7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()<g() μπορεί α ισχύει f() g() 0 0 Πχ : Εώ κοτά στο + ισχύει 0 ΟΡΙΑ στο ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για τη πολυωυμική συάρτηση P()=α v +α - v- + +α 0 με α 0 ισχύει: Ρ() α και Ρ() α Να βρείτε τα όρια : i) (- + 5 4 ) ii) ( - 4 7 ) ΟΡΙΑ στο ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ α Για τη ρητή συάρτηση f()= β κ κ α β κ κ α β 0 0 με α 0 β κ 0 ισχύει: f() α β κ κ και f() α β κ κ Να βρείτε τα όρια :
- i) ii) - Σχόλιο : Για τα όρια ρητώ συαρτήσεω (κλάσματα) στο άπειρο ας θυμόμαστε ότι : Α ο βαθμός αριθμητή > βαθμό παροομαστή τότε το όριο είαι μη πεπερασμέο (δηλ+ ή -) Α ο βαθμός του αριθμητή < βαθμό του παροομαστή τότε το όριο είαι το μηδέ Α ο βαθμός του αριθμητή = με το βαθμό του παροομαστή τότε το όριο είαι ίσο με το πηλίκο τω συτελεστώ τω μεγιστοβάθμιω όρω Να βρείτε τα όρια : i) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : πρώτα έα κλάσμα! (Απ ) ΣΧΟΛΙΟ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Στις παραπάω ασκήσεις έχουμε από τις ελάχιστες περιπτώσεις στα μαθηματικά που κάουμε το πολλαπλασιασμό στο παροομαστή (γιατί απαραίτητα πρέπει α δούμε τι βαθμού είαι) 4 Θεωρούμε τη συάρτηση f : [0+)R για τη οποία για κάθε 0 ισχύει (+ )f()- Να βρείτε το όριο f() (Απ 0) P() P() 5 Να βρεθεί το πολυώυμο P() α ισχύου και 0 ( P()= + ) 6 ** Α f() α υπολογίσετε (α υπάρχου) τα όρια : α) f() f() β) f () f() f () f() () ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : για α υπολογίσουμε τα παραπάω όρια στο αριθμητή και στο παροομαστή του κλάσματος βγάζουμε κοιό παράγοτα τη μεγαλύτερη δύαμη της f()
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ (ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ) 7 Για τις διάφορες τιμές του λr α βρεθεί το f() α f()=(λ -) +(λ-)+0 8 Για τις διάφορες τιμές του αr α βρεθεί το Το ίδιο για το (α α 8) (α ) (α 5) (α ) α (α ) 7 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9 Να βρείτε τα αβr ώστε α ισχύει : i 4 ( á â) 0 (α= β=0) + 4 ) ii) + á â (α=- β=-) 0 Να βρείτε τα όρια : i) - ΟΡΙΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 5 5 ii) - Σχόλιο : στο i) ερώτημα έχουμε + + άρα το όριο της συάρτησης θα είαι + Όμως στο ii) ερώτημα έχουμε + - δηλ απροσδιόριστη μορφή Γιαυτό πρέπει α βγάλουμε τα απόλυτα και μετά α εφαρμόσουμε ιδιότητες ορίω Για α απαλλαγούμε από τα απόλυτα πρέπει α γωρίζουμε το πρόσημο της παράστασης που βρίσκεται μέσα σ αυτό 5 4 - iii) () iv) v) + - - + - ΟΡΙΑ ΜΕ ΡΙΖΕΣ Α f() τότε f() f() 0
Να βρείτε τα όρια : i) 9 5 9 5 ii) 0 iii) Σχόλιο : στα δύο πρώτα ερωτήματα έχουμε + + άρα το όριο της συάρτησης θα είαι + Όμως στο ερώτημα iii) καταλήγουμε στη απροσδιόριστη μορφή + - Μεθοδολογία : Προσπαθούμε α βγάλουμε κοιό παράγοτα τη μεγαλύτερη δύαμη του MH ΞΕΧΝΑΤΕ : Να υπολογίσετε τα όρια: α) 4 5 49 6 5 (Απ -) β) 6 5 5 6 5 (Απ +) Να υπολογισθού τα όρια: α) 9 4 5 β) 5 4 7 5 (Απ -/) (Απ 7/5) Σχόλιο : και εδώ καταλήγουμε στη απροσδιόριστη μορφή +- Α για τη άρση της απροσδιοριστίας ακολουθήσουμε τη προηγούμεη μέθοδο δηλ της εξαγωγής κοιού παράγοτα της μεγαλύτερης δύαμης του καταλήγουμε στη μορφή 0(+) δηλ και πάλι απροσδιοριστία! Μεθοδολογία : Σε παρόμοιες περιπτώσεις θα χρησιμοποιούμε τη της συζυγούς παράστασης μέθοδο 4 Δίεται η συάρτηση f() R Να αποδείξετε ότι f() 0 (00)
5 Δίεται η συάρτηση f() 4 R Να υπολογίσετε το όριο f() (004) 6 Να βρεθεί το όριο της συάρτησης f στο + με 4 4 f() 7 6 5 7 6 5 0 (987) (Απ 9/) (Απ0) 7 Να υπολογισθεί το όριο 4 9 7 5 (Απ 5/4) Υπόδειξη: 4 9 7 5 4 9 7 ΑΣΚΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ : Κάποιος μαθητής βρήκε το επόμεο όριο ως εξής: + + 0 0 ΔΕΝ ΕΠΙΤΡΕΠΕΤΑΙ ΝΑ ΑΝΤΙΚΑΘΙΣΤΟΥΜΕ ΤΑ ΟΡΙΑ ΤΜΗΜΑΤΙΚΑ Είαι το αποτέλεσμα σωστό ; Ο τρόπος που εργάστηκε ; 8 Να υπολογισθού τα όρια : i) + + (Απ -) ii) - 4 (Απ ) f() g() 9 Α και + + 5 4 5 α βρείτε το + f() g() ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 0 Α για τη συάρτηση f : RR ισχύει 4 f()+ για κάθε R α βρείτε το f() (Απ ½)
ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Να βρείτε το όριο της f() για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ α και f() 4 λ Α π 4 α λ α λ α λ Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ α βρείτε το όριο (μ ) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ ΣΤΟ ΜΕ ΡΙΖΑ Δίεται η συάρτηση f() κ λ Να προσδιοριστού οι πραγματικοί αριθμοί κ λ ώστε f() = ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ημ 4 Να βρείτε το (Απ 6) + ΥΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : θέτω u οπότε u 0 ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f() 5 Έστω η συάρτηση f για τη οποία ισχύει λ με λ Να βρείτε τo όριο (f()- ) (Απ -) f() 6 Α f : RR για τη οποία ισχύει : α βρείτε το f() f() (απ -/ )
f()çì 7 Η συάρτηση f είαι ορισμέη στο R Α είαι 0 + α βρείτε το όριο της f στο σημείο 0 =0 (Απ f() 0 ) 8 Δίεται η συάρτηση f:rr για τη οποία ισχύει: - f() βρείτε τα όρια: α f() β f () - f() 5 f () (Απ 0) Να (Απ +) ΥΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ βγάζουμε το f () κοιό παράγοτα σε αριθμητή και παροομαστή 9 Έστω η συάρτηση f:(-0)r για τη οποία ισχύει f() Να βρείτε τα όρια: i) f() (Απ ) - - ii) f() ( Απ - ) - f() 0 Έστω η συάρτηση f:(-0)r για τη οποία ισχύει f() Να βρείτε: - f() α i) το f() (Απ ) ii) το α α ( Απ α=0 ) - - ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΤΕ!! Εκθετική f()=α Πχ 5 e Πχ e 5
Λογαριθμική με βάση e f()=ln >0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΤΩΝ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ A Να ατιστοιχίσετε σε κάθε συάρτηση της Α στήλης το όριο της για + που βρίσκεται στη Β στήλη : Στήλη Α f()=ln(+) f()= - f()=e 4 f()=-e 5f()=+ - Στήλη Β α β + γ δ 0 ε - στ e B Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθασμέες και α βάλετε σε κύκλο το ατίστοιχο γράμμα (Σ) ή (Λ) Στις λαθασμέες α βρείτε τη σωστή απάτηση : α Α α> τότε α 0 (007) Σ Λ β ( ln) Σ Λ γ ( ln) 0 Σ Λ δ ( e ) 0 Σ Λ ε (ln) Σ Λ Να βρεθού τα όρια : α) f() α () e f 0 0 (Απ - ) β) f() α f() (Απ 8) γ) f() α () f 0 0 0 (Απ ) 0
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Ααλύουμε τις δυάμεις ώστε α έχουμε μόο α β Πχ + = i) A + διαιρούμε αριθμητή και παροομαστή με το εκθετικό που υπάρχει στο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ και έχει τη μεγαλύτερη βάση ii) A - : α) α έχουμε μόο δυάμεις διαιρούμε αριθμητή και παροομαστή με τη μικρότερη βάση β) α έχουμε και αριθμό στο παροομαστή κάουμε ατικατάσταση! 5 α β γ Α δ 0 e 5 Ν τότε: Α <5 Β >5 Γ =5 Δ = Ε οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός Να υπολογισθεί το όριο e 0 Σχόλιο : έχουμε όριο της μορφής 0 προσοχή : που ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΑ έχουμε στις περιπτώσεις : ΔΕΝ είαι απροσδιόριστη μορφή Λύση : e 0 0 = ( )( ) e 0 0 0-4 Να βρείτε το όριο 0 (Απ -) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ότα έχουμε όρια εκθετικώ συαρτήσεω και 0 θέτουμε u= οπότε u συεχίζουμε όπως στις προηγούμεες περιπτώσεις 5 Δίεται η συάρτηση f()= α ( )e y y y α e Να δείξετε ότι y y όπου α>0 και α e
f()= e α α (0e) α e ΣΧΟΛΙΟ: μη σας τρομάζει η ταυτόχροη ύπαρξη ψ α e Επειδή ψ+ εργαζόμαστε όπως έχουμε πει: διαιρούμε αριθμητή και παροομαστή με το εκθετικό που υπάρχει στο ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ και έχει τη μεγαλύτερη βάση ΕΥΡΕΣΗ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ!! 6 Δίεται η συάρτηση f: RR για τη οποία ισχύει f()+e f() = για κάθε R Α η f έχει όριο στο + α αποδείξετε ότι f() =+ ΛΥΣΗ: Α f() =- τότε άτοπο (f() e f() ) - εώ =+ άρα καταλήγουμε σε f() Α f() = τότε (f() e ) άτοπο + e εώ =+ άρα καταλήγουμε σε Επειδή από τη υπόθεση γωρίζουμε ότι υπάρχει το όριο της f στο + υποχρεωτικά f() =+ Παραμετρικό όριο λ 004 7 Να βρείτε το για κάθε θετική τιμή του λ λ 004 ΥΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Εξετάζουμε τις περιπτώσεις λ<004 λ>004 και λ=004 Για λ=004 εργαζόμαστε όπως στη άσκηση λ 8 Να βρείτε το όριο της συάρτησης f() για τις διάφορες λ τιμές του λ(0+) (984) Όρια σύθετω συαρτήσεω 9 Να υπολογίσετε τα όρια: i) (Απ ) ii) e 00 (Απ 0) ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: πρώτα βρίσκουμε το όριο του εκθέτη
40 Να υπολογίσετε τα όρια: α) [ln(e )] (Απ +) 0 β) [ημ ] 0 (Απ 0) 4 ** Δίεται μιγαδικός αριθμός z για το οποίο ισχύει z-i>6z-i α) Να δείξετε ότι z β) Να βρείτε το όριο lnz e (Απ -) Όρια συαρτήσεω της μορφής ln(f())-ln(g()) 4 Να βρεθού τα όρια : i) [ln( ) ln(e )] ii) [ ln( e )] ΘΥΜΗΘΕΙΤΕ : α ln lnα lnβ β =lne iii) [ln( ) ln( )] ΣΧΟΛΙΟ : όρια σύθετω συαρτήσεω (Απ i) - ii) 0 iii) +) ΟΡΙΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ημ 0 συ ημ 0 ημ ημ γιατί ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ κλπ ημ ημu γιατί ημ u0 u
ΠΡΟΣΟΧΗ : δε μπορούμε α υπολογίσουμε τη τιμή τω ορίω ημ συ (όπως και τω ημ 0 συ ) 0 0 4 Να υπολογίσετε τα όρια : 8 v α) ημ β) ημ Ν (Να κάετε τη σύγκριση με το ημ ) 0 44 * f() Α ισχύει ημ για κάθε R α βρεθεί f() (Aπ ) 45 ** f() e Α 5 ημ α υπολογίσετε το f() (Απ 0) Σχόλιο: η άσκηση ΔΕΝ ΛΥΝΕΤΑΙ με εφαρμογή του θεωρήματος D L Hospital 46 Να βρείτε το όριο ημ συ Υπόδειξη: βγάλτε κοιό ΜΗ ΞΕΧΝΑΤΕ! Μηδεική φραγμέη=μηδεική ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ παράγοτα το ημ 47 Α f() = υπολογίστε το f() (ΥΠΟΔΕΙΞΗ : μηδεική επί φραγμέη) 48 Να βρείτε το f() α ημ f() 4 8 για κάθε R 9 49 Να υπολογίσετε το όριο ημ (004) e - 50 Δίεται η συάρτηση Ε(λ) λ 0 Να υπολογίσετε το όριο λ λ Ε(λ) (005) λ ημλ
5 Α ισχύει ( +)f() e για κάθε R α υπολογίσετε τα όρια : β) α) f() ημ f() ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ: α f() g() και f() g() τότε και γ) f () f () f () f() 5 (Απ α+ β 0 γ ) Υπεθύμιση για το γ ερώτημα: βγάζουμε σε αριθμητή και παροομαστή κοιό παράγοτα τη μεγαλύτερη δυατή δύαμη του f() ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5 Έστω μία συάρτηση f : RR τέτοια ώστε : f() γα κάθε R f() α) Να δείξετε ότι β) Να βρείτε τα όρια : f() i) ii) f iii) 0 f ΥΠΟΔΕΙΞΗ : Θυμηθείτε τη μεθοδολογία στη ασκ 0 της παραγράφου 5 ΛΥΣΗ : α) κριτήριο παρεμβολής f() f() β) i) Για > = [ ] 0 0 - f() f() Για = = f ii) f Θέτουμε u 0 0 5 Α οι συαρτήσεις f και g είαι ορισμέες στο διάστημα Δ=(0+) και ισχύει ότι f() g() α αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ f() g() f() g() 0
Θα είαι f()>0 και g()>0 κοτά στο + άρα 0 f() g() f () g () f() g() f () g () f () g () f() g() f () g () f() g() To ζητούμεο προκύπτει από κριτήριο παρεμβολής