ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙ ΙΩΝ ΣΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΜΕ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΡΕΥΣΤΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ. Π. Καραδήµου και Ν.Χ Μαρκάτος Σχολή Χηµικών Μηχανικών, Ε.Μ.Π., Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Αθήνα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Εθνική Στρατηγική για την Αειφόρο Ανάπτυξη αποδίδει ιδιαίτερη έµφαση στον περιορισµό των αέριων ρύπων, καθώς έχει διαπιστωθεί η άµεση συσχέτιση τους µε την ανθρώπινη υγεία και την κλιµατική αλλαγή. Ένας από τους πιο επικίνδυνους ρύπους, που απειλεί σε µέγιστο βαθµό τη δηµόσια υγεία είναι τα αιωρούµενα σωµατίδια. Η παρούσα εργασία επικεντρώθηκε στη µελέτη της ροής αέρα και σωµατιδίων, καθώς και της κατανοµής της συγκέντρωσης των σωµατιδίων στους εσωτερικούς χώρους µε µεθόδους υπολογιστικής ρευστοδυναµικής (CFD). Αναπτύχθηκε ένα µαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης τριών διαστάσεων (3D), δύο φάσεων τύπου Euler-Euler [1, 2], το οποίο εφαρµόστηκε στην περίπτωση του ατµοσφαιρικού αερολύµατος ενός δωµατίου µικρής κλίµακας [3]. Η αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο φάσεων λαµβάνεται υπόψη µέσω κατάλληλης µαθηµατικής σχέσης για τη διαφασική τριβή. Η τυρβώδης ροή της συνεχούς φάσης (αέρας) περιγράφεται µαθηµατικά από το Renormalization Grou (RNG) k-ε [4] πρότυπο µεταφοράς, καθώς και β) από το πρότυπο προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών [5]. Πραγµατοποιήθηκε σύγκριση των αποτελεσµάτων της αριθµητικής επίλυσης µε αντίστοιχες πειραµατικές µετρήσεις, η οποία κρίνεται ικανοποιητική. Για τη διακριτοποίηση των όρων συναγωγής των εξισώσεων ορµής χρησιµοποιήθηκε ένα πρωτότυπο σχήµα διακριτοποίησης που ακολουθεί τον προσανατολισµό της ροής [6]. Από τη σύγκριση της απόδοσής του µε άλλα συµβατικά αριθµητικά σχήµατα στην περίπτωση ροής ρευστού σε κεκλιµένη διεύθυνση, όπου τα σφάλµατα της αριθµητικής διάχυσης αναµένονται µέγιστα, αναδεικνύεται η καλύτερη προσέγγιση του εναλλακτικού αυτού σχήµατος διακριτοποίησης. Η µελέτη επικεντρώθηκε σε σωµατίδια µέσης αεροδυναµικής διαµέτρου 10 µm, αλλά η µέθοδος είναι γενική και µπορεί να εφαρµοστεί για οποιαδήποτε περιοχή τιµών αεροδυναµικής διαµέτρου, καθώς και για συνύπαρξη σωµατιδίων διαφόρων µεγεθών. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο ατµοσφαιρικός αέρας περιέχει µικρά αιωρούµενα σωµατίδια, τα οποία είτε εκλύονται από διάφορες ανθρώπινες δραστηριότητες (βιοµηχανία, γεωργικές καλλιέργεις, κατασκευή αυτοκινητόδροµων, καµινάδες και άλλες) είτε είναι δευτερογενή προιόντα κάποιας χηµικής αντίδρασης στον αέρα. Η παρουσία των αιωρούµενων σωµατιδίων στην ατµόσφαιρα έχει σοβαρές επιπτώσεις στην ανθρώπινη υγεία, καθώς τα αιωρούµενα σωµατίδια διεισδύουν στο ανθρώπινο σώµα µέσω της αναπνευστικής οδού και προκαλούν, ανάλογα µε το βαθµό διείσδυσης και τη χρονική διάρκεια της έκθεσης σε αυτά, αναστρέψιµες (αλλεργείες, καρδιοαναπνευστικά προβλήµατα), αλλά και ανεπανόρθωτες µη αντιστρεπτές βλάβες στην υγεία [7]. Τα αιωρούµενα σωµατίδια επίσης σε συνδυασµό µε το φαινόµενο του θερµοκηπίου συµβάλλουν στην αλλαγή του κλίµατος της γης µέσα από διάφορους µηχανισµούς, όπως είναι η απορρόφηση και η διάχυση της ηλιακής ακτινοβολίας που φτάνει στη γη, καθώς και η επίδρασή τους στον κύκλο του νερού συµµετέχοντας στο σχηµατισµό των συννέφων [8]. Η αριθµητική προσοµοίωση της µεταφοράς των σωµατιδίων από τον αέρα απαιτεί τη µαθηµατική µοντελοποίηση της συνεχούς φάσης (αέρας) και της διακριτής φάσης (σωµατίδια). Στην παρούσα εργασία χρησιµοποιήθηκε η µέθοδος Εuler και για τις δύο φάσεις, οι οποίες αντιµετωπίστηκαν ως δύο συνεχείς φάσεις που αλληληλεπιδρούν πλήρως
µεταξύ τους µέσω της διαφασικής τριβής. Για την περιγραφή της µεταφοράς κάθε φάσης εφαρµόστηκαν µαθηµατικές εξισώσεις που περιγράφουν τη ροή της µάζας και της ορµής τόσο του αέρα όσο και των σωµατιδίων. Κατά την αριθµητική επίλυση των εξισώσεων ορµής δόθηκε ιδιαίτερη έµφαση στη διακριτοποίηση των όρων συναγωγής µε σκοπό τη µείωση του φαινοµένου της ψευδούς διάχυσης και την αύξηση της ακρίβειας των αριθµητικών αποτελεσµάτων. Η αριθµητική διάχυση παρουσιάζεται έντονα στην περίπτωση µεγάλης µεταβολής της µεταφερόµενης ποσότητας σε ροή υπό γωνία λόγω της πολυδιάστατης φύσης των ροών [9,10]. Για τη µείωση της αριθµητικής διάχυσης εφαρµόζονται σχήµατα διακριτοποίησης ανώτερης τάξης ακρίβειας [11-14], καθώς και σχήµατα που λαµβάνουν υπόψη τους τον προσανατολισµό της ροής [6,15-19]. Στην παρούσα εργασία έγινε σύγκριση ως προς την απόδοσή τους σε τέσσερα διαφορετικά σχήµατα διακριτοποίησης: α) το πρώτης τάξης ανάντη σχήµα [11], β) το δεύτερης τάξης υβριδικό σχήµα [11], δ) το µη γραµµικό van Leer [14] και ε) το SUPER (Skew Uwind and Corner Algorithm) σχήµα διακριτοποίησης [6], το οποίο λαµβάνει υπόψη του τον προσανατολισµό της ροής. ΦΥΣΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ Στην παρούσα εργασία προσεγγίζεται µαθηµατικά ο τύπος της διασκορπισµένης ροής αέρα και σωµατιδίων στον εσωτερικό χώρο της γεωµετρίας ενός δωµατίου σε µικρή κλίµακα [3,6], εφαρµόζοντας τη µέθοδο ροής δύο φάσεων Euler-Euler. Σχήµα 1. Η γεωµετρία του φυσικού προβλήµατος Οι παραδοχές που έγιναν για την αριθµητική επίλυση του φυσικού προβλήµατος που µελετάται στην παρούσα εργασία είναι οι ακόλουθες: α) δύο συνεχείς φάσεις, διασκορπισµένες η µία µέσα στην άλλη, που αλληλεπιδρούν πλήρως µεταξύ τους, β) ασυµπίεστο νευτωνικό ρευστό (αέρας), γ) σταθερές ιδιότητες για τη στερεή και την αέρια φάση στους 300 ο Κ, γ) δε συµβαίνει αλλαγή φάσης, δ) δεν πραγµατοποιείται χηµική αντίδραση, ε) σφαιρικά σωµατίδια µίας διαµέτρου (µέση αεροδυναµική διάµετρος 10µm) µε πυκνότητα ρ=1400kg/m 3, στ) οι συγκρούσεις µεταξύ των σωµατιδίων είναι αµελητέες, ζ) η κίνηση κάθε σωµατιδίου δεν επηρεάζεται από τον ολκό των γειτονικών σωµατιδίων. 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ 3.1 Πρότυπο Μεταφοράς δύο διαφορικών εξισώσεων-μοντέλο k-ε Η γενική µορφή των µερικών διαφορικών εξισώσεων διατήρησης, Navier-Stokes και ενέργειας είναι η ακόλουθη [1,2,6]: ( ri ρ iφi ) + div ri ρi ui φi ri φ, i gradφi = Sφ, i t Γ (1)
όπου: φ, η εξαρτηµένη µεταβλητή κάθε φάσης i i r i, το κλάσµα του όγκου κάθε φάσης i ρ, η πυκνότητα κάθε φάσης i i u i, το διάνυσµα της ταχύτητας κάθε φάσης i Γ, ο συντελεστής διάχυσης κάθε φάσης i φ,i S φ,i, ο όρος πηγής κάθε µεταβλητής φ, κάθε φάσης i Οι εξαρτηµένες µεταβλητές του προβλήµατος είναι η πίεση Ρ, η οποία θεωρείται εδώ κοινή και για τις δύο φάσεις, το κλάσµα του όγκου r i κάθε φάσης ( i = g για τον αέρα, i = για τα σωµατίδια), οι τρεις συνιστώσες της ταχύτητας u i, vi, w i κάθε φάσης, η κινητική ενέργεια της τύρβης k και ο ρυθµός απορρόφησής της ε στην αέρια φάση. Το κλάσµα όγκου και η πίεση υπολογίζoνται µε κατάλληλο χειρισµό της εξίσωσης συνέχειας, µέσω του αλγόριθµου IPSA [1,2,6,26] : ( r ρ ) i t i + div ri ρi u i = S φ, i Το κλάσµα του όγκου ικανοποιεί προφανώς την εξίσωση: r r = 1 (3) Η δύναµη της διαφασικής τριβής διαφορετικών ταχυτήτων [20] είναι: F f i g + (2) F, ανά µονάδα όγκου µεταξύ των δύο φάσεων λόγω ( V V ) C ( V V ) f, i =. 5C D Ar g Vg V g f, i 0 ρ (4) g όπου C Dο συντελεστής διαφασικής τριβής, A r η προβολή της επιφάνειας των σωµατιδίων στο επίπεδο ανά µονάδα όγκου, ρ g η πυκνότητα της αέριας φάσης, Vgη ταχύτητα της αέριας φάσης, V η ταχύτητα της στερεής φάσης, ο συντελεστής της διεπιφανειακής C f, i τριβής. Η εµπειρική σχέση για το συντελεστή της διαφασικής τριβής C D δίνεται από το νόµο του Stokes [21]: 24 C D = (5) Re όπου Re είναι ο αριθµός Reynolds των σωµατιδίων [22]: d ρ Re = Vsli (6) µ g όπου d η διάµετρος των σωµατιδίων, ρ η πυκνότητα των σωµατιδίων, µ gτο τυρβώδες ιξώδες της αέριας φάσης, και V sli.η σχετική ταχύτητα των δύο φάσεων Οι µέσες χρονικές τιµές των εξισώσεων Navier-Stokes λαµβάνονται εφαρµόζοντας τους κανόνες Reynolds (RANS, Reynolds Averaged Navier-Stokes). Η τυρβώδης ροή του αέρα µοντελοποιείται µαθηµατικά µε την εφαρµογή του RNG (Renormalization Grou) k-ε µοντέλου [4]. Τα σωµατίδια θεωρείται ότι µεταφέρονται και διασκορπίζονται λόγω της τυρβώδους ροής του αέρα, και η κίνησή τους δεν επηρεάζει την ροή της αέριας φάσης (one-way couling).
3.2 Πρότυπο Εξοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) Στο πρότυπο Εξοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES, Large Eddy Simulation), οι µεγάλες κλίµακες της τυρβώδους ροής του αέρα, οι οποίες περιέχουν την τυρβώδη κινητική ενέργεια επιλύονται άµεσα, ενώ οι µικρότερες κλίµακες (Sub-Grid Scales), οι οποίες είναι υπεύθυνες για την απορρόφησή της, µοντελοποιούνται µαθηµατικά. Πραγµατοποιείται χωρικό φιλτράρισµα σε κάθε µεταβλητή του πεδίου ροής, µία συνιστώσα της οποίας επιλύεται άµεσα και η άλλη µοντελοποιείται µαθηµατικά. Οι φιλτραρισµένες µερικές διαφορικές εξισώσεις παρουσιάζονται παρακάτω [5]: ri u = 0 (7) x j r iui 1 ( ) ( ) u u i j + r + = + + + i uiu j λ ij ri ri v vt (8) t x j P xi x j x j xi όπου: 2 2 ( x ) ( uiu j ) k λ ij = (9) 6 x x 2 1/ 2 k k v t = a1h s, a 1 = 1. 1 (10) 1/ 3 ( x x ) 1/ 3 h = 8 x (11) 1 2 3 s u u j i ui = + (12) x j x i x j όπου λijοι τάσεις του Leonard, ν t το τυρβώδες ιξώδες, h κλίµακα µήκους της τύρβης και s ο τανυστής του ρυθµού παραµόρφωσης, xk το ενεργό πλάτος του φίλτρου, u i το πεδίο της φιλτραρισµένης-αναλυόµενης ταχύτητας Η αλληλεπίδραση στη διεπιφάνεια των δύο φάσεων περιγράφεται µαθηµατικά µε τις εξισώσεις (4)-(6). Πρέπει να σηµειωθεί ότι παρόλο που η τιµή που προτείνεται στη βιβλιογραφία [23] για τη σταθερά a 1είναι µεταξύ 0.1-0.3 µε επικρατέστερη την 0.176 τα αποτελέσµατα της παρούσας εργασίας αναδεικνύουν µία βέλτιστη τιµή a 1=1.1. Το θέµα αυτό απαιτεί περαιτέρω διερεύνηση. 3.3 Οριακές Συνθήκες Στην είσοδο εφαρµόζεται η συνθήκη γνωστής ροής µάζας. Ο ρυθµός ροής µάζας κάθε φάσης πολλαπλασιάζεται µε το κλάσµα του όγκου. Το κλάσµα του όγκου των σωµατιδίων + r κανονικοποιείται µε την ακόλουθη σχέση: r =. Εφαρµόζεται επίσης σταθερή ρ rεισόδου τιµή ταχύτητας εισόδου (0.225 m/sec) στη διεύθυνση της ροής και για τις δύο φάσεις. Για την κινητική ενέργεια της τύρβης της αέριας φάσης (RANS µαθηµατικό µοντέλο) στην 3 είσοδο εφαρµόζεται σταθερή τιµή ίση µε [24]: k ( ) 2 in = U avgti, όπου U avgη µέση ταχύτητα 2 του αέρα στην είσοδο και Tη i ένταση της τύρβης που ελήφθη ίση µε 6%, ενώ για το ρυθµό απορρόφησής της εφαρµόζεται η τιµή ε = 3/ 2 3/ 4 k C µ l, όπου l η κλίµακα µήκους της τύρβης
που ελήφθη ίση µε l =0.07, d h η υδραυλική διάµετρος και C µ = 0.0845 µία εµπειρική σταθερά του µοντέλου τύρβης. Στην έξοδο, οι δύο φάσεις θεωρείται ότι εξέρχονται σε ένα περιβάλλον οµοιόµορφης πίεσης, ενώ στα τοιχώµατα εφαρµόζονται οι γνωστές «συναρτήσεις τοίχου» [25]. 4. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ Οι εξισώσεις διακριτοποιούνται µε τη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων ελέγχου και επιλύονται αριθµητικά µε τον αλγόριθµο IPSA [26], ο οποίος είναι ενσωµατωµένος στο γνωστό πρόγραµµα υπολογιστικής ρευστοδυναµικής PHOENICS [26]. Σύµφωνα µε τη µέθοδο των πεπερασµένων όγκων ελέγχου, οι µαθηµατικές εξισώσεις που διέπουν το φαινόµενο αναπτύσσονται στη βάση ότι το ισοζύγιο για τη ροή της µάζας και της ορµής εφαρµόζεται σε έναν όγκο ελέγχου, ο οποίος καταλαµβάνεται και από τις δύο φάσεις και το µερίδιο του χώρου που καταλαµβάνει κάθε φάση υπολογίζεται ως κλάσµα του όγκου. Οι όροι συναγωγής των εξισώσεων ορµής της αέριας φάσης διακριτοποιούνται µε τα ακόλουθα συµβατικά αριθµητικά σχήµατα: α) ανάντη σχήµα [11], β) υβριδικό σχήµα [11], γ) van Leer [14] σχήµα και το δ) αριθµητικό σχήµα που λαµβάνει υπόψη του τον προσανατολισµό της ροής SUPER [6]. Οι όροι συναγωγής των εξισώσεων ορµής της δεύτερης φάσης διακριτοποιούνται µε το υβριδικό σχήµα. Οι όροι διάχυσης των εξισώσεων ορµής και των δύο φάσεων διακριτοποιούνται µε το σχήµα των κεντρικών διαφορών. Στην περίπτωση της αριθµητικής επίλυσης του προβλήµατος σε µη µόνιµες συνθήκες χρησιµοποιήθηκε πρώτης τάξης έµµεσο σχήµα διακριτοποίησης για τη χρονική µεταβολή. Το σύστηµα των γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων που προέκυψε επιλύθηκε µε µία επαναληπτική µέθοδο γραµµής προς γραµµή (ADI, Alternating Direction Imlicit). 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ- ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Το µαθηµατικό µοντέλο της παρούσας εργασίας αξιολογήθηκε ως προς την αξιοπιστία του µε τη σύγκρισή του µε πειραµατικά δεδοµένα [3]. Καθώς η µελέτη των Chen et al. [3] παρείχε όλες τις απαραίτητες λεπτοµέρειες διεξαγωγής του πειράµατος, η περίπτωση διασκορπισµένου τύπου ροής αέρα και σωµατιδίων, που διαπραγµατεύεται η συγκεκριµένη µελέτη χρησιµοποιήθηκε για το σκοπό αυτό. 5.1 ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Η σύγκριση της αριθµητικής λύσης του πεδίου ροής της ταχύτητας της αέριας φάσης µε πειραµατικά δεδοµένα εφαρµόζοντας: α) το RANS µαθηµατικό µοντέλο και το αριθµητικό σχήµα SUPER, β) το µοντέλο προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) και το van Leer αριθµητικό σχήµα παρουσιάζεται στο Σχήµα 2. Πραγµατοποιήθηκε µελέτη ανεξαρτησίας της λύσης για την επίλυση του προβλήµατος σε µόνιµες συνθήκες κατασκευάζοντας πλέγµατα µε σταδιακή πύκνωση και συγκρίνοντας τα αριθµητικά αποτελέσµατα. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προέκυψε βέλτιστο πλέγµα 160.000 κελιών µε την εφαρµογή του RANS µαθηµατικού µοντέλου και 960.000 κελιών µε την εφαρµογή του µοντέλου προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES).
0.40 0.35 0.30 ύψος (m) 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00-0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 w 1 -συνιστώσα της ταχύτητας (m/sec) RANS πείραµα LES Σχήµα 2. Κατακόρυφη κατανοµή της w 1 -συνιστώσας της ταχύτητας σε απόσταση 0.2m κατάντη της εισόδου εφαρµόζοντας α) το RANS µαθηµατικό µοντέλο και το SUPER αριθµητικό σχήµα και β) το Μοντέλο Προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) και το van Leer αριθµητικό σχήµα στην περίπτωσης της ευθείας ροής εισόδου (θ=0 ο ) Στο Σχήµα 2 παρατηρείται ότι η συµφωνία των αριθµητικών και πειραµατικών αποτελεσµάτων της ταχύτητας της αέριας φάσης εφαρµόζοντας και τα δύο µαθηµατικά µοντέλα προκύπτει ικανοποιητική. 5.2 ΠΕ ΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΗΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ Η σύγκριση της αριθµητικής λύσης του πεδίου της συγκέντρωσης µε πειραµατικά δεδοµένα εφαρµόζοντας και τα δύο µαθηµατικά µοντέλα (RANS, µοντέλο προσοµοίωση των Μεγάλων ινών) παρουσιάζεται στα Σχήµατα 3,4. Η κατανοµή της συγκέντρωσης στα Σχήµατα 3,4 παρουσιάζεται κανονικοποιηµένη ως προς τη συγκέντρωση των σωµατιδίων στην είσοδο. Η µελέτη ανεξαρτησίας ως προς το χώρο και το χρόνο µελετήθηκε εκ νέου για την περίπτωση επίλυσης του προβλήµατος µε χρονική µεταβολή. Από την ανάλυση των αποτελεσµάτων προέκυψε βέλτιστο πλέγµα 160.000 κελιών και χρονικό βήµα 1 sec για την επίλυση του προβλήµατος µε την εφαρµογή του RANS µαθηµατικού µοντέλου και βέλτιστο πλέγµα 960.000 κελιών και χρονικό βήµα 0.02sec για την επίλυση του προβλήµατος εφαρµόζοντας το µοντέλο προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES). Συγκρίνοντας την απόδοση των δύο µαθηµατικών µοντέλων (RANS, LES) ως προς την κατανοµή της συγκέντρωσης η αριθµητική λύση που προκύπτει µε την εφαρµογή του µοντέλου προσοµοίωσης Μεγάλων ινών είναι πιο ακριβής. Θα πρέπει επίσης να σηµειωθεί ότι και τα δύο µαθηµατικά µοντέλα προβλέπουν ελαφρώς ταχύτερη την κατανοµή της συγκέντρωσης από το µοντέλο µίας φάσης των Chen et al.[3].
0.4 0.3 ύψος (m) 0.2 0.1 0 0 0.5 1 κανονικοποιηµένη συγκέντρωση 1.5 (C/Co) Chen et al πείραµα RANS LES Σχήµα 3. Κατακόρυφη κατανοµή της συγκέντρωσης των σωµατιδίων σε απόσταση 0.2m κατάντη από την είσοδο µε την εφαρµογή α) του RANS µαθηµατικού µοντέλου και β) του µοντέλου προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) µε το van Leer αριθµητικό σχήµα. 0.4 0.3 ύψος (m) 0.2 0.1 0 0 0.5 1 κανονικοποιηµένη συγκέντρωση (C/Co) Chen et al RANS πείραµα LES Σχήµα 4. Κατακόρυφη κατανοµή της συγκέντρωσης των σωµατιδίων σε απόσταση 0.4m κατάντη από την είσοδο µε την εφαρµογή α) του RANS µαθηµατικού µοντέλου και β) του µοντέλου προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) µε το van Leer αριθµητικό σχήµα.
5.3 ΠΕ ΙΟ ΡΟΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ Η ακρίβεια των τεσσάρων αριθµητικών σχηµάτων α) πρώτης τάξης ανάντη σχήµα, β) δεύτερης τάξης υβριδικό σχήµα, γ) µη γραµµικό van Leer και το δ) µε προσανατολισµό της ροής SUPER σχήµα συγκρίνεται στην περίπτωση της κεκλιµένης ροής εισόδου µε γωνία θ=45 ο κατά την επίλυση του προβλήµατος σε µόνιµες συνθήκες εφαρµόζοντας το RANS µαθηµατικό µοντέλο. Στο Σχήµα 5 παριστάνεται η κατακόρυφη κατανοµή της ταχύτητας της αέριας φάσης σε απόσταση 0.6m από την είσοδο. 4.0E-01 3.5E-01 3.0E-01 2.5E-01 ύψος (m) 2.0E-01 1.5E-01 1.0E-01 5.0E-02 0.0E+00-2.0E-01 0.0E+00 2.0E-01 4.0E-01 w 1 -συνιστώσα της ταχύτητας (m/sec) SUPER Υβριδικό Ανάντη van Leer Σχήµα 5. Κατακόρυφη κατανοµή της w 1 -ταχύτητας σε απόσταση 0.6m κατάντη από την είσοδο του δωµατίου στην περίπτωση της εισροής υπό γωνία (θ=45 ο ). Από το Σχήµα 5 προκύπτει ότι ως προς την ακρίβεια των αριθµητικών αποτελεσµάτων τα πρώτης και δεύτερης τάξης, καθώς και το µη γραµµικό αριθµητικό σχήµα (uwind, hybrid και το van Leer) παρουσιάζουν παρόµοια απόδοση. Η κατακόρυφη κατανοµή της ταχύτητας που προκύπτει µε την εφαρµογή του αριθµητικού σχήµατος που λαµβάνει υπόψη του τον προσανατολισµό της ροής (SUPER σχήµα) προκύπτει πιο απότοµη από τις υπόλοιπες και οδηγεί στο συµπέρασµα ότι το SUPER σχήµα εµφανίζει βελτιωµένη ακρίβεια λόγω της µικρότερης αριθµητικής διάχυσης των αποτελεσµάτων. 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα µελέτη αναπτύχθηκε ένα µαθηµατικό µοντέλο ροής δύο φάσεων στις τρεις διαστάσεις του χώρου, το οποίο χρησιµοποιεί τη µέθοδο Euler-Euler και λαµβάνει υπόψη του την αλληλεπίδραση των δύο φάσεων µεταξύ τους. Το µαθηµατικό αυτό µοντέλο ελέχθηκε ως προς την αξιοπιστία του στην περίπτωση του διασκορπισµένου τύπου ροής αέρα και σωµατιδίων στο εσωτερικό ενός δωµατίου υπό κλίµακα. Σκοπός της παρούσας εργασίας ήταν η σύγκριση της απόδοσης: α) δύο διαφορετικών προτύπων τυρβώδους ροής (RANS, LES) και β) τεσσάρων σχηµάτων διακριτοποίησης (πρώτης τάξης, δεύτερης τάξης, µη γραµµικό και λαµβάνοντας υπόψη τον προσανατολισµό της ροής) των όρων συναγωγής στις
εξισώσεις ορµής. Η αριθµητική επίλυση του φυσικού προβλήµατος πραγµατοποιήθηκε µε τη χρήση του προγράµµατος PHOENICS. Από την ανάλυση των αριθµητικών αποτελεσµάτων προκύπτει ότι το µαθηµατικό µοντέλο προσοµοίωσης των Μεγάλων ινών (LES) προσεγγίζει µε καλύτερη ακρίβεια το πεδίο ροής του προβλήµατος ιδιαίτερα σε όρους κατανοµής συγκέντρωσης της δεύτερης φάσης, αλλά όχι τόσο ώστε να δικαιολογεί το σηµαντικά µεγαλύτερο υπολογιστικό χρόνο επίλυσης (επτά φορές µεγαλύτερο CPU χρόνο). Επίσης συµπεραίνεται ότι το αριθµητικό σχήµα που λαµβάνει υπόψη του τον προσανατολισµό της ροής (SUPER σχήµα) έχει τη δυνατότητα να µειώσει την αριθµητικού τύπου διάχυση ιδιαίτερα στην περίπτωση της ροής υπό γωνία, όπου το φαινόµενο της ψευδούς διάχυσης αναµένεται πολύ µεγάλο. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η εργασία ενισχύθηκε οικονοµικά από το Ίδρυµα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ). ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Salding D.B., Numerical Comutation of Multihase Flow and Heat-transfer. In Contribution to Recent Advances in Numerical Methods in Fluids, in: Taylor C. & Morgan K. (Eds.), Pineridge Press, (1978),.139-167. [2] Markatos N.C., Modelling of two-hase transient flow and combustion of granular roellants, International Journal of Multihase Flow 12 (6), (1983),. 913-933. [3] Chen F., Yu S., Lai A. (2006), Modeling article distribution and deosition in indoor environments with a new drift-flux model, Atmosheric Environment 40, (2006),. 357-367. [4] Yakhot V., Orszag S.A., Thangam S., Gatski T.B. & Seziale C.G. (1992), Develoment of turbulence models for shear flows by a double exansion technique, Physics of Fluids A 4(7), (1992),. 1510-1520. [5] Smagorinsky J., General circulation exerimental with the rimitive equations, Monthly Weather Review 93 3, (1963),. 99. [6] Karadimou D.P., Markatos N.C., A novel flow oriented discretization scheme for reducing false diffusion errors in three-dimensional (3D) flows: An alication in the indoor environment, Atmosheric Environment 61, (2012),. 327-339. [7] Robert F. Phalen, Uncertainties relating to the health effects of articulate air ollution: The US EPA's article standard, Toxicology Letters 96,97, (1998),. 263-267. [8] Κirill Ya. Kondratyev, Greenhouse warming versus aerosol cooling in the context of global climate change, Energy Convers. Mgmt 37, (1996),. 763-768. [9] Patel M.K., Markatos N.C. and Cross M., Technical note-method of reducing false diffusion errors in convection diffusion roblems, Alied Mathematical Modelling 9, (1985),.302-306. [10] Darwish M., Moukalled F., A new aroach for building bounded skew-uwind schemes, Comut. Methods Al. Mech. Engrg. 129, (1996),. 221-233. [11] D.B.Salding, A novel finite-difference formulation for different exressions involving both first and second derivatives, Int. J. Numer. Meth. Engng. 4:551-559 (1972). [12] Leonard B.P., A stable and accurate convective modelling rocedure based on quadratic ustream interolating, Comutational Mechanics and Alied Mechanical Engineering 4, (1979),. 557-559. [13] J.E. Fromm, A method for reducing disersion in convective difference schemes, J. Comut. Phys. 3, (1968),. 176-189. [14] B. van Leer, Uwind-difference methods for aerodynamics roblems governed by the Euler equations, Lectures in Al. Math. 22:327-336 (1985). [15] Raithby G.D., Skew ustream differencing schemes for roblems involving fluid flow, Comuter Methods in Alied Mechanics and Engineering 9, (1976),. 151-156.
[16] Patel M.K. and Markatos N.C., An evaluation of eight discretization schemes for twodimensional convection-diffusion equations, International Journal for Numerical Methods in Fluids 6, (1986),. 129-154. [17] Patel M.K., Markatos N.C. and Cross M., (1988), An assessment of flow oriented schemes for reducing false diffusion, International Journal for Numerical Methods in Engineering 26, (1988),. 2279-2304. [18] Carey C., Scanlon T.J. and Fraser S.M., (1993), SUCCA-an alternative scheme to reduce the effects of multidimensional false diffusion, Alied Mathematical Modelling 17(5), (1993),. 263-270. [19] Scanlon T.J., Carey C., and Fraser S.M., (1993), SUCCA3D-An Alternative Scheme to False Diffusion in 3D flows, Proc. of the Inst. of Mech. Engineers, Journal of Mechanical Engineering Science 207, (1993),. 307-313. [20] Ishii M. and Mishima K., Two-fluid model and hydrodynamic constitutive relations, Nuclear Engineering and Design 82, (1984),. 107-126. [21] Lee S.L., (1987), Particle drag in a dilute turbulent two-hase susension flow, International Journal Multihase Flow 13 (2), (1987),. 247-256. [22] Hetsroni G., Particles-Turbulence interaction, International Journal of Multihase Flow 15(5), (1989),. 735-746. [23] Leslie, D.C., Quarini, G.L., Alication of turbulence theory to the formulation of subgrid modeling rocedure, J. Fluid Mech. 91, (1979),. 65. [24] Versteeg, H.K.; Malalasekera, W., An introduction to comutational fluid dynamics The finite volume method; Longman Grou Ltd: Essex, England, (1995). [25] Markatos, N.C., Comutational fluid flow caabilities and software, Ironmaking and Steelmaking 16 4, (1989),. 266-273. [26] Salding D.B., A general urose comuter rogram for multi-dimensional one or twohase flow, Mathematics and Comuters in Simulation XII, (1981),. 267-276.