ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ «Όλο το µέληµα της φιλοσοφίας φαίνεται να συνίσταται στο εξής: από τα φαινόµενα των κινήσεων αναζητείστε τις δυνάµεις της φύσης και, κατόπιν, από τις δυνάµεις αποδείξτε τα άλλα φαινόµενα». Νεύτωνας (7 ος αιώνας)

58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Isaak Newtn (64-77)

.. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 59 Philsphiae Naturalis Principia Mathematica 687

60 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ.. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Ένα πεδίο δυνάµεων αναπαρίσταται γεωµετρικά ως συνεχής απεικόνιση F: που σε κάθε σηµείο προσαρτά ένα διάνυσµα δύναµης ορίζοντας την κίνηση στον ευκλείδειο χώρο σύµφωνα µε την εξίσωση του Νεύτωνα: d x() t m = F( x). dt Αποσυνθέτοντας το πεδίο δυνάµεων στις συνιστώσες του συναρτήσεις: F( x ) = F( x ),F ( x ),F ( x ), F:, i =,,, ( ) η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως σύστηµα διαφορικών εξισώσεων: m d xi t () = F( i x) dt i, i =,,. Τα πεδία δυνάµεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα µε την ύπαρξη ή όχι συνάρτησης δυναµικού, δηλαδή συνάρτησης τέτοιας ώστε: που σηµαίνει ότι: U: F( x) = U( x ), U F( i x) = ( x) x i, x, x, i =,,. Η συνάρτηση δυναµικού καθορίζεται µε πρσέγγιση προσθετικής σταθεράς αποδίδοντας σε κάθε σηµείο του χώρου αντίστοιχη τιµή δυναµικής ενέργειας και συνακόλουθα τον διαµερίζει σε ισοδυναµικές επιφάνειες: c { } Σ (U) = x / U( x ) = c, c.* * Στον ευκλείδειο χώρο το εσωτερικό γινόµενο ταυτίζει ισοµορφισµά τα διανυσµατικά πεδία µε τις διαφορικές µορφές δίνοντας τη δυνατότητα ισοµορφικής έκφρασης κάθε πεδίου δυνάµεων ως εξής: F ( x) = F( xdx ). i i i=,, Η ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού σηµαίνει ότι η διαφορική µορφή που εκφράζει το πεδίο δυνάµεων αποτελεί το διαφορικό µιας συνάρτησης: U du( x) = ( x) dx. i i=,, x i

.. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 6 F( x ) = 0, 0, ( ) U( x) = x F( x) = x, x, x ( ) ( ) U( x) = x + x + x F( x) = x, x, 0 ( ) ( ) U( x) = x + x Παραδείγµατα πεδίων δυνάµεων και αντίστοιχων ισοδυναµικών επιφανειών στον ευκλείδειο χώρο. * * Η συνάρτηση δυναµικού καθορίζεται µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που συνήθως προσδιορίζεται θέτοντας U(0) = 0. Η αριθµητική τιµή της δηλώνει τη δυναµική ενέργεια που αποδίδεταιτο σε υπόθεµα µοναδιαίας µάζας τοποθετηµένο στο θεωρούµενο σηµείο του χώρου. Σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου χώρου, η διερχόµενη ισοδυναµική επιφάνεια τέµνει προφανώς κάθετα το πεδίο δυνάµεων.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται στον ευκλείδειο χώρο υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων προερχόµενου από συνάρτηση δυναµικού τότε στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας * ως άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας: E K. E :, (x,x) = U(x) + (x) Η συνάρτηση ενέργειας καθορίζει την ενεργειακή τιµή του υλικού σηµείου σε κάθε σηµείο του χώρου θέσεων και ταχυτήτων και τον διαµερίζει σε ισοενεργειακές υπερεπιφάνειες: E { x,x x,x E } Σ ( E) = ( ) / E ( ) =, E. ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή διατήρησης της ενέργειας. Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων προερχόµενου από συνάρτηση δυναµικού τότε η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Απόδειξη. Λαµβάνοντας υπόψη την εξίσωση του Νεύτωνα: d x() t m + U( x) = 0 dt διαπιστώνουµε τον µηδενισµό της παραγώγου της συνάρτησης ενέργειας ως προς το χρόνο στα σηµεία της διανυόµενης τροχιάς στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων: de dt d(u + K) = = dt ( xt (), xt () ) ( xt (), xt () ) = du( x()) t d ( x()) t dt + dt = dx dx K U i K i + = i= xi dt i= x i dt =< U( x), xt () >+< mxt (), xt () >= < mxt (), xt () >+< mxt (), xt () >= 0. Σχόλιο. Τα πεδία δυνάµεων στα οποία ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας, δηλαδή εκείνα που προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού, καλούνται διατηρητικά. Σε αυτά τα πεδία δυνάµεων η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ως σύστηµα εξισώσεων: dx () t E( x, x ) i m = dt x i dx () t E( x, x ) m = dt x, i i, i=,,. * Σαφέστερα θα λέγαµε συνάρτηση µηχανικής ενέργειας.

.. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 6 Οι λύσεις αυτού του συστήµατος ορίζουν τις τροχιές στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων και εφόσον η συνάρτηση ενέργειας πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος ύπαρξης και µοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων τότε από κάθε ση- µείο του διέρχεται µια µοναδική τροχιά. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής εξελίσσονται στην αντίστοιχη ισοενεργειακή υπερεπιφάνεια του χώρου θέσεων-ταχυτήτων. Από την προβολή τους στο χώρο θέσεων προκύπτουν οι φυσικές τροχιές που έχει τη δυνατότητα να διαγράψει το υλικό σηµείο µε τη δεδοµένη ενεργειακή τιµή στον ευκλείδειο χώρο και οι τροχιές αυτές εγκλείονται στο χωρίο που ορίζεται από τη σχέση: U( x) E. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Οµογενή πεδία δυνάµεων. Ο όρος οµογενές πεδίο δυνάµεων δηλώνει ότι σε κάθε σηµείο του ευκλείδειου χώρου προσαρτάται το ίδιο σταθερό διάνυσµα δύναµης:, F( ) (,, ) F: x a a a. Τα οµογενή πεδία δυνάµεων προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού που ορίζεται µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς ως εξής: και διαµερίζει τον ευκλείδειο χώρο U:, U( x) = ax + ax +ax, σε ισοδυναµικά επίπεδα: ax + ax +ax = c, c. Η κίνηση ενός υλικού σηµείου µάζας m υπακούει στην εξίσωση του Νεύτωνα: mx ()= t a, i=,,, i i και για τις αρχικές συνθήκες x(0) = x, x (0) = v, καθορίζεται η τροχιά του στον ευκλείδειο χώρο : x() t = ( x + vt+ at /) / m, a = ( a, a, a ), και η ταχύτητά του: x () t = v + a t / m. ( ) Στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: E :, i i i i= i= E ( x, x) = a x + mx, που διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Πειραµατικά είναι διαπιστωµένο ότι, όταν ένα σώµα µάζας m βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της γης και η µόνη δύναµη που ασκείται σε αυτό είναι το βάρος του, η εξίσωση που διέπει την κίνησή του είναι αυτή που ισχύει στα οµογενή πεδία δυνάµεων:

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ mx ()= t mg όπου g = (0,0, g ) δηλώνει τη γήϊνη βαρυτική επιτάχυνση. Εδώ, η µάζα υπεισέρχεται στη διαµόρφωση της ασκούµενης σε αυτήν δύναµης δηλαδή του βάρους της, αλλά η κίνηση δεν εξαρτάται από τη µάζα, γεγονός που στην ελεύθερη πτώση είχε διαπιστωθεί πριν αρκετούς αιώνες πειραµατικά από τον Γαλιλαίο. Συγκεκριµένα: mx () t = 0 x ()= t v 0 x() t = x 0+v0t mx () t = 0 x ()= t v 0 x() t = x 0+v0t mx () t = mg x ()= t v0 gt x()= t x0 + v0 t gt /. x = ( x0, x0, x 0) µε τα- Άρα, αν τη στιγµή t= 0 το σώµα διέρχεται από τη θέση χύτητα v = ( v, v, v ) τότε θα διανύσει την τροχιά: 0 0 0 µε ταχύτητα: xt () = x + vt (0,0, gt /) x ()= t v + gt. * Τροχιά στο οµογενές πεδίο βαρύτητας του περιβάλλοντος χώρου µας. * Η συνάρτηση ενέργειας E ( xx, ) = mgx + m x / διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης που καθορίζεται από την αρχική θέση και ταχύτητα. Αν το σώµα εκτοξευτεί από την αρχή του ευκλείδειου χώρου υπό γωνία θ και ταχύτητα µέτρου υ τότε κατά τη διάρκεια της κίνησης η ενεργειακή του τιµή θα είναι: E = m υ ο / και εύκολα προσδιορίζεται η διάρκεια της κίνησης έως την πτώση στο έδαφος: ( υ / g)sinθ ο, το µέγιστο ύψος από όπου θα διέλθει η τροχιά: ( υ / g)sin θ, το βεληνεκές: ( υ / g)sin θ. ο ο ο ο

.. ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 65 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Γραµµικά πεδία δυνάµεων. Το γραµµικό πεδίο δυνάµεων: F:, F( x ) ( κ x, κ x, κ x ), προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού: U:, U( x) = ( κx+ κx + κ x), που διαµερίζει τον ευκλείδειο χώρο σε ελλειψοειδείς ισοδυναµικές επιφάνειες στο εσωτερικό των οποίων εξελίσσονται οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής. Η συνάρτηση ενέργειας ορίζεται στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων ως εξής: E( x, x) = U( x) + K( x) = ( κ ixi + mxi ), και σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Η εξίσωση του Νεύτωνα: d x() t m + U( x) = 0 dt που διέπει την κίνηση ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται ως εξής: i i i i= mx () t + κ x() t = 0, κ i > 0, i=,,, και θέτοντας ω= κ / m προκύπτει: i i x () t + ω x () t = 0, i=,,. i i i Για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα x, v, προσδιορίζεται η τροχιά του υλικού σηµείου στον ευκλείδειο χώρο : όπου ή ισοδύναµα ( ) x() t = x (), t x (), t x () t x () t = Acsω t+ Bsinω t, A,B i i, i i i i i x () t = Ccs( ω t ϕ ), Ci, ϕi [0, π ], i i i i µε σταθερές που πληρούν τις σχέσεις: / C i = (Ai + B i ), tg ϕ i = B i / Ai, i=,,.

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ.. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ Ο όρος δρόµος στον ευκλείδειο χώρο δηλώνει µια συνεχή απεικόνιση: γ:[ t, t ], αρχής a και πέρατος b, ορισµένη σε ένα διάστηµα του χρονικού άξονα όπου a = γ( t ) και b =γ( t ). Η θεώρηση ενός δρόµου σε ένα πεδίο δυνάµεων σηµαίνει ότι σε κάθε ση- µείο της προσανατολισµένης καµπύλης που ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο προσαρτάται το αντίστοιχο διάνυσµα του πεδίου δυνάµεων: F(()) γ t = F(()),F(()),F(()) γ t γ t γ t. ( ) Όταν ένα υλικό σηµείο διανύει την προσανατολισµένη αυτή καµπύλη, µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση και άλλων γνωστών ή άγνωστων δυνάµεων, τότε ορίζεται το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων: t (F) F( ( )), ( ) t W γ < γ t γ t > dt. * Το πεδίο δυνάµεων προσαρτά την αντίστοιχη δύναµη σε κάθε σηµείο της καµπύλης την οποία διανύει ένα υλικό σηµείο µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση και άλλων γνωστών ή άγνωστων εξωτερικών δυνάµεων. Σχόλιο. Αν το παραγόµενο έργο από ένα πεδίο δυνάµεων κατά µήκος ενός δρόµου είναι θετικό ή αρνητικό τότε αυτό σηµαίνει αντίστοιχα ότι το πεδίο δυνάµεων συνεισφέρει ή ανθίσταται στην κίνηση του υλικού σηµείου που διανύει αυτό το δρόµο µε ενδεχόµενη ταυτόχρονη επίδραση άλλων εξωτερικών δυνάµεων. Στην περίπτωση µηδενικού έργου το πεδίο δυνάµεων ούτε συνεισφέρει ούτε ανθίσταται στην κίνηση. * Οι δρόµοι υποτίθενται τουλάχιστο κατά τµήµατα C -διαφορίσιµοι ώστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα να είναι σαφώς ορισµένο. Αυτό σηµαίνει ότι, µε εξαίρεση ίσως ένα πεπερασµένο πλήθος σηµείων της καµπύλης, κάθε άλλο σηµείο της δέχεται εφαπτοµένη µεταβαλλόµενη κατά συνεχή τρόπο. Ενδεχόµενη αλλαγή της παραµετροποίησης του δρόµου δεν επηρεάζει την τιµή του επικαµπύλιου ολοκληρώµατος.

.. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 67 ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή µεταβολής της δυναµικής ενέργειας. Στα πεδία δυνάµεων που προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού το παραγό- µενο έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη µεταβολή της δυνα- µικής ενέργειας µεταξύ των άκρων του: W (F) = U( a) U( b). Απόδειξη. Το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου αρχής a =γ( t ) και πέρατος b= γ( t ) είναι: W γ = < γ γ > = =. t b (F) U( ( t)), ( t) dt d U U( a) U( b) t a ΠΟΡΙΣΜΑ *. Όταν ένα πεδίο δυνάµεων προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε το έργο που παράγει κατά µήκος κάθε δρόµου του οποίου τα άκρα ανήκουν στην ίδια ισοδυναµική επιφάνεια είναι µηδενικό και, ειδικότερα, µηδενικό είναι το έργο κατά µήκος κάθε κλειστού δρόµου. ΘΕΩΡΗΜΑ. Αρχή µεταβολής της κινητικής ενέργειας. Όταν ένα υλικό σηµείο εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων τότε, σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα, η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος της διανυόµενης τροχιάς: W(F) = K( x( t )) K ( x( t )). Απόδειξη. Το παραγόµενο έργο κατά µήκος της τροχιάς προσδιορίζεται ως εξής: t t W (F) = < F( x( t)), xt ( ) > dt= < mxt ( ), xt ( ) > dt= t t m t = d < x t x t > = = t d x t t ( (), m t () ) ( () ) m ( = x ( t ) x ( t ) ) = K ( x ( t ) ) K ( x ( t ) ). * Το πόρισµα αυτό προσφέρεται ως κριτήριο µη ύπαρξης συνάρτησης δυναµικού: Όταν το παραγόµενο έργο από ένα πεδίο δυνάµεων κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου δεν είναι µηδενικό τότε δεν υφίσταται συνάρτηση δυναµικού ορισµένη στον ευκλείδειο χώρο.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΠΟΡΙΣΜΑ *. Όταν ένα σύστηµα υλικών σηµείων εξελίσσεται υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων τότε, σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα, η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το συνολικά παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων κατά µήκος των τροχιών των υλικών σηµείων. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Προσδιορισµός έργου πεδίων δυνάµεων.. Το έργο που παράγουν τα οµογενή πεδία δυνάµεων σε ευθύγραµµο δρόµο: γ:[0,], γ () t = ( t) a+ tb, a, b, εκφράζεται ως εσωτερικό γινόµενο της δύναµης επί τη µετατόπιση. Γενικότερα, το έργο που παράγει ένα οποιοδήποτε πεδίο δυνάµεων:, F( ) = ( F( ),F ( ),F ( ) ) F: σε ευθύγραµµο δρόµο προσδιορίζεται ως εξής: x x x x, (F) W = F( γ ()) t γ () t dt = ( b a ) F( γ ()) t dt. γ 0 i i i i 0 i i=,, i=,, Ευθύγραµµος δρόµος σε οµογενές πεδίο δυνάµεων.. Τα οµογενή πεδία δυνάµεων διαµερίζουν τον ευκλείδειο χώρο σε ισοδυναµικά επίπεδα και το έργο που παράγουν κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου εξαρτάται µόνο από τα άκρα του και ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στα αντίστοιχα ισοδυναµικά επίπεδα. Όταν τα άκρα ανήκουν στο ίδιο ισοδυναµικό επίπεδο τότε το παραγόµενο έργο είναι µηδενικό. * Το πόρισµα αυτό φαίνεται εξαιρετικά απλό αλλά δεν είναι τόσο εύχρηστο. Ακόµη και αν το σύστηµα είναι αποµονωµένο οι εσωτερικές δυνάµεις έχουν δυνατότητα παραγωγής έργου µε συνέπεια τη µη διατήρηση της συνολικής κινητικής ενέργειας.

.. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 69. Το βαρυτικό πεδίο δυνάµεων κοντά στην επιφάνεια της γης, µε ικανοποιητική προσέγγιση για τη µελέτη των φυσικών φαινοµένων, είναι οµογενές. Όταν ένα σώ- µα µάζας m κινείται υπό την επίδραση µόνο του βάρους του, για δεδοµένη αρχική θέση και ταχύτητα x, v 0 0, προκύπτει η τροχιά του στον ευκλείδειο χώρο : xt () = x0 + vt 0 (0,0, gt /) και η ταχύτητά του: x ()= t v + gt. Στο χρονικό διάστηµα 0 t t, το παραγόµενο έργο κατά µήκος της διανυόµενης τροχιάς ισούται µε τη µεταβολή της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στα άκρα της αλλά και µε τη µεταβολή της κινητικής ενέργειας: t (F) = < F( ( )), t W x t x( t) > dt = mg( v gt) dt = 0 0 ( ( ) (0) ) ( x( )) ( x(0) ) = mg t mgv0t = m x t x = K t K. 0 Τροχιές στο πεδίο βαρύτητας του περιβάλλοντος χώρου µας. 4. Το πεδίο δυνάµεων προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού F:, F( x ) = ( x, x, x ), U( x) = ( x + x + x ), U(0) = 0, και το έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στις αντίστοιχες ισοδυναµικές σφαιρικές επιφάνειες: U( a ) U( b ) = ( + + ) ( + + ) a a a b b b.

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 5. Το πεδίο δυνάµεων F:, F( x) = ( x, x, x), προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού U( x) = ( x + x x), U(0) = 0, και το παραγόµενο έργο κατά µήκος οποιουδήποτε δρόµου ισούται µε τη διαφορά της δυναµικής ενέργειας ανάµεσα στις αντίστοιχες ισοδυναµικές επιφάνειες: U( a ) U( b ) = ( + ) ( + ) a a a b b b. ιαµερισµός του χώρου σε ισοδυναµικές επιφάνειες: x + x x =, c c. H τιµή c=0 ορίζει ένα διπλό κώνο, κάθε θετική τιµή του c ορίζει ένα υπερβολοειδές εκ περιστροφής και κάθε αρνητική τιµή του c ορίζει ένα δίκλαδο υπερβολοειδές. 6. Στο πεδίο δυνάµεων: F:, F( x ) = ( x, x, x ), ένα υλικό σηµείο διαγράφει την τροχιά: t t t xt () = (e cs,e t sin t,e ). Στο χρονικό διάστηµα 0 t t, η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας είναι ίση µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων: t t = t t 0 i xt xi t dt= e dt= = xt 0 x i= W(F) F ( ( )) ( ) (e ) ( ( ) (0) ).

.. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 7 Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός πεδίου δυνάµεων η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας ισούται µε το παραγόµενο έργο από το πεδίο δυνάµεων. 7. Το έργο που παράγει το πεδίο δυνάµεων F:, F( x ) = (sin x, cs x, x ), στο δρόµο γ () t = (cs t,sin t, t), 0 t π, είναι Wγ (F) = F( γ ())sin t tcstdt+ F( γ ())cs t tsintdt+ F( γ ()) t dt = 0 0 0 π π π = sin t cs t dt + cs t sin t dt + t dt = π. 0 0 0 ρόµος στον ευκλείδειο χώρο. * * Οι δρόµοι που υπεισέρχονται στα παραδείγµατα δεν ορίζουν πάντα τροχιές που µπορεί να διαγράψει ένα υλικό σηµείο υπό την επίδραση µόνο του θεωρούµενου πεδίου δυνάµεων ώστε να ισχύει η αρχή µεταβολής της κινητικής ενέργειας.

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 8. Το έργο που παράγει ένα πεδίο δυνάµεων στον ελικοειδή δρόµο είναι Στην περίπτωση προκύπτει, F( ) = ( F( ),F ( ),F ( ) ) F: x x x x, γ () t = (cs,sin t t, t), 0 t π, W γ (F) = F(())sin γ t tdt+ F(())cs γ t tdt+ F(()) γt dt. π π π 0 0 0 F( x ) = ( x, x, 0), W (F) = cst sint dt sint cst dt + 0dt = 0. γ π π π 0 0 0 Στην περίπτωση προκύπτει F:, F( x ) = ( x, x, 0), W (F) = sin tdt cs tdt+ 0dt = 0. γ π 0 0 0 Αυτά τα πεδία δυνάµεων προέρχονται αντίστοιχα από τις συναρτήσεις δυναµικού: U( x) = ( x + x ), U( x) = xx, µε U(0) = 0 και ότι το παραγόµενο έργο είναι µηδέν σηµαίνει ότι τα άκρα του θεωρούµενου ελικοειδούς δρόµου ανήκουν αντίστοιχα σε ίδια ισοδυναµική επιφάνεια. F( x ) = ( x, x, 0) x = x x Ελικοειδής δρόµος σε γραµµικά πεδία δυνάµεων. F( ) (,, 0)

.. ΕΡΓΟ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 7 9. Το έργο που παράγει ένα πεδίο δυνάµεων F:, F( x ) = ( F( x ),F ( x ),F ( x ) ), στον κυκλικό δρόµο γ ( t) = (cs t, sin t, 0), 0 t π, είναι (F) W = F( γ ()) t γ () t dt = F( γ ())sin t t dt + F( γ ())cs t t dt. γ π π π 0 i i 0 0 i=,, Στην περίπτωση των πεδίων δυνάµεων F( x, x, x ) = ( x, x,0) και F( x, x, x ) = ( x, x,0) προκύπτει αντίστοιχα W (F) π sin π cs π γ = t dt + t dt = dt = π 0 0 0 W γ (F) = sin t dt cs t dt = dt = π. 0 0 0 Εφόσον λοιπόν υπάρχει κλειστός δρόµος κατά µήκος του οποίου το παραγόµενο έργο δεν είναι µηδέν συµπεραίνουµε ότι αυτά τα πεδία δυνάµεων δεν προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού. Εντούτοις, στον κλειστό κυκλικό δρόµο: παράγεται µηδενικό έργο: γ () t = (0,cs,sin t t), 0 t π, W (F) = F ( γ( t)) γ ( t) dt = cst sint dt = 0. γ π π 0 i i 0 i=,, F( x ) = ( x, x,0), x = x x F( ) (,,0) Πεδία δυνάµεων που δεν προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού αφού υπάρχει κλειστός δρόµος κατά µήκος του οποίου το παραγόµενο έργο δεν είναι µηδενικό..

74 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ.. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ Ο στροβιλισµός ενός πεδίου δυνάµεων F: F( x ) = F( x ),F ( x ),F ( x ),, ( ) προσαρτά σε κάθε σηµείο το διάνυσµα: F( x) F( x) F( x) F( x) F( x) F( x) F( x ) =,, x x x x x x που είναι εκφρασµένο στην κανονική βάση του ευκλείδειου χώρου και προκύπτει από το ανάπτυγµα της συµβολικής ορίζουσας: * e e e F( x) = / x / x / x F( x) F( x) F( x). Τα πεδία δυνάµεων διακρίνονται σε δυο κατηγορίες ανάλογα µε το αν ο στροβιλισµός τους είναι µηδενικός ή όχι. Ο µηδενισµός του στροβιλισµού δεν επηρεάζεται από αλλαγές συντεταγµένων στον ευκλείδειο χώρο. Τα πεδία δυνάµεων µηδενικού στροβιλισµού καλούνται αστρόβιλα: F( x ) = 0, x. ΘΕΩΡΗΜΑ. Κριτήριο µηδενικού στροβιλισµού στον ευκλείδειο χώρο Ένα πεδίο δυνάµεων ορισµένο στον ευκλείδειο χώρο : F: F( x ) = F( x ),F ( x ),F ( x ),, ( ) είναι αστρόβιλο αν και µόνο αν προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού: U: : F( x) = U( x ), x. * Όταν το πεδίο δυνάµεων εκφραστεί ως διαφορική µορφή στον ευκλείδειο χώρο : F ( x) = F( xdx ) i i i=,, τότε ο στροβιλισµός εκφράζει το εξωτερικό διαφορικό: df F F F F F F = dx dx + dx dx + dx dx. x x x x x x

.. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 75 Απόδειξη. Αν το πεδίο δυνάµεων προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε, µε προϋπόθεση την ύπαρξη και συνέχεια των µερικών παραγώγων, ισχύει: άρα U U U U U U =, =, = x x x x x x x x x x x x F( x) = U( x ) = 0, x. Αντίστροφα, αν το πεδίο δυνάµεων είναι αστρόβιλο και εφόσον ορίζεται σε ολόκληρο τον ευκλείδειο χώρο και είναι διαφορίσιµο µε συνεχείς µερικές παραγώ- γους, * θέτοντας ui = tx i, t [0,], και χρησιµοποιώντας την ταυτότητα: d F( x) = tf( u, u, u ) dt = F( u, u, u ) dt + F( u, u, u ) u dt ( ) ( ) i 0 dt i 0 i 0 i k k=,, uk προκύπτει η συνάρτηση δυναµικού: U:, U( x) = F i( tx, tx, tx) xi dt. i=,, 0 F( x ) ( x, x, 0) F( x ) = ( x, x, 0) = Πεδία δυνάµεων µηδενικού στροβιλισµού. F( x ) = ( x, x,0), x = x x Πεδία δυνάµεων µη µηδενικού στροβιλισµού. F( ) (,,0) * Στο κεφάλαιο αυτό, τα πεδία δυνάµεων υποτίθενται διαφορίσιµα µε συνεχείς µερικές παραγώγους.

76 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Κατασκευή συνάρτησης δυναµικού στον ευκλείδειο χώρο Όταν ένα πεδίο δυνάµεων, F( ) = ( F( ),F ( ),F ( ) ) F: x x x x,. ορίζεται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο και προέρχεται από συνάρτηση δυναµικού τότε, προκειµένου να προσδιοριστεί αυτή η συνάρτηση, στηριζόµαστε στο θεώρηµα που δηλώνει ότι το παραγόµενο έργο σε οποιονδήποτε δρόµο εξαρτάται µόνο από τα άκρα του. Επιλέγουµε λοιπόν να µεταβούµε από το αρχικό σηµείο a σε ένα πέρας x διανύοντας τρεις διαδοχικούς ευθύγραµµους δρόµους αντίστοιχα παράλληλους προς τους ευκλείδειους άξονες, οπότε προκύπτει η συνάρτηση: x x x a a a U( x) = F( u, x, x ) du F ( a, u, x ) du F ( a, a, u ) du. Λαµβάνοντας υπόψη ότι τα πεδία δυνάµεων που προέρχονται από συνάρτηση δυνα- µικού είναι αστρόβιλα, µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση αυτή, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, ορίζει τη συνάρτηση δυναµικού: U:, F( x) = U( x ), x. Μετάβαση από ένα αρχικό σηµείο a = x( t ) στο σηµείο x() t διαµέσου τριών διαδοχικών ευθύγραµµων δρόµων παράλληλων αντίστοιχα στους άξονες του ευκλείδειου συστήµατος αναφοράς. Σχόλιο. Πεδία δυνάµεων που δεν ορίζονται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο. Όταν ένα πεδίο δυνάµεων δεν ορίζεται σε όλο τον ευκλείδειο χώρο, ο µηδενισµός του στροβιλισµού δεν διασφαλίζει πάντα την ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Το κριτήριο µηδενικού στροβιλισµού ισχύει εφόσον το χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων είναι απλά συνεκτικό *, π.χ. στην περίπτωση {0}. * Βλ. Παράρτηµα: Λήµµα Pincaré.

.. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 77 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Προσδιορισµός συνάρτησης δυναµικού. Το πεδίο δυνάµεων x + x x x F( x) =,, ( x+ x) ( x+ x) x+ x ορίζεται στον ευκλείδειο χώρο εκτός των σηµείων του επιπέδου x+ x = 0 και µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι εκεί όπου ορίζεται είναι αστρόβιλο. Το χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων διαµερίζεται σε δυο απλά συνεκτικές συνιστώσες και σε κάθε µια από αυτές διασφαλίζεται η συνέχεια των µερικών παραγώγων. Αναζητούµε συνάρτηση τέτοια ώστε: U x + x ( x ) = x (x + x ), U x x ( x ) = x ( x + x ), U ( x) = x x + x. Από την η εξίσωση προκύπτει: x U( x) = + A( x, x) x+ x και σε συνδυασµό µε την η και η εξίσωση έχουµε τις σχέσεις: A x = x ( x+x), A x = x ( x +x ) Από την η σχέση προκύπτει: A( x,x ) = x + B( x ) x+ x και σε συνδυασµό µε τη η σχέση προκύπτει η σταθερότητα του B( x ) = C. Προσδιορίζεται έτσι, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, η έκφραση της ζητούµενης συνάρτησης σε κάθε µια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων: x +x U( x) = x+ x. Η συνάρτηση αυτή προσαρτά µονοσήµαντα σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων τη τιµή δυναµικής ενέργειας και έτσι σε κάθε µια από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες του καθορίζονται τα ισοδυναµικά επίπεδα χωρία: c x + (c ) x + x = 0, c, x+ x > 0 ή x+ x < 0. Σηµειώνουµε ότι, κατά µήκος κάθε κλειστού δρόµου εγκλεισµένου σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες, το παραγόµενο έργο είναι µηδενικό, άρα, σε κάθε δρόµο εγκλεισµένο σε οποιαδήποτε από τις απλά συνεκτικές συνιστώσες, το παραγόµενο έργο εξαρταται µόνο από τα άκρα του δρόµου..

78 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ. Τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Όταν ένα πεδίο δυνάµεων δεν είναι ορισµένο σε όλο τον ευκλείδειο χώρο αλλά σε ένα χωρίο του τότε ο µηδενισµός του στροβιλισµού συνεπάγεται την τοπική * ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού. Απόδειξη. Θεωρούµε ένα πεδίο δυνάµεων F( x ) = F( x ),F ( x ),F ( x ), ( ) ορισµένο σε ένα χωρίο V του ευκλείδειου χώρου και, υποθέτοντας το στροβιλισµό του µηδενικό, αναζητούµε συνάρτηση που να πληροί τις συνθήκες: U ( x ) = F( i x ) x i, i =,,. Η εξίσωση i= δηλώνει ότι, στην περιοχή ενός σηµείου a = ( a, a, a ) του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων, η συνάρτηση αυτή οφείλει να είναι της µορφής: = x + a U( x, x, x ) F ( u, x, x ) du A( x, x ). Η συνέχεια των µερικών παραγώγων των συνιστωσών συναρτήσεων του πεδίου δυνάµεων επιτρέπει την παραγώγιση µέσα στο ολοκλήρωµα, οπότε: U F A x x x = x ( u, x, x) du+ a U F A x x x = x ( u, x, x) du+ a και ο µηδενισµός του στροβιλισµού οδηγεί στις εκφράσεις: F U A A = x ( u, x, x) du+ = F ( x, x, x) + F ( a, x, x) + x a u x x F x u x x. U A A = x ( u, x, x) du+ = F ( x, x, x) + F ( a, x, x) + a Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις i= και i= προκύπτουν δυο εξισώσεις στις οποίες υπεισέρχονται πλέον µόνο δυο µεταβλητές: * Ο όρος τοπική ύπαρξη σηµαίνει ότι κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων διαθέτει ανοιχτή περιοχή στην οποία υφίσταται συνάρτηση δυναµικού. Το θεώρηµα αυτό δεν παρέχει καµία πληροφορία για το εύρος της περιοχής στην οποία ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού όµως υποδεικνύει τη διαδικασία τοπικής κατασκευής της συνάρτησης δυναµικού.

.. ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ΕΝΟΣ ΠΕ ΙΟΥ ΥΝΑΜΕΩΝ 79 Η η A = F( i a, x, x), i =,. x από αυτές τις εξισώσεις υποδεικνύει ότι: i οπότε = x + a A( x, x ) F ( a, u, x ) du B( x ) A F = ( a, u, x) du + B( x) x x a x και ο µηδενισµός του στροβιλισµού οδηγεί στην έκφραση: A F = ( a, u, x) du + B( x) = F ( a, x, x) + F ( a, a, x) + B( x). x x a u Λαµβάνοντας υπόψη την η από αυτές τις εξισώσεις προκύπτει ότι: άρα B( x ) = F( a, a, x ) x a B( x ) = F ( a, a, u ) du + C, C. Με προσέγγιση προσθετικής σταθεράς που καθορίζεται από τη λαµβανόµενη τιµή στο σηµείο a προκύπτει η συνάρτηση δυναµικού: x x x = a a a U( x, x, x ) F( u, x, x ) du F ( a, u, x ) du F ( a, a, u ) du. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Τοπικός προσδιορισµός συνάρτησης δυναµικού. Το πεδίο δυνάµεων x x F( x) =,, 0 x + x x + x ορίζεται στο µη απλά συνεκτικό χωρίο που προκύπτει όταν εξαιρεθεί ο άξονας x από τον ευκλείδειο χώρο και µε απευθείας υπολογισµό διαπιστώνουµε ότι εκεί όπου ορίζεται είναι αστρόβιλο. Σε ένα απλά συνεκτικό χωρίο που δεν τέµνει τον άξονα x διασφαλίζεται η συνέχεια των µερικών παραγώγων και το θεώρηµα δηλώνει την τοπική ύπαρξη συνάρτησης δυναµικού που πληροί τις συνθή-κες: U x U x ( x ) U =, ( x ) =, ( x) = 0, x x + x x x + x x από τις οποίες, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, προκύπτει:

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ U( x) = Arctg( x / x ). Η συνάρτηση αυτή δεν αποτελεί συνάρτηση δυναµικού στο χωρίο ορισµού του πεδίου δυνάµεων αφού δεν προσαρτά σε κάθε σηµείο του µονοσήµαντα µια τιµή δυναµικής ενέργειας. Άλλωστε, το παραγόµενο έργο κατά µήκος ενός δρόµου δεν εξαρτάται µόνο από τα άκρα του αλλά από τον ίδιο το δρόµο και, ειδικότερα, κατά µήκος ενός κλειστού δρόµου δεν είναι πάντα µηδέν. Για παράδειγµα, κατά µήκος του κλειστού δρόµου: γ ( t) = (cs t, sin t, ), 0 t π, το παραγόµενο έργο είναι: π sin t π cs t π W γ (F) = dt + dt = dt = π 0 0 cs t+ sin t cs t+ sin t. 0 Το αστρόβιλο πεδίο δυνάµεων του παραδείγµατος που προέρχεται µόνο τοπικά από συνάρτηση δυναµικού. Η µη µονοσήµαντη προσάρτηση τιµής δυναµικής ενέργειας σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού του πεδίου δυνάµεων οφείλεται στη µη απλή συνεκτικότητά του.

.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 8.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Ο όρος κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας δηλώνει κάθε κίνηση που καθορίζεται από τη µονοδιάστατη εξίσωση: d x m = F( x) dt, x. Η δύναµη που προκαλεί κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού: x U:, U( x) = F( u) du. Στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: x E :, E ( xx, ) = U( x) + mx /, που κατά τη διάρκεια της κίνησης διατηρεί σταθερή τιµή και έτσι ορίζονται τα ισοενεργειακά σύνολα από την εξίσωση ενέργειας: x mx, E. U( ) + / = E Πρόκειται για καµπύλες που, σύµφωνα µε το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων, είναι λείες στην περιοχή κάθε σηµείου στο οποίο δεν µηδενίζεται η δύναµη. Οι καµπύλες αυτές ίσως εµφανίζουν αυτοτοµές, όµως το θεώρηµα ύπαρξης και µοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώνει ότι από κάθε σηµείο του επιπέδου θέσεων-ταχυτήτων διέρχεται µόνο µια τροχιά. Συνεπώς, κάθε ισοενεργειακή καµπύλη αποτελείται από µια ή ενδεχοµένως περισσότερες τροχιές ίδιας ενεργειακής τιµής. Η ενεργειακή τιµή της τροχιάς που διέρχεται από τη θέση x= xt ( ) µε ταχύτητα v= x ( t) καθορίζεται από την ενεργειακή σχέση: E = U( ) + / x mv. Η εξίσωση ενέργειας οδηγεί στη διαφορική εξίσωση: dx m/ E U( ) dt =± ( x ) / από όπου προσδιορίζονται οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής µε υπολογισµό του ολοκληρώµατος: x dx x E U( x).

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Οι τροχιές αυτές έχουν δυνατότητα να εξελιχθούν στην επιτρεπτή περιοχή κίνησης που ορίζεται από την ανισωτική σχέση: U( x) E. Οι σηµειακές τροχιές καλούνται σηµεία ισορροπίας: ( xt () x, xt () 0). Πρόκειται για τα σηµεία µηδενισµού της δύναµης αλλά και της ταχύτητας, άρα στα σηµεία αυτά η συνάρτηση δυναµικού λαµβάνει ακρότατες τιµές. Τα σηµεία ελαχιστοποίησής της ορίζουν τις θέσεις ευσταθούς ισορροπίας και τα σηµεία µεγιστοποίησής της ορίζουν τις θέσεις ασταθούς ισορροπίας: x =, x U( ) 0 U( ) 0. Η ευσταθής ισορροπία σηµαίνει ότι, στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, το ση- µείο ισορροπίας διαθέτει περιοχή από την οποία οι διερχόµενες τροχιές είναι όλες φραγµένες, δηλαδή από την τοπική διαταραχή των συνθηκών ισορροπίας προκύπτουν αρχικές συνθήκες που ορίζουν φραγµένες τροχιές. Η ασταθής ισορροπία σηµαίνει ότι στην περιοχή του σηµείου ισορροπίας υπάρχουν αρχικές συνθήκες που ορίζουν µη φραγµένες τροχιές. Η συµπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, στην περιοχή των σηµείων ισορροπίας, γίνεται άµεσα αντιληπτή από το γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού λαµβάνοντας υπόψη ότι οι θέσεις από τις οποίες έχει τη δυνατότητα να διέλθει µια τροχιά δεδοµένης ενεργειακής τιµής καθορίζονται από τη συνθήκη: U( x) E. Γράφηµα συνάρτησης δυναµικού και περιοχές επιτρεπτής κίνησης µε δεδοµένη ενεργειακή τιµή.

.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 8 ΛΗΜΜΑ ΤΟΥ MORSE: Τοπική αναγωγή σε τετραγωνικά δυναµικά. Στην περιοχή των σηµείων ισορροπίας των συστηµάτων ενός βαθµού ελευθερίας, σε κατάλληλες τοπικές συντεταγµένες, η συνάρτηση δυναµικού αποκτά τετραγωνική έκφραση και κατά συνέπεια η εξίσωση του Νεύτωνα εκφράζεται ως εξής: mx ± x= 0. Απόδειξη. Θέτοντας το σύστηµα αξόνων στο κρίσιµο σηµείο της συνάρτησης δυνα- µικού έτσι ώστε U(0) 0 =, προκύπτει: x x 0 0 0. U( x) = du = U ( ξ) dξ= x U ( tx) dt = xa( x) Η συνθήκη U(0) = 0 διασφαλίζει ότι A(0) = 0 και επαναλαµβάνοντας την ίδια διαδικασία προκύπτει: U( x) = x B( x ). Η συνθήκη U(0) 0διασφαλίζει ότι B(0) 0 και θέτοντας: φ ( x) =± x B( x) διαπιστώνουµε ότι φ (0) 0. Άρα, στην περιοχή του 0, εξασφαλίζεται η αντιστρεψι- µότητα και η αµφιδιαφορισιµότητα του µετασχηµατισµού αλλαγής συντεταγµένων x =φ ( x) που οδηγεί στην τοπική τετραγωνική έκφραση της συνάρτησης δυναµικού: ( ) / U φ ( x) = ± x και στην αντίστοιχη τοπική γραµµική έκφραση της εξίσωσης του Νεύτωνα. Γράφηµα των τετραγωνικών συναρτήσεων δυναµικού µιας µεταβλητής και αντίστοιχη συµπεριφορά των τροχιών στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων στην περιοχή του σηµείου ευσταθούς ή ασταθούς ισορροπίας.

84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Ελκτική γραµµική δύναµη. Η µονοδιάστατη ελκτική γραµµική δύναµη: F:, F( x) = κ x, κ > 0, ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού: U:, U( x) x / =κ. Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m υπό την επίδραση αυτής της δύναµης, η συνάρτηση ενέργειας: E :, E( x, x) = κ x + mx, διατηρεί σταθερή τιµή συνεπώς, οι τροχιές δεδοµένης ενεργειακής τιµής εξελίσσονται στο ισοενεργειακό σύνολο που ορίζεται στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων από τη σχέση: κ x + mx = E. Η εξίσωση του Νεύτωνα: οδηγεί στις λύσεις: mx () t + κ x() t = 0 x() t = Acsω t + Bsinωt όπου οι σταθερές Α και Β καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες και λύσεις αυτές διατυπώνονται ισοδύναµα ως εξής: xt () = Ccs( ωt ϕ), C, ϕ [0, π ]. * ω= κ / m. Οι Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού της µονοδιάστατης ελκτικής γραµµικής δύναµης και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων γύρω από το ευσταθές σηµείο ισορροπίας. * Πρόκειται για µονοδιάστατες αρµονικές ταλαντώσεις που αποτελούν ειδική περίπτωση περιοδικής κίνησης γύρω από τη θέση ισορροπίας x = 0. Το πλάτος C και η φάση ϕ [0, π ] της ταλάντωσης καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Η περίοδός T= π/ ω και η συχνότητα /T είναι σταθερές και δεν εξαρτώνται από το πλάτος της ταλάντωσης.

.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 85 Απώλεια ενέργειας. Όταν εκτός από την ελκτική δύναµη επαναφοράς επιδρά µια δύναµη απόσβεσης προερχόµενη π.χ. από την αντίσταση του µέσου στο οποίο πραγ- µατοποιείται η ταλάντωση και που στην απλούστερη περίπτωση είναι ανάλογη της ταχύτητας µε συντελεστή ρ >0, η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής: mx () t + ρ x () t + κ x() t = 0. Η διακρίνουσα του χαρακτηριστικού τριωνύµου καθορίζει τρεις περιπτώσεις: Ισχυρή απόσβεση: ρ > κm () γt αt αt xt = e (Ae + B e ) γ t Κρίσιµη απόσβεση: ρ = κm xt () = e (At+ B) γ t Ασθενής απόσβεση: ρ < κm xt () = Ce cs( λ t ϕ) όπου Α, Β, C πραγµατικές σταθερές και γ= ρ /m, α= γ ω, λ = ω γ, / ω= κ m. Στην ισχυρή και στην κρίσιµη απόσβεση η µάζα επανέρχεται βαθµιαία στη θέση ισορροπίας. Στην ασθενή απόσβεση προκύπτουν φθίνουσες ταλαντώσεις γύρω από τη θέση ισορροπίας και η χρονική διάρκεια µεταξύ δυο µεγίστων ή ελαχίστων ορίζει την περίοδο T= π /λ. Εξαναγκασµένη ταλάντωση. Όταν ασκείται επιπλέον µια περιοδική εξωτερική δύναµη εξαρτώµενη από το χρόνο της µορφής: f() t = f csω t τότε η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής: mx t + ρ x t + κ x t = f ω t () () () cs ο και η λύση της προκύπτει από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς εξίσωσης και µιας ειδικής λύσης που εκφράζεται ως εξής: x() t = ccs ω οt+ csinωοt, c,c. Σε σύντοµο χρονικό διάστηµα η γενική λύση της οµογενούς εξίσωσης τείνει να µηδενιστεί, εκτός και αν ρ =0, οπότε τελικά επικρατεί η ειδική λύση η οποία µετά τον προσδιορισµό των σταθερών καθορίζει την ταλάντωση: ο

86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ όπου f / m xt = ω t φ) () cs( ( ωο ω ) + 4γ ωο tg ο/( ο ) φ= γω ω ω, 0 φ π. ο Το πλάτος αυτής της ταλάντωσης είναι µέγιστο όταν η συχνότητα της εξωτερικής δύναµης πληροί τη σχέση: ω ω = ρ /m οπότε καθορίζεται η καλούµενη συχνότητα συντονισµού. Στην περίπτωση ρ =0, από το άθροισµα της γενικής λύσης της οµογενούς εξίσωσης και της ειδικής λύσης προκύπτει η ταλάντωση: f / m x t = ωt ϕ + ω t, C, 0 ϕ π. * () Ccs( ) cs ο ωο ω Ταλάντωση µεταβαλλόµενου πλάτους. Σχόλιο. Αν ρ =0 και ω ο =ω, η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής: και η ειδική λύση της είναι της µορφής: x () t + ω x() t = f csωt x() t = ctcsω t+ c tsinω t ο οπότε, προσδιορίζοντας τις σταθερές και προσθέτοντας τη γενική λύση της οµογενούς εξίσωσης, προκύπτει ταλάντωση µε απεριόριστα αυξανόµενο πλάτος: x() t = Ccs( ωt ϕ ) + ( f / mω) tsinωt, C, 0 ϕ π. ο * Κατάλληλη επιλογή του συντελεστή και της συχνότητας της εξωτερικής δύναµης οδηγεί στη διαµόρφωση µεταβαλλόµενου πλάτους της εξαναγκασµένης ταλάντωσης που έχει σπουδαία πρακτική σηµασία στον τοµέα της ηλεκτρονικής και των τηλεπικοινωνιών. Συγκεκριµένα προκύπτει: xt () = csinatsin bt, abc,,.

.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 87 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Απωστική γραµµική δύναµη. Η µονοδιάστατη απωστική γραµµική δύναµη: F:, F( x) = κ x, κ > 0, προέρχεται από τη συνάρτηση δυναµικού: U:, U( x) x / = κ. Κατά τη διάρκεια της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m υπό την επίδραση αυτής της δύναµης, η συνάρτηση ενέργειας: E :, κ E ( x, x) = x + mx, διατηρεί σταθερή τιµή και κατά συνέπεια οι τροχιές, δεδοµένης ενεργειακής τιµής, εξελίσσονται στο ισοενεργειακό σύνολο που ορίζεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων από τη σχέση: κ x mx = E. Πρόκειται για κλάδους υπερβολών συµπεριλαµβανοµένων των ασυµπτώτων ευθειών x =±ωx που αντιστοιχούν σε µηδενική ενεργειακή τιµή. Από την εξίσωση του Νεύτωνα: mx () t κ x() t = 0 προκύπτουν οι λύσεις: ω () C t ωt x t = e + C e όπου ω= κ / m και οι σταθερές C και C καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Συνεπώς, στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων, γύρω από το ασταθές σηµείο ισορροπίας, εξελίσσονται οι υπερβολικές τροχιές ενεργειακής τιµής E = κ CC και ειδικότερα οι ευθύγραµµες τροχιές που αντιστοιχούν στη µηδενική ενεργειακή τιµή. Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού της µονοδιάστατης απωστικής γραµµικής δύναµης και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων γύρω από το ασταθές σηµείο ισορροπίας.

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Απλό επίπεδο εκκρεµές. Στην κατηγορία των συστηµάτων ενός βαθµού ελευθερίας υπάγεται το απλό επίπεδο εκκρεµές που εκτελεί την κίνηση του υπό την επίδραση του πεδίου βαρύτητας χωρίς τριβές, δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας. Αν m είναι η µάζα του εκκρεµούς και l το µήκος του, τότε σε κάθε χρονική στιγµή η θέση του ορίζεται µε ένα σηµείο στον κύκλο που περιέχεται στο επίπεδο κίνησης µε κέντρο το σηµείο πρόσδεσης και κατά αντιστοιχία στο µοναδιαίο κύκλο S, ενώ η γωνιακή ταχύτητά του ορίζεται µε ένα σηµείο στην πραγµατική ευθεία. Η τελικά ασκούµενη δύναµη που προκύπτει από την επίδραση του πεδίου βαρύτητας οδηγεί στην εξίσωση του Νεύτωνα: x () t = ωsin x() t, ω = g / l. Απλό επίπεδο εκκρεµές που εκτελεί την κίνησή του υπό την επίδραση της βαρύτητας. Η συνάρτηση ενέργειας προσµετρά το άθροισµα της δυναµικής και της κινητικής ενέργειας σε κάθε σηµείο του επιπέδου θέσεων-ταχυτήτων και µε προσέγγιση του διαστατικού παράγοντα ml εκφράζεται ως εξής: ( ) ( ) E x,x =ω csx + x /. Η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κάθε τροχιά ενεργειακής τιµής E περιέχεται στην ισοενεργειακή καµπύλη που ορίζεται από την εξίσωση: ( ) ω csx + x / = E / ml. Γράφηµα της συνάρτησης δυναµικού και τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων.

.4. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 89 Η ενεργειακή τιµή E = 0 ορίζει τα σηµεία ευσταθούς ισορροπίας ( x= nπ, x = 0), ενώ η ενεργειακή τιµή E = gml ορίζει τις διαχωριστικές τροχιές και τα σηµεία ασταθούς ισορροπίας ( x = (n+ ) π, x = 0), n. Για τις ενδιάµεσες ενεργειακές τιµές κάθε ισοενεργειακή καµπύλη είναι ελλειπτική και ταυτίζεται µε µια τροχιά, ενώ για τις άλλες ενεργειακές τιµές οι ισοενεργειακές καµπύλες δεν είναι κλειστές και κάθε µια από αυτές ταυτίζεται µε µια τροχιά που αντιστοιχεί σε περιστροφική κίνηση του εκκρεµούς. Η προβολή του σηµείου ( x( t), x ( t )) κάθε τροχιάς στον άξονα θέσεων ή ταχυτήτων δίνει την αντίστοιχη θέση και ταχύτητα του εκκρεµούς τη δεδοµένη χρονική στιγµή. Σχόλιο. Ακριβολογώντας, ο χώρος θέσεων-ταχυτήτων είναι το τοπολογικό γινόµενο S. Η συνάρτηση ενέργειας δεν εξαρτάται άµεσα από το χρόνο και χάρη στην περιοδικότητά της ως προς x ορίζεται σε κάθε σηµείο ( x,x ) S. Ο κύλινδρος αυτός µε εκδίπλωση αποτυπώνει τις τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων. Αποτύπωση των τροχιών του απλού επίπεδου εκκρεµούς στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων. Μια χρήσιµη γεωµετρική αναπαράσταση του χώρου θέσεων-ταχυτήτων προκύπτει µετασχηµατίζοντας µέσα στον ευκλείδειο χώρο τον κύλινδρο S ως εξής: xx x x ω x+ x. (, ) (sin,, ( cs ) /) Κάθε ενεργειακή τιµή ορίζει στην η διάσταση ένα οριζόντιο επίπεδο το οποίο τέµνοντας τη µετασχηµατισµένη επιφάνεια του κυλίνδρου αναδεικνύει τις αντίστοιχες τροχιές.

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Απώλεια ενέργειας. Όταν ληφθεί υπόψη η αντίσταση του µέσου στο οποίο εκτελείται η ταλάντωση υπό την επίδραση της βαρύτητας τότε, στην περιοχή του σηµείου ευσταθούς ισορροπίας και εφόσον η τριβή σχετίζεται γραµµικά µε την ταχύτητα, η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής: xt +ρ xt +ω xt = () () () 0 όπου ρ ο συντελεστής τριβής. Η εξίσωση αυτή εκφράζεται στο επίπεδο θέσεων και ταχυτήτων ως γραµµικός µετασχηµατισµός: µε χαρακτηριστική εξίσωση: x 0 x = y ω ρ y λ +ρλ+ω = 0. Η φύση των τροχιών εξαρτάται από τον συντελεστή τριβής που καθορίζει τις ιδιοτι- µές του γραµµικού µετασχηµατισµού και προκύπτουν οι ακόλουθες περιπτώσεις: Τροχιές στο επίπεδο θέσεων-ταχυτήτων του απλού επίπεδου εκκρεµούς στην περίπτωση απώλειας ενέργειας εξαιτίας του µέσου στο οποίο εκτελείται η ταλάντωση ανάλογα µε την τιµή του συντελεστή τριβής.

.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 9.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ Ο όρος κίνηση δυο βαθµών ελευθερίας δηλώνει κάθε κίνηση που καθορίζεται από τη δισδιάστατη εξίσωση: d x m = F( x), x= ( x, x ), dt η οποία αποσυντίθεται στις συνιστώσες εξισώσεις: d x = F( x, x) d x = F( x, x) m, m. dt dt Εδώ, η δύναµη που προκαλεί την κίνηση δεν προέρχεται πάντα από συνάρτηση δυναµικού. Όταν υπάρχει συνάρτηση δυναµικού ορίζεται η συνάρτηση ενέργειας: m E :, E ( x, x) = U( x) + ( x + x), και η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων οι τροχιές ενεργειακής τιµής E περιέχονται στο ισοενεργειακό σύνολο: Σ ( E) = ( xx, ) / E( xx, ) = E. E { } ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. ισδιάστατη αρµονική ταλάντωση. Η γραµµική δύναµη, ( ) F: ορίζεται από τη συνάρτηση δυναµικού: U:, F( x) = κ x, κ x, κ,κ > 0, U( x) = ( x + x) κ κ, και η εξίσωση του κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας m εκφράζεται ως εξής: x () t + ω x () t = 0, i=,, i i i όπου ω= i κ i / m, i =,. Η κίνηση αποσυντίθεται σε οριζόντια και κάθετη ταλάντωση µε αντίστοιχες συχνότητες ω i,i =, : όπου x :, x() t = ( x(), t x() t ) x () t = Ccs( ω t ϕ ), Ci, ϕi [0, π ], i=,. i i i i

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Κατά τη διάρκεια της κίνησης η συνάρτηση ενέργειας: E :, διατηρεί σταθερή τιµή m E( x, x) = ( x + x ) + ( x + x ) κ κ E άρα οι τροχιές εξελίσσονται στο εσωτερικό της έλλειψης: κ x + κ x E. Το αντίστοιχο ισχύει για τις συναρτήσεις ενέργειας των συνιστωσών κινήσεων: κ m E ( x, x )= x + x µε σταθερές ενεργειακές τιµές που πληρούν τη σχέση:, E+ E = E. κ m E ( x, x )= x + x Συνεπώς, ακριβέστερα, η κίνηση πραγµατοποιείται στο ορθογώνιο χωρίο: { x / κ x E } { x / κ x E }. Οι τροχιές αυτής της αρµονικής ταλάντωσης καλούνται καµπύλες Lissajus *. ( ω=, ω= ), ( ω =, ω = ), ( ω =, ω = ), ( ω=, ω= 4), ( ω =, ω = 5), ( ω =, ω = 6), ( ω=, ω= 7), ( ω = 4, ω = 9), ( ω = 9, ω = 5). Καµπύλες Lissajus για διάφορες τιµές συχνοτήτων µε σταθερή διαφορά φάσης ϕ ϕ =π /4. * Αποδεικνύεται ότι όταν ο λόγος των συχνοτήτων των συνιστωσών µονοδιάστατων ταλαντώσεων είναι ρητός αριθµός τότε οι τροχιές είναι κλειστές και όταν ο λόγος τους είναι άρρητος αριθµός τότε κάθε τροχιά είναι τοπολογικά παντού πυκνή µέσα στο ορθογώνιο περίγραµµα της κίνησης.

.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Συζευγµένες αρµονικές ταλαντώσεις µε δεσµευµένα άκρα. Στο σύστηµα δυο ίδιων µαζών συνδεδεµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα, µε ελατήρια σταθεράς κ >0, αποµακρύνοντας κάθε µάζα από τη θέση ισορροπίας της καθορίζονται οι αρχικές θέσεις για την κίνηση που επακολουθεί όταν αφεθούν ελεύθερες να εκτελέσουν ταλάντωση υπό την επίδραση της δύναµης Hke. Πρόκειται για σύστηµα δυο βαθµών ελευθερίας του οποίου οι µεταβλητές δηλώνουν, κάθε χρονική στιγµή, την αντίστοιχη επέκταση των ακραίων ελατηρίων από την κατάσταση ισορροπίας τους και έτσι ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού: U:, κ κ κ U( x) = x + ( x x ) + x από την οποία προκύτουν οι εξισώσεις της κίνησης: U mx () t = ( x) = κ x() t κ( x() t x()) t x U mx () t = ( x) = κ( x() t x()) t κ x() t x Πρόκειται για σύστηµα γραµµικών διαφορικών εξισώσεων το οποίο, εισάγοντας την παράµετρο ω = κ / m, διατυπώνεται ως εξής: x() t = ω ο x() t +ωο x() t x() t = ωο x() t ωο x() t Η ιδιαιτερότητα των δεδοµένων, ίδιες µάζες και ίδια σταθερά ελατηρίων, επιτρέπει την απευθείας επίλυση του συστήµατος παρατηρώντας ότι: άρα ( ) ( ) x() t + x() t = ω ο x() t + x() t x() t x() t = ωο x() t x() t x() t + x() t = Acsω οt+ Asin ωοt x() t x() t =Βcs ω οt+ Bsin ωοt και από τις αρχικές συνθήκες: x (0) = x0, (0) = x0 x, x(0) = x (0) = 0,

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ καθορίζεται η λύση: (x + x ) (x x ) 4 4 x t = ω t+ ω t 0 0 0 0 () cs ο cs (x + x ) (x x ) 4 4 x t = ω t ω t. 0 0 0 0 () cs ο cs Η συνθήκη x0 =± x0 διασφαλίζει περιοδικότητα της ταλάντωσης µε συχνότητα ω =ω ή ω = ω και σε όλες τις άλλες περιπτώσεις δεν υπάρχει περιοδικότητα αφού ο λόγος των συχνοτήτων δεν είναι ρητός αριθµός. Κατά την ταλάντωση η συνάρτηση ενέργειας διατηρεί σταθερή τιµή: m E ( xx, ) = ( x + x ) + U( x, x) = E, αλλά σταθερές τιµές διατηρούν και οι επιµέρους συναρτήσεις ενέργειας: ( x + x ) + ω ( x + x ) = E, ο ο ο ( x x ) + ω ( x x ) = E, ο που καλούνται σταθερές της κίνησης ή ολοκληρώµατα της κίνησης: Το γεγονός αυτό οδηγεί στο συµπέρασµα ότι στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων οι τροχιές του συστήµατος εξελίσσονται επάνω σε τοροειδείς επιφάνειες: Τροχιές στο χώρο θέσεων-ταχυτήτων του συστήµατος ελατηρίων. Σχόλιο. Όταν τα ελατήρια έχουν διαφορετικές σταθερές και οι µάζες δεν είναι ίδιες, η επίλυση των εξισώσεων κίνησης επιτυγχάνεται µε εφαρµογή της γενικής µεθόδου επίλυσης συστηµάτων γραµµικών διαφορικών εξισώσεων * και η συνάρτηση δυναµικού εκφράζεται ως εξής: U:, U( x) = κ x + κ( x x ) + κ x. * Βλ. Παράρτηµα: Συστήµατα Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων.

.5. ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 95 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Συζευγµένες αρµονικές ταλαντώσεις µε ελεύθερα άκρα. Στο σύστηµα τριών ίδιων µαζών συνδεδεµένων, όπως φαίνεται στο σχήµα, µε ελατήρια αντίστοιχων σταθερών κ >0 και κ >0, αποµακρύνοντας κάθε µάζα από τη θέση ισορροπίας της καθορίζονται οι αρχικές θέσεις για την κίνηση που επακολουθεί όταν αφεθούν ελεύθερες να εκτελέσουν ταλάντωση υπό την επίδραση της δύναµης Hke. Σηµειώνοντας µε x, x, x τις αντίστοιχες αποµακρύνσεις των µαζών από τις θέσεις ισορροπίας τους, ορίζεται η συνάρτηση δυναµικού: κ κ U( x, x, x ) = ( x x ) + ( x x ) και προκύπτουν οι εξισώσεις της κίνησης: U mx = ( x ) = κ x+ κ x x U mx = ( x ) = κ x ( κ + κ ) x + κ x x U mx = ( x ) = κ x κ x x Το αδρανειακό κέντρο των τριών µαζών παραµένει ακίνητο και σε κάθε χρονική στιγµή ισχύει: x () t + x () t +x () t = 0 συνεπώς αναγόµαστε σε κίνηση δυο βαθµών ελευθερίας: mx = κx+ κx mx = ( κ κ) x ( κ+ κ) x και θέτοντας: x() t = Ae iωt, x() t = Ae iωt, διαπιστώνουµε ότι εµφανίζονται δυο βασικές συχνότητες: ( κ κ κ κ κ κ ) /, ω ( ) / = + + ω = + + + κ κ κ κ κ κ. Στην περίπτωση κ = κ = ο λόγος των συχνοτήτων είναι άρρητος άρα η κίνηση του συστήµατος των τριών µαζών δεν είναι περιοδική, όµως εύκολα προσδιορίζονται τιµές των κ, κ για τις οποίες ο λόγος των συχνοτήτων είναι ρητός γεγονός που διασφαλίζει την περιοδικότητα της κίνησης.

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ Ένα πεδίο δυνάµεων F: καλείται κεντρικό όταν οι φορείς των δυνάµεων συντρέχουν σε ένα κοινό σηµείο, το κέντρο του πεδίου *, και το µέτρο τους εξαρτάται µόνο από την απόσταση του σηµείου εφαρµογής τους από το κέντρο. Όταν η αρχή του ευκλείδειου χώρου ταυτιστεί µε το κέντρο του πεδίου δυνάµεων, θεωρώντας το διάνυσµα θέσης ενός υποθέµατος, η ασκούµενη δύναµη εκφράζεται ως εξής: F( x) =φ( r ) r όπου ο συναρτησιακός συντελεστής φ() r εξαρτάται µόνο από το µέτρο του διανύσµατος θέσης r r. Εισάγοντας το µοναδιαίο ακτινικό διάνυσµα e = r r/ r η ασκούµενη δύναµη εκφράζεται επίσης ως εξής: F( x) = f( r) e. Ένα κεντρικό πεδίο δυνάµεων καλείται ελκτικό ή απωστικό όταν αντίστοιχα ισχύει: f() r < 0 ή f( r ) > 0. r Σχηµατική παράσταση ενός ελκτικού και ενός απωστικού κεντρικού πεδίου δυνάµεων. * Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων που υπεισέρχονται στις εφαρµογές συχνά δεν ορίζονται στο κέντρο τους.

.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 97 F( x) = x, x, x ( ) Ελκτικό κεντρικό πεδίο δυνάµεων F( x) = x, x, x ( ) Απωστικό κεντρικό πεδίο δυνάµεων Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων προέρχονται από συνάρτηση δυναµικού η τιµή της οποίας σε κάθε σηµείο του χωρίου ορισµού της ορίζεται, µε προσέγγιση προσθετικής σταθεράς, από την παράγουσα του συναρτησιακού συντελεστή: U( x) = f( r)dr. * Στο χώρο θέσεων και ταχυτήτων ορίζεται κατά συνέπεια η συνάρτηση ενέργειας: E :, E( x, x) = U( x) + K ( x), η οποία, σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, διατηρεί σταθερή τιµή κατά τη διάρκεια της κίνησης. Επιπλέον, στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, σε οποιαδήποτε θέση και αν βρίσκεται ένα υλικό σηµείο, η ροπή της ασκού- µενης δύναµης ως προς το κέντρο προφανώς είναι µηδενική: Λ= r F( x) = r f( r) e = 0 άρα, κατά τη διάρκεια της κίνησης, η στροφορµή διατηρείται σταθερή: Ω () t = r() t p() t. r * Συγκεκριµένα, η συνάρτηση δυναµικού προκύπτει από τη σύνθεση της παράγουσας συνάρτησης U( r) = f( r)dr µε τη συνάρτηση που σε κάθε σηµείο προσαρτά το µέτρο του αντίστοιχου διανύσµατος θέσης και ισχύει: U du r r = = f () r = φ () r xi = F() i x x dr x x i i i, i =,,.

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ. ιατήρηση της ενέργειας και της στροφορµής. Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων η ενέργεια και η στροφορµή διατηρούνται σταθερές και η τροχιά εξελίσσεται στο κάθετο προς τη στροφορµή επίπεδο. Απόδειξη. Τα κεντρικά πεδία δυνάµεων διαθέτουν συνάρτηση δυναµικού οπότε η αρχή διατήρησης της ενέργειας δηλώνει ότι κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου διατηρείται σταθερή η τιµή της συνάρτησης ενέργειας: E K. E :, ( x, x) = U( x) + ( x) Επιπλέον, διατηρείται σταθερό το διάνυσµα της στροφορµής * : αφού Ω () t = r() t p() t d Ω () t = r() t p() t + r() t p() t = r() t ( f( r) er() t ) = f( r)r() t er() t = 0. dt Ένας απλός υπολογισµός υποδεικνύει ότι η τροχιά εξελίσσεται στο επίπεδο που είναι κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής: <Ω (),r() t t >=< r() t p(),r() t t >=< p(),r() t t r() t >= 0 r() t Ω() t. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων κάθε τροχιά διαγράφεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο σταθερό διάνυσµα της στροφορµής που διέρχεται από το κέντρο του πεδίου. * Αναφερόµαστε στη στροφορµή ως προς το κέντρο του πεδίου δυνάµεων που ταυτίζεται µε την αρχή του ευκλείδειου χώρου.

.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 99 Σχόλιο. Προσδιορισµός της ενέργειας και της στροφορµής: Όταν ένα υλικό σηµείο κινείται υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων και σε µια χρονική στιγµή περνά από τη θέση x µε ταχύτητα x τότε προσδιορίζεται η ενεργειακή του τιµή και η στροφορµή του που σύµφωνα µε το προηγούµενο θεώρηµα διατηρούνται σταθερές κατά τη διάρκεια της κίνησης: και m E = U( x) + x Ω = mx x. * Κατά συνέπεια καθορίζεται το κάθετο προς το σταθερό διάνυσµα της στροφορµής επίπεδο στο οποίο εξελίσσεται η τροχιά του υλικού σηµείου. Τελικό ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός της τροχιάς στο επίπεδο της κίνησης όπου πλέον έχουµε τη δυνατότητα χρήσης των καρτεσιανών αλλά και των πολικών συντεταγµένων του. Στις καρτεσιανές συντεταγµένες του η ενέργεια και το µέτρο της στροφορµής εκφράζονται αντίστοιχα ως εξής: m E = U( ζ, ζ ) + ζ ( ) +ζ( ) και στις πολικές συντεταγµένες του προκύπτουν οι αντίστοιχες εκφράσεις: ( t t ) και Ω = m( ζ() t ζ () t ζ () t ζ() t ) m E = U( r) + ( r () t + r () t θ () t ) και Ω = θ. mr () t () t Καρτεσιανές και πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης. * Η περίπτωση µηδενικής στροφορµής σηµαίνει ότι x ()// t x () t οπότε πρόκειται για ευθύγραµµη κίνηση κατά µήκος του άξονα που διέρχεται από το κέντρο του πεδίου.

00 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ. Νόµος των εµβαδών του Kepler. Κατά την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση ενός κεντρικού πεδίου δυνάµεων, το διάνυσµα θέσης σε ισόχρονα διαστήµατα σαρώνει ίσεµβαδικά χωρία στο επίπεδο της κίνησης. Απόδειξη. Το διάνυσµα θέσης ενός υλικού σηµείου που κινείται υπό την επίδραση κεντρικού πεδίου δυνάµεων σαρώνει στο επίπεδο της κίνησης ένα χωρίο εµβαδού St () και ο ρυθµός µεταβολής του στο χρόνο ορίζει την εµβαδική ταχύτητα: ds() t Ct () =. dt Στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης, λαµβάνοντας υπόψη ότι: ds() t = r() t ( r() t dθ() t ) = r () t θ() t dt προκύπτει η έκφραση της εµβαδικής ταχύτητας: Ct () = r() t θ () t. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων, κατά τη διάρκεια της κίνησης, η στροφορµή διατηρείται σταθερή και το µέτρο της είναι: Ω = θ, mr () t () t οπότε η εµβαδική ταχύτητα διατηρείται επίσης σταθερή: Ct () = Ω /m. * Νόµος των εµβαδών του Keper. * Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων και µόνο σε αυτά ισχύει ο νόµος των εµβαδών του Kepler.

.6. ΚΕΝΤΡΙΚΑ ΠΕ ΙΑ ΥΝΑΜΕΩΝ 0 ΘΕΩΡΗΜΑ. Εξισώσεις της κίνησης στα κεντρικά πεδία δυνάµεων. Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων οι εξισώσεις της κίνησης ενός υλικού σηµείου εκφράζονται στις πολικές συντεταγµένες του επιπέδου κίνησης ως εξής: mr t mr t θ t f r () () () = ( ) rt () θ() t + rt () θ() t = 0 *. Απόδειξη. Στη µιγαδική θεώρηση του επιπέδου κίνησης η θέση του υλικού σηµείου εντοπίζεται ως εξής: () zt () = rt () e iθ t από όπου προκύπτει η έκφραση της ταχύτητας: και της επιτάχυνσης: zt () = rt () e + rt () θ () t e iθ() t i( θ() t + π /) ( θ ) ( θ θ ) iθ i( θ( t) + π /). zt () = rt () rt () () t e + rt () () t + rt () () t e Συνεπώς, έχουµε αποσύνθεση σε ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες: rt () = rt () er + rt () θ () te θ και rt () = rt () rt () θ () t e + rt () θ() t + rt () θ() t. ( ) r ( ) Στα κεντρικά πεδία δυνάµεων η εγκάρσια συνιστώσα της δύναµης είναι προφανώς µηδενική γεγονός που οδηγεί στην προαναφερόµενη έκφραση της εξίσωσης του Νεύτωνα. e θ Αποσύνθεση της ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε ακτινικές και εγκάρσιες συνιστώσες. * Η εξίσωση αυτή σηµαίνει ότι: d ( mr t t ) dt () θ () = 0 και δηλώνει τη σταθερότητα του µέτρου της στροφορµής: Ω = θ. mr () t () t