8. Δίνεται ο κύκλος C: χ +ψ =5. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου που είναι κάθετες στην ευθεία η : χ+ψ+3=0. 9. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του κύκλου C: χ +ψ =5, οι οποίες διέρχονται από το σημείο (-5,5). 0. Δίνεται η εξίσωση χ +ψ -6χ+8ψ+6=0. ι ) να δείξετε ότι αυτή παριστάνει πάντα κύκλο. ιι ) να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. ιιι ) να βρείτε τις εφαπτομένες του κύκλου που είναι παράλληλες στην 3χ+4ψ-5=0.. Δίνεται η εξίσωση : χ +ψ +4χ+6ψ-=0. ι ) να δείξετε ότι αυτή παριστάνει πάντα κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. ιι ) να εξετάσετε αν διέρχεται από το σημείο Α(-5,). ιιι ) να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο Α.. Ένας κύκλος με κέντρο Κ(, ) τέμνει την ευθεία ε :3χ+4ψ+8=0 στα σημεία Α και Β. Να βρείτε την εξίσωση του όταν (ΑΒ)=8. 3. Ένας κύκλος έχει το κέντρο του στην ευθεία χ-ψ-=0 και εφάπτεται της ευθείας 4χ-3ψ+9=0 στο σημείο Α(-,5). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου. 4. Δίνεται ο κύκλος C: χ +ψ -0χ-6ψ+9=0. Να δειχθεί ότι διέρχεται από το σημείο (,-) και να βρείτε τις συντεταγμένες του αντιδιαμετρικού του. 5. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(,-) και αποκόπτει από την ευθεία ε :3χ-4ψ+6=0 χορδή μήκους. 6. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο την κοινή χορδή των κύκλων χ +ψ -6χ=0 και χ +ψ -6ψ=0. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

7. Δίνεται ο κύκλος C: (χ-) +(ψ+) =5 και η ευθεία ε : 3χ-4ψ+0=0. Να βρεθεί η εξίσωση του συμμετρικού του κύκλου C: ως προς την ευθεία ε. 8. το επίπεδο θεωρούμε το ορθογώνιο σύστημα ΧΟΨ και σταθερό σημείο Α αυτού με OA =3. Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία Μ (χ,ψ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει : OM ( OM - OA) = 7. [ Γενικές Εξετάσεις 98 ] 9. Δίνεται η ευθεία ε :5χ+3ψ+=0 και ο κύκλος C: χ +ψ -χ-=0, που τέμνονται στα σημεία Μ,Ν. α ) να αποδείξετε ότι για κάθε λ Î Â η εξίσωση : χ +ψ -χ-+λ(5χ+3ψ+)=0 () παριστάνει κύκλο, ο οποίος διέρχεται από τα Μ, Ν. Για ποια τιμή του λ ο κύκλος αυτός διέρχεται από το (0,0) ; β ) να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της ερώτησης (α) ανήκουν σε ευθεία, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. [ Γενικές Εξετάσεις 990 ] 0. Δίνονται οι κύκλοι C, C με εξισώσεις: C : x +y -4x-y+=0 C : (x+κ) + (y-λ) =5, κ,λ Î ΙR α) Να αποδείξετε ότι ο κύκλος C έχει κέντρο το σημείο Κ (,) και ακτίνα ρ =. β) Να βρείτε τις τιμές των κ και λ έτσι ώστε οι κύκλοι C και C να έχουν το ίδιο κέντρο. γ) Να εξετάσετε, αν τα σημεία Α(4,), Β(,) ανήκουν στον κύκλο C. [ Εξετάσεις Εσπερινών υκείων 00 ]. ε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy στο επίπεδο, δίνεται η εξίσωση : x + y λx + λ = 5, () όπου λ Î IR. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο. β) Για λ =, να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου και την ακτίνα του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση (). γ) Για λ =, να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας με εξίσωση y = x και του κύκλου ο οποίος προκύπτει από την εξίσωση (). [ Εξετάσεις Εσπερινών υκείων 003 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

. Α. Δίνεται η εξίσωση C: x + y + 6μx + 8λy = 0, όπου μ, λ πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή των μ, λ, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ο. Β. Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς μ, λ ισχύει η σχέση : 3μ + λ = 0. α. Να δείξετε ότι, όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την εξίσωση x + y + 6μx + 8λy = 0 για τις διάφορες τιμές των μ και λ, έχουν τα κέντρα τους σε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β. Να βρείτε τα μ, λ έτσι, ώστε, αν Α, Β είναι τα σημεία τομής του αντίστοιχου κύκλου με την ευθεία x + y + = 0, να ισχύει OA OB = 0. γ. Για τις τιμές των μ, λ που βρήκατε στο ερώτημα (β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. [ Εξετάσεις Ενιαίων υκείων 00 ] 3. Δίνεται η εξίσωση C: x + y xσυνθ yημθ =0, 0 θ<π. Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε θ η εξίσωση αυτή παριστάνει κύκλο, του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. π Β. Αν θ =, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Μ(,). Γ. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του θ τα κέντρα των παραπάνω κύκλων βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =. [ Εξετάσεις Ενιαίων υκείων 00 ] 4. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση C: (χ-3) +(ψ-) =4. ι ) να βρεθούν οι εφαπτόμενες του κύκλου που διέρχονται από το (0,0), ιι ) να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι εφαπτομένες μεταξύ τους. 5. Δίνονται οι παραβολές C :ψ = -8χ και C : χ = 6ψ. α ) να βρείτε τις εστίες και τις διευθετούσες των C, C. β ) να σχεδιάσετε τις παραπάνω παραβολές. γ ) να βρείτε την εφαπτομένη της C στο Α(-,4). δ ) να βρείτε την εφαπτομένη της C στο Β(-4,). ε ) να βρείτε την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στην ευθεία χ-ψ-4=0. 6. Να αντιστοιχήσετε σε κάθε εξίσωση παραβολής της τήλης Α με την εστία και τη διευθετούσα της από τη τήλη Β. ΤΗΗ Α ΤΗΗ Β ι ) ψ =8χ. Ε(-4,0), δ: ψ= -4 ιι ) χ =-6ψ. Ε(-,0), δ: χ= Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

ιιι ) ψ = -4χ 3. Ε(,0), δ : χ= - 4. Ε(,0), δ : χ= - 5. Ε(0,-4), δ : ψ=4 7. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.. Η παραβολή ψ =ρχ έχει εστία..και διευθετούσα... Η παραβολή με εστία Ε(0,-) και κορυφή (0,0) έχει εξίσωση 3. Η εφαπτομένη της παραβολής C : χ =4ψ, η οποία είναι κάθετη στην ευθεία χ+ψ-7=0 έχει εξίσωση.. 4. Η εφαπτομένη της ψ =χ που είναι παράλληλη στην ευθεία: χ-4ψ+0=0 έχει εξίσωση. 5. Από το σημείο Μ(χ 0,ψ 0 ), φέρνουμε τις εφαπτομένες ΜΑ και ΜΒ προς την παραβολή C : ψ =ρχ. ι ) η εξίσωση ΑΒ είναι η ιι ) η ΑΒ διέρχεται από την εστία της C όταν και μόνο όταν το Μ ανήκει στην..της παραβολής. 8. Δίνονται οι παραβολές C : ψ = 6χ, C : χ = -4ψ και C : ψ =36χ. Να βρείτε : α ) την εστία την διευθετούσα καθεμιάς και να τις σχεδιάσετε. β ) την εφαπτομένη της C που είναι παράλληλη στην χ-ψ+5=0. γ ) την εφαπτομένη της C που είναι κάθετη στην χ+ψ+=0. δ ) τις εφαπτομένες της C οι οποίες διέρχονται από το σημείο Ρ(,9). 9. Έστω α, β οι αποστάσεις των Ο(0,0) και Α(,0) από μια μεταβλητή εφαπτομένη ε της παραβολής C : ψ = 4χ. Να αποδείξετε ότι η παράσταση = β -α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη της θέσης της εφαπτομένης. 30. Δίνεται η παραβολή C : ψ =8χ. α ) να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της. β ) να αποδείξετε ότι η ευθεία χ+ψ+=0 εφάπτεται στην παραβολή. 3. Μια παραβολή έχει κορυφή το (0,0) και άξονα συμμετρίας τον χχ. Να βρεθεί η εξίσωση της όταν : α ) διέρχεται από το (5,) β ) έχει εστία το Ε(-3,0) γ ) έχει διευθετούσα την χ= -4. 3. Αν ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο στην ψ = 4χ και η κορυφή Α του τριγώνου συμπίπτει με την κορυφή της παραβολής. Να δειχθεί ότι ΑΒ = 8 3. 33. α ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής ψ = 6χ που είναι παράλληλη στην ευθεία χ-4ψ+7=0. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 30

β ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής ψ =8χ που είναι κάθετη στην ευθεία χ+3ψ-5=0. 34. Δίνεται η παραβολή με εξίσωση : ψ = 4χ. α ) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι κάθετη στην ευθεία, με εξίσωση 3χ+ψ+3=0 () β ) να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων της παραβολής τις ο- ποίες φέρνουμε από το σημείο (-,). [ Γενικές Εξετάσεις 988 ] 35. Θεωρούμε την παραβολή C : ψ =0χ και το σημείο Μ(4,). Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ διέρχεται από το Μ και τέμνει τη C στα σημεία Α( x, y ) και Β= ( x, y ). Να αποδείξετε ότι : 0 α ) λ =, y + y β ) αν το Μ είναι μέσο του ΑΒ, τότε η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση: 5χ-ψ-9=0. 36. Δίνεται η παραβολή C : ψ =ρχ και μια ευθεία ε, η οποία διέρχεται από την εστία Ε και τέμνει την C στα σημεία Α ( x, y ) και Β= ( x, y ). Έστω Γ και Δ οι προβολές των Α και Β στην διευθετούσα της παραβολής. α ) υπολογίστε το γινόμενο : y y. β ) να αποδείξετε ότι ο κύκλος με διάμετρο το ΓΔ διέρχεται από την εστία της παραβολής. 37. Δίνεται η παραβολή C : ψ = 4χ και η ευθεία ε : ψ= λχ-λ, λ Î Â. α ) να αποδείξετε ότι η ε τέμνει την C για κάθε τιμή του λ. β ) πότε την τέμνει σε δυο σημεία ; γ ) αν η ε τέμνει την C στα Α ( x, y ), Β= ( x, y ) να δείξετε ότι : ι ) x x = ιι ) y y = -4 ιιι ) οι εφαπτόμενες της C στα Α, Β τέμνονται κάθετα και μάλιστα σε σημείο της διευθετούσας της C. 38. Δίνεται η παραβολή C: ψ = 8χ και η ευθεία ε η οποία τέμνει την C στα Α, Β. Έστω Μ(4,) το μέσο του ΑΒ. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε. 39. Θεωρούμε την παραβολή C: ψ =6χ και την ευθεία ε : χ-ψ+3=0. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου της C, του οποίου η απόσταση από την ε είναι η ελάχιστη δυνατή. Ποια είναι η ελάχιστη αυτή απόσταση ; 40. Δίνεται η παραβολή y = 4x. Να βρείτε: α ) την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής, β ) τις ευθείες που διέρχονται από την εστία της παραβολής και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με, Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

γ ) την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής που είναι παράλληλη στην ευθεία y= x. [ Εξετάσεις Ενιαίων υκείων 00 ] 4. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : α ) Η έλλειψη με εστίες Ε (-6,0) και Ε(6,0) και σταθερό άθροισμα 0 έ- χει εξίσωση 4 β ) Η έλλειψη με εκκεντρότητα, εστιακή απόσταση 8 και εστίες στον 5 άξονα των τεταγμένων έχει εξίσωση γ ) Το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης C: χ +4ψ =4 είναι: δ ) Εκκεντρότητα της έλλειψης β χ +α ψ =α β λέμε τον αριθμό :. ε ) Η εφαπτομένη της έλλειψης C:5χ +3ψ =8 στο σημείο Μ(,-) έχει εξίσωση: στ ) Το σημείο Μ(ημθ, 3συνθ ), καθώς το θ μεταβάλλεται στο [0,π) κινείται σε.. 4. ε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή απάντηση. ) Αν Μ(χ,ψ) είναι ένα τυχαίο σημείο της C:ψ =ρχ, τότε το ΜΕ είναι ίσο με : r r r r Α: x + Β: y + Γ: Δ: x - Ε: r ) Η έλλειψη C:3χ +5ψ =30 έχει : Α: εστίες στον ψψ Β: α= 0 3 Γ: ε = 5 Δ: β= Ε: Ε (-,0) 3 ) Η εφαπτομένη της C:ψ =6χ που είναι κάθετη στην χ+ψ-5=0 έχει εξίσωση : Α: χ-ψ+7=0 Β: χ+ψ-7=0 Γ:χ-ψ-6=0 Δ: χ+ψ+3=0 Ε: χ-ψ+6=0 4 ) Αν Μ είναι τυχαίο σημείο της C:5χ +9ψ =5, Κ(0,-4) και (0,4), τότε το ΜΚ+Μ είναι ίσο με : Α: 6 Β: 5 Γ: 3 Δ: 50 Ε: 0 5 ) Η υπερβολή 5χ -4ψ =0 έχει εκκεντρότητα : 3 5 4 3 Α: Β: Γ: Δ: Ε : 4 5 3 5 43. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : Εξίσωση α β γ Εστίες 6χ +5ψ =400 x + y = 5 69 Μεγάλος Άξονας Εκκεντρότητα Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

44. Δίνεται η έλλειψη C:9χ +5ψ =5. α ) να βρείτε τις εστίες της. β ) να βρείτε τις κορυφές και τα μήκη των αξόνων της. γ ) να βρείτε την εκκεντρότητα. δ ) να σχεδιάσετε την C. 45. Μια έλλειψη έχει κέντρο την αρχή των αξόνων, εκκεντρότητα 5 4 και εστιακή απόσταση 8. α ) να βρείτε την εξίσωση της. β ) να τη σχεδιάσετε. 46. Δίνεται η έλλειψη C: 3χ +ψ =4. Να βρείτε : α ) την εξίσωση ε της εφαπτομένης της στο Α(,) β ) την εφαπτομένη η της C που είναι παράλληλη στην ε. 47. Δίνονται οι εξισώσεις 5ψ=3λ(χ+5) και 5λψ=3(5-χ), με λ ¹ 0. Να αποδείξετε ότι : α ) καθεμιά από αυτές παριστάνει για κάθε λ Î Â * β ) το σημείο τομής των ευθειών κινείται σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε τις εστίες. 48. Δίνεται η έλλειψη C: χ +3ψ =4 και ένα σημείο Μ διαφορετικό από τα Α και Α. Η εφαπτομένη ε της C στο Μ τέμνει την δ: χ=6 στο Ρ. Αν Μ( x, y ) 0 0 να αποδείξετε ότι : 8 - x0 α ) οι συντεταγμένες του Ρ είναι ( 6, ), y0 β ) η γωνία ΜΕΡ όπου Ε η εστία της C είναι ορθή, γ ) καθώς το Μ κινείται πάνω στην C, ο κύκλος με διάμετρο ΜΡ διέρχεται από την εστία της C. 49. Δίνεται η έλλειψη C: β χ +α ψ =α β και η εφαπτομένη της ε στο Μ( x, y ) με 0 0 y 0 > 0. Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Α (α,0) τέμνει την ε στο Ρ. Να αποδείξετε ότι : - x α ) Ρ(α, β 0 ) β ) ΟΡ Α Μ, όπου Α (-α,0). y0 50. Δίνεται η έλλειψη C:β χ +α ψ =α β με α>β και σημείο Μ( x, y ), διαφορετικό από τις Α, Α. Οι εφαπτομένες της C στα Α, Α τέμνουν την 0 0 εφαπτομένη από το Μ της C στα Γ, Δ αντίστοιχα. α ) να εκφράσετε τις συντεταγμένες των Γ, Δ συναρτήσει των χ, y. 0 0 β ) να δείξετε ότι ΕΓ ΕΔ, όπου Ε η εστία της C. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 33

x y 5. Δίνεται η έλλειψη C: + = με α>β>0 και το σημείο Κ(0,β). Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή λ διέρχεται από το Κ και τέμνει τις εφαπτο- b μένες της C στα άκρα του μεγάλου άξονα της στα σημεία Μ και Ν. α ) να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ΜΝ ως συνάρτηση του λ. β ) να βρείτε την τιμή του λ ώστε ο κύκλος με διάμετρο ΜΝ να διέρχεται από τις εστίες της C. [ Γενικές Εξετάσεις 993 ] 5. Δίνονται δύο κωνικές τομές: η παραβολή y = px, και η έλλειψη 4x +y =3p, p>0. α ) Να αποδείξετε ότι οι εστίες Ε και Ε της έλλειψης είναι τα σημεία æ 3pö æ ö Εç 0, και Ε ç 3 p 0,-. è ø è ø β ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής Κ και των δύο κωνικών τομών είναι τα σημεία æ p ö æ p ö Κ ç, p και ç, - p. è ø è ø γ ) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των δύο κωνικών τομών στο σημείο Κ ç, p είναι κάθετες. æ p ö è ø [ Εξετάσεις Ενιαίων υκείων 003 ] 53. Δίνονται η έλλειψη C : 4χ +9ψ =36 και ο κύκλος C : χ +ψ =9. Από την εστία Ε ( 5,0) φέρνουμε ευθεία ε χχ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Κ, και την έλλειψη στα Μ, Ν. Να δειχθεί ότι η απόσταση των Κ, Μ είναι. 3 54. Δίνεται η έλλειψη C: β χ +α ψ =α β και φέρνουμε στο σημείο Μ ( x, y 0 0 ) διαφορετικό από τις κορυφές της έλλειψης, την εφαπτομένη ε της C που τέμνει την ευθεία γχ-α =0 στο Κ. Αν Ε(γ,0) η εστία της C, να δειχθεί ότι το ΜΕΚ τρίγωνο είναι ορθογώνιο. 55. Αν από το σημείο Μ(-6,7) φέρνουμε τις εφαπτόμενες ΜΑ, ΜΒ στην έλλειψη C 4χ +3ψ =, να βρεθεί η απόσταση του Μ από την ΑΒ. 56. Δίνεται η έλλειψη C: 5χ +9ψ = 45 και τα σημεία Γ(0,) και Δ(0,-). Έστω Μ( x, y 0 0 ) μεταβλητό σημείο της C και ε η εφαπτομένη της C στο Μ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 34

α ) να βρείτε την εξίσωση της ε. β ) αν d,d οι αποστάσεις των Γ, Δ από την ε να αποδείξετε ότι ισχύουν : 9 y - 5 9 y + 5 d =, d = 5x + 8y 5x + 8y γ ) να αποδείξετε ότι : d + d 8. = 57. Δίνεται η έλλειψη C: 6χ +5ψ = 400 και το σημείο Μ(4,). α ) να δείξετε ότι το Μ είναι εσωτερικό σημείο της C, β ) να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το Μ. 58. Από ένα σημείο Μ άγονται δυο εφαπτομένες της C: 4χ +6ψ =64 και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία επαφής έχει εξίσωση ε :χ-3ψ-4=0. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Μ. 59. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις : x y α ) Αν Ε και Ε είναι οι εστίες της C: - =, τότε : b ι ) ΕΕ =, όπου γ = ιι ) οι εστίες της C βρίσκονται στον άξονα ιιι ) η εκκεντρότητα της C είναι και είναι.απ το, ιν ) ME - ME =., για κάθε σημείο Μ της C. β ) Η υπερβολή με εστίες Ε(0,5) και Ε (0,-5) και σταθερή διαφορά 8 έχει εξίσωση. γ ) Οι ασύμπτωτες της υπερβολής C: x - y = έχουν εξισώσεις 3 δ ) Οι εστίες της υπερβολής C: 5χ -ψ =55 είναι τα σημεία.. ε ) Η εκκεντρότητα κάθε ισοσκελούς υπερβολής είναι.. 60. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα : Εξίσωση α β γ Εστίες Ασύμπτωτες x - y = 9 6 y - x = 5 44 6. Δίνονται οι υπερβολές C : 6χ -9ψ =44 και C : 3ψ -χ =. α ) να βρείτε τις εστίες και τις κορυφές των C, C, β ) να βρείτε τις εκκεντρότητες των C, C, γ ) να βρείτε τις ασύμπτωτες των υπερβολών, δ ) να τις σχεδιάσετε. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 35

6. Ένα μεταβλητό σημείο Μ κινείται με τέτοιον τρόπο ώστε η απόσταση από το σημείο Α(0,5) να ισούται με τα 3 5 της απόστασης του από την ευθεία ε :ψ= 5 9. α ) να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε υπερβολή και να βρείτε την εξίσωση της, β ) να βρείτε τις εστίες της παραπάνω υπερβολής και τις κορυφές της. 63. Μια μεταβλητή ευθεία ζ παράλληλη με την ε : χ-ψ+5=0 τέμνει την υπερβολή 4χ -9ψ =36 στα σημεία Γ και Δ. Αν Γ( x, y ) και Δ( x, y ), να α- ποδείξετε ότι : y - y 4 x + x α ) =, x - x 9 y + y β ) το μέσο Μ του ΓΔ κινείται στην ε : χ-9ψ=0. 64. Δίνεται η υπερβολή C: χ -6ψ =. Να βρείτε τις εφαπτομένες της C οι οποίες : α ) είναι παράλληλες στην ε :χ-ψ+5=0, β ) διέρχονται από το σημείο (,-). 65. Δίνεται η ισοσκελής υπερβολή C: χ -ψ =α και μια ευθεία ε ψψ που τέμνει την C στα Γ και Δ. Αν Α είναι η κορυφή της υπερβολής τότε : α ) βρείτε την εκκεντρότητα της C β ) να αποδείξετε ότι ΑΓ ΑΔ. x y 66. Μια υπερβολή C: - =, α > 0, β > 0 διέρχεται από το σημείο b Μ(-4,3) και η εφαπτομένη της στο Μ είναι η ευθεία ε :ψ= -χ-5. Να βρείτε τα α, β. 67. Δίνεται η C : χ -ψ = και C : 4χ +9ψ =36. Τυχαία εφαπτομένη της υ- περβολής στο Μ( x, y ) τέμνει την έλλειψη στα Α, Β. Αν οι εφαπτομένες της C στα Α, Β τέμνονται στο Κ, να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται το Κ, όταν το Μ κινείται στην υπερβολή C. 68. Δίνεται η 9χ -6ψ =44 με εστίες Ε και Ε και ένα σημείο Μ(λ,μ) αυτής. α ) να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ε, ζ που διέρχονται από τα Μ, Ε και Μ, Ε αντίστοιχα. β ) να βρείτε τα σημεία Μ ώστε οι ε να είναι κάθετη στη ζ. [ Πανελλήνιες Εξετάσεις 98 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 36