ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΠΟΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΡΜΟΝΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Κωνσταντίνου Γ Επταήμερου Επιβλέπων: Λαμπροπούλου Σοφία Αν Καθηγήτρια ΕΜΠ Αθήνα, Οκτώβριος 6

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΠΟΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΑΡΜΟΝΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Κωνσταντίνου Γ Επταήμερου Επιβλέπων: Λαμπροπούλου Σοφία Αν Καθηγήτρια ΕΜΠ Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 3 η Οκτωβρίου 6 Λαμπροπούλου Σοφία Τσαμασφύρος Γ Κοκκίνης Β Αν Καθηγήτρια ΕΜΠ Καθηγητής ΕΜΠ Επ Καθηγητής ΕΜΠ Αθήνα, Οκτώβριος 6

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Σε αυτήν την ενότητα, θα ήθελα να ευχαριστήσω πολύ την κυρία Λαμπροπούλου Σοφία, Αν Καθηγήτρια του Τομέα Μαθηματικών της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου που δέχτηκε να με επιβλέψει Επίσης, θα ήθελα να την ευχαριστήσω για την μεγάλη βοήθεια της, για τον αμέτρητο χρόνο που αφιέρωσε για τη μελέτη από κοινού στο γραφείο της με σκοπό την καλύτερη κατανόηση, αλλά και τη διευκρίνιση αποριών και ερωτήσεων οι οποίες προέκυπταν συνεχώς και για το συνεχές ενδιαφέρον σχετικά με την πρόοδο και την πραγματοποίηση αυτής της διπλωματικής εργασίας Έπειτα, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κύριο Γεωργούλη Μανώλη, Λέκτορα του Τομέα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου του Λέστερ που δέχτηκε να συνεπιβλέψει την εργασία αυτή Επίσης, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για τον αμέτρητο χρόνο που αφιέρωνε στις συναντήσεις μας, ακόμα και κατά τη διάρκεια της περιόδου των διακοπών στην Ελλάδα, με σκοπό τη διευκρίνιση ερωτημάτων που προέκυπταν και συζητήσεων που αφορούσαν τις εφαρμογές των Πεπερασμένων Στοιχείων, για τις πολύτιμες πληροφορίες του σχετικά με τα συγγράμματα που έπρεπε να μελετήσω για την απόκτηση γνώσης και κατανόησης των Πεπερασμένων Στοιχείων Επιπλέον, θα ήθελα να τον ευχαριστήσω για την επιλογή του προβλήματος και των μεθόδων που περιλαμβάνονται στα κεφάλαια 5 και 6 αυτής της διπλωματικής εργασίας Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τους δύο για τις επιμελείς διορθώσεις τους και παρατηρήσεις τους, ώστε αυτή η διπλωματική εργασία να έχει το καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα και θα ευελπιστώ σε μία μελλοντική συνεργασία i

ii

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις οι οποίες προκύπτουν στη Μαθηματική Μοντελοποίηση πολλών φυσικών, χημικών, βιολογικών φαινομένων και σε ποικίλες θεματικές περιοχές όπως η Δυναμική των Ρευστών, ο Ηλεκτρομαγνητισμός, η Επιστήμη των Υλικών, η Αστροφυσική, η Οικονομία, η Οικονομική Μοντελοποίηση κτλ Επειδή πολύ συχνά οι εξισώσεις υπό εξέταση είναι τόσο περίπλοκες, ώστε για να βρούμε τη λύση τους σε κλειστή μορφή ή με καθαρά αναλυτικά μέσα (πχ με μεθόδους μετασχηματισμών Laplac ή Fourir ή με τη μορφή δυναμοσειράς) είναι είτε αδύνατο είτε ανέφικτο, κανείς πρέπει να αναζητήσει αριθμητική προσέγγιση της άγνωστης αναλυτικής λύσης Έτσι αναπτύχθηκαν οι Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων (βλέπε [7], [3], [], ], [8], [7], []), μία ιδιαίτερη κατηγορία αριθμητικών τεχνικών για να προσεγγίζουμε τη λύση των μερικών διαφορικών εξισώσεων Κατά τη διάρκεια των τελευταίων δεκαετιών, οι Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων έχουν γίνει ευρέως αποδεκτές ως ένα από τα πιο ισχυρά εργαλεία για την αριθμητική προσέγγιση των λύσεων των μερικών διαφορικών εξισώσεων Η επιτυχία των Μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων οφείλεται όχι μόνο στο γεγονός ότι έχουν την ικανότητα να σχετίζονται με περίπλοκες γεωμετρίες του χωρίου και μη δομημένες υποδιαιρέσεις, αλλά στην ισχυρή μαθηματική θεωρία, η οποία έχει αναπτυχθεί για την ανάλυση των αποδόσεων τους Για την αριθμητική επίλυση ενός περίπλοκου προβλήματος, όπως για παράδειγμα το συνοριακό πρόβλημα τιμών για τη διαρμονική εξίσωση, έχουν προταθεί ποικίλες Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων (βλέπε [7], [7] και Διαδίκτυο) Για παράδειγμα οι Προσαρμοσμένες (Coformig) Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων, οι οποίες απαιτούν η προσεγγιστική λύση να βρίσκεται σε έναν πεπερασμένης διάστασης υπόχωρο του χώρου Sobolv H ( Ω ) Αυτό επιβάλλει τη χρήση C πεπερασμένων στοιχείων (Hrmit, Argyris), δηλαδή οι συναρτήσεις βάσης του χώρου πεπερασμένων στοιχείων μαζί με τις πρώτες παραγώγους χρειάζεται να είναι συνεχείς στο κλειστό χωρίο Ω Επειδή η κατασκευή τέτοιων χώρων πεπερασμένων στοιχείων είναι αρκετά δύσκολη όταν έχουμε πολύπλοκη γεωμετρία του χωρίου Ω, τα H ( Ω) - προσαρμοσμένα (coformig) πεπερασμένα στοιχεία σπάνια χρησιμοποιούνται σε πρακτικούς υπολογισμούς Ένας τρόπος για να αποφύγουμε τις απαιτήσεις (κανονικότητας) είναι να χρησιμοποιήσουμε Μη Προσαρμοσμένες (No Coformig) Μεθόδους Αυτές στηρίζονται σε βάση πεπερασμένων στοιχείων συνεχών συναρτήσεων, η οποία δεν ανήκει στο H ( Ω) (και συνεπώς αυτές οι συναρτήσεις δε συμπεριλαμβάνονται ούτε στο C ( Ω )) Άλλες προσεγγίσεις που αποφεύγουν τη χρήση C πεπερασμένων στοιχείων περιλαμβάνουν τις Μικτές Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων Ωστόσο, αυτές οι Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων διπλασιάζουν τους βαθμούς ελευθερίας, διότι για να βρούμε την αριθμητική λύση του διαρμονικού προβλήματος πρέπει να λύσουμε το σύστημα Δ u = f iii

Δ u = g Δ g = f Επιπρόσθετα, μία άλλη κατηγορία μεθόδων για την αριθμητική επίλυση του συνοριακού προβλήματος τιμών για τη διαρμονική εξίσωση είναι οι Εσωτερικής Ποινής Ασυνεχείς Galrki Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων της p - Εκδοχής ( p - Vrsio Itrior Palty Discotiuous Galrki Fiit Elmt Mtods) που περιγράφονται στο [7] Πριν από αυτό, αξίζει να αναφέρουμε τις έννοιες της p και της Μεθόδου Εσωτερικής Ποινής (Itrior Palty) Η έννοια της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων της p - Εκδοχής εισήχθηκε από τον Babuska τη δεκαετία του 8, αυτή επιτρέπει την τοπική μεταβολή και του μεγέθους των στοιχείων (υποδιαιρώντας αυτά που ήδη υπάρχουν) και του βαθμού των πολυωνυμικών συναρτήσεων βάσης πάνω σε κάθε στοιχείο Η Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Εσωτερικής Ποινής χρησιμοποιεί κλασικούς συνεχείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων με ποινικοποίηση των ασυνεχειών των παραγώγων στις κοινές έδρες των στοιχείων Τώρα, οι Εσωτερικής Ποινής Ασυνεχείς Μέθοδοι Galrki Πεπερασμένων Στοιχείων της p - Εκδοχής ( p - Vrsio Itrior Palty Discotiuous Galrki Fiit Elmt Mtods) για τη διαρμονική εξίσωση, που περιλαμβάνουν όρους εσωτερικής ποινής (itrior palty) για να ποινικοποιήσουν τα άλματα κατά μήκος των κοινών εδρών των στοιχείων (στην αριθμητική επίλυση), εμφανίζονται να έχουν πλεονέκτημα συγκρινόμενες με τις Προσαρμοσμένες Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (Coformig Fiit Elmt Mtods), επειδή μπορούν να χρησιμοποιήσουν διαφορετικούς πολυωνυμικούς βαθμούς πάνω σε κάθε στοιχείο χωρίς να ενδιαφέρονται για τις απαιτήσεις της συνέχειας εντός του πλέγματος Αντιθέτως, η παραπάνω μέθοδος των Suli- Mozolvski που αναπτύσσεται στο [7] για τη διαρμονική εξίσωση μειονεκτεί, γιατί έχει πολλούς βαθμούς ελευθερίας Οι Συνεχείς Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Εσωτερικής Ποινής της p - Εκδοχής για τη διαρμονική εξίσωση χρησιμοποιώντας μη προσαρμοσμένα (o coformig) στοιχεία, που αναπτύσσονται στο κεφάλαιο 5 αυτής της διπλωματικής εργασίας, είναι ασθενώς C (λόγω της εσωτερικής ποινής) και ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας δε μεταβάλλεται, δηλαδή παραμένει σταθερός Επίσης, οι Συνεχείς Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Εσωτερικής Ποινής της p - Εκδοχής είναι συγκρίσιμες με τις μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω για τη διαρμονική εξίσωση, όταν έχουμε χαμηλό βαθμό πολυωνύμων και είναι καλύτερες από τις μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω για τη διαρμονική εξίσωση, όταν έχουμε υψηλό βαθμό πολυωνύμων Τέλος, αξίζει να αναφέρουμε ότι το διαρμονικό πρόβλημα διατυπώθηκε το 9 ο αιώνα όταν έγιναν τα πρώτα βήματα στις θεωρίες της ελαστικής παραμόρφωσης και της ιξώδους κίνησης ρευστών Το πρόβλημα μπορεί να εξεταστεί και από μαθηματική και από μηχανική άποψη, οι οποίες κατά κανόνα, είναι πολύ διαφορετικές Βέβαια, η μαθηματική ανάλυση οδηγεί σε λύσεις του διαρμονικού iv

προβλήματος (είτε ισχυρές είτε προσεγγιστικές) κι έτσι παρέχει αποτελεσματικά εργαλεία όταν σχετίζεται με κύριες εφαρμογές της Μηχανικής, πχ στην εύρεση των θέσεων των σημείων με τη μέγιστες κανονικές πιέσεις και τις κανονικών αντιδράσεων για το πρόβλημα κάμψης ενός στερεωμένου πιάτου στη ναυπηγική Επίσης, ψάχνοντας κανείς στο Διαδίκτυο μπορεί να βρει εφαρμογές του διαρμονικού προβλήματος τόσο στην απεικόνιση ραντάρ (radar imagig), όσο και στην αεροακουστική ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ Αυτή η εργασία είναι δομημένη ως ακολούθως Το κεφάλαιο αναφέρεται στους χώρους συναρτήσεων όπως είναι οι χώροι ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, συνεχών συναρτήσεων και Sobolv Επίσης, αναφέρουμε ιδιότητες καθώς και ορισμούς, προτάσεις και θεωρήματα που ισχύουν σε αυτούς τους χώρους Επιπλέον, το κεφάλαιο περιέχει πολλές χρήσιμες ανισότητες όπως η (συνεχής ή διακριτή) ανισότητα Caucy-Scwarz, η ανισότητα αντιστρεψιμότητας (ivrs iquality), η ανισότητα ίχνους (trac iquality) κά, οι οποίες θα μας χρειαστούν στο κεφάλαιο 5 και στο κεφάλαιο 6 Το κεφάλαιο αναφέρεται στη μεταβολική διατύπωση των ελλειπτικών συνοριακών προβλημάτων τιμών Παρουσιάζουμε ορισμούς, θεωρήματα και ιδιότητες, των χώρων εσωτερικού γινομένου και των χώρων Hilbrt Επιπλέον, γίνεται μια μικρή αναφορά για τις προβολές πάνω σε υπόχωρους Επιπρόσθετα, παρουσιάζουμε τους ορισμούς της συνέχειας και της ελλειπτικότητας (corcivity) της διγραμμικής μορφής καθώς και τις διατυπώσεις του συμμετρικού και του μησυμμετρικού μεταβολικού προβλήματος Τέλος, ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε κάποια σπουδαία θεωρήματα όπως το Θεώρημα Risz, το Θεώρημα Lax-Milgram, το Θεώρημα Ca και το Θεώρημα Προβολής Το κεφάλαιο 3 αναφέρεται στην κατασκευή ενός χώρου πεπερασμένων στοιχείων Στην παράγραφο 3, δίνονται χρήσιμοι ορισμοί και Λήμματα που θα βοηθούν στην κατανόηση και επίλυση των παραδειγμάτων που βρίσκονται στις επόμενες παραγράφους Η παράγραφος 3 αναφέρεται στα τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία, όπως είναι το στοιχεία Lagrag, Hrmit και Argyris Η παράγραφος 33 αναφέρεται στον ορισμό του itrpolat και τις ιδιότητες του, στον ορισμό της υποδιαίρεσης και της τριγωνοποίησης ενός χωρίου Επιπλέον, γίνεται μία μικρή αναφορά στα πεπερασμένα στοιχεία υψηλότερων διαστάσεων και στα εξωτικά πεπερασμένα στοιχεία Τέλος, αυτό το κεφάλαιο είναι εφοδιασμένο με πολλά λυμένα παραδείγματα για την καλύτερη κατανόηση των ορισμών που το αποτελούν Το κεφάλαιο 4 αναφέρεται εν συντομία στα -διάστατα μεταβολικά προβλήματα, περιέχει τη μεταβολική διατύπωση της εξίσωσης Poisso, καθώς και χρήσιμες προτάσεις που εφαρμόζονται για να προκύψει αυτή η μεταβολική διτύπωση Το κεφάλαιο 5 αναφέρεται στις συνεχείς μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής της p - εκδοχής για τη διαρμονική εξίσωση Στην παράγραφο 5 εισάγουμε τους χώρους πεπερασμένων στοιχείων (οι οποίοι αποτελούνται από τα κατά τμήματα συνεχή πολυώνυμα) και τους «σπασμένους» χώρους Sobolv Στην v

παράγραφο 5 διατυπώνουμε την ασθενή μορφή του συνοριακού προβλήματος τιμών για τη διαρμονική εξίσωση πάνω σε αυτούς τους χώρους ποινικοποιώντας τα άλματα (jumps) και εισάγοντας τον ορισμό της μέσης τιμής κατά μήκος των κοινών εδρών των στοιχείων Στην παράγραφο 53 διατυπώνουμε τη συνεχή μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής, εισάγουμε την ιδιότητας της ορθογωνιότητας Galrki και αποδεικνύουμε την ιδιότητα της ελλειπτικότητας (corcivity) στις περιπτώσεις που το βήμα (ms) είναι ομοιόμορφο και μη ομοιόμορφο αντίστοιχα Στην παράγραφο 54 αποδεικνύουμε την a priori εκτίμηση σφάλματος της p - εκδοχής στην E νόρμα για τις συνεχείς μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής που αναπτύχθηκαν στις παραπάνω παραγράφους αυτού του κεφαλαίου για ομοιόμορφο και μη ομοιόμορφο βήμα (ms), αντίστοιχα Ιδιαίτερα, εγκαθιδρύουμε φράγματα για το σφάλμα, τα οποία είναι βέλτιστα (optimal) στο και υπο-βέλτιστα (suboptimal) στο p Το κεφάλαιο 6 αναφέρεται στην εφαρμογή των συνεχών μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων εσωτερικής ποινής για τη διαρμονική εξίσωση στη μία διάσταση Σκοπός μας είναι ο υπολογισμός των στοιχείων του πίνακα ακαμψίας A = [ α kj ] 3 3 χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Lagrag ου βαθμού Επίσης, στο τέλος του κεφαλαίου υπάρχουν δύο προγράμματα σε Matlab τα οποία υπολογίζουν τους συντελεστές [ c j ] 3 της προσεγγιστικής λύσης u (άρα και την u ), λύνοντας το σύστημα Ac = b Τέλος, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της ισχυρής και της προσεγγιστικής λύσης, αντίστοιχα, καθώς και η κοινή τους γραφική παράσταση vi

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΩΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Χώροι ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Χώροι συνεχών συναρτήσεων και γενικευμένες (ασθενείς) παράγωγοι 3 3 Χώροι Sobolv 6 4 Θεώρημα Ίχνους 5 Χρήσιμες ανισότητες ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ Χώροι εσωτερικού γινομένου 3 Χώροι Hilbrt 4 3 Προβολές πάνω σε υπόχωρους 6 4 Θεώρημα Αναπαράστασης Risz 8 5 Διατύπωση του συμμετρικού μεταβολικού (ασθενούς) προβλήματος 9 6 Διατύπωση του μη συμμετρικού μεταβολικού (ασθενούς) προβλήματος 7 Θεώρημα Lax Milgram 8 Εκτιμήσεις για γενική προσέγγιση πεπερασμένου στοιχείου 3 Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΝΟΣ ΧΩΡΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 3 Το πεπερασμένο στοιχείο 5 3 Τριγωνικά πεπερασμένα στοιχεία 8 33 Η παρεμβάλουσα συνάρτηση (itrpolat) 43 34 Τετράπλευρα πεπερασμένα στοιχεία 49 35 Πεπερασμένα στοιχεία υψηλότερων διαστάσεων 53 36 Εξωτικά πεπερασμένα στοιχεία 54 4 - ΔΙΑΣΤΑΤΑ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΑ (ΑΣΘΕΝΗ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4 Μεταβολική (ασθενής) διατύπωση της εξίσωσης Poisso 57 4 Μεταβολική (ασθενής) διατύπωση του προβλήματος Numa 59 5 Η p - ΕΚΔΟΧΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΠΟΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 5 Χώροι πεπερασμένου στοιχείου 6 5 Ασθενής διατύπωση πάνω σε «σπασμένους» χώρους Sobolv 63 53 Διατύπωση των Συνεχών Εσωτερικής Ποινής Μεθόδων Πεπερασμένου Στοιχείου και η ιδιότητα corcivity της διγραμμικής μορφής πάνω σε χώρο πεπερασμένου στοιχείου 68 54 Εκτίμηση σφάλματος 76 vii

6 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΠΟΙΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΡΜΟΝΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 6 Υπολογισμός των στοιχείων του πίνακα ακαμψίας και επίλυση του συστήματος Ac = b ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ viii

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΧΩΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αυτό τι κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στους χώρους συναρτήσεων οι οποίοι χρησιμοποιούνται στη μεταβολική διατύπωση των διαφορικών εξισώσεων Ακριβείς υποθέσεις για την κανονικότητα της λύσης και των δεδομένων μπορούν να διατυπωθούν με τη διατύπωση κλάσεων συναρτήσεων με συγκεκριμένες ιδιότητες παραγωγισιμότητας και ολοκληρωσιμότητας οι οποίοι καλούνται χώροι συναρτήσεων Παραδείγματα τέτοιων χώρων είναι οι χώροι των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, οι χώροι των συνεχών συναρτήσεων και οι χώροι Sobolv Παρουσιάζονται βασικοί ορισμοί, χρήσιμα αποτελέσματα και ανισότητες Αναπτύσσουμε μόνο ένα μικρό κομμάτι της γνωστής θεωρίας αυτών των χώρων, αρκετό για τη διατύπωση και την κατανόηση της μεθόδου πεπερασμένου στοιχείου ΧΩΡΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Θα αναφέρουμε μερικές βασικές έννοιες της θεωρίας ολοκλήρωσης Lbsgu Με τον όρο «χωρίο» εννοούμε ένα Lbsgu μετρήσιμο (συνήθως είτε ανοικτό είτε κλειστό) υποσύνολο του με μη κενό εσωτερικό Για λόγους απλότητας, περιοριζόμαστε σε πραγματικές συναρτήσεις Έστω ότι p είναι ένας πραγματικός p αριθμός, p, ορίζουμε ως L ( Ω) το σύνολο όλων των Lbsgu μετρήσιμων πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται πάνω σε ένα δοσμένο χωρίο ώστε Ω f( x) p dx< Ω Δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις οι οποίες είναι ίσες σχεδόν παντού (πχ ίσες, εκτός από ένα σύνολο μέτρου μηδέν) πάνω στο Ω ταυτίζονται μεταξύ τους Συνεπώς, p σκεφτόμαστε τον L ( Ω) ως ένα σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας των συναρτήσεων p ως προς αυτή την ταύτιση Για p <, ο L ( Ω ) είναι εφοδιασμένος με τη νόρμα έτσι και για p = : ( ) p f p = f x d L ( Ω) x Ω p f : sup ( ss ) ( ) x Ω f x L Ω =

Ο L ( Ω)περιέχει τις συναρτήσεις f που είναι ορισμένες πάνω στο Ω έτσι ώστε η f να έχει πεπερασμένο sstial suprmum πάνω στο Ω (κυρίως, υπάρχει μία θετική σταθερά Μ έτσι ώστε f ( x) M για σχεδόν όλα τα x στο Ω, ο μικρότερος τέτοιος αριθμός Μ καλείται το sstial suprmum του f και γράφουμε M = sssup f ( x) ) Ο L ( Ω)είναι εφοδιασμένος με την παραπάνω νόρμα x Ω Σε οποιαδήποτε περίπτωση, ορίζουμε τους χώρους Lbsgu ως P L ( Ω ) : = { f : Ω : f μετρήσιμη f < P } με p < L ( Ω ) και L ( Ω ) : = { f : Ω : f μετρήσιμη και σταθερά Μ τέτοια ώστε f ( x) M σπ στο Ω} Ο χώρος L ( Ω) μπορεί να εφοδιαστεί με το εσωτερικό γινόμενο ( f, g): = f( x) g( x) dx Επίσης f ( f, f) ( ) L Ω = Ω Υπάρχουν χρήσιμες ανισότητες που ισχύουν για τα συναρτησιακά που ορίζονται παραπάνω: () Ανισότητα Mikowski Για p και f, g L p ( Ω ), έχουμε ότι f + g f + g P P P L ( Ω) L ( Ω) L ( Ω) () Ανισότητα Holdr Για pq, έτσι ώστε g L P ( Ω), τότε fg L ( Ω) και P + =, αν f L ( Ω) και p q fg f g L Ω p q L ( Ω) L ( Ω) ( ) (3) Ανισότητα Caucy-Scwarz Αυτή είναι απλά ανισότητα Holdr στην ειδική περίπτωση p = q =, δηλαδή αν f, g L ( Ω ) τότε fg L ( Ω ) και fg = f ( x ) g ( x ) dx f g L ( Ω) L ( Ω) L ( Ω) Ω

p Εν όψη της ανισότητας Mikowski και των ορισμών της, ο χώρος L ( Ω) έχει κάποιες ιδιότητες που δίνονται παρακάτω p L (4) Ορισμός Για δοσμένο γραμμικό (διανυσματικό) χώρο V, μία νόρμα,, είναι μία συνάρτηση πάνω στον V με μη αρνητικές πραγματικές τιμές έχοντας τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) u u V u= u = (ii) cu c u c, u V (iii) u+ w u+ w uw, V(τριγωνική ανισότητα) p (5) Θεώρημα Ο L ( Ω) είναι ένας γραμμικός χώρος και η p είναι μία νόρμα για κάθε p (6) Πρόταση Αν Ω φραγμένο και p r, τότε r p L ( Ω) L ( Ω ) L (7) Ορισμός Ένας γραμμικός χώρος με νόρμα ( V, ) λέγεται χώρος Baac αν είναι πλήρης ως προς τη μετρική που ορίζεται από τη νόρμα, p (8) Θεώρημα Για p, ο L ( Ω ) είναι χώρος Baac Παρατήρηση : Ο L ( Ω ) είναι χώρος Hilbrt, δηλαδή έχει εσωτερικό γινόμενο (,) και είναι εφοδιασμένος με τη νόρμα που ορίζεται από τη σχέση = L Ω f ( f, f) ( ) L ( Ω) ΧΩΡΟΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ (ΑΣΘΕΝΕΙΣ) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ k Έστω Ω κάποιο χωρίο στον και έστω k Ορίζουμε ως C ( Ω ) το σύνολο όλων των συνεχών πραγματικών που είναι ορισμένες πάνω στο Ω έτσι ώστε οι a μερικές παράγωγοι D f να είναι συνεχείς πάνω στο Ω για όλους τους πολυδείκτες a = ( a,, a ) με a k Αρχικά, εισάγουμε μία μικρή έννοια για τις (υπολογιστικές) μερικές παραγώγους, την έννοια του πολυδείκτη (multi-idx) Έστω το σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων Ένας πολυδείκτης, a, είναι ένα -tupl 3

a = ( a,, a ) των μη αρνητικών ακεραίων, a i Το μήκος του a δίνεται από a : = ai i= Υποθέτοντας ότι το Ω είναι ένα φραγμένο ανοικτό σύνολο στον k, ως C ( Ω ) k a ορίζουμε το σύνολο όλων των f στο C ( Ω ) έτσι ώστε οι D f να μπορούν να επεκταθούν από το Ω σε συνεχείς συναρτήσεις πάνω στο Ω, την κλειστότητα του συνόλου Ω, για a = ( a,, a ) με a k k Ο C ( Ω ) μπορεί να εφοδιαστεί με τη νόρμα a f k : = sup ( C ( ) x Ω D f x) Ω a k Ιδιαίτερα, όταν k =, θα γράφουμε C( Ω ) αντί του C ( Ω ) για να ορίσουμε το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων που είναι ορισμένες πάνω στο Ω, σε αυτήν την περίπτωση f = sup ( ) C( ) x Ω f x Ω Σημείωση : Η νόρμα f = max f( x) μόνο όταν το Ω είναι φραγμένο ( ) Παρομοίως, αν k = C Ω x Ω f : = sup D f( x) = sup f( x) + sup f( x) C ( Ω) a x Ω x Ω x Ω a j= x j Υπάρχουν αρκετοί ορισμοί των παραγώγων οι οποίοι είναι χρήσιμοι σε διαφορετικές περιπτώσεις Ο «υπολογιστικός» ορισμός, δηλαδή f ( x+ ) f( x) f ( x) = lim είναι ένας «τοπικός» ορισμός που παρέχει πληροφορίες για τη συνάρτηση f μόνο κοντά στο σημείο x Στη μεταβολική διατύπωση που θα αναπτυχθεί στο παρακάτω κεφάλαιο οι παράγωγοι μπορούν να ερμηνευτούν ως συναρτήσεις στο χώρο Lbsgu L ( Ω) ορίζοντας, λοιπόν, μια ασθενέστερη έννοια παραγώγισης Μία συνάρτηση σε p έναν από αυτούς τους χώρους L ( Ω ) καθορίζεται μόνο από τη σφαιρική της 4

συμπεριφορά Έτσι, είναι φυσικό να αναπτύξουμε μία σφαιρική έννοια της παραγώγου περισσότερο κατάλληλη στους χώρους Lbsgu Αυτό το κάνουμε ως εξής, ορίζουμε παραγώγους για μία οικογένεια όχι και τόσο ομαλών συναρτήσεων (smoot fuctios) και τις συγκρίνουμε με πολύ ομαλές συναρτήσεις a Για f C a a a, ορίζουμε ως D f, Dx f, f, x f τη συνήθη μερική x παράγωγο με D a a a = = a a x x x x a a a a a Για ένα δοσμένο διάνυσμα ( x,, x ), ορίζουμε ως x : = x x x Αξίζει να σημειώσουμε ότι αν το x αντικατασταθεί τυπικά από το συμβολισμό a : = (,, ), τότε αυτός ο ορισμός του x είναι συνεπής με τον προηγούμενο x x x ορισμό του ( ) a Επιπλέον, η τάξη της παραγώγου δίνεται από το a x Έπειτα, εισάγουμε την έννοια του στηρίγματος μίας συνάρτησης η οποία είναι ορισμένη πάνω σε κάποιο χωρίο στον Για μία συνεχή συνάρτηση, f, στήριγμα είναι η κλειστότητα του συνόλου { x Ω : f( x) } στο Ω Επομένως, το στήριγμα είναι το μικρότερο κλειστό υποσύνολο του Ω έτσι ώστε f = στο Ω \ στήριγμα f (αυτό αν επεκταθεί ορίζεται σε ολόκληρο το ) Αν το στήριγμα είναι ένα συμπαγές σύνολο (πχ αν είναι φραγμένο) και αυτό είναι ένα υποσύνολο του εσωτερικού ενός συνόλου Ω, τότε η f λέγεται ότι έχει συμπαγές στήριγμα ως προς το Ω () Ορισμός Έστω ότι Ω είναι ένα χωρίο στον Ορίζουμε ως D(Ω) ή C ( ) Ω το σύνολο των C ( Ω ) συναρτήσεων με συμπαγές στήριγμα στο Ω k Σημείωση : C ( ) C( ) k C ( Ω) k Ω = Ω, όπου C ( ) k Ω είναι το σύνολο όλων των f στο των οποίων το στήριγμα είναι φραγμένο υποσύνολο του Ω () Ορισμός Για ένα δοσμένο χωρίο Ω, το σύνολο των τοπικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων ορίζεται ως L ( ): { loc Ω = f : f L ( K) K συμπαγές it Ω}, όπου it Ω= : { x Ω: ε > τέτοιο ώστε B ε ( x) Ω } 5

Παρατήρηση : Οι συναρτήσεις στο L loc ( Ω) μπορούν να συμπεριφέρονται άσχημα dist ( x, Ω ) κοντά στο σύνορο, πχ η συνάρτηση L loc ( Ω ), αν και αυτή η άποψη είναι κάπως ταυτόσημη με τη χρήση του χώρου μας (3) Ορισμός Λέμε ότι μία δοσμένη συνάρτηση παράγωγο, ώστε a Dw f f L loc ( ), υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει μία συνάρτηση Ω έχει ασθενή g L loc ( ) Ω έτσι ( ) ( ) ( ) ( ) a a gxφ xdx= f( x) φ ( xdx ) φ Ω Ω D(Ω) Αν μία τέτοια συνάρτηση g υπάρχει, τότε ορίζουμε a Dw f = g a (4) Πρόταση Έστω ότι το a είναι αυθαίρετο και έστω ψ C ( Ω ) Τότε η ασθενής παράγωγος a Dwψ υπάρχει και είναι ίση με a D ψ (σχεδόν παντού) Παρατήρηση : Ως συνέπεια αυτής της πρότασης, αγνοούμε τις διαφορές στον ορισμό της D και της Dw από εδώ και στο εξής Σαφέστερα, θα χρησιμοποιούμε το γράμμα D για να ορίσουμε τόσο κλασικές όσο και ασθενείς παραγώγους, θα είναι πάντα κατανοητό από τα συμφραζόμενα (εξετάζοντας την ομαλότητα της συνάρτησης που παραγωγίζεται) ποιο από τα δύο υπονοείται k Για παράδειγμα, αν μία συνάρτηση f είναι επαρκώς ομαλή, δηλαδή f C ( Ω), τότε a η ασθενής παράγωγος της Dw f τάξης a k ταυτίζεται με την αντίστοιχη κλασική μερική παράγωγο a f a a x x 3 ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Αυτή η παράγραφος αναφέρεται στους χώρους Sobolv και στις ιδιότητες τους Χρησιμοποιώντας την έννοια της ασθενής παραγώγου, γενικεύουμε τους χώρους και τις νόρμες Lbsgu για να περιλάβουν παραγώγους (3) Ορισμός Έστω k ένας μη αρνητικός ακέραιος και έστω f L loc ( Ω ) a Υποθέτουμε ότι η ασθενής παράγωγος τάξης a, D f, υπάρχει για όλα τα a k και επίσης υποθέτουμε ότι p [, ] Ορίζουμε k p W ( Ω ) = { f L ( Ω ): p a D f p L ( Ω ), a k } 6

να είναι ο χώρος Sobolv τάξης k, εφοδιασμένος με την παρακάτω (Sobolv) νόρμα και a p f k : = D f p Wp ( Ω) L ( Ω) όταν p < a k p a f k : = D f όταν W ( Ω) L p = ( Ω) p a k Ορίζουμε επίσης τις ημι νόρμες: p a p f k : = D f p Wp ( Ω) L ( Ω), a = k ισοδύναμα μπορούμε να γράψουμε p k p f k : = f j Wp ( Ω) Wp ( Ω) όταν p < j= Επίσης έχουμε, f : = D f a k Wp ( Ω) L ( Ω) a = k, ισοδύναμα μπορούμε να γράψουμε k f k : = f όταν W ( Ω) j p = W ( Ω) j= Παρατήρηση : Όταν k Wp ( Ω) k, η λέγεται ημι-νόρμα Sobolv πάνω στο χώρο k W ( ) p Ω Πράγματι, όταν k, η k είναι μόνο μία ημι-νόρμα παρά μία νόρμα, επειδή W ( ) p Ω αν f = k k για f W ( ) δεν προκύπτει απαραίτητα ότι για σχεδόν Ω p Ω f( x ) = W p ( ) a κάθε x στο Ω ( μονάχα είναι γνωστό ότι D f( x ) = για σχεδόν κάθε x Ω, a = k ), έτσι η k δεν ικανοποιεί το πρώτο αξίωμα της νόρμας W p ( Ω) 7

Παρατήρηση : Οι χώροι Sobolv μπορούν να σχετιστούν σε ειδικές περιπτώσεις με άλλους χώρους Για παράδειγμα, ανακαλώντας τη νόρμα Lipscitz f ( x) f( y) f Lip( Ω) = f + sup L ( Ω) x y : xy, Ω με x y} και ο αντίστοιχος χώρος των συναρτήσεων Lipscitz είναι { Lip( Ω ) = f L ( Ω ): f < Lip( Ω ) } Τότε για όλες τις διαστάσεις, έχουμε ότι Lip( Ω ) = W ( Ω ) με ισοδύναμες νόρμες, κάτω από ορισμένες συνθήκες πάνω στο χωρίο Ω Επιπλέον, για k > k k W ( Ω ) = { f C ( Ω ) : ( a) f Lip( Ω ) a k } Στη μία διάσταση ( = ), ο χώρος W ( ) Ω μπορεί να χαρακτηριστεί ως το σύνολο των απολύτως συνεχών συναρτήσεων πάνω σε ένα διάστημα Ω (3) Θεώρημα Ο W k p ( Ω ) είναι ένας γραμμικός χώρος και η k είναι μία Wp ( Ω) νόρμα για κάθε p και για κάθε k k (33) Θεώρημα Ο χώρος Sobolv W ( Ω ) είναι χώρος Baac p Παρατήρηση 3: Υπάρχει και άλλος δυνατός ορισμός του χώρου Sobolv Έστω ότι k k H ( Ω) ορίζει την κλειστότητα του συνόλου C ( Ω ) ως προς τη νόρμα Sobolv p το k Wp ( Ω) k W Στην περίπτωση που p =, έχουμε H k k = C και αυτό δεν είναι το ίδιο με ( Ω) Πράγματι, έχουμε ήδη ταυτίσει το τελευταίο να σχετίζεται με κάποιους k k χώρους Lipscitz Ωστόσο, για p <, αποδεικνύεται ότι H ( Ω ) = W ( Ω )(για περισσότερα βλέπε [] ) p p (34) Θεώρημα Έστω Ω ένα οποιοδήποτε ανοικτό σύνολο Τότε το k C k ( Ω ) W p ( Ω ) είναι πυκνό στον Wp ( Ω ) για p < (35) Πρόταση Υποθέτουμε ότι Ω είναι ένα οποιοδήποτε χωρίο, k και m είναι μη αρνητικοί ακέραιοι οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση k m και p είναι ένας 8

οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση W m p k ( Ω) W ( Ω) p p Τότε (36) Πρόταση Υποθέτουμε ότι Ω είναι ένα οποιοδήποτε φραγμένο χωρίο, k είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος και pq, είναι πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν τη k k σχέση p q Τότε W ( Ω) W ( Ω) q p Ωστόσο, υπάρχουν περισσότερο λεπτές σχέσεις ανάμεσα στους χώρους Sobolv Για m k παράδειγμα, υπάρχουν περιπτώσεις όταν k < m και p > q με W ( Ω) W ( Ω) q p Μία σημαντική ειδική περίπτωση αντιστοιχεί όταν πάρουμε το k χώρος W ( Ω ) είναι χώρος Hilbrt με εσωτερικό γινόμενο p =, τότε ο a a ( f, g) : = ( D f, D g) k W ( Ω ) a k k k Για αυτό το λόγο θα γράφουμε H ( Ω ) αντί του W ( ) Ω Παρακάτω δίνουμε τους ορισμούς της νόρμας και της ημι-νόρμας των χώρων Hilbrt-Sobolv H ( Ω) H ( Ω) και H ( Ω ) = { f L ( Ω ) : a D f L ( Ω ), a } με νόρμα και ημι-νόρμα ( ) f = f + f H ( Ω) L ( Ω) H ( Ω) f f = = f H ( Ω) L ( Ω) L ( Ω) j= x j H ( Ω ) = { f L ( Ω ) : a D f L ( Ω ), a } με νόρμα και ημι-νόρμες ( ) f = f + f + f H ( Ω) L ( Ω) H ( Ω) H ( Ω) 9

f f = = f H ( Ω) L ( Ω) L ( Ω) j= x j και f H ( Ω) L ( Ω) i, j= xi xj f = Σημείωση : Η ημι νόρμα f H = Δ f μόνο όταν f = στο Ω ( Ω) L ( Ω) (37) Ορισμός Λέμε ότι το Ω έχει σύνορο Lipscitz Ω υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει μία συλλογή ανοικτών συνόλων Oi, μία θετική παράμετρος ε, ένας ακέραιος Ν και ένας πεπερασμένος αριθμός Μ, έτσι ώστε για όλα τα x Ω η μπάλα με ακτίνα ε και κέντρο x περιέχεται σε κάποια, όχι περισσότερα από Ν των συνόλων O i τέμνονται μη τετριμμένα και κάθε χωρίο Oi Ω= Oi Ω i όπου Ω i είναι ένα χωρίο του οποίου το σύνορο είναι το γράφημα μίας συνάρτησης Lipscitz φ i (πχ Ω = {( xy, ) : x, y < φ ( x)} ) που ικανοποιεί τη σχέση φ i i i M Lip( ) 4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΙΧΝΟΥΣ Το σύνορο Ω ενός - διάστατου χωρίου Ω μπορεί να ερμηνευτεί ως ένα αντικείμενο διάστασης (4) Θεώρημα Υποθέτουμε ότι το Ω έχει σύνορο Lipscitz και ότι p είναι ένα πραγματικός αριθμός που ικανοποιεί τη σχέση p Τότε υπάρχει μία σταθερά C έτσι ώστε p p p p L ( Ω) L ( Ω) Wp ( Ω) f C f f f W p ( Ω ) Θα χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό W ( Ω) για να ορίσουμε το υποσύνολο του W ( Ω), το οποίο αποτελείται από τις συναρτήσεις των οποίων το ίχνος πάνω στο p σύνορο Ω είναι μηδέν Έπειτα ορίζουμε W ( Ω ) = { f W ( Ω) : f = στο L ( Ω ) } Ω p p p

k Παρομοίως, ορίζουμε W k p ( Ω) να είναι το υποσύνολο του Wp ( Ω) το οποίο περιέχει τις συναρτήσεις των οποίων οι παράγωγοι τάξης k είναι στο W ( Ω), p k k W ( Ω ) = { f W ( Ω) : p p ( a f ) Ω = στο L ( Ω ) a < k} (4) Ανισότητα Ίχνους (Trac Iquality) Για ένα πεπερασμένο στοιχείο K κανονικού σχήματος (sap rgular) υπάρχει μία σταθερά C < έτσι ώστε (43) u ( ) C u ( ) K + u u L K L ( K) L ( K) L ( K) (44) Πρόταση (Ανισότητα Poicar) Υποθέτουμε ότι το ανοικτό χωρίο Ω είναι φραγμένο Τότε υπάρχει σταθερά C < (που εξαρτάται από το Ω και το p ) έτσι ώστε (45) u C u p p L ( Ω) L ( Ω) u W p ( Ω) ( p < ) 5 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Σε αυτή την παράγραφο δίνονται μερικές χρήσιμες ανισότητες, οι οποίες θα χρησιμοποιηθούν στα παρακάτω κεφάλαια για την απόδειξη ορισμένων ιδιοτήτων των μεθόδων πεπερασμένου στοιχείου που θα εφαρμόσουμε (5) Διακριτή Ανισότητα Holdr Αν pq, είναι συζυγείς εκθέτες (δηλαδή p > και + = ) και a, a,, ak, b, b,, b k είναι k πραγματικοί αριθμοί τότε p q (5) k k k p q p q ab i i ai bi i= i= i= (53) Διακριτή Ανισότητα Caucy-Scwarz Αυτή είναι απλά διακριτή ανισότητα Holdr στην ειδική περίπτωση p = q = όπου a, a,, ak, b, b,, b k είναι k πραγματικοί αριθμοί τότε (54) k k k ab i i ai bi i= i= i= (55) Ανισότητα Αριθμητικού-Γεωμετρικού Μέσου Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς a και b ισχύει

(56) ( ) ab a + b (57) Ανισότητα Για οποιουσδήποτε μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς a, b και p ισχύει p p p p (58) ( a+ b) ( a + b ) (59) Ανισότητα Αντιστρεψιμότητας (Ivrs Iquality) Έστω υ ένα πολυώνυμο βαθμού p στο πεπερασμένο στοιχείο K και έστω μία πλευρά του μήκος Τότε υπάρχει μία σταθερά C < έτσι ώστε K με p (5) υ C υ L ( ) L ( K)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΩΝ ΕΛΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΤΙΜΩΝ Αυτό το κεφάλαιο αναφέρεται στα εργαλεία (ορισμοί ιδιότητες) της συναρτησιακής ανάλυσης που απαιτούνται για την ανάπτυξη της μεταβολικής διατύπωσης (ασθενής διατύπωση, προσεγγιστική διατύπωση) των διαφορικών εξισώσεων Αρχίζει με μία εισαγωγή στους χώρους Hilbrt, περιέχοντας μονάχα υλικό το οποίο είναι χρήσιμο στις παρακάτω αναπτύξεις Στόχος του κεφαλαίου είναι να παρέχει τη δυνατότητα, ώστε η ύπαρξη και η μοναδικότητα των λύσεων στα μεταβολικά προβλήματα να μπορούν να καθιερωθούν ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΈΝΟΥ () Ορισμός Μία διγραμμική μορφή (biliar form), b(, ), πάνω σε ένα γραμμικό χώρο V είναι μία απεικόνιση bv : V έτσι ώστε κάθε μία των μεταβλητών να είναι μία γραμμική μορφή (liar form) πάνω στον V Δηλαδή b( λ u + λ u, υ) = λb( u, υ) + λ b( u, υ) και bu (, μ υ + μ υ ) = μbu (, υ ) + μ bu (, υ ) u, u, u, υ, υ, υ V και μ, μ, λ, λ Η διγραμμική μορφή είναι συμμετρική αν bu (, υ) = b( υ, u) για όλα τα u, υ V Ένα (πραγματικό) εσωτερικό γινόμενο, συμβολίζεται (, ), είναι μία συμμετρική διγραμμική μορφή πάνω στον γραμμικό χώρο V το οποίο ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: (a) ( υ, υ) υ V και (b) ( υ, υ) = υ = () Ορισμός Ένας γραμμικός χώρος V μαζί με ένα εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται πάνω σε αυτόν λέγεται χώρος εσωτερικού γινομένου και συμβολίζεται ως ( V,(, )) (3) Παραδείγματα Τα παρακάτω είναι παραδείγματα χώρων εσωτερικού γινομένου (i) V, = ( x, y): = = xiyi i 3

(ii) V L = ( Ω), Ω, ( u, υ) : = u( x) υ( x) dx L Ω ( ) k a a (iii) V = W ( Ω), Ω, ( u, υ) k : = ( D u, D υ) W Ω a k ( ) L ( Ω) Ω k Σημείωση : Ο χώρος εσωτερικού γινομένου (iii) συχνά συμβολίζεται ως H ( Ω ) k k Επομένως H ( Ω ) = W ( Ω) (4) Θεώρημα (Ανισότητα Scwarz) Αν ( V,(, )) είναι ένας χώρος εσωτερικού γινομένου, τότε ( u, υ) ( u, u) ( υυ, ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα u και υ είναι γραμμικά εξαρτημένα (5) Πρόταση Η σχέση u : = ( u, u) ορίζει μία νόρμα στον χώρο εσωτερικού γινομένου ( V,(, )) ΧΩΡΟΙ HILBERT Η πρόταση (5) λέει ότι για δοσμένο χώρο εσωτερικού γινομένου ( V,(, )), υπάρχει μία νόρμα που σχετίζεται με τον V, είναι ορισμένη πάνω στον V και συμβολίζεται ως u : = ( u, u) Έτσι, ένας χώρος εσωτερικού γινομένου μπορεί να μετατραπεί σε γραμμικό χώρο με νόρμα () Ορισμός Έστω ( V,(, )) είναι ένας χώρος εσωτερικού γινομένου Αν ο γραμμικός χώρος με νόρμα ( V, ) είναι πλήρης, τότε ο ( V,(, )) λέγεται χώρος Hilbrt Παρατήρηση : Ένας χώρος Hilbrt είναι ένας χώρος με εσωτερικό γινόμενο που είναι πλήρης ως προς τη μετρική που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο () Παραδείγματα Τα παραδείγματα (i), (ii), (iii) του (3) είναι χώροι Hilbrt (3) Ορισμός Έστω H είναι ένας χώρος Hilbrt και S H είναι ένα γραμμικό υποσύνολο (S γραμμικό σημαίνει ότι u, υ S, a u+ aυ S) το οποίο είναι κλειστό στον H Τότε το S λέγεται κλειστός υπόχωρος του H 4

(4) Πρόταση Αν S είναι ένας κλειστός υπόχωρος του H, τότε ο ( S,(, )) επίσης χώρος Hilbrt είναι (5) Παραδείγματα κλειστών υπόχωρων χώρων Hilbrt (i) H και {} είναι οι προφανείς περιπτώσεις, αφού το μονοσύνολο {} είναι κλειστό σύνολο (ii) Έστω T : H K είναι μία συνεχής γραμμική απεικόνιση του Η σε ένα άλλο γραμμικό χώρο Αφού ο Τ είναι συνεχής, αντιστρέφει κλειστά σύνολα σε κλειστά σύνολα Το {} K είναι κλειστό σύνολο, τότε ο πυρήνας kr T = T ({}) = { x H : T( x) {}} είναι κλειστό σύνολο ως αντίστροφη εικόνα κλειστού συνόλου Επομένως, επειδή ο πυρήνας krt είναι γραμμικός υπόχωρος του Η, τότε ο πυρήνας krt είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος (iii) Έστω x H (δηλαδή { x} H ) και ορίζουμε x : = { υ H :( υ, x) = } Τότε x είναι ένας κλειστός γραμμικός υπόχωρος του Η Για να το δείξουμε αυτό, θεωρούμε ότι x = kr Lx, όπου Lx είναι το γραμμικό συναρτησιακό : υ ( υ, x) Lx Από την ανισότητα Scwarz, L ( υ) x υ, x δηλώνοντας ότι το L x είναι φραγμένο και συνεπώς συνεχές Αυτό αποδεικνύει ότι ο x είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του Η, εν όψη του προηγούμενου παραδείγματος (iv) Έστω M H είναι ένα υποσύνολο και ορίζουμε M = :{ υ H :( x, υ) =, x M} (Υπάρχει πρόταση που λέει ότι: έστω Η χώρος Hilbrt και M H, τότε ο M είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του Η) Θεωρούμε ότι M = x x M και κάθε x είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του Η, λόγω του παραδείγματος (iii) Τότε ο M είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του Η, διότι η αριθμήσιμη τομή κλειστών συνόλων είναι κλειστό σύνολο (6) Πρόταση Έστω H είναι ένας χώρος Hilbrt (i) Για οποιαδήποτε υποσύνολα M, N H, M N N M (ii) Για οποιοδήποτε υποσύνολο Μ του H που περιέχει το μηδέν, M M = {} 5

(iii) {} = H (iv) = {} H (7) Θεώρημα (Κανόνας Παραλληλογράμμου) Έστω είναι η νόρμα που σχετίζεται με το εσωτερικό γινόμενο (, ) πάνω στον H Τότε για κάθε u, υ H ισχύει ότι: u+ υ + u υ = ( u + υ ) 3 ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΠΑΝΩ ΣΕ ΥΠΟΧΩΡΟΥΣ Οι παρακάτω προτάσεις αναφέρονται στις γεωμετρικές ιδιότητες των χώρων Hilbrt (3) Πρόταση Έστω ότι Μ είναι κλειστός γραμμικός υπόχωρος του χώρου Hilbrt H Έστω υ H \ M και ορίζουμε δ : = if{ υ w: w M} (Σημειώνουμε ότι δ > επειδή ο Μ είναι κλειστός στον Η) Τότε υπάρχει w M έτσι ώστε (i) υ w = δ, πχ, υπάρχει ένα κοντινότατο σημείο w M στο υ και (ii) υ w M Η πρόταση (3) λέει ότι, για δοσμένο υπόχωρο Μ του Η και υ H, μπορούμε να γράψουμε υ = w + w, όπου w M και w( = υ w) M Θα δείξουμε ότι αυτή η ανάλυση ενός στοιχείου υ H είναι μοναδική Πράγματι, από w + w = υ = z + z, w, z M, w, z M, παίρνουμε M w z = ( w z ) M Επειδή M M = {}, w = z και w = z Αυτό δείχνει ότι η ανάλυση είναι μοναδική Συνεπώς, μπορούμε να ορίσουμε τους ακόλουθους τελεστές (3) PM : H M, PM : H M όπου οι αντίστοιχοι ορισμοί του P M και P M δίνονται από (33) P υ = υ, αν υ M M και PM υ = w, αν υ H \ M (34) P M υ =, αν υ M και PM υ = υ w, αν υ H \ M 6

Η μοναδικότητα της ανάλυσης δηλώνει ότι P M = PM έτσι δε χρειάζεται να προσέχουμε που θα τοποθετούμε το " " Για την καλύτερη κατανόηση των ορισμών, κατασκευάζουμε το παρακάτω σχήμα (35) Πρόταση Για δοσμένο κλειστό υπόχωρο Μ του Η και υ H, υπάρχει μοναδική ανάλυση (36) υ = PM υ+ P υ M, όπου P M : H M και P : H M M Με άλλα λόγια (37) H = M M (Δηλαδή H = M + M και M M = {}, αφού M, M είναι κλειστοί γραμμικοί υπόχωροι του Η ) Παρατήρηση : Οι τελεστές P M και PM είναι γραμμικοί τελεστές Για να το δείξουμε αυτό, από την παραπάνω πρόταση έχουμε ότι 7

όπου aυ + βυ = P ( aυ + βυ ) + P ( aυ + βυ ), M M υ = P υ + P υ και υ = PM υ + P υ M M M Το οποίο είναι P ( aυ + βυ ) + P ( aυ + βυ ) = aυ + βυ = ( αp υ + β P υ ) + ( αp υ + β P υ ) M M M M M M Η μοναδικότητα της ανάλυσης του αυ+ βυ και οι ορισμοί του P και M M δηλώνουν ότι P και έτσι P ( aυ + βυ ) = ap υ + β P υ M M M P ( aυ + βυ ) = ap υ + β P υ, P και M M M M PM είναι γραμμικοί (38) Πρόταση Ένας τελεστής Ρ πάνω σε ένα γραμμικό χώρο V είναι μία προβολή αν P = P, πχ, Pz = z για όλα τα z στην εικόνα του Ρ Παρατήρηση : Το γεγονός ότι P M είναι μία προβολή έπεται από τον ορισμό του Επίσης, ότι P είναι προβολή έπεται από την σχέση PM M = PM 4 ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ RIESZ Για δοσμένο u H, αναφέρουμε ότι ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό Lu μπορεί να οριστεί πάνω στον Η ως L ( ) (, ) u υ = u υ Το ακόλουθο θεώρημα αποδεικνύει ότι το αντίστροφο είναι επίσης αληθές (4) Θεώρημα (Θεώρημα Αναπαράστασης Risz) Οποιοδήποτε συνεχές γραμμικό συναρτησιακό L πάνω σε ένα χώρο Hilbrt H μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως L( υ) = ( u, υ) για κάποιο u H Επιπλέον, έχουμε: L = u H' H 8

Παρατήρηση : Σύμφωνα με το Θεώρημα Αναπαράστασης Risz, υπάρχει μία φυσική ισομετρία ανάμεσα τον Η και στον Η ( u H Lu H') Γι αυτό το λόγο, ο Η και ο Η συχνά ταυτίζονται 5 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΟΥ (ΑΣΘΕΝΟΥΣ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ο σκοπός του υπόλοιπου κεφαλαίου είναι να εφαρμόσουμε τη θεωρία χώρων Hilbrt, η οποία αναπτύχθηκε στις προηγούμενες παραγράφους, για να πάρουμε αποτελέσματα ύπαρξης και μοναδικότητας για τη μεταβολική διατύπωση των συνοριακού προβλήματος τιμών (5) Ορισμός Μία διγραμμική μορφή α (,) πάνω σε ένα γραμμικό χώρο με νόρμα Η λέγεται ότι είναι φραγμένη (ή συνεχής) αν < έτσι ώστε C α( u, υ) C uhυ H u, υ H Σχόλιο: Ιδιότητα της συνέχειας (cotiuity) και corciv πάνω στο V H αν C > έτσι ώστε α ( υυ, ) C H υ υ V Σχόλιο: Ιδιότητα της corcivity (5) Πρόταση Έστω ότι ο Η είναι χώρος Hilbrt και υποθέτουμε ότι α (,) είναι μία συμμετρική διγραμμική μορφή η οποία είναι συνεχής πάνω στο Η και corciv πάνω σε ένα υπόχωρο V του Η Τότε o (V, α (,) ) είναι ένας χώρος Hilbrt Παρατήρηση : Η Πρόταση (5) δηλώνει ότι η συμμετρική διγραμμική μορφή α (,) ορίζει εσωτερικό γινόμενο πάνω στον κλειστό υπόχωρο V Παρατήρηση : Η ενεργειακή νόρμα (rgy orm) για τη συμμετρική διγραμμική μορφή α (,) ορίζεται από τη σχέση u E: = α( u, u) Μία κρίσιμη σχέση ανάμεσα στην ενεργειακή νόρμα και το εσωτερικό γινόμενο είναι η ανισότητα Caucy- Scwarz α ( u, υ) ue υ E u, υ V Γενικότερα, ένα συμμετρικό μεταβολικό πρόβλημα τίθεται όπως ακολουθεί Υποθέτουμε ότι οι ακόλουθες τρεις συνθήκες είναι έγκυρες: () (H, (, ) ) είναι ένας χώρος Hilbrt (53) () V είναι ένας (κλειστός) υπόχωρος του Η (3) α (,) είναι μία φραγμένη, συμμετρική διγραμμική μορφή η οποία είναι corciv πάνω στο V 9

Τότε το συμμετρικό μεταβολικό πρόβλημα είναι το ακόλουθο (54) Για δοσμένο F V ', βρείτε u V έτσι ώστε α( u, υ) = F( υ) υ V (55) Θεώρημα Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες () έως και (3) της (53) ισχύουν Τότε υπάρχει ένα μοναδικό u V που λύνει το (54) Το (Ritz-Galrki) Προσεγγιστικό Πρόβλημα είναι το ακόλουθο Για ένα δοσμένο υπόχωρο πεπερασμένης διάστασης V V και για δοσμένο F V ', βρείτε u V έτσι ώστε (56) α( u, υ) = F( υ) υ V (57) Θεώρημα Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες () έως και (3) της (53) ισχύουν Τότε υπάρχει ένα μοναδικό u V που λύνει το (56) Οι εκτιμήσεις σφάλματος για το u u (που ακολουθούν στα επόμενα κεφάλαια) είναι μία συνέπεια της παρακάτω σχέσης (58) Πρόταση (Galrki Ortogoality) Έστω u και u είναι λύσεις του (54) και του (56) αντίστοιχα Τότε α( u u, υ) = υ V (59) Πόρισμα u u = mi u υ E υ V E Παρατήρηση 3: Το Πόρισμα (59) δηλώνει ότι η προσέγγιση Galrki u ταυτίζεται με την προβολή (ή βέλτιστη προσέγγιση) u, διότι η διγραμμική μορφή α (,) είναι συμμετρική και συνεπώς θα ορίζει εσωτερικό γινόμενο Σημείωση: Το Πόρισμα (59) είναι έγκυρο μονάχα στη συμμετρική περίπτωση 6 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΜΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΟΥ (ΑΣΘΕΝΟΥΣ) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ένα μη συμμετρικό μεταβολικό πρόβλημα τίθεται όπως ακολουθεί Υποθέτουμε ότι οι ακόλουθες πέντε συνθήκες είναι έγκυρες: () (H, (,) ) είναι ένας χώρος Hilbrt () V είναι ένας (κλειστός) υπόχωρος του Η

(6) (3) α (,) είναι μία διγραμμική μορφή πάνω στο V, όχι απαραίτητα συμμετρική (4) α (,) είναι συνεχής (φραγμένη) πάνω στο V (5) α (, ) είναι corciv πάνω στο V Τότε το μη συμμετρικό μεταβολικό πρόβλημα είναι το ακόλουθο (6) Για δοσμένο F V ', βρείτε u V έτσι ώστε α( u, υ) = F( υ) υ V Το (Galrki) Προσεγγιστικό Πρόβλημα είναι το ακόλουθο Για ένα δοσμένο υπόχωρο πεπερασμένης διάστασης V V και για δοσμένο F V ', βρείτε u V έτσι ώστε (63) α( u, υ) = F( υ) υ V 7 ΘΕΩΡΗΜΑ LAX MILGRAM Θέλουμε να αποδείξουμε την ύπαρξη και τη μοναδικότητα της λύσης του (μη συμμετρικού) μεταβολικού προβλήματος: (7) Βρείτε u V έτσι ώστε α( u, υ) = F( υ) υ V, όπου V είναι ένας χώρος Hilbrt, F V ' και α (,) είναι μία συνεχής, corciv διγραμμική μορφή η οποία δεν είναι απαραίτητα συμμετρική Το Θεώρημα Lax- Milgram εγγυάται ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του (7) (7) Θεώρημα (Lax-Milgram) Για ένα δοσμένο χώρο Hilbrt ( V,(, )), μία συνεχής, corciv διγραμμική μορφή α (,) και ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό F V ', υπάρχει ένα μοναδικό u V έτσι ώστε (73) α( u, υ) = F( υ) υ V Παρατήρηση : Ισχύει ότι u V (/ C ) F V' όπου C είναι η σταθερά της corcivity Πράγματι από ορισμό F V' = sup u V Fu ( ) u V έχουμε Fu ( F u ) V' V Fu ( ) = α ( uu, ) C uv Άρα, F u C u F V C u V ' V V ' V Επίσης,

(74) Πόρισμα Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες (6) ισχύουν Τότε το μεταβολικό πρόβλημα (6) έχει μοναδική λύση (75) Πόρισμα Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες (6) ισχύουν Τότε το προσεγγιστικό πρόβλημα (63) έχει μοναδική λύση Παρατήρηση : O V δε χρειάζεται να είναι πεπερασμένης διάστασης για το (63) για να είναι καλά ορισμένο 8 ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ Έστω ότι u είναι η λύση του μεταβολικού προβλήματος (6) και u είναι η λύση του προσεγγιστικού προβλήματος (63) Τώρα, θέλουμε να εκτιμήσουμε το σφάλμα u u V Αυτό το κάνουμε ακολουθώντας το παρακάτω θεώρημα (8) Θεώρημα (Ca) Υποθέτουμε ότι οι συνθήκες (6) ισχύουν και ότι το u λύνει το (6) Για το μεταβολικό πρόβλημα πεπερασμένου στοιχείου (63) έχουμε C (8) u u V ifυ V u υ V, C όπου C είναι η σταθερά της συνέχειας (cotiuity) και C είναι η σταθερά της corcivity της διγραμμικής μορφής α (,) πάνω στο V (83) Θεώρημα (Θεώρημα Προβολής) Έστω U χώρος Hilbrt και V κλειστός υπόχωρος του U Για κάθε u U υπάρχει μοναδικό u V τέτοιο ώστε ( u u, υ) =, υ V Επιπλέον το u ικανοποιεί τη σχέση: u u= miυ V u υ Το u καλείται προβολή του u στο V ή βέλτιστη προσέγγιση του u στο V

Παρατηρήσεις: (i) Το Θεώρημα Ca δείχνει ότι το u είναι σχεδόν-βέλτιστο (quasi-optimal), δηλαδή το σφάλμα u u V είναι ανάλογο στον καλύτερο υπόχωρο V που μπορεί να χρησιμοποιηθεί (ii) Στη συμμετρική περίπτωση, δείξαμε ότι u u = mi u υ E υ V E Επομένως, C u u u u u u V α (, ) V α E C u u ( ( u u, u u )) = u u, ή πράγματι 3

u u u u = mi u υ = mi ( α( u υ, u υ)) V E υ V E υ V C C C C C mi υ V ( C u υ Vu υ V ) mi υ V u υ V mi υ V u υ V C C C αυτό είναι το αποτέλεσμα του λήμματος Ca Η τελευταία ανισότητα προκύπτει από C u α ( u, u) C u V H C Τότε Cu H C uv δηλαδή C Άρα C C C C Αυτή η παρατήρηση αφορά τη σχέση ανάμεσα στις δύο διατυπώσεις, κυρίως ότι η μία μπορεί να προκύψει από την άλλη Σημείωση : Αν η διγραμμική μορφή α (,) είναι συμμετρική τότε η λύση u του προσεγγιστικού προβλήματος ταυτίζεται με τη βέλτιστη προσέγγιση u Δηλαδή u u = u u u u u u, αλλιώς 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΝΟΣ ΧΩΡΟΥ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Για να προσεγγίσουμε τη λύση ενός μεταβολικού προβλήματος (variatioal problm), α ( u, υ) = F( υ) υ V, Σχόλιο: Είναι το πρόβλημα σε ασθενή μορφή χρειαζόμαστε να κατασκευάσουμε υπόχωρους πεπερασμένης διάστασης S V με ένα συστηματικό και πρακτικό τρόπο Επιπλέον, έχουμε ανάγκη να απαντήσουμε τις παρακάτω ερωτήσεις έτσι ώστε να κατανοήσουμε πλήρως πως ορίζονται οι συναρτήσεις σε ένα χώρο S : ον : Πώς είναι μια συνάρτηση σε ένα δοσμένο υποδιάστημα; ον : Με ποιο τρόπο αποφασίζουμε τη συνάρτηση σε ένα δοσμένο υποδιάστημα; 3 ον : Με ποιο τρόπο οι περιορισμοί μιας συνάρτησης σε δύο γειτονικά υποδιαστήματα, ταιριάζουν στο κοινό τους σύνορο; Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ορίσουμε κατά τμήματα χώρους συναρτήσεων και θα αναπτύξουμε σενάρια τα οποία θα βοηθήσουν να απαντήσουμε αυτές τις ερωτήσεις 3 ΤΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ Ακολουθεί ο ορισμός ενός πεπερασμένου στοιχείου, όπως διατυπώθηκε από τον Ciarlt το 978 (3) Ορισμός Έστω (i) Κ να είναι ένα χωρίο με κατά τμήματα λείο σύνορο (το χωρίο του στοιχείου) (ii) P είναι ένας πεπερασμένης διάστασης χώρος συναρτήσεων στο Κ (οι συναρτήσεις σχήματος) (iii) Ν = { Ν, Ν,, Ν k } είναι μια βάση για το Ρ (οι odal μεταβλητές ) Τότε το ( Κ, Ρ, Ν ) ονομάζεται πεπερασμένο στοιχείο Σχόλιο: Οι συναρτήσεις K Άρα είναι γραμμικές μορφές Σχόλιο: dimp = k =dimp Σημείωση : Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι odal μεταβλητές, Ν i, βρίσκονται στο δυϊκό χώρο κάποιου μεγαλύτερου συναρτησιακού χώρου, πχ ενός χώρου Sobolv 5

(3) Ορισμός Έστω ( Κ, Ρ, Ν ) είναι ένα πεπερασμένο στοιχείο και έστω {φ, φ,, φ k } είναι μια βάση για το Ρ δυϊκή προς το Ν (Ν i (φ j ) = δ ij ) Αυτή ονομάζεται odal βάση του Ρ Σχόλιο: Είναι ένα σύστημα κ εξισώσεων με κ αγνώστους Παράδειγμα (το μονοδιάστατο στοιχείο Lagrag) Έστω Κ = [, ], Ρ = το σύνολο των γραμμικών πολυωνύμων, δηλαδή Ρ = { p(x) = ax+b a,b } = { a x + b a,b } = <x,> Συνεπώς dimρ = και μια βάση του Ρ είναι η {, x } (κανονική βάση), όχι αναγκαστικά η odal βάση Ν = { Ν, Ν } οι odal μεταβλητές, Ν i : Ρ γραμμικές μορφές και υ Ρ Ορίζουμε Ν (υ) := υ() και Ν (υ) := υ() υ Ρ Πράγματι : Ν (λυ +μυ ) = (λυ +μυ )() = λυ ()+μυ () = λ Ν (υ ) + μν (υ ) Ν (λυ +μυ ) = (λυ +μυ )() = λυ ()+μυ () = λ Ν (υ ) + μν (υ ) Άρα είναι γραμμικές Θα δείξουμε ότι τα Ν, Ν είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή λ Ν +λ Ν = Πράγματι : (λ Ν +λ Ν )(υ) = (υ) = λ Ν (υ) + λ Ν (υ) = λ υ() + λ υ() = υ Ρ Επομένως για (i) υ(x) = x λ + λ = λ = (ii) υ(x) = λ + λ = λ = Άρα τα Ν, Ν είναι γραμμικά ανεξάρτητα Σχόλιο: Το {, x } είναι μια κανονική βάση για το Ρ, αλλά αυτό δε σημαίνει ότι θα είναι και odal βάση για το Ρ Αυτό πρέπει να ελέγξουμε Σχόλιο: Η μηδενική απεικόνιση Η odal βάση βρίσκεται ως εξής Έστω φ (x) = ax+b και φ (x) = cx + d Ν (φ ) = = φ () Ν (φ ) = = φ () Ν (φ ) = = φ () Ν (φ ) = = φ () Τότε a = -, b =, c =, d = Επομένως φ (x) = -x+ και φ (x) = x Τότε το ( Κ, Ρ, Ν ) είναι ένα πεπερασμένο στοιχείο και η odal βάση αποτελείται από τις φ (x) = -x+ και φ (x) = x Αυτή η διαδικασία θα μπορούσε να γενικευτεί για Κ = [a, b], Ρ k = το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού μικρότερου ή ίσου με k, Ν k = {Ν, Ν, Ν,, Ν k }, όπου Ν i (υ) = υ(a + ( b-a)i/k) υ Ρ k και i =,,, k Τότε το ( Κ, Ρ k, Ν k ) είναι ένα πεπερασμένο στοιχείο Αυτό επιβεβαιώνεται με το παρακάτω λήμμα Σημείωση : Η συνθήκη (iii) του ορισμού 3 είναι συνήθως που απαιτεί την περισσότερη δουλειά στα παρακάτω (33) Λήμμα Έστω Ρ είναι ένας d-διάστατος διανυσματικός χώρος και έστω { Ν, Ν,, Ν d } είναι ένα σύνολο του δυϊκού χώρου Ρ Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα (α) Η { Ν, Ν,, Ν d } είναι μια βάση του Ρ (β) Για δοσμένο υ Ρ, με Ν i (υ) = για i =,,,d, τότε υ 6

Απόδειξη ( ) Έστω { φ, φ,, φ d } είναι κάποια βάση για το Ρ, { Ν, Ν,, Ν d } είναι μια βάση για το Ρ αν και μόνο αν για οποιοδήποτε L στο Ρ, έχουμε : L = α Ν ++ α d Ν d (I), επειδή d = dim Ρ = dim Ρ (αφού τα Ν, Ν,, Ν d είναι γραμμικά ανεξάρτητα ) Η εξίσωση (Ι) είναι ισοδύναμη με την y i := L(φ i ) = α Ν (φ i )++ α d Ν d ( φ i ), i =,,,d Έστω B = [N j (φ i )], i,j =,,,d Έτσι, η (α) είναι ισοδύναμη με το Bα = y Αυτό το σύστημα είναι πάντα επιλύσιμο, το οποίο είναι το ίδιο με το να πούμε ότι ο Β είναι αντιστρέψιμος Πράγματι στο σύστημα, τα α i είναι οι άγνωστοι Συνεπώς, για να έχει το σύστημα μοναδική λύση πρέπει dtb Όμως, rakb = d, επειδή έχουμε d το πλήθος γραμμικά ανεξάρτητα Ν i και αντίστοιχα φ i Άρα ο Β είναι όντως αντιστρέψιμος Για οποιοδήποτε δοσμένο υ Ρ, αυτό μπορεί να γραφεί ως υ = β φ ++ β d φ d Ν i (υ) = σημαίνει ότι β Ν i (φ )++ β d Ν i ( φ d ) = Συνεπώς, η (β) είναι ισοδύναμη με το β Ν i (φ )++ β d Ν i ( φ d ) =, i =,,,d (ΙΙ) β = = β d = Έστω C = [N i (φ j )], i,j =,,,d Όμως C = B Τ, αφού B = [N j (φ i )] Επομένως, αν ο B είναι αντιστρέψιμος θα είναι και ο C, διότι dtc = dt B Τ = dtb Λόγω της (ΙΙ) η (β) είναι ισοδύναμη με το σύστημα Cx = και επειδή ο C είναι αντιστρέψιμος, το σύστημα έχει μοναδική λύση τη μηδενική Επομένως, η (α) είναι ισοδύναμη με τη (β) ( ) Θα δείξουμε ότι η (β) είναι ισοδύναμη με τη (α) Έστω Ν i (υ) = υ = Το υ μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των φ, φ,, φ d, διότι το σύνολο {φ, φ,, φ d } είναι κάποια βάση για το Ρ Συνεπώς, υ = β φ ++ β d φ d με υ =( β,, β d ) Έχουμε Ν i (υ) = βν (φ )++ β d Ν ( φ d ) = β Ν d (φ )++ β d Ν d ( φ d ) = [N i (φ j )][ β,, β d ] T = Άρα η β = = β d = είναι μοναδική λύση αν και μόνο αν rakb Τ = d αν και μόνο αν ο B Τ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν ο B = [N j (φ i )] είναι αντιστρέψιμος Αν ο Β είναι αντιστρέψιμος, αυτό σημαίνει ότι το σύστημα Bα = y έχει πάντα μοναδική λύση Αυτό είναι ισοδύναμο με τη συνθήκη (α) Άρα η { Ν, Ν,, Ν d } είναι μια βάση για το Ρ Σχόλιο: Από το ευθύ μέρος της απόδειξης, όπως δείξαμε παραπάνω 7

Παρατήρηση : Η συνθήκη (iii) του ορισμού 3 είναι ίδια με τη συνθήκη (α) του Λήμματος 33, άρα μπορεί να εξεταστεί από τη συνθήκη (β) του Λήμματος 33 Από τη γενική μορφή του παραπάνω παραδείγματος, έχουμε: αν υ Ρ k και = Ν i (υ) = υ(a + ( b-a)i/k) i =,,, k τότε το υ μηδενίζεται σε κ+ σημεία, δηλαδή έχει κ+ ρίζες Όμως το υ είναι ένα πολυώνυμο με βαθμό k Έτσι από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας καταλήγουμε σε άτοπο Τότε υ = Συνεπώς, το ( Κ, Ρk, Ν k ) είναι ένα πεπερασμένο στοιχείο Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας: Κάθε πολυώνυμο βαθμού κ, έχει στο σύνολο των μιγαδικών κ ακριβώς ρίζες (34) Ορισμός Λέμε ότι το Ν ορίζει το P αν ψ P με Ν (ψ)= Ν Ν συνεπάγεται ότι ψ = Παρατήρηση : Το υπερεπίπεδο ορίζεται ως {x : L(x) = }, όπου L είναι μία μη εκφυλισμένη γραμμική συνάρτηση Δηλαδή, L(x,,x ) = α x ++ α x + β (35) Λήμμα Έστω Ρ είναι ένα πολυώνυμο βαθμού d που μηδενίζεται στο υπερεπίπεδο L, δηλαδή Ρ L = Τότε μπορούμε να γράψουμε Ρ = LQ, όπου το Q είναι ένα πολυώνυμο βαθμού (d-) 3 ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Έστω Κ ένα οποιοδήποτε τρίγωνο και έστω με Ρ k συμβολίζουμε το σύνολο όλων των πολυωνύμων βαθμού k στις δύο διαστάσεις Ο ακόλουθος πίνακας δίνει τη διάσταση του Ρ k k dim Ρ k 3 6 3 k (k+)(k+) πχ Ρ = {,x,y}, Ρ = {,x,y,xy,x,y },, k k k k k Ρ k = {, x,, x, y, y, xy,, xy, x y,, x y,, x y} 8

Το στοιχείο Lagrag (3) Παράδειγμα (k=) Έστω P = Ρ και έστω Ν = Ν = { Ν, Ν, Ν 3 } (dimρ =3), όπου Ν i (υ) = υ(z i ) και z = (x,y ), z = (x,y ), z 3 = (x 3,y 3 ) είναι οι κορυφές του τρίγωνου Κ Αυτό το στοιχείο φαίνεται παρακάτω και είναι το αριστερό τρίγωνο: Η στα σχήματα δείχνει την τιμή των odal μεταβλητών στα σημεία όπου η τοποθετείται Θα αποδείξουμε τη συνθήκη (iii) του ορισμού 3 χρησιμοποιώντας τη συνθήκη (β) του Λήμματος 33, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι το Ν ορίζει το Ρ Έστω L, L, L 3 είναι μη τετριμμένες γραμμικές συναρτήσεις οι οποίες ορίζουν τις ευθείες γραμμές πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές του τριγώνου Για παράδειγμα, η μορφή για την L 3 είναι: y = ax + b Tα σημεία (x,y ) και (x,y ) ανήκουν στην ευθεία L 3 άρα την επαληθεύουν Οπότε y = ax + b και y = ax + b Επομένως, y - y = a(x -x ) Αν x = x, τότε η εξίσωση είναι της μορφής x = x Αν x x, τότε a = (y - y )/(x -x ), οπότε b = y [(y - y )/(x -x )] x, δηλαδή b = (y x - y x )/ (x -x ) Άρα L 3 : y = [(y - y )/(x -x )]x + (y x - y x )/ (x -x ) Υποθέτουμε ότι ένα πολυώνυμο Ρ Ρ μηδενίζεται στα z, z, z 3, δηλαδή θεωρούμε το υ = Ρ έτσι ώστε Σχόλιο: Το αριστερό σχήμα αντιστοιχεί σε ένα γραμμικό τρίγωνο Lagrag, ενώ το δεξιό σχήμα αντιστοιχεί σε ένα ocoformig γραμμικό τρίγωνο Crouzix-Raviart Ν (Ρ) = Ρ(z ) = Ν (Ρ) = Ρ(z ) = 9