υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις

Transcript

1 9 Παράδειγµα 64 Το πρόβληµα τω γεεθλίω Ας θεωρήσουµε έα σύολο ατόµω τω οποίω αταγράφουµε τα γεέθλια Σηµειώουµε ότι έα έτος έχει 65 ηµέρες ετός αι α είαι δίσετο, οπότε έχει 66 ηµέρες Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθµός τω γεήσεω δε είαι σταθερός αθ όλη τη διάρεια του έτους Όµως, σε πρώτη προσέγγιση, µπορούµε α θεωρήσουµε ότι έα έτος έχει 65 ηµέρες οι οποίες είαι εξίσου πιθαές ως ηµέρες γεεθλίω Με τη παραδοχή αυτή, α υπολογισθεί η πιθαότητα όπως δύο τουλάχιστο από τα άτοµα έχου γεέθλια τη ίδια ηµέρα Παρατηρούµε ότι οι ηµέρες τω γεεθλίω του συόλου τω ατόµω µπορού α παρασταθού από µία διάταξη i, i,, i του συόλου τω 65 ηµερώ {,,,65} αά µε επαάληψη, όπου ir είαι η ηµέρα γέησης του r ατόµου, r,,, Ο δειγµατιός χώρος Ω, ο οποίος περιλαµβάει τις διατάξεις αυτές, έχει N Ω 65 ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία Έστω Α το εδεχόµεο όπως δύο τουλάχιστο από τα άτοµα έχου γεέθλια τη ίδια ηµέρα Το συµπληρωµατιό του εδεχοµέου Α είαι το εδεχόµεο όπως τα άτοµα έχου διαφορετιές ηµέρες γεεθλίω Παρατηρούµε ότι η πιθαότητα υπολογίζεται πιο εύολα από τη πιθαότητα Συγεριµέα, το εδεχόµεο περιλαµβάει τις διατάξεις i, i,, i του συόλου τω 65 ηµερώ {,,,65} αά χωρίς επαάληψη αι έτσι Ν Α 65 Εφαρµόζοτας τη 6, συάγουµε τη πιθαότητα αι σύµφωα µε τη 65 συµπεραίουµε τη ζητουµέη πιθαότητα: Σηµειώουµε ότι για, έχουµε > / Παράδειγµα 65 Έστω ότι από µία ληρωτίδα η οποία περιέχει 0 σφαιρίδια αριθµηµέα από το 0 µέχρι το 9 ληρώεται άθε εβδοµάδα έας αριθµός Μετά από άθε λήρωση το εξαγόµεο σφαιρίδιο επαατοποθετείται στη ληρωτίδα Ας θεωρήσουµε το στοχαστιό πείραµα διαδοχιώ ληρώσεω Να υπολογισθεί η πιθαότητα του εδεχοµέου όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα ληρωθεί είαι το 5 Το εδεχόµεο όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα ληρωθεί είαι το 5 δύαται α παρασταθεί ως διαφορά B του εδεχοµέου Α όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα ληρωθεί είαι έας από τους αριθµούς { 0,,,, 4,5} αι του εδεχοµέου Β όπως ο µεγαλύτερος αριθµός που θα ληρωθεί είαι έας από τους αριθµούς { 0,,,,4} Παρατηρούµε ότι B αι σύµφωα µε τη 65 B B Ο αριθµός τω στοιχείω του δειγµατιού χώρου Ω τω διαδοχιώ ληρώσεω είαι ίσος µε N Ω 0, το αριθµό τω διατάξεω τω 0 αριθµώ { 0,,,,9} αά µε επαάληψη, εώ ο αριθµός τω στοιχείω του εδεχοµέου Α είαι ίσος µε Ν Α 6, το αριθµό τω διατάξεω τω 6 αριθµώ { 0,,,,4, 5} αά µε επαάληψη Οµοίως ΝΒ 5 αι έτσι

2 0 6 5 B 0, Παράδειγµα 66 Συέχεια Να υπολογισθεί η πιθαότητα του εδεχοµέου α ληρωθού οι αριθµοί 0 αι από µία τουλάχιστο φορά ο αθέας Ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα Α αι Β α µη ληρωθού οι αριθµοί 0 αι, ατίστοιχα Τότε B είαι το εδεχόµεο α ληρωθού οι αριθµοί 0 αι από µία τουλάχιστο φορά ο αθέας αι σύµφωα µε τη 67, B B + B Ο αριθµός τω στοιχείω του εδεχοµέου Α είαι ίσος µε N 9, το αριθµό τω διατάξεω τω 9 αριθµώ {,,,9} αά µε επαάληψη, ο αριθµός τω στοιχείω του Β είαι ίσος µε N B 9, το αριθµό τω διατάξεω τω 9 αριθµώ {0,,,,9} αά µε επαάληψη αι ο αριθµός τω στοιχείω του B είαι ίσος µε N B 8, το αριθµό τω διατάξεω τω 8 αριθµώ {,,,9} αά µε επαάληψη Εποµέως 9 8 B + 0, ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η αάγη εισαγωγής της δεσµευµέης πιθαότητας ααφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µεριή γώση ως προς τη έβαση εός τυχαίου στοχαστιού πειράµατος µειώει τη αβεβαιότητα συρριώοτας το δειγµατιό χώρο Συγεριµέα, ας θεωρήσουµε έα τυχαίο πείραµα µε δειγµατιό χώρο Ω αι πιθαότητα για άθε εδεχόµεο Ω Ας υποθέσουµε ότι σε άποιο στάδιο ετέλεσής του πραγµατοποιήθηε έα συγεριµέο εδεχόµεο Ω Τότε, όσο αφορά τη τελιή του έβαση, ο δειγµατιός χώρος συρριώεται στο σύολο Α αι έα οποιοδήποτε εδεχόµεο Β ως προς το δειγµατιό χώρο Ω συρριώεται στο εδεχόµεο Γ B το οποίο συµβολίζεται µε B αι διαβάζεται: το εδεχόµεο Β δεδοµέου του εδεχοµέου Α Η πιθαότητα του εδεχοµέου Β δεδοµέου του Α, η οποία συµβολίζεται µε B, Β Ω αι αλείται δεσµευµέη πιθαότητα δεδοµέου του Α, συδέεται, όπως είαι φυσιό, µε τις πιθαότητες αι B Το επόµεο παράδειγµα χρησιµεύει στη αλύτερη αταόηση του πλαισίου στο οποίο τοποθετείται η δεσµευµέη πιθαότητα Παράδειγµα 7 Ας θεωρήσουµε µία ληρωτίδα η οποία περιέχει 5 σφαιρίδια αριθµηµέα από το µέχρι το 5 Τα σφαιρίδια αι είαι άσπρα εώ τα σφαιρίδια, 4 αι 5 είαι µαύρα α Έστω ότι σε µία πρώτη λήρωση έα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία αι ας θεωρήσουµε το εδεχόµεο Α εξαγωγής σ αυτή άσπρου σφαιριδίου Ο δειγµατιός χώρος του τυχαίου αυτού πειράµατος περιλαµβάει τα ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία: Ω {,,, 4,5} αι το εδεχόµεο της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου περιλαµβάει τα σηµεία: {,} Εποµέως, σύµφωα µε το λασιό ορισµό της πιθαότητας,, 5 5

3 β Έστω ότι, χωρίς επαάθεση στη ληρωτίδα του σφαιριδίου που εξάγεται στη πρώτη λήρωση, σε µία δεύτερη λήρωση έα σφαιρίδιο εξάγεται τυχαία αι ας θεωρήσουµε το εδεχόµεο Β εξαγωγής σ αυτή άσπρου σφαιριδίου O υπολογισµός της πιθαότητας B απαιτεί τη γώση της σύθεσης τω σφαιριδίω στη ληρωτίδα τη στιγµή της εξαγωγής του δευτέρου σφαιριδίου Συγεριµέα, η γώση της πραγµατοποίησης ή µη πραγµατοποίησης του εδεχοµέου Α ατά τη πρώτη εξαγωγή επιτρέπει το υπολογισµό της πιθαότητας B, σύµφωα µε το θεώρηµα της ολιής πιθαότητας το οποίο εξετάζουµε πιο άτω Το παράδειγµα αυτό υποδειύει τη αάγη εισαγωγής της δεσµευµέης πιθαότητας B, του εδεχοµέου Β δεδοµέου του Α Περαιτέρω, η σύδεση της πιθαότητας B µε τις πιθαότητες αι B, η οποία συάγεται από τη σύθεση τω δύο ληρώσεω στο αόλουθο σύθετο τυχαίο πείραµα, υποδειύει το ορισµό της δεσµευµέης πιθαότητας µέσω της µη δεσµευµέης πιθαότητας γ Έστω ότι από τη αωτέρω ληρωτίδα εξάγοται τυχαία δύο σφαιρίδια, το έα µετά το άλλο, χωρίς επαάθεση Ο δειγµατιός χώρος Ω του σύθετου αυτού τυχαίου πειράµατος περιλαµβάει τα εξής N N Ω 5 0 ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία: Ω {,,,,,4,,5,,,,,,4,,5,,,,,,4,,5,4,,4,,4,,4,5,5,,5,,5,,5,4} To εδεχόµεο Α ως προς το δειγµατιό χώρο Ω, εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη πρώτη λήρωση, περιλαµβάει τα αόλουθα N 8 δειγµατιά σηµεία: {,,,,,4,,5,,,,,,4,,5}, εώ τo εδεχόµεο Β ως προς το δειγµατιό χώρο Ω, εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη δεύτερη λήρωση, περιλαµβάει τα αόλουθα N B 8 δειγµατιά σηµεία: B {,,,,,,,,4,,4,,5,,5,} Έτσι, σύµφωα µε το λασιό ορισµό της πιθαότητας, η πιθαότητα πραγµατοποίησης του εδεχοµέου Α είαι ίση µε N 8, N 0 5 σε συµφωία µε το αποτέλεσµα της περίπτωσης του τυχαίου πειράµατος της µιας πρώτης λήρωσης Ας υποθέσουµε ότι στη πρώτη λήρωση του συθέτου τυχαίου πειράµατος πραγµατοποιήθηε το εδεχόµεο Α, της εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου Η γώση της πραγµατοποίησης του Α µειώει τη αβεβαιότητα ως προς τη τελιή έβαση του συθέτου τυχαίου πειράµατος συρριώοτας το δειγµατιό χώρο Ω στο σύολο Α αι το εδεχόµεο Β στο εδεχόµεο B {,,,} µε N B Εποµέως η δεσµευµέη πιθαότητα του Β δεδοµέου του Α είαι ίση µε N B B N 8 4

4 Παρατηρούµε ότι, χρησιµοποιώτας τις σχέσεις N B B, N συάγουµε για τη δεσµευµέη πιθαότητα τη έφραση B B N N Σηµειώουµε ότι, σύµφωα µε το λασιό ορισµό, η µη δεσµευµέη πιθαότητα του Β είαι ίση µε N B 8 B N 0 5 Η πιθαότητα αυτή, τόσο στη παρούσα περίπτωση του πεπερασµέου δειγµατιού χώρου Ω µε ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία όσο αι σε οποιαδήποτε γειότερη περίπτωση, όπως ααφέρθηε αι πιο πάω, δύαται α υπολογισθεί µε τη χρήση του θεωρήµατος της ολιής πιθαότητας βλ Παράδειγµα 7 Ο ορισµός της δεσµευµέης πιθαότητας που αολουθεί αξιοποιεί τα συµπεράσµατα της προηγηθείσας αάλυσης Ορισµός 7 Έστω Ω έας δειγµατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου αι Ω έα εδεχόµεο µε > 0 Η δεσµευµέη πιθαότητα, δεδοµέου του Α, είαι µία συάρτηση B, B Ω, η οποία ορίζεται ως εξής: B B, B Ω 7 Ότα 0, η B δε ορίζεται Για συγεριµέο εδεχόµεο B Ω η B αλείται δεσµευµέη πιθαότητα του Β δεδοµέου του Α Αµεση συέπεια του ορισµού είαι ότι η δεσµευµέη πιθαότητα ιαοποιεί τα αξιώµατα, α µη αρητιότητας: B 0 για άθε εδεχόµεο B Ω, β ορµαλισµού: Ω, γ αριθµήσιµης προσθετιότητας: B + B + + B + B + B + + B + για οποιαδήποτε αολουθία ατά ζεύγη ξέω εδεχοµέω B i Ω, i,,,,, αι έτσι είαι µια γήσια πιθαότητα Σηµειώουµε ότι από τη ιδιότητα γ συάγεται ως µεριή περίπτωση η σχέση B + B + + B B + B + + B για ατά ζεύγη ξέα αµοιβαίως απολειόµεα εδεχόµεα B i Ω, i,,, Η δεσµευµέη πιθαότητα ως γήσια πιθαότητα ιαοποιεί όλες τις ιδιότητες της πιθαότητας Για παράδειγµα, α B είαι το συµπλήρωµα εός εδεχοµέου Β, η δεσµευµέη πιθαότητα B B /, επειδή B B, εφράζεται συαρτήσει της δεσµευµέης πιθαότητας B B / ως B B

5 Η δεσµευµέη πιθαότητα µπορεί α χρησιµοποιηθεί για τη έφραση της πιθαότητας της τοµής εδεχοµέω Σχετιά αποδειύουµε το επόµεο θεώρηµα Θεώρηµα 7 Πολλαπλασιαστιό θεώρηµα Έστω Ω,,,, i i, εδεχόµεα µε Τότε 0 > 7 Απόδειξη Παρατηρούµε ότι, οπότε αι επειδή, έπεται ότι 0 > 0 >, 0 0,, > > Εποµέως οι δεσµευµέες πιθαότητες στο δεξιό µέλος της 7 έχου έοια ορίζοται Σύµφωα µε το ορισµό 7 έχουµε,,, αι εποµέως Παράδειγµα 7 Ας θεωρήσουµε µία ληρωτίδα η οποία περιέχει σφαιρίδια αριθµηµέα από το µέχρι το αι έστω ότι r από τα σφαιρίδια αυτά είαι άσπρα Εξάγουµε τυχαία αι χωρίς επαάθεση το έα µετά το άλλο σφαιρίδια Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως αι τα εξαγόµεα σφαιρίδια είαι άσπρα Έστω το εδεχόµεο εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου στη j εξαγωγή Τότε είαι το εδεχόµεο όπως αι τα εξαγόµεα σφαιρίδια είαι άσπρα αι η ζητουµέη πιθαότητα, σύµφωα µε τη 7, είαι j,,, j r r r r + + Στη περίπτωση του Ελληιού otto η ληρωτίδα περιέχει 49 σφαιρίδια αι ληρώοται αριθµοί Τα r σφαιρίδια φέρου τους αριθµούς στους οποίους στοιχηµατίζει άποιος Έτσι α στοιχηµατίσει σε 6 6 r αριθµούς, η πιθαότητα α πετύχει αι τους 6 αριθµούς που ληρώοται είαι 0, p

6 4 Η πιθαότητα οποιουδήποτε εδεχοµέου δύαται α ααλυθεί σε άθροισµα πιθαοτήτω µε τη χρησιµοποίηση δεσµευµέω πιθαοτήτω του εδεχοµέου αυτού Η αάλυση αυτή απαιτεί τη έοια της διαµέρισης του δειγµατιού χώρου Ω η οποία ορίζεται ως εξής: Μία συλλογή,,, } εδεχοµέω i Ω, i,,,, τα οποία είαι ατά ζεύγη ξέα, {, i j, αι η έωσή τους είαι το Ω, i Ω, αλείται διαµέριση του Ω j Θεώρηµα 7 Θεώρηµα ολιής πιθαότητας Α τα εδεχόµεα {,,, } αποτελού µία διαµέριση του δειγµατιού χώρου Ω µε > 0,,,, αι Β είαι έα εδεχόµεο στο Ω, τότε Απόδειξη Παρατηρούµε ότι B B 7 B ΩΒ B B + B + B, όπου τα εδεχόµεα Γ B, επειδή για +,,, είαι ατά ζεύγη ξέα µεταξύ τους i j Γ Γ B Εποµέως, σύµφωα µε τη προσθετιή i j i j ιδιότητα της πιθαότητας, έχουµε Επειδή B B + B + + B > 0, από το ορισµό της δεσµευµέης πιθαότητας, έπεται ότι οπότε B B,,,,, B B + B + + B Παρατήρηση 7 Η δεσµευµέη πιθαότητα όπως έχουµε ήδη σηµειώσει ιαοποιεί όλες τις ιδιότητες της απόλυτης πιθαότητας Ο τύπος της ολιής πιθαότητας διατυπώεται συαρτήσει της δεσµευµέης πιθαότητας ως εξής: Έστω Α έα εδεχόµεο στο δειγµατιό χώρο Ω µε > 0 Α τα εδεχόµεα {,,, } αποτελού µία διαµέριση του Ω µε > 0,,,, αι Β είαι έα εδεχόµεο στο Ω, τότε B B 74 Θεώρηµα 7 Τύπος του Bayes τα εδεχόµεα {,,, } αποτελού µία διαµέριση του δειγµατιού χώρου Ω µε > 0,,,, αι Β είαι έα εδεχόµεο στο Ω µε B > 0, τότε r B r r B, r,,, 75 B

7 5 Απόδειξη Χρησιµοποιώτας το ορισµό της δεσµευµέης πιθαότητας αι το θεώρηµα της ολιής πιθαότητας παίρουµε r B r B r r B, r,,, B B Παρατήρηση 7 Οι πιθαότητες,,,,, που γωρίζουµε πρι από τη ετέλεση του τυχαίου πειράµατος, αλούται αι ε τω προτέρω a priori πιθαότητες, εώ οι δεσµευµέες πιθαότητες r B, r,,,, που υπολογίζουµε µε δεδοµέη τη πραγµατοποίηση του εδεχοµέου Β αι εποµέως µετά τη ετέλεση του τυχαίου πειράµατος, αλούται αι ε τω υστέρω a posteriori πιθαότητες Παράδειγµα 7 Οι ηλετριοί λαµπτήρες προωθούται στη αγορά συσευασµέοι σε χαρτοιβώτια τω 5 λαµπτήρω Ας υποθέσουµε ότι από έα χαρτοιβώτιο που περιέχει ελαττωµατιούς λαµπτήρες εξάγοται χωρίς επαάθεση λαµπτήρες Να υπολογισθού α η πιθαότητα εξαγωγής ελαττωµατιού λαµπήρα στη δεύτερη εξαγωγή αι β η δεσµευµέη πιθαότητα α είχε εξαχθεί ελαττωµατιός λαµπήρας στη πρώτη εξαγωγή δεδοµέου ότι εξήχθει ελαττωµατιός λαµπήρας στη δεύτερη εξαγωγή α Ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα Α αι Β εξαγωγής ελαττωµατιού λαµπτήρα στη πρώτη αι δεύτερη εξαγωγή, ατίστοιχα Τότε, η πιθαότητα του εδεχοµέου εξαγωγής ελαττωµατιού λαµπήρα στη δεύτερη εξαγωγή υπολογίζεται µε τη χρησιµοποίηση του θεωρήµατος της ολιής πιθαότητας ως εξής: B B + B β Η δεσµευµέη πιθαότητα α είχε εξαχθεί ελαττωµατιός λαµπήρας στη πρώτη εξαγωγή δεδοµέου ότι εξήχθει ελαττωµατιός λαµπήρας στη δεύτερη εξαγωγή υπολογίζεται µε τη χρησιµοποίηση του τύπου του Bayes ως εξής: B B + B + B Παράδειγµα 74 Ας θεωρήσουµε έα τηλεπιοιωιό σύστηµα αποτελούµεο από έα ποµπό, έα ααµεταδότη αι έα δέτη Ο ποµπός στέλλει τα σήµατα στο δυαδιό σύστηµα, στο οποίο τα γράµµατα του αλφαβήτου είαι αολουθίες από 0 αι Ο ααµεταδότης αι ο δέτης, λόγω θορύβου, λαµβάου το σήµα 0 ως σήµα µε πιθαότητα 0,0 αι το σήµα ως σήµα 0 µε πιθαότητα 0,0 Να υπολο-γισθού οι δεσµευµέες πιθαότητες λήψης από το δέτη α του σήµατος 0 αι β του σήµατος δεδοµέης, σε αµφότερες τις περιπτώσεις, της αποστολής από το ποµπό του σήµατος 0 α Ας θεωρήσουµε το εδεχόµεο αποστολής από το ποµπό του σήµατος 0, 0 το εδεχόµεο λήψης από το ααµεταδότη του σήµατος 0 αι το εδεχόµεο λήψης από το δέτη του σήµατος 0 Η δεσµευµέη πιθαότητα 0, λήψης από το δέτη του σήµατος 0 δεδοµέης της αποστολής από το ποµπό του σήµατος 0, σύµφωα µε το τύπο της ολιής πιθαότητας 74, δίδεται απότη:

8 6 αι επειδή,, ,98 0,98 + 0,0 0,0 0,96 β Η δεσµευµέη πιθαότητα 0, λήψης από το δέτη του σήµατος δεδοµέης της αποστολής από το ποµπό του σήµατος 0, δίδεται από τη 0,96 0, ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ Ας θεωρήσουµε έα δειγµατιό χώρο Ω αι δύο εδεχόµεα, B Ω Από το ορισµό της δεσµευµέης πιθαότητας συάγουµε ότι α α τα εδεχόµεα Α αι Β είαι ξέα µεταξύ τους, B, τότε B 0, επειδή δεδοµέης της πραγµατοποίησης του εδεχοµέου Α απολείεται η πραγµατοποίηση του εδεχοµέου Β, εώ β α το εδεχόµεο Α είαι υποεδεχόµεο του εδεχοµέου Β, B, τότε B, επειδή η πραγµατοποίηση του εδεχοµέου Α συεπάγεται τη πραγµατοποίηση αι του εδεχοµέου Β Αυτές είαι οι δύο αραίες περιπτώσεις όπου η γώση της πραγµατοποίησης του εδεχοµέου Α µας παρέχει µία πολύ θετιή πληροφορία για τη πιθαότητα πραγµατοποίησης του εδεχοµέου Β Υπάρχου όµως αι περιπτώσεις στις οποίες η γώση της πραγµατοποίησης εός εδεχοµέου Α δε έχει αµµιά επίδραση στη πραγµατοποίηση ή µη του εδεχοµέου Β, δηλαδή B B Στη περίπτωση αυτή το εδεχόµεο Β αλείται στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Α Επειδή, σύµφωα µε το πολλαπλασιαστιό τύπο, ισχύει B B B B, στη περίπτωση που το εδεχόµεο Β είαι στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Α έπεται ότι B B B, B B δηλαδή αι το εδεχόµεο Α είαι στοχαστιώς αεξάρτητο του εδεχοµέου Β αι επιπλέο B B Με τη χρησιµοποίηση της τελευταίας αυτής σχέσης εισάγεται η έοια της αεξαρτησίας δύο εδεχοµέω Συγεριµέα θέτουµε το αόλουθο ορισµό Ορισµός 8 Έστω Ω έας δειγµατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου αι, B Ω Τα εδεχόµεα Α αι Β αλούται στοχαστιώς αεξάρτητα α αι µόο α ισχύει η σχέση B B 8 Παρατήρηση 8 Α δύο εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα, τότε αι τα εδεχόµεα Α αι B είαι αεξάρτητα Τούτο συάγεται από το συδυασµό τω εξής παρατηρήσεω: α Η αεξαρτησία τω εδεχοµέω Α αι Β συεπάγεται ότι η

9 7 γώση της πραγµατοποίησης του Α δε επιδρά στη πραγµατοποίηση ή µη του Β αι β η πραγµατοποίηση του Β απολείει τη πραγµατοποίηση του B Το συµπέρασµα αυτό µπορεί α διαπιστωθεί µε τη χρησιµοποίηση τω σχέσεω B B, B B αι της υπόθεσης της αεξαρτησίας τω Α αι Β, ως εξής: B B, B B B [ B] B άλογα διαπιστώεται ότι, στη περίπτωση αυτή, αι τα εδεχόµεα επίσης αι τα εδεχόµεα αι B, είαι αεξάρτητα B αι Β, όπως Παράδειγµα 8 Έστω ότι µία οιογέεια µε παιδιά επιλέγεται τυχαία Ας θεωρήσουµε το εδεχόµεο Α όπως η επιλεγόµεη οιογέεια έχει παιδιά αι τω δύο φύλω αι το εδεχόµεο Β όπως έχει το πολύ έα ορίτσι Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα Παρατηρούµε ότι η τοµή B είαι το εδεχόµεο η επιλεγόµεη οιογέεια α έχει αριβώς έα ορίτσι Εύολα υπολογίζοται οι πιθαότητες: B, 8, 8 4 Eποµέως ισχύει η σχέση 8 αι τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα Η έοια της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοµέω µπορεί α επεταθεί για περισσότερα από δύο εδεχόµεα Ας θεωρήσουµε αρχιά τρία εδεχόµεα,, Ω αι ας υποθέσουµε ότι είαι ατά ζεύγη αεξάρτητα οπότε ισχύου οι σχέσεις,, 8 Η αεξαρτησία του τόσο από το όσο αι από το δε συεπάγεται ατ αάγη τη αεξαρτησία του από τη τοµή βλ παράδειγµα 8 Παρατηρούµε ότι α, επιπλέο τω 8, ισχύει αι η σχέση τότε ισχύει αι η σχέση ], 8 [ 84 Ατίστροφα α, επιπλέο τω 8, ισχύει αι η 84, τότε ισχύει αι η 8, όπως επίσης αι οι σχέσεις ], 85 [ ] 86 [

10 8 Μετά τις προαταρτιές αυτές παρατηρήσεις θέτουµε το αόλουθο ορισµό της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοµέω Ορισµός 8 Έστω Ω έας δειγµατιός χώρος στοχαστιού τυχαίου πειράµατος ή φαιοµέου αι,,, Ω Τα εδεχόµεα,,, αλούται αµοιβαίως ή πλήρως στοχαστιώς αεξάρτητα α αι µόο α ισχύου οι σχέσεις i i 87 i για άθε συδυασµό { i, i,, i} τω δειτώ {,,, } αά αι για άθε,,, Σύµφωα µε το ορισµό αυτό, για τη αεξαρτησία εδεχοµέω απαιτείται α ισχύου οι σχέσεις 8 αι 84 Παράδειγµα 8 Κατά ζεύγη αλλά όχι πλήρως αεξάρτητα εδεχόµεα Ας θεωρήσουµε δύο διαδοχιές ρίψεις εός συήθους ύβου αι έστω το εδεχόµεο εµφάισης άρτιου αριθµού στη πρώτη ρίψη, το εδεχόµεο εµφάισης άρτιου αριθµού στη δεύτερη ρίψη αι το εδεχόµεο το άθροισµα τω αριθµώ που εµφαίζοται στις δύο ρίψεις α είαι άρτιος αριθµός Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα, αι είαι αεξάρτητα Ο δειγµατιός χώρος Ω του τυχαίου πειράµατος τω δύο ρίψεω του ύβου περιλαµβάει N Ω 6 6 ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία, που είαι οι διατάξεις τω 6 αριθµώ εδρώ {,,, 6} αά µε επαάληψη Επίσης αι {,,,,,,, 4,,5,,6,4,,4,,4,, 4,4,4,5,4,6,6,,6,,6,,6,4,6,5,6,6}, {,,, 4,,6,,,, 4,,6,,,, 4,,6, 4,,4,4,4,6,5,,5,4,5,6,6,,6,4,6,6}, {,,,,,5,,,,4,,6,,,,,,5, 4,,4,4,4,6,5,,5,,5,5,6,,6,4,6,6} {,,,4,,6,4,,4,4,4,6,6,,6,4,6,6} Σύµφωα µε το λασιό ορισµό της πιθαότητας, αι έτσι 8, 6 9, ,,, i 4 i i

11 9 εώ Εποµέως τα εδεχόµεα, αι είαι ατά ζεύγη αεξάρτητα εώ δε είαι πλήρως αεξάρτητα Παράδειγµα 8 Ας θεωρήσουµε µία αολουθία τριώ ρίψεω εός συήθους οµίσµατος Έστω το εδεχόµεο της εµφάισης στη j ρίψη της όψης εφαλή j ορώα, j,, Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα, αι είαι αεξάρτητα Ο δειγµατιός χώρος είαι το σύολο αι Επίσης Ω { γ, γ, γ, γ, γ,, γ,, γ,, γ, γ, γ,,,, γ,,,, γ,,, } {, γ, γ,, γ,,,, γ,,, }, { γ,, γ, γ,,,,, γ,,, } { γ, γ,, γ,,,, γ,,,, } {,, γ,,, }, {, γ,,,, }, { γ,,,,, }, {,, } Σύµφωα µε το λασιό ορισµό της πιθαότητας, αι έτσι 4, 8, 8 4,,, 8 Εποµέως τα εδεχόµεα, αι είαι πλήρως αεξάρτητα 9 ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΟΚΙΜΕΣ Η έοια τω αεξαρτήτω δοιµώ εός τυχαίου πειράµατος αποτελεί βασιό στοιχείω τω περισσοτέρω στοχαστιώ προτύπω µοτέλω που µελετά η Θεωρία τω Πιθαοτήτω Για τη εισαγωγή της έοιας αυτής ας θεωρήσουµε αρχιά δύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατιούς χώρους Ω αι Ω Η διαδοχιή ή αι ταυτόχροη ετέλεση τω δύο αυτώ τυχαίω πειραµάτω ορίζει έα διδιάστατο σύθετο τυχαίο πείραµα Έας ατάλληλος δειγµατιός χώρος για τη µελέτη του τυχαίου αυτού πειράµατος είαι το αρτεσιαό ή συδυαστιό γιόµεο Ω Ω { ω, ω : ω Ω, ω Ω}

12 0 Έα διδιάστατο σύθετο τυχαίο πείραµα το οποίο συίσταται στη διαδοχιή ετέλεση εός τυχαίου πειράµατος µε δειγµατιό χώρο Ω αλείται ειδιότερα αολουθία δύο δοιµώ του τυχαίου αυτού πειράµατος Στη ειδιή αυτή περίπτωση, στη οποία Ω Ω αι Ω Ω, ο δειγµατιός χώρος είαι το αρτεσιαό γιόµεο του Ω µε το εαυτό του, Ω { ω, ω : ω i Ω, i, } Ας θεωρήσουµε έα εδεχόµεο i Ω i ως προς το δειγµατιό χώρο Ωi, i, Το εδεχόµεο αυτό ως προς το δειγµατιό χώρο Ω Ω, του συθέτου πειράµατος, εφράζεται από το σύολο B i Ω Ω, i,, όπου B Ω αι B Ω Τα εδεχόµεα B αι B ααφέροται ως εδεχόµεα εξαρτώ- µεα από το πρώτο αι δεύτερο τυχαίο πείραµα, ατίστοιχα Ειδιότερα, στη περίπτωση που Ω Ω αι Ω Ω τα εδεχόµεα B αι B ααφέροται ως εδεχόµεα εξαρτώµεα από τη πρώτη αι δεύτερη δοιµή του τυχαίου πειράµατος, ατίστοιχα Η πραγµατοποίηση ή µη του εδεχοµέου B i εξαρτάται απολειστιά από το αποτέλεσµα του i-οστού πειράµατος ή της i-οστής δοιµής, i, Η έοια της στοχαστιής αεξαρτησίας εδεχοµέω µεταφέρεται αι σε τυχαία πειρά- µατα αι ατά συέπεια αι σε δοιµές τυχαίου πειράµατος Συγεριµέα έχουµε: ύο τυχαία πειράµατα µε δειγµατιούς χώρους Ω αι Ω αλούται αεξάρτητα α αι µόο α ισχύει η σχέση B B B 9 B για άθε B Ω αι B Ω εδεχόµεα ως προς το δειγµατιό χώρο Ω Ω εξαρτώµεα από το πρώτο αι δεύτερο τυχαίο πείραµα, ατίστοιχα Η σηµασία τω αεξαρτήτω τυχαίω πειραµάτω αι ειδιότερα τω αεξαρτήτω δοιµώ τυχαίου πειράµατος, έγειται υρίως στο ότι δύαται α χρησιµοποιηθού για τη ατασευή χρησίµω στοχαστιώ προτύπω µοτέλω Στη περίπτωση αυτή δε αρχίζει άποιος ορίζοτας αξιωµατιά τη πιθαότητα B για άθε εδεχόµεο B Ω Ω αι µετά εξετάζοτας ατά πόσο ιαοποιείται η σχέση 9 διαπιστώει τη αεξαρτησία τω τυχαίω πειραµάτω ή τω δοιµώ του τυχαίου πειράµατος Ατίθετα µάλιστα, ορίζοται πρώτα οι πιθαότητες i i για άθε εδεχόµεο i Ωi i, αι µετά υποθέτοτας ότι τα τυχαία πειράµατα είαι αεξάρτητα ορίζεται η πιθαότητα B για άθε εδεχόµεο B Ω Ω έτσι ώστε α ισχύει η σχέση 9 Σηµειώουµε ότι, από πρατιή άποψη, η υπόθεση της αεξαρτησίας τω τυχαίω πειραµάτω διατυπώεται µετά τη εξέταση τω συθηώ άτω από τις οποίες ετελούται αι σύµφωα µε τα αποτελέσµατα σειράς παρατηρήσεω Ο ορισµός της πιθαότητας B για άθε εδεχόµεο B Ω Ω µέσω τω πιθαοτήτω i i για άθε εδεχόµεο i Ωi i,, στη περίπτωση που υποθέτουµε ότι τα τυχαία πειράµατα είαι αεξάρτητα, επιτυγχάεται ως εξής: Αρχιά, χρησιµοποιώτας τη 9, ορίζεται η πιθαότητα για άθε στοιχειώδες εδεχόµεο { ω, } του δειγµατιού χώρου Ω Ω : ω { ω, ω } { ω} { ω}

13 Η πιθαότητα B για άθε εδεχόµεο B Ω Ω, ορίζεται τότε, µέσω της πιθαότητας τω στοιχειωδώ εδεχοµέω, από τη σχέση Παρατηρούµε ότι α Επίσης αι έτσι B B αι ω, ω B { ω, ω } Ω B Ω, τότε B, B B B B B Οι αωτέρω έοιες αι συµπεράσµατα επετείοται, χωρίς αµµιά περαιτέρω δυσολία, σε οποιοδήποτε πεπερασµέο αριθµό τυχαίω πειραµάτω ή δοιµώ τυχαίου πειράµατος Παράδειγµα 9 Ας θεωρήσουµε µια αολουθία 5 ρίψεω εός ζεύγους διαεριµέω ύβω Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως σε τουλάχιστο ρίψεις ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος ύβος Ας θεωρήσουµε, αρχιά, το τυχαίο πείραµα της ρίψης εός ζεύγους διαεριµέω ύβω µε δειγµατιό χώρο Ω { i, j : i,,,6, j,,,6}, ο οποίος περιλαµβάει N Ω 6 6 ισοπίθαα δειγµατιά σηµεία Το εδεχόµεο Α όπως ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος ύβος, { i, j : j i +, i +,,6, i,,,6}, περιλαµβάει N 5 δειγµατιά σηµεία Χαρατηρίζοτας ως επιτυχία ε το εδεχόµεο Α αι ως αποτυχία α το συµπληρωµατιό εδεχόµεο, ο δειγµατιός χώρος Ω δύαται α παρασταθεί ως Ω {α, } Τότε ε 5 5 p i { ε}, 6 7 q i { α} 6 Περαιτέρω, ο δειγµατιός χώρος του τυχαίου πειράµατος µιας αολουθίας 5 ρίψεω εός ζεύγους διαεριµέω ύβω είαι το Ω { ω, ω, ω, ω4, ω5 : ω { α, }, i,,,4,5 } 5 i ε To εδεχόµεο Β πραγµατοποίησης επιτυχιώ σε 5 ρίψεις δοιµές: περιλαµβάει B { ω, ω, ω, ω4, ω5 : ωi ε για αριβώς δείτες i {,,, 4,5}} 5

14 δειγµατιά σηµεία, όσα αι ο αριθµός τω επιλογώ τω θέσεω για τις επιτυχίες από τις 5 συολιά θέσεις Επιπλέο άθε τέτοιο δειγµατιό σηµείο, το οποίο περιλαµβάει σε θέσεις το ε αι σε 5 θέσεις το α, έχει πιθαότητα { ω, ω, ω, ω4, ω5 } { ω} { ω} { ω} 4 { ω4} 5 { ω5} Εποµέως η πιθαότητα p B δίδεται από τη p, 0,,, 5 Η πιθαότητα όπως σε τουλάχιστο ρίψεις ο αριθµός που εµφαίζει ο δεύτερος ύβος υπερβαίει το αριθµό που εµφαίζει ο πρώτος ύβος, έστω Q, η οποία είαι ίση µε τη πιθαότητα τουλάχιστο επιτυχιώ, είαι ίση µε Q p0 p 5 0,0675 0, ,69 Παράδειγµα 9 Nόµος ληροοµιότητας του Mendel Η ληροοµιότητα χαρατηριστιώ οφείλεται σε ειδιούς φορείς αλουµέους γοίδια Τα ύτταρα εός οργαισµού, µε εξαίρεση τους γαµέτες που είαι τα ύτταρα ααπαραγωγής σπέρµα ή ωάριο, φέρου γοίδια ατά ζεύγη τα οποία είαι είτε του τύπου Α είτε του τύπου α Έτσι αάλογα µε τα ζεύγη τω γοιδίω που φέρου τα ύτταρα άθε οργαισµός αήει σε έα από τους τρεις γοότυπους ΑΑ, Αα αι αα δε υπάρχει διάριση µεταξύ τω Αα αι αα Οι γαµέτες φέρου έα µόο γοίδιο που στη περίπτωση τω γοοτύπω ΑΑ αι αα είαι του τύπου Α αι α, ατίστοιχα, εώ στη περίπτωση του γοοτύπου Αα είαι εξίσου πιθαό α είαι του τύπου Α ή του τύπου α Τα παιδιά ληροοµού από τους γοείς τους τα γοίδια έα από το αθέα Έστω ότι οι γοότυποι ΑΑ, Αα αι αα εµφαίζοται σε ποσοστά p, q αι r, ατίστοιχα, µε p + q + r αεξάρτητα φύλου Οι πιθαότητες τω τριώ γοοτύπω ΑΑ, Αα αι αα για οποιοδήποτε απόγοο γοέω που ελέγοται τυχαία δύαται α υπολογισθού ως εξής: Ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα, αι όπως έα αρσειό άτοµο το οποίο ελέγεται τυχαία από το αρχιό πληθυσµό είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα αι αα, ατίστοιχα αι τα εδεχόµεα B, B αι B όπως έα θηλυό άτοµο το οποίο ελέγεται τυχαία από το αρχιό πληθυσµό είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα αι αα, ατίστοιχα Επίσης ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα Α αι Β όπως έας απόγοος ζευγαρώµατος δύο ατόµω αρσειού αι θηλυού του αρχιού πληθυσµού ληροοµήσει το γοίδιο Α από το πατέρα αι τη µητέρα, ατίστοιχα Τότε, σύµφωα µε το θεώρηµα της ολιής πιθαότητας, + p + q p + q αι p + q q + r, εφ όσο p + q + r Οµοίως B p + q, B q + r

15 Ας θεωρήσουµε τώρα αι τα εδεχόµεα Γ, Γ αι Γ όπως έας απόγοος ζευγαρώµατος δύο ατόµω αρσειού αι θηλυού του αρχιού πληθυσµού είαι του γοοτύπου ΑΑ, Αα αι αα, ατίστοιχα Τότε Γ B, Γ B + B αι Γ B Τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα, οπότε τόσο τα εδεχόµεα Α αι B όσο αι τα εδεχόµεα αι Β αι τα εδεχόµεα αι B είαι αεξάρτητα βλ Παρατήρηση 8 Εποµέως Γ + q, B B p Γ B + B B + B B + B p + q q + r, Γ + r B B q Παράδειγµα 9 Κληροοµιότητα χαρατηριστιώ συδεοµέω µε το φύλο Τα γοίδια είται στα χρωµατοσώµατα Τα χρωµατοσώµατα εµφαίζοται ατά ζεύγη αι µεταβιβάζοται ως αδιαίρετες µοάδες έτσι ώστε τα γοίδια εός χρωµατοσώµατος α παραµέου µαζί Ο όµος ληροοµιότητας τω γοιδίω εφαρµόζεται αι στα χρωµατοσώµατα ως µοάδες Το φύλο αθορίζεται από δύο χρωµατοσώµατα Χ αι Υ αι άθε άτοµο φέρει έα ζεύγος τέτοιω χρωµατοσωµάτω Τα αρσειά φέρου το ζεύγος ΧΥ αι θηλυά το ζεύγος ΧΧ Έτσι η µητέρα µεταβιβάζει έα Χ χρωµατόσωµα αι το φύλο εός απογόου αθορίζεται από το χρωµατόσωµα Χ ή Υ που µεταβιβάζει ο πατέρας Τα γοίδια που είται στο χρωµατόσωµα Χ δε έχου ατίστοιχο γοίδιο στο χρωµατόσωµα Υ Έτσι τα θηλυά, τα οποία έχου δύο χρωµατοσώµατα Χ, έχου δύο τέτοια γοίδια εώ στα αρσειά, τα οποία έχου έα χρωµατόσωµα Χ, τέτοια γοίδια εµφαίζοται ως µοά Τα γοίδια που προαλού τη αχρωµατοψία, όπως αι τα γοίδια που προαλού τη αιµοφιλία, αποτελού χαρατηριστιά παρα-δείγµατα γοιδίω ειµέω στο χρωµατόσωµα Χ Έστω C ο δεσπόζω αι c ο υποχωρητιός τύπος του γοιδίου της αχρωµατοψίας ή αιµοφιλίας Τα θηλυά αήου σε έα από τους τρεις γοοτύπους CC, Cc αι cc, εώ τα αρσειά σε έα από τους δύο γοοτύπους C αι c Έα θηλυό του γοότυπου CC δε παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία, του γοοτύπου Cc είαι φορέας αχρωµατοψίας ή αιµοφιλίας αι γοοτύπου cc παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία Επίσης, έα αρσειό του γοότυπου C δε παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία, αι του γοοτύπου c παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία Έστω p το ποσοστό του δεσπόζοτος τύπου C αι q p το ποσοστό του υποχωρητιού τύπου c του γοιδίου της αχρωµατοψίας ή αιµοφιλίας, τόσο στα αρσειά όσο αι στα θηλυά άτοµα Τότε η πιθαότητα έας άδρας α µη παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία είαι ίση µε p εώ α παρουσιάζει αχρωµατοψία ή αιµοφιλία είαι ίση µε q p Οι πιθαότητες u, v αι w τω τριώ γοοτύπω CC, Cc αι cc του γοιδίου της αχρωµατοψίας ή αιµοφιλίας στο γυαιείο πληθυσµό, ατίστοιχα, δύαται α υπολογισθού ως εξής: Ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα αι όπως έα άτοµο το οποίο ελέγεται τυχαία από το υποπληθυσµό τω αρσειώ είαι του γοοτύπου C αι c, ατίστοιχα αι τα εδεχόµεα B, B αι B όπως έα άτοµο το οποίο ελέγεται τυχαία από το υποπληθυσµό τω θηλυώ είαι του γοοτύπου CC, Cc αι cc, ατίστοιχα Επίσης ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα Α αι Β όπως έας θηλυός απόγοος ζευγαρώµατος

16 4 δύο ατόµω αρσειού αι θηλυού του αρχιού πληθυσµού ληροοµήσει το γοίδιο C από το πατέρα αι τη µητέρα, ατίστοιχα Τότε αι αι p q Επίσης, σύµφωα µε το θεώρηµα της ολιής πιθαότητας, B B B B + B B B u + v u + v B B u + v v + w, εφ όσο u + v + w Παρατηρούµε ότι B B, B B + B αι B B Επίσης τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα, οπότε τόσο τα εδεχόµεα Α αι B όσο αι τα εδεχόµεα αι Β αι τα εδεχόµεα αι B είαι αεξάρτητα Εποµέως u B B B p u + v, v B B + B B + B B + B p v + w + q u + v, w B B B q v + w Οι δύο πρώτες σχέσεις, χρησιµοποιώτας το ότι µετασχηµατίζοται στις αι έτσι qu pv, p u + p + v p u p, v pq, w q p q p αι v + w u + v, Ας σηµειωθεί ότι η πιθαότητα w όπως µια γυαία παρουσιάζει αχρωµατοψία είαι ίση µε το τετράγωο πιθαότητας q όπως έας άδρας παρουσιάζει αχρωµατοψία 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η σειρά εξέτασης τεσσάρω µαθηµάτω α, β, γ αι δ αθορίζεται µε λήρωση για τη αποφυγή διαµαρτυριώ είτε από τους εξεταζόµεους είτε από τους επιτηρητές Να ορισθεί ατάλληλος δειγµατιός χώρος για τη περιγραφή του τυχαίου αυτού πειράµατος Έστω ότι Α είαι το εδεχόµεο το µάθηµα α α εξετασθεί πρώτο αι Β το εδεχόµεο το µάθηµα β α εξετασθεί δεύτερο Να αταχωρηθού τα δειγµατιά σηµεία τω εδεχοµέω, B, B αι B Κατά τη τυχαία ελογή µιας οιογέειας 4 παιδιώ εδιαφερόµαστε για τα εδεχόµεα: όπως ο αριθµός τω αγοριώ ισούται µε το αριθµό τω οριτσιώ, Β όπως αγόρια αι ορίτσια εαλλάσσοται ααφοριά µε τη σειρά γέησης αι Γ όπως τρία παιδιά του ιδίου φύλου γεούται διαδοχιά Ποιος είαι ο αταλληλότερος δειγµατιός χώρος Ω που µπορούµε α χρησιµοποιήσουµε αι ποια τα δειγµατιά σηµεία που αήου σε άθε έα από τα εδεχόµεα που µας εδιαφέρου

17 5 Έστω ότι δύο παίτες α αι β αγωίζοται σε µια σειρά παιγιδιώ πχ σάι, τάβλι, τέις αι ιητής ααδειύεται εείος που πρώτος ερδίζει τρία παιγίδια Να ορισθεί ατάλληλος δειγµατιός χώρος Ω για τη περιγραφή του τυχαίου αυτού πειράµατος Ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα Α αι Β όπως ο παίτης α ααδειχθεί ιητής στο τρίτο αι στο τέταρτο παιγίδι της σειράς, ατιστοχα Να αταχωρηθού τα δειγµατιά σηµεία τω εδεχοµέω, B, B αι B 4 Έστω ότι έας αριθµός τηλεφώου ελέγεται τυχαία από το τηλεφωιό ατάλογο Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως αι τα τέσσερα τελευταία ψηφία του είαι διαφορετιά 5 ποβιβάσεις αελυστήρα Έστω ότι αελυστήρας πεταόροφης οιοδοµής ξειά από το ισόγειο µε τέσσερα άτοµα Να υπολογισθού οι πιθαότητες αποβίβασης α αι τω τεσσάρω ατόµω σε διαφορετιό όροφο, β δύο ατόµω στο τρίτο όροφο, εός ατόµου στο τέταρτο όροφο αι εός ατόµου στο πέµπτο όροφο αι γ δύο ατόµω στο τρίτο όροφο 6 ιάδοση ψιθύρω Σε µια πόλη + ατοίω έα άτοµο µεταδίδει έα ουτσοµπολιό σε έα δεύτερο άτοµο, το οποίο το µεταδίδει σε έα τρίτο ο Κάθε άτοµο στο οποίο µεταδίδεται το ουτσοµπολιό ελέγεται από το ψιθυριστή τυχαία µεταξύ τω ατοίω Να υπολογισθεί η πιθαότητα α µεταδοθεί το ουτσοµπολιό χωρίς α α επιστρέψει στο πρώτο ψιθυριστή αι β α επααληφθεί σε οποιοδήποτε άτοµο 7 Ας θεωρήσουµε έα σύολο + ατόµω α, α, α,, α } τω οποίω { 0 αταγράφουµε τα γεέθλια Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως το άτοµο γεέθλια τη ίδια µέρα µε έα τουλάχιστο από τα υπόλοιπα άτοµα { α, α,,α } 8 Έστω ότι µέσα σε διαεριµέα ελιά { c, c,, c } τοποθετούται τυχαία το έα µετά το άλλο σφαιρίδια Α η διαδιασία αυτή σταµατά α ότα τοποθετηθεί έα σφαιρίδιο στο ελί c αι β ότα σε έα οποιοδήποτε ελί τοποθετηθού δύο σφαιρίδια, α υπολογισθού οι ατίστοιχες πιθαότητες όπως απαιτηθού περισσότερες από δοιµές 9 Το πρόβληµα του Γαλιλαίου Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα της ρίψης τριώ ύβω αι τα εδεχόµεα Α αι Β όπως το άθροισµα τω εδείξεω τούτω είαι 9 0 ατίστοιχα Έας παρατηρητιός φίλος του Γαλιλαίου διέριε ότι η συχότητα εµφάισης του εδεχοέου Α είαι µιρότερη από εείη του Β Τούτο δε µπορούσε α εξηγήσει σεπτόµεος ότι αθ έα από τα εδεχόµεα αυτά περιέχει 6 σηµεία: , Ο Γαλιλαίος στο οποίο απευθύθηε µετά από προσετιή αάλυση υπολόγισε ορθά τις πιθαότητες αι B απ όπου προέυψε ότι < B Να υπολογισθού οι πιθαότητες αι B 0 Από τα λειδιά που έχει άποιος µόο έα αοίγει τη πόρτα του σπιτιού του Επειδή δε θυµάται ποιο είαι το σωστό λειδί, δοιµάζει έα-έα τα λειδιά µέχρι α αοίξει τη πόρτα Να υπολογισθεί η πιθαότητα α απαιτηθού δοιµές,,,v α 0 έχει

18 6 Έστω ότι τρία σφαιρίδια εξάγοται τυχαία το έα µετά το άλλο, χωρίς επαάθεση, από µια ληρωτίδα που περιέχει σφαιρίδια αριθµηµέα από το έα µέχρι το Να υπολογισθού οι πιθαότητες α του εδεχοµέου Α όπως ο αριθµός του πρώτου σφαιριδίου είαι µιρότερος από εείο του δευτέρου αι β του εδεχοµέου Β όπως όπως ο αριθµός του πρώτου σφαιριδίου είαι µιρότερος από εείο του δευτέρου αι ο αριθµός του δευτέρου σφαιριδίου είαι µιρότερος από εείο του τρίτου Ας θεωρήσουµε έα τραπέζι το οποίο είαι χωρισµέο σε ισόπλευρα τρίγωα πλευράς α Έα όµισµα διαµέτρου r µε r < α τοποθετείται τυχαία στο τραπέζι Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως το όµισµα είται στο εσωτεριό τριγώου Έστω Ω ω, ω,, ω } ο δειγµατιός χώρος εός στοχαστιού πειράµατος { Α { ω i } { ωi+ }, i,,,, α υπολογισθού οι πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχοµέω { ω }, i,,, Επιπλέο α υπολογισθεί η i { ω πιθαότητα του εδεχοµέου Α ω,,, ω }, 4 Έστω Ω ο δειγµατιός χώρος στοχαστιού πειράµατος αι Α Ω, έα εδεχόµεο σ αυτό Α είαι το συµπληρωµατιό του εδεχοµέου Α αι ισχύει + / 5 α υπολογισθεί η πιθαότητα 5 Συέχεια Α 4, α υπολογισθεί η πιθαότητα 6 Συέχεια Α 0 < <, α δειχθεί ότι Ας θεωρήσουµε µια αολουθία τριώ ρίψεω εός ύβου αι έστω Α το εδεχόµεο όπως το άθροισµα τω εδείξεω είαι µεγαλύτερο του 0 είξετε ότι το εδεχόµεο Α αι το συµπληρωµατιό του εδεχόµεο Α είαι ισοδύαµα σύολα αι χρησιµοποιώτας το ότι Ν Α Ν Α συµπεράετε τη πιθαότητα Α 8 Ας θεωρήσουµε το δειγµατιό χώρο Ω εός στοχαστιού πειράµατος αι έστω Α,Β Ω εδεχόµεα µε B 4 B, B / Να υπολογισθού οι πιθαότητες, B αι B αι στη συέχεια οι πιθαότητες B, B, B, B B 9 Α / 4, B / αι B / 5 α υπολογισθού οι πιθαότητες: B, B αι B 0 Ας θεωρήσουµε το τυχαίο πείραµα 5 διαδοχιώ ρίψεω δύο διαεριµέω ύβω Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως άθε έα από τα ζεύγη 5,6 6, 5 αι 6,6 εµφαισθεί µία τουλάχιστο φορά σ Ας θεωρήσουµε έα ποµπό ο οποίος επέµπει µε τη ίδια ααλογία τα σήµατα, αι Να υπολογισθού οι πιθαότητες όπως σε 5 εποµπές παρατηρηθού µια τουλάχιστο φορά το αθέα α τα σήµατα σ αι σ αι β αι τα τρία σήµατα, σ αι σ σ σ σ Από µια άλπη που περιέχει άσπρα αι µαύρα σφαιρίδια εξάγοται διαδοχιά αι χωρίς επαάθεση δύο σφαιρίδια άθε φορά µέχρι α εξαχθού όλα τα

19 7 σφαιρίδια Να υπολογισθεί η πιθαότητα όπως όλα τα ζευγάρια αποτελούται από έα άσπρο αι έα µαύρο σφαιρίδιο Οι εταιρείες ασφάλισης αυτοιήτω ατατάσσου τους οδηγούς σε 0 ατηγορίες αάλογα µε τη πιθαότητα που έχου α προαλέσου δυστύχηµα Έστω ότι η πιθαότητα όπως έας οδηγός της ατηγορίας έχει σε έα δωδεάµηο έα τουλάχιστο δυστύχηµα είαι /00,,,, 0 Ας θεωρήσουµε µία ασφαλιστιή εταιρεία στη οποία τα / 55 τω οδηγώ που ασφαλίζει αήου στη ατηγορία,,,0 Α έας οδηγός ασφαλισµέος στη εταιρεία αυτή ααφέρει έα τουλάχιστο δυστύχηµα σε έα δωδεάµηο ποιά είαι η πιθαότητα α αήει στη ατηγορία,,,, 0 ; 4 Έστω ότι το ποσοστό τω γυαιώ µιας ορισµέης περιοχής που πάσχου από αρίο της µήτρας είαι 0,00 Το τεστ Παπαιολάου άει ορθή διάγωση της ασθέειας µε πιθαότητα 0,97 εδοµέου ότι το τεστ για µια γυαία είαι θετιό ποια είαι η πιθαότητα α πάσχει πραγµατιά από αρίο; 5 Έστω ότι 7% τω αδρώ αι % τω γυαιώ πάσχου από αχρωµατοψία Α το 48% του πληθυσµού αυτού είαι άδρες αι το 5% είαι γυαίες α υπολογισθεί η πιθαότητα όπως έα άτοµο που ελέγεται τυχαία από το πληθυσµό αυτό α έχει αχρωµατοψία 6 Έστω ότι το 50% τω γυαιώ έχου το γοίδιο της αιµοφιλίας Α µία γυαία έχει το γοίδιο η πιθαότητα α το ληροοµήσει στο παιδί της είαι / Να δειχθεί ότι η πιθαότητα µια γυαία α έχει το γοίδιο της αιµοφιλίας δεδοµέου ότι απέτησε υγιή γιό ελαττώεται ατά / 7 Έστω ότι σε µία συγεριµέη διαδροµή η πιθαότητα όπως οποιοδήποτε φαάρι της τροχαίας α είαι του ιδίου χρώµατος µε το προηγούµεο είαι 4/5 Α το πρώτο φαάρι είαι πράσιο µε πιθαότητα /5 αι όιο µε πιθαότητα /5 α υπολογισθεί η πιθαότητα το τρίτο φαάρι α είαι πράσιο 8 Από µια ληρωτίδα που περιέχει σφαιρίδια φέροτα τους αριθµούς {,,,} εξάγοται διαδοχιά αι χωρίς επαάθεση τρία σφαιρίδια Α είαι το εδεχόµεο εξαγωγής αριθµού πολλαπλασίου του στη -οστή εξαγωγή,,,, α υπολογισθού οι πιθαότητες, αι 9 Ας θεωρήσουµε έα τηλεπιοιωιό σύστηµα αποτελούµεο από έα ποµπό, ααµεταδότες αι έα δέτη Ο ποµπός στέλλει τα σήµατα στο δυαδιό σύστηµα, στο οποίο τα γράµµατα του αλφαβήτου είαι αολουθίες από 0 αι Οι ααµεταδότες αι ο δέτης, λόγω θορύβου, λαµβάου το σήµα 0 ως σήµα µε πιθαότητα 0,0 αι το σήµα ως σήµα 0 µε πιθαότητα 0,05 Να υπολογισθού οι δεσµευµέες πιθαότητες λήψης από το δέτη α του σήµατος 0 αι β του σήµατος δεδοµέης, σε αµφότερες τις περιπτώσεις, της αποστολής από το ποµπό του σήµατος 0 Ας θεωρήσουµε έα ποµπό ο οποίος επέµπει τα σήµατα 0 αι σε ααλογία προς Έας δέτης τω σηµάτω αυτώ λαµβάει λαθασµέο σήµα σε % τω περιπτώσεω αι έας δεύτερος δέτης σε 4% τω περιπτώσεω Να υπολογισθού οι πιθαότητες α ο πρώτος δέτης α λάβει το σήµα 0 αι β ο δεύτερος δέτης α λάβει το σήµα γ Α ο πρώτος δέτης λάβει το σήµα 0 αι ο δεύτερος δέτης το σήµα, ποιό από τους δέτες πρέπει α εµπιστευθούµε; δ Α ο πρώτος δέτης

20 8 λάβει το σήµα αι ο δεύτερος δέτης το σήµα 0, ποιό από τους δέτες πρέπει α εµπιστευθούµε; Έστω ότι έα µόριο δύαται α χωρισθεί σε 0 ή ή µόρια µε πιθαότητες /4, / αι /4, ατίστοιχα Ας θεωρήσουµε τα σύολα τω µορίω της πρώτης αι της δεύτερης γειάς προερχόµεα από το αρχιό µόριο, του προγεήτορα Α είαι το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω µορίω της πρώτης γειάς είαι, 0,, αι B r είαι το εδεχόµεο όπως ο αριθµός τω µορίω της δεύτερης γειάς είαι r, r 0,,,6, α υπολογισθού οι πιθαότητες B, B αι B 0 Έστω ότι το ποσοστό τω ατόµω µιας ορισµέης περιοχής που πάσχου από µία σοβαρή ασθέεια είαι 0,0 Έα άτοµο υποβάλλεται σε δύο αεξάρτητα µεταξύ τους τέστ αθέα από τα οποία άει ορθή διάγωση µε πιθαότητα 0,95 Να υπολογισθού οι δεσµευµέες πιθαότητες α πάσχει το άτοµο α δεδοµέου ότι έα τουλάχιστο τέστ είαι θετιό αι β δεδοµέου ότι αι τα δύο τέστ είαι θετιά ύο σοπευτές α αι β ρίχου από µία βολή ατά στόχου Έστω ότι η πιθαότητα επιτυχούς βολής από το α είαι 0,8 εώ από το β είαι 0,6 Α µια από τις δύο σφαίρες τυπήσει το στόχο, α υπολογισθεί η πιθαότητα α αήει στο α 4 Στο τυχαίο πείραµα της ρίψης εός οµίσµατος δύο φορές ας θεωρήσουµε τα εδεχόµεα όπως εµφαισθεί Α: η έδειξη εφαλή µια τουλάχιστο φορά, Β: στη πρώτη ρίψη η έδειξη γράµµατα αι Γ: σε άθε ρίψη διαφορετιή έδειξη Υπολογίζοτας τις σχετιές πιθαότητες, δείξετε ότι B < B, Γ > Γ, Γ Β Γ 5 Έστω ότι τα εδεχόµεα, αι είαι αεξάρτητα είξετε ότι τα Α εδεχόµεα α αι, β αι αι γ αι είαι αεξάρτητα 6 Α /, B / αι B / α εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα Οµοίως α / B / 5 αι B / 5 7 Έστω ότι έα όµισµα ρίχεται διαδοχιά φορές Ας θεωρήσουµε το εδεχόµεο Α εµφάισης αι τω δύο όψεω του οµίσµατος αι το εδεχόµεο Β εµφάισης µια το πολύ φορά της όψης εφαλή Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα Α αι Β είαι αεξάρτητα 8 Έστω ότι από µια ληρωτίδα που περιέχει 6 σφαιρίδια { σ, σ,, σ 6} εξάγοται διαδοχιά το έα µετά το άλλο χωρίς επαάθεση όλα τα σφαιρίδια Επίσης, έστω το εδεχόµεο εξαγωγής του σφαιριδίου σ πρι από τη εξαγωγή του σφαιριδίου, το εδεχόµεο εξαγωγής του σφαιριδίου σ πρι από τη εξαγωγή του σ σ 4 σ 5 σ σφαιριδίου αι το εδεχόµεο εξαγωγής του σφαιριδίου πρι από τη εξαγωγή του σφαιριδίου 6 Να εξετασθεί ατά πόσο τα εδεχόµεα Α, αι είαι αεξάρτητα 9 Ας θεωρήσουµε έα αρχιό πληθυσµό στο οποίο οι γοότυποι ΑΑ, Αα αι αα εµφαίζοται σε ποσοστά p, q αι r ατίστοιχα µε p + q + r αεξάρτητα φύλου Έστω ότι αθέας από τους γοείς πατέρας αι µητέρα ληροοµεί, σύµφωα µε το

21 9 όµο ληροοµιότητας του Mendel, σε άθε παιδί του έα από τα γοίδια Α αι α Να υπολογισθεί η δεσµευµέη πιθαότητα ο πατέρας α είαι του τύπου Αα δεδοµέου ότι το παιδί είαι του τύπου ΑΑ 40 Ας θεωρήσουµε έα πληθυσµό στο οποίο ο λόγος του αριθµού τω αδρώ προς το αριθµό τω γυαιώ είαι θ Υποθέτουµε ότι η πιθαότητα έας άδρας α παρουσιάζει αχρωµατοψία είαι q, εώ η πιθαότητα µια γυαία α παρουσιάζει αχρωµατοψία είαι q βλ Παράδειγµα 9 Έστω ότι έα άτοµο ελέγεται τυχαία από το πληθυσµό αυτό Να υπολογισθού οι πιθαότητες τω εδεχοµέω όπως το ελεγόµεο άτοµο α είαι γυαία παρουσιάζουσα αχρωµατοψία αι β παρουσιάζει αχρωµατοψία