ΣΤ)""Τριγωνομετρία. Ι. Πίνακας βασικών τριγωνοµετρικών γωνιών. Γωνία Τριγωνοµετρικός αριθµός o ή rad o ή 6 rad 45 ο ή 4 rad 6 ο ή rad 9 ο ή rad ημ (ημίτονο) συν (συνημίτονο) εφ (εφατομένη) +εν ορ-ζεται σφ (συνεφατομένη) +εν ορ-ζεται ΙΙ. Τύοι της Τριγωνοµετρίας.. ηµ x + συν x. Αό τον τύο αυτόν ροκύτουν και οι εξής: α) ηµ x συν x συν x ηµ x. β) συν x ηµ x ηµ x συν x.. εϕx ηµx συνx.. σϕx συνx ηµx. 4. εϕx σϕx. Αό τον τύο αυτόν ροκύτουν και οι εξής: α) εϕx σϕx 5. Ισχύουν:. β) σϕx εϕx. α) ηµx, για κάθε x! (ή, ισοδύναμα, ηµx, για κάθε x! ). β) συνx, για κάθε x! (ή, ισοδύναμα, συνx, για κάθε x! ). 6. ηµ( x) ηµx. 7. συν( x) συνx. 8. συν( x) συνx. - 8 -
9. ηµ x συνx.. συν x ηµx. ΙΙΙ. Τριγωνοµετρικές εξισώσεις.. ηµx ηµθ x κ + θ ή x κ + θ, κ!.. συνx συνθ x κ ± θ, κ!.. εϕx εϕθ x κ + θ, κ!. 4. σϕx σϕθ x κ + θ, κ!. 5. Ιδιαίτερες τριγωνομετρικές εξισώσεις. α) ηµx x κ, κ!. β) ηµx x κ, κ!. γ) ηµx x κ +, κ!. δ) συνx x κ +, κ!. ε) συνx x κ +, κ!. στ) συνx x κ, κ!. Ζ)""Πολυώνυμα. Ι. Ρίζα ενός ολυωνύµου. Έστω P(x) ένα ολυώνυμο του x και x!. Ισχύει: x ρίζα του Ρ(x) Ρ(x ). Βασική ρόταση! x x αράγοντας του P(x) x ρίζα του P(x) Ρ(x ). ΙΙ. Σχήµα του Horner. Το σχήμα του Horner είναι ένα χρήσιμο εργαλείο στα ολυώνυμα, το οοίο χρησιμεύει, συνήθως, στην είλυση ολυωνυμικών εξισώσεων και ανισώσεων, δίνει όμως και άλλες ληροφορίες. Το σχήμα του Horner χρησιμοοιείται όταν: α) θέλεις να εξετάσεις αν ένας αριθμός είναι ή όχι, ρίζα ενός ολυωνύμου, δηλαδή αν το μηδενίζει ή όχι. Εκτελώντας το σχήμα του Horner: αν ο τελευταίος αριθμός στο σχήμα είναι μηδέν, τότε ο αριθμός με τον οοίο - 9 -
εκτέλεσες το σχήμα είναι ρίζα του ολυωνύμου. αν ο τελευταίος αριθμός στο σχήμα δεν είναι μηδέν, τότε ο αριθμός με τον οοίο εκτέλεσες το σχήμα δεν είναι ρίζα του ολυωνύμου. β) θέλεις να βρεις την αριθμητική τιμή ενός ολυωνύμου, χωρίς να καταφύγεις στην κλασσική μέθοδο της αντικατάστασης του αριθμού στο ίδιο το ολυώνυμο. Συχνά, ο τρόος αυτός αοδεικνύεται γρηγορότερος αό την κλασσική αντικατάσταση. γ) θέλεις να αραγοντοοιήσεις ένα ολυώνυμο. Τότε: αν ο τελευταίος αριθμός στο σχήμα είναι μηδέν, το ολυώνυμο αραγοντοοιείται με την βοήθεια του αριθμού ου χρησιμοοίησες στο σχήμα. αν ο τελευταίος αριθμός στο σχήμα δεν είναι μηδέν, το ολυώνυμο δεν αραγοντοοιείται με την βοήθεια του αριθμού ου χρησιμοοίησες στο σχήμα, οότε θα ρέει να δοκιμάσεις κάοιον άλλο αριθμό (ή, ίσως, άλλη μέθοδο αραγοντοοίησης). Η)""Εκθετική"συνάρτηση."Λογάριθμοι.. Είναι e x >, για κάθε x!.. e x e y x y.. e x <e y x < y. Όμοια και γι' άλλες ανισότητες. 4. e. 5. lne. 6. ln. 7. Για να ορίζεται ο lnx, θέτουμε τον εριορισμό να είναι x >. 8. ln(xy) lnx + lny. 9. ln x y lnx lny.. lnx κ κ lnx.. lne x x.. e lnx x.. lnx lny x y. 4. lnx < lny x < y. Όμοια και γι' άλλες ανισότητες. - -
ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Ερωτήσεις - ααντήσεις σε βασικά θέματα Άλγεβρας - -
.""Πώς"θ'"αντιμετωίσω"αριθμητικές"αραστάσεις, ου"έχουν"τετραγωνικές"ρίζες; Το σύνηθες ρόβλημα εμφανίζεται σε κλάσματα και ειδικά στον αρονομαστή, οότε: α) όταν στον αρονομαστή έχεις μια τετραγωνική ρίζα, με ή χωρίς συντελεστή, τότε ολλαλασίασε τον αριθμητή και τον αρονομαστή με την τετραγωνική ρίζα. Παράδειγμα.. Παράδειγμα. 5 5 5 5 5 5 5 5. β) όταν στον αρονομαστή έχεις μια τετραγωνική ρίζα, ου ροστίθεται ή αφαιρείται με κάοιον άλλον αριθμό ή άλλη τετραγωνική ρίζα, τότε ολλαλασίασε τον αριθμητή και τον αρονομαστή με την συζυγή αράσταση του αρονομαστή. Δηλαδή, αν στον αρονομαστή έχεις την αράσταση: α + β, τότε η συζυγής αράσταση είναι η α β. α β, τότε η συζυγής αράσταση είναι η α + β. Παράδειγμα. ( ) + ( +) ( ). Παράδειγμα. ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 6 + 9 6 + 7. Παράδειγμα. + ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Παράδειγμα 4. ( +) ( ) ( +) + + + ( ) 4 + 8 +. 7 - -
Είσης, όταν κάτω αό την ρίζα υάρχει αριθμός ου δεν είναι τέλειο τετράγωνο, για αράδειγμα 8,, κ.τ.ό, τότε κάνε τα εξής: α) «σάσε» τον αριθμό ου έχεις κάτω αό την ρίζα σε γινόμενο δύο αριθμών, εκ των οοίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο (αν αυτό δεν γίνεται, τότε η ρίζα δεν αλοοιείται). β) βγάλε έξω αό την ρίζα τον αριθμό ου είναι στην βάση του τετραγώνου ου έγραψες. Παράδειγμα. 8 4. Παράδειγμα. 4. Παράδειγμα. 6 4 4. Παράδειγμα 4. 48 6 4 4. Παράδειγμα 5. 7 6 6 6..""Πώς"θα"λύσω"μια"εξίσωση"ρώτου"βαθμού; Βασικό! Το να έχεις τον άγνωστο x με εκθέτη εξ αρχής στην εξίσωση, δεν είναι σίγουρο ότι θα δώσει εξίσωση ρώτου βαθμού! Γι' αυτό, αν ααιτείται η εκτέλεση κάοιων ράξεων (ου, σχεδόν άντα, ααιτείται), τότε ρώτα εκτελείς όλες τις ααιτούμενες ράξεις και μετά κρίνεις το είδος της τελικής εξίσωσης. Αν η τελική εξίσωση έχει τον άγνωστο x με εκθέτη, τότε ράγματι έχεις εξίσωση ρώτου βαθμού, οότε στην εξίσωση αυτή θα κρατήσεις στο αριστερό μέλος τον άγνωστο x (με τον συντελεστή ου ενδεχομένως έχει) και στο δεξιό μέλος θα μεταφέρεις τον γνωστό σου αριθμό. Διαιρώντας τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου, αίρνεις την λύση της εξίσωσης. Αν η εξίσωση έχει κλάσματα και: α) στους αρονομαστές έχει μόνο αριθμούς, τότε ρώτα κάνε ααλοιφή των αρονομαστών και μετά εκτέλεσε τις ααραίτητες ράξεις, ώστε να δεις τι εξίσωση έχεις. Aαλείφοντας τους αρονομαστές, μην ξεχνάς ότι ολλαλασιάζεται κάθε όρος της εξίσωσης μ' αυτό! β) στους αρονομαστές έχει (και) αραστάσεις του x, τότε ρώτα βάλε εριορισμούς κάθε αρονομαστής να είναι διάφορος του μηδενός και μετά κάνε ααλοιφή των αρονομαστών. - -