οριο - συνεχεια συναρτησης

Transcript

1 γ λυκειου ` κεφαλαιο1 οριο - συνεχεια συναρτησης επιμελεια : τακης τσακαλακος 1 017

2 ... πραγματικοι αριθμοι... συναρτησεις... μονοτονες συναρτησεις - αντιστροφη συναρτηση... οριο συναρτησης στο χ 0... ιδιοτητες οριων... μη πεπερασμενο οριο στο χ 0... οριο συναρτησης στο απειρο... συνεχεια συναρτησης

3 γιατι... μια εικονα, χιλιες λεξεις...

4 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ

5 159 Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν Αν f(x)> 0, τότε f(x)>0 κοντά στο χ 0 (σχημα 1) x f(x)< 0, τότε f(x)<0 κοντά στο χ 0 (σχημα ) x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το αντίστροφο του θεω- ρήματος 1 δεν ισχύει, αφού, αν f(x)>0 για κάθε χ τότε f(x) 0 x (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα αν f(x)=χ >0 για κάθε χ ενώ f(x)= χ 0 (σχήμα) f(x)<0 για κάθε χ τότε f(x) 0 x (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

6 160 αν f(x)=-χ <0 για κάθε χ (σχημα) ενω f(x)= (-χ ) 0 Αν f(x) 0, τότε f(x) 0, κοντά στο χ 0 x (αν υπάρχει το όριο) Αν f(x) 0, τότε x f(x) 0, κοντά στο χ 0 (αν υπάρχει το όριο) Άμεσα από το θεώρημα 1 Αν f(x) 0, τότε f(x) 0 κοντά στο χ 0 x Αν f(x) x 0, τότε f(x)>0 ή f(x)=0 ή f(x)<0 κοντά στο χ 0 Αν χ 0 Α f, τότε x f(x) f(x ) x0 0 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο χ 0 τότε f(x) g(x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x)<g(x) κοντά στο χ 0, Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

7 161 τότε f(x) g(x) παράδειγμα αν f(x)=-χ <0 και g(x)=χ >0 για κάθε χ τότε f(x)<g(x) ενώ f(x)= (-χ ) 0 x x0 x x0 (σχήμα) χ x x0 x x0 g(x) Αν οι συναρτήσεις f, g έ- χουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο χ 0, τότε f(x)<g(x) Πράγματι αν ισχύει f(x) g(x) από θεώρημα θα ισχύει f(x) άτοπο αφού f(x) g(x) g(x) αν ισχύει f(x) g(x) από θεώρημα θα ισχύει f(x) f(x) g(x), άτοπο αφού g(x) Ανάλογα Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x)>g(x) κοντά στο χ 0, τότε f(x) g(x) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο χ 0, τότε f(x)>g(x) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

8 170 Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ χ 0 (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Δ ο σ μ έ ν α Ο τύπος της συνάρτησης f ή σχέση ορίων Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η Στη περίπτωση " εύρεσης ορίου - πράξεις... " Ελέγχουμε αν για x = ορίζεται η συνάρτηση f(x) Eφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων των πράξεων Στη περίπτωση " βοηθητικής συνάρτησης... " Θέτουμε h 1(x), h (x) τις αλγεβρικές παραστάσεις των ορίων (γνωστά τα όρια: και ) Λύνουμε τις εξισ ώσεις που προκ ύπτουν ως προς f(x), g(x) (σε συνάρτηση με τις h 1(x), h (x)) Βρίσκουμε τα όρια και με τη βοήθεια των ορίων και που είναι γνωστ ά. Στη περίπτωση " ρητής συνάρτησης, με... 0 : 0..." Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή (συνήθως με Horner, μια ρίζα είναι πάντα η ) Απαλείφουμε τον όρο της μορφής x - Στη συνέχεια βρίσκουμε το όριο πηλίκου. Στη περιπτωση " άρρητης συνάρτησης με... 0 : 0... " Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή (μέθοδος συζυγο ύς παράστασης) συνεχίζουμε όπως παραπάνω Στη περίπτωση " άρρητου παρονομασ τή(αριθμητή)... απροσδιοριστία... " Αν ο αριθμητής είναι πολύ πιο απλός του παρονομαστή, βρίσκουμε το όριο του αντίστροφου κλάσματος. Αντιστρέφουμε το κλάσμα και το σπ άμε σε αλγεβρικό άθροισμα απλούστερων κλασμ άτων (με απροσδιοριστία 0 : 0). Αν ο παρονομαστής είναι πολύ πιο απλός του αριθμητή, "σπάμε το κλάσμα σε αλγεβρικ ό άθροισμα... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

9 171 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Να υπολογίσετε τα όρια α) β) γ) (3-x +x ) x - 1 (συν x +x) x ln(1+e -e ) δ) x +5 x x-1 α) Κοντά στο χ 0=-1 ορίζεται η συνάρτηση f με τυπο f(χ)=3-χ+χ και (3- x +x )= x - 1 = 3-(- 1)+(- 1) = 3++1= 6 β) Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση g με τυπο g(χ)=συν χ+χ και (συν x +x)= συν 0 +0 γ) = 1+0= Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση h με τύπο h(χ)=1+e+e x και ln(1+e -e )=ln(1 +e-e ) =ln(1 +e-1)=lne=1 δ) Για χ 0= ορίζεται η συνάρτηση q με τύπο q(χ)= και x = = = = = 1 x x x +5 x-1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

10 198 Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η Να υπολογίσετε τα όρια α) γ) (x +3x-) β) x 1 x ln( -e ) δ) (ημ x +4) x +1- x-1. Να υπολογίσετε τα όρια α) γ) 1-x 1 x -1 1 ( - ) x 3 8 x+4- β) x x +3- δ) x 1 x-1 3. Να υπολογίσετε τα όρια α) x 3 3 x -7 x -9 β) x 49 x-49 x-7 γ) x x-4 δ) x 49 3 x -343 x-7 4. Να υπολογίσετε τα όρια α) γ) x x 3 x -5x +7x- x -5x+ χ -4 χ -4- x- β) δ) x 1 x 49 x +x+- x -4x+3 3 x -343 x-7 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

11 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

12 33 1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Δίνεται η συνεχ ής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : Αν x+ = 1, τότε f(x+) x - α) να αποδείξετε ότι η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων f(ημx) β) να βρείτε το x γ) να αποδείξετε ότι η C f τέμνει την ευθεία y=χ- σε ένα ακριβώς σημείο (, y 0) με χ 0 (0, ) α) Έχουμε u = x + x+ u = 1 ~ = 1 (1) f(x+) f(u) x - x - ~ u 0 u 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση u g(u)= f(u) που λόγω της (1): g(u)=1 () u 0 Έτσι u g(u)= f(u) ~ g(u) f(u)=u~ [g(u) f(u)]= u~ u 0 u 0 u 0 u 0 () g(u) f(u)= 0 ~ 1 f(u)=0~ u 0 f(u)=0=f(0) u 0 αφού η f είναι συνεχής Συνεπώς, η C f διέρχεται από την αρχή των αξόνων. β) Είναι u = ημx (1) f(ημx) f(u) = = = = = 1 ~ u 0 u 0 u 0 ημx u u u 1 u 0 f(u) f(u) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

13 333 Έτσι f(ημx) f(ημx) ημx f(ημx) ημx = = = 1 1= 1 x ημx x ημx x γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) =f(x)-x+, x έχουμε Η h είναι συνεχής στο διάστημα [0, ] (αφού είναι συνεχής στο ) Επίσης h(0) =f(0)-0+=>0 h() =f()-+= f()< f(0)=0 (αφού >0 και f γνησίως φθινουσα) δηλαδή h(0) h()<0 Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 (0, ) τέτοιο, ώστε h(χ 0)=0` f(χ 0)- χ 0+=0` f(χ 0)= χ 0- ή ισοδύναμα η C f τέμνει την ευθεία y=χ- σ'ένα τουλάχιστον σημείο (, y 0) με χ 0 (0, ) Όμως Για χ 1,χ (0,) με χ 1<χ ισχύει f(x )> f(x ) 1 - x >- x 1 ( ) ( ) f(x )-x > f(x )-x f(x )-x +1> f(x )-x + ~ h(x )> h(x ) άρα, η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (0, ) που σημαίνει ότι το σημείο (, y 0) είναι μοναδικο. Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017

14 017 τακης τσακαλακος κεφαλ αιο 1