ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΚΑΤΑΛΗΨΗΣ

Ελληιό Στατιστιό Ιστιτούτο Πρατιά 17 ου Παελληίου Συεδρίου Στατιστιής (24), σελ 449-456 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΚΑΤΑΛΗΨΗΣ Χαράλαµπου Α Χαραλαµπίδη Τµήµα Μαθηµατιώ, Παεπιστήµιο Αθηώ ΠEΡΙΛΗΨΗ Οι αταοµές ατάληψης ορίζοται στο στοχαστιό πρότυπο της τυχαίας τοποθέτησης σφαιριδίω σε αθορισµέο αριθµό διαεριµέω αλπώ Η ααγωγή της από οιού αταοµής τω τυχαίω αριθµώ ατάληψης, ότα ο αριθµός τω σφαιριδίω είαι αθορισµέος, στη από οιού δεσµευµέη αταοµή αεξαρτήτω τυχαίω µεταβλητώ, δεδοµέου του αθροίσµατός τω, ότα ο αριθµός τω σφαιριδίω είαι ααθόριστος, είαι µια ισχυρότατη τεχιή στη µελέτη τω αταοµώ ατάληψης Έτσι, έστω ότι ατά τη τυχαία τοποθέτηση σφαιριδίω σε διαεριµέες άλπες ο αριθµός Χ τω σφαιριδίω που τοποθετούται σε οποιαδήποτε συγεριµέη άλπη είαι τυχαία µεταβλητή µε συάρτηση πιθαότητας P ( ) q,,1, Στη εργασία αυτή συάγεται η συάρτηση πιθαότητας του αριθµού L τω ατειληµµέω αλπώ µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες προηγουµέως άλπες, συαρτήσει -πλώ συελίξεω, q m (), m,1,, ( 1, 2, ), της q,,1, αι πεπερασµέω διαφορώ τους Περαιτέρω, η αταοµή αυτή χρησιµοποιείται για τη ατασευή αµερόληπτης ετιµήτριας ελαχίστης διασποράς της παραµέτρου, βασισµέης σε ατάλληλο αολουθιαό δειγµατοληπτιό σχήµα Τέλος δίδοται διάφορες χαρατηριστιές εφαρµογές 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Η µέθοδος της σύλληψης-επαασύλληψης αποτελεί µια γειή µέθοδο δειγµατοληψίας από πεπερασµέο πληθυσµό µε άγωστο αριθµό λάσεω 449

στοιχείω (ατόµω) Τέτοιοι πληθυσµοί εµφαίζοται σε µια ποιιλία βιολογιώ αταστάσεω που συδέοται µε πληθυσµιαή αύξηση, οιολογιή προσαρµογή, φυσιή επιλογή αι εξέλιξη ο Στο δειγµατοληπτιό σχήµα της σύλληψηςεπαασύλληψης, ο πειραµατιστής συλλαµβάει άτοµα από το πληθυσµό, τα σηµαδεύει, τα ελευθερώει αι επαασυλλαµβάει άτοµα από το ίδιο πληθυσµό Στη µεριή περίπτωση πληθυσµού ατόµω αι ότα σε άθε δοιµή συλλαµβάεται έα άτοµο, η θεωρία της αµερόληπτης ετίµησης ελαχίστης διασποράς ααπτύχθηε από τους Caig (1953), Daoch (1958) αι Hais (1968) Συγεριµέα, η αµερόληπτη ετιµήτρια ελαχίστης διασποράς του µε βάση το αριθµό K τω διαφορετιώ ατόµω που συλλαµβάοται σε m δοιµές, χρησιµοποιώτας τη αταοµή του Κ (λασσιή αταοµή ατάληψης) συάγεται ως η ˆ ( ; m) + S( m, 1) / S( m, ), µε τη προϋπόθεση ότι m, m όπου S ( m, ) [ ] /! είαι ο αριθµός Stiling του δευτέρου είδους u u u Επίσης, ότα το δείγµα λαµβάεται αολουθιαά από το ίδιο πληθυσµό µέχρι σηµαδεµέα άτοµα α συλληφθού, η αµερόληπτη ετιµήτρια ελαχίστης διασποράς του µε βάση το αριθµό L τω διαφορετιώ ατόµω που συλλαµβάοται, χρησιµοποιώτας τη αταοµή του L (αταοµή συµπληρωµατιού χρόου ααµοής), εφράζεται ως ˆ( ; m) + S( + 1, 1) / S( + 1, ) Η επίσης µεριή περίπτωση πληθυσµού λάσεω µε s στοιχεία σε άθε λάση αι ότα η δειγµατοληψία γίεται (α) χωρίς επαάθεση αι (β) µε επαάθεση αι προσθήη εός στοιχείου από τη ίδια λάση, έχει µελετηθεί από τους Chaalambides (1981) αι Beg (1987) Χρησιµοποιώτας τη αταοµή του αριθµού Κ τω διαφορετιώ λάσεω που παρατηρούται σε δείγµα µεγέθους m (περιοριστιή αταοµή ατάληψης) αι τη αταοµή του αριθµού (περιοριστιή αταοµή συµπληρωµατιού χρόου ααµοής), συάγεται η ετιµήτρια ελαχίστης διασποράς του µε βάση το Κ ή το L συαρτήσει πηλίου του C ( m, ; αι του C( + 1, ;, ατίστοιχα, όπου C( m, ; [ ( su) ] /! είαι ο συτελεστής τω γειευµέω παραγοτιώ u m u L 45

Με βάση έα γειό στοχαστιό πρότυπο ατάληψης µε πιθαοθεωρητιή υφή, παρουσιάσθηε στις εργασίες Chaalambides (1986, 1997) µια εοποιηµέη προσέγγιση τω αταοµώ ατάληψης Συγεριµέα, θεωρώτας έα απόθεµα σφαιριδίω τα οποία αταέµοται τυχαία µέσα σε διαεριµέες άλπες αι υποθέτοτας ότι ο αριθµός τω σφαιριδίω τα οποία τοποθετούται στη οστή άλπη είαι µια τυχαία µεταβλητή µε P ( ) q,,1,, 1, 2,,, η συάρτηση πιθαότητας αι οι παραγοτιές ροπές του αριθµού Κ τω ατειληµµέω αλπώ, δεδοµέου ότι S 1 m, εφράσθηα συαρτήσει πεπερασµέω διαφορώ τω συελίξεω P ( S m) ( ), q m m,1,, της q,,1, Αάλογες εφράσεις δόθηα αι για τη συάρτηση πιθαότητας αι τις αοδιές παραγοτιές ροπές του αριθµού W τω σφαιριδίω που απαιτούται α αταεµηθού µέχρι τη ατάληψη αλπώ Στη παρούσα εργασία, υπό το αωτέρω στοχαστιό πρότυπο ατάληψης, η συάρτηση πιθαότητας του αριθµού L τω ατειληµµέω αλπώ µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες από πρι άλπες, εφράζεται συαρτήσει συελίξεω της q,,1,, αι πεπερασµέω διαφορώ της Περαιτέρω, η αταοµή αυτή χρησιµοποιείται για τη ατασευή αµερόληπτης ετιµήτριας ελαχίστης διασποράς της παραµέτρου, βασισµέης στο αριθµό L Τέλος δίδοται διάφορες χαρατηριστιές εφαρµογές 2 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στη θεωρία της αολουθιαής ατάληψης, η αταοµή του συµπληρωµατιού χρόου ααµοής, του αριθµού V τω σφαιριδίω που απαιτείται α αταεµηθού σε διαεριµέες άλπες µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµ- µέες προηγουµέως άλπες, παρουσιάζει πιθαοθεωρητιό αι στατιστιό εδιαφέρο Προφαώς, παριστάοτας συοπτιά µε µέω αλπώ δεδοµέου ότι U m το αριθµό Κ τω ατειληµ- S m ισχύει ότι: V m α αι µόο α 451

m U m, το οποίο αι διαιολογεί το χαρατηρισµό του αριθµού V ως συµπληρωµατιού χρόου ααµοής Στη αολουθιαή στατιστιή συµπερασµατολογία, δευολύει περισσότερο η χρησιµοποίηση του αριθµού L V τω ατειληµµέω αλπώ, µεταξύ τω διαεριµέω αλπώ, µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες προηγουµέως άλπες Στο αόλουθο θεώρηµα, η συάρτηση πιθαότητας c (, ) P( L ), 1, 2,, εφράζεται συαρτήσει πεπερασµέω διαφορώ τω -πλώ συελίξεω P ( S m) ( ), m,1, q m Θεώρηµα 21 Υπό το στοχαστιό πρότυπο ατάληψης µε q >, η πιθαότητα c (, ), ατάληψης µεταξύ διαεριµέω αλπώ µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες προηγουµέως άλπες, τη 1, 2,,, δίδεται από u q+ ( )[ u q q+ 1 ( u)] u c (, ) q+ 1 ( ) q+ ( ) Μεριές εδιαφέρουσες περιπτώσεις αταοµώ συµπληρωµατιού χρόου ααµοής συάγοται από το Θεώρηµα 21 εξειδιεύοτας τη συάρτηση πιθαότητας q,,1, Συγεριµέα, υποθέτοτας ότι ο αριθµός τω σφαιριδίω που τοποθετούται στη οστή άλπη, 1, 2,,, αολουθεί τη αταοµή Poisson ή τη γειή διωυµιή αταοµή (διωυµιή ή αρητιή διωυµιή αταοµή) συάγουµε τα αόλουθα πορίσµατα Πόρισµα 21 Υπό το στοχαστιό πρότυπο ατάληψης µε πιθαότητες Poisson, η πιθαότητα c (, ), ατάληψης µεταξύ διαεριµέω αλπώ µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες προηγουµέως άλπες, δίδεται από τη έφραση ( ) S( + 1, ) (, c, ) + όπου (, ) [ m S m uu ] u /! είαι ο αριθµός Stiling του δευτέρου είδους 1, 2,,, 452

Πόρισµα 22 Υπό το στοχαστιό πρότυπο ατάληψης µε γειές διωυµιές πιθαότητες, η πιθαότητα c (, ), ατάληψης µεταξύ διαεριµέω αλπώ µέχρι σφαιρίδια α τοποθετηθού σε ατειληµµέες προηγουµέως άλπες, 1, 2,,, δίδεται από τη έφραση ( ) c (, ) ( s + 1) C( + 1, ; ( όπου C ( m, ; s ) [ ( su ) ] /! είαι ο συτελεστής τω γειευµέω παραγοτιώ u m u + 3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Η ετίµηση του αριθµού τω λάσεω εός πεπερασµέου πληθυσµού αποτελεί έα εδιαφέρο πεδίο εφαρµογώ τω αταοµώ ατάληψης Υποθέτουµε ότι έα τυχαίο δείγµα λαµβάεται αολουθιαά από έα πεπερασµέο πληθυσµό, ο οποίος περιλαµβάει έα άγωστο αριθµό λάσεω ατόµω, µέχρι α ελεγού άτοµα αήοτα σε παρατηρηθείσες προηγουµέως λάσεις Μια οµοιο- µόρφως αµερόληπτη ετιµήτρια ελαχίστης διασποράς (ΟΑΕΕ ) του δύαται α βασισθεί στο αριθµό L τω παρατηρηθεισώ λάσεω στο δείγµα Συγερι- µέα, χρησιµοποιώτας το Θεώρηµα 21, συάγουµε το αόλουθο θεώρηµα Θεώρηµα 31 Ας θεωρήσουµε έα πεπερασµέο πληθυσµό, ο οποίος περιλαµβάει έα άγωστο αριθµό λάσεω ατόµω αι έστω ότι έα τυχαίο δείγµα λαµβάεται αολουθιαά απ αυτό µέχρι α ελεγού άτοµα από παρατηρηθείσες προηγουµέως λάσεις Εστω ο αριθµός τω ατόµω της -οστής λάσης στο δείγµα, 1, 2,,, αι L ο αριθµός τω παρατηρηθεισώ λάσεω στο δείγµα Υποθέτουµε ότι οι,, 1, 2 είαι αεξάρτητες αι ισόοµες τυχαίες µεταβλητές µε οιή συάρτηση πιθαότητας q 1 P( ) [ g( θ)] c θ,,1,, g( θ ) c θ, < θ < ρ Τότε, α η παρατηρηθείσα τιµή του L είαι, υπάρχει ΟΑΕΕ της παραµετριής συάρτησης ( ) αι δίδεται από τη ˆ ( L ), όπου 453

[ u c+ 1 ( u)] u ˆ ( ) ( ), 1, 2,,, [ c ( u)] u + 1 m µε c ( n) [ D ( g( θ)) ] / m! Ειδιά, η ΟΑΕΕ του είαι ( L ) ˆ ( L ) αι η m θ θ u ˆ 1 ΟΑΕΕ της διασποράς του δίδεται από τη ( L )[ ˆ ( L ) 1] ˆ ( L ) ˆ1 1 2 Στα επόµεα παραδείγµατα εξετάζοται χαρατηριστιές εφαρµογές Παράδειγµα 31 Έστω ότι έα τυχαίο δείγµα λαµβάεται αολουθιαά από έα πεπερασµέο πληθυσµό µε άγωστο αριθµό ατόµω µε τη µέθοδο της σύλληψης, σήµασης, ελευθέρωσης αι επαασύλληψης µέχρι τη σύλληψη σηµαδεµέω ατόµω Έστω L ο αριθµός τω διαφορετιώ συλληφθέτω ατόµω Το δειγµατοληπτιό αυτό σχήµα είαι ισοδύαµο µε τη υπόθεση ότι, για έα τυχαίο δείγµα µε ααθόριστο µέγεθος λαµβαόµεο από το ίδιο πληθυσµό, οι τυχαίες µεταβλητές,, 1, 2 είαι αεξάρτητες αι ισόοµες µε οιή αταοµή τη Poisson µε παράµετρο λ Εποµέως, σύµφωα µε το Θεώρηµα 31, η ΟΑΕΕ της παραµετριής συάρτησης ˆ ( L ; ), όπου S( + 1, ; ) ˆ ( ; ), S( + 1, ) ( ) δίδεται από τη m µε S( m, ; ) [ u ] /! το µη ετριό αριθµό Stiling του δευτέρου είδους u u Παράδειγµα 32 Ας θεωρήσουµε έα πεπερασµέο πληθυσµό µε άγωστο αριθµό λάσεω αθεµιά από τις οποίες περιέχει s στοιχεία Έστω ότι έα τυχαίο δείγµα λαµβάεται αολουθιαά από το πληθυσµό αυτό χωρίς επαάθεση, µέχρι τη λήψη στοιχείω που αήου σε παρατηρηθείσες προηγουµέως λάσεις Έστω L ο αριθµός τω παρατηρηθεισώ λάσεω στο δείγµα Το δειγµατοληπτιό αυτό σχήµα είαι ισοδύαµο µε τη υπόθεση ότι, για έα τυχαίο δείγµα µε ααθόριστο µέγεθος λαµβαόµεο από το ίδιο πληθυσµό, οι τυχαίες µεταβλητές,, 1, 2 είαι αεξάρτητες αι ισόοµες µε οιή αταοµή τη διωυµιή µε παραµέτρους s αι p Εποµέως, σύµφωα µε το 454

Θεώρηµα 31, η ΟΑΕΕ της παραµετριής συάρτησης ( ) δίδεται από τη ˆ ( L ;,, όπου C( + 1, ; s, ˆ ( ;,, C( + 1, ; µε C( m, ; s, [ ( su) ] /! το µη ετριό συτελεστή τω γειευµέω παραγοτιώ u m u Παράδειγµα 33 Ας θεωρήσουµε έα πεπερασµέο πληθυσµό µε άγωστο αριθµό λάσεω αθεµιά από τις οποίες περιέχει s στοιχεία Έστω ότι έα τυχαίο δείγµα λαµβάεται αολουθιαά από το πληθυσµό αυτό µε επαάθεση αι προσθήη εός στοιχείου οµοίου µε το εξαγόµεο, µέχρι τη λήψη στοιχείω που αήου σε παρατηρηθείσες προηγουµέως λάσεις Έστω L ο αριθµός τω παρατηρηθεισώ λάσεω στο δείγµα Το δειγµατοληπτιό αυτό σχήµα είαι ισοδύαµο µε τη υπόθεση ότι, για έα τυχαίο δείγµα µε ααθόριστο µέγεθος λαµβαόµεο από το ίδιο πληθυσµό, οι τυχαίες µεταβλητές,, 1, 2 είαι αεξάρτητες αι ισόοµες µε οιή αταοµή τη αρητιή διωυµιή µε παραµέτρους s αι p Εποµέως, σύµφωα µε το Θεώρηµα 31, η ΟΑΕΕ της παραµετριής συάρτησης ( ) δίδεται από τη ˆ ( L ;,, όπου C( + 1, ; s, ˆ ( ;,, C( + 1, ; m µε C( m, ; s, ( 1) C( m, ; s, AΒSTRACT Occupancy distibutions ae defined on the stochastic model of andom placement of balls into a specific numbe of distinguishable uns The eduction of the oint distibution of the andom occupancy numbes, when a specific numbe of balls ae placed, to the oint conditional distibution of independent andom vaiables given thei sum, when the numbe of allocated balls is unspecified, is a poweful technique in the study of occupancy distibutions Thus, conside a supply of balls andomly distibuted into n distinguishable uns and assume that the numbe of balls distibuted into any specific un is a andom vaiable with pobability function P ( ) q,,1, The pobability function of the numbe L of occupied uns until 455

balls ae placed into peviously occupied uns is deived in tems of convolutions, q m (n), m,1,, ( n 1, 2, ), of q,,1, and thei diffeences Futhe, using this distibution the minimum vaiance unbiased estimato of the paamete n, based on a suitable sequential occupancy scheme, is deduced Finally, some illustating applications ae discussed ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Beg, S (1987) Associated Lah numbes, factoial seies distibutions and unbiased estimation of a size paamete, Biometical Jounal, 29, 163-171 Chaalambides, Ch A (1981) On a esticted occupancy model and its applications, Biometical Jounal, 23, 61-61 Chaalambides, Ch A (1986) Deivation of pobabilities and moments of cetain genealized discete distibutions via un models, Communications in Statistics-Theoy and Methods, 15, 677-696 Chaalambides, Ch A (1997) A unified deivation of occupancy and sequential occupancy distibutions, Advances in Combinatoial Methods and Applications to Pobability and Statistics, 259-273, N Balakishnan (ed), Bikhause, Boston Caig, C C (1953) On the utilization of maked speciments in estimating populations of flying insects, Biometika, 4, 17-176 Daoch, J N (1958) The multiple-ecaptue cencus I Estimation of a closed population, Biometika 4, 343-359 Hais, B (1968) Statistical infeence in the classical occupancy poblem Unbiased estimation of the numbe of classes, Jounal of the Ameican Statistical Association, 63, 837-847 456