KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το σηµείο Αν = τότε η δυναµοσειρά καλείται και σειρά McLauri: a (2) = Oι αριθµοί α α καλούνται συντελεστές της δυναµοσειράς και ο καλείται κέντρο της δυναµοσειράς Eίναι προφανές το ερώτηµα: Για ποιες τιµές του η δυναµοσειρά () συγκλίνει; Ορισµός 62 To σύνολο Ι των σηµείων για τα οποία η δυναµοσειρά () συγκλίνει καλείται τόπος σύγκλισης της δυναµοσειράς Ορισµός 63 To σύνολο Ι των σηµείων για τα οποία η δυναµοσειρά () είναι απολύτως συγκλίνουσα δηλαδή = a <+ καλείται τόπος απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς Προφανώς Ι αφού ( ) = a = a άρα ο τόπος σύγκλισης όπως και ο τόπος απόλυτης σύγκλισης δεν είναι ποτέ το κενό σύνολο Εστω Ι όπου Ι είναι ο τόπος σύγκλισης της δυναµοσειράς Ορίζουµε τη συνάρτηση f : I : f( ) = a ( ) = Θα µελετήσουµε τον τόπο σύγκλισης µιας δυναµοσειράς Επειδή η µελέτη των δυναµοσειρών της µορφής () ανάγεται στη µελέτη της αντίστοιχης σειράς Mc Lauri µε την αντικατάσταση y = - στα επόµενα θα µελετήσουµε τον τόπο σύγκλισης µιας σειράς Mc Lauri 96

Θεώρηµα 6 (Αbel) (i) Αν η δυναµοσειρά = a συγκλίνει για κάποιο πραγµατικό αριθµό ξ τότε συγκλίνει και µάλιστα απόλυτα για κάθε στο ανοικτό διάστηµα ξ ξ ( ) (ii) Αν η δυναµοσειρά a δεν συγκλίνει για κάποιο πραγµατικό αριθµό ξ τότε αυτή = δεν συγκλίνει για όλα τα που ανήκουν στο σύνολο ( ξ ) ( ξ ) + Πρόταση 6 Θεωρούµε τη δυναµοσειρά + a Αν lim = a a + = λ τότε: εαν < λ <+ η δυναµοσειρα a συγκλινει απολυτα για < = λ εαν λ = η δυναµοσειρα a συγκλινει απολυτα για καθε = εαν λ =+ η δυναµοσειρα a συγκλινει µονον για = = Aπόδ Αµεση συνέπεια του κριτηρίου του λόγου για σειρές (βλέπε Κεφ 5) και του Θεωρήµατος 6 Πρόταση 62 Θεωρούµε τη δυναµοσειρά a Αν lim a = + = λ τότε: εαν < λ <+ η δυναµοσειρα a συγκλινει απολυτα για < = λ εαν λ = η δυναµοσειρα a συγκλινει απολυτα για καθε = εαν λ =+ η δυναµοσειρα a συγκλινει µονον για = = Aπόδ Αµεση συνέπεια του κριτηρίου της ρίζας για σειρές (βλέπε Κεφ 5) και του Θεωρήµατος 6 Σηµείωση Τόσο η Πρόταση 6 όσο και η Πρόταση 62 προσδιορίζουν ένα διάστηµα σύγκλισης της δυναµοσειράς της µορφής (-/λ/λ) και ένα σύνολο απόκλισης (--/λ) (/λ+) Τι συµβαίνει όµως όσον αφορά τη σύγκλιση της δυναµοσειράς στα σηµεία = ±/λ; Mελετούµε ξεχωριστά τη σύγκλιση των αριθµητικών σειρών = λ = ( ) a a λ 97

στα σηµεία = /λ = -/λ για να προσδιορίσουµε επακριβώς τον τόπο σύγκλισης και απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς Σηµείωση 2 Για να αποφύγουµε τη χρήση των τύπων των Προτάσεων 6 και 62 όταν θέλουµε να βρούµε τον τόπο σύγκλισης µιας δυναµοσειράς µπορούµε να εφαρµόσουµε κατευθείαν το κριτήριο λόγου ή ρίζας (βλέπε Κεφ 5) για σειρές και κάνουµε διερεύνηση όλων των περιπτώσεων Παράδειγµα Να ευρεθεί ο τόπος σύγκλισης και ο τόπος απόλυτης σύγκλισης της 3 δυναµοσειράς = Λύση Θεωρώ την ακολουθία για σειρές: 3 a( ) = και εφαρµόζω το κριτήριο του λόγου + + 3 a ( ) + 3 + lim + = lim + = lim 3 + = a ( ) 3 + Αν 3 < < < < τότε η δυναµοσειρά 3 3 3 απόλυτα άρα συγκλίνει = 3 συγκλίνει Αν 3 > > > η < + 3 3 3 3 3 δυναµοσειρά = 3 αποκλίνει τότε η Για = ±/3 δεν έχουµε συµπέρασµα Μελετούµε λοιπόν ξεχωριστά τις περιπτώσεις αυτές Εστω = /3 τότε η δυναµοσειρά γίνεται: 3 = =+ 3 = = 2 Εστω = -/3 τότε η δυναµοσειρά γίνεται: αλλά αντιθέτως: 3 ( ) = <+ 3 = = (Kριτήριο Leibitz) 98

3 = =+ 3 = = Συµπερασµατικά ο τόπος σύγκλισης της δυναµοσειράς είναι το διάστηµα ενώ ο τόπος απόλυτης σύγκλισης της δυναµοσειράς είναι το ανοικτό 3 3 διάστηµα 3 3 Πρόταση 63 (Παραγώγιση δυναµοσειρών) Αν µία δυναµοσειρά σύγκλισης το ανοικτό διάστηµα (-ρρ) τότε και η δυναµοσειρά σύγκλισης το Ι ΙΟ ανοικτό διάστηµα (-ρρ) Αν λοιπόν ορίσουµε: a έχει τόπο = a έχει ως τόπο = f :( ρρ ) : f( ) = a = τότε για κάθε (-ρρ) υπάρχει η παράγωγος f ( ) και ισχύει: = f :( ρρ ) : f ( ) = a Ορισµός 64 Εστω δύο σειρές a και = = των δύο σειρών κατά Cauchy ως µία νέα σειρά b Ορίζουµε το γινόµενο (συνέλιξη) c όπου: = c = a b + k k k = Πρόταση 64 Αν δύο δυναµοσειρές a = b έχουν τον ίδιο τόπο = σύγκλισης (-ρρ) τότε το γινόµενό τους κατά Cauchy έχει τόπο σύγκλισης ένα υπερσύνολο του (-ρρ) Αν ορίσουµε f ( ) = a g ( ) = b (-ρρ) τότε: = = f( ) g( ) = c ( ρ ρ) = όπου c είναι όπως στον ορισµό 64 99

62 Το πολυώνυµο Τaylor Aς θεωρήσουµε το πολυώνυµο P ( y) = a + a y+ + a y a i Θα δούµε ότι οι συντελεστές του α i εκφράζονται συναρτήσει των παραγώγων της συνάρτησης P (y) στο σηµείο y = Πράγµατι παραγωγίζοντας διαδοχικά έχουµε: P ( y) = a + 2 a y+ + a y 2 2 3 3 4 P ( y) = 2a + 6 a y+ + ( ) a y ( ) 2 P ( y) = 6a + 24 a y+ + ( )( 2) a y P ( y) = ( )( 2) a =! a 3 οπότε θέτοντας y = έχουµε: P () = a P () = a ( ) P () = 2a 2 P () = 6a P 3 () =! a άρα µπορούµε να γράψουµε το πολυώνυµο P (y) ως εξής: ( ) P () 2 P () 3 P () P( y) = P() + P () y+ y + y + y (3) 2 6! Aν θέσουµε µάλιστα y = - µπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανείς ότι το πολυώνυµο: γράφεται ως εξής: ( ) ( ) P ( ) = a + a + + a a i ( ) P ( ) 2 P ( ) P( ) = P( ) + P ( ) ( ) + ( ) + + ( ) (4) 2! Η σχέση (4) καλείται ανάπτυγµα Taylor του πολυωνύµου P () κατά τις δυνάµεις του - Θεωρούµε τώρα µία συνάρτηση f oρισµένη σ ένα διάστηµα Ι της πραγµατικής ευθείας η οποία έχει σε ένα σηµείο I παραγώγους µέχρι -τάξεως Θέλουµε να

βρούµε ένα πολυώνυµο βαθµού της µορφής που να ικανοποιεί τις σχέσεις: ( ) ( ) P ( ) = a + a + + a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P ( ) = f P ( ) = f P ( ) = f (5) Ενα τέτοιο πολυώνυµο δίνει η σχέση (4) οπότε για τα δεδοµένα (5) παίρνουµε: ( ) f ( ) 2 f ( ) P f ( ) = f( ( ) ( ) ( ) ) + f ( ) + + + (6) 2! Η σχέση (66) είναι ένα πολυώνυµο προσέγγισης της συνάρτησης f στο σηµείο και καλείται πολυώνυµο Taylor της συνάρτησης f στο σηµείο Προφανώς αν η συνάρτηση f ΕΝ είναι πολυώνυµο ισχύει: f ( ) P ( ) = R ( ) f f όπου η συνάρτηση R ( ) καλείται υπόλοιπο f Ορισµός 62 Αν f είναι µία πραγµατική συνάρτηση oρισµένη στο [ ab ] [ ab ] και η f έχει παραγώγους µέχρι -τάξεως στο σηµείο τότε το πολυώνυµο: P f f 2! ( ) f ( ) 2 f ( ) f ( ) = ( ( ) ( ) ( ) ) + ( ) + + + καλείται πολυώνυµο Taylor ή ανάπτυγµα Taylor της f στο σηµείο Ι Είναι σαφές ότι όταν το υπόλοιπο R f ( ) είναι µικρό για όλα τα που ανήκουν σε µία περιοχή του σηµείου τότε το πολυώνυµο Taylor P f ( ) δίνει µία αρκετά καλή προσέγγιση της συνάρτησης f() σε µία περιοχή του σηµείου Το πρόβληµα λοιπόν είναι ο προσδιορισµός του υπολοίπου R f ( ) Σηµείωση Το ανάπτυγµα Taylor µιας συνάρτησης f σε σηµείο είναι µοναδικό Θεώρηµα 62 Eστω f :[ a b] είναι -φορές παραγωγίσιµη στο [ ab ] µε συνεχείς παραγώγους και υπάρχει η (+)-παράγωγος της f στο (αb) Αν [ ab ] τότε για κάθε [ ab ] ισχύει ( + ) f ( ξ ) + R f ( ) = ( ) ξ µεταξυ των και ( υπόλοιπο Lagrage) ή ( + )!

( + ) f ( ξ ) R f( ) = ( ξ) ( ) ξ µεταξυ των και (υπόλοιπο Cauchy)! 63 Η σειρά Τaylor Ορισµός 63 Αν f :[ a b] έχει παραγώγους κάθε τάξεως στο σηµείο [ ab ] τότε η δυναµοσειρά f ( ) T ( ) f ( ) = ( ) =! καλείται σειρά του Taylor στο σηµείο και έχει τον τόπο σύγκλισής της τον οποίο θα συµβολίζουµε στο εξής µε Ι Επιπλέον αν ισχύει ( ) f ( ) f ( ) = ( ) I [ a b]! = τότε θα λέµε ότι η f αναπτύσσεται στο I [ ab ] σε σειρά Τaylor γύρω από το σηµείο [ ab ] Θεώρηµα 63 Eστω ότι η συνάρτηση f :[ ] a b έχει παραγώγους κάθε τάξεως στο [ab] και [ ab ] Aν Ι είναι ο τόπος σύγκλισης της σειράς Taylor Tf ( ) τότε η f αναπτύσσεται στο I [ ab ] σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο [ ab ] αν και µόνον αν για το υπόλοιπο R ( ) ισχύει f R ( ) + I [ a b] f Πρόταση 63 Εστω Ι είναι ο τόπος σύγκλισης της σειράς Taylor Tf ( ) Αν η συνάρτηση f :[ a b] έχει φραγµένες παραγώγους κάθε τάξεως στο I [ ab ] δηλαδή: ( ) M > : N I [ a b] f ( ) M τότε R ( ) + I [ a b] f δηλαδή η f αναπτύσσεται στο I [ ab ] σε σειρά Taylor γύρω από το σηµείο [ ab ] Σηµείωση 2 Όταν ισχύει lim + R f ( ) τότε η σειρά Taylor που δηµιουργείται από την f στο σηµείο και να είναι συγκλίνουσα ΕΝ ισούται µε την f() 2

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΘΕΩΡΟΥΝΤΑΙ ΓΝΩΣΤΕΣ e =! = 2+ ηµ = ( ) (2 + )! = 2 συν = ( ) (2 )! = = < = + = l( ) ( ) = ( ] ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Nα υπολογίσετε το ηµ(2) µε σφάλµα µικρότερο του Λύση 3

2 Εστω f() = e Να υπολογίσετε τον τύπο της -ιοστής παραγώγου της συνάρτησης f() Nα αναπτύξετε σε σειρά Mclauri τη συνάρτηση f() και να υπολογίσετε τον τόπο σύγκλισής της Συγκλίνει η σειρά Mclauri στην f(); Λύση f ( ) = e + e = ( + ) e f ( ) = e + ( + ) e = (2 + ) e f ( ) = e + ( + ) e = ( + ) e ( ) Θα δείξουµε µε τη µέθοδο της επαγωγής ότι σχέση ισχύει για = Yποθέτουµε ότι ( ) f ( ) = ( + ) e Είδαµε παραπάνω η ( ) f ( ) = ( + ) e και θα δείξουµε ότι ( + ) ( f ( ) = ( + + ) e Πράγµατι από την υπόθεση ) f ( ) = ( + ) e έχουµε: ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f ( ) = f ( ) = + e = + e + e = + + e άρα ο τύπος ( ) f ( ) = ( + ) e ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό Για = έχουµε f ( ) = f () = άρα η σειρά McLauri της f() είναι: ( ) ( ) ( )!! ( )! ( ) f ( ) = ( ) = = = = Επίσης είναι εύκολο να δείξουµε ότι η σειρά McLauri κάθε συγκλίνει για ( )! = Επιπλέον ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η σειρά McLauri να = ( )! συγκλίνει στην f() είναι R ( ) + Γνωρίζουµε όµως ότι το υπόλοιπο δίνεται από την ακόλουθη ισότητα (Lagrage): f ή ισοδύναµα f ( ξ ) R ( + )! ( + ) + f ( ) = ξ ( ) η ξ ( ) f ( θ ) R ( + )! ( + ) + f ( ) = θ < Υπολογίσαµε όµως ότι θ ( + + θ) e θe R f ( ) = = + ( + )!! ( + )! θ + + + 4

+ a Eστω α ()= τότε: ( ) +! a ( ) = + οπότε θ + θ e + R f ( ) = + +! ( + )! άρα η σειρά Mclauri συγκλίνει στην f() 3 Εστω f() = συν Να υπολογίσετε τον τύπο της -ιοστής παραγώγου της f() Nα αναπτύξετε σε σειρά Mclauri τη συνάρτηση f() και να δείξετε ότι η σειρά Mclauri συγκλίνει στην f() για κάθε Να δείξετε ότι το σφάλµα κατά την προσέγγιση της f 2 4 στο [-] από το πολυώνυµο p ( ) = + δεν υπερβαίνει το 2 24 6! Λύση π f ( ) = ηµ = συν + 2 f ( ) = συν = συν + π (4) f ( ) f ( ) 3π f ( ) = ηµ = συν + 2 ( ) ( ) = συν = συν + 2π π ( ) = συν + 2 Με τη µέθοδο της επαγωγής δείχνουµε ότι ( π f ) ( ) = συν + 2 Για = έχουµε f() είναι: ( ) π περιττος f () = συν = άρα η σειρά Mclauri της 2 ± αρτιος f ( ) f ()!! (2 )! ( ) ( ) 2 ( ) = ( ) = ( ) = = = Είναι εύκολο να δούµε ότι ο τόπος σύγκλισης αυτής είναι όλο το Επιπλέον ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η σειρά Mclauri της f() να συγκλίνει στην f() είναι το υπόλοιπο R ( ) + Γνωρίζουµε όµως ότι το υπόλοιπο δίνεται f από την ακόλουθη ισότητα (Lagrage): 5

f ( ξ ) R ( + )! ( + ) + f ( ) = ξ ( ) η ξ ( ) ή ισοδύναµα f ( θ ) R ( + )! ( + ) + f ( ) = θ < Από τα παραπάνω έχουµε π συν θ + 2 R f ( ) = ( + )! + άρα + R f( ) ( + )! Eστω α () = ( + )! + a τότε: ( ) + a ( ) = + άρα: R ( ) + f άρα η σειρά Mclauri συγκλίνει στην f() Παρατηρούµε ότι το πολυώνυµο Taylor 2 ου βαθµού της συν() στο = είναι: συν ( ) = P ( ) + R ( ) και Επειδή 2 f 2 f R 2 f ( + 3π ) συν θ = θ < έχουµε: 6! 2 4 2 4 ( ) P2 f = + = + 2 4! 2 4! ( + π ) 2 4 συν θ συν ( ) + = 3 2 4! 6! 6! 6

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Να δειχθεί ότι 2 + + 2 8 4 Να δείξετε ότι η σειρά Mclauri της συνάρτησης f() = ηµ είναι η = 2+ (2 + )! ( ) και να αποδείξετε ότι η σειρά Mclauri της f() συγκλίνει στην f() 5 Να αναπτυχθεί σε σειρά Mclauri η συνάρτηση f() = τόπος σύγκλισης αυτής + και να υπολογισθεί ο Υπόδειξη: Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το ανάπτυγµα: = = 6 Να αναπτυχθεί σε σειρά Mclauri η συνάρτηση f() = τόπος σύγκλισης αυτής 2 e και να υπολογισθεί ο Υπόδειξη: Xρησιµοποιείστε κατάλληλα το ανάπτυγµα: e = =! 2 8 Εστω f() = ( ) e Να υπολογίσετε τον τύπο για τη -ιοστή παράγωγο της f() Nα αναπτύξετε σε σειρά Mclauri τη συνάρτηση f() και να υπολογίσετε τον τόπο σύγκλισής της Συγκλίνει η σειρά Mclauri στην f(); Να ευρεθούν ο τόπος σύγκλισης και ο τόπος απόλυτης σύγκλισης των κάτωθι ( )! δυναµοσειρών (i) (ii) (iii) + = = = 7