ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ο ορισμός της Στατιστικής οφείλεται στον Fisher (1890 1962) Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που ασχολείται με: α) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής των στοιχείων β) τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους γ) την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ Περιγραφική : ασχολείται με τη σύμπτυξη, παρουσίαση, περιγραφή ποσοτικών πληροφοριών μιας ή περισσότερων συγκεκριμένων ομάδων Επαγωγική : ασχολείται με την εξαγωγή συμπερασμάτων για ολόκληρο σύνολο δεδομένων με βάση τα χαρακτηριστικά μιας μικρής ομάδας δεδομένων 2ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ - ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να εξετάσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν ενδιαφερόμαστε για: α) τις προτιμήσεις των ψηφοφόρων εν όψει των προσεχών εκλογών β) τις συνέπειες του καπνίσματος στην υγεία των καπνιστών κτλ γ) τον αριθμό των υπαλλήλων μιας επιχείρησης δ) το ύψος, το βάρος, την ομάδα αίματος και το φύλο των μαθητών της Γ τάξης Λυκείου Σε καθένα από τα παραδείγματα αυτά έχουμε ένα σύνολο και θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Ένα τέτοιο σύνολο λέγεται πληθυσμός Τα στοιχεία του πληθυσμού συχνά αναφέρονται και ως μονάδες ή άτομα του πληθυσμού Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές και τις συμβολίζουμε συνήθως με τα κεφαλαία γράμματα X, Y, Z, B, Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής Από τη διαδοχική εξέταση των ατόμων του πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό τους προκύπτει μια σειρά από δεδομένα, που λέγονται στατιστικά δεδομένα ή παρατηρήσεις ΠΡΟΣΟΧΗΤα στατιστικά δεδομένα δεν είναι κατ ανάγκη διαφορετικά ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 1

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 2αΤις μεταβλητές τις διακρίνουμε: 1 Σε ποιοτικές ή κατηγορικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί Τέτοιες είναι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματος (με τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο), το φύλο (με τιμές αγόρι, κορίτσι), οι συνέπειες του καπνίσματος (με τιμές καρδιακά νοσήματα, καρκίνος κτλ), όπως επίσης και η οικονομική κατάσταση και η υγεία των ανθρώπων (που μπορεί να χαρακτηριστεί ως κακή, μέτρια, καλή ή πολύ καλή), καθώς και το ενδιαφέρον των μαθητών για τη Στατιστική, που μπορεί να χαρακτηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμινό 2 Σε ποσοτικές μεταβλητές, των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ i) Σε διακριτές μεταβλητές, που παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές Τέτοιες μεταβλητές είναι, για παράδειγμα, ο αριθμός των υπαλλήλων μιας επιχείρησης (με τιμές 1,2, ), το αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού (με τιμές 1,2,,6) κτλ ii) Σε συνεχείς μεταβλητές, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών ( α, β) Τέτοιες μεταβλητές είναι το ύψος και το βάρος των μαθητών της Γ Λυκείου, ο χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές να απαντήσουν στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης κτλ 3 ΣΥΛΛΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ένας τρόπος για να πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό είναι να εξετάσουμε όλα τα άτομα (στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής των δεδομένων καλείται απογραφή Σε πολλές όμως περιπτώσεις η εξέταση όλων των μονάδων του πληθυσμού είναι δύσκολη ή ακόμα και αδύνατη Όπου λοιπόν η απογραφή είναι δύσκολη, αδύνατη ή οικονομικά και χρονικά ασύμφορη, ο ερευνητής μαζεύει πληροφορίες από κάποια μικρή ομάδα ή υποσύνολο του πληθυσμού, το οποίο καλείται δείγμα Κάνει τις παρατηρήσεις του στο δείγμα αυτό και μετά γενικεύει τα συμπεράσματά του για ολόκληρο τον πληθυσμό Τα συμπεράσματα όμως που θα προκύψουν από τη μελέτη του δείγματος θα είναι αξιόπιστα, θα ισχύουν δηλαδή με ικανοποιητική ακρίβεια για ολόκληρο τον πληθυσμό, αν η επιλογή του δείγματος γίνει με σωστό τρόπο, ώστε το δείγμα να είναι, όπως λέμε, αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού Στην πράξη, ένα δείγμα θεωρείται αντιπροσωπευτικό ενός πληθυσμού, εάν έχει ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 2

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή 2 Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή ποσοτική μεταβλητή 3 Ο αριθμός των απουσιών των μαθητών της Γ Λυκείου είναι συνεχής ποσοτική μεταβλητή Σ Σ Σ Λ Λ Λ 4 Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς; α) Η εθνικότητα β) Το πλήθος των επιβατών που χωράει ένα αυτοκίνητο γ) Το πλήθος των θεατών σε έναν αγώνα ποδοσφαίρου δ) Το ύψος ενός βουνού ε) Η διάρκεια ζωής ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα στ) Οι πωλήσεις ενός μοντέλου αυτοκινήτου 5 Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς; α) Το φύλο ενός ανθρώπου β) Το πλήθος των ζώων ενός είδους που κινδυνεύει με εξαφάνιση γ) Το πλήθος των ορόφων ενός κτιρίου δ) Το βάρος μια φραντζόλας ψωμιού ε) Το επάγγελμα στ) Η ταχύτητα ενός αυτοκινήτου όταν περνάει από ένα συγκεκριμένο σημείο της εθνικής οδού 6 Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές; Ποιες είναι ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες είναι συνεχείς; α) Το μήκος ενός ποταμού β) Το πλήθος των σελίδων ενός βιβλίου γ) Το χρώμα μαλλιών δ) Η διάρκεια μια κινηματογραφικής ταινίας ε) Τα μόρια για την εισαγωγή στα ΑΕΙ και ΤΕΙ στ) Η θερμοκρασία ενός δωματίου ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 3

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 7 Σ ένα Λύκειο θέλουμε να εξετάσουμε την επίδοση 10 μαθητών στη Στατιστική στο τέλος του β τριμήνου Πήραμε τις επόμενες βαθμολογίες 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 Να βρείτε: α) Ποιος είναι ο πληθυσμός β) Ποια είναι τα άτομα γ) Ποια είναι η μεταβλητή δ) Η μεταβλητή είναι i) ποιοτική ή ποσοτική ii) συνεχής ή διακριτή ε) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις 8 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε ποιος είναι ο πληθυσμός και ποια είναι η μεταβλητή ή οι μεταβλητές Να διακρίνετε ποιες από τις μεταβλητές αυτές είναι ποιοτικές, ποιες συνεχείς και ποιες διακριτές και να αναφέρετε μερικές δυνατές τιμές τους α) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε το επίπεδο μόρφωσης των Ελλήνων β) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσο καθυστερούν οι πτήσεις της Ολυμπιακής γ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε πόσοι Δανοί έχουν επισκεφθεί την Ελλάδα δ) Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε ποιο είδος τροφής από τις Α, Β, Γ προτιμούν οι γάτες ε) Μας ενδιαφέρει το βάρος των μαθητών ενός σχολείου 9 Μελετάμε τους μαθητές της Γ τάξης ενός Λυκείου ως προς το βαθμό απολυτηρίου τους, τη διαγωγή τους, τον αριθμό απουσιών, την κατεύθυνση που παρακολουθούν, το βάρος τους Να βρείτε: α) Ποιες από τις μεταβλητές αυτές είναι i) ποιοτικές, ii) ποσοτικές β) Από τις ποσοτικές μεταβλητές, ποιες είναι i) διακριτές, ii) συνεχείς 10 Από ένα σύνολο 200 μαθητών (120 αγόρια και 80 κορίτσια) επιλέγουμε ένα δείγμα 30 μαθητών (18 αγόρια και 12 κορίτσια) Είναι το δείγμα αντιπροσωπευτικό; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 4

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων σε πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των πληροφοριών σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων και η καλύτερη ενημέρωση του αναγνώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευνάμε Οι πίνακες διακρίνονται στους: α) γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μία στατιστική έρευνα (συνήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία) και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των επιστημόνων-ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων, β) ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν ληφθεί από τους γενικούς πίνακες Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει: α) τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα, β) τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησης των δεδομένων, γ) το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα, δ) την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ αυτήν, όταν επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών Πίνακες Κατανομής Συχνοτήτων Ας υποθέσουμε ότι x 1, x2,, xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, κ ν Στην τιμή x i αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα ν i, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή: ν1 ν2 νκ v Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα ν i με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιμής x i, δηλαδή νi fi, i 1,2,, κ (2) ν Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: (i) 0 f 1 για i 1,2,, κ αφού 0 ν i ν i ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 5

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ii) f 1 f 2 f κ 1, ΑΠΟΔΕΙΞΗ ν1 ν2 νκ ν1 ν2 νκ ν f1 f 2 f κ 1 ν ν ν ν ν Συνήθως, τις σχετικές συχνότητες f i τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε συμβολίζονται με f i %, δηλαδή fi % 100fi Οι ποσότητες x i, νi, fi για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών ( x i, νi ) λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών ( x i, fi ), ή των ζευγών ( x i, fi %), την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων Αθροιστικές Συχνότητες Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες ν i και f i χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες N i και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες F i, οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x i Συχνά οι F i πολλαπλασιάζονται επί 100 εκφραζόμενες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή Fi % 100Fi, Αν οι τιμές x 1, x2,, xκ μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής x i είναι Ni ν1 ν2 νi Όμοια, η αθροιστική σχετική συχνότητα είναι Fi f1 f2 fi, για i 1,2,,κ Είναι φανερό ότι ισχύουν οι σχέσεις: ν1 N 1, ν 2 N2 N1,, νκ Nκ Nκ 1 και f1 F 1, f 2 F2 F1,, f κ Fκ Fκ 1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ α) ν 1 + ν 2 + +ν κ = ν β) f i = v v i i = 1, 2, κ 0 vi v γ) 0 f i 1 δ) f 1 + f 2 + + f κ = 1 ε) ν 1 = Ν 1 ν 2 = Ν 2 Ν 1 v κ = N κ Ν κ 1 στ) f 1 = F 1 f 2 = F 2 F 1 f κ = F κ - F κ 1 ζ) F 1 = f 1 F 2 = f 1 + f 2 F κ = f 1 + f 2 + + f κ ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 6

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Εξετάζουμε 20 οικογένειες μιας συνοικίας ως προς τον αριθμό των παιδιών τους και παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα : 0 0 0 4 1 1 1 1 2 1 1 1 3 5 1 1 2 1 2 0 α) Να κατασκευαστεί πίνακας με τις στήλες : xi,vi,fi,fi%, Ni,Fi,Fi% β) Ο Δήμος της περιοχής αποφάσισε να δώσει επίδομα 3000 ευρώ για κάθε παιδί στο 30% των οικογενειών που έχουν τα περισσότερα παιδία Πόσα χρήματα θα δαπανηθούν; 2 Σε μια πόλη μετρήσαμε τη μεγαλύτερη ημερήσια θερμοκρασία επί 30 συνεχείς ημέρες και βρήκαμε (σε βαθμούς Κελσίου): 25 26 26 26 24 21 21 22 24 26 25 27 22 22 24 23 23 26 25 26 22 23 27 24 23 21 21 23 23 22 α) Να κατασκευάσετε πίνακα: i) Συχνοτήτων ii) Αθροιστικών συχνοτήτων β) Πόσες ημέρες η θερμοκρασία ήταν: i) Μικρότερη από 23 C; ii) Μεγαλύτερη από 24 C; iii) Τουλάχιστον 24 C; 3 Η βαθμολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός μαθήματος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 10 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9 1 9 8 7 6 5 α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) β) Από τον πίνακα αυτό να εκτιμήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό i) κάτω από τη βάση (μικρότερο του 5) ii) άριστα (9 ή 10) iii) τουλάχιστον 7 αλλά το πολύ 9 4 Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανομή συχνοτήτων 50 οικογενειών ως προς τον αριθμό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθμός και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: α) τουλάχιστον 1 παιδί β) πάνω από 3 παιδιά γ) από 3 έως και 5 παιδιά δ) το πολύ 6 παιδιά ε) ακριβώς 6 παιδιά ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 7

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριθμός Αριθμός παιδιών (x i ) οικογενειών (ν i ) 0 5 1 10 2 15 3 8 4 5 5 4 6 3 50 5 Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 30 φορές 2 5 6 1 2 5 4 3 2 5 1 3 5 4 1 3 2 6 5 4 1 2 6 2 4 3 1 6 4 5 Να κατασκευάσετε πίνακα: α) Συχνοτήτων β) Αθροιστικών συχνοτήτων 6 Οι αποστάσεις (σε km) των 26 κοινοτήτων ενός νομού από το πλησιέστερο νοσοκομείο είναι: 5 10 8 8 13 10 4 2 0 16 5 15 9 6 4 7 5 4 6 7 7 5 8 10 3 9 α) Να κατασκευάσετε πίνακα: i) Συχνοτήτων ii) Αθροιστικών συχνοτήτων των αποστάσεων β) Πόσες κοινότητες απέχουν από το νοσοκομείο περισσότερο από 10 km; 7 Να γίνει η κατανομή συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων για τη μεταβλητή x «αριθμός τερμάτων» (γκολ) μιας ποδοσφαιρικής ομάδας σε 60 αγώνες Αριθμός τερμάτων x i : 0 1 2 3 4 5 Αγώνες : v i : 5 10 20 15 6 4 Να βρεθεί σε πόσους αγώνες σημειώθηκαν α) Το πολύ 2 γκολ β) Περισσότερα από 2 γκολ γ) Ακριβώς 2 γκολ δ) Λιγότερα από 4 γκολ ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 8

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 8 Η κατανομή αθροιστικών συχνοτήτων Ni για τη μεταβλητή x είναι η εξής : xi Ni 5 10 6 23 7 39 8 46 9 50 Να συμπληρωθούν σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων τα εξής : i) xi,vi,fi,fi%, Ni,Fi,Fi% ii) Ποιο ποσοστό παρατηρήσεων είναι από 6 έως 8 iii) Ποιο ποσοστό παρατηρήσεων είναι το πολύ ίσο με 7 9 Δίνεται η παρακάτω κατανομή αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Fi% xi Fi% 10 25 20 45 30 75 40 90 50 100 Αν το δείγμα έχει μέγεθος 40 ( v = 40 ), να βρείτε τα vi, Ni,fi,fi%,Fi 10 Οι τιμές x 1, x 2, x 3, x4 μιας μεταβλητής x ενός δείγματος μεγέθους ν, 1 1 3 2 2 έχουν σχετικές συχνότητες :, 2,, αντίστοιχα 10 5 10 5 α) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α β) Αν η απόλυτη συχνότητα της τιμής x 3 είναι 33, να βρείτε το μέγεθος ν του δείγματος x είναι οι τιμές μιας μεταβλητής x και 1,x, x 11 Αν 2 3 κ 1 1 2,, είναι οι 2 κ 2κ σχετικές συχνότητες των x 1,x 2, x αντίστοιχα, να υπολογισθεί ο 3 αριθμός κ 12 Η αθροιστική σχετική συχνότητα των παρατηρήσεων x i μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος δίνεται από τη σχέση 2 i i Fi, i 1,2,, 2 Ι) Να βρείτε τη σχετική συχνότητα f i II) Να βρείτε τη συχνότητα ν i ΙΙΙ) Αν το μέγεθος του δείγματος είναι 55, να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 9

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 13 Έστω x1, x2,, x οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν Αν για τις συχνότητες ν i και τις αθροιστικές συχνότητες F i ισχύουν: 2, i και i 2 2i 10 i, 1,2,3,, Fi i k τότε : 100 8 4i Ι) Να δείξετε ότι fi 100 ΙΙ) Να δείξετε ότι κ=5 ΙΙΙ) Να βρείτε την τιμή του λ συναρτήσει του ν IV) Να δείξετε ότι Ni i i 5 5 2 1 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 10

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΟΤΑΝ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΕΣ ΤΙΜΕΣ Απαραίτητη προϋπόθεση για τη συμπλήρωση ενός τέτοιου πίνακα είναι η γνώση άμεσα ή έμμεσα της συχνότητας v Για να προσδιορίσω το v ανάλογα με τα δεδομένα ακολουθεί έναν από τους τρόπους 1 ος τρόπος Αν στην τελευταία γραμμή (μ) δίνεται η αθροιστική συχνότητα, τότε v = N μ 2 ος τρόπος Αν στην ίδια οριζόντια γραμμή κ μου δίνεται ταυτόχρονα το fκ (σχετική vk vk συχνότητα) και το v κ (συχνότητα), τότε: f v v f k 3 ος τρόπος Αν υπάρχει οριζόντια γραμμή ρ που μας δίνει ταυτόχρονα F ρ και Ν ρ, τότε N F v N v!!!!! (με απόδειξη) f Απόδειξη : F f f f v v v v v v N N3 Άρα F3 v v v v v 1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 3 AΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας xi vi fi Ni Fi 2 5 4 0,5 6 0,3 8 40 1 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 11

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 2 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα x i 1 2 3 4 5 6 Σύνολο ν i 4 2 f i N i 0,20 6 F i f i % F i % 10 0,60 25 3 Λόγω βλάβης κατά την εκτύπωση, τα περισσότερα κουτάκια του διπλανού πίνακα έμειναν κενά Μπορείτε να τα συμπληρώσετε εσείς; xi vi fi Ni Fi 2 5 4 6 0,3 0,5 8 Σύνολο ν=40 4 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x i ν i f i N i F i f i % F i % 1 8 0,4 2 10 3 5 0,25 15 4 18 5 10 Σύνολο 5 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, ο οποίος αναφέρεται σε κάποια μεταβλητή x xi νi f i f i % Ni Fi Fi % x1 x2 70 100 x3 60 x4 0,15 x5 200 Σύνολο ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 12

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ 6 Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : X i v i f i N i F i f i % F i % 1 2 5 0,125 9 3 0,375 4 37,5 5 Σύνολο 7 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x i ν i f i N i F i f i % F i % 1 8 0,4 2 10 3 5 0,25 15 4 0,9 5 10 Σύνολα ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 13

H/Y Αθλητισμός Διασκέδαση - Ντίσκο Μουσική Τηλεόραση- Κινηματογρ Διάβασμα εξωσχ βιβλ Άλλο Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων Οι γραφικές παραστάσεις έχουν το πλεονέκτημα ότι διεγείρουν το ενδιαφέρον και προκαλούν την προσοχή του αναγνώστη και δίνουν πιο σαφή εικόνα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίνακες Ακόμη μπορούμε με τα διαγράμματα να συγκρίνουμε καλύτερα μεταξύ τους διάφορα ομοειδή στοιχεία Ένα στατιστικό διάγραμμα πρέπει να περιέχει τα εξής στοιχεία: α) τον τίτλο, β) την κλίμακα τιμών για τα μεγέθη που απεικονίζονται, γ) το υπόμνημα που δίνει επεξηγήσεις για τις τιμές της μεταβλητής, δ) την πηγή ΚΥΡΙΟΤΕΡΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ Τα κυριότερα διαγράμματα (μη ομαδοποιημένων στοιχείων) είναι 5: α) το ραβδόγραμμα β) το κυκλικό διάγραμμα γ) το σημειόγραμμα δ) το διάγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων ε) το χρονόγραμμα (χρησιμοποιείται σε ποιοτικές μεταβλητές) Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που κάθε στήλη έχει ύψος ανάλογο με την αντίστοιχη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα Οι στήλες βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή πάνω στον κατακόρυφο άξονα v i 12 α) Ραβδόγραμμα 10 8 6 4 2 0 Αν θέλουμε να απεικονίσουμε πάνω στο ίδιο διάγραμμα περισσότερες από μια μεταβλητές, για κάθε μεταβλητή χρησιμοποιούμε συνήθως διαφορετικό χρώμα ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 14

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Ένα δείγμα από 250 γάτες έχει τα χαρακτηριστικά που συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα Να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων α) ως προς το χρώμα τριχώματος β) ως προς το χρώμα ματιών ΧΡΩΜΑ ΜΑΤΙΩΝ ΚΑΙ ΤΡΙΧΩΜΑΤΟΣ Κίτρινα μάτια Πράσινα μάτια Χαλκόχρωμα μάτια Μονόχρωμο τρίχωμα 50 40 35 Δίχρωμο τρίχωμα 40 45 5 Τρίχρωμο τρίχωμα 4 1 20 2 Να κατασκευαστεί ραβδόγραμμα συχνοτήτων που απεικονίζει γραφικά όλα τα στοιχεία του παρακάτω πίνακα ΥΠΟΘΕΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΡΓΑΖΟΜΕΝΩΝ ΣΤΟ ΛΕΟΝΤΕΙΟ Επίπεδο Άνδρες Γυναίκες Εκπαίδευσης Ανώτατη 75 60 Ανώτερη 15 40 Μέση 20 5 β) Κυκλικό διάγραμμα Χρησιμοποιείται και για ποιοτικές και για ποσοτικές μεταβλητές Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν ή τις σχετικές συχνότητες f των τιμών x της μεταβλητής Αν συμβολίσουμε με κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε α i i α i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο o 360 νi 360 o f i για i 1,2,, κ ν Στο σχήμα παριστάνεται σχετικών συχνοτήτων i i ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 15

Τηλεόραση - Κινηματ (22,5%) Διάβασμα εξωσχ βιβλ (7,5%) Άλλο (5%) Η/Υ (7,5%) Αθλητισμός (15%) Μουσική (27,5%) Διασκέδαση - Ντίσκο (15%) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 Να κατασκευαστεί το κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων στην περίπτωση : x i v i παιδ 0 1 1 3 2 4 3 2 10 οικογεν 4 Μια ομάδα μπάσκετ πέτυχε σ έναν αγώνα 12 βολές ( που δίνουν από ένα πόντο) 20 δίποντα και 8 τρίποντα Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραμμα και ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για τους πόντους που προήλθαν από βολές, δίποντα ή τρίποντα 5 Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των 450 μαθητών ενός Γυμνασίου σε τέσσερις κατηγορίες Άριστα, Λίαν Καλώς, Καλώς και Σχεδόν Καλώς Το 30% των μαθητών έχουν επίδοση Λίαν Καλώς Η γωνία του κυκλικού τομέα για την επίδοση Καλώς είναι 144 0 Οι μαθητές με βαθμό Σχεδόν Καλώς είναι διπλάσιοι των μαθητών με Άριστα Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων 6 Σε ένα κυκλικό διάγραμμα που παρουσιάζονται οι προτιμήσεις των ψηφοφόρων για το Δήμo Αθηναίων, η επίκεντρη γωνία που αντιστοιχεί στον πρώτο υποψήφιο είναι 5x+2y, για το δεύτερο 2x+2y και για τον 0 τρίτο x Αν ισχύει x+4y= 108,να υπολογίσετε τα ποσοστά των υποψηφίων ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 16

γ) Σημειόγραμμα Χρησιμοποιείται όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις Κάθε παρατήρηση παριστάνεται με ένα σημείο υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα των χρόνων (σε λεπτά) 4,2,3,1,5,6,4,2,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα 0 1 2 3 4 5 6 7 8 χρόνος (σε λεπτά) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Από 12 επιβατηγά αυτοκίνητα που ελέγχθηκαν τυχαία τα 4 είχαν από 1 μόνο επιβάτη (τον οδηγό), τα 2 είχαν από 2 επιβάτες, τα 3 είχαν από 3 επιβάτες και τα υπόλοιπα είχαν από 4 επιβάτες Να απεικονίσετε γραφικά τις παρατηρήσεις αυτές με ένα σημειόγραμμα 8 Μέσα σε μία ώρα μπήκαν σε ένα βιβλιοπωλείο 10 πελάτες από τους οποίους 4 αγόρασαν 1 βιβλίο, 3 αγόρασαν 2 βιβλία, 2 αγόρασαν 3 βιβλία και ένας δεν αγόρασε τίποτα Να κατασκευάσετε σημειόγραμμα για τη μεταβλητή «πλήθος βιβλίων που αγόρασε ο πελάτης» δ) Διάγραμμα συχνοτήτων (χρησιμοποιείται σε ποσοτικές μεταβλητές) Η διαφορά από το ραβδόγραμμα είναι ότι αντί να έχουμε ορθογώνιες στήλες, σε κάθε τιμή x i υψώνουμε μια γραμμή που το ύψος της είναι ανάλογο προς τις αντίστοιχες συχνότητες ή σχετικές συχνότητες Αν ενώσουμε τα σημεία (x i, ν i ) ή (x i, f i ) δηλαδή τα άνω άκρα των γραμμών, σχηματίζουμε το πολύγωνο συχνοτήτων ή το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 17

25 ν i 20 15 10 5 0 0 1 2 3 αδέλφια Διάγραμμα συχνοτήτων (α) 25 ν i 20 15 10 5 και πολύγωνο συχνοτήτων (β) 0 0 1 2 3 αδέλφια ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Τα 16 τμήματα ενός Λυκείου έχουν τους εξής μαθητές: 31 27 28 30 29 31 31 27 29 29 28 28 30 29 27 29 α) Να κατασκευάσετε πίνακα: i) Σχετικών συχνοτήτων ii) Αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων β) Να κάνετε το διάγραμμα: i) Συχνοτήτων ii) Αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων γ) Να κάνετε το πολύγωνο των συχνοτήτων 10 Εξετάζουμε 20 οικογένειες μιας συνοικίας ως προς τον αριθμό των παιδιών τους και παίρνουμε τα παρακάτω αποτελέσματα : 0 0 0 4 1 1 1 1 2 1 1 1 3 5 1 1 2 1 2 0 α) Να κατασκευαστεί πίνακας με τις στήλες : xi,vi,fi,fi%, Ni,Fi,Fi% β) Να κατασκευαστεί διάγραμμα συχνοτήτων και διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων καθώς και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων γ) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων καθώς και το αντίστοιχο πολύγωνο δ) Ο Δήμος της περιοχής αποφάσισε να δώσει επίδομα 3000 ευρώ για κάθε παιδί στο 30% των οικογενειών αυτών Πόσα χρήματα θα δαπανηθούν; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 18

11 Οι παρακάτω αριθμοί αντιπροσωπεύουν το πλήθος των ενηλίκων επιβατών που μπορεί να μεταφέρει καθένα από 30 διαφορετικά αυτοκίνητα α) Να κατασκευάσετε πίνακα με τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της μεταβλητής «πλήθος επιβατών» β) Να κατασκευάσετε ένα διάγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων γ) Να βρείτε το ποσοστό των αυτοκινήτων του δείγματος που να μπορεί να μεταφέρει: ι) τουλάχιστον 5 επιβάτες ιι) το πολύ 4 επιβάτες ιιι) 4 ή 5 επιβάτες 5 4 4 6 4 3 5 4 5 3 4 3 5 6 4 5 5 3 4 4 6 3 4 5 5 3 4 4 5 4 12 Η βαθμολογία 50 φοιτητών του Μαθηματικού τμήματος του Πανεπιστημίου Αθηνών στο μάθημα της Στατιστικής είναι: 7 3 4 5 9 2 1 6 0 5 4 3 7 8 2 9 2 2 1 7 6 5 8 9 10 1 7 6 8 5 8 7 6 2 3 4 2 1 5 4 3 7 8 6 3 9 2 1 10 0 α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων (απολύτων και αθροιστικών) β) Από τον πίνακα αυτό, να εκτιμήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθμό: i κάτω από τη βάση ii τουλάχιστον 6, αλλά το πολύ 8 iii άριστα, δηλαδή 9 ή 10 γ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων f i % 13 Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν την επίδοση 50 υποψηφίων για την πρόσληψή τους σε μια ιδιωτική σχολή (κλίμακα 0-10) 6 7 8 5 1 4 7 3 9 9 2 5 3 8 6 7 7 6 8 1 3 0 1 4 9 0 9 7 8 6 1 2 3 5 4 6 6 4 3 2 8 8 7 7 6 5 5 9 2 4 α) Να παραστήσετε τα δεδομένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα σχετικών και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων γ) Αν η σχολή θελήσει να πάρει όσους είχαν επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του 8, πόσους θα πάρει; δ) Αν η σχολή πάρει μόνο το 36% των υποψηφίων, τι επίδοση πρέπει να έχει κάποιος για να επιλεγεί; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 19

φοιτητές Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ 14 Το διπλανό πολύγωνο συχνοτήτων παρουσιάζει τους βαθμούς των φοιτητών μιας σχολής στο μάθημα της Στατιστικής Να κατασκευάσετε πίνακα: α) Συχνοτήτων που αντιστοιχούν στο πολύγωνο αυτό β) Σχετικών συχνοτήτων για το ίδιο πολύγωνο 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 βαθμός 15 Ένας παίκτης αγωνίστηκε σε 20 αγώνες πρωταθλήματος και τα γκολ που σημείωσε ανά αγώνα είναι τα εξής : 1 0 0 3 4 2 0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 1 0 0 2 α) Να γίνει ο πίνακας που να περιέχει τις στήλες : xi,vi,fi,fi%, Ni,Fi,Fi% β) Να γίνει το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων γ) Να γίνει το διάγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων δ) Να γίνει το διάγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων (%) ε) Σε πόσους αγώνες σημείωσε περισσότερα του ενός γκολ; στ) Σε πόσους αγώνες έβαλε το πολύ 2 γκολ; ζ) Σε πόσους αγώνες έβαλε από 2 έως 4 γκολ; η) Σε πόσους αγώνες σημείωσε ακριβώς 2 γκολ; θ) Ένας κατάσκοπος αντίπαλης ομάδας παρακολούθησε τον παίκτη αγωνιζόμενο στο 15% των καλύτερων παιχνιδιών του και εντυπωσιάστηκε από την απόδοσή του Πόσους αγώνες παρακολούθησε και πόσα γκολ σημείωσε ο παίκτης στους αγώνες αυτούς; ε) Χρονόγραμμα Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 20

Στο σχήμα έχουμε το χρονόγραμμα του ποσοστού ανεργίας στη χώρα μας από το 1990 έως το 1995 (Πηγή ΕΣΥΕ) Παρατηρούμε ότι στο γυναικείο πληθυσμό υπάρχει συστηματικά μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας, γύρω στις 8 εκατοστιαίες μονά-δες Στο διάστημα 1993-95 το ποσοστό ανεργίας έχει σταθεροποιηθεί γύρω στο 6,5% για τους άνδρες και γύρω στο 15% για τις γυναίκες Ποσοστά ανεργίας στηνελλάδα f i % 16 14 12 10 8 6 4 2 5 γυναικ ανδρες ññåíåò 0 1990 1991 1992 1993 1994 1995 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 16 Το βάρος ενός ζώου κατά τους πρώτους 10 μήνες της ζωής του φαίνεται στον πίνακα: Μήνες 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Βάρος σε κιλά 2 3 4,5 5,3 6 7 9 10,5 13 15 19 Να γράψετε το χρονόγραμμα της εξέλιξης του βάρους του 17 Στα διόδια Αφιδνών η τροχαία σημείωνε στο χρονικό διάστημα μιας ώρας το συνολικό αριθμό αυτοκινήτων που είχαν περάσει Έτσι, από το μεσημέρι ως τις 8 μμ, προέκυψε ο παρακάτω πίνακας: Χρόνος (ώρες) 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 Συν αριθμ αυτοκ 400 200 300 350 350 400 600 900 Να γράψετε το αντίστοιχο χρονόγραμμα 18 Τα ποσοστά ανδρών και γυναικών που παίρνουν το πτυχίο μιας σχολής κατά τα 10 τελευταία χρόνια, δίνεται από το παρακάτω χρονόγραμμα : α) Αν το 1991έγιναν πτυχιούχοι 200 άτομα, πόσοι ήταν άνδρες και πόσες γυναίκες; β) Αν το 1995 οι γυναίκες πτυχιούχοι ήταν 80, πόσοι ήταν οι άνδρες; γ) Αν το 1997 οι άνδρες πτυχιούχοι ήταν 210, πόσοι ήταν συνολικά οι πτυχιούχοι; δ) Τι έχετε να παρατηρήσετε για το έτος 2000; ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 21

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 Άνδρ ες Γυναί κες 0 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 19 Στο διπλανό χρονοδιάγραμμα παρουσιάζονται τα έσοδα και τα έξοδα μιας εταιρείας (σε εκατομμύρια ευρώ) από το έτος 2004 έως και το έτος 2010 : α) Μετά από ποια χρονιά η εταιρεία αρχίζει να έχει κέρδη; β) Ποια χρονιά η εταιρεία έχει την μεγαλύτερη ζημία και ποια χρονιά έχει το μεγαλύτερο κέρδος και να βρεθούν αυτά γ) Να περιγράψετε την οικονομική κατάσταση της εταιρείας το έτος 2009 δ) Να γίνει χρονόγραμμα των κερδών της εταιρείας από την χρονιά που η εταιρεία αρχίζει να είναι κερδοφόρα και μετά ε) Να γίνει συγκριτικό ραβδόγραμμα εσόδων-εξόδων στ) Ποια χρονιά η εταιρεία είχε το μεγαλύτερο ποσοστό αύξησης κερδών και πόσο ήταν αυτό; ζ) Ποια είναι η συνολική οικονομική κατάσταση της εταιρείας από το 2004 και μετά; Εκατευρώ 40 Έσοδα 35 30 Έξοδα 25 20 15 10 5 0 04 05 06 07 08 09 10 Έσοδα και έξοδα μιας εταιρείας ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 22

20 Στο παρακάτω χρονοδιάγραμμα δίνεται ο αριθμός των επισκεπτών ενός Μουσείου ανά έτος από το 1995 έως το 2000 α) Πόσους επισκέπτες είχε το Μουσείο από το 1995 έως το 2000; β) Ποια χρονιά είχαμε το μεγαλύτερο ποσοστό αύξησης επισκεπτών και πόσο ήταν αυτό; γ) Να παρουσιαστούν τα δεδομένα του χρονογράμματος σε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων επί του συνόλου των επισκεπτών δ) Να μετατρέψετε το παρακάτω χρονόγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων Επι σκέ πτ ες (εκχι λ) 500 400 300 200 100 0 1995 1996 1997 1998 1999 2000 21 Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι πωλήσεις μιας βιοτεχνίας φωτιστικών (σε χιλιάδες κομμάτια) για τα έτη 1995-2000 α) Να παραστήσετε τα δεδομένα του πίνακα σε χρονόγραμμα β) Πόσα φωτιστικά πούλησε η βιοτεχνία από το 1996 έως και το 1998; γ) Κάποια χρονιά ο ιδιοκτήτης σκέφτηκε να πουλήσει την εταιρεία λόγω των χαμηλών πωλήσεων Ποια χρονιά ήταν αυτή; δ) Ποια χρονιά είχαμε το μεγαλύτερο ποσοστό αύξησης πωλήσεων και πόσο ήταν αυτό; Έτος Πωλήσεις 1995 2 1996 3 1997 1,5 1998 1 1999 2 2000 6 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 23

22 Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα να κατασκευάσετε χρονόγραμμα που να δείχνει την εξέλιξη της παιδικής εγκληματικότητας από το 1987 έως και το 1997 ΕΤΟΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 1987 9 1988 26 1989 18 1990 2 1991 25 1992 76 1993 208 1994 101 1995 54 1996 110 1997 249 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 24

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ 23 Το παρακάτω διάγραμμα παριστάνει τις προτιμήσεις 720 γυναικών προς 3 διαφορετικά αρώματα Αν 3x+y=160 ο τότε να βρείτε ποιο ποσοστό γυναικών προτιμά καθένα από τα αρώματα και να κατασκευάσετε ραβδόγραμμα συχνοτήτων 3x 3y+χ y 24 Το παρακάτω διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων αναφέρεται στους ορόφους των κτισμάτων κάποιας πόλης α) Να βρείτε το ποσοστό των κτηρίων που έχουν από 3 ορόφους και άνω β) Να κατασκευάσετε κυκλικό διάγραμμα για το πλήθος των ορόφων 6x 5x 4x 3x 2x x Σχετική συχνότητα Πλήθος ορόφων 1 2 3 4 5 6 25 Ν 4 Ν 3 Ν 2 Ν 1 20 15 Δίνεται το διάγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων Αν το μέγεθος του δείγματος είναι 140 και ισχύει v1 3, να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής v3 4 συχνοτήτων x 1 x 2 x 3 x 4 ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 25

26 Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ: ηλικίες νέων ατόμων μιας πολυκατοικίας Η γωνία ω που φαίνεται στο σχήμα είναι 45 ο Η συχνότητα της τιμής 15 είναι 15 Αν κατασκευάσουμε κυκλικό διάγραμμα,τότε η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην τιμή 20 είναι 36 ο α) Να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος β) Να γίνει πίνακας με τις στήλες : xi,vi,fi%, Ni,Fi% γ) Πόσα άτομα έχουν ηλικία μεταξύ 15 και 25 ετών; δ) Πόσα άτομα έχουν ηλικία τουλάχιστον 10 ετών; ε) Πόσα άτομα έχουν ηλικία το πολύ 20 ετών; Νi 50 40 30 20 10 ω 5 10 15 20 25 27 Σε κάποιο Δήμο κατεβαίνουν 4 υποψήφιοι για τις δημοτικές εκλογές : ο Παπαδόπουλος, ο Νικολαίδης, ο Γεωργίου και ο Παπαπέτρου Στις εκλογές ψήφισαν 5000 ψηφοφόροι, όλα τα ψηφοδέλτια ήταν έγκυρα και δεν υπήρχε κανένα λευκό ψηφοδέλτιο Μετά την ανακοίνωση των αποτελεσμάτων βρέθηκε ότι η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στον Παπαδόπουλο είναι 108 ο,το 20%ψήφισαν τον Νικολαίδη και ο Γεωργίου πήρε τα 3/7 των ψήφων του Παπαπέτρου α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων xi, vi,fi% β) Να κατασκευαστεί κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων γ) Να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων δ) Το εκλογοδικείο ακύρωσε το 20% των ψηφοδελτίων του καθενός υποψηφίου Να ξαναγίνει το κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων i) επί των εγκύρων ψηφοδελτίων, ii) επί του συνόλου των ψηφοδελτίων 28 Το παρακάτω σχήμα παριστάνει το διάγραμμα συχνοτήτων των παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό μεγέθους ν = 140 Υποθέτουμε ότι οι αριθμοί 1, 4, 2 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α) Να βρείτε την διαφορά Ν 4 Ν 2 2 β) Αν οι αριθμοί 1, 2 είναι ρίζες της εξίσωσης : x 1 2 x 800 0,να βρείτε ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 26

τις συχνότητες όλων των παρατηρήσεων ν i 50 ν 2 ν 4 ν 1 0 1 2 3 4 x i 29 Στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η βαθμολογία των μαθητών ενός σχολείου σε τέσσερις κατηγορίες «Άριστα», «Λίαν Καλώς», «Καλώς» και «Σχεδόν Καλώς» Αν οι μαθητές με επίδοση «Λίαν Καλώς» είναι 55, να βρείτε : α) Τον αριθμό x και το μέτρο των τόξων β) Το πλήθος όλων των μαθητών γ) Το πλήθος των μαθητών κατά κατηγορία και να μετατρέψετε το κυκλικό διάγραμμα σε ραβδόγραμμα συχνοτήτων Σχεδόν Καλώς 90-x O Άριστα Καλώς x+20 O 13x + 10 O 9x + 20 O Λίαν Καλώς 30 Ρωτήθηκαν ν άτομα σε ένα γκάλοπ ποιο από τα τέσσερα δημόσια πρόσωπα Α,Β,Γ,Δ θεωρούν πιο δημοφιλές Τα αποτελέσματα παριστάνονται σε ένα κυκλικό διάγραμμα, όπου το 15% των ερωτηθέντων προτιμά τον Α, η γωνία του κυκλικού τομέα για τον Β 0 είναι 72, καθώς επίσης για τις σχετικές συχνότητες f Γ και f Δ f 1,6f ισχύει Δ Γ α) Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες f A,f B,fΓκαι f Δ β) Αν το πλήθος των ερωτηθέντων που προτιμούν τον Δ είναι 600 άτομα, να βρεθεί το πλήθος ν γ) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων ΤΟΛΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ 27