1 Περιεχόμενα Πρόλογος...11 Εισαγωγή...13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ελαστικότητα... 15 1.1 Γενικά...15 1.2 Τάσεις...15 1.3 Εξισώσεις Ισορροπίας...16 1.4 Μετασχηματισμοί Τάσεων...17 1.5 Κύριες Τάσεις...18 1.6 Παραμορφώσεις...19 1.7 Φυσικός Νόμος (Νόμος Hooke)...20 1.8 Επίπεδη Εντατική Κατάσταση...21 1.9 Επίπεδη Παραμορφωσιακή Κατάσταση...22 1.10 Κάμψη...23 1.11 Στρέψη...24
8 Μηχανική των θραύσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Κριτήρια Αστοχίας... 25 2.1 Γενικά...25 2.2 Κριτήριο Θραύσης της Μέγιστης Κύριας Τάσης...29 2.3 Κριτήριο Διαρροής της Μέγιστης Διατμητικής Τάσης...29 2.4 Κριτήριο Διαρροής von Mises, της Οκτάεδρης Διατμητικής Τάσης...30 2.5 Κριτήριο Διαρροής Ανισότροπων ή Ανώμαλων Υλικών...31 2.6 Κριτήριο Θραύσης Coulomb-Mohr...32 2.7 Παραδείγματα και Ασκήσεις...32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ρωγμές... 41 3.1 Γενικά...41 3.2 Τασικές Συναρτήσεις Westergaard...41 3.2.1 Εφελκυστικός Τύπος-Ι...43 3.2.2 Συνεπίπεδος Διατμητικός Τύπος-ΙΙ...44 3.2.3 Εγκάρσιος Διατμητικός Τύπος-ΙΙΙ...45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Συντελεστής Εντάσεως των Τάσεων... 47 4.1 Γενικά...47 4.2 Η Φύση των Ρωγμών και τα Αποτελέσματα στη Θραύση των Υλικών...48 4.2.1 Εφελκυστικός Τύπος-Ι...50 4.2.2 Συνεπίπεδος Διατμητικής Τύπος-ΙΙ...53 4.2.3 Εγκάρσιος Διατμητικός Τύπος-ΙΙΙ...54 4.3 Επίδραση των Ρωγμών στην Αντοχή των Υλικών...55 4.4 Επίδραση των Ρωγμών στην Ψαθυρά και Όλκιμη Θραύση...56 4.5 Ρυθμός Εκροής Ενέργειας Παραμόρφωσης G...57 4.6 Κάμψη Ρηγματωμένης Πλάκας...59 4.7 Εφελκυσμός, Κάμψη και Στρέψη Κυλινδρικού Ρηγματωμένου Δοκιμίου...60 4.8 Συμπαγές Δοκίμιο Εφελκυσμού...62 4.9 Πλαστική Ζώνη...63 4.10 Παραδείγματα και Ασκήσεις...64
Περιεχόμενα 9 4.11 Περιπτώσεις Ειδικού Ενδιαφέροντος για Πρακτικές Εφαρμογές...80 4.11.1 Κυκλικές, ημικυκλικές τεταρτοκυκλίου ρωγμές...80 4.11.2 Ελλειπτικές και ημι-ελλειπτικές ρωγμές...87 4.12 Παραδείγματα και Ασκήσεις...90 4.13 Διάδοση Ρωγμών από Εγκοπές...91 4.14 Μικτή Φόρτιση Πλάκας...92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κόπωση... 95 5.1 Γενικά...95 5.2 Κόπωση Αρηγμάτωτου Υλικού...96 5.3 Συσσώρευση Φθοράς (Accumulate Damage)...98 5.4 Παραδείγματα και Ασκήσεις...99 5.5 Κόπωση Ρηγματωμένου Υλικού...117 5.6 Παραδείγματα και Ασκήσεις...120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Οπτική Μέθοδος των Καυστικών... 127 6.1 Γενικά...127 6.2 Εφαρμογή της Οπτικής Μεθόδου των Καυστικών στο Επίπεδο Εντατικό Πρόβλημα για Οπτικώς Ισότροπα Υλικά...128 6.3 Παραδείγματα και Ασκήσεις...132 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Πίνακες Υλικών... 167 Πίνακας Αγγλικών Όρων... 171 Βιβλιογραφία... 183
1 Πρόλογος Ο σχεδιασμός των κατασκευών ή των στοιχείων της κατασκευής απαιτεί βαθειά γνώση των μηχανικών ιδιοτήτων των χρησιμοποιουμένων υλικών, καθώς και των κριτηρίων αστοχίας από διαρροή ή από θραύση των υλικών. Η αστοχία προέρχεται είτε από υπέρ-καταπόνηση και κόπωση των στοιχείων της κατασκευής, είτε από υπάρχουσες ρηγματώσεις των υλικών των στοιχείων της κατασκευής. Προς αποφυγή της αστοχίας απαιτείται βαθειά γνώση της θεωρητικής και πειραματικής Μηχανικής των Θραύσεων. Η Μηχανική των θραύσεων προσφέρει τις κατάλληλες γνώσεις οι οποίες στηρίζονται αφενός μεν στις μηχανικές ιδιότητες των υλικών, αφετέρου δε στις ιδιομορφίες (όπως ρωγμές, οπές, ουλές, κλπ.) οι οποίες υπάρχουν στο υλικό και είναι υπεύθυνες για την μεγάλη συγκέντρωση τάσεων που οδηγούν το υλικό σε αστοχία. Για να αποφευχθεί α- στοχία του υλικού πρέπει να είναι γνωστή η συμπεριφορά του υλικού τόσον στην υπέρκαταπόνηση, όσον και στην ύπαρξη μικρό-ρωγμών, ρωγμών, κενών, κλπ. Η επέκταση μιας υπάρχουσας ρωγμής, που οφείλεται στην κρίσιμη φόρτιση του στοιχείου της κατασκευής, έχει ως αποτέλεσμα την αστοχία σε θραύση του υλικού. Εξίσου επικίνδυνο είναι η τάση διαρροής του όλκιμου υλικού η οποία οδηγεί το υλικού σε αστοχία διαρροής. Κάθε υλικό χαρακτηρίζεται από τις μηχανικές του σταθερές και τις κρίσιμες τιμές αυτών οι οποίες μπορεί να οδηγήσουν το υλικό σε αστοχία. Οι κρίσιμες αυτές τιμές των μηχανικών σταθερών του υλικού είναι δυνατόν να υπολογιστούν πειραματικά με κατάλληλες πειραματικές μεθόδους. Στο βιβλίο αυτό δίνονται βασικά στοιχεία συμπεριφοράς των υλικών στην Μηχανική των Θραύσεων. Στο κεφάλαιο 1 δίδονται βασικές έννοιες της γραμμικής Ελαστικότητας, στο κεφάλαιο 2 δίδονται κριτήρια τα οποία οδηγούν σε αστοχία των υλικών, στο κεφάλαιο 3 δίδεται η έννοια της ρωγμής και το τασικό πεδίο που αναπτύσσεται λόγω ιδιομορ-
12 Μηχανική των θραύσεων φίας του άκρου της, στο κεφάλαιο 4 δίδεται η έννοια του συντελεστή εντάσεως των τάσεων και κατά πόσον αυτός επηρεάζεται από την συγκέντρωση των τάσεων και τις διαστάσεις των στοιχείων της κατασκευής, στο κεφάλαιο 5 δίδεται η επίδραση της κόπωσης (επαναληπτική φόρτιση) στην αντοχή και αστοχία των υλικών και τέλος στο κεφάλαιο 6 δίδεται η βασική θεωρία της οπτικής μεθόδου των καυστικών δια της οποίας είναι δυνατός ο πειραματικός υπολογισμός των κρίσιμων τιμών των συντελεστών εντάσεως των τάσεων. Αθήνα 2014 Γεώργιος Α. Παπαδόπουλος Ομότιμος Καθηγητής Τομέα Μηχανικής, ΣΕΜΦΕ, Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου.
1 Εισαγωγή Η παρουσία ρωγμών στα στοιχεία μηχανών ή κατασκευών οδηγούν στην θραύση αυτών. Αυτό είναι δυνατόν να συμβεί με τάσεις μικρότερες της αντοχής των υλικών. Επειδή οι ρωγμές είναι αδύνατον να αποφευχθούν, η μέθοδος της Μηχανικής των Θραύσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επιλογή των υλικών και τον σχεδιασμό των στοιχείων της κατασκευής ώστε να ελαχιστοποιηθεί η πιθανότητα της θραύσης αυτών. Διάφορες ασυνέχειες στην επιφάνεια των υλικών ως επίσης κενών (voids) ή εγκλεισμάτων (inclusions) εντός αυτών είναι δυνατόν να σχηματίσουν ρωγμές οι οποίες οδηγούν στη θραύση. Ως εκ τούτου πρέπει να γίνεται περιοδικός έλεγχος των στοιχείων των κατασκευών μακροσκοπικά ή μικροσκοπικά με ειδικές μεθόδους, όπως η μέθοδος των υπερήχων ή η μέθοδος της ακτινογραφίας, για τον εντοπισμό επιφανειακών ή εσωτερικών μικρορωγμών και κενών έτσι ώστε να γίνεται κατάλληλη επισκευή για την αποφυγή του σχηματισμού μεγάλων επικίνδυνων ρωγμών που θα οδηγήσουν την κατασκευή σε θραύση. Η επισκευή των ρηγματωμένων στοιχείων της κατασκευής συνίσταται στην αντικατάσταση αυτών εάν είναι δυνατόν ή στην κατάλληλη ενίσχυση αυτών. Οι μικρές επιφανειακές ρωγμές είναι δυνατόν να αποσβεστούν με κατάλληλη λείανση της επιφάνειας των στοιχείων της κατασκευής.
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ελαστικότητα 1.1 Γενικά Η Μηχανική του παραμορφωσίμου σώματος ασχολείται με τη μελέτη της συμπεριφοράς των σωμάτων που υπόκεινται σε εξωτερικές φορτίσεις. Σκοπός της μελέτης αυτής είναι να υπολογιστούν οι παραμορφώσεις και οι τάσεις σε κάθε σημείο του σώματος. Όπως έχει πειραματικά αποδειχθεί, όταν τα εξωτερικά φορτία είναι μικρά τότε οι παραμορφώσεις είναι γραμμικές συναρτήσεις των εξωτερικών φορτίων. Η ιδιότητα αυτή των σωμάτων χαρακτηρίζεται ως γραμμική ελαστικότητα. Όταν τα εξωτερικά φορτία αυξηθούν τότε παύει η γραμμική εξάρτηση των παραμορφώσεων από τα εξωτερικά φορτία οπότε παρουσιάζονται μεγάλες παραμορφώσεις και ελαστοπλαστική και πλαστική συμπεριφορά των σωμάτων. Η ιδιότητα αυτή των σωμάτων στις μεγάλες παραμορφώσεις χαρακτηρίζεται ως μη γραμμική ελαστικότητα και πλαστικότητα. Στα πλαίσια της θεωρίας της ελαστικότητας θα αντιμετωπισθεί η Μηχανική των Θραύσεων των υλικών και κυρίως των επιπέδων προβλημάτων ρωγμών. 1.2 Τάσεις Κάνοντας την τομή (Τ) στο τρισδιάστατο σώμα, υπό γενική φόρτιση δια δυνάμεων F i (i=1,2,3, ), όπως φαίνεται στο Σχ.1.1, για να ισορροπήσει το τμήμα αυτό εφαρμόζεται η δύναμη R στην τομή (Τ). Η δύναμη R αναλύεται στις και Q. Θεωρώντας μια μικρή περιοχή δα και τις δυνάμεις σ αυτή δν και δq τότε ορίζεται ως ορθή και διατμητική τάση: Ορθή τάση δ σ = limδ A 0 δa (1.1) Διατμητική τάση δq τ = limδ A o δa (1.2)
16 Μηχανική των θραύσεων Σχήμα 1.1: Τομή (Τ) σε τρισδιάστατο σώμα υπό γενική φόρτιση. Στη γενική περίπτωση της τρισδιάστατης κατάστασης σ ένα σημείο Μ του σώματος ο τανυστής των τάσεων, θεωρώντας ότι το σημείο Μ αποτελείται από ένα κύβο διαστάσεων dx, dy, dz, είναι: σxx τxy τxz σij = τyx σyy τyz τzx τzy σ zz (1.3) Ο τανυστής των τάσεων είναι συμμετρικός, οπότε ισχύει: τ = τ, τ = τ, τ = τ (1.4) xy yx xz zx yz zy Οι αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων είναι: I 1 = σxx + σyy + σzz (1.5) 2 2 2 I 2 = σxxσyy + σxxσzz + σyyσzz τxy τxz τyz (1.6) σxx τxy τxz I 3 = τyx σyy τyz (1.7) τ τ σ zx zy zz 1.3 Εξισώσεις Ισορροπίας Θεωρείται ένα στοιχείο διαστάσεων δx, δy, δz όπου οι συνιστώσες των τάσεων στις έ- δρες του στοιχείου αυξάνουν. Για να ισορροπεί το στοιχείο πρέπει να ισχύουν οι εξισώσεις ισορροπίας των δυνάμεων ΣF x =0, ΣF y =0 και ΣF z =0. Από τις εξισώσεις αυτές προκύπτουν οι σχέσεις:
Κεφάλαιο 1: Ελαστικότητα 17 σ τ xx xy τxz + + + F x = 0 x y z τyx σyy τyz + + + F y = 0 x y z τ τ zx zy σzz + + + F z = 0 x y z όπου Fx, Fy, Fz είναι οι καθολικές δυνάμεις. (1.8) (1.9) (1.10) 1.4 Μετασχηματισμοί Τάσεων Στην επίπεδη εντατική κατάσταση ο τανυστής των τάσεων (1.3) γίνεται: σxx τxy σij = τxy σ yy (1.11) Εάν το αρχικό σύστημα Mxy στραφεί κατά γωνία θ γύρω από το σημείο Μ (Σχ. 1.2), τότε οι συνιστώσες των τάσεων ως προς το σύστημα Mx y δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις που προκύπτουν είτε από την στροφή του τανυστή των τάσεων είτε γεωμετρικά από τον κύκλο Mohr: σxx + σyy σxx σyy σ xx = + cos 2θ+ τxy sin 2θ 2 2 (1.12) σxx + σyy σxx σyy σ yy = cos 2θ τxy sin 2θ 2 2 (1.13) σxx σyy τ xy = sin2θ+ τxy cos 2θ 2 (1.14) Οι σχέσεις αυτές μπορεί να γραφούν και ως εξής: σ xx + σ yy = σxx + σyy σ σ + 2i τ = ( σ σ + 2i τ 2θ i )e (1.15) yy xx xy yy xx xy
18 Μηχανική των θραύσεων Σχήμα 1.2: Οι συνιστώσες των τάσεων στο αρχικό και το στραφέν κατά γωνία θ σύστημα. 1.5 Κύριες Τάσεις Η γωνία θ στις ανωτέρω σχέσεις παίρνει διάφορες τιμές. Για την τιμή της θ όπου η τ xy = 0, οι τάσεις σ xx και σ yy παίρνουν ακρότατες τιμές (μεγίστη και ελαχίστη) και λέγονται κύριες τάσεις. Από το μηδενισμό της σχέσης (1.14) προκύπτει: 2τxy tan 2θ = (1.16) σ σ και: xx yy σ σ + σ 1 = ± ( σ σ ) + 4τ σ 2 2 1 xx yy 2 2 xx yy xy 2 (1.17) Στη γενική περίπτωση του τρισδιάστατου προβλήματος, οι κύριες τάσεις λαμβάνονται από τη διαγωνοποίηση του τανυστή των τάσεων σ ij. Οι κύριες τάσεις (ιδιοτιμές του τανυστή) προκύπτουν από την εξίσωση: σ λi = 0 (1.18) ij όπου λ οι ιδιοτιμές (σ1>σ2>σ3) και Ι ο μοναδιαίος πίνακας, ενώ οι διευθύνσεις (ιδιοανύσματα) των κυρίων τάσεων προκύπτουν από το σύστημα: σ ij λ I n= 0 (1.19) i ( ) όπου λ i είναι οι ιδιοτιμές και n (n1, n2, n3) τα ιδιοανύσματα.
Κεφάλαιο 1: Ελαστικότητα 19 Σχήμα 1.3: Παραμόρφωση του στοιχείου ΑΒΓΔ. 1.6 Παραμορφώσεις Μικρό ορθογώνιο στοιχείο ΑΒΓΔ (επίπεδη κατάσταση) μετά την παραμόρφωση μεταβάλλεται σε μέγεθος και σχήμα όπως φαίνεται στο Σχ. 1.3. Παραμορφώσεις του στοιχείου είναι οι ορθές ε ii (μεταβολή μήκους) και οι διατμητικές ε ij, με i j (μεταβολή γωνιών). Οι ορθές παραμορφώσεις του στοιχείου είναι: u dx AB AB u ε x xx = = = (1.20) AB dx x υ dy AΔ AΔ y υ ε yy = = = (1.21) AΔ dy y και ως προς την τρίτη διάσταση z, ομοίως: w ε zz = (1.22) z όπου u, υ, w είναι οι μετατοπίσεις στις τρεις διευθύνσεις x, y, z, αντίστοιχα. Οι διατμητικές παραμορφώσεις υπολογίζονται από τις κλίσεις των πλευρών του παραμορφωμένου στοιχείου: υ dx υ κλίση (1) = tan( 1) x = = dx x
20 Μηχανική των θραύσεων u dy y u κλίση (2) = tan( 2 ) = = dy y και για μικρές γωνίες κλίσης (μικρές ελαστικές παραμορφώσεις) η συνολική μεταβολή της γωνίας του στοιχείου ορίζει τη διατμητική παραμόρφωση γ xy (μεταβολή γωνίας σε rad) η οποία ισούται: u υ γxy = 2εxy = + y x ή: γ xy 1 u υ ε xy = = + (1.23) 2 2 y x και ανάλογα για τις δύο άλλες διατμητικές παραμορφώσεις, προκύπτει: γxz 1 w u ε xz = = + (1.24) 2 2 x z γ yz 1 w υ ε yz = = + (1.25) 2 2 y z Ο τανυστής των παραμορφώσεων είναι: εxx εxy = γxy / 2 εxz = γxz / 2 εij = εyx = γyx / 2 εyy εyz = γyz / 2 (1.26) εzx = γzx / 2 εzy = γzx / 2 εzz και για την επίπεδη κατάσταση είναι: εxx εxy = γxy / 2 εij = (1.27) εyx = γyx / 2 ε yy Οι τύποι στροφής για τις παραμορφώσεις είναι ανάλογοι των τύπων (1.12)-(1.14) των τάσεων, οι δε κύριες παραμορφώσεις υπολογίζονται ανάλογα όπως και οι τάσεις από τις σχέσεις (1.18) και (1.19). Στην επίπεδη κατάσταση οι κύριες παραμορφώσεις δίνονται από ανάλογες προς τις (1.16) και (1.17) σχέσεις των κυρίων τάσεων. 1.7 Ο Φυσικός Νόμος (Νόμος Hooke) Τα γραμμικά και ελαστικά υλικά, είναι τα υλικά στα οποία οι αναπτυσσόμενες παραμορφώσεις είναι ελαστικές και υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των τάσεων και των παρα-
Κεφάλαιο 1: Ελαστικότητα 21 μορφώσεων. Η γραμμικότητα μεταξύ των τάσεων και των αναπτυσσομένων υπό αυτών παραμορφώσεων εκφράζει τον γενικευμένο νόμο του Hooke. Για την περίπτωση ισότροπου και ομογενούς πολυκρυσταλλικού υλικού, οι σχέσεις τάσεων και παραμορφώσεων εκφράζονται με τις κάτωθι απλοποιημένες σχέσεις: 1 ε = xx σxx ν( σyy σzz ) E + 1 ε = yy σyy ν( σzz σxx ) E + 1 ε = zz σzz ν( σxx σyy ) E + (1.28) τxy τyz τzx E γxy =, γyz =, γzx =, G = G G G 21 ( + ν ) όπου Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού, ν είναι ο λόγος Poisson και G είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού. Από τις σχέσεις (1.28) προκύπτουν οι τάσεις: σ = E xx ( 1 ν) εxx ν( εyy εzz ) ( 1+ ν)( 1 2ν) + + σ = E yy ( 1 ν) εyy ν( εzz εxx ) ( 1+ ν)( 1 2ν) + + σ = E zz ( 1 ν) εzz ν( εxx εyy ) ( 1+ ν)( 1 2ν) + + (1.29) τ = G γ, τ = G γ, τ = Gγ xy xy yz yz xz xz 1.8 Επίπεδη Εντατική Κατάσταση Εάν οι τάσεις που ενεργούν επί ενός σώματος είναι παράλληλες προς ένα επίπεδο τότε τα προβλήματα της θεωρίας ελαστικότητας απλοποιούνται σημαντικά. Στις εφαρμογές του Μηχανικού τα παρουσιαζόμενα προβλήματα είναι επίπεδης μορφής, δηλαδή η διανομή των τάσεων είναι επίπεδη. Στην περίπτωση της λεπτής πλάκας που καταπονείται δια δυνάμεων που ενεργούν επί του συνόρου της παράλληλα προς το επίπεδο της πλάκας και ομοιόμορφα κατανεμημένες κατά το πάχος της και εάν υποτεθεί ότι το μέσο επίπεδο της συμπίπτει με το επίπεδο Oxy του θεωρουμένου συστήματος αξόνων Oxyz, τότε οι συνιστώσες των τάσεων σ zz, τ xz και τ yz είναι: σzz = τxz = τyz = 0 (1.30) και στις δύο επιφάνειες της πλάκας και χωρίς μεγάλο σφάλμα, καθ όλο το πάχος της.
22 Μηχανική των θραύσεων Η εντατική αυτή κατάσταση της λεπτής πλάκας καλείται επίπεδη εντατική κατάσταση (plane stress). Όταν το πάχος της πλάκας είναι πάρα πολύ μικρό, δηλαδή όταν η πλάκα γίνει λεπτή μεμβράνη, τότε επιτυγχάνεται ιδανική περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης. Είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι στην επίπεδη εντατική κατάσταση οι μη μηδενικές συνιστώσες των τάσεων σ xx, σ yy, και τ xy παραμένουν πρακτικώς σταθερές καθ όλο το πάχος της πλάκας. Οι σχέσεις μεταξύ των επιβαλλομένων τάσεων και των αντιστοίχων παραμορφώσεων για την περίπτωση της επίπεδης εντατικής κατάστασης προκύπτουν από τις σχέσεις (1.30) και (1.28): 1 ε = xx σxx νσyy E 1 ε = yy σyy νσxx E ν ε = zz σxx σyy E + (1.31) τxy γ xy =, γyz = γzx = 0 G ενώ από τις σχέσεις (1.29) προκύπτει: E σxx = ε νε 2 xx + yy 1 ν E σyy = ε νε 2 yy + xx 1 ν σ = zz 0, τ = G γ, τ = τ = 0 xy xy yz xz (1.32) 1.9 Επίπεδη Παραμορφωσιακή Κατάσταση Η περίπτωση όπου το πάχος του σώματος είναι πολύ μεγάλο αντιμετωπίζεται όπως και στην περίπτωση της επίπεδης εντατικής κατάστασης, δηλαδή η αναπτυσσόμενη παραμορφωσιακή κατάσταση στο υπό μελέτη σώμα είναι επίπεδη, εκ της οποίας και η ονομασία επίπεδη παραμορφωσιακή κατάσταση (plane strain). Επί πλέον υποτίθεται ότι οι παράμετροι της παραμόρφωσης δεν μεταβάλλονται κατά την διεύθυνση του άξονα των z, τότε οι μετατοπίσεις u και υ κατά τους άλλους άξονες είναι συναρτήσεις μόνον των x και y και η μετατόπιση w είναι ίση προς μηδέν. Δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: ε = ε (x,y), ε = ε (x,y), γ = γ (x,y) xx xx yy yy xy xy
Κεφάλαιο 1: Ελαστικότητα 23 υ w u w w γyz = + = 0, γxz = + = 0, ε zz = = 0 (1.33) z y z x z Από τις σχέσεις (1.33) και τις εξισώσεις (1.28) προκύπτουν οι εκφράσεις των παραμορφώσεων συναρτήσει των παραμέτρων της έντασης: 2 1 ν 1 ν ν ε = + ( 1 ν) σ νσ σ σ xx E xx yy = E xx 1 ν yy 2 1 ν 1 ν ν ε = + ( 1 ν) σ νσ σ σ yy E yy xx = E yy 1 ν xx ε = zz 0 (1.34) 2 τxy 1 ν ν γ xy = = 2 ( 1+ ) τxy, γyz = γzx = 0 G E 1 ν Ομοίως, από τις εξισώσεις (1.29) προκύπτουν: σ = E xx ( 1 ν) εxx νεyy ( 1+ ν)( 1 2ν) + σ = E yy ( 1 ν) εyy νεxx ( 1+ ν)( 1 2ν) + ν σ = E zz εxx εyy ( 1+ ν)( 1 2ν) + (1.35) τ = G γ, τ = τ = 0 xy xy yz xz Οι εξισώσεις (1.34) είναι ακριβώς ίδιες με τις εξισώσεις (1.31) της επίπεδης εντατικής κατάστασης εάν γίνει η αντικατάσταση των σταθερών Ε και ν με τις σταθερές Ε και ν : E ν E =, ν = (1.36) 2 1 ν 1 ν Εκ των ανωτέρω σχέσεων συνάγεται ότι η λύση προβλήματος επίπεδης παραμορφωσιακής κατάστασης περιορίζεται, όπως και στην περίπτωση του προβλήματος επίπεδης εντατικής κατάστασης, στον προσδιορισμό τριών μόνο συνιστωσών των τάσεων, δηλαδή των τάσεων σ xx, σ yy και τ xy. 1.10 Κάμψη Ορθή τάση αναπτύσσεται στο τμήμα της δοκού το οποίο καταπονείται μόνο από καμπτική ροπή, δηλαδή το τμήμα αυτό δέχεται καθαρή κάμψη. Η μέγιστη ορθή αυτή τάση δίνεται από την σχέση:
24 Μηχανική των θραύσεων σ xx M y h = (1.37) I 2 yy όπου M y είναι η καμπτική ροπή με την οποία φορτίζεται η δοκός, h είναι το ύψος της διατομής της δοκού και I yy είναι η ροπή αδράνειας της διατομής της δοκού. Η ροπή α- δράνειας για ορθογωνική διατομή b h δίνεται από την σχέση: 3 bh I yy = (1.38) 12 1.11 Στρέψη Κυλινδρική άτρακτος, με ακτίνα της κυκλικής διατομής της R, δέχεται στρεπτική ροπή M x. Η μέγιστη διατμητική τάση η οποία αναπτύσσεται στην διατομή και στην επιφάνεια της ατράκτου δίνεται από την σχέση: M x τmax = R (1.39) I p και η γωνία στροφής φ της διατομής δίνεται από την σχέση: M x φ = L (1.40) GI p όπου L είναι το μήκος της ατράκτου, G είναι το μέτρο διάτμησης του υλικού της ατράκτου και I p είναι η πολική ροπή αδράνειας της διατομής της ατράκτου η οποία δίνεται από την σχέση: 4 πr I p = (1.41) 2
2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Κριτήρια Αστοχίας 2.1 Γενικά Μηχανικά στοιχεία κατασκευών είναι δυνατόν να υπόκεινται σε φορτίσεις όπως εφελκυσμό, θλίψη, κάμψη, στρέψη ή σε συνδυασμό αυτών. Αποτέλεσμα των φορτίσεων αυτών είναι η διαρροή ή η θραύση των υλικών των στοιχείων της κατασκευής. Για την ασφαλή χρήση των υλικών στις κατασκευές έχουν αναπτυχθεί διάφορα κριτήρια αστοχίας σε διαρροή ή κριτήρια αστοχίας σε θραύση. Τα υλικά είναι δυνατόν να αστοχήσουν είτε σε διαρροή είτε σε θραύση ανάλογα με τις μηχανικές τους σταθερές, τις καταστάσεις των τάσεων και το είδος του υλικού, π.χ. όλκιμα υλικά, ψαθυρά υλικά, απολύτως πλαστικά υλικά. Σε στοιχείο ιδανικού όλκιμου, απολύτως πλαστικού υλικού η εντατική κατάσταση περιγράφεται από τις ακόλουθες περιπτώσεις συνδυασμού των τάσεων: α) Μοναξονικός εφελκυσμός, Σχ. 2.1(α). Η τάση, σύμφωνα με τον νόμο Hooke, είναι: σxx = Eεxx (2.1) Από την καμπύλη Hooke προκύπτει το μέτρο ελαστικότητας E του υλικού καθώς και η τάση που απαιτείται για διαρροή είναι σ = xx σ0, όπως φαίνεται στο Σχ.2.1(β). β) Διαξονικός εφελκυσμός, Σχ. 2.2(α). Οι τάσεις, σύμφωνα με τον νόμο Hooke, είναι: σxx = σyy εxx = εyy (2.2) σxx = E ε νε E 2 2[ ε νε ] E ε 2 ( 1 ν) E xx yy xx xx xx ε xx 1 ν + = + = + = (2.3) 1 ν 1 ν 1 ν