ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

Σχετικά έγγραφα
ΣΤ. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΓΙΑ GOMPERTZ ΚΑΙ MAKEHAM

Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( T) ( 1) ( 2) 3 x =

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006

ικαιώατα αερικανικού τύπου

1) Μη συνεργατική ισορροπία

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Παράδοση:.) Λύση Ι. Το πεδίο ορισµού Α, θα προκύψει από την απαίτηση ο παρονοµαστής να είναι διάφορος του µηδενός.

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ. 2 ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV

Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης

Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου

V. ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ ΖΩΗΣ Α. ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΑ ΑΞΙΑ

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

Το οντέλο Black & Scholes ως όριο διωνυικών υποδειγάτων

Μέτρα martingale. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (iii) ln(0.5) = , (iv) e =

dn T dv T R n nr T S 2

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 2 η Σειρά ασκήσεων

Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

Ενδεικτικές Λύσεις Θεµάτων Εξετάσεων στη Θεµατική Ενότητα ΦΥΕ34

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET02: ΜΕΓΕΘΟΣ ΑΓΟΡΑΣ

Η. ΣΧΕΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ A ΚΑΙ Α. Στην Άσκηση IV.ΣΤ.14 δείξαµε ότι, κάτω από την υπόθεση οµοιόµορφης κατανοµής των

EIOPA(BoS(13/164 EL. Κατευθυντήριες γραές για την εξέταση αιτιάσεων από ασφαλιστικούς διαεσολαβητές

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

και A του 1 Α) 0,048 Β) 0,288 Γ) 0,353 Δ) 0,440 Ε) 0, Για κάποια ηλικία x είναι lx t βρεθεί η τιμή του l x. Α) 99 Β) 101 Γ) 103 Δ) 111 Ε) 115

Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Κεφάλαιο 4. Θεωρήµατα οµής

Θηκόγραμμα (box-plot) Γραφική παρουσίαση των μέτρων θέσης μιας μεταβλητής

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

ας γ γ ν[ασ] ου ατ κα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Ασφαλιστικά Μαθηµατικά Συνοπτικές σηµειώσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης

2. Ποιά από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις αντιστοιχεί στο νόµο του Ohm; (α) (β) (γ) (δ)

Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή επιλογή.

ΧΙΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΙΙ Α. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στα όσα προηγήθηκαν, εξετάσαµε δύο "ακραία" καθεστώτα x1x

Σελίδα 1 από 16 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ (ΕΜΠΟΡΙΟΥ) ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 2011

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας

ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ & ΘΑΝΑΤΟΥ 15 Ιουλίου 2016

2/6. 1 ΕΕ L 158 της , σ ΕΕ L 335 της , σ.1. 3 ΕΕ L 331 της , σ

Q U A N T U M E L E C T R O D Y N A M I C S

Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

ΦΥΣΙΚΗ και αν συνεχίζει να αυξάνεται η συχνότητα του διεγέρτη, το πλάτος της εξαναγκασµένης ταλάντωσης διαρκώς θα µειώνεται.

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη

(9.1) (9.2) B E = t (9.3) (9.4) (9.5) J = t

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή

Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

Τα βασικά χρηατοοικονοικά παράγωγα και η αρχή της η επιτηδειότητας

Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ΣΕ ΟΛΟΥΣ!!!!!!!!!!!

( ) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικής Ε.Μ.Π Σχ.Σύµβουλος ΠΕ04 ( J)

ΣΥΜΒΑΝΤΑ ΖΩΗΣ ΚΑΙ ΘΑΝΑΤΟΥ Ι & ΙΙ

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΣΥΜΒΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ & ΘΑΝΑΤΟΥ 15 Ιουλίου 2016

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

= = = = N N. Σηµείωση:

ΑΣΦΑΛΙΣΤΗΡΙΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ ΠΥΡΟΣ

Engagement Letter ε τον

Ασαφής Λογική & Έλεγχος

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

υναική του Συστήατος Lorenz

ΑΤΟΜΟ Υ ΡΟΓΟΝΟΥ. ΜΟΝΤΕΛΟ BOHR.

ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΟΥ ΚΑΙ ΟΜΙΛΙΑΣ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤ. ΕΚΠ/ΣΗΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2005

Εισαγωγή στη Μαθηατική Χρηατοοικονοία

1. Μαγνητικό Πεδίο Κινούμενου Φορτίου. Το μαγνητικό πεδίο Β σημειακού φορτίου q που κινείται με ταχύτητα v είναι:

Η Μέθοδος Παραγοντοποίησης Ακεραίων Αριθών Number Field Sieve: Θεωρία και Υλοποίηση. Νικόλαος Καραπάνος

Μαγνητική ροπή. SI: Am 2

Μέτρηση του χρόνου ζωής του µιονίου

EIOPACP 13/011 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε την. προαίτηση εσωτερικών υποδειγάτων

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Η ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ;

Μέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μπαεσιανοί Ταξινοµητές (Bayesian Classifiers)

Παροχή Προστασίας Ασφαλίστρου

Θέματα Κοινωνικής Ασφάλισης. Βασικές μεταβολές του Ν. 4387/2016 στο ασφαλιστικό σύστημα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΧΗΜΕΙΑ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/03/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαρίνος Ιωάννου, Στέφανος Γεροντόπουλος, Σταυρούλα Γκιτάκου

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές.

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ

Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο

14SYMV

Transcript:

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας από τους οποίους είναι διούχος του ασφαλισένου κεφαλαίου αν πεθάνει ο άλλος. Η ασφάλιση αυτή πληρώνει στον πρώτο από τους δύο θανάτους. Ένα άλλο παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου δύο γονέων ε διούχους τα παιδιά τους όταν πεθάνει ο τελευταίος από τους δύο γονείς. Ένα γενικότερο παράδειγα είναι η ασφάλιση n ατόων ε καταβολή του κεφαλαίου θανάτου όταν επέλθει ο υπ' αριθ. m θάνατος ( m n. Ακόα πιο πολύπλοκα σχήατα προκύπτουν όταν προϋπόθεση για την καταβολή του ασφαλισένου ποσού είναι κάποιοι από τους θανάτους να επέλθουν ε ια συγκεγκριένη σειρά. Β. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Για τον υπολογισό από κοινού πιθανοτήτων επιβίωσης, θανάτου, κ.λ.π., θεωρούε ότι οι τ.. T T είναι ανεξάρτητες,. [Η υπόθεση αυτή είναι σωστή ε πολύ εγάλο βαθό προσέγγισης, όχι όως απόλυτα. Κατά κανόνα ισχύει για ατοικές ασφαλίσεις, ισχύει όως κάπως λιγότερο στις οαδικές ασφαλίσεις, όπου, π.χ., οι ασφαλισένοι πορεί να υπόκεινται στους ίδιους εργασιακούς κινδύνους ή όπου τα ανώτατα στελέχη ιας επιχείρησης πορεί να ταξιδεύουν συχνά αζί ε το ίδιο ιδιωτικό αεροπλάνο, κ.λ.π.. Ακόα στις ατοικές, δύο σύζυγοι, π.χ., έχουν συχνά το ίδιο "lifele" (π.χ., τις ίδιες διατροφικές συνήθειες. Γενικά όως η ανεξαρτησία των κινδύνων είναι ια αρκετά καλή "υπόθεση εργασίας".] Υπενθυίζουε ότι η τ.. T έχει σ.π.π., σ.κ. συνάρτηση επιβίωσης. Αν έχουε δύο ζωές ( ( ε αντίστοιχες τ.. T T, γράφουε ( για το σύνολο των δύο ζωών για την πιθανότητα να επιζήσουν οι δύο χρόνια. Συνηθίζεται να βλέπουε το ( ως ία οντότητα, στην οποία δίνουε το όνοα καθεστώς (a. Οιλούε άλιστα για την επιβίωση του καθεστώτος ( εννοώντας την επιβίωση του ( του (. Κάτω από την υπόθεση της ανεξαρτησίας, γενικότερα, για οποιοδήποτε καθεστώς (w,.... w... w Προσοχή χρειάζεται στην ερηνεία του συβόλου (*. Η άρνηση του "να επιζήσουν οι δύο" είναι να πεθάνει τουλάχιστον ένας (να πεθάνει ένας εξ αυτών ή οι. (Το αποτέλεσα δύο. Από την (* παίρνουε ( ( αυτό είναι προφανές από όνο του εφόσον τα γεγονότα "θάνατος του ( έσα σε χρόνια" "θάνατος του ( έσα σε χρόνια" δεν αποκλείουν το ένα το άλλο εποένως η πιθανότητα δεν πορεί να είναι ίση ε, αλλά ε ειωένο κατά την πιθανότητα της "τοής" (πραγατοποίησης των δύο γεγονότων. Για τον υπολογισό του είναι φυσικά απλούστερη η δεν ισχύει πολλαπλασιαστική σχέση. Αξίζει τέλος να τονισθεί ότι για το καθεστώς ( : τέτοια σχέση ισχύει όνο για το.

Βλέπουε λοιπόν ότι η από κοινού συνάρτηση επιβίωσης για δύο ζωές ( ( είναι ότι η από κοινού σ.κ. είναι F. Η από κοινού σ.π.π. είναι ( ( ( F ( ( ( ( ( f όπου φαίνεται ότι η ένταση θνησιότητας για το καθεστώς ( είναι :, από. Η αθροιστική αυτή σχέση, που συνδέεται φυσικά άεσα ε την πολλαπλασιαστική σχέση εταξύ των, είναι απόλυτα εύλογη : ένα καθεστώς (w παύει να υπάρχει αν πεθάνει ένα έλος του, άρα η ένταση της έκθεσης του καθεστώτος σε "θάνατο" είναι το άθροισα των εντάσεων της έκθεσης των ελών του καθεστώτος στον κίνδυνο πραγατικού θανάτου. Σε κάθε περίπτωση, είναι χρήσιο να θυόαστε ότι οι σχέσεις : είναι ισοδύναες. Το ( γενικότερα το (w είναι καθεστώτα που λήγουν (εξαλείφονται όταν πεθάνει ένα έλος τους (ή ισοδύναα όταν επέλθει ο πρώτος θάνατος, βλ. Παράγραφο Α. Για ένα καθεστώς που θεωρείται λήξαν όταν επέλθει ο τελευταίος θάνατος γράφουε ( γενικότερα ( w.... Για να εξαλειφθεί το ( έσα στα επόενα χρόνια, πρέπει να πεθάνει ο ( ο (, άρα. Βλέπουε ότι για το καθεστώς ( η εικόνα αντιστρέφεται πολλαπλασιαστική σχέση ισχύει για το. Όσο για το είναι η πιθανότητα να επιβιώσει τουλάχιστον ένας από τους ( (. Συγκρίνοντας τις σχέσεις (να ερηνευθεί η σχέση αυτή λεκτικά., συπεραίνουε ότι Από τα παραπάνω είναι προφανές ότι η σ.κ. για το χρόνο ζωής του καθεστώτος ( είναι. Για τη σ.π.π. της F ( η συνάρτηση επιβίωσης είναι ( διάρκειας του (, έχουε f (. [Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στη σειρά θανάτων "πρώτα ο (, ετά ο (" (εφόσον τη στιγή θανάτου του (, ο ( είναι ήδη νεκρός ε πιθανότητα ο δεύτερος όρος στη σειρά "πρώτα ο (, ετά ο (".] Όσο για την ένταση θνησιότητας :. Έτσι, : όπου βλέπουε ότι η :, αυτή προκύπτει αν διαιρέσουε την σ.π.π. f ( ε ( είναι σταθισένος έσος των εντάσεων, (*, από : (ε "σταθά" τα,. Αν η (* γραφεί ως, βλέπουε ακόα ότι οι σ.π.π. των τ.. T : : έχουν το ίδιο άθροισα ε τις σ.π.π. των τ.. αφού ισχύει για τις σ.κ. Η σχέση,,. T T T (σχέση που έπρεπε να αναένεται είναι επίσης αληθής αφού οι σ.π. είναι διαφορές των αντίστοιχων σ.κ.. Οι πιθανότητες. προκύπτουν αέσως ως

Εφόσον έχουε Γ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( είναι αντίστοιχα η σ.κ. η σ.π.π. του καθεστώτος (, d, από όπου πορεί να υπολογισθεί η πιθανότητα όταν είναι γνωστές οι συναρτήσεις επιβίωσης οι εντάσεις θνησιότητας για τις ζωές ( (. (Σηειώνεται ότι, για τον υπολογισό, δεν απαιτείται το ισόνοο των T T! Άλλωστε ισόνοο δεν υπάρχει εκτός αν! ( Η πιθανότητα πορεί να γραφεί ως το άθροισα d d. Στο πρώτο ολοκλήρωα, ο "θάνατος" του καθεστώτος ( (που "επιζεί" έχρι τη στιγή,, ε πιθανότητα οφείλεται στην επενέργεια της έντασης θνησιότητας,, του ( άρα είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο ( πρώτος έσα στα επόενα χρόνια. Κατά τον ίδιο τρόπο, το δεύτερο ολοκλήρωα αντιστοιχεί στην πιθανότητα να πεθάνει ο ( πρώτος έσα στα επόενα χρόνια. Έτσι έχουε, σχέση απόλυτα φυσική αφού το καθεστώς ( "λύεται" στον πρώτο θάνατο αυτός ο θάνατος πορεί να είναι είτε του ( είτε του (. Σηειώνεται ότι το συβάν "ο ( πεθαίνει πρώτος έσα σε χρόνια" δεν παρέχει πληροφορία για την τελική τύχη του ( πέραν του ότι ο ( ζούσε κατά το θάνατο του ( (που συνέβη έσα σε χρόνια : ο ( πορεί να πέθανε εκείνος (δεύτερος πριν από την εκπνοή των ετών, ή να πέθανε ετά την εκπνοή των ετών. Προφανώς ειδικότερα. Η σχέση ( d πορεί κατά τον ίδιο τρόπο να γραφεί, όπου είναι η πιθανότητα ο ( να πεθάνει δεύτερος έσα σε χρόνια. Η σχέση αυτή είναι απόλυτα εύλογη αφού το ( "λύεται" στο δεύτερο θάνατο αυτός πορεί να είναι ή του ( ή του (. Και στην παρούσα περίπτωση ισχύουν οι σχέσεις. Είναι βέβαια απόλυτα φυσικό οι πιθανότητες πρώτου θανάτου να αθροίζονται σε πιθανότητες δεύτερου θανάτου να αθροίζονται σε οι. Όως εξίσου ενδιαφέρουσα είναι η άθροιση των πιθανοτήτων,,, όχι ε βάση το ή το (τη σειρά του θανάτου αλλά το ( ή το ( (τη ζωή. Τότε παίρνουε ειδικότερα.

Στην περίπτωση που η θνησιότητα των ( ( προέρχεται από πίνακα, τα υπολογίζονται από ( (. Σύβολα όπως τα (, (,..., ( n τη σειρά των θανάτων. Έτσι, π.χ.,. ΠΙΟ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ,, κ.λ.π. πορεί να επεκταθούν σε οποιοδήποτε πλήθος ζωών πορεί επιπλέον να δηλώνουν περισσότερους περιορισούς ως προς είναι η πιθανότητα να πεθάνουν οι τρεις ζωές έσα σε χρόνια ε τη σειρά που δηλώνεται (ο ( υποχρεωτικά δεύτερος. είναι η πιθανότητα ο ( να πεθάνει δεύτερος έσα σε χρόνια (περιπτώσεις (α πεθαίνει ο (, ετά ο ( ο ( πεθαίνει τελευταίος (έσα στα χρόνια ή ετά την πάροδο των ετών, (β πεθαίνει. ο (, ετά ο ( ο ( πεθαίνει τελευταίος (ή έσα στην περίοδο ή ετά είναι η πιθανότητα να πεθάνει ο ( τελευταίος έσα σε χρόνια (προφανώς. : : είναι η πιθανότητα το καθεστώς (w να εκλείψει πριν από το καθεστώς w :. w : ( (να πεθάνει ή ο (w ή ο ( ενώ οι ( ( ζουν είναι η πιθανότητα το ( w να εκλείψει πριν από το ( έσα στο έτος από σήερα (να πεθάνει ο (w ο ( (ε οποιαδήποτε σειρά έσα στο έτος ενώ ζει ακόα ένας από τους (, ( ή ζουν οι δύο. κ.ο.κ.. εν υπάρχει ένας οναδικός τρόπος υπολογισού πιο σύνθετων από κοινού πιθανοτήτων όπως είναι οι παραπάνω. Συνήθως απαιτούνται επανειληένες ολοκληρώσεις υπάρχουν διάφορες εκφράσεις της ίδιας πιθανότητας, που καθειά "εστιάζεται" (βασίζεται στη στιγή θανάτου ιας από τις επλεκόενες ζωές. Έτσι, π.χ., d (ορισός εστιασένος στη στιγή του θανάτου του (, οπότε πρέπει να είναι ή πεθαένος ο ( ζωντανός ο ( ή πεθαένος ο ( ζωντανός ο (. Όως, ε "εστιακό σηείο" τη στιγή του πρώτου θανάτου, η ίδια πιθανότητα πορεί να γραφεί d (πεθαίνει πρώτος ο ( στο διάστηα που αποένει πεθαίνει ο ( πριν από τον ( ή πεθαίνει πρώτος ο ( στο διάστηα που αποένει πεθαίνει ο ( πριν από τον (. Στην τελευταία αυτή σχέση, το : d : d πορεί να γραφεί ως ολοκλήρωα, οπότε dd dd dd dd

dd d d. dd Στο τελευταίο από τα ισοδύναα αυτά αποτελέσατα πορούε να φθάσουε απευθείας εφόσον το σύβολο σαφώς σχετίζεται ε την επιβίωση των ( ( έχρι τη στιγή του θανάτου του ( ε το θάνατο του ( πριν από τον ( στο υπόλοιπο διάστηα ( το ίδιο ισχύει βέβαια για το. Τις πιο σύνθετες από κοινού πιθανότητες πολλές φορές αναλύουε σε "πιθανότητες πρώτου ( ( θανάτου". Π.χ., αν γράψουε d d για, βλέπουε ότι. Η ίδια πιθανότητα πορεί να γραφεί ( ( d. (Οι δύο τιές είναι ίσες εφόσον ( ( Κατά τον ίδιο τρόπο,. ( d ( d. Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΙΑΙΩΝ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΩΝ Ο υπολογισός ενιαίων ασφαλίστρων για από κοινού ασφαλίσεις δεν διαφέρει σε τίποτε από τον υπολογισό των από κοινού πιθανοτήτων πέρα από την παρουσία του παράγοντα e δ στα ολοκληρώατα για ασφαλίσεις πληρωτέες τη στιγή της επέλευσης του ασφαλισένου γεγονότος του παράγοντα υ στα αθροίσατα για ασφαλίσεις πληρωτέες στο τέλος του ασφαλιστικού έτους έσα στο οποίο λαβάνει χώρα το ασφαλισένο γεγονός. Έχουε, π.χ., δ δ δ δ A e d A e d e d e d A A A γράψουε αέσως από την αντίστοιχη τιή του. Το αποτέλεσα αυτό θα πορούσαε να που είδαε παραπάνω. Αν στην τελευταία ασφάλιση το κεφάλαιο είναι πληρωτέο όταν πεθάνει ο ( δεύτερος όνον αν έχει προηγηθεί ο θάνατος του (, τότε A A A (δηλαδή είναι A A A. Για ένα άλλο παράδειγα, θεωρούε ασφάλιση πληρωτέα στον τελευταίο θάνατο ε ενιαίο ασφάλιστρο A. Εφόσον A A A A, πορούε να βασισθούε στη δεύτερη έκφραση του που είδαε παραπάνω (γιατί όχι στην πρώτη; στις αντίστοιχες

συετρικές εκφράσεις για τα για να δείξουε ότι A ( A A A A ( A A A A ( A A A A ( A A A ( A A A A. Το παράδειγα αυτό δείχνει ένα σηαντικό τρόπο γραφής ενιαίων ασφαλίστρων αυθαίρετων από κοινού ασφαλίσεων αποκλειστικά συναρτήσει ενιαίων ασφαλίστρων για ασφαλίσεις πληρωτέες σε καθεστώτα του τύπου (w.