Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα ισχύει η απαλοιφή) (= κάποια δύναμη μηδενίζεται, είναι αυτομάτως μηδενοδιαιρέτης) 1 (= δακτ. απαλοιφής, αντιμεταθετικός, με 1) (σε δακτύλιο με 1) (με 1, R = R {0} (=πολλαπλασιαστικά αντιστρέψιμο, το σύνολό τους είναι αυτομάτως δακτύλιος απαλοιφής) είναι η πολλαπλασιαστική ομάδα R ) (=αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης, είναι αυτομάτως ακέραια περιοχή) Βεβαιωθείτε ότι γνωρίζετε επακριβώς τους ορισμούς, και ξέρετε αρκετά παραδείγματα για την κάθε περίπτωση. Ειδικότερα, ο προσδιορισμός της τάξης της πολλαπλασιαστικής ομάδας R για R = Z/n οδηγεί στα θεωρήματα Fermat και Euler (Fraleigh, 4.3) 2 Μορφισμοί: Ομομορφισμοί δακτυλίων Ιδεώδη Fraleigh, 5.1. Ορισμός,,. Ορισμός (αριστερού, δεξιού, αμφίπλευρου),. Θεώρημα. Ο πυρήνας ενός ομομορφισμού δακτυλίων ϕ : A B είναι αμφίπλευρο ιδεώδες του A. Κατασκευή δακτυλίου-πηλίκο A/I, όπου I είναι οποιοδήποτε αμφίπλευρο ιδεώδες του A. Άρα, αντίστροφα προς το παραπάνω θεώρημα, κάθε αμφίπλευρο ιδεώδες είναι πυρήνας ενός ομομορφισμού δακτυλίων, και ειδικότερα του ομομορφισμού A A/I. Θεώρημα. Η εικόνα ενός ομομορφισμού δακτυλίων ϕ : A B είναι υποδακτύλιος ισόμορφος με τον A/ ker(ϕ). 3 Σημείωση για την ορολογία: θεωρία κατηγοριών Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα μαθηματικά, ορίζουμε διαφόρων ειδών αντικείμενα, με συγκεκριμένη δομή το καθένα, και απεικονίσεις ή μορφισμούς μεταξύ τους, που σέβονται αυτή τη δομή. Μια οικογένεια αντικειμένων και μορφισμών (που ικανοποιούν ορισμένες προφανείς ιδιότητες, 1

δείτε π.χ. http://en.wikipedia.org/wiki/category_(mathematics)) λέγεται κατηγορία. Για να συνεννοούμαστε, υπάρχει μία γενική γλώσσα («θεωρία κατηγοριών») που περιγράφει διάφορες γενικές ιδιότητες και κατασκευές σε μία κατηγορία ή μεταξύ κατηγοριών. Παραδείγματα κατηγοριών είναι: Αντικείμενα Μορφισμοί Σύνολα Απεικονίσεις Τοπολογικοί χώροι Συνεχείς απεικονίσεις Ομαλές (C ) πολλαπλότητες Ομαλές απεικονίσεις Ομάδες Ομομορφισμοί ομάδων Διανυσματικοί χώροι Γραμμικοί τελεστές Δακτύλιοι Ομομορφισμοί δακτυλίων Οι μορφισμοί μεταξύ δύο αντικειμένων A και B είναι πάντα ένα σύνολο,¹ και οι μορφισμοί από το A στον εαυτό του περιλαμβάνουν πάντα έναν (και μοναδικό) ταυτοτικό μορφισμό Id A. Σε κάθε κατηγορία, έχουμε τις εξής έννοιες: Ένας μορφισμός από ένα αντικείμενο A στον εαυτό του καλείται ενδομορφισμός του A. Ένας μορφισμός ϕ από το A στο B καλείται ισομορφισμός αν υπάρχει μορφισμός ψ από το B στο A τέτοιος ώστε ψ ϕ = Id A και ϕ ψ = Id B. Ένας ενδομορφισμός που είναι και ισομορφισμός καλείται αυτομορφισμός. Άσκηση. Περιγράψτε τους ενδομορφισμούς, ισομορφισμούς και αυτομορφισμούς σε καθεμιά από τις παραπάνω κατηγορίες. Σημείωση. Σε κάθε ειδική περίπτωση μπορεί να υπάρχουν και άλλα ονόματα για τα παραπάνω, π.χ. ένας ισομορφισμός στους τοπολογικούς χώρους καλείται και ομοιομορφισμός. Επομένως, επιστρέφοντας στην προηγούμενη παράγραφο, καταλαβαίνουμε τι θα πει «η εικόνα είναι υποδακτύλιος ισόμορφος με τον A/ ker(ϕ)»: ότι υπάρχει ένας ισομορφισμός δακτυλίων από τον A/ ker(ϕ) στην εικόνα του ϕ, ο οποίος επιδέχεται αντίστροφο (με την παραπάνω έννοια, που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ισοδύναμη με την απαίτηση ο ομομορφισμός να είναι 1-1 και επί άσκηση!). Μάλιστα, στη συγκεκριμένη περίπτωση, μπορούμε να πούμε κάτι παραπάνω: ότι υπάρχει ένας διακεκριμένος τέτοιος ισομορφισμός δακτυλίων, αυτός που επάγεται από τον ϕ: Για κάθε στοιχείο του A/ ker(ϕ) πάρε έναν αντιπρόσωπο στον A και χρησιμοποίησε την ϕ για να τον στείλεις στην εικόνα του ϕ. 4 Ιδεώδη σε ευκλείδειες περιοχές Η έννοια της ευκλείδειας περιοχής ορίζεται στον Fraleigh στην 6.2, αλλά δε θα μας απασχολήσει αφηρημένα. Μας ενδιαφέρει μόνο ότι στον δακτύλιο Z των ακεραίων και τον δακτύλιο F [X] των πολυωνύμων μίας μεταβλητής πάνω από ένα σώμα εφαρμόζονται οι ίδιες μέθοδοι, που συμπεριλαμβάνουν ¹Αυτό δεν είναι τελείως αλήθεια: Υπάρχει και πιο γενική θεωρία κατηγοριών, όπου οι μορφισμοί μεταξύ αντικειμένων δεν είναι απαραίτητο να αποτελούν ένα σύνολο, βλ. http: //ncatlab.org/nlab/show/enriched+category. 2

τον αλγόριθμο της διαίρεσης και ένα μέτρο για το πόσο «μεγάλο» είναι ένα στοιχείο (ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης να είναι πάντα «μικρότερο» από τον διαιρέτη). Αυτό το μέτρο είναι η απόλυτη τιμή στους ακεραίους, και ο βαθμός στα πολυώνυμα. Χρησιμοποιώντας αντίστοιχες μεθόδους, αποδείξαμε τα παρακάτω, που εμφανίζονται στην 5.2 του Fraleigh: Θεώρημα. Κάθε ιδεώδες του Z είναι της μορφής n Z, όπου n κάποιος ακέραιος αυτός ο ακέραιος ορίζεται μοναδικά από το ιδεώδες, πέρα από πολλαπλασιασμό με μία μονάδα, δηλαδή με το ±1. Κάθε ιδεώδες του F [X] είναι της μορφής P F [X], όπου το P (X) είναι κάποιο πολυώνυμο αυτό το πολυώνυμο ορίζεται μοναδικά από το ιδεώδες, πέρα από πολλαπλασιασμό με μία μονάδα, δηλαδή με ένα στοιχείο του F. Δείξαμε επίσης ότι για κάθε σύνολο στοιχείων {r 1, r 2,... } σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο υπάρχει ένα ελάχιστο ιδεώδες που τα περιέχει, το οποίο συμβολίζεται (r 1, r 2,... ). (Αντίστοιχος ισχυρισμός μπορεί να διατυπωθεί στους μη αντιμεταθετικούς, αλλά επειδή πρέπει κανείς να διευκρινίσει αν εννοεί αριστερό, δεξί ή αμφίπλευρο ιδεώδες, ο συμβολισμός αυτός δεν είναι εξίσου διαδεδομένος.) Επομένως, τα ιδεώδη του παραπάνω θεωρήματος μπορούν να γραφτούν (n) και (P ), αντιστοίχως. Ο συμβολισμός αυτός είναι συμβατός με το σύμβολο του μέγιστου κοινού διαιρέτη, με την εξής έννοια: αποδείξαμε ότι για ακεραίους n 1, n 2,..., το ιδεώδες (n 1, n 2,... ) είναι το ιδεώδες που παράγεται από τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των n i. 5 Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη Fraleigh, 5.2. Ορισμός μέγιστου και πρώτου ιδεώδους (σε αντιμεταθετικό δακτύλιο). Θεώρημα. Κάθε μέγιστο ιδεώδες σε αντιμεταθετικό δακτύλιο με 1 είναι πρώτο. Θεώρημα. Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 είναι σώμα αν και μόνο αν το μόνο γνήσιο ιδεώδες του είναι το μηδενικό. Θεώρημα. Έστω αντιμεταθετικός δακτύλιος και I ιδεώδες. Ο ομομορφισμόςπηλίκο A A/I δημιουργεί μία 1-1 και επί αντιστοιχία μεταξύ ιδεωδών του A που περιέχουν το I και ιδεωδών του δακτυλίου-πηλίκο A/I. Σε αυτήν την αντιστοιχία, πρώτα ιδεώδη αντιστοιχούν σε πρώτα ιδεώδη, και μέγιστα σε μέγιστα. Σημείωση. Μέρος του θεωρήματος γενικεύεται σε οποιουσδήποτε ομομορφισμούς A B αντιμεταθετικών δακτυλίων ως εξής: Η αντίστροφη εικόνα ιδεώδους του B είναι ιδεώδες του A, και η αντίστροφη εικόνα πρώτου ιδεώδους είναι πρώτο ιδεώδες. Άσκηση. Αποδείξτε το θεώρημα της παραπάνω σημείωσης. Δείξτε με ένα παράδειγμα ότι αν αντικαταστήσουμε τη λέξη «πρώτο» με τη λέξη «μέγιστο», ο ισχυρισμός δεν ισχύει! 3

Θεώρημα. Έστω A αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1. Ένα ιδεώδες I του A είναι μέγιστο αν και μόνο αν ο δακτύλιος-πηλίκο A/I είναι σώμα, και πρώτο αν και μόνο αν ο δακτύλιος-πηλίκο A/I είναι ακέραια περιοχή. Πρώτα και μέγιστα ιδεώδη στον Z και τον F [X]. Ανάγωγα στοιχεία. Θεώρημα: κάθε μη μηδενικό πρώτο είναι μέγιστο, και ένα μη μηδενικό ιδεώδες (f) είναι πρώτο/μέγιστο αν και μόνο αν το f είναι ανάγωγο. 6 Ομομορφισμοί εκτίμησης σε δακτυλίους πολυωνύμων, και σώμα πηλίκων μιας ακεραίας περιοχής Fraleigh, 4.5, 4.4. Η σχέση μεταξύ αυτών των δύο θεμάτων είναι η εξής: Έστω ο πολυωνυμικός δακτύλιος R = F [X 1,..., X n ] όπου το F είναι σώμα. Για κάθε a = (a 1,..., a n ) F n, ο ομομορφισμός εκτίμησης: ev a : R f f(a 1,..., a n ) F είναι ένας μη μηδενικός ομομορφισμός από το δακτύλιο R στο σώμα F. Αποδείξαμε ότι ο πυρήνας του είναι το μέγιστο ιδεώδες m a = (X 1 a 1,..., X n a n ), και αναφέραμε το Nullstellensatz του Hilbert, μια ειδική περίπτωση του οποίου λέει ότι αν το F είναι αλγεβρικά κλειστό, τότε κάθε μέγιστο ιδεώδες του R είναι αυτής της μορφής. Για δακτυλίους (αντιμεταθετικούς, με 1) που δεν είναι πολυωνυμικοί πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, κάθε ομομορφισμός της μορφής R R/m, όπου m είναι μέγιστο ιδεώδες, μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση των ομομορφισμών εκτίμησης, αφού έχουμε δει ότι το πηλίκο R/m είναι σώμα. Τέλος, ακόμα μεγαλύτερη γενίκευση είναι οι ομομορφισμοί της μορφής: R R/p K(R/p), όπου K( ) αναπαριστά το σώμα πηλίκων μιας ακεραίας περιοχής. 7 ΠΚΙ και ΠΜΑ Fraleigh, 6.1. Ορισμός ΠΚΙ και ΠΜΑ. Κάθε ΠΚΙ είναι ΠΜΑ. Αν η R είναι ΠΜΑ, τότε και η R[X] είναι ΠΜΑ. Συμπέρασμα: κάθε πολυωνυμικός δακτύλιος R[X 1,..., X n ], όπου η R είναι ΠΚΙ (π.χ., σώμα) είναι ΠΜΑ. 8 Πρότυπα Έστω R δακτύλιος. Ένα (αριστερό) R-πρότυπο είναι μία αβελιανή ομάδα M μαζί με έναν ομομορφισμό δακτυλίων: ϕ : R End(M). Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο, θα απαιτούμε επιπλέον αυτό να απεικονίζεται στο μοναδιαίο στοιχείο του End(M), τον ταυτοτικό τελεστή. Η λέξη «αριστερό» 4

περιττεύει αν ο δακτύλιος είναι αντιμεταθετικός. Θα γράφουμε: r m := ϕ(r)(m). (Επομένως, έχουμε μία απεικόνιση: R M M που ικανοποιεί κάποια αξιώματα. Καλό θα ήταν να ελέγξετε τι σημαίνει η συνθήκη «ομομορφισμός δακτυλίων» για αυτήν την απεικόνιση.) Ένας μορφισμός, ή ομομορφισμός R-προτύπων: M N είναι ένας ομομορφισμός ομάδων: f : M N που είναι συμβατός με τη δράση της R, δηλαδή: f(r m) = r f(m) για κάθε r R, m M. Έχουμε λοιπόν ορίσει την κατηγορία των προτύπων. Τώρα μπορούμε να αρχίσουμε να ταυτίζουμε συγκεκριμένα είδη προτύπων με πιο γνωστά αντικείμενα. Στα παρακάτω παραδείγματα, όταν λέμε «το ίδιο» εννοούμε «ως κατηγορίες». (Δηλαδή, όχι μόνο τα αντικείμενα μπορούν να ταυτιστούν, αλλά και οι μορφισμοί.) Example 1. Έστω R = Z. Τότε R-πρότυπα είναι το ίδιο με αβελιανές ομάδες. Example 2. Έστω R = F, ένα σώμα. Τότε R-πρότυπα είναι το ίδιο με διανυσματικούς χώρους πάνω από το F. Example 3. Έστω R = F [X], ο δακτύλιος των πολυωνύμων πάνω από ένα σώμα. Τότε R-πρότυπα είναι το ίδιο με ζεύγη (V, T ), όπου ο V είναι διανυσματικός χώρος και ο T είναι γραμμικός τελεστής (ενδομορφισμός): V V. Εδώ, ένας «μορφισμός» (V 1, T 1 ) (V 2, T 2 ) είναι μία γραμμική απεικόνιση f : V 1 V 2 που είναι συμβατή με τους τελεστές: T 2 (f(v 1 )) = T 2 (f(t 1 v 1 )). 9 Θεώρημα δομής πεπερασμένα παραγόμενων προτύπων πάνω από ΠΚΙ Ένα R-πρότυπο M καλείται πεπερασμένα παραγόμενο αν υπάρχουν πεπερασμένα το πλήθος στοιχεία m 1, m 2,... m n τέτοια ώστε το ελάχιστο υποπρότυπο που τα περιέχει να είναι το ίδιο το M, δηλαδή: M = Rm 1 + + Rm n. (Προσοχή: αυτό δε σημαίνει «ευθύ άθροισμα».) Έστω R μία ΠΚΙ. Τα μη μηδενικά πρώτα (και αυτομάτως μέγιστα) ιδεώδη της είναι της μορφής p = (a), όπου το a είναι κάποιο ανάγωγο στοιχείο (μοναδικά ορισμένο πέρα από πολλαπλασιασμό με μονάδα). Θεώρημα. Έστω R μία ΠΚΙ και M πεπερασμένα παραγόμενο πρότυπο αυτής. Τότε υπάρχουν μοναδικά μη μηδενικά πρώτα ιδεώδη p i, i = 1,..., l, θετικοί ακέραιοι r i και μη αρνητικός ακέραιος r, τέτοιοι ώστε το M να είναι ισόμορφο με το R-πρότυπο: R r R/p r1 1 R/pr l l. Αν R = Z, αυτό είναι το θεώρημα δομής των πεπερασμένα παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Αν R = F, σώμα, τότε δεν υπάρχουν μη μηδενικά πρώτα ιδεώδη, και το θεώρημα απλώς λέει ότι κάθε διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης είναι ισόμορφος με κάποιον R r. Τέλος, αν R = F [X], το 5

θεώρημα συνεπάγεται ότι κάθε φορά που έχουμε έναν διανυσματικό χώρο V με έναν τελεστή T πάνω στον V, μπορούμε να γράψουμε τον V ως ευθύ άθροισμα: F [X]/(p 1 (X) r 1 ) F [X]/(p l (X) r l ), όπου τα p i είναι ανάγωγα πολυώνυμα, και ο τελεστής T δρα ως «πολλαπλασιασμός επί X» σε κάθε όρο του αθροίσματος. 6

Α 1 Να παραδοθούν μετά τις διακοπές του Πάσχα. 1. Για τα παρακάτω, δώστε ένα μη τετριμμένο (μη μηδενικό) παράδειγμα ή εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει. (i) Ένας ακέραιος n που είναι πρώτος προς το 12 και το n 2 3 διαιρείται με το 12. (ii) Ένας ακέραιος n που είναι πρώτος προς το 143(= 11 13) και το n 120 3 διαιρείται με το 143. (iii) Ένας δακτύλιος-πηλίκο μιας ακέραιας περιοχής που έχει μηδενοδιαιρέτες. (iv) Ένας δακτύλιος-πηλίκο ενός δακτυλίου με μηδενοδιαιρέτες που είναι ακέραια περιοχή. (v) Ένας ομομορφισμός δακτυλίων ϕ : A B, όπου ο A και ο B έχουν μοναδιαίο στοιχείο αλλά ϕ(1 A ) 1 B. 2. Έστω R αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1, και A = R[X] ο δακτύλιος των πολυωνύμων σε μία μεταβλητή πάνω από το R. Να περιγράψετε την πολλαπλασιαστική ομάδα A. 3. Περιγράψτε όλους τους ομομορφισμούς από τον δακτύλιο Z Z σε δακτύλιο R. Περιγράψτε όλα τα ιδεώδη του Z Z. 4. Αποδείξτε ότι για ομομορφισμό ϕ : A B αντιμεταθετικών δακτυλίων, η αντίστροφη εικόνα ιδεώδους του B είναι ιδεώδες του A, και η αντίστροφη εικόνα πρώτου ιδεώδους είναι πρώτο ιδεώδες. Δείξτε με ένα παράδειγμα ότι αυτό δεν ισχύει για μέγιστα ιδεώδη. 5. Θεωρούμε το σώμα F = Z/p, όπου ο p είναι πρώτος. Δείξτε ότι η απεικόνιση x x p είναι ένας αυτομορφισμός του F. (Ο αυτομορφισμός αυτός ονομάζεται αυτομορφισμός του Frobenius και είναι εξαιρετικά σημαντικός στη θεωρία αριθμών!) 6. Έστω I R ιδεώδες ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου. Δείξτε ότι το ριζικό I := {a R n Z >0, a n R} είναι επίσης ιδεώδες. Δείξτε ότι αν το I είναι πρώτο τότε I = I, περιγράψτε το ριζικό του I = (0) και βρείτε ένα παράδειγμα ιδεώδους με I I. 7. Εξηγήστε ποιος από τους παρακάτω δακτυλίους είναι σώμα: Q[X]/(X 2 6X + 6), R[X]/(X 2 6X + 6). 7

Α 2 Να παραδοθούν μέχρι τις 9 Ιουνίου. 1. Έστω R δακτύλιος, M ένα (αριστερό) R-πρότυπο και m M. Να δειχθεί ότι το σύνολο ann(m) = {r R rm = 0} είναι (αριστερό) ιδεώδες του R. 2. Έστω P (X) 0 F [X] (όπου F σώμα) και V P = F [X]/(P (X)). Να βρεθεί η διάσταση του F -διανυσματικού χώρου V P. 3. Με συμβολισμούς όπως παραπάνω, θεωρούμε τον V P ως R = F [X]- πρότυπο κατά τον φυσιολογικό τρόπο (πολλαπλασιασμός). Αν 1 είναι η εικόνα του 1 F [X] στον V P, vα περιγραφεί το ιδεώδες ann( 1), και να δειχθεί ότι για κάθε m V P έχουμε ann(m) ann( 1). 4. Έστω P και Q μη μηδενικά πολυώνυμα. Θεωρούμε τον χώρο V = V P V Q. Να επαναληφθεί η παραπάνω άσκηση, αντικαθιστώντας το V P με το V και το 1 V P με το ( 1, 1) V. 5. Έστω διανυσματικός χώρος V πεπερασμένης διάστασης πάνω από το σώμα F, και T γραμμικός τελεστής. Σύμφωνα με το θεώρημα της δομής πεπερασμένα παραγόμενων F [X]-προτύπων, ο V αντιστοιχεί σε ένα F [X]-πρότυπο της μορφής: F [X]/(p 1 (X) r1 ) F [X]/(p l (X) r l ), όπου τα p i είναι ανάγωγα πολυώνυμα, και ο T δρα ως «πολλαπλασιασμός επί X». Να περιγραφούν συναρτήσει των p i, r i το ελάχιστο και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του T. 8