ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΗΜ & Διάδοση ΗΜ Κυμάτων Ενότητα : Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα Σαββαΐδης Στυλιανός Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Κυματική Εξίσωση σε χώρο χωρίς πηγές και απώλειες-το Επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης Κυματική Εξίσωση σε χώρο με πηγές και απώλειες-το Επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης Νόμος Διατήρησης της Ενέργειας και Διάνυσμα Poynting 4
Περιεχόμενα ενότητας-/ Εξισώσεις Maxwell απουσία Πηγών & Απωλειών (σ) Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ) Το Επίπεδο Κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης Εξισώσεις Maxwell σε χώρο με Πηγές & Απωλειών (σ ) Κυμ. Εξίσωση σε χώρο με Πηγές & Απώλειες (σ ) Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ ) Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης Εφαρμογή: Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης Βάθος Διείσδυσης Άσκηση: Υπολογισμοί Βάθους Διείσδυσης 5
Περιεχόμενα ενότητας-/ Πόλωση Πεδίου Νόμος Διατήρησης Ενέργειας Διάνυσμα Poynting Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος Μέσο Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Διπολικής Κεραίας Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας 6
Κυματική Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ Κύμα
Εξισώσεις Maxwell απουσία Πηγών & Απωλειών (σ) Οι σημειακές εξισώσεις Maxwell για αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΜ πεδία σε ένα χώρο (ε,μ), χωρίς πηγές και απώλειες, εκφράζονται ως εξής: H + jωµη H jωεε Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της προαναφερόμενης υπόθεσης εργασίας είναι το ΗΜ πεδίο που ακτινοβολεί μια κεραία στον ελεύθερο χώρο. 8
Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ)-/ Με αφετηρία τις σημειακές εξισώσεις Maxwell προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: Ν. Faraday: + jωµη + N. Ampere - Maxwell: Η jωεε + ( ) Ε + ω εµε ή εµ t jωµ Η Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι μια παρόμοια εξίσωση ισχύει και για το μαγνητικό πεδίο: H H + ω εµ H ή H εµ t 9
Κυμ. Εξίσωση σε χώρο χωρίς Πηγές & Απώλειες (σ)-/ Οι προαναφερόμενες διαφορικές εξισώσεις ου βαθμού* για το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο είναι οι λεγόμενες κυματικές εξισώσεις: * Για παράδειγμα ο Λαπλασιανός τελεστής στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζεται ως εξής: + t ή Ε εµ εµε ω + t H H ή H H εµ εµ ω z y x + +
Το Επίπεδο Κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης-/ Μια απλή λύση της κυματικής εξίσωσης είναι η ακόλουθη: ( ) jkz ( z, t) t kz x ή z e cos ω ˆ Ε ( ) Η προαναφερόμενη λύση της κυματικής εξίσωσης ονομάζεται Επίπεδο Κύμα και αναπαριστά ένα κύμα το οποίο διαδίδεται στην θετική διεύθυνση του άξονα z και έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: δεν έχει διαμήκη συνιστώσα (δηλ. για το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν έχει συνιστώσα κατά τον άξονα διάδοσης z) η έκφραση του είναι ανεξάρτητη των εγκάρσιων συντεταγμένων (δηλ. για το συγκεκριμένο παράδειγμα δεν εξαρτάται από τις συντεταγμένες x,y)
Το επίπεδο κύμα ως λύση της Κυματικής Εξίσωσης-/ Με την αντικατάσταση της έκφρασης του Επιπέδου Κύματος στην Κυματική Εξίσωση προκύπτει η εξής σχέση: + ω εµ Ε k e jkz zˆ + ω εµ e jkz zˆ ω εµ k k c/(εμ) / είναι η ταχ. διάδοσης του κύματος στο χώρο (ε,μ) ω c λ είναι το λεγόμενο μήκος κύματος (χωροταξική περίοδος του ΗΜ κύματος) k είναι η σταθερά διάδοσης του κύματος, γνωστή και ως κυματικός αριθμός Συνοψίζοντας το Επίπεδο Κύμα είναι ένα κύμα το οποίο παρουσιάζει σταθερή φάση σε επίπεδα εγκάρσια προς τη διάδοση ενώ μεταβάλλεται η φάση του κατά μήκος της διάδοσης. ω k c πf c π λ
Εξισώσεις Maxwell σε χώρο με Πηγές & Απωλειών (σ ) Οι σημειακές εξισώσεις Maxwell για αρμονικά χρονικά μεταβαλλόμενα ΗΜ πεδία σε ένα χώρο (ε,μ), χωρίς πηγές και απώλειες, εκφράζονται ως εξής: ρ f H + jωµη H + jωεε J Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα της προαναφερόμενης υπόθεσης εργασίας είναι το ΗΜ πεδίο που διαδίδεται μέσω ενός αγώγιμου υλικού a 3
Κυμ. Εξίσωση σε χώρο με Πηγές & Απώλειες (σ ) Με αφετηρία τις σημειακές εξισώσεις Maxwell προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: Ν. Faraday: + jωµ Η + jωµ Η N. Ampere- Maxwell: Η J a + jωεε + ( ) ρ f + ω εµ Ε + ε jωµ J a ρ f + ε jωµσε + ω εµ Ε ρ f Ε Ε jωµσε ή εµ µσ ε t t ρ f ε Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι μια παρόμοια εξίσωση ισχύει και για το μαγνητικό πεδίο: H H H + ω εµ H jωµση ή H εµ µσ t t 4
Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ )-/ Έστω ένα επίπεδο Η/Μ κύμα διαδιδόμενο στη θετική διεύθυνση του άξονα των -z- μέσα σε ομογενές, γραμμικό, ισότροπο και στάσιμο μέσο με σταθερές σ, ε, και μ. Εξετάστε τα χαρακτηριστικά της διάδοσης ενός Επίπεδου Κύματος στο χώρο αυτό. Με την αντικατάσταση της έκφρασης του Επίπεδου Κύματος στην Κυματική Εξίσωση προκύπτει η εξής σχέση: ω + ω εµε jωµσ εµ jωµσ k ρ f ε k ω [ ρ ] f εµ k e σ j k k ωε jkz real zˆ + ω jk εµ imag e jkz zˆ jωµσ e jkz zˆ Συνοψίζοντας όταν το Επίπεδο Κύμα διαδίδεται μέσω ενός αγώγιμου μέσου φθίνει με εκθετικό ρυθμό [exp(-k imag )] κατά μήκος της διάδοσης 5
Εφαρμογή: Διάδοση σε Υλικό με Απώλειες (σ )-/ Για τον υπολογισμό του kk real -jk imag πρέπει να λυθεί η ακόλουθη εξίσωση: Η λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων που τελικά προέκυψαν δίνει το ακόλουθο αποτέλεσμα: 6 ( ) σ ωε που µ ε ωε σ εµ ω µ ε µ µ ε ε ω εµ ω ωε σ εµ ω ωε σ εµ ω Q ό Q k k k k k k j k k k k j jk k k r r imag real r r r r imag real imag real imag real imag real, ) ( ) ( + + + Q k k Q k k r r imag r r real µ ε µ ε
Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης Ορίζουμε το μέγεθος Q ως εξής: Πυκνότητα ρεύµατος µετατόπισης Q Συντελεστής Ποιότητας Πυκνότητα ρεύµατος αγωγιµ ότητας ( ε) Q t σε iωε σ ωε σ Ο συντελεστής ποιότητας Q εκφράζει κατά πόσο ένα μέσο όπου διαδίδεται ένα ΗΜ κύμα είναι καλός μονωτής ή όχι Τυπικά ένα μέσο θεωρείται μονωτής όταν Q, και αγωγός όταν Q <. 7
Εφαρμογή: Συντελεστής Ποιότητας Μέσου Διάδοσης Ο χαλκός είναι καλός αγωγός για την περίπτωση των συνεχών και εναλλασσόμενων ρευμάτων συχνότητας 6 Hz. Εξετάστε από ποια συχνότητα και πάνω ο χαλκός αρχίζει να συμπεριφέρεται ως μονωτής. (σ cu 5.8 7 mhω/m, ε8.85 - F/m) ωε Q σ πf 8,85 5,8 7 f 5,8 3,4 8,85 7 Hz 8
Βάθος Διείσδυσης Όταν το κύμα διανύσει απόσταση /k imag τότε το πλάτος του θα ελαττωθεί στο /e της αρχικής του τιμής. H συγκεκριμένη αυτή απόσταση, όπου το πλάτος του κύματος εξασθενεί κατά /e, την ονομάζουμε βάθος διείσδυσης και τη συμβολίζουμε με το γράμμα δ: δ βάθος διείσδυσης k i Ουσιαστικά το βάθος διείσδυσης ενός υλικού αποτελεί μία ένδειξη για τη δυνατότητα του ΗΜ πεδίου να διεισδύσει στο εσωτερικό του υλικού. 9
Άσκηση: Υπολογισμοί Βάθους Διείσδυσης Ένα ΗΜ κύμα με πλάτος ηλεκτρικού πεδίου διέρχεται από υλικό με βάθος διείσδυσης δcm. Πόσο θα είναι το πλάτος του ηλεκτρικού πεδίου όταν το κύμα θα έχει διανύσει L4cm εντός του υλικού; / L /δ O e V / m,366v / m e4
Πόλωση Πεδίου-/3 Έστω ένα κύμα που οδεύει στον άξονα z, έχοντας δύο συνιστώσες x και y: ημ( ωt kz ), ημ( ωt Το συνολικό στιγμιαίο διάνυσμα, δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Για z οι προηγούμενες εκφράσεις τροποποιούνται ως εξής: x ηµωt ηµ ( ωt + δ ) Ε [ ηµ ( ωt) συνδ + συν ( ω ) ηµδ ] Απαλείφοντας τα ημωt και συνωt προκύπτει: Το y γράφεται ως εξής: x y kz+ δ ) xˆ ημ( ωt kz ) + ŷ ημ( ωt kz+ δ ), y t x ημω t, συνωt - y x x συνδ+ ημδ Ε x
Πόλωση Πεδίου-/3 Υψώνοντας την έκφραση για το Εy στο τετράγωνο και αναδιατάσσοντας τους όρους της εξίσωσης προκύπτει η ακόλουθη έκφραση: x x yσυνδ Ε y + ημ δ aε + x bx y c y ΕΕ Η εξίσωση περιγράφει μια έλλειψη με κλίση, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 4 4 OA + + + + συν δ ( ) y 4 4 OΒ + + + συν δ τ εφ Ε Ε Ε Ε συν ( δ) ( ) z y Β τ Α x x Σχήμα.6. Ελλειπτικά Πολωμένο Κύμα.
Πόλωση Πεδίου-3/3 Γραμμική Πόλωση (Ε ή Ε η δ, ±π) Κυκλική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη όταν Ε Ε & δ ±π/ ) Ελλεπτική Πόλωση (Αριστερόστροφη ή Δεξιόστροφη) (α) (β) (γ) Σχήμα.7. (α) Γραμμική (β) Κυκλική και (γ) ελλειπτική πόλωση 3
Νόμος Διατήρησης Ενέργειας Ο Ν. Διατήρησης της Ενέργειας στο εσωτερικό μιας κλειστής επιφάνειας μπορεί να διατυπωθεί μαθηματικά ως εξής: d Pem + [ Wem, εσ ] Pµετ dt P em είναι η εξερχόμενη ισχύς από την κλειστή επιφάνεια W em,εσ είναι η αποθηκευμένη ΗΜ ενέργεια στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας και η παράγωγος αντιστοιχεί στο ρυθμό μεταβολής της P μετ είναι η ισχύς στο εσωτερικό της κλειστής επιφάνειας, η οποία μετατρέπεται σε ΗΜ μορφή ds Wem, εσ wemdv S P em SdS Γεωμετρικοί Ορισμοί σχετικά με το Ν. Διατήρησης Ενέργειας 4
Διάνυσμα Poynting Η εξερχόμενη από την κλειστή επιφάνεια ΗΜ ισχύς (P em ) δίνεται από τη σχέση: P em SdS S S ( H ) ds (Watt) S είναι το λεγόμενο διάνυσμα Poynting του οποίου το μέτρο αντιστοιχεί στην πυκνότητα ροής της ΗΜ ισχύος η διεύθυνση του στην κατεύθυνση διάδοσης της ΗΜ ισχύος 5
Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια-/ Η χωρική πυκνότητα w e της ηλεκτρικής ενέργειας στη γενική περίπτωση είναι: D we dd Για ισοτροπικά υλικά ισχύει: Για γραμμικά υλικά ισχύει: Για γραμμικά και ισοτροπικά υλικά ισχύει: w e D dd w e D ε D w e D ε 6
Αποθηκευμένη ΗΜ Ενέργεια-/ Η χωρική πυκνότητα w m της μαγνητικής ενέργειας στη γενική περίπτωση είναι: B we H db Για ισοτροπικά υλικά ισχύει: Για γραμμικά υλικά ισχύει: Για γραμμικά και ισοτροπικά υλικά ισχύει: w e w e B H db HB µ H B w e HB µ 7
Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος Έστω ένα επίπεδο αρμονικά κύμα με: x ˆ Oσυν ( ωt kz) H yh ˆ Oσυν ( ωt kz) Το διάνυσμα Poynting για το επίπεδο κύμα είναι: S H συν ( ωt kz) H συν ( ωt kz) xˆ yˆ O O t kz kˆ ε O συν ( ω ) ΕOσυν ( t kz) zˆ Ζ µ ω ε ΕO + συν ( ωt kz) zˆ µ O Όπου z είναι η κυματική αντίσταση του χώρου διάδοσης: Z H o o µ ε 8
Μέσο Διάνυσμα Poynting Επιπέδου Κύματος Εφόσον ενδιαφερόμαστε για την μέση τιμή του ανύσματος του Pοynting, με την ολοκλήρωση σε μία περίοδο της χρονικά αρμονικής μεταβολής προκύπτει η ακόλουθη σχέση: S T zˆ T ε ΕO + συν ( ω t kz) dt µ S ε Ε z O µ ˆ zˆ H ΖΗ Ε zˆ O O µ Z ε Εφόσον οι εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου εκφράζονται από τις μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις, η μέση τιμή της πυκνότητας της ακτινοβολούμενης ισχύος παρέχεται από τη σχέση: O zˆ S [ ] Re H 9
Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Διπολικής Κεραίας Έστω διπολική κεραία μήκους d, η οποία τροφοδοτείται με ρεύμα της ακόλουθης μορφής: I( t) Irms sin( ωt) και ακτινοβολεί ΗΜ πεδίο με τις ακόλουθες συνιστώσες: kdi sinθ ΖΗ φ, Η φ rms sin( ωt kr φ) π r θ + Να υπολογιστεί η μέση ακτινοβολούμενη ισχύς της κεραίας 3
Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας-/ Η μέση ακτινοβολούμενη ισχύς της κεραίας μπορεί να υπολογιστεί με την ολοκλήρωση του μέσου διανύσματος Poynting σε μία κλειστή σφαιρική επιφάνεια ακτίνας r: P av π π ΖΗ φ S dsrˆ Sr ds r sinθdθdφ Pav S S 5( kd) I π rms sin 3 θdθ Όπου Zπ και π sin π π 3 θ 3 θ d d θ θ sin θ ( cosθ ) ( cos θ ) d( cosθ ) cosθ cos 3 θ π 4 3 3
Εφαρμογή: Μέσο Διάνυσμα Poynting Κεραίας-/ Με την αντικατάσταση του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτει η τελική έκφραση για τη μέση ακτινοβολούμενης ισχύος: P av ( kd) I rms Ενώ για τη μέση πυκνότητα ακτινοβολούμενης ισχύος ισχύει η ακόλουθη έκφραση: ZH 5 sin S H ˆ ˆ φ rˆ ( kd) θ θ θ Η φφ Ι rms rˆ π r 3
Τέλος Ενότητας Κυμ. Εξίσωση & Επίπεδο ΗΜ κύμα