. ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+ x 7x 0 x x 8 H ταυτότητα της διαίρεσης είαι x + 6x 7x+ 0 = ( x+ )( x x 8 ) +.ii) Να κάετε τη διαίρεση ( x 8) : ( x ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x 8 x x + x x 8 x + 9x 9x 8 9x + 7x 7x 8 7x+ 8 0 H ταυτότητα της διαίρεσης είαι x + x + 9x+ 7 x 8 = ( x )( x x 9x 7 + + + )
.iii) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 0x 6x ) : ( 6x + ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 0x 6x 6x + x 0x 6x 0 6x + x 8 H ταυτότητα της διαίρεσης είαι x + 0x 6x = ( 6x + )( x 8 ).iv) Να κάετε τη διαίρεση ( x + x x + x ) : ( x + x ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + x x + x x + x x x + 6x x + x x x+ x+ x + H ταυτότητα είαι x + x x + x = ( x x + )( x + ) + x+
.v) Να κάετε τη διαίρεση Είαι ( x ) = x και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x : ( ) x x + x x x + x x + x x+ x x + x x + 9x 9x+ 6x 8x+ x x + x H ταυτότητα της διαίρεσης είαι x = ( x x x x = ( x ) ( x+ ) + + )( x+ ) + 6x 8x+ 6x 8x+.vi) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 7 ) : ( x ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 7 x x + x x + 7 x H ταυτότητα της διαίρεσης είαι x + 7 = ( ) x + x + 7 x. 80 0 0 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης ( 8x 6x + x ) : ( x+ ) 80 0 0 Έστω Ρ(x) = 8x 6x + x. υ = Ρ( ) = 8 ( ) 80 0 0 ( ) ( ) 6 + = 8 6 + =
. Να βρείτε τις τιµές του k για τις οποίες το x είαι παράγοτας του g(x) = k x + kx Πρέπει και αρκεί g() = 0 k + k = 0 k + k = 0 = 9 + 6 = k = ± = ή.i) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x + 7x 0 ) : ( x+ 0 ) 0 7 0 0 0 00 0 0 0 Άρα π(x) = x + 0x και υ = 0.ii) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x + ) : ( x+ 8) 0 0 8 8 6 8 6 0 Άρα π(x) = x 8x+ 6 και υ = 0
.ii) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x + ) : ( x ) 0 0 0 0 Άρα π(x) = x + x + x + x+ και υ =.iv) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης x : ( x ) 0 0 0 0 6 8 6 8 Άρα π(x) = x 6x x και υ = 8.v) Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner α βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x + 6x x ) : ( x+ ) 6 7 0 0 Άρα π(x) = x + x 0 και υ = 0
6. Α Ρ(x) = x x x+ 09, α βρείτε το Ρ( ) 09 0 0 80 Άρα Ρ( ) = 80 6.i) Να αποδείξετε ότι το πολυώυµο x+ είαι παράγοτας του Ρ(x) = x x + 0 0 9 8 6 8 0 υ = 0 άρα το x+ είαι παράγοτας του Ρ(x) = x x + 6.ii) Να αποδείξετε ότι το πολυώυµο x είαι παράγοτας του Ρ(x) = 6x 8x + 9x + x 6 8 9 6 8 6 0 υ = 0 άρα το x είαι παράγοτας του Ρ(x) = 6x 8x + 9x + x
7 6.iii) Να αποδείξετε ότι το πολυώυµο x είαι παράγοτας του Ρ(x) = x x + Είαι x = x (+ ) 0 + + + 0 υ = 0 άρα το x είαι παράγοτας του Ρ(x) = x x + 7. Α είαι έας άρτιος θετικός ακέραιος, α αποδείξετε ότι το x+ y είαι παράγοτας του x y. Θεωρούµε τα Ρ(x) = x y, π(x) = x+ y = x ( y) ως πολυώυµα του x Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : π(x) είαι υ = Ρ( y ) = ( y) Αλλά ( y) y = y αφού άρτιος. Άρα υ = 0 Εποµέως το x+ y είαι παράγοτας του x y. 8. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώυµα δε έχου παράγοτα της µορφής xρ. x + 7x + ii) Q(x) = i) Ρ(x) = i) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( xρ) είαι υ = Ρ(ρ ) = ρ + 7ρ + > 0 Εποµέως το xρ δε είαι παράγοτας του Ρ(x) ii) Το υπόλοιπο της διαίρεσης Q(x) : ( xρ) είαι 6 υ = Q(ρ ) = ρ ρ < 0 Εποµέως το xρ δε είαι παράγοτας του Q(x) 6 x x
8 9. Α ο είαι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το x+ είαι παράγοτας του x +. Να γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης ( x + ) : ( x+ ) 0 0 0.0.. 0 υ = 0 το x+ είαι παράγοτας του x +. Το πηλίκο της διαίρεσης είαι x x x... x + +. Άρα η ταυτότητα της διαίρεσης ( x + ) : ( x+ ) είαι x + = ( x+ )( x x x... x + + ) 0.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x αx8α ) : ( x α ) x αx8α x α x + 6α x x αx8α α x+ 8α 0 + α 0.ii) Να κάετε τη διαίρεση ( x +αx α xα ) : ( x+α ) x +αx α xα x+α x α x α xα α x+α 0 x α
9 Β Oµάδας. Να αποδείξετε ότι, α το είαι παράγοτας του µ, τότε και το x α είαι παράγοτας του x µ α µ, (µ, θετικοί ακέραιοι). είαι παράγοτας του µ µ = k, όπου k θετικός ακέραιος. Τότε x µ α µ = το x k x = ( x k α k k = ( x ) ( ) α = α ) ( x ) + ( x ) α +... + ( α ) k k k α είαι παράγοτας του x µ α µ.
0. i) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης εός πολυωύµου Ρ(x) µε το β α x+β, α 0 είαι υ = Ρ( ). α ii) Να βρείτε τις συθήκες, για τις οποίες το πολυώυµο α x+β. i) Με τη ταυτότητα της διαίρεσης Ρ(x) : (αx + β) έχουµε Ρ(x) = (αx + β) π(x) + υ () α x +β διαιρείται µε το Η () για x = β β Ρ( ) = α β +β π β α α α α β β Ρ( ) = [ β+β] π α α + υ β β Ρ( )= 0 π α α + υ β Ρ( ) = υ α + υ ii) Έστω Ρ(x) = α x +β Tο πολυώυµο α x +β διαιρείται µε το α x+β το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ(x) : ( α x+β) είαι 0, και λόγω του i), β Ρ( ) = 0 α β α +β = 0 α β α +β = 0 α β +β = 0 α β +α β = 0 β( α β ) = 0 β = 0 ή β = 0 ή α β = 0 α =β β = 0 ή α = β ή α = β
. Με τη βοήθεια του σχήµατος Horner µόο, α αποδείξετε ότι το πολυώυµο Ρ(x) = x 6x + x x+ διαιρείται µε το ( x )( x ) και α βρείτε το πηλίκο. Σχήµα Horner για τη διαίρεση Ρ(x) : ( x ) 6 0 Οπότε Ρ(x) = ( x )( x x + x ) Θέτουµε x x + x = π(x). Τότε Ρ(x) = ( x ) π(x) () Σχήµα Horner για τη διαίρεση π(x) : ( x ) 0 0 0 Οπότε π(x) = ( x )( x + ) () Ρ(x) = ( x )( x )( x + ) το Ρ(x) διαιρείται µε το ( x )( x ) και το πηλίκο είαι x +
. Να αποδείξετε ότι το πολυώυµο Ρ(x) = ( ) παράγοτες όλους τους παράγοτες του Είαι x + x + x = x ( x + x+ ). Βρίσκουµε τις ρίζες του τριωύµου Άρα οι ρίζες του x+ x x, 0 έχει x + x + x. x + x + x είαι 0,, και οι παράγοτές του είαι x, x+, Ρ(0) = ( ) x + x+, και x+ 0+ 0 0 = 0 0 = 0 το πολυώυµο x 0 = x είαι παράγοτας του Ρ(x) + ( ) ( ) = 0 + = 0 Ρ( ) = ( ) το πολυώυµο x+ είαι παράγοτας του Ρ(x) ( ) + ( ) ( ) Ρ( ) = = το πολυώυµο x+ είαι παράγοτας του Ρ(x) + = 0
. Να υπολογίσετε τους α, β R, για τους οποίους το Ρ(x) = παράγοτα το ( x ). + α x +β x + έχει Το Ρ(x), για α έχει παράγοτα το ( x ), πρέπει α έχει παράγοτα και το x Ρ() = 0 + α +β + = 0 Ρ(x) = + αx ( α+ )x + = α+β+ = 0 β=( α+ ). () Τότε α α + + x x x = αx (x) (x ) = α + + + x (x ) (x )(x x... ) = (x) αx ( x + x +... + ) Θέτουµε αx ( x + x +... + ) = π(x). Οπότε Ρ(x) = ( x ) π(x). Το Ρ(x), για α έχει παράγοτα το ( x ), πρέπει, το π(x) α έχει παράγοτα το x π() = 0 α ( + +... + ) Η () β=( + ) = 0 α (+ +... + ) = 0 α = 0 α=