Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προσεγγισεις. Aνισοτητες. Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος"

Transcript

1 Προσεγγισεις Aνισοτητες Επ ι με λ ε ι α : Τακης Τσακαλακ ος

2 1 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Προσημο πραγματικου (φανταστικου) μερους του μιγαδικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι: Re(z) > 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Χρησιμοποιουμε τη ιδιοτητα: z = z = z z = + y, αφου υψωσουμε στο τετραγωνο την προς αποδειξη σχεση.. Καταληγουμε σε αληθινο συμπερασμα. 3. Μια αλλη χρησιμη ιδιοτητα: Αν z = + y i τοτε Re(z) =, Im(z) = y.

3 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχτει οτι η σχεση z - 1 < z + 1 επαληθευεται μονο απ τους μιγαδικους που εχουν θετικο πραγματικο μερος. Ειναι z-1 < z+1 z-1 < z+1 ( z - 1 )( z - 1 ) < ( z + 1 )( z + 1 ) zz - z - z + 1 < zz+ z + z + 1 z + z > 0 z+ z >0 Re(z) > 0 Re(z) > 0.

4 3 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Mεγιστο και ελαχιστο μετρου μιγαδικου αριθμου. Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε σχεση: α f(z) β. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη ζητουμενη, ετσι ωστε να περιεχει τη δοσμενη.. Χρησιμοποιουμε τριγωνικη ανισοτητα, για το μετρο στο οποιο εχει μετατραπει η ζητουμενη σχεση. 3. Με πραξεις καταληγουμε σε ανισοτητα της μορφης α f(z) β, οπου f(z) η παρασταση της οποιας ζητουμε το μεγιστο και ελαχιστο. 4. Το α ειναι το ελαχιστο και το β ειναι το μεγιστο.

5 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για το μιγαδικο αριθμο z ισχυει z + 4i 1, να βρεθει το μεγιστο και το ελαχιστο του z - 3. Ειναι Απ'τη τριγωνικη ανισοτητα προκυπτει : (-3-4i) - (z + 4i) (-3-4i) + (z + 4i) (-3-4i) + (z + 4i) (- 3) + (- 4) - (z + 4i) z z - 3 (- 3) + (- 4) + (z + 4i) z + 4i z Ετσι το μεγιστο και το ελαχιστο του z - 3 ειναι 6 και 4 αντιστοιχα. 4 z z - 3 = z + 4i - 4i - 3 = (z + 4i) + (-3-4i) = (-3-4i) + (z + 4i).

6 5 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτικη σχεση παραστασεων μετρων μιγαδικου. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικη ερμηνεια ανισοτητων μετρων μιγαδικων αριθμων. Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε γνωστη σχεση μετρων (γεωμετρικος τοπος εικονας μιγαδικου). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ.. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z1 ρ, με ρ > 0 και z1(1, y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι κ υ κ λ ι κ ο ς δ ι σ κ ο ς κεντρου K(1, y1) και ακτινας ρ. 3. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z > ρ, με ρ > 0 τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(0, 0) και ακτινας ρ. 4. Αν για τον μιγαδικο z ειναι: z - z1 > ρ, με ρ > 0 και z1(1,y1), τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι ο χ ω ρ ο ς ε κ τ ο ς τ ο υ κ υ κ λ ι κ ο υ δ ι σ κ ο υ κεντρου K(1, y1) και ακτινας ρ. 5. Αν για τους μιγαδικους z, z1, z ειναι: z - z1 z z, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε, Α ) οπου Α η εικονα μιγαδικου z1 και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ. 6. Αν για τους μιγαδικους z, z1, z ειναι: z - z1 z z, τοτε ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του z ειναι τ ο η μ ι ε π ι π ε δ ο ( ε, Β ) οπου Β η εικονα μιγαδικου z και ε η μεσοκαθετη του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ.

7 ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρειτε που ανηκουν οι μιγαδικοι z για τους οποιους ισχυει : 1 < z < z z - i > z + 1 Αν 1 < z <, τοτε ο z θα βρισκεται μεταξυ των κυκλων με κεντρο το O(0,0) και ακτινες ρ1 = 1 και ρ =. Αν z, τοτε ο z θα βρισκεται στο εξωτερικο του κυκλου κεντρου O(0,0) και ακτινας ρ = η πανω στον κυκλο αυτο. Εχουμε z - i > z + 1 z - i > z - (-1). Επομενως, η αποσταση του μιγαδικου z απ' τον i, ειναι μεγαλυτερη απ' την αποσταση του απ' τον μιγαδικο ( i). Αρα ο z θα βρισκεται στο ημιεπιπεδο που οριζεται απ' τη μεσοκαθετη του ΑΒ και απ'το σημειο Β, οπου Α(0, 1) και Β(-1, 0).

8 7 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι διπλη ανισοτητα και περιεχει f(), f(g()), συνηθως στα ακραια μελη. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του τυπου της συναρτησης f. Σ κ ο π ο ς : Απ τη δοσμενη διπλη ανισοτητα να καταληξω σε: f() α και f() α. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Aν η δοσμενη ανισοτητα ειναι της μορφης Α Β Γ 1. Λυνουμε την Α Β ως προς f() η f(g()).. Λυνουμε την B Γ ως προς f() η f(g()). 3. Θετουμε = g() και λυνουμε ως προς το που υπαρχει στην g(). Δηλαδη αν g() = - 4 τοτε: = - 4 = Αντικαθιστουμε τo στη ανισωση που περιεχει f(g()), ωστε η f(g()) να μετατραπει σε f(). 5. Προκυπτει: f() α και f() α οποτε f() = α.

9 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Aν για τη συναρτηση f : ισχυει : f() + f( - 1) +,, να βρεθει ο τυπος της. f() + (1) + f( - 1) + Για = + 1 ( + 1) f( + 1-1) + ( + 1) f() + + f() + () Aπο τις (1) και () προκυπτει : f() = +,, που επαληθευει τη δοσμενη Αρα ο τυπος της συναρτησης f ειναι : f() = +, σχεση (για την ισοτητα). Ειναι : f() + f( - 1) +

10 9 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση (συναρτησιακη) ειναι ανισοτητα και περιεχει f( + y), f(), f(y). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση του τυπου της συναρτησης f. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι: f() α και f() α, ωστε f() = α. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε = y = 0, οποτε προσδιοριζουμε το f(0).. Θετουμε y = - για να προκυψει το f(0). 3. Με τη βοηθεια των δοσμενων φτανουμε στο f() α και f() α, ωστε f() = α.

11 ( Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς ) 10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η συναρτηση f : για την οποια ισχυουν f() για καθε f( + y) f() + f(y) α. Να δειχτει οτι η C f διερχεται απ'το σημειο Ο(0,0). γ. Να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f. α. Ειναι f() (1) και f( + y) f() + f(y) () Για = 0 η (1) δινει : f(0) 0 f(0) = 0 Για = y = 0 η () δινει : f(0) f(0) + f(0) f(0) 0 β. Για = - η (1) δινει : f(- ) - (+) f(- ) + f() 0 f(- ) - f() Oμως η (1) : f() f(- ) = - f() f(0) = 0 Για y = - η () δινει : f(0) f() + f(- ) f(- ) - f() Δηλαδη η f ειναι περιττη. γ. Για = - η (1) δινει : f(- ) - f περιττη - f() - f() f() = Oμως η (1) : f() f() f() Δηλαδη το σημειο Ο(0,0) ανηκει στη Cf. β. Να δειχτει οτι η f ειναι περιττη.

12 11 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

13 ( O ρ ι α ) 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε ισχυει : 4 + ημ + 1 f() συν +. Να βρεθει το οριο : lim f() 0 Aν για καθε > 0 ειναι : 4 f() + 4, να βρεθουν : 4 4 f() Ειναι lim (4 + ημ + 1) = lim 4 + lim ημ + lim1 = = 1 lim (συν + ) = lim συν + lim = = Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : 0 Ειναι lim 4 = 4 4 = 4 = 8 4 και lim ( + 4) = = 8 4 Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : lim f() = f() f() Για < 4 ειναι : 4-8 f() f() - 8 = Για > 4 ειναι : 4-8 f() f() - 8 = lim± ( - )( + ) 4( - 4) 4 = lim± = lim± = =1 4 4 ( - 4)( + ) -4 + ( - 4)( + ) f() - 8 f() - 8 = lim+ = Συμφωνα με το κρ. παρεμβολης : limf() - 8 =1 4-4 Aρα, τελικα : lim lim f() = 1 lim lim f()

14 13 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

15 ( O ρ ι α ) 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο και για καθε ισχυει : -1 - f() Να βρεθει το οριο : lim f(). Οποτε, συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης : lim (f() - 1) = 1 lim f() = lim = lim = lim = = = 1-0 = 1 lim = lim = lim

16 15 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με τριγωνομετρικους αριθμους. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε. Παρατηρηση: f() διαιρουμε τα μελη της διπλης ανισοτητας με a, oπου α ο μεγαλυτερος εκθετης της f() στη διπλη ανισοτητα. Στη περιπτωση ευρεσης του lim

17 ( O ρ ι α ) 16 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f :, για την οποια ισχυουν : f 3 () + f () ημ 3, και lim - f() f() = lim = α, α *. + Να βρειτε τον αριθμο α. Εστω > 0. Διαιρουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης με 3 > ημ f 3 () f () ημ 3 f() f() ημ f() f() + 1 (1) ημ ημ 1 >0 1 1 =, με lim = 0 και απο κρ. παρεμβολης : lim = Η (1) δινει για + : 3 α 0 ημ α (α + 1) lim α (α + 1) 0 α - 1 () + Εστω < 0. Διαιρουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης με 3 < 0. ημ f() f() f 3 () f () ημ (3) ημ 1 <0 1 1 Ειναι : = -, με lim - = 0 και απο κριτηριο παρεμβολης : ημ = 0. lim Η (3) δινει για - : 3 α 0 ημ α (α + 1) lim α (α + 1) 0 α - 1 (4) Απο () και (4) προκυπτει : α = - 1. Ειναι : 3

18 17 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με «υποψια» ταυτοτητας στο μεσαιο μελος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι τα ορια των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας, ειναι ισα. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε το μεσαιο μελος της διπλης ανισοτητας σε τετραγωνο αθροισματος η διαφορας.. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης). Π α ρ α τ η ρ η σ η : Ειναι lim[f()] = lim f() = lim f(). α α α

19 ( O ρ ι α ) 18 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω f μια συναρτηση ορισμενη στο, που ικανοποιει τη σχεση : f () - f() + ημ ημ, (1). Να βρεθει το lim f(). 0 - ημ f () - f() 0 - ημ f () - f() + - ημ [f() - ] () Ομως lim f( - ημ ) = lim = και απ το κριτηριο παρεμβολης και την () ειναι : 0 0 lim = 0 0 lim f() = lim lim f() = lim [f() - ] = 0 lim f() - = 0 lim(f() - ) = 0 lim f() - lim = 0 Aπ'την (1), για καθε, προκυπτει :

20 19 ( O ρ ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Aνισοτητα με «υποψια» ταυτοτητας στο ενα μελος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Το οριο της συναρτησης f(), η παραστασης της, με α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι το οριο του «μικρου» μελους (δεν περιεχει την f()) ισουται με + του «μεγαλου» μελους (δεν περιεχει την f()) ισουται με - A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε την ανισοτητα, ωστε να «απομονωσουμε» την f() στο ενα μελος. Συνηθως το αλλο μελος ειναι κλασμα με οριο του παρονομαστη ισο με ±.. Αν lim f() = + α lim g() = + f() g() α lim f() = - α lim g() = - f() g() α

21 ( O ρ ι α ) 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω f μια συναρτηση ορισμενη στο, που ικανοποιει τη σχεση : ( )f() + 3,. Να βρεθει το lim f(). ( )f() + 3 ( - ) f() + 3 f() Ειναι +3 lim ( - ) lim (+3) = 5 > 0 = lim (-) = 0 + Οποτε, λογω της (1) lim f() = + +3 (1) ( - ) Aπ'την δοσμενη σχεση, για καθε, προκυπτει :

22 1 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με δοσμενη τη συνεχεια της συναρτησης f στη θεση = α. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Η τιμη της συναρτησης f(α). Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι υπαρχει το lim f(), και στη συνεχεια να το βρουμε. α Ετσι f(α) = lim f() αφου η f συνεχης στη θεση = α. α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Διακρινουμε περιπτωσεις : =α <α >α Βοηθεια : 1. Με αμεση χρηση του θεωρηματος (Κριτηριο παρεμβολης).. Με μετατροπη της δοσμενης διπλης ανισοτητας, ετσι ωστε το μεσαιο μελος της να ειναι η παρασταση της οποιας το οριο ζητουμε.

23 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο, να βρεθει η τιμη f() οταν για καθε 0 ισχυει : 8-4 ( - )f() -. Για = η σχεση γινεται : 0 0 f(4) 0 0 = 0, προφανης. Για > η σχεση γινεται : f() f() 1 lim+ lim+ f() lim+ lim+ ( - )( + ) ( - ) ( - ) ( + ) lim+ f() 1 lim+ lim+ f() 1 lim+ - 4 ( - )( + ) ) lim+ f() 1 lim+ f() lim+ f() 1 lim+ = 1 lim+ f() oποτε απ'το κριτηριο παρεμβολης ειναι: lim+ f() = 1 Ομοια, για < προκυπτει : lim- f() = 1 Η f ομως ειναι συνεχης στο, αρα ισχυει lim f() = f() f() = 1. lim+ ( - )( + )

24 3 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα και η θεση = α. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στη θεση = α. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει lim f() = f(α). α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Δειχνουμε οτι : f(α) = κ lim f() = κ α Βοηθεια: Στη περιπτωση απολυτων, χρησιμες ιδιοτητες : lim f() 0 lim f() = 0 α α lim f() = 0 lim f() = 0 α α Παρατηρηση: Στη περιπτωση συνθετης συναρτησης f(g()), θετουμε y = g().

25 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειχτει οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο 0, οταν για καθε ισχυει : f(3-5) 3-7, 0 =. f(3 y+5, που γινεται: 3 y+5 y+5-5) =y f(y) y - f() - (1) Για = η (1) δινει : f() = 0 Oμως lim f() lim - lim f() 0 lim f() = 0 lim f() = 0 Δηλαδη, lim f() = f() = 0 που σημαινει η f ειναι συνεχης στο o =. Θετουμε στη δοσμενη σχεση y = 3-5, οποτε =

26 5 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα (συναρτησιακη σχεση). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει lim f() = f(α). α A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε y = α στη δοσμενη σχεση.. Αν ειναι ανισοτητα με απολυτα, την μετασχηματιζουμε σε διπλη ανισοτητα. 3. Δειχνουμε, με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης, οτι : lim f() = f(α) α 4. Η παραπανω ισοτητα εξασφαλιζει το ζητουμενο.

27 ( Σ υ ν ε χ ε ι α ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f : ℝ ℝ για την οποια ισχυει: 3 f() - f(y) y, για καθε, y ℝ. Να δειχτει οτι η συναρτηση f ειναι συνεχης στο ℝ. Θετοντας στην (1) οπου y = 0, προκυπτει 3 f() - f( 0) 0 f() - f( 0) f() - f( 0) Ομως - lim f() = f( 0 ) 0 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης για καθε 0 ℝ. lim = - 0 = 0 κριτηριο lim (f() - f( 0 )) = 0 lim f() - f( 0 ) = 0 παρεμβολης 0 0 lim - 0 = 0 = Ειναι 3 f() - f(y) y (1)

28 7 ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα η ανισοτητα με απολυτα (συναρτησιακη σχεση). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι αυξουσα (φθινουσα) στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι ισχυει 1 < f( 1) < f( ) [f( 1) > f( )] A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Θετουμε 1 < και βρισκουμε το προσημο του 1.. Μετασχηματιζουμε καταλληλα τη δοσμενη ανισοτητα ωστε να καταληξουμε f( 1) < f( ) (η f αυξουσα) f( 1) > f( ) (η f φθινουσα)

29 ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η συναρτηση f : ℝ ℝ για την οποια ισχυει: f( 1) - f( ) 1 -, για καθε 1, ℝ με 1. Να δειχτει οτι η συναρτηση h() = f() + ειναι αυξουσα στο ℝ. Για 1, ℝ με 1 < ειναι 1 - < 0 () Η (1) δινει ( ) f( 1) - f( ) 1 - f( 1 ) - f( ) f( 1 ) - f( ) f( 1 ) - f( ) - f( 1) - f( ) - ( 1 ) f( 1) - f( ) f( 1) + 1 f( ) + h( 1) h( ) Η h() = f() + ειναι αυξουσα στο ℝ. Eτσι Ειναι f( 1) - f( ) 1 - (1)

30 9 ( B o l z a n o ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : H συνεχης συναρτηση f και διπλη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη μιας τουλαχιστον ριζας της εξισωσης f() = 0 στο διαστημα [α, β]. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι: η συναρτηση f ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β] f(α) f(β) < 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη σχεση σε h() = 0.. Διακρινουμε περιπτωσεις : h(α) = 0 η h(β) = 0, που σημαινει οτι α η β ειναι ριζες. Δειχνουμε οτι : η συναρτηση h() ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β]. h(α) h(β) < 0. Τοτε, απο θεωρημα Bolzano, υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα της εξισωσης h() = 0 στο διαστημα (α, β).

31 ( B o l z a n o ) 30 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β] και ισχυει α f() β για καθε [α, β]. Nα δειχτει οτι η εξισωση f() = εχει μια τουλαχιστον ριζα στο [α, β].. Δινεται η συνεχης συναρτηση f :, για την οποια ισχυει : Να δειχτει οτι η C f τεμνει την ευθεια ε : y = σ'ενα τουλαχιστον σημειο με τετμημενη 0 (0,1). 1. Η δοσμενη σχεση δινει : f(α) - α 0 και f(β) - β 0. < f() < + 1, για καθε. Εστω h() = f() -. Αν f(α) - α > 0 και f(β) - β < 0 : h συνεχης στο [α,β] σαν αθροισμα συνεχων h(α) = f(α) - α > 0 h(β) = f(β) - β < 0 h(α) h(β) < 0 Θ. Bolzano υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο (α,β). Αν f(α) - α = 0 και f(β) - β = 0 : h(α) = 0 η h(β) = 0, που σημαινει οτι ριζες ειναι τα α η β. Ετσι τελικα, υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα στο [α, β].. Θεωρουμε τη συναρτηση h:[0,1] με h() = f() -. Απ 'τη δοσμενη ανισοτητα προκυπτει : - < f() - < ( - ) < h() < ( - 1), για καθε. h συνεχης στο [0,1] Bolzano = 0 0 < h(0) < 1 h(0) > 0 = 1-1 < h(1) < 0 h(1) < 0 h(0)h(1) < 0 υπαρχει τουλαχιστον ενα 0 (0,1) : h( 0 ) = 0 f(0 ) = 0. Tοτε, διακρινουμε περιπτωσεις

32 31 ( Π α ρ α γ ω γ ο ς ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα με μεσαιο μελος τη συναρτηση f(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στη θεση 0. Σ κ ο π ο ς : Nα αποδειξουμε οτι: lim 0 f() - f( 0 ) (ορισμος παραγωγου). - 0 A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Βρισκουμε το f( 0), με την αντικατασταση = 0 στη δοσμενη ανισοτητα.. Διακρινουμε περιπτωσεις : < 0. > 0 και διαιρουμε με - 0 ολα τα μελη της διπλης ανισοτητας. f() - f( 0 ) 3. Δημιουργουμε στο μεσαιο μελος της διπλης ανισοτητας το Βρισκουμε το οριο των ακραιων μελων της διπλης ανισοτητας. 5. Με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης δειχνουμε το ζητουμενο.

33 ( Π α ρ α γ ω γ ο ς ) 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η συναρτηση f που ειναι συνεχης στο και ισχυει : ημ - f() ημ +, για καθε. Να εξετασετε αν η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0. Για = 0 η δοσμενη σχεση γινεται : ημ0-0 f(0) ημ f(0) 0 f(0) = 0 (1) Ειναι ημ - ημ = lim - = 1-0 = 1 lim 0 0 lim ημ + = lim ημ + = = Για > 0, διαιρωντας με, η δοσμενη σχεση γινεται : ημ - f() ημ + ( ) f() lim+ =1 0 Για < 0, διαιρωντας με, η δοσμενη σχεση γινεται : ημ - f() ημ + ( ) f() lim+ =1 0 Δηλαδη, lim 0 f() = 1 (3) Ετσι lim 0 f() - f(0 ) f() - f(0) ( 1 ) f() - 0 f() ( 3 ) = lim = lim = lim = Oποτε η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0. ()

34 33 ( R o l l e ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτητα με αρχικη της συναρτησης f(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : H εξισωση f() = 0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο ℝ. Σ κ ο π ο ς : Nα αποδειξουμε οτι σ ενα υποσυνολο του ℝ, εστω (α, β), ειναι F(α) = F(β). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση F ειναι συνεχης στο διαστημα [α, β] και παραγωγισιμη στο διαστημα (α, β).. Δειχνουμε οτι F(α) = F(β). 3. Απο θεωρημα Rolle η εξισωση F () = 0 η ισοδυναμα η f() = 0, εχει μια τουλαχιστον ριζα στο διαστημα (α, β). Παρατηρηση: Αν (f()) 0 τοτε ισχυει (f()) = 0 και ισοδυναμα f() = 0, αφου (f()) 0.

35 ( R o l l e ) 34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Για = 0 η δοσμενη σχεση γινεται: αf(0) α ² + F ²(0) α ² + F ²(0) - αf(0) 0 [F(0) - α] ² 0 Oμως [F(0) - α] ² 0 (τετραγωνο), οποτε τελικα Ομοια Για = 1 η δοσμενη σχεση γινεται: αf(1) α ² + F ²(1) α ² + F ²(1) - αf(1) 0 [F(1) - α] ² 0 Oμως [F(1) - α] ² 0 (τετραγωνο), οποτε τελικα [F(1) - α] ² = 0 και F(1) = α. β) Θεωρουμε τη συναρτηση F στο διαστημα [0, 1] Ειναι συνεχης στο διαστημα [0, 1] Ειναι παραγωγισιμη στο διαστημα (0, 1) με F () = f() F(0) = F(1) απο προηγουμενο ερωτημα. Αρα απ το θεωρημα Rolle υπαρχει τουλαχιστον μια ριζα ξ στο (0, 1) αρα και στο, για την εξισωση F () = 0. Δηλαδη, F (ξ) = 0 f(ξ) = 0 Aρα η εξισωση f() = 0 εχει τουλαχιστον μια ριζα στο. [F(0) - α] ² = 0 και F(0) = α. Εστω F μια αρχικη της συνεχους συναρτησης f : ℝ ℝ με την ιδιοτητα : αf( ²) α ² + F ²() για καθε ℝ, οπου α 0. Να δειξετε οτι α) F(0) = F(1) = α. β) Η εξισωση f() = 0 εχει μια τουλαχιστον ριζα στο ℝ.

36 35 ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Ανισοτητα μεταξυ των τιμων f(a), f(β) της παραγωγισιμης συναρτησης f σε διαστημα [α, β]. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ο τυπος της συναρτησης και f(α), f(β). Σ κ ο π ο ς : Να φτασουμε σε ισοτητα παραγωγων. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Απ το θεωρημα Μεσης Τιμης σε διαστημα [α, β] και τη δοσμενη σχεση προσδιοριζουμε της τιμες f(α), f(β) της συναρτησης. Απο ισοτητα παραγωγων βρισκουμε το τυπο της συναρτησης: Συγκεκριμενα ισχυει: Αν f () = g () τοτε f() = g() + c. Προσδιοριζουμε το c.

37 ( Θ. Μ. Τ. ) 36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω η παραγωγισιμη συναρτηση f : ℝ ℝ, για την οποια ισχυει: ( f ( ) - 1 ) ² f ( 0 )( 1 f ( 1 ) ) για καθε ℝ. Να υπολογισετε τους αριθμους f(0) και f(1). Να βρειτε το τυπο της f. Aπ το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0,1], υπαρχει ξ, ωστε: f(1) - f(0) f'(ξ) = f(1) - f(0) (1) 1-0 Aπο τη σχεση της υποθεσης για = ξ και την (1), εχουμε: f'(ξ) = (f (ξ) - 1)² f(0)(1 - f(1)) (f(1) - f(0) - 1)² f(0) - f(0)f(1) f²(1) + f²(0) f(1)f(0) - f(1) + f(0) f(0) - f(0)f(1) f²(1) + f²(0) f(1) 0 (f(1) - 1)²+ f²(0) 0 (f(1) - 1)²+ f²(0) = 0 Δηλαδη f(1) = 1 και f(0) = 0. H δοσμενη σχεση, για f(1) = 1 και f(0) = 0, γινεται: (f () - 1)² 0 (1) Oμως (f () - 1)² 0 () σαν τετραγωνο, Τελικα απ τις (1), () (f () - 1)² = 0 και f () = 1 η f () = () και f() = + c (3) Για = 0 η (3) γινεται: f(0) = 0 + c 0 = 0 + c c = 0 Οποτε ο τυπος της f ειναι : f() = με ℝ. Ομως, (f(1) - 1)²+ f²(0) 0 σαν αθροισμα τετραγωνων, οποτε

38 37 ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα απολυτων και περιεχει f(), f(y). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Aποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη. Σ κ ο π ο ς : Να αποδειξουμε οτι f () η f (y) ειναι ιση με μηδεν, που απ τις συνεπειες του Θ.Μ.Τ. σημαινει οτι η f ειναι σταθερη. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Με τις ιδιοτητες απολυτων, μετατρεπουμε τη δοσμενη σχεση σε διπλη ανισοτητα, οπου το μεσαιο μελος περιεχει τις f(), f(y).. Βρισκουμε το οριο του μεσαιου μελους (με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμβολης) με y η y. 3. Με τη βοηθεια του ορισμου της παραγωγου κα σε συνδιασμο με το οριο στη (), θα παρουμε f () = 0. Π α ρ α τ η ρ η σ η : Απο συνεπειες Θ.Μ.Τ., αν f () = 0 τοτε f() = c.

39 ( Θ. Μ. Τ. ) 38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για καθε,y ℝ, y ειναι f() - f(y) - y ³, να δειξετε οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη στο ℝ. f() - f(y) - y ³ f() - f(y) - y ² -y - - y ² f() - f(y) - y ² -y lim (- - y ) = lim - y = 0 y y f() - f(y) =0 y -y Ομως απ τον ορισμο της παραγωγου εχουμε f (y) = lim που σημαινει, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη. f() - f(y) =0 y -y Eπομενως συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης ειναι lim Η δοσμενη σχεση γινεται:

40 39 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

41 ( F e r m a t ) 40 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1. Αν ισχυει : α + 1 με 0 < α 1, να αποδειξετε οτι α = e.. Eστω n,m θετικοι ακεραιοι ωστε (3n) (m) για καθε. Να δειξετε oτι : 3n = m. Για καθε και 0 < α 1, η δοσμενη σχεση γραφεται : α + 1 α - 1 (1) Θεωρουμε τη συναρτηση : f() = α - Παρατηρουμε οτι f(0) = 1. Δηλαδη, απο την (1), εχουμε οτι για καθε ισχυει f() f(0), που σημαινει πως η f παρουσιαζει ελαχιστο στο 0 = 0. με f'() = α lnα - 1. Επομενως, συμφωνα με το θ. Fermat, θα ισχυει : f'(0) = 0 α 0 lnα - 1 = 0 lnα = 1 lnα = lne α = e.. Θεωρουμε τη συναρτηση f με f() = (3n) ˣ - (m) ˣ, ℝ. Eιναι: f(0) = (3n)⁰ - (m)⁰ = 1 1 = 0 και f() = (3n)ˣ-(m)ˣ 0 f() f(0). Στο σημειο 0 η f παρουσιαζει ελαχιστο. Η f ειναι παραγωγισιμη στο ℝ, με f () = (3n)ˣ ln(3n) - (m)ˣ ln(m) Aπ το θεωρημα Fermat προκυπτει οτι: f'(0) = 0 (3n)⁰ ln(3n) - (m)⁰ ln(m) = 0 ln(3n) = ln(m) 3n = m Επισης, η f ειναι παραγωγισιμη στο 0 = 0, αφου ειναι παραγωγισιμη στο 1.

42 41 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει τη συναρτηση f και τον μιγαδικο αριθμο z. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Γεωμετρικο τοπο της εικονας του μιγαδικου αριθμου z. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

43 ( F e r m a t ) 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Θεωρουμε τη συναρτηση g με g() = e f() z f(). Aπο την υποθεση εχουμε οτι g() 0, για καθε ℝ. Oμως g(1) = e f(1) z f(1) = e z 0 = 1 1 = 0, οποτε ακροτατο στο σημειο ₀ = 1. Eπισης η συναρτηση g ειναι παραγωγισιμη με g () = e f() f () - z f (). Συμφωνα με το θεωρημα Fermat πρεπει: g'(1) = 0 e f(1) f (1) - z f (1) = 0 e 0f (1) - z f (1) = 0 f (1)(1 - z ) = z = 0 (αφου f (1) 0) z = 1 Η τελευταια σχεση σημαινει οτι ο γεωμετρικος τοπος των εικονων του μιγαδικου αριθμου z στο επιπεδο, ειναι κυκλος με κεντρο Ο(0,0) και ακτινα ρ=1. g() g(1), για καθε ℝ που σημαινει οτι η συναρτηση g παρουσιαζει Δινεται η συναρτηση f παραγωγισιμη στο ℝ με f(1) = 0 και f (1) 0. Δινονται επισης οι μιγαδικοι αριθμοι z για τους οποιους ισχυει: e f() - 1 z f(), για καθε ℝ. Να βρειτε το γεωμετρικο τοπο των εικονων του μιγαδικου αριθμου z στο επιπεδο.

44 43 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση παραμετρου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

45 ( F e r m a t ) 44 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να προσδιορισετε την τιμη της παραμετρου α, α ℝ και α > 00 αν για (α - 01) (α + 01) -1 Η δοσμενη σχεση γινεται : (α - 01) (α + 01) Θεωρουμε συναρτηση Η( ) = α - 01) (α + 01) με πεδιο ορισμου το ℝ, για την οποια ισχυει Η() 0 (1). Ομως Η(1) = 0, οποτε η (1) γινεται Η() Η(1) Αρα η συναρτηση Η παρουσιαζει ελαχιστη τιμη το 0 στη θεση = 1. Η συναρτηση Η παρουσιαζει στη θεση = 1 ολικο ελαχιστο. Η συναρτηση Η ειναι παραγωγισιμη στη θεση = 1 (ειναι παραγωγισιμη στο ℝ ) με H () = α - 01) ln(α - 01) (α + 01) ln(α + 01) Oποτε για τη συναρτηση Η ισχυουν οι προυποθεσεις του θ. Fermat και Η (1) = 0 ln(α -01) ln(α + 01) 014 = [ln(α - 01) + ln(α + 01)] = 0 ln(α - 01) + ln(α + 01) = 0 ln(α² - 01²) = ln1 α² - 01² = 1 α² = 01² + 1 α= (απορριπτεται) α= (α + 01) καθε ℝ ισχυει : (α - 01)

46 45 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει φυσικο αριθμο. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Ευρεση παραμετρου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0 ωστε f (0) = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

47 46 ( F e r m a t ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν α > 0 και α ˣ ( α ν ) για καθε > 0 οπου ν ℕ*, να αποδειχτει οτι α = e. ν ν ν ν α Θεωρουμε τη συναρτηση f() = α -, > 0. ν Η f ειναι παραγωγισιμη στο (0, + ). f(ν) = 0 οποτε λογω της (1) εχουμε f() f(ν) με > 0. Αρα Η f ειναι παραγωγισιμη στο ν. Το ν ειναι εσωτερικο σημειο του (0, + ). Το f(ν) ειναι τοπικο ελαχιστο της f. Οποτε απ το θεωρημα Fermat θα ειναι f (ν) = 0. Αλλα α f () = α ˣ lnα - ν ν ν-1 α ν Επομενως f (ν) = 0 α ν lnα - α ν = 0 lnα = 1 lnα = lne α = e α α H δοσμενη σχεση γινεται α α - 0 (1) για καθε > 0. ν ν

48 47 ( F e r m a t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα που περιεχει α, β, γ. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Aποδειξη οτι οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προoδου. Σ κ ο π ο ς : Aποδειξη οτι οι β² = αγ. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

49 ( F e r m a t ) 48 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν οι αριθμοι α, β, γ ειναι θετικοι και για κaθε ℝ ειναι (αβ) + β - + (βγ) 3 β. Να αποδειχτει oτι οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προoδου. (αβ) + β - + (βγ) 3 β α + β - + γ 3 α + β - + γ - 3 0, ℝ. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = α + β - + γ - 3, ℝ. Eιναι f() 0 = f(0) για καθε ℝ. Το f(0) ειναι ελαχιστο και πληρουνται ολες οι προυποθεσεις του θεωρ. Fermat. Οποτε Επομενως οι α, β, γ ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου. f (0) = 0 lnα - lnβ + lnγ = 0 lnβ = lnα + lnγ lnβ = ln(α γ) β² = αγ Η δοσμενη ανισοτητα γινεται

50 49 ( A σ υ μ π τ ω τ η ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Διπλη ανισοτητα μορφης g() f() h(). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη πλαγιας ασυμπτωτης. Σ κ ο π ο ς : Να χρησιμοποιησω κριτηριο παρεμβολης και να καταληξω στο lim [f() - (α + β)] = 0, ωστε η y = α + β να ειναι πλαγια ασυμπτωτη. ± A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη ανισοτητα (αφαιρωντας μια απ τις g(), h() σε ολα τα μελη) εστω στη μορφη 0 f() - g() h() - g(). Δειχνουμε οτι το οριο lim (h() - g()) = 0 με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμ ± βολης. 3. Τελικα απο lim [f() - (α + β)] = 0, η y = α + β ειναι πλαγια ασυμπτωτη. ±

51 ( A σ υ μ π τ ω τ η ) 50 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τη συναρτηση f : ισχυει : + 3 f() για καθε *. Να εξεταστει αν η C f εχει πλαγια ασυμπτωτη f() 0 f() - ( + 3) - ( + 3) ( + 3) 0 f() - ( + 3) f() - ( + 3) 0 f() ( + 3) 1 =0 + lim Συνεπως, απ'το κριτηριο παρεμβολης : lim f() - ( + 3) = 0 ± Οποτε η y = + 3 ειναι πλαγια ασυμπτωτη της C f στο ±. 1 =0 lim Η δοσμενη σχεση δινει

52 51 ( F e r m a t R o l l e ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα με ολοκληρωμα. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Υπαρξη ξ (α, β), ωστε f (ξ) = 0. Σ κ ο π ο ς : Να ισχυουν οι προυποθεσεις του θεωρηματος Rolle. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση.. Ισχυει: F'() = ( h() g() f(t)dt)' = f(h()) h'() - f(g()) g'(). 3. Εφαρμοζουμε θεωρημα Fermat, προκειμενου να δειξουμε οτι υπαρχουν δυο ισες τιμες της συναρτησης f, εστω f(α) = f(β) 4. Εφαρμοζουμε θεωρημα Rolle στο διαστημα (α, β).

53 ( F e r m a t R o l l e ) 5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : για την οποια : +3 - f(t)dt - - 3, για καθε. Να βρειτε τη παραγωγο της συναρτησης g() = +3 - f(t)dt, Ειναι g'() = [ +3 - f(t)dt]' = ( + 3)'f( + 3) - ( - )'f( - ) = = f( + 3) - ( - 1)f( - ), Θεωρουμε την συναρτηση : h() = g() Ειναι h() 0 h(3) = = 0 και h(-1) = = 0 Δηλαδη h() h(3) = h(-1) Ετσι, συμφωνα με το θεωρημα Fermat, παιρνουμε h'(3) = h'(- 1) = 0 και f(6) = f() = - 1 Eπισης H f ειναι συνεχης στο [,6] H f ειναι παραγωγισιμη στο (,6) f(6) = f() Συμφωνα με θεωρημα Rolle υπαρχει ξ (,6) τετοιο ωστε, f '(ξ) = 0. Nα αποδειξετε οτι υπαρχει ξ (,6) τετοιο, ωστε f '(ξ) = 0.

54 53 ( F e r m a t 0 f ( t )d t ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενη ανισοτητα με ολοκληρωμα 0 f(t) dt. Z η τ ο υ μ ε ν ο : H εξισωση της εφαπτομενης της C f στο σημειο Α( 0, f( 0)). Σ κ ο π ο ς : Να προσδιορισουμε τα : 0, f( 0), f ( 0). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε τη προφανη τιμη 0 που μηδενιζει την f() = 0 (με δοκιμες). Δειχνουμε οτι η f εχει ακροτατο στη θεση 0. Απο θεωρημα Fermat ισχυει: f (0) = 0. Αντικαθιστουμε στη προηγουμενη ισοτητα, την f με το ισο της (πρωτο μελος της δοσμενης ανισοτητας).

55 ( F e r m a t 0 54 f ( t )d t ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : με f'(0) = 1, για την οποια ισχυει : 0 f(t)dt e -, για καθε. Να βρειτε την εξισωση της εφαπτομενης της C f στο σημειο Α(0, f(0)). 0 f(t)dt e - Θεωρουμε την συναρτηση : h() = f(t)dt - e - με h'() = f() - e - + e - 0 Ειναι h() 0 h(0) = f(t)dt - 0 e h() h(0) = 0 = 0 και h'(0) = 0 Ετσι h'(0) = 0 f(0) - e e 0 = 0 f(0) - 1 = 0 f(0) = 1 Απ'την υποθεση ειναι f '(0) = 1 Οποτε η εξισωση της εφαπτομενης της Cf στο σημειο Α(0, f(0)) ειναι y - f(0) = f'(0) ( - 0) y - 1 = 1 y = + 1 Ετσι, συμφωνα με το θεωρημα Fermat, η συναρτηση h εχει ολικο ελαχιστο Ειναι

56 55 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Μιγαδικος αριθμος. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας που περιεχει τον μιγαδικο z και τον συζυγη του. Σ κ ο π ο ς : Με τη βοηθεια των ιδιοτητων των μιγαδικων, να μετασχηματισουμε την δοσμενη ανισοτητα σε κατι αληθινο. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : 1. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη ανισοτητα τους z = + yi, z = - yi.. Πραξεις ωστε να απλοποιηθει η διπλη ανισοτητα. 3. «Σπαμε» τη διπλη ανισοτητα σε δυο ανισοτητες 4. Δειχνουμε οτι καθε μια απ τις ανισοτητες αληθευει.

57 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ι γ α δ ι κ ο ι ) 56 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω ο μιγαδικoς z με z 0. Να δειξετε οτι : ο z + z ειναι πραγματικος z -. z +. z z z z Ειναι z z z z z z z z + = + = + = +. z z z z z z z z Αρα ο z z + z ειναι πραγματικος αφου ισουται με τον συζυγη του. z Ειναι ( + yi) + ( - yi) + y i + yi + + y i - yi = = = ( - yi) ( + yi) - y i z = + yi. g r ( - y ) = +y Eτσι : ( - y ) -y z y +y z z z - - y - y 0 - -y -y +y που αληθευουν. y + y 0 y z z +z + = z z z z z

58 57 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (αμεσα η εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας η λυση ανισωσης. Σ κ ο π ο ς : Να χρησιμοποιησουμε τις ισοδυναμες ανισοτητες της μονοτονιας. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης (αν δινεται) η της συναρτησης που δημιουργουμε απ την ανισοτητα προς αποδειξη. Χρησιμοποιουμε τις ισοδυναμιες της μονοτονιας συναρτησης.

59 Α π ο δ ε ι κ τ ε α 58 ( Μ ο ν ο τ ο ν ι α ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να λυθει η ανισωση : f( + 1) < f( - 1) αν f() = β Nα αποδειχτει οτι : e α - e < ln β, αν 0 < α < β. α Για να ειναι ορισμενη η f πρεπει :, δηλαδη A f = (0,5]. > 0 > 0 Η συναρτηση f 1 () = 5 - ειναι γ.φθινουσα (α = -1 < 0),αρα και η συναρτηση f () = 5 - ειναι γ.φθινουσα στο (0, 5]. Η συναρτηση f 3 () = ln ειναι γ.αυξουσα και η f 4 () = - ln, γ.φθινουσα. Οποτε η συναρτηση f() = ln ειναι γ.φθινουσα, σαν αθροισμα γ.φθινουσων συναρτησεων στο (0,5]. f( + 1) < f( - 1) + 1 < - 1 > Αρα τελικα < 5 e α - e β < ln β e α - e β < lnβ - lnα e α + lnα < e β + lnβ (1) α Θεωρουμε τη συναρτηση g() = e + ln, με A g = (0,+ ). Η συναρτηση g 1 () = e ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ). Η συναρτηση g () = ln ειναι γ.αυξουσα στο (0, + ). Οποτε η συναρτηση g() = e + ln ειναι γ.αυξουσα στο (0,+ ) σαν αθροισμα γ.αυξουσων συναρτησεων. Αρα α < β g(α) < g(β) e α + lnα < e β + lnβ e α - e β < lnβ - lnα e α - e β < ln β α Ειναι ln.

60 59 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Ιδιοτητες της συναρτησης. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης f() g(). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Θεωρουμε τη συναρτηση h() = f() g() στο διαστημα [ρ, ] η [, ρ], οπου ρ μια προφανης ριζα της εξισωσης h() = 0. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης σ ενα απ τα πιο πανω διαστηματα. Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ οπου αντλει τιμες η μεταβλητη η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση. «Χτιζουμε» διαδοχικα απ την α < ξ < β, τη ζητουμενη ανισοτητα.

61 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 60 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ π Να αποδειχτει οτι για καθε πραγματικο αριθμο (0, ), ισχυει : ημ e < e + 1. π Θεωρω τη συναρτηση h() = e ημ - e - 1, με πεδιο ορισμου Α = (0, ). h συνεχης στο [0, ] σαν συνθεση συνεχων συναρτησεων. h παραγωγισιμη στο (0, ) σαν συνθεση παραγωγισιμων συναρτησεων. Απο το θ. Μεσης Τιμης, υπαρχει ξ (0, ), τετοιο ωστε Ομως h'() = e ημ συν - e h'(ξ) = e ημξ e ημ - e - 1 συνξ - e = e ημξ συνξ - e () (1 ) Επισης ( ) 0 < συνξ < 1 0 < συνξ < 1 π ημξ ημξ ημξ συνξ e < e e συνξ - e < 0 0<ξ< < e1 0 < ημξ < 1 e >0 e ημ - e - 1 < 0 e ημ - e - 1 < 0 e ημ < e + 1. h() - h(0) e ημ - e (e ημ0-0 e - 1) e ημ - e e ημ - e - 1 = = = (1) h'(ξ) = -0 Ειναι

62 61 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Ιδιοτητες της συναρτησης. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης f() f() g(). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Mε πραξεις εμφανιζουμε στη θεση της f() το λογο f() - f(0) για το διαστη-0 μα [0, ]. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [0, ]. Θετω α < ξ < β, οπου (α, β) το συνολο απ οπου αντλει τιμες η μεταβλητη η χρησιμοποιουμε δοσμενη ανισοτικη σχεση.

63 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτει οτι για καθε (0,1), ισχυει : 1+ < e < 1+e. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = e και το διαστημα [0,] με (0,1). H f ειναι συνεχης στο [0, ] ως βασικη συνεχης συναρτηση. H f ειναι παραγωγισιμη στο [0, ], ως βασικη παραγωγισιμη στο, με f'() = e Επομενως ισχυει το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [0,]. f() - f(0) e -e0 ξ f'(ξ) = e = (1) -0-0 Ομως e -e0 e -1 0 < ξ < < 1 e < e < e 1 < e < e 1 < < e 1< <e -0 0 ξ 1 ξ < e -1 < e 1+ < e < 1+ e (1 ) Αρα υπαρχει ξ (0, ) με 0 < ξ <, τετοιο ωστε : e -e0 Απο τη ζητουμενη σχεση : 1 + < e < 1 + e < e - 1 < e 1 < <e -0

64 63 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Δοσμενη ανισοτητα της μορφης μ f () ν. Zητουμενο: Ανισοτητα μορφης κ f(β) λ. Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ.. Aντιμετωπιση: Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [α, β]. f(β) - f(α) Βρισκουμε f'(ξ) =. β-α Θετω μ < f (ξ) < ν, απ τη δοσμενη ανισοτητα. Με πραξεις... το ζητουμενο.

65 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 64 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Aν για τη συναρτηση f ισχυουν : ειναι συνεχης στο [- 1, 4] f(- 1) = 3 για καθε (- 1, 4) ειναι - 3 f'() 7 Η f ειναι συνεχης στο [- 1,4] Η f ειναι παραγωγισιμη στο (- 1,4) αφου για καθε (- 1,4) υπαρχει η f'(), συμφωνα με την υποθεση. Επομενως ισχυει το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [- 1,4]. f'(ξ) = f(4) - f(- 1) f(4) - 3 = (1) 4 - (- 1) 5 Ομως απο την υποθεση εχουμε οτι για καθε (- 1,4) ειναι (1 ) - 3 f'() 7-3 f(4) f(4) f(4) 38 5 Αρα υπαρχει ξ (- 1,4), τετοιο ωστε : να αποδειχτει οτι για καθε (- 1, 4) : - 1 f(4) 38

66 65 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: f(α) = f(β) = κ και f () λ, [α, β]. Zητουμενο: Ανισοτητα απολυτων που περιεχουν f(), f(y). Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ. (συναρτησιακη σχεση). Aντιμετωπιση: Διακρινουμε περιπτωσεις : =y <y. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [, y]. f() - f(y) Υπαρχει ξ (, y) με f (ξ) =. -y Συνδυαζουμε με τη δοσμενη f () λ.

67 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 66 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ α) Αν = y, τοτε η σχεση ισχυει σαν ισοτητα. Εστω < y. Απο το θεωρημα Μεσης Τιμης για την f στο [, y], θα υπαρχει τουλαχιστον ενα ξ στο (, y), ωστε: f() - f(y) f() - f(y) f() - f(y) = f (ξ) -y -y - y f() - f(y) - y β) Απ το (α) ερωτημα εχουμε : f() - f(0) - 0 f() - f() (1) f() - f(1) - 1 f() (1 - ) - + f() - () Προσθετοντας κατα μελη τις (1) και () εχουμε: - + f() + f() f() - 1 f() 1 f() 1 f (ξ) = Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : [0, 1] ℝ, ωστε να ισχυουν : f(0) = f(1) = 0 και f () για καθε [0, 1]. Nα αποδειξετε οτι : α) f() - f(y) - y β) f() 1, για καθε [0, 1].

68 67 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μορφη δοσμενης σχεσης: Συναρτησιακη σχεση. Zητουμενο: Αποδειξη ανισοτητας με μεσαιο μελος λογαριθμικη συναρτηση και συναρτηση f() στα ακραια. Σκοπος: Εφαρμογη θεωρηματος Θ.Μ.Τ. αφου αντικαταστησουμε την f() (ευρεση τυπου της). Aντιμετωπιση: Βρισκουμε τον τυπο της συναρτησης f, αντικαθιστωντας καταλληλα τον στη δοσμενη συναρτησιακη σχεση. Αντικαθιστουμε την f() (απο τον τυπο της) στην προς αποδειξη ανισοτητα. Εφαρμοζουμε το θεωρημα Μεσης Τιμης για το διαστημα [α, β]. Βοηθεια, οι ιδιοτητες λογαριθμων.

69 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Θ. Μ. Τ. ) 68 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () α) Στην (1) θετουμε οπου το - και προκυπτει : (1 ) ( - )f( - ) + f() = - ( - ) ( - f()) + f() = - ( - ) - ( - )f() + f() = ( - )f() + f() = ( - ) - ( - ) ( - 1) f() = ( - )(1 - ) f() = β) Η () απ το (α) ερωτημα γινεται ισοδυναμα : -1 < ln < - 1 Αν 1 < <, θεωρουμε τη συναρτηση g() = ln στο [1, ] Η g ειναι συνεχης στο [1, ] και παραγωγισιμη στο (1, ) Απο το Θ.Μ.Τ. υπαρχει ξ (1, ) τετοιο ωστε : g() - g(1) ln - ln1 ln = = και επειδη g () = g (ξ) =. ξ g (ξ) = Αρα ln 1 = και ξ -1-1 > 0 ln < ξ < 1 > > < < 1 < <1 < ln < - 1 ξ ξ -1 0 < < 1, εφαρμοζουμε Θ.Μ.Τ. για την g στο [, 1] και προκυπτει το ζητουμενο. 1 Αν για την συναρτηση f ισχυει : f() + f( - ) = (1), (0, 1) (1, ) α) Να βρειτε τον τυπο της f. 1 ( - 1) β) Να αποδειξετε οτι: - f() < ln < ( - ) f() ( - )

70 69 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση προσημου της συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε την f (). Βρισκουμε τη μονοτονια για τα της ασκησης.

71 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) 70 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειχτει η ανισωση : ln - 1, για > 0. Eιναι 0 1- f'() = (ln - + 1)' = - = Για < 1 η f ειναι γν. αυξουσα, οποτε f() < f(1) = 0 Για > 1 η f ειναι γν. φθινουσα, οποτε f() < f(1) = 0 Για = 1 ειναι f'(1) = 0 και f(1) = 0. Σε καθε περιπτωση, για > 0 τοτε : f() 0 ln ln - 1. Προσημο f () Θεωρουμε τη συναρτηση f() = ln

72 71 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης f και το προσημο της δευτερης παραγωγου της. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση προσημου της συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εξασφαλιζουμε τη μονοτονια της συναρτησης f απ τη δευτερη παραγωγο. Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με h(). Διακρινουμε περιπτωσεις (αν χρειαζεται) για τα της ασκησης. Βρισκουμε τη μονοτονια της συναρτησης h() σε καθε διαστημα. Με την ισοδυναμια ανισοτητων της μονοτονιας, καταληγουμε στο ζητουμενο.

73 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( M o ν ο τ ο ν ι α ) 7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν για τη συναρτηση f : ειναι f(0) > 0 και f "() < 0, για καθε, f() να αποδειχτει οτι : f( ) >, για καθε 0. f() f() f > f > 0, για καθε 0 f() Θεωρουμε τη συναρτηση g : με g() = f, που ειναι δυο φορες παραγωγισιμη στο. Αφου f"() < 0, για καθε, η f ειναι γνησια φθινουσα στο. Για > 0 (1) < f' > f'() f' - f'() > 0 g'() > 0 για καθε. Συνεπως η g ειναι γνησια αυξουσα στο (0,+ ) και αν > 0 τοτε g() > g(0) = f(0) - Για < 0 f() f() f(0) f(0) = > 0 f > 0 f >. (1) > f' < f'() f' - f'() < 0 g'() < 0 για καθε. Συνεπως η g ειναι γνησια φθινουσα στο (-, 0) και αν < 0 τοτε g() > g(0) = f(0) - f(0) f(0) f() f() = > 0 f > 0 f >. Τελικα : f() f() f > f >, για καθε 0. f() f'() 1 g'() = f = f' - f'(), για καθε (1) ' = ' f' Η αποδεικτεα δινει :

74 73 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : O τυπος της συναρτησης f και αριθμος ακροτατων. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Πληθος ριζων της εξισωσης f () = 0. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Βρισκουμε την παραγωγο f (). Aναλογα με τον αριθμο των δοσμενων ακροτατων, απαιτουμε τοσες ριζες να εχει η εξισωση f () = 0. Συνηθως η f () ειναι τριωνυμο και το προσημο της διακρινουσας εξασφαλιζει το πληθος των ριζων.

75 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) 74 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν η συναρτηση f() = 3 + a + β + γ εχει δυο τοπικα ακροτατα, να δειχτει οτι α > 3β. Να δειχτει οτι η συναρτηση f() = α 3 + β + γ + δ με α 0 δεν εχει τοπικο Ειναι f'() = ( 3 + α + β + γ )' = 3 + α + β. Για να εχουμε δυο τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'() = 0 η 3 + α + β = 0 να εχει : Δ > 0 (α) β > 0 4α - 1β > 0 4(α - 3β) > 0 α - 3β > 0 Ειναι f'() = (α 3 + β + γ + δ )' = 3α + β + γ. Για να μην εχουμε τ. ακροτατα πρεπει η εξισωση f'() = 0 η 3α + β + γ = 0 να εχει : Δ 0 (β) - 4 3α γ 0 4β - 1αγ 0 4(β - 3αγ) 0 β - 3αγ 0 β 3αγ α > 3β ακροτατο, αν β 3αγ.

76 75 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Πεδιο ορισμου της συναρτησης. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Ευρεση ολικου ακροτατου. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Φερνουμε ολους τους ορους της ανισοτητας στο πρωτο μελος, το οποιο το θεωρουμε ισο με f(). Βρισκουμε την παραγωγο f (). Βρισκουμε το ολικο ακροτατο (f (0) = 0, f (0) < 0 η f, f (0) > 0 η f ).

77 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Α κ ρ ο τ α τ α ) 76 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να δειξετε οτι : (1 - ) e 1, για καθε < 1. Θεωρουμε τη συναρτηση : f() = (1 - )e - 1. ( ) f '() = (1- )e - 1 ' = (1- )'e + (1- )(e )' = - e + (1- )e = - e f'() = 0 - e = 0 = 0 Αν < 0 τοτε f'() > 0 f γ.αυξουσα, ενω αν 0 < < 1 τοτε f'() < 0 f γ.φθινουσα Συμφωνα με τα παραπανω προκυπτει οτι στη θεση = 0 η f παρουσιαζει Aρα, ισχυει : f() 0 (1- )e (1 - )e 1 για καθε < 1. ολικο μεγιστο, το f(0) = (1-0)e 0-1 = 0. Θα δειξουμε οτι για καθε < 1 ειναι f() 0.

78 77 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Κ υ ρ τ ο τ η τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Δοσμενες οι συναρτησεις f, g. Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας. Σ κ ο π ο ς : Σχετικη θεση της C f (C g) και της εφαπτομενης σε σημειο της. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω y = h() η εξισωση της εφαπτομενης της C f σε σημειο της Α. Αν η συναρτηση f ειναι κυρτη στο ℝ τοτε η C f ειναι ψηλοτερα απ την εφαπτομενη, δηλαδη f() h(). Αν η συναρτηση f ειναι κοιλη στο ℝ τοτε η C f ειναι χαμηλοτερα απ την εφαπτομενη, δηλαδη f() h(). Οι παραπανω ανισοτητες δινουν το ζητουμενο.

79 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Κ υ ρ τ ο τ η τ α ) 78 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ i) Df = ℝ, D g = (0, + ) f () = e στο ℝ f () = e > 0 g () = στο ℝ f κυρτη στο ℝ. ii) f(0) = e 0 = 1 και f (0) = e 0 = 1. Εφαπτομενη της Cf στο Α(0, 1) : y - f(0) = f (0)( 0) y - 1 = 1 ( - 0 ) y = 1 = 1. 1 Εφαπτομενη της Cg στο B(1, 0) : g(1) = ln1 = 0 και g (1) = y - g(1) = g (1)( - 1) y - 0 = 1 ( - 1 ) y = - 1 iii) α) Επειδη η f ειναι κυρτη στο ℝ, η Cf θα ειναι ψηλοτερα απο την εφαπτομενη στο Α, δηλ f() + 1 e + 1 (το ισον ισχυει οταν = 0) β) Επειδη η g ειναι κοιλη στο (0, + ), η Cg θα ειναι χαμηλοτερα απο την εφαπτομενη στο Β, δηλ g() -1 ln - 1 (το ισον ισχυει οταν = 1) 1 1 στο (0, + ) g () = - < 0 στο (0, + ) g κοιλη στο (0, + ) i) Να αποδειξετε οτι η συναρτηση f() = e ειναι κυρτη, ενω η g() = ln ειναι κοιλη. ii) Να βρειτε την εφαπτομενη της Cf στο σημειο Α(0, 1) και της Cg στο Β(1, 0). iii) Να αποδειξετε οτι α) e + 1, ℝ β) ln - 1, (0, + ) και να εξετασετε ποτε ισχυουν οι ισοτητες.

80 79 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Οι συναρτησεις f, g (οι τυποι τους, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης β α β f() d g() d η α β β f() d g() d. α α Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το προσημο της διαφορας f() - g(). A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Δειχνουμε οτι οι συναρτησεις f, g ειναι συνεχεις στο [α, β]. Βρισκουμε το προσημο της διαφορας f() - g(). Ισχυει β " Αν f() g() και f, g συνεχεις για καθε [α, β], τοτε f() d α β α g() d ".

81 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 80 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 1. Να αποδειχτει οτι : ( + 3-7) d. Να αποδειχτει οτι : ln d ( ) d ( - 1) d. f() = συνεχης στο σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [,5]. g() = συνεχης στο σαν πολυωνυμικη, αρα και στο [,5]. Ετσι f() - g() = ( ) = = Δ = = 9, = η = 5. Οποτε : για < < f() - g() 0 f() g() f() d g() d 5 ( + 3-7) d 5 ( ) d. Θεωρουμε τις συναρτησεις f() = ln και g() = - 1 με [1, ]. Αν h() = f() - g() = ln για καθε [1, ], τοτε : h'() = (ln - + 1)' = 1 - ( )' - 1 = - 1 = - 1 = > 0. [1 < < ] Οποτε η h ειναι γνησιως αυξουσα στο [1, ]. Δηλαδη για 1 ισχυει : h() h(1) = 0 [h(1) = ln = = 0] Αρα για καθε [1, ] ειναι : h() 0 f() - g() 0 f() g() ln - 1 και τελικα 1 ln d 1 ( - 1) d. Δηλαδη 1.

82 81 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (ο τυπος της, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης κ β α f() d λ. Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το πεδιο ορισμου της μεταβλητης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω [α,β] : Με λογικες πραξεις φερνουμε την ανισωση α β (αφου [α,β]) στη μορφη κ f() λ, οπου f() η συναρτηση του ολοκληρωματος. Ολοκληρωνουμε την προηγουμενη σχεση και προκυπτει: β α κ d β α f() d β α λ d κ(β - α) β α f() d λ(β - α).

83 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να αποδειξετε οτι : ( + - 1) d (1) () Προσθετουμε κατα μελη τις (1) και () : Απο ολοκληρωση της τελευταιας : d ( + - 1) d 5 d 1 (4-1) ( + - 1) d 5 (4-1) ( + - 1) d Eιναι

84 83 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) ΜΕΘΟΔΟΣ Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς : Η συναρτηση f (ο τυπος της, εμμεσα). Z η τ ο υ μ ε ν ο : Αποδειξη ανισοτητας της μορφης κ β α f() d λ. Σ κ ο π ο ς : Αποδειξη ανισωσης απ το μεγιστο και ελαχιστο συναρτησης. A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η : Εστω [α,β] : Βρισκουμε το ολικο μεγιστο Μ και ολικο ελαχιστο m της συναρτησης. Χρησιμοποιουμε την ιδιοτητα: " Αν m η ελαχιστη και Μ η μεγιστη τιμη συνεχους συναρτησης f για καθε [α, β], τοτε : m(β - α) β α f() d Μ(β - α) ".

85 Α π ο δ ε ι κ τ ε α ( Ο λ ο κ λ η ρ ω μ α τ α ) 84 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Nα αποδειχτει οτι : Να αποδειχτει οτι : d e +1d 3e. 1. f() = + 4 f'() f'() = ( + 4)' = Aρα η f ειναι γν. αυξουσα στο [- 4, + ), αρα και στο [0, 5]. Ετσι m = f(0) = = 4 = και Μ = f(5) = = 9 = 3 β β α α m(β - α) f() d Μ(β - α) (5-0) f() d 3(5-0) 10 β α f() d 15. Θεωρουμε τη συναρτηση f() = e +1. Tοτε : f '() = (e +1 )' = 'e +1 + (e +1 )' = e +1 + e +1 ( + 1)' = e +1 (1 + ). e +1 0 f'() = 0 e f(- ) = - e - +1 = - e -1 = - +1 (1 + ) = = 0 = - 1 e f(- 1) = - 1 e -1+1 = - 1 e0 = - 1 f(1) = 1 e 1+1 = e Αφου η f ειναι γν.φθινουσα στο [-,- 1] και γν.αυξουσα στο [- 1,1], τοτε για = - και = 1 η f εχει τ.μεγιστα τα -, e αντιστοιχα, ενω e για = - 1 εχει τ.ελαχιστο το - 1. Οποτε 1 (- 1)[1- (- )] e +1d e [1 - (- )] e +1d 3e. Αρα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο

1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ < Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ). Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ]

[ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] Γ' Λυκείου Κατεύθυνση [ α π ο δ ε ί ξ ε ι ς ] ε ξ ε τ α σ τ έ α ς ύ λ η ς 7-8 Επιμέλεια Κόλλας Αντώνης Όριο πολυωνυμικής στο Αν P( = αν ν + αν ν +... + α + α είναι πολυώνυμο του και, τότε: P( P( P( =...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.

ΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0. ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)

ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4) Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β], Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 45 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

40 επαναληπτικά θέματα

40 επαναληπτικά θέματα 4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 η ΕΚΑ Α 6. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε t (e + )dt για κάθε R Για δυνατούς παίκτες i) είξτε ότι e f() + f() ii) είξτε ότι η f αντιστρέφεται και βρείτε την f iii)

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός. Λογισμός

Διαφορικός. Λογισμός Διαφορικός Λογισμός Συλλογή 5 Ασκήσεων mathmatica - ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 9// 7// Πηγή Απαντήσεις Διαφορικός Λογισμός:- Μια συλλογή 5 ασκήσεων. Έλυσαν οι: XRIMAK Βασίλης Κακαβάς Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή

y = 2 x και y = 2 y 3 } ή ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,

Διαβάστε περισσότερα

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* ********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2 . Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012 ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A. Απόδειξη Σελ. 53 Α. Ορισμός Σελ 9 Α3. Ορισμός Σελ 58 Α. α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β.. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους

Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων 008-009 Γ τάξη Τμήμα. Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης γ Ασκήσεις για λύση Μ.. Παπαγρηγοράκης 4 ο Γενικό Λύκειο Χανίων Γ Λυκείου Θετική Τεχνολογική κατεύθυνση Σχ. Έτος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: β f () t dt = G ( β) G ( α) a Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:

1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων: Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)

( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις) Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές

Διαβάστε περισσότερα

Πες το με μία γραφική παράσταση

Πες το με μία γραφική παράσταση Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)

f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x) . Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0.

ΘΕΜΑ 101 ο. α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): x 2y 3 = 0. ΘΕΜΑ 0 ο t - Αν για κάθε ισχύει z - i e dt z - + 3i - α. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του z είναι η ευθεία (ε): y 3 = 0. β. Δίνεται ο μιγαδικός w, με w = z + 004. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα