1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 2

Τι Είναι Μαθηματική Λογική? «Λογική είναι η επιστήμη των απαραίτητων κανόνων της σκέψης, χωρίς τους οποίους δεν είναι δυνατόν να υπάρξει κατανόηση ή συλλογισμός». IMMANUEL KANT (1724 1804) ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ: Μια ακολουθία προτάσεων που στοχεύουν στον προσδιορισμό της αλήθειας κάποιου ισχυρισμού (η τελευταία πρόταση της ακολουθίας) που καλείται το συμπέρασμα του επιχειρήματος. Στόχος μας είναι η εύρεση κανόνων που εξασφαλίζουν την ορθότητα του επιχειρήματός μας, με (σχεδόν) ΜΗΧΑΝΙΚΟ τρόπο. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι ξέρουμε πως για κάθε πραγματικό αριθμό Χ, ότι: ΑΝ Χ < -2 Η Χ > 2 ΤΟΤΕ Χ 2 > 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: ΑΝ Χ 2 4 TOTE -2 X 2. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ: ΑΝ βρέξει την Κυριακή ΤΟΤΕ δε θα πάμε βόλτα (εκείνη η τη μέρα). μρ ) ΑΡΑ: ΑΝ πήγαμε βόλτα την Κυριακή TOTE δεν έβρεξε (εκείνη τη μέρα). 3 Προτασιακή Λογική (ΠΛ) ΣΤΟΧΟΣ ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ: Ένας φορμαλιστικός τρόπος να αναπαριστούμε εκφράσεις στη φυσική γλώσσα που μπορούν να χαρακτηριστούν ως Α(ληθείς) ή Ψ(ευδείς). ΑΠΛΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: Αντιπροσωπεύονται από (προτασιακές) μεταβλητές και χαρακτηρίζονται τελικά Α ή Ψ: Αύριο θα βρέξει [ΝΑΙ] Τα ιακριτά Μαθηματικά είναι εύκολο μάθημα [ΝΑΙ] Ποιο είναι το όνομά σου? [ΟΧΙ] ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ: Προκύπτουν από χρήση συνδυασμών απλούστερων εκφράσεων. Για παράδειγμα: Αύριο θα βρέξει ΚΑΙ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. Αύριο θα βρέξει Ή κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. ΑΝ αύριο θα βρέξει ΤΟΤΕ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. Αύριο θα βρέξει ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ κάθε άρτιος διαιρείται άκέραια με το 2. 4 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

Γλώσσες της ΠΛ Γλώσσα Γ 0 της Προτασιακής Λογικής: Μια φορμαλιστική γλώσσα, τα στοιχεία της οποίας είναι πεπερασμένες ακολουθίες συμβόλων από: ΜΗ ΛΟΓΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ: Προτασιακές μεταβλητές p 0,p 1,p 2,q,r,s, Παίρνουν τιμή αυθαίρετα από το σύνολο {Α(λήθεια),Ψ(έμα)}. Συμβολίζουν απλές εκφράσεις της φυσικής γλώσσας που μπορούν να χαρακτηριστούν είτε αληθείς είτε ψευδείς (όχι όμως και τα δυο). Μ(Γ 0 ): Το σύνολο των προτασιακών μεταβλητών που χρησιμοποιούμε. ΛΟΓΙΚΑ ΣΥΜΒΟΛΑ: Σύνδεσμοι: ΑΡΝΗΣΗ: ( στο βιβλίο της ΕΡΡ: ~ ) ΙΑΖΕΥΞΗ: ΣΥΖΕΥΞΗ: ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ: ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ: Παρενθέσεις: (, ) 5 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 Εκφράσεις Τύποι ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.1: Έκφραση: Μια οποιαδήποτε (πεπερασμένη) παράθεση συμβόλων (ενδέχεται να μην βγάζει νόημα!) Προτασιακός Τύπος (ΑΝΑ ΡΟΜΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ): Μια έκφραση χ είναι προτασιακός τύπος αν και μόνο αν είναι: (α) Μια προτασιακή μεταβλητή. (β) Της μορφής ( φ) ή (φ ψ), ή (φ ψ), ή (φ ψ), ή (φ ψ), όπου φ,ψ είναι προτασιακοί τύποι. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: Οι προτασιακοί τύποι συμβολίζονται με τα (ελληνικά) γράμματα φ 0, φ 1, φ 2,..., χ, ψ,... Τ(Γ 0 ) : Το σύνολο των προτασιακών τύπων της γλώσσας Γ 0. 6

Προτεραιότητα Λογικών Συμβόλων (Ι) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για λόγους απλοποίησης, θεωρούμε την προτεραιότητα των λογικών συμβόλων με την εξής σειρά: ΠΡΩΤΑ, ακολουθούν και (ίδια προτεραιότητα), και τέλος και (ίδια προτεραιότητα). Χρησιμοποιούμε παρενθέσεις για αλλαγή της προτεραιότητας εκτέλεσης. Αντί των απλών παρενθέσεων () (,), μπορούμε επίσης να χρησιμοποιούμε και τις [, ] και {, } ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΡΑΚΤΙΚΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ (πρόκειται για απολύτως ισοδύναμα σύμβολα). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.1: Οι τύποι p q r και { [ ( p) q] r} θεωρούνται ταυτόσημοι, αλλά και διαφορετικοί από τον τύπο [( p) ( q r )] ]. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.2: Εξετάστε αν είναι τύποι οι παρακάτω εκφράσεις: 1. ( p q r ) ( p q r ) 2. p q r 3. ( p q r) 4. ( q r ) 7 Προτεραιότητα Λογικών Συμβόλων (ΙΙ) Παράδειγμα ΠΛ.3: Έστω οι μεταβλητές p, q, r που αποτυπώνουν την αλήθεια ή το ψέμα των εκφράσεων «κάνει ά κρύο», «κάνει ά ζέστη» και «χιονίζει». Να δοθούν προτασιακοί τύποι που να αποδίδουν τις ακόλουθες εκφράσεις σε φυσική γλώσσα: 1. «εν κάνει ούτε κρύο ούτε ζέστη». p q 2. «Εφόσον κάνει κρύο, δε μπορεί να κάνει ζέστη». p q 3. «εν χιονίζει δίχως να κάνει κρύο αλλά ζέστη». [ r p q] 8

ενδροδιαγράμματα (Ι) ενδροδιάγραμμα Προτασιακού Τύπου: Για οποιοδήποτε προτασιακό τύπο φ, το δενδροδιάγραμμά του είναι μια (δυαδική) δενδρική δομή, στην οποία: τα φύλλα αντιστοιχούν σε ΕΜΦΑΝΙΣΕΙΣ προτασιακών μεταβλητών της γλώσσας που χρησιμοποιούνται στον φ, και κάθε ενδιάμεσος κόμβος αντιστοιχεί σε έναν προτασιακό τύπο που σχηματίζεται με τη βοήθεια ενός λογικού συνδέσμου, ο οποίος χρησιμοποιεί τα (ένα ή δύο) παιδιά του κόμβου αυτού ως υποτύπους (ορίσματά) του. Η ρίζα του δένδρου αυτού αναπαριστά τον ίδιο τον φ. Βάθος Τύπου φ: Η απόσταση (πλήθος ακμών) του πιο απομακρυσμένου φύλλου από τη ρίζα του δενδροδιαγράμματος που αναπαριστά τον φ. ΠΡΟΣΟΧΗ: Βάθος του φ Πολυπλοκότητα (πλήθος συνδέσμων) του φ. 9 ενδροδιαγράμματα (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.2 (συνέχεια): ώστε τα δενδροδιαγράμματα όσων εκφράσεων είναι έγκυροι τύποι της ΠΛ. Για παράδειγμα, για τον προτασιακό τύπο ( p q r) ( p q r), το δενδροδιάγραμμα δ δά είναι το εξής: ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Κάθε μεταβλητή εμφανίζεται σε κάποιο φύλλο τόσες φορές όσες και οι εμφανίσεις της στον τύπο. 2. Σε κάθε εσωτερικό κόμβο του δενδροδιαγράμματος δ δ αναλύεται ο λογικός σύνδεσμος με τη χαμηλότερη προτεραιότητα. 10

Αποτίμηση Τύπων Προτασιακές Μεταβλητές: Παίρνουν ΑΥΘΑΙΡΕΤΕΣ τιμές από το σύνολο {Α,Ψ}. α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} είναι μια συνάρτηση που αναθέτει τιμές στις προτασιακές μεταβλητές (καλείται αποτίμηση η των μεταβλητών). α : Μια επέκταση της α: Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}, που αποδίδει τιμές αλήθειας από το {Α,Ψ} σε οποιονδήποτε τύπο της Γ 0, ανάλογα με τις τιμές αλήθειας που καθορίζει για τις μεταβλητές η αποτίμηση α. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΛΗΘΕΙΑΣ ΤΥΠΟΥ φ: Καθορίζει τις τιμές αλήθειας α(φ) του τύπου φ, για όλες τις δυνατές αποτιμήσεις α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} των εμπλεκόμενων προτασιακών μεταβλητών. 11 Αυθαίρετες τιμές Μεταβλητών Πίνακες Αλήθειας (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.4: Οι πίνακες αλήθειας για τους τύπους ( p), (p q), (p q), (p q) και (p q), είναι οι εξής: p q ( p) (p q) (p q) (p q) (p q) β η A A Ψ Α Α Α Α A Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: 1. Σε τι αντιστοιχεί μια συνάρτηση αποτίμησης α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}? Εξαρτημένες τιμές Τύπων 2. Πόσες διαφορετικές τέτοιες συναρτήσεις α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} μπορώ να έχω, δεδομένου ότι η γλώσσα Γ 0 χρησιμοποιεί κπροτασιακές μεταβλητές? 3. Σε τι αντιστοιχεί μια αποτίμηση ενός συγκεκριμένου τύπου α(φ)? Πόσους τύπους κ μεταβλητών με διαφορετικές αποτιμήσεις μπορούμε να έχουμε? 12

Πίνακες Αλήθειας (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.4 (συνέχεια): ώστε τον πίνακα αλήθειας του τύπου φ = ( p q r) ( p q r). ΑΠΑΝΤΗΣΗ Κατασκευάζουμε ΚΟΙΝΟ πίνακα αλήθειας για όλους τους υποτύπους στο δενδροδιάγραμμα του φ. p q r ( r) (p q) (p q) p q ( r) p q r φ A A A Ψ Α Α Ψ Α Α A Ψ A Ψ Ψ Α Α Α Α Ψ Α A Ψ Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ A Ψ Ψ Ψ Α Α Α A A Ψ Α Α Α Α Ψ Ψ A Ψ Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Α Ψ Α Ψ Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α Α Α 13 Ταυτολογίες και Αντιφάσεις ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.2: Ένα σύνολο τύπων Τ = {φ 1,φ 2,...} ονομάζεται ικανοποιήσιμο, αν υπάρχει τουλάχιστον μια αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} για τις μεταβλητές που χρησιμοποιούνται σε αυτούς, τέτοια ώστε ΟΛΟΙ οι τύποι του Τ να έχουν αποτίμηση η Α. Ένας προτασιακός τύπος της Γ 0 ονομάζεται: (α) Ταυτολογία, αν και μόνο αν έχει τιμή Α(λήθεια) ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ}. (β) Αντίφαση, αν και μόνο αν ΕΝ ΕΙΝΑΙ ικανοποιήσιμος, δηλαδή, ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} έχει τιμή Ψ(έμα). 14 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

Ταυτολογίες και Αντιφάσεις (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.5: Να εξεταστεί αν οι ακόλουθοι τύποι είναι ταυτολογίες ή αντιφάσεις: (1) ( p q r ) ( p q r ), (2) ( q p) ( p q) (3) ( p q r) ( p q r) (1) (p q r) (p q r) ΕΣΤΩ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ ΤΟΤΕ Ψ Α Ψ Ψ Α Ψ Ψ Α ΥΝΑΤΟΝ να ισχύει για κάποια αποτίμηση α ότι α(p q) = Ψ KAI ταυτόχρονα α(p q) = Α, άρα ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΑ!!! 15 Παραδείγματα Συνεπαγωγής -- Ισοδυναμίας ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.6: Ο Γιάννης (γνωρίζουμε ότι) είτε λέει πάντα αλήθεια, είτε λέει πάντα ψέματα, και κάνει τις ακόλουθες δηλώσεις: 1. «Μου Μ αρέσει η Λούσυ». 2. «ΑΝ μου αρέσει η Λούσυ ΤΟΤΕ μου αρέσει η Βίβιαν». Τελικά, ποια γυναίκα συμπαθεί ο Γιάννης? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.7: Σε ένα νησί υπάρχουν δυο φυλές, η φυλή ΕΙΛΙΚΡΙΝΕΙΣ (όλοι λένε ΠΑΝΤΑ αλήθεια) και η φυλή ΨΕΥΤΕΣ (όλοι λένε ΠΑΝΤΑ ψέματα). Ένας χρυσοθήρας φτάνει στο νησί, και ρωτά τον πρώτο ιθαγενή που συναντά: -- «Υπάρχει χρυσός στο νησί?» Αυτός απαντά: -- «Υπάρχει χρυσός στο νησί ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟ ΑΝ εγώ λέω πάντα την αλήθεια». Τι πρέπει να συμπεράνει ο χρυσοθήρας? 16

Παράδειγμα Αντιθετοαναστροφής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.8: υο εστιατόρια βρίσκονται το ένα απέναντι από το άλλο. Το πρώτο έχει μια πινακίδα που γράφει «Το καλό φαγητό δεν είναι φθηνό». Το δεύτερο έχει μια πινακίδα που γράφει «Το φθηνό φαγητό δεν είναι καλό». Λένε οι δυο πινακίδες το ίδιο πράγμα? ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 η φράση (p) : «Το φαγητό είναι καλό». 2 η φράση (q) : «Το φαγητό είναι φθηνό». 1 ο εστιατόριο: p q 2 ο εστιατόριο: q p p q ( p) ( q) (p q) (q p) A A Ψ Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ A Α Α Ψ Α Α Ψ Α Α Ψ Ψ Α Α Α Α 17 Ταυτολογική Συνεπαγωγή ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.3: Έστω προτασιακοί τύποι φ,φ 1,φ 2,...,φ κ,χ της Γ 0. (α) Έστω ότι ισχύει πως: ΓΙΑ ΚΑΘΕ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} όλων των προτασιακών μεταβλητών που χρησιμοποιούνται, ΑΝ α(φ 1 ) = Α ΚΑΙ... ΚΑΙ α(φ κ ) = Α ΤΟΤΕ α(χ) = Α Τότε λέμε ότι ο τύποι φ 1,...,φ κ συνεπάγονται ταυτολογικά τον 1 κ τύπο χ, και το συμβολίζουμε με { φ 1,...,φ κ } = χ. (β) Αν φ = χ και χ = φ τότε λέμε ότι οι φ,χ είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι τύποι ( συμβολίζεται με φ χ ). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Έστω ότι φ χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο φ χ? Έστω ότι {φ 1,...,φ κ } = χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο φ 1... φ κ χ? 18 Έστω ότι { } = χ. Τι συμπεραίνω για τον τύπο χ?

Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (I) Αντιμεταθετικότητα: φ χ χ φ και φ χ χ φ ΑΛΛΑ ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ φ χ χ φ Προσεταιριστικότητα: φ (χ ψ) (φ χ) ψ και φ (χ ψ) (φ χ) ψ, ΑΛΛΑ ΕΝ ΙΣΧΥΕΙ (φ χ) ψ φ (χ ψ). ΑΣΚΗΣΗ: Τι ισχύει για τους φ (χ ψ) KAI (φ χ) ψ? ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Η προσεταιριστικότητα επιτρέπει να γράφουμε φ χ ψ,φ χ ψ,φ χ ψ, ΑΛΛΑ ΟΧΙ φ χ ψ! Επιμεριστικότητα: φ (χ ψ) (φ χ) (φ ψ) και φ (χ ψ) (φ χ) (φ ψ) Άρνηση Συνεπαγωγής: (φ χ) φ χ De Morgan: (φ χ) φ χκαι (φ χ) φ χ 19 Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (II) ιπλή Άρνηση: φ φ Αντιθετοαναστροφή: φ χ χ φ Εξαγωγή: φ χ ψ φ (χ ψ) Αποκλεισμός Τρίτου: { } = φ φ Αντικαταστάσεις: 1. φ χ ( φ φ χ) 2. φ χ (φ χ) (χ φ) ( φ χ) ( χ φ) 3. φ χ ( φ( φ χ) 4. φ χ ( φ χ) 20

Νόμοι της Προτασιακής Λογικής (ΙΙΙ) ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ: Για τύπους φ,ψ Τ(Γ 0 ), ισχύει ότι: ΑΝ φ = ψ ΤΟΤΕ φ ψ φ KAI φ ψ ψ ΑΣΚΗΣΗ ΠΛ.1: Για προτασιακούς τύπους τ, α, φ, χ, αν ο τ είναι ταυτολογία και ο α αντίφαση, τι μπορούμε να πούμε για τους ακόλουθους τύπους? 1. τ φ φ ουδέτερο στοιχείο 2. τ φ τ ολικό φράγμα 3. α φ α ολικό φράγμα 4. α φ φ ουδέτερο στοιχείο 5. α φ τ 6. τ φ φ 7. φ φ φ μοναδιαία ποσότητα 8. φ φ φ μοναδιαία ποσότητα 9. φ (φ χ) φ (φ χ) φ φ απορροφήσεις 21 Σε τι Χρησιμεύουν οι Νόμοι της ΠΛ? ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.9: Χρησιμοποιώντας τους Νόμους της ΠΛ δημιουργείστε έναν ισοδύναμο τύπο που να έχει όσο γίνεται χαμηλότερη πολυπλοκότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ [(φ ψ) ( φ ψ)] ( φ ψ) (φ ψ) [( φ ψ) ( φ ψ)] (φ ψ) [ φ (ψ ψ)] (φ ψ) [ (ψ ψ) φ] (φ ψ) [τ φ] (φ ψ) φ ( φ φ ) ( ψ φ ) τ ( ψ φ ) ψ φ (ψ φ) 22 Ν. Προσεταιριστικότητας Ν. Επιμεριστικότητας N. Άρνησης Συνεπαγωγής Ν. Αποκλ. Τρίτου & Απορρόφ. Ν. Επιμεριστικότητας Ν. Αποκλ. Τρίτου & Απορρόφ. Ν. De Morgan

Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.4: Ένας προτασιακός τύπος φ Τ(Γ 0 ) είναι σε Κανονική ιαζευκτική Μορφή (Κ Μ) ανν είναι της μορφής φ ψ 1 ψ 2... ψ κ (δηλαδή, λ δή δάζ διάζευξη υποτύπων), ) όπου κάθε υποτύπος ψ ν (1 ν κ) είναι της μορφής ψ ν χ ν,1... χ ν,λ (δηλαδή, σύζευξη υποτύπων) και κάθε χ ν,λ είναι είτε μια προτασιακή μεταβλητή ή η άρνησή της. ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΛ.1 [ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ Κ Μ]: Για κάθε προτασιακό τύπο φ Τ(Γ 0 ), υπάρχει ένας ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΣ προτασιακός τύπος φ* Τ(Γ 0 ) που είναι σε Κ Μ. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΠΡΟΤΑΣΗΣ ΠΛ.1: Στον πίνακα αλήθειας του φ, έστω ότι μια συγκεκριμένη αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} έχει α(φ) = Α. Μπορούμε να γράψουμε έναν υποτύπο χ α που γίνεται αληθής ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΑ ΓΙΑ ΜΙΑ αποτίμηση α : Μ(Γ 0 ) {Α,Ψ} (ΠΟΙΟΝ?) Θεωρώ τον τύπο φ* = Μ(Γ0) {Α Ψ} ( ) Α χ Θεωρώ τον τύπο φ α:μ(γ0) {Α,Ψ} και α(φ)=α χ α. Ισχύει (από κατασκευή) ότι φ φ*. 23 Κανονική ιαζευκτική Μορφή (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.10: Να δοθεί η Κ Μ του προτασιακού τύπου τόσο με πίνακα αλήθειας όσο και με χρήση των νόμων της ΠΛ: Από τον Πίνακα Αλήθειας: χ p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 p 2 p 3 p 0 p 2 p 0 ( p 2 p 0 ) p 3 p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] 1 η A A A Ψ Ψ Α Α 2 η Α Α Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ 3 η Α Ψ Α Ψ Α Α Α 4 η Α Ψ Ψ Ψ Α Α Α 5 η Ψ Α Α Α Α Α Α 5 η Ψ Α Ψ Α Α Α Α 7 η Ψ Ψ Α Α Α Α Α 8 η Ψ Ψ Ψ Α Α Α Α χ (p 0 p 2 p 3 ) (p 0 p 2 p 3 ) (p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) ( p 0 p 2 p 3 ) 24

Κανονική ιαζευκτική Μορφή (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.10 (συνέχεια): Να δοθεί η Κ Μ του προτασιακού τύπου τόσο με πίνακα αλήθειας όσο και με χρήση των νόμων της ΠΛ: χ p 0 [( p 2 pp 0 ) p 3 ] Με χρήση Νόμων της ΠΛ: p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] p 0 [( p 2 p 0 ) p 3 ] ( p 0 p 0 ) ( p 2 p 3 ) p 0 p 2 p 3 N. Αντικατάστασης Ν. Αντικατάστασης Ν. Προσεταιριστικότητας Ν. Απορρόφησης 25 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων (Ι) ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛ.5: Ένα σύνολο συνδέσμων Σ τέτοιο ώστε ΚΑΘΕ προτασιακός τύπος φ είναι ΤΑΥΤΟΛΟΓΙΚΑ ΙΣΟ ΥΝΑΜΟΣ με ΚΑΠΟΙΟ προτασιακό τύπο ψ που χρησιμοποιεί συνδέσμους ΜΟΝΟ από το Σ, ονομάζεται πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11: Ελέγξτε αν τα σύνολα συνδέσμων: Σ1 = {,, }, Σ2 = {, }, Σ3 = {, }, Σ4 = {, }, Σ5 = {, } είναι πλήρη σύνολα συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το Σ1 είναι πλήρες λόγω ύπαρξης Κ Μ για κάθε προτασιακό τύπο. Το Σ2 (όπως και το Σ3) είναι πλήρες γιατί σε κάθε Κ Μ μπορώ να εφαρμόσω De Morgan για την απάλειψη των εμφανίσεων του συνδέσμου διάζευξης (σύζευξης). Το Σ4 ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες. Πχ, δεν υπάρχει τρόπος να εκφραστεί ο προτασιακός τύπος p (γιατί?). Το Σ5 είναι πλήρες, από χρήση νόμων αντικατάστασης (πχ, στην Κ Μ). 26

Πλήρη Σύνολα Συνδέσμων (ΙΙ) ΑΣΚΗΣΗ ΠΛ.2: Έστω ο (δυαδικός) λογικός σύνδεσμος ΟΥΤΕ...ΟΥΤΕ... (NOR) (συμβολίζεται με ) με πίνακα αλήθειας τον εξής: p q p q 1 η A A Ψ 2 η Α Ψ Ψ 3 η Ψ Α Ψ 4 η Ψ Ψ Α Νδο το σύνολο Σ6 = { } είναι πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Εκφράζουμε τους τελεστές ενός ΠΛΗΡΟΥΣ συνόλου, πχ, του Σ3 = {, }, χρησιμοποιώντας αποκλειστικά τον τελεστή : ( p) p p p q (p q) (p q) ΑΡΑ: Κάθε τύπος φ έχει ισοδύναμο τύπο φ που χρησιμοποιεί τελεστές από το Σ2 (λόγω πληρότητας του Σ2) και ο τύπος φ έχει ισοδύναμο τύπο φ* που χρησιμοποιεί μόνο τον τελεστή. Από μεταβατικότητα της ταυτολογικής ισοδυναμίας, οι φ και φ* είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι. 27 Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων (Ι) Ένα ισχυρό αποδεικτικό εργαλείο για ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ι ΙΟΤΗΤΩΝ Θέλουμε να αποδείξουμε μια ιδιότητα (πχ, άρτιο πλήθος παρενθέσεων) ΓΙΑ ΚΑΘΕ προτασιακό τύπο φ. Αρχή της (ισχυρής) Μαθηματικής Επαγωγής (α) ί είχνουμε ότι η πρόταση ισχύει για την απλούστερη μορφή τύπου (προτασιακή μεταβλητή). β) ΓΙΑ ΟΠΟΙΟ ΗΠΟΤΕ κ 1, o Υποθέτουμε ότι η πρόταση ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟ φμε 0 λ κ-1 1 λογικά σύμβολα. o είχνουμε ότι η πρόταση ισχύει και ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΤΥΠΟ με κ λογικά σύμβολα. 28

Επαγωγή στην Πολυπλοκότητα των Τύπων (ΙΙ) Αν και υπάρχουν ΑΠΕΙΡΟΙ τύποι που μπορεί να φτιάξει κανείς υπάρχουν ΜΟΝΟ 5 περιπτώσεις που πρέπει να ελέγξουμε!!! ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.12: είξτε ότι «Κάθε προτασιακός τύπος φ περιέχει άρτιο αριθμό παρενθέσεων», αν θεωρήσουμε ότι όλοι οι τύποι παράγονται βάσει του αναδρομικού ορισμού των προτασιακών τύπων (χωρίς απλοποιήσεις). ΒΑΣΗ: Αν ο φ είναι προτασιακή μεταβλητή περιέχει 0 παρενθέσεις άρα η πρόταση ισχύει. ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι η πρόταση ισχύει ΓΙΑ ΟΠΟΙΟΥΣ ΗΠΟΤΕ τύπους φ και ψ. Υποθέτουμε ότι ο φ έχει 2m 0 παρενθέσεις και ο ψ έχει 2n 0 παρενθέσεις. ΕΠΑΓΩΓΙΚΟ ΒΗΜΑ: Θα δείξουμε ότι η πρόταση ισχύει και για τους πιο σύνθετους προτασιακούς τύπους ( φ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ). Για τον ( φ) : Έχει 2m+2=2(m+1) παρενθέσεις, δηλαδή άρτιο αριθμό και η πρόταση ισχύει. Για τον (φ ψ): Έχει 2m+2n+2=2(m+n+1) παρενθέσεις, δηλαδή άρτιο αριθμό και η πρόταση ισχύει. Όμοια δείχνεται η πρόταση και για τα άλλα ΙΜΕΛΗ λογικά σύμβολα. 29 Επαγωγή στην Πολυπλότητα των τύπων (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΠΛ.11 (συνέχεια): Νδο το σύνολο συνδέσμων Σ4 = {, } ΕΝ ΕΙΝΑΙ πλήρες σύνολο συνδέσμων. ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Έστω η γλώσσα της ΠΛ με μόνο μια μεταβλητή, την p. Θδο ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(φ) = Α, για κάθε τύπο φ με συνδέσμους από το Σ4. Αυτό σημαίνει πως είναι αδύνατον να εκφραστεί ο τύπος φ = p. ΒΑΣΗ: Mε 0 συνδέσμους, υπάρχει ένας και μόνο τύπος Χ(0) = p, και ισχύει ότι ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(0)) = Α. ΥΠΟΘΕΣΗ: Έστω ότι για κάποιο κ 0, και οποιονδήποτε τύπο χ(λ) με ακριβώς 0 λ κ συνδέσμους, που είναι όλοι από το Σ4, ισχύει ότι: ΑΝ α(p) = Α ΤΟΤΕ α(χ(λ)) = Α. ΒΗΜΑ: Θεωρώ τυχόντα τύπο χ(κ+1) με κ+1 συνδέσμους, μόνο από το Σ4. Τότε, χ(κ+1) = χ(λ) & χ(κ-λ) για κάποιο 0 λ κ, όπου & Σ4. Από Επαγ. Υπόθεση: ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(λ)) = α(χ(κ-λ)) = Α. ΑΛΛΑ: χ(λ), χ(κ-λ) {χ 1, χ 2 }. p χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 1 χ 2 χ 2 χ 1 p ΑΡΑ: A Α Α Α A Α Ψ ΑΝ α(p) = A TOTE α(χ(κ+1))=α 30 Ψ Α Ψ Ψ Ψ Α Α

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (Ι) 1. Ελέγξτε αν είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι οι τύποι p (q r) και (p q) r, ή αν κάποιος συνεπάγεται ταυτολογικά τον άλλο. Να κάνετε το ίδιο και για τους τύπους (p q) r και p (q r). 2. Έστω τμια οποιαδήποτε ταυτολογία και χ ένας οποιοσδήποτε τύπος που δεν είναι ταυτολογία. Να εξεταστεί αν: i. Ο τύπος ( τ) είναι αντίφαση. ii. Οι τύποι (τ χ) χ, (τ χ) χ, (τ χ) χ και (τ χ) χείναι ταυτολογίες. 3. Να δειχθεί ότι αν οι τύποι φ 1 και φ 2 είναι ταυτολογικά ισοδύναμοι, τότε έχουν ΑΚΡΙΒΩΣ τις ίδιες αποτιμήσεις, για όλες τις γραμμές του αληθοπίνακα (= αποτιμήσεις προτασιακών μεταβλητών). 31 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙ) 4. Θεωρούμε το σύνολο προτασιακών τύπων: T = { p1 p2, p1 p2, p1 p3 } Ποιες από τις παρακάτω ταυτολογικές συνεπαγωγές αληθεύουν; (ι) T = p1 p (p1 p2) (ιι) T = (p1 p2) p3 (ιιι) T = (p2 p3) (p1 p3) (ιν) T = (p1 p2) ( p1 p3) 5. Χρησιμοποιείστε τους Νόμους της ΠΛ για να φέρετε τους παρακάτω τύπους σε Κ Μ. (ι) (p q r) (p r) (ιι) (p q r) [q (r s) ] 6. Εξετάστε αν είναι ικανοποιήσιμο το σύνολο τύπων: Τ = { p (q r), p (q r), p q } Εξετάστε επίσης αν κάποιος από τους τύπους του Τ είναι ταυτολογική συνεπαγωγή κάποιου άλλου τύπου. 32

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙΙΙ) 7. Έστω Ττο σύνολο των τύπων (της ΠΛ) οι οποίοι είναι είτε προτασιακές μεταβλητές, ή της συντακτικής μορφής φ, φ φ ψ, φ ψ, όπου φ, ψ είναι ήδη κατασκευασμένοι τύποι του Τ. Για κάθε φστο Τ, φ* είναι ο τύπος που προκύπτει από τον φ ως εξής: Αντικαθιστούμε κάθε προτασιακή μεταβλητή με την άρνησή της. Εναλλάσσουμε τα,, μεταξύ τους (δηλαδή, η ο σύνδεσμος μετατρέπεται στον και ο μετατρέπεται στον ). είξτε με επαγωγή στην πολυπλοκότητα των τύπων του Τότι φ φ*. 33 Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (ΙV) 8. Έστω τέσσερις προτασιακές μεταβλητές p 1, p 2, p 3, p 4 και S κάποιο υποσύνολο του συνόλου {1,2,3,4}. Οι τέσσερις προτασιακές μεταβλητές ερμηνεύονται ως εξής: p k είναι Α(ΛΗΘΕΙΑ) αν και μόνο αν το στοιχείο k ανήκει στο S. Χρησιμοποιώντας τις μεταβλητές p k, κατασκευάστε προτασιακούς τύπους (οι οποίοι να εμπλέκουν αποκλειστικά τις τέσσερις προτασιακές μεταβλητές) που εκφράζουν κάθε μια από τις παρακάτω ιδιότητες: (ι) Το S είναι κενό. (ιι) Το S έχει το πολύ τρία στοιχεία (ιιι) Το S έχει τουλάχιστον δύο στοιχεία. 34 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20

Μερικές Ασκήσεις Επανάληψης (V) 9. Αφού εκφράσετε με τύπους της ΠΛ τα παρακάτω επιχειρήματα, εξετάστε αν είναι έγκυρα. ηλαδή, θεωρώντας ότι οι δυο πρώτες φράσεις αληθεύουν, είναι ορθό το τελικό συμπέρασμα; Γιατί; (ι) Αν δουλέψω όλη τη νύχτα, θα τελειώσω την εργασία έγκαιρα. Όμως, δεν δούλεψα όλη τη νύχτα. Άρα, δεν θα τελειώσω την εργασία έγκαιρα. (ιι) Αν φάω βαρύ φαγητό, ανακατεύεται το στομάχι μου. Αν έχω ανακατεμένο στομάχι, τότε βλέπω εφιάλτες. Άρα, αν φάω βαρύ φαγητό θα δω εφιάλτες. 35 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20 ΠΡΟΣΒΑΣΗ ΙΣΤΟΘΕΣΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ: Η ιστοθεσία του μαθήματος είναι ήδη ενεργοποιημένη!!! url: http://www.cs.uoi.gr/~kontog/courses/discrete-math-1/ username: password: DM15user!15-DM+user! 36 Τμήμα Μηχσνικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ20