1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R.

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Όρια Συνέχεια Διαφορικός Λογισμός Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Μαρτίου 8 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 33. (Μονάδες 5) Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 6. (Μονάδες 3) Α3. α. Ψ β. Θα παρουσιάσουμε ένα αντιπαράδειγμα. Θεωρούμε τη συνάρτηση:, < () {, > η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ) και (, + ) του πεδίου ορισμού της D R. Οπότε:, < () {, > Δηλαδή ισχύει () για κάθε R. Όμως η δεν είναι σταθερή. (Μονάδες 4) Α4. δ (Μονάδες 3) Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Σωστό (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Β Έχουμε () ln ln + (ln ), με D (, + ). Β. Η είναι παραγωγίσιμη, ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: () [(ln ) ] (ln ) (ln ) (ln ) Άρα () ln ln e ln e e Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: e + + ΟΛΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ (e) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

2 Η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, e]. Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [e, + ). Η παρουσιάζει στο e ολικό ελάχιστο, το (e). (Μονάδες 6) Β. Η είναι παραγωγίσιμη, ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με: () ( ln ) (ln ) (ln ) ln Άρα () ln ln e ln e e Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: e + + ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΜΠΗΣ (e ) Η είναι κυρτή στο διάστημα (, e ]. Η είναι κοίλη στο διάστημα [e, + ). Η παρουσιάζει στο e σημείο καμπής, το (e, (e )) (e, ). (Μονάδες 7) Β3. Για κατακόρυφη ασύμπτωτη, θα έχουμε: Α τρόπος Παραγοντοποιούμε ως προς την ποσότητα που δημιουργεί το άπειρο: () (ln ln + ) (ln ) (ln ( ln + ln )) +, γιατί: (ln ) ((ln)) + ( + ) ln ln ( ) ln + ( ) ln + Β τρόπος Αξιοποιούμε την ταυτότητα: () (ln ln + ) (ln ) +, γιατί (ln ) Άρα η έχει ως κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία ( άξονας των y ) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

3 Για πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη, θα έχουμε: () ln ln + (ln ) που προκύπτει απροσδιόριστη μορφή ( ), άρα εφαρμόζουμε τον κανόνα του De L Hospital: () [(ln ) ] (ln ) + + () + που προκύπτει και πάλι απροσδιόριστη μορφή ( ), άρα εφαρμόζουμε ξανά τον κανόνα του De L Hospital: Άρα Επίσης: () + [(ln )] + () ( + ) R () + λ R [() λ] + () + και έχουμε: () (ln + + ) +, καθώς (ln ) + + Άρα [() λ] + R + Άρα η δεν έχει πλάγια ή οριζόντια ασύμπτωτη στο +. Δε μελετάμε για ασύμπτωτη στο, καθώς D (, + ). Για το πεδίο τιμών, εργαζόμαστε ως εξής: Έχουμε ήδη δείξει ότι () + () + Η είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A (, e], άρα: (A ) ((, e]) [(e), ()) [, + ) Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο A [e, + ), άρα: (A ) ([e, + )) [(e), ()) [, + ) + Οπότε, θα έχουμε: (D ) (A ) (A ) (D ) [, + ) (Μονάδες 8) Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3

4 Β4. Δεδομένων των προηγούμενων ερωτημάτων, σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολών τής : e e Σ.Κ. Ο.Ε. + Επίσης είδαμε ότι ο άξονας των y αποτελεί κατακόρυφη ασύμπτωτη. Οπότε χαράσσουμε τη γραφική της παράσταση: y () B(e, ) O(,) (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ Γ Γ. Η είναι δις παραγωγίσιμη, οπότε και η g είναι δις παραγωγίσιμη, ως γινόμενο δις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Έχουμε: g () ( e 3 ()) ( e 3 ) () + ( e 3 ) () 3e 3 () e 3 () e 3 (3() ()) g () (e 3 (3() ())) A(e, ) e (e 3 ) (3() ()) + e 3 (3() ()) 3e 3 (3() ()) + e 3 (3 () ()) e 3 ( 9() + 6 () ()) Όμως δίνεται ότι: () > 3( () 3()) () > 6 () 9() 9() + 6 () () < για κάθε R Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

5 Είναι επίσης γνωστό ότι: e 3 > για κάθε R Τελικά: g () < για κάθε R Δηλαδή η g είναι κοίλη. (Μονάδες 6) Γ. Έστω: (ε) y g( ) g ( )( ) η εφαπτομένη τής g σε τυχαίο σημείο επαφής (, g( )). Δίνεται ότι η παρουσιάζει στο 8 ολικό ακρότατο με τιμή μηδέν. Επειδή το 8 είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού και η είναι παραγωγίσιμη, από το Θεώρημα του Fermat έπεται ότι: (8) Επίσης θα ισχύει η σχέση: (8) Αντικαθιστούμε 8 στην εξίσωση της εφαπτομένης κι έχουμε: (ε) y g(8) g (8)( 8) όπου: g(8) e 3 8 (8) g(8) g (8) e 3 8 (3(8) (8)) g (8) Άρα η εφαπτομένη στο 8 είναι η: (ε) y ( 8) (ε) y (ο άξονας των ) (Μονάδες 7) Γ3. Γ4. Δεδομένου ότι η g είναι κοίλη, η c g θα βρίσκεται «κάτω» από την εφαπτομένη σ οποιοδήποτε σημείο της (με εξαίρεση το σημείο επαφής τους), άρα και από την εφαπτομένη στο σημείο 8, η οποία είναι η y. Δηλαδή, θα πρέπει: g() e 3 () Όμως: e 3 < για κάθε R Άρα: () για κάθε R (Μονάδες 5) Έχουμε γινόμενο εκθετικής με πολυωνυμική στο ολοκλήρωμα, οπότε θα εφαρμόσουμε την κατά παράγοντες ολοκλήρωση, θεωρώντας την αρχική συνάρτηση της h, καθώς αυτή είναι η εκθετική. Θα είναι: Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5

6 h()( + )d ( e 3 )( + )d ( 3 e 3 ) ( + )d [ 3 e 3 ( + )] [ 3 e 3 ( + )] [ 3 e 3 ( + )] 3 e 3 ( + ) 3 e 3 d 3 [ 3 e 3 ] 3 e ( 3 e ) 3 e e e e e e (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ Μελετούμε τα δεδομένα: Αφού η F είναι περιττή, θα ισχύει F() F( ), R () Αφού η c διέρχεται από τα σημεία (, ) και (, ), θα ισχύουν: ( ) () Αφού η c () (3) τέμνει την ευθεία y 3 σε σημείο με τετμημένη : () 3 () (4) Αφού η έχει στο τιμή ίση με, θα ισχύει () > (5) Κι επειδή η διατηρεί πρόσημο στο R, λόγω της (5) : () >, R (6) d Δ. Η F είναι παραγωγίσιμη ως αρχική, οπότε από () έπεται: (F()) ( F( )), R () ( ) ( ), R () ( ), R (7) Άρα η είναι άρτια. (Μονάδες 3) Δ. (i) Η είναι παραγωγίσιμη, οπότε από (7) έπεται: (()) (( )), R () ( ) ( ), R () ( ), R (8) Θέτοντας στην (8) όπου, λαμβάνουμε: () () () () (9) Άρα η δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6

7 (ii) Έχουμε διαδοχικά: (ε ) y ( ) ( )( ) (ε ) y () ()( ) (4),(7) (ε ) y ( ) ( ) () (ε ) y ( ) (ε ) y ή (ε ) y + Δ3. (Μονάδες 4) Θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής για τη συνάρτηση F() στο [,4] : F συνεχής στο [,4] ως παραγωγίσιμη. F παραγωγίσιμη στο (,4) ως αρχική συνάρτηση. Άρα, από το Θεώρημα Μέσης Τιμής, υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,4), ώστε: F (ξ) F(4) F() 4 (ξ) F(4) F() () Όμως ισχύει () > F( 4) για κάθε (,4), άρα και για ξ (,4) : Από () και () έχουμε: (ξ) > F( 4) () (ξ) > F(4) () Δ4. F(4) F() > F(4) F(4) F() > F(4) F() < 3 F(4) (Μονάδες 4) (i) 3 + () συν Έχουμε: (3 + () ) + () ( συν) συν() Οπότε πρόκειται για απροσδιόριστη μορφή ( ). (3) και συνεχής (ως παρ/μη) Δεδομένου ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με συνεχείς παραγώγους, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του De L Hospital για τον υπολογισμό του ορίου: 3 + () συν ( ) DL H 3 + () ημ Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7

8 Τώρα έχουμε: (3 + () ) + () (ημ) Οπότε πρόκειται και πάλι για απροσδιόριστη μορφή ( ). (9) και συνεχής (ως παρ/μη) Δεδομένου ότι δε γνωρίζουμε αν η είναι συνεχής, δε μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του De L Hospital. Θα χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό της παραγώγου. Από τη σχέση (5) έχουμε: () () () (9) () () Οπότε, επειδή όλα τα επιμέρους όρια υπάρχουν, θα είναι: Άρα 3 + () ημ ( ) (3 + () ημ ) 3 + () ημ 3 + () συν 3 + () ημ () 3 + (ii) ( + ()) ημ Κάνοντας την αντίστοιχη αιτιολόγηση, έχουμε διαδοχικά: ( + ()) 3 + () ημ ημ ( ) DL H 3 + () + () () συν ( ) (3 + () + () ()) 3 + () συν + () () συν Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 8

9 Υπολογίζουμε τα όρια που προέκυψαν σε αριθμητή και παρονομαστή: () Για το όριο () () έχουμε: (3) και συνεχής (ως παραγωγίσιμη) Οπότε πρόκειται και πάλι για απροσδιόριστη μορφή ( ). Δεδομένου ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις (ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων) με συνεχείς παραγώγους, μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του De L Hospital: ( () ) ( ) DL H (() () ) () () (3) (9) Άρα ( () ) Για το όριο συν συν ( ) έχουμε διαδοχικά: ( ) DL H (ημ ) ( ) DL H (συν ) Άρα συν ( ) Επειδή όλα τα επιμέρους όρια υπάρχουν, επιστρέφοντας στο αρχικό όριο θα έχουμε: ( + ()) 3 + () ημ συν 3 + () () () () () συν () () Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 9

10 Άρα ( + ()) 6 ημ (Μονάδες 8) Δ5. Από τη σχέση (6) προκύπτει ότι η είναι κυρτή. Άρα, δεδομένου ότι η (ε ) y είναι εφαπτομένη τής, θα ισχύει: Άρα, θα έχουμε διαδοχικά: (), R () d ( ) d () d [ ] () d (4 ) ( 4 ) () d + 4 () d 9 4 F() F ( ) 9 4 F() F ( ) (Μονάδες 6) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! Επιμέλεια Απαντήσεων: Καψαλιάρης Στέλιος Νίκου Δημήτρης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Τογανίδης Νίκος Χαραλαμπίδης Δημήτρης Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα