Cpítulo 5 Triángulos Hemos trbjdo on el triángulo retángulo en generl hor estudiremos un triángulo ulquier y sus reliones más importntes. 5.1. Reliones elementles Ddo el triángulo ABC, que se muestr en l figur ls medids de sus ángulos ls denotremos por:, b y sus ángulos por α, β y γ; α orrespondiente l vértie A, β l vértie B y γ l vértie C. (, b y > 0) En todo triángulo se tiene que: α + β + γ 180 (1) 1
Luis Zegrr. Triángulos 13 y que: + b >, b + >, + > b tmbien que ángulo myor se opone ldo myor y ángulo menor se opone el ldo menor. ( < b α < β) α, β y γ se llmn ángulos interiores del triángulo. De l relión (1), reordmos que se dedue que un triángulo es posible que teng sus tres ángulos gudos ( utángulo), dos gudos y uno reto (retángulo) y un ángulo obtuso y dos gudos (obtusángulo). Tmbien de (1) se dedue que 0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π y por tnto: sen α > 0, sen β > 0 y sen γ > 0 ángulos exteriores Ddo el triángulo de l figur α, β y γ se llmn ángulos exteriores y es fáil notr que α + α π, β + β π y γ + γ π α β + γ, β α + γ y γ α + β y α + β + γ 360
Luis Zegrr. Triángulos 14 5.. Teorem del seno Demostrión. sen α b sen β sen γ Se el ABC un triángulo utángulo omo se muestr en l figur Se h C l ltur trzd desde el vértie C, sí sen α h C b sen α sen β h C nálogmente pr l ltur h B, se obtiene: sen α h B sen γ h B por tnto de (1) y () se tiene: b sen β sen α sen α sen γ b sen β sen γ (1) ()
Luis Zegrr. Triángulos 15 En so que el ABC se obtusángulo, sen α sen α h B sen(π γ) h B nálogmente si se tom l ltur h C, si omo sen(π γ) sen γ sen α b sen β sen γ sen α sen γ probremos hor que est iguldd es igul vees el rdio de l irunfereni irunsrit l, si En retángulo BDC, sen α R R siendo R el rdio de sen α l irunfereni irunsrit l, nálogmente si el es obtusángulo. Por último notemos que si el es retángulo en C γ 90 sen α sen β b que son ls rzones trigonométris definids pr el so de un retángulo.
Luis Zegrr. Triángulos 16 En resumen es el teorem del seno. sen α b sen β sen γ R 5.3. Teorem de ls proyeiones b os γ + os β b os α + os γ os β + b os α Demostrión. Se el triángulo utángulo de l figur os α p b os β q p + q b os α + os β, nálogmente pr y b. Si el es obtusángulo, se tiene De l figur AC AD DC b os α os (π γ) b os α + os γ nálogmente pr y.
Luis Zegrr. Triángulos 17 5.4. Teorem del oseno b + b os α b + os β + b b os γ Demostrión. Se el triángulo utángulo ABC, de l figur BD + DC ( b os α) + b sen α b os α + b os α + b sen α b + b os α nálogmente pr b y. Ahor ud. puede demostrrlo pr el so de un triángulo obtusángulo. 5.5. Equivleni Los sistems: α + β + γ π el teorem del seno (1) Teorem de ls proyeiones ()
Luis Zegrr. Triángulos 18 Teorem del oseno (3) se dien equivlentes, es deir d uno de los tres es un sistem fundmentl, es deir de (1) se dedue () de () se dedue (3) y por tnto de (3) se dedue (1) ud. modo de ejeriio verifique ests impliiones. 5.6. Fórmuls de Briggs sen α (s b)(s ) b os α s(s ) b donde s 1 ( + b + ) Demostrión. sen β (s )(s ) os β s(s b) sen γ (s )(s b) b os γ s(s ) b 0 < α < π 0 < α < π sen α 1 os α os α 1+os α pero el teorem del oseno os α b + b y omo s 1 (+b+), resultn sen α (s b)(s ) y os α s(s ) b b nálogmente pr los otros sos, note tmbién que: tg α (s b)(s ) et... s(s ) es fáil verifir que s, s b y s son siempre positivos. De ls nteriores fórmuls, es fáil obtener
Luis Zegrr. Triángulos 19 sen α b s(s )(s b)(s ), et... 5.7. Fórmuls de ls tngentes + b b α+β tg ; tg α β b + b β+γ tg ; tg β γ + γ+α tg tg γ α Demostrión. Del teorem del seno b sen α sen β + b b sen α + sen β sen α sen β α+β α β sen os os α+β sen α β tg α+β tg α β 5.8. Are de un triángulo De l geometrí elementl reordemos A 1 h A 1 b h B 1 h C ) Dos ldos y ángulo omprendido, A 1 b sen γ 1 b sen α 1 sen β
Luis Zegrr. Triángulos 130 A 1 h A, pero sen γ h A b h A b sen γ A 1 b sen γ A 1 h C, de l fig () sen(π α) h C b h C b sen α A 1 b sen α. b) Tres ldos (Fórmul de Herón) A s(s )(s b)(s ), s 1 ( + b + ) Demostrión. De Briggs y omo sen α sen α os α sen α (s b)(s ) s(s ) b b b s(s )(s b)(s ) y omo A 1 b sen α s(s )(s b)(s ) ) Un ldo y dos ángulos A 1 sen α sen γ b sen(α + γ) Demostrión. Del Teorem del seno b sen γ 1 sen α sen γ b sen(α+γ) sen β b sen γ y omo A 1 b sen α sen(α+γ)
Luis Zegrr. Triángulos 131 d) Otrs fórmuls Del Teorem del seno b R senβ R senγ y omo A 1 b sen α 1 4R sen α sen β sen γ A R sen α sen β sen γ, donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit l triángulo, de quí omo sen α R, sen β sen γ R entones A b 4R 5.9. Resoluión de triángulos Triángulos retángulos Ddo el triángulo retángulo, de l figur γ 90 se onoe b R y Cso I Ddos dos tetos, hllr l hipotenus y los dos ángulos gudos De tg α b se obtiene α β π α sen α o bien + b Cso II Ddos l hipotenus y un teto, hllr el otro teto y los ángulos gudos
Luis Zegrr. Triángulos 13 Ddos y b sen α y β π α Cso III Ddos un teto y un ángulo gudo, hllr l hipotenus, el otro teto y el otro ángulo Ddos y α β π α Triángulos ulesquier. b otg α ose α Cso I Ddos los tres ldos. Por medio del teorem del oseno, se hlln α y β es deir os α b + y os β + b de quí γ 180 α β. b Nótese que pr que exist el debe umplirse + b > ; b + > ; + > b Cso II Ddos dos ldos y el ángulo omprendido Sen ddos:, b y γ
Luis Zegrr. Triángulos 133 se determin medinte: + b b os γ y os β + b α 180 (β + γ) Tmbién se puede resolver medinte: ( ) α β α+β onoido, supongmos > b, por medio de: tg b + b otg γ se lul α β por tnto se onoen α y β; pr, medinte: sen γ sen α Cso III Ddos dos ángulos y un ldo Ddos:, β y γ, β + γ < 180 α 180 (β + γ), sen γ se, α b sen β sen α Cso IV Ddos dos ldos y ángulo opuesto uno de ellos Ddos:, b y α, se determin β medinte sen β b sen α 1. Si < b sen α bsen α > 1 sen β > 1, lo que no es posible, en este so no hy soluión ver fig. 1 Fig. 1 No es posible onstruir un triángulo on < b sen α. Si b sen α bsen α 1 sen β 1 β 90
Luis Zegrr. Triángulos 134 en este so el triángulo es retángulo y hy un soluión, ver fig. fig fig 3 3. Si > b sen α sen β < 1, hy dos vlores pr β, uno que es un ángulo gudo y el otro obtuso estos ángulos son suplementrios. ) Si < b α < β, entones α no puede ser obtuso por tnto β puede ser gudo o bien obtuso (dos soluiones). En este so se onoe omo el so mbiguo, ver fig. 3 (triángulos ABC o AB C b) Si b α β, β no puede se obtuso luego hy un soluión y triángulo es isóseles, ver fig. 4 Si > b α > β, β no puede ser obtuso, luego tmbién hy un sol soluión, ver fig. 5 fig 4 fig 5 Note que si > b l soluión pr β > 90 es imposible, por no umplir on los dtos ddos.
Luis Zegrr. Triángulos 135 5.10. Ejeriios resueltos 1. Demuestre que todo triángulo se verifin: ) ( os β b os α) b b) b(otg α + otg β) ose α ) d) os β + os γ sen α b + sen(γ α) sen(γ β) ( ) b ( b ) e) b sen γ + β sen 1 (b + ) f ) os α + os γ b os(α γ) + g) tg β tg 1 ( α + β) h) tg α otg β b + + b (os α + os β)(os γ + 1) i) 1 + os γ os γ j ) + b b (os β + os α os γ) sen β Demostrión. ) ( os β b os α) os α) os β b os α ( bos γ) b(b os γ) b os γ b + b os γ b b)
Luis Zegrr. Triángulos 136 b(otg α + otg β) b os α sen α + b os β sen β os β sen α sen α os β ( + b os β os β + b os β sen β sen α sen α sen β sen α ) b ose α sen β sen α ) os α+os β sen γ α+β os os α β sen γ sen γ α β os sen γ os γ α β os sen γ os γ α+β sen os α β sen γ d) sen α+sen β sen γ sen(γ α) sen(γ β) sen α + sen β +b sen γ sen γ sen γ os α sen α os γ sen γ os β sen β os γ sen α sen β ( sen γ sen α ( sen γ os α os γ os β b os γ b os α os γ) sen β os β os γ ) b +b b b +b b b os γ os γ b os γ b os γ b ( ) ( b ) os α os γ os β os γ b e) b sen γ + sen β b ( 1 os γ ) ( + 1 os β ) 1(b + (b os γ + os β)) 1 (b + ) f ) Por el teorem de ls proyeiones b os α os β b os γ os β multiplindo miembro miembro b os α os γ ( + )osβ + os β (1)
Luis Zegrr. Triángulos 137 por otr prte del Teorem del seno, se tiene b sen α sen β b sen γ sen β de donde b sen α sen γ sen β sumndo on (1) b (os α os γ + sen α sen γ) ( + )os β b os(α γ) 1 b ( ( + )os β) () hor, nuevmente del Teorem de ls proyeiones b os γ + os β os β + b os α sumndo y ordenndo y ( + )os β b( os γ + os α) en () b os(α γ) os γ + os α. g) Por el teorem de ls tngentes se tiene + γ+α tg tg γ α tg ( π β ) tg γ α de quí + tg β otg β tg β tg( γ α ) otg ( γ α tg ( π γ + ) α pero π γ α + β ) ( tg π ( γ )) α h) tg ( α + β + ) α tg 1(α + β) + b b + os β os β b os α b os α sen α os β sen β os α tg α otg β
Luis Zegrr. Triángulos 138 i) (os α+os β)(os γ+1) 1+os γ os γ α+β os os α β (os γ+1) ( os γ+1)(1 os γ) sen γ α β os sen γ os γ α β os sen γ os γ α+β sen os α β sen γ sen α+sen β sen γ +b j ) b (os β + os α os γ) b ( os β + 1 {os(α + γ) + os(α γ)}) b ( os β + 1 {os(π β) + os(α γ)}) b (os β + os(α γ)) b β+α γ os os β α+γ b os ( π γ) os ( π α) b sen γ sen α bsen γ bsen α sen β sen β sen β.. Si en un triángulo tg α, tg β, tg γ estn en progresión rmóni, demuéstrese que, b, están en progresión ritméti. Demostrión. tg α, tg β, tg γ en P.H. 1, 1, 1 tg α tg β tg γ estn en progresión ritméti y de quí otg α, otg β, otg γ en P.A.
Luis Zegrr. Triángulos 139 otg β otg α + otg γ os β sen β os α sen γ+sen α os γ sen α sen γ os β sen β sen β sen α sen γ sen(γ+α) sen α sen γ sen β os β sen β sen α sen γ pero el Teorem del seno y oseno se tiene: + b b b b b, b y están en progresión ritméti. 3. En un si α 45, demuéstrese que otg β + otg γ + otg β otg γ 1 Demostrión. otg β + otg γ + otg β otg γ sen γ os β+sen β os γ sen β sen γ + os β os γ sen β sen γ 1 + sen(γ+β) sen β sen γ os β os γ sen β sen γ + ; γ + β π α sen β sen γ 1 + sen α sen β sen γ + os(β+γ) sen β sen γ 1 + sen α + sen β sen γ osα senβ sen γ pero: α 45 y omo sen 45 os 45, entones result lo pedido. Un soluión lterntiv result de: β + γ 135 y plir otgente. 4. Si en un triángulo se verifi sen(γ β) sen(γ + β) b + b demuestre que el triángulo es isóseles o retángulo.
Luis Zegrr. Triángulos 140 Demostrión. γ + β π α sen(γ + β) sen α, sí sen γ os β sen β os γ b sen α +b sen γ sen β os β os γ b sen α sen α +b ( ) ( ) + b b +b b de quí se lleg : b b +b b +b Si b l relión se umple y el es isóseles. Si b + b y el es retángulo. 5. En un triángulo si tg α, demuestre que el triángulo es retángulo. b + Demostrión. sen α os α sen α os α sen α sen β+sen γ sen α os α sen β+γ os β γ pero sen β+γ sen ( π ) α sen ( π ) α os β γ os α os α os β γ os α os β γ os α de donde β γ α α β γ pero α + β + γ π π β γ β γ β π el es retángulo. 6. Demuestre que en todo triángulo si
Luis Zegrr. Triángulos 141 el triángulo es retángulo. Demostrión. sen β se(γ α) otg α tg(γ α) sen β os(γ α) os α sen(γ α) sen α os(γ α) sen β+sen(γ α) os(γ α) os α sen α sen β+γ α os β γ+α os(γ α) os α sen ( π α) os ( π γ) sen α os(γ α) os α sen α sen γ sen α os(γ α) sen γ sen α os γ os α + sen γ sen α os γ os α sen γ sen α 0 os(γ + α) 0 de quí γ + α π el triángulo es retángulo. 7. Demostrr que si en un triángulo ABC se umple que b 3 + 3 3 b + y sen β sen γ 3 4 entones el triángulo es equilátero. Demostrión. De b3 + 3 3 b+ b 3 + 3 (b + ) (b + )(b b + ) (b + ) pero b + > 0 b + b por el Teorem del oseno se tiene
Luis Zegrr. Triángulos 14 b os α b os α 1 α π 3 De sen β sen γ 3 4 1 [os(β + γ) os(β γ)] 3 4 os(β γ) os(π α) 3 os(β γ) + os α 3 os(β γ) 1 β γ 0 β γ y omo α + β + γ π α β γ π 3 el triángulo es equilátero. 8. Demuestre que en ulquier triángulo Demostrión. b os β + os γ + os γ + os α + b os α + os β 0 Por el Teorem del seno b k sen β k sen γ, k te. b k (sen β sen γ) k (os γ os β) os β+os γ os β+os γ os β+os γ k (os γ os β), nálogmente os γ+os α k (os α os γ) y b os α+os β k (os β os α) luego b os β+os γ + os γ+os α + b os α+os β k (os γ os β + os α os γ + os β os α) 0 9. Si los ldos de un retángulo son os α + os β + os(α + β) y sen α + sen β + sen(α + β)
Luis Zegrr. Triángulos 143 demuestre que l hipotenus es 4 os α β Demostrión. os α + os β + os(α + β) os(α + β) os(α β) + os(α + β) os(α + β)(os(α β) + 1) por otr prte; sen α + sen β + sen(α + β) sen(α + β) os(α β) + sen(α + β) sen(α + β)(os(α β) + 1), hor por Pitágors 4(os(α β) + 1) (os (α + β) + sen (α + β)) 4(os(α β) + 1) l hipotenus es l ríz udrd de est últim expresión es deir: (os(α β) + 1) 4 os α β 10. Demostrr que en todo triángulo se verifi sen(β γ) sen α + b sen(γ α) sen β + sen(α β sen γ 0 Demostrión. sen α pero sen(β γ) + b sen α b sen β bsen(γ α) + sen β sen γ K, entones sen γ sen(α β) K[ sen β os γ sen γ os β + b sen γ os α b sen α os γ + sen α os β sen β os α]
Luis Zegrr. Triángulos 144 pero nuevmente por el Teorem del seno l expresión entre préntesis se nul. 11. Demuestre que si en un triángulo se umple os α + osβ + b entones γ 60 Demostrión. os α + os β +b os α+β os α β sen α+sen β sen γ, pero α+β π γ sen γ os α β α+β sen os α β sen γ sen γ os γ sen γ os γ 4 sen γ os γ sen γ 1 4 sen γ 1 γ 30 γ 60 1. Si los ldos de un triángulo son: + 3, + 3 + 3 y +, > 0 demuestre que el ángulo myor es 10 Demostrión. Nótese que > 0 + > 0 + 3 + 3 > + 3 + 3 > 0 + 3 + 3 > + y por tnto el ldo myor result ser + 3 + 3, > 0 sí por el Teorem del oseno se tiene
Luis Zegrr. Triángulos 145 os α (+3) +( +) ( +3+3) (+3)( +) os α 3 7 6 ( +7+6) 1 13. Demostrr que todo triángulo se verifi ) sen β + b sen γ s α 10 b) b os α + os β + b os γ s ) senβ + b senα 4A s es el semiperímetro del triángulo y A su áre. Soluión. ) sen β + b sen γ 1 os β + b 1 os γ os β + b b os γ + b 1 ( os β + b os γ) + b s, s 1 ( + b + ) b) b os α + os β + b os γ 1+os α b + 1+os β + b 1+os γ 1 (b + + b + b os α + os β + b os γ) y por el Teorem del oseno 1 [ b + + b + 1 (b + ) + 1 ( + b ) + 1 ( + b ) ] 1 4 [ + b + + b + b + ] [ 1 ( + b + )] s
Luis Zegrr. Triángulos 146 ) sen β + b sen α ( sen β os β + b sen α os α) por el Teorem del seno sen β b sen α, entones sen β( os β + b os α) sen β A 4A, Are A 1 sen β. 14. Resolver los siguientes triángulos uyos dtos son ) b 3 1 y b) 3, b 3 y α 60 ) α 30, β 75 y 8 d) 7, b 8 3 y α 30 e), y β 45 f ) 1 6, b 1 6 + y γ 60 Soluión. ), b 3 1 y (Cso I) os α ( 3 1) +( ) ( 3 1) 1 α 135 os β +( ) ( 3 1) 4 por tnto γ 30 1+ 3 β 15 b) 3, b 3 y α 60 (Cso II)
Luis Zegrr. Triángulos 147 ( 3) + (3 ) 1 6 os 60 30 6 6 3.91 ) α 30, β 75 y 8 (Cso III) os β (30 6 6)+1 18 30 6 6 0.343 3 β 69.9 γ 50.08 De inmedito γ 75, sen α sen 30 8 13.57 sen γ sen 75 b sen β 8 omo er de esperr pues se trt de un triángulo sen γ isóseles. d) 7, b 8 3 y α 30 (Cso IV) b sen α 8 3 sen 30 6.98 > b sen α omo < b α es gudo, β puede ser un ángulo gudo u obtuso, de sen β 6.98 7 se obtienen β 1 81.786 o β 98.14, luego γ 1 68.14 y 1 13 γ 51.786 y 11 e) nálog b), los resultdos son b, α 90 y γ 45 (el triángulo es retángulo). f ) (Cso II) ( ) ( ) 1 6 + 1 6 1 3 β 105 y α 15 6 os 60
Luis Zegrr. Triángulos 148 15. Demuestre que si en todo triángulo se verifi os 3α + os 3β + os 3γ 1 un ángulo debe ser π 3 Demostrión. os 3(α + β) os 3 (α β) (1 os 3γ) 0 os 3 (π γ) os 3 (α β) sen 3γ 0 sen 3 γ os 3 (α β) sen 3γ 0 sen 3 γ ( os 3 (α β) + sen 3 γ) 0 sen 3 γ ( os 3 (α β) os 3 (α + β)) 0 sen 3 γ ( sen 3 α sen( 3 β)) 0 4 sen 3γ sen 3 α sen 3 β 0 de est relión se dedue que 3 γ π o 3 α π o 3 β π en uyo so γ π 3 o α π 3 o β π 3 16. En todo triángulo demuestre que si entones γ 45 o γ 135 4 + b 4 + 4 ( + b )
Luis Zegrr. Triángulos 149 Demostrión. 4 + b 4 + 4 + b 4 + b 4 + 4 b + b b ( + b ) b pero por el Teorem del oseno ( b os γ) b os γ 1 os γ ± 1 de donde γ 45 o γ 135 17. Si en un triángulo se verifi que entones es isóseles. sen α+γ sen α+β b( + ) ( + b) Demostrión. sen ( π ) β sen ( b( + ) π ) γ ( + b) os β os γ b( + ) ( + b) os β os γ b ( + ) 1 + osβ ( + b) 1 + osβ b ( + ) ( + b) por el teorem del oseno, se tiene: + + b b + b + b ( + ) ( + b) ( + ) b b( + ) ( + b) ( + b) ( + b)( + + b) ( + b )( + b + ) b( + ) ( + b) ( + b)( + b)
Luis Zegrr. Triángulos 150 b( + ) ( + b ) ( + )( + b) b( + b) b( + ) ( + b) b( + ) ( + )( + b)( b) + b(( + ) ( + b) ) 0 ( + )( + b)( b) + b( b)(b + + ) 0 ( b)[( + )( + b) + b(b + + )] 0 b 0 b note que el otro término es siempre positio, luego el es isóseles. 5.11. Ejeriios Propuestos 1. Demuestre que en todo triángulo se verifin: ) ( b )sen α os β + ( b + )sen β os α 0 b) os β b os α b ) sen β sen γ os α sen(γ β) d) b os α + os β + b os γ 0 b e) b sen γ + sen β b senα f ) b os α + os β + b os γ + b. Demuestre que si en un triángulo se verifi os α + os β + os γ entones es medio ritmétio entre b y 3. Si en un triángulo se tiene que γ 60 demuestre que 1 + + 1 b + 3 + b +
Luis Zegrr. Triángulos 151 4. Si los ldos de un triángulo retángulo son (1 + sen θ) + os θ y (1 + os θ) + sen θ demuestre que l hipotenus es 3 + (os θ + sen θ) 5. En un triángulo demuestre que si sen α sen(β γ) sen γ sen(α β) entones, b y estn en P.A. 6. En un triángulo ddos: b 4 4b + 0 y sen γ 1 resuélvse el triángulo. Respuest. α 45 β 11,5 7. En un triángulo si 00; β 45 y γ 135. Clúlese su áre. Respuest. 7071 8. Hllr el áre de triángulo uyos ldos son b +, + b, b + b Respuest. b + b +