ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση. Μέρος ΙI Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος -9 Δικτυωτή Ανάλυση Το πρόβλημα της Συντομότερης Διαδρομής Αφορά τον εντοπισμό του βέλτιστου τρόπου σύνδεσης δύο ή περισσότερων σημείων του συστήματος μέσα από τα υπάρχοντα εναλλακτικά κανάλια διασύνδεσής τους. Το πρόβλημα του Ελάχιστου Ζευγνύοντος Δέντρου Εδώ όλοι οι κόμβοι πρέπει να επικοινωνούν άμεσα ή έμμεσα μεταξύ τους σε τρόπο ώστε το συνολικό «μήκος» να είναι το ελάχιστο δυνατόν. Το πρόβλημα της Μέγιστης Ροής Αφορά τη μεγιστοποίηση του πλήθους των αντικειμένων που μπορούν να ρέουν από έναν κόμβο προς κάποιον άλλο κόμβο.
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ΟΡΟΛΟΓΙΑ - Δικτυωτή Ανάλυση Δίκτυο είναι ένα γράφημα που αναπαριστά κάποιου είδους ροή, διαμέσου ακμών, μεταξύ των κόμβων του. Μη προσανατολισμένες ακμές είναι οι ακμές που επιτρέπουν τη ροή και προς τις δύο κατευθύνσεις. Στις προσανατολισμένες ακμές χρησιμοποιούνται βέλη τα οποία υποδεικνύουν την κατεύθυνση που επιτρέπεται η ροή. Στομηπροσανατολισμένοδίκτυουπάρχει δυνατότητα ροής και προς τις δύο κατευθύνσεις των ακμών, ενώ στο προσανατολισμένο όλες του οι ακμές είναι προσανατολισμένες. ΟΡΟΛΟΓΙΑ - Δικτυωτή Ανάλυση Άμεσα συνδεδεμένος κόμβος είναι ο κόμβος που συνδέεται με κάποιον άλλο με μία ακμή (απευθείας). Μια ακολουθία συνεχόμενων ακμών ορίζει ένα μονοπάτι (διαδρομή). Εάν για ένα (υπο)σύνολο κόμβων υπάρχει ένα μονοπάτι το οποίο συνδέει κάθε δυάδα των κόμβων, τότε το (υπο)δίκτυο είναι συνεκτικό. Κύκλος είναιτομονοπάτιπουσυνδέειένανκόμβομετονεαυτό του χωρίς επαναλήψεις ακμών. Δέντρο ονομάζεται το δίκτυο που δεν περιέχει κύκλους (έχει n- ακμές).
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ΟΡΟΛΟΓΙΑ - Δικτυωτή Ανάλυση Οι κόμβοι έναρξης και τερματισμού στο πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής χαρακτηρίζονται ως αφετηρία και προορισμός του δικτύου (αντίστοιχα). Το πλήθος των αντικειμένων που μπορούν να περάσουν από μια ακμή προς κάποια κατεύθυνση στη μονάδα του χρόνου είναι η δυναμικότητα της ακμής. Οι κόμβοι εκπομπής/προσφοράς και αποδοχής/ζήτησης των αντικειμένων στο πρόβλημα της μέγιστης ροής χαρακτηρίζονται ως πηγή και δέκτης του δικτύου (αντίστοιχα). το πρόβλημα της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής αναφέρεται στον εντοπισμό του μονοπατιού μεταξύ κάποιου κόμβου εκκίνησης (αφετηρία) κι ενός κόμβου τερματισμού (προορισμός) με το μικρότερο συνολικό «μήκος» ακμών (κόστος, απόσταση, χρονική διάρκεια, αναλωθέν κεφάλαιο, κ.λπ.). Ο ομώνυμος αλγόριθμος, σε κάθε επανάληψη, υποδεικνύει έναν τουλάχιστο κόμβο για τον οποίο, η διαδρομή από την αφετηρία μέχρι αυτόν είναι η δυνατόν συντομότερη. Ο κόμβος λαμβάνει τον χαρακτηρισμό μόνιμος. Στη συνέχεια, εξετάζεται το ενδεχόμενο ο κόμβος αυτός να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη βελτίωση των προσωρινών διαδρομών που έχουν βρεθεί για τους υπόλοιπους κόμβους του δικτύου (συμπεριλαμβανομένου του προορισμού).
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Στο πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής, κάθε ακμή που συνδέει δύο κόμβους συνοδεύεται από έναν αριθμό ο οποίος δίνει μια ποσότητα η οποία προκύπτει όταν πραγματοποιηθεί η διαδρομή από τον ένα κόμβο στον άλλο (π.χ. σ ένα συγκοινωνιακό δίκτυο μπορεί να είναι κόστος, απόσταση, χρόνος ταξιδιού, κ.λπ.). Αφετηρία Προορισμός o αλγόριθμος της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ Η αφετηρία είναι ο πρώτος κόμβος του συνόλου Λ των μόνιμων κόμβων του δικτύου. οβημα: Καταγραφή του συνόλου Λ των μόνιμων κόμβων. οβημα: Εντοπισμός όλων των κόμβων που είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τουλάχιστον έναν από τους κόμβους του Λ. Υπολογισμός του μήκους της (προσωρινής) διαδρομής από την αφετηρία προς έκαστο εξ αυτών. Έλεγχος για βελτίωση των (υπαρχουσών προσωρινών) διαδρομών. Επιλογή του κόμβου που αντιστοιχεί στη συντομότερη διαδρομή για είσοδο στο σύνολο Λ (τυχαία σε περίπτωση ισοπαλίας). Η διαδρομή από την αφετηρία προς τον συγκεκριμένο κόμβο δεν επιδέχεται περεταίρω βελτίωση. οβημα: Επαναλαμβάνονται τα βήματα & μέχρις ότου όλοι οι κόμβοι γίνουν μόνιμοι, ή εισέλθει στο Λ ο κόμβος του προορισμού.
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος (αφετηρία) γίνεται μόνιμος, Λ = {}. Βήμα : Οι κόμβοι, και είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τον κόμβο. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομών από την αφετηρία προς τους κόμβους αυτούς. Πλησιέστερα άμεσα συνδεδεμένος κόμβος στην αφετηρία, είναι ο κόμβος. ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ {} ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ - - - ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΣΧΟΛΙΑ λυμένος κόμβος 9 ηεπαναληψη: Λ = {} + {} [,,, ος [, Αρχή,, ος (,) (,) [απόσταση από την αφετηρία / προηγούμενος κόμβος στη διαδρομή από την αφετηρία προς τον συγκεκριμένο κόμβο / σειρά εισόδου στο Λ η τελευταία ένδειξη μπορεί και να μην υπάρχει-]
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος γίνεται μόνιμος, Λ = {, }. Βήμα : Οι κόμβοι, και είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τους κόμβους του συνόλου Λ. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομών από την αφετηρία προς τους κόμβους αυτούς. Ο κόμβος έχει το μικρότερο προσωρινό μήκος διαδρομής. Η είσοδος του κόμβου στο σύνολο Λ δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο (δίνει, όσο και ήταν). ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ {, } ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ - - - - ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ + = + = 9 ΣΧΟΛΙΑ βελτίωση λυμένος κόμβος ηεπαναληψη: Λ = {, } + {} [, Αρχή,, ος [,,, ος (9,) (,) [,,, ος ήταν: - με απόσταση ομοίως είναι: -- με απόσταση
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος γίνεται μόνιμος, Λ = {,, }. Βήμα : Οι κόμβοι, και είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τους κόμβους του συνόλου Λ. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομών από την αφετηρία προς τους κόμβους αυτούς. Ο κόμβος έχει το μικρότερο προσωρινό μήκος διαδρομής. Η είσοδος του κόμβου στο σύνολο Λ βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο (ήταν, γίνεται ). ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΣΧΟΛΙΑ {,, } - - - - 9 + = + = βελτίωση λυμένος κόμβος ηεπαναληψη: Λ = {,, } + {} [, Αρχή,, ος [,,, ος (9,) [,, ος [,,, ος (,) ήταν: - με απόσταση έγινε: -- με απόσταση
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος γίνεται μόνιμος, Λ = {,,, }. Βήμα : Οι κόμβοι και είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τους κόμβους του συνόλου Λ. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομ από την αφετηρία προς τους κόμβους αυτούς. Οκόμβος έχει το μικρότερο προσωρινό μήκος διαδρομής. Η είσοδος του κόμβου στο σύνολο Λ βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο (από 9 σε ) αλλά και προς τον κόμβο (από σε ) ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ {,,, } ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ - - - - ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ 9 + = + = ΣΧΟΛΙΑ βελτίωση βελτίωση λυμένος κόμβος ηεπαναληψη: Λ = {,,, } + {} [,,, ος [,, ος [, Αρχή,, ος [,, ος [,,, ος (,) ήταν: -- με απόσταση 9 έγινε: --- με απόσταση ήταν: -- με απόσταση έγινε: --- με απόσταση
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος γίνεται μόνιμος, Λ = {,,,, }. Βήμα : Οι κόμβοι και είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τους κόμβους του συνόλου Λ. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομών από την αφετηρία προς τους κόμβους αυτούς. Ο κόμβος έχει το μικρότερο προσωρινό μήκος διαδρομής. Η είσοδος του κόμβου στο σύνολο Λ βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο (ήταν, γίνεται ). ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ {,,,, } ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ - - - ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ + = + = ΣΧΟΛΙΑ βελτίωση λυμένος κόμβος ηεπαναληψη: Λ = {,,,, } + {} [,,, ος [,, ος [, Αρχή,, ος [,, ος (,) [,,, ος [,, ος ήταν: --- με απόσταση έγινε: ---- με απόσταση 9
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ηεπαναληψη Βήμα : Οκόμβος γίνεται μόνιμος, Λ = {,,,,, }. Βήμα : Οκόμβος είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τους κόμβους του συνόλου Λ. Σημειώνουμε το μήκος των διαδρομών από την αφετηρία προς τον κόμβο. Η είσοδος του κόμβου στοσύνολολβελτίωσετην προσέγγιση προς τον κόμβο (ήταν, γίνεται ). Ικανοποιείται το κριτήριο του τερματισμού. ΛΥΜΕΝΟΙ ΚΟΜΒΟΙ {,,,,, } ΑΚΜΗ ΑΜΕΣΑ ΣΥΝΔΕΔΕΜΕΝΟΥ ΚΟΜΒΟΥ - - ΠΡΟΣΩΡΙΝΟ ΜΗΚΟΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ + = ΣΧΟΛΙΑ βελτίωση λυμένος κόμβος 9 ηεπαναληψη: Λ = {,,,,, } + {} [, Αρχή,, ος [,,, ος [,, ος [,, ος [,, ος [,,, ος [,, ος ήταν: ---- με απόσταση έγινε: ----- με απόσταση
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Συνοπτικά τα αποτελέσματα Κόμβος Ελάχιστη Απόσταση Βέλτιστη Διαδρομή - -- - --- ---- ----- Οι βέλτιστες διαδρομές (έχουν διαγραφεί οι ακμές που δεν συμμετέχουν στη βέλτιστη διαδρομή για κάθε κόμβο). [] [] [] [] [] [] []
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 το πρόβλημα της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ Στο παράδειγμα, ο προορισμός εισήλθε τελευταίος στο σύνολο των λυμένων κόμβων. Το γεγονός αυτό έχει ως αποτέλεσμα, να βρεθούν οι άριστες αποστάσεις όλων των κόμβων από την αφετηρία. Είναιδυνατόνοπροορισμόςναεισέλθειστοσύνολοτων λυμένων κόμβων χωρίς να έχουν προηγηθεί όλοι οι άλλοι. Οπισθοδρομική ανίχνευση του δικτύου εντοπίζει όλες τις άριστες διαδρομές. το πρόβλημα της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ winqsb
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 το πρόβλημα της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ winqsb το πρόβλημα της ΣΥΝΤΟΜΟΤΕΡΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ γραμμικό μοντέλο Decision variables use the arc from node i to node j X ij = otherwise Objective = Minimize Σ d ij X ij
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 γραμμικό μοντέλο [The number of highways traveled out of the start node] = X + X + X = In a similar manner: [The number of highways traveled into terminal node] = X + X = [The number of highways used to travel into a city] = [The number of highways traveled leaving the city]. For example, in node ): X + X + X = X το πρόβλημα του ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ (Γνωρίζουμε ότι) μια ακολουθία συνεχόμενων ακμών ορίζει ένα μονοπάτι. Κύκλος είναιτομονοπάτιπουσυνδέειένανκόμβομετονεαυτό του χωρίς επαναλήψεις ακμών. Δέντρο ονομάζεται το (υπο)δίκτυο που δεν περιέχει κύκλους. Ζευγνύον δέντρο είναι ένα δέντρο στο οποίο όλοι οι κόμβοι του είναι συνδεδεμένοι. Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου αφορά τον εντοπισμό του ελάχιστου συνολικού «μήκους» των ακμών ενός δικτύου, σε τρόπο ώστε όλοι οι κόμβοι του να συνδέονται. Το κριτήριο δεν περιορίζεται σε απόσταση. Μπορεί να αφορά χρόνο, κόστος, κλπ.
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 ο αλγόριθμος του ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ ο ΒΗΜΑ: Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους κόμβους του δικτύου και τον συνδέουμε με αυτόν που βρίσκεται πιο κοντά του. Οι δύο κόμβοι χαρακτηρίζονται ως συνδεδεμένοι κόμβοι. ο ΒΗΜΑ: Εντοπίζουμε τον κόμβο που είναι πιο κοντά σε κάποιον από τους συνδεδεμένους για να τον συνδέσουμε κι αυτόν (σε περίπτωση ισοβάθμησης επιλέγουμε αυθαίρετα). ο ΒΗΜΑ: Επαναλαμβάνουμε το ο ΒΗΜΑ μέχρι να συνδέσουμε όλους τους κόμβους. Σημείωση: Για ένα πρόβλημα με n κόμβους, απαιτούνται n - επαναλήψεις του αλγορίθμου. 9 παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ Αναζήτηση του Βέλτιστου Ζευγνύοντος Δέντρου 9
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ η Επανάληψη: Επιλέγοντας τον κόμβο για να ξεκινήσουμε, βλέπουμε ότι ο πιο κοντινός του είναι ο κόμβος (με( απόσταση ). Συνεπώς: Συνδεδεμένοι κόμβοι: :, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,,,9, Ακμές που επιλέχθηκαν: : - η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος: Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,,9, Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, - παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,9, Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, - η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,9 Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, -, -
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,9 Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, -, -, - η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι :,,,,,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,9 Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, -, -, -, - παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,,,, Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,9 Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, -, -, -,, -, - η Επανάληψη: Κοντινότερος μη συνδεδεμένος κόμβος σε έναν εκ των συνδεδεμένων είναι ο κόμβος 9 (με( απόσταση από τον κόμβο ). Ο κόμβος 9 γίνεται συνδεδεμένος. Συνδεδεμένοι κόμβοι: :,,,,,,,,9 Μη Συνδεδεμένοι κόμβοι: : Ακμές που επιλέχθηκαν: : -, -, -, -, -, -, -, -9
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ 9η Επανάληψη: Μοναδικός μη συνδεδεμένος έχει απομείνει ο κόμβος. Ο κοντινότερος συνδεδεμένος κόμβος είναι ο (με απόσταση ). Άρα, το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο σχηματίζεται από Ακμές: : -, -, -, -, -, -, -, -9, - Τιμές: : + + + + + + + + = παράδειγμα ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ Το Βέλτιστο Ζευγνύον Δέντρο (έχει - ακμές) 9
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 το πρόβλημα του ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ ΖΕΥΓΝΥΟΝΤΟΣ ΔΕΝΤΡΟΥ winqsb το πρόβλημα της ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Το πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής δεν αντιμετωπίζει το προφανές ερώτημα της περιορισμένης δυναμικότητας ροής των ακμών θεωρώντας ότι είναι απεριόριστη (ή μοναδιαία). Το πρόβλημα της μέγιστης ροής αφορά τη μεγιστοποίηση του πλήθουςτωναντικειμένωνπουμπορούνναρέουναπόέναν κόμβο (πηγή) προς κάποιον άλλο κόμβο (δέκτης). Χαρακτηριστικά παραδείγματα η σχεδίαση συστημάτων μεταφοράς και διανομής πετρελαίου και φυσικού αερίου, συστημάτων ύδρευσης και άρδευσης, γραμμών παραγωγής, κ.λπ. 9
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Στο πρόβλημα της μέγιστης ροής, κάθε ακμή έχει μια ορισμένη - περιορισμένη δυναμικότητα ροής: το γεγονός επισημαίνεται με έναν αριθμό σε κάθε άκρο, ο οποίος εκφράζει το πλήθος των αντικειμένων που μπορούν να μετακινηθούν (ρέουν) από τον κόμβο του συγκεκριμένου άκρου προς τον κόμβο που βρίσκεται στοάλλοάκρο(προσανατολισμένες ακμές). Πηγή παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Δέκτης 9 o αλγόριθμος της ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ οβημα: Αυθαίρετη επιλογή ενός μονοπατιού από την πηγή προς τον δέκτη με θετική (μη-μηδενική) δυναμικότητα ροής. οβημα: Αναπροσαρμογή των δυναμικοτήτων ροής του μονοπατιού με αφαίρεση της δυναμικότητας ροής από όλες τις δυναμικότητες των ακμών προς την κατεύθυνση του δέκτη. οβημα: Αναπροσαρμογή των δυναμικοτήτων ροής του μονοπατιού με πρόσθεση της δυναμικότητας ροής σε όλες τις δυναμικότητες των ακμών προς την κατεύθυνση της πηγής. οβημα: Επανάληψη των βημάτων, & μέχρις ότου να μην υπάρχουν μονοπάτια με θετική (μη-μηδενική) δυναμικότητα ροής.
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Μεταφέρετε όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ποσότητα από τον κόμβο στον κόμβο. Πηγή παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Δέκτης παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ ηεπαναληψη: (με( ροή )
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ ηεπαναληψη: (με( ροή ) παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ ηεπαναληψη: (με( ροή )
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ ηεπαναληψη: (με( ροή ) παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Δεν υπάρχουν δρόμοι με θετική δυναμικότητα ροής
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 παράδειγμα ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Συνοπτικά τα αποτελέσματα Μονοπάτι Ροή --- -- -- --- ΣΥΝΟΛΟ winqsb το πρόβλημα της ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 γραμμικό μοντέλο το πρόβλημα της ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Decision variables X ij ij - the flow from node i to node j on the arc that connects these two nodes Objective function Maximize the flow out of node 9 γραμμικό μοντέλο το πρόβλημα της ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΡΟΗΣ Constraints On each intermediate node: Flow out from the node flow into the node = Flow cannot exceed arc capacities
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 εξασκηθείτε () Η επιχείρηση των ΑΦΩΝ Κωνσταντινίδη αναλαμβάνει τον εφοδιασμό δημοσίων ιδρυμάτων με αγροτικά προϊόντα. Πρόσφατα κέρδισε έναν διαγωνισμόγια το νοσοκομείο μιας σχετικά απομακρυσμένης πόλης (κόμβος ) με φρέσκα φρούτα, τα οποία πρέπει να μεταφέρονται εκεί από την έδρα της (κόμβος ). 9 9 Οιενδιάμεσοικόμβοιείναιπιθανοίενδιάμεσοισταθμοί, οι ακμές οι δυνατές διαδρομές μέσω του δικτύου των αυτοκινητοδρόμων με το οποίο συνδέονται οι δύο πόλεις (έδρα, προορισμός) και οι αριθμοί σε κάθε ακμή παριστάνουν δεκάδες χιλιόμετρα. Θεωρούμε ότι το κόστος της όποιας διαδρομής είναι ανάλογο της απόστασης και ζητούμε τον εντοπισμό της διαδρομής με το ελάχιστο συνολικό μήκος. Κόμβος εξασκηθείτε () Ελάχιστη Απόσταση Βέλτιστη Διαδρομή - 9 - -- -- -- 9 --- [] 9 [9] [] [] [9] [] []
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 εξασκηθείτε () Η επιχείρηση των ΑΦΩΝ Κωνσταντινίδη αποφασίζει να κατασκευάσει ένα τουριστικόσύμπλεγμα με ξενοδοχείο (κόμβος ), γήπεδο αντισφαίρισης (), κέντρο υγρού στίβου (), χώρο ιππασίας (), τεχνητή λίμνη (), γήπεδο γκολφ (), συγκρότημα κατοικιών () και καζίνο (). Η περιοχή που θα γίνει το σύμπλεγμα είναι τώρα κυρίως βοσκοτόπια, οπότεη δασική υπηρεσία ζήτησεένα ολοκληρωμένο σχέδιοαπό το οποίο να προκύπτει ότι ελαχιστοποιείται το πλήθος των δέντρων που θα χρειαστεί να κοπούν προκειμένουνα κατασκευαστούν τα μονοπάτια που θα συνδέουν τις εγκαταστάσεις. Στο σχήμα βλέπετε τα πιθανά μονοπάτια σύνδεσης. Τα μήκη είναι σε μέτρα, ενώυποθέτουμε ότι κατά μέσο όροτοπλήθοςτων δέντρων που κόβονται είναι ανάλογο του μήκους. 9 εξασκηθείτε () Το ελάχιστο ζευγνύον δέντρο είναι το κατωτέρω δέντρο με ακμές (όσοι είναι οι κόμβοι μείον ένα) κι έχει συνολικό μήκος + + + + + + =.
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 εξασκηθείτε () Η επιχείρηση των ΑΦΩΝ Κωνσταντινίδη έχει εγκαταστήσει ένα σύστημα άρδευσης με το οποίο, μέσω ενός δικτύου αγωγών, το νερό που αντλείται από μια γεώτρηση (πηγή -κόμβος -) διοχετεύεται προς διάφορα σημεία (κόμβους). Με τον τρόπο αυτό ποτίζονται οι ενδιάμεσες καλλιέργειες, και το νερό που απομένει προωθείται προς ένα σημείο εξόδου (δέκτης -κόμβος 9-). Εκεί, όσο νερό φτάνει, διοχετεύεται σε διπλανό συγκρότημα αγροτικών καλλιεργειών. Στο σχήμα φαίνεται ο καθαρός όγκος νερού που μπορεί να φύγει και να φτάσει από κόμβο σε κόμβο (αφαιρέθηκε δηλαδή η ποσότητα η οποία χρησιμοποιείται για το ενδιάμεσο πότισμα. Είναι πολύ σημαντικό να υπολογιστεί η δυναμικότητα του νερού που μπορεί να φτάσει στον κόμβο 9 προκειμένου να διοχετευθεί στις διπλανές εκτάσεις. 9 εξασκηθείτε () Μονοπάτι Ροή ----9 ----9 ----9 ----9 ΣΥΝΟΛΟ