ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να δώσετε το ορισµό της αριθµητικής προόδου. Μοάδες Να αποδείξετε οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου α και µόο α β = α + γ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, γράφοτας δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασµέη. α) Το 5 είαι µία πιθαή ακέραια ρίζα της εξίσωσης λ + 6 5 = 0, όπου λ Z. β) Υπάρχου τιµές του R έτσι, ώστε α ισχύει e < 0. γ) Α το υπόλοιπο της διαίρεσης δύο πολυωύµω είαι πολυώυµο µηδεικού βαθµού, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. δ) Η εξίσωση ηµ = α, όπου α >, έχει λύση στο R. ε) Το άθροισµα τω πρώτω όρω γεωµετρικής προόδου ( α ) µε λόγο λ= και πρώτο όρο α είαι ίσο µε S = ( α ), για κάθε * N. Μοάδες 5=0 Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας το παρακάτω πίακα και α το συµπληρώσετε έτσι, ώστε τα στοιχεία της κάθε γραµµής α είαι ίσα: ÈÅÌÁÔÁ 0 Αριθµός Με µορφή λογαρίθµου Με µορφή δύαµης (...) 8 log 7 (...) 4.. log log ( ) 8(...) 8 log(...) ln0 e =6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ Β ίεται η πολυωυµική συάρτηση Β.. Να λύσετε τη εξίσωση f () = 0. f () = +. Β.. Να λύσετε τις τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµ = α, συ = β όπου α η διπλή ρίζα της παραπάω εξίσωσης και β η άλλη ρίζα της ίδιας εξίσωσης. Β.. Β.4. ΘΕΜΑ Γ Να βρείτε τις τιµές του R έτσι, ώστε η γραφική παράσταση της f, α µη είαι πάω από το άξοα τω. Μοάδες 8 Να γράψετε τη ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης f ( ) : ( ) +. Μοάδες 5 ίοται οι συαρτήσεις f () = α + β + γ και g() = ηµ + α + β+ γ, όπου α, β, γ θετικοί πραγµατικοί αριθµοί και ln α, ln β, ln γ διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Γ.. Να δείξετε ότι η συάρτηση h() = ln(f ()), έχει πεδίο ορισµού το R. Μοάδες 5 ln Γ.. Έστω γεωµετρική πρόοδος (α ) µε α = α = ln e, α = e β log και α = 0 γ και α 5 = 56 α) Να βρείτε τους αριθµούς α, β και γ. β) Για α=, β=4 και γ=6 α λύσετε τη εξίσωση f ( συ ) = g(), στο διάστηµα (0,4 π ]. Μοάδες 8 ÈÅÌÁÔÁ 0 Γ.. Έστω αριθµητική πρόοδος ( β ) µε θετική διαφορά ω και µε β, β τις λύσεις της εξίσωσης f ( συ ) = g(), στο διάστηµα (0,4 π ].Α το άθροισµα τω πρώτω όρω της αριθµητικής προόδου ( β ) είαι ίσο µε 550π, α βρείτε το αριθµό. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΘΕΜΑ ln ίοται οι συαρτήσεις g() = και f () =. ln ln( ).. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της g και α συγκρίετε τους αριθµούς g(),... Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f... Α κ > 4 α λύσετε τη αίσωση f (log κ ) <..4. Α το υπόλοιπο της διαίρεσης ( 7 6) : ( ) + + είαι το πολυώυµο υ () = (f ( β) ) + g( α ) + g( α ) + g( α ) +... + g( α ) ln α δείξετε ότι α + = e β ln, όπου α αήκει στο πεδίο ορισµού της g και β αήκει στο πεδίο ορισµού της f. Μοάδες 7 Σας ευχόµαστε επιτυχία 0 0 ÈÅÌÁÔÁ 0 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α.. Έστω η πολυωυµική εξίσωση ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ α +α +...+α +α =0, µε ακέραιους - - 0 συτελεστές. Α ο ακέραιος ρ 0 είαι ρίζα της εξίσωσης, α αποδείξετε ότι ο ρ είαι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. (8 Μόρια) Α.. Α α > 0 µε α τότε για οποιουσδήποτε θ, θ > 0 α γράψετε τα θ ααπτύγµατα τω τύπω log α θ ιδιότητες τω λογαρίθµω. και ( ) Α.. Τι γωρίζετε για τη µοοτοία της συάρτησης ( ) Α.4. log α θθ χρησιµοποιώτας τις ÈÅÌÁÔÁ 0 f =α, 0<α. ( Μόρια) ( Μόρια) Να γράψετε στο τετράδιό σας για κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. α. Η συάρτηση f( ) ( ) Α: : 45 = ηµ 0 έχει περίοδο : π T = π + 4 Β: T = π Γ: T = -π π T = Ε: 45 Τ = 0 β. Το άθροισµα τω συτελεστώ του πολυωύµου ( ) ( ) 5 4 5 P 4 = + + είαι : 5 Α: + 4 Β: Γ: : 5 Ε. καέα από τα προηγούµεα. ( Μόρια) ( Μόρια) Οµοσποδία Εκπαιδευτικώ Φροτιστώ Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 A.5. ΘΕΜΑ B γ. Α S συµβολίζει το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας γεωµετρικής προόδου (α ) µε λόγο λ και πρώτο όρο α, τότε είαι : λ Α: S =α λ : S =α λ λ Β: S =α λ λ Ε: καέα από τα προηγούµεα αλ Γ: S = λ ( Μόρια) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Κάθε σταθερό µη µηδεικό πολυώυµο είαι µηδεικού βαθµού. ( Μόρια) β. Η συάρτηση f µε τύπο f( ) γ. Η συάρτηση f µε τύπο ( ) ίεται η συάρτηση ( ) γησίως αύξουσα στο R, ότα = εϕ είαι περιοδική µε περίοδο T =. π ( Μόρια) f = α β όπου α>0, β>0 µε α, β είαι α <. β ( Μόρια) β f =α συ (), όπου β<0 και α R. Α γωρίζετε ότι 4π A 0,β+5, και Β,4β β η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σηµεία ( ) τότε: Β.. Να αποδείξετε ότι α= 4 και β=. Β.. Β.. (7 Μόρια) ÈÅÌÁÔÁ 0 Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συάρτησης f µε τη ευθεία y=4 στο διάστηµα [0,π]. (7 Μόρια) Να βρείτε τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή της συάρτησης f καθώς και τη περίοδό της. (6 Μόρια) Οµοσποδία Εκπαιδευτικώ Φροτιστώ Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 0 Β.4. Να βρείτε τη τιµή τω παραστάσεω f( 4π) ΘΕΜΑ Γ 00 f 0 Β = f 0 + 4 f 0 ( ) ( ) ( ) ίεται πολυώυµο αριθµοί. Α η διαίρεση του ( ) του για = είαι 0, τότε: 4 Γ.. Να βρείτε τις τιµές τωα, β R. Γ.. Για τις τιµές α= 5 και β= 0, ΘΕΜΑ π Α = f και (5 Μόρια) P()= +α 7 +β+, όπου α και β είαι πραγµατικοί P δια δίει υπόλοιπο και η αριθµητική τιµή (7 Μόρια) α. Να βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q()= + και α γράψετε το P() µε τη βοήθεια της ταυτότητας ευκλείδειας διαίρεσης. (6 Μόρια) P =υ,όπου υ() το υπόλοιπο της β. Να λύσετε τη εξίσωση ( ) ( ) διαίρεσης του P() δια Q( ). (7 Μόρια) γ. Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωυµικής συάρτησης Q() βρίσκεται πάω από το άξοα. (5 Μόρια) ίεται η συάρτηση ( ).... 4 f = ln 4 +. Να ορίσετε το πεδίο ορισµού της συάρτησης f και α αποδείξετε ότι γραφική της παράσταση διέρχεται από τη αρχή τω αξόω. (5 Μόρια) ÈÅÌÁÔÁ 0 Να υπολογίσετε η τιµή της παράστασης ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A= f + f + f + f 0 + f + f + f.. Να λύσετε τη αίσωση f( ) f( ) < ln..4. Να λύσετε τη εξίσωση f( ) f( ) e + = 4e. (6 Μόρια) (7 Μόρια) (7 Μόρια) Οµοσποδία Εκπαιδευτικώ Φροτιστώ Ελλάδος (ΟΕΦΕ)
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 B' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Α α, β είαι δύο γωίες για τις οποίες ισχύει συα 0, συβ 0 και συ α+ β 0 α αποδείξετε ότι: Α.. ( ) εφ εφα + εφβ + =. εφα εφβ ( α β ) Μοάδες 0 Σε µία αριθµητική πρόοδο (α ) α γράψετε το τύπο που δίει το ιοστό όρο α που έχει πρώτο όρο α και διαφορά ω καθώς και το τύπο του αθροίσµατος τω πρώτω όρω. Μοάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση. ΘΕΜΑ ο ο ο ο ο i. συ60 συ0 + ηµ60 ηµ0 =. 00 ii. Το πολυώυµο P( ) = ( + ) + + έχει σταθερό όρο. iii. Εά α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι οποιασδήποτε αριθµητικής προόδου, τότε ισχύει β =αγ. iv. e = θ ln θ =, θ > 0. v. Α α > 0 µε α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ > 0 ισχύει logαθ logαθ logαθ logαθ =. Μοάδες 0 ίεται το πολυώυµο Q( ) = +. ÈÅÌÁÔÁ 00 P( ) α β µε α, β R = + + και το πολυώυµο α) Να βρεθού α, β R α η αριθµητική τιµή του P( ) για = είαι 8 και έχει παράγοτα το +. Μοάδες 0
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 00 β) Α α = και β =, α βρείτε το πηλίκο Π() της διαίρεσης του P() δια του Q( ) και α γράψετε το P() µε τη ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. Μοάδες 8 γ) Να λύσετε τη εξίσωση P( ) = Q( ). ΘΕΜΑ ο Α. α) Να λύσετε τη εξίσωση ηµ συ = 0 (). Μοάδες 7 Μοάδες 9 β) Να αποδείξετε ότι οι λύσεις της () στο διάστηµα [ 0,π ] είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Μοάδες 8 4συα + συ4α Β. Να αποδείξετε ότι + 4συα + συ4α ορίζεται η ισότητα. ΘΕΜΑ 4 ο Α. ίεται η συάρτηση ϕ ( ) ( + ) 4 = εφα ln =, για >. ln i. Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης L = ϕ ϕ ϕ 4... ϕ 6 + 004 ( ) ( ) ( ) ( ) ii. Να λυθεί η αίσωση ϕ ( ) > ϕ ( ) ( ) B. ίεται η συάρτηση ( ) ln ( ) f = e e + e + e. i. Για ποιες τιµές του, µε > 0 ορίζεται η συάρτηση f. ii. Να λυθεί η εξίσωση f ( ln ) ln ( ) = για κάθε > e για όλες τις τιµές του α που Μοάδες 8 Μοάδες 7 ÈÅÌÁÔÁ 00
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο Α.. A.. Β.. Β.. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Να αποδείξετε ότι έα πολυώυµο P() έχει παράγοτα το ρ α και µόο α, το ρ είαι ρίζα του P(), δηλαδή α και µόο α Ρ(ρ) = 0. 9 MΟΡΙΑ Πότε έα πολυώυµο λέγεται µηδεικό πολυώυµο; Πότε έα πολυώυµο λέγεται πολυώυµο µηδεικού βαθµού; MΟΡΙΑ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας γεωµετρικής προόδου α µε ( ) α λ πρώτο όρο α και λόγο λ δίεται από το τύπο Σ = λ β. Ο σταθερός όρος του πολυωύµου 009 P() = ( ) + 007 + 009 είαι 009. γ. ln0 log e Η παράσταση A= e + 0 είαι ίση µε 0+e. εφα+εφβ συ α + β 0, συα 0 και συβ 0 τότε ισχύει εφ(α-β)=. -εφα.εφβ δ. Α ( ) ε. Α η διαίρεση εός πολυωύµου P() 4 ου βαθµού δια του + δε είαι τέλεια τότε το υπόλοιπο είαι πολυώυµο το πολύ ου βαθµού. 5 MΟΡΙΑ Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. ÈÅÌÁÔÁ 009 Α το πολυώυµο Ρ() = 009 + λ - 4, όπου λ πραγµατικός αριθµός, έχει παράγοτα το, τότε το λ είαι: Α: Β: Γ: : 0 Ε: MΟΡΙΑ
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 B.. Για ποιες τιµές του α η συάρτηση f ( ) B.4. ΘΕΜΑ ο Α. α > Β. α < Γ. < α <. α < ή α > Ε. α ή α α- = α+ έχει όηµα στο R. MΟΡΙΑ Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα το αριθµό της Στήλης Β που είαι λύση της εξίσωσης της Στήλης Α. Στήλη Α Στήλη Β A. =. =9 Β. 8. =0 = 7 Γ. log=. =5. log 0,00 = - 4. =- 5. = 0 4 MΟΡΙΑ ίεται το πολυώυµο αριθµοί. α) Α ο αριθµός είαι ρίζα του πολυωύµου P() και το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωύµου P() δια του + είαι -8, α βρεθού τα α και β. 0 MΟΡΙΑ β) Για α= και P()= -(α+) +(β+)-α, όπου α και β είαι πραγµατικοί 7 β= : ÈÅÌÁÔÁ 009 i) Να λυθεί η εξίσωση P()=0. 5 MΟΡΙΑ ii) Να γίει η διαίρεση του πολυωύµου P() δια του πολυωύµου + και α γραφεί το P() µε τη ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. 5 MΟΡΙΑ iii) Να λυθεί η αίσωση P() 7+. 5 MΟΡΙΑ
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 009 ΘΕΜΑ ο A. ίεται η συάρτηση f() = συ. α) Να λυθεί η εξίσωση f ( ) + f ( ) + = 0 β) Α π = α υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης ( ) ( ) ( ) 0 0 L= +f +f +...+f 8 Β. ίεται η συάρτηση g() = ( α), R ΘΕΜΑ 4 ο 6 MΟΡΙΑ 7 MΟΡΙΑ α) Για ποιες πραγµατικές τιµές του α ορίζεται στο R η συάρτηση g και είαι γησίως φθίουσα στο πεδίο ορισµού της. 6 MΟΡΙΑ β) Για α=- α λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) ίεται η συάρτηση ln + f () = ln. g ηµ + g συ =. 6 MΟΡΙΑ α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συάρτησης f και το σηµείο τοµής της γραφικής της παράστασης µε το άξοα.. 6 MΟΡΙΑ β) Να δείξετε ότι f = f ( ) για κάθε > 0και e, e. ÈÅÌÁÔÁ 009 γ) Να λυθεί η εξίσωση f () + f = για κάθε > 0και e, e. δ) Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης 000 00 00 00 004 A=lnf(e )+lnf ( e ) +lnf ( e ) +lnf ( e ) +lnf ( e ) 6 MΟΡΙΑ 7 MΟΡΙΑ 6 MΟΡΙΑ
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α) Α α > 0 µε α, α αποδείξετε ότι για κάθε θ > 0 και κ R κ ισχύει: logα θ = κ logα θ. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 Β) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α) Για κάθε R ισχύει <. β) Το π είαι λύση της εξίσωσης συ + = ηµ. 4 γ) Η εξίσωση + + + = 0 δε έχει ακέραιες ρίζες. 5 δ) Ισχύει 5= ln e. * ε) Α (α ), v N είαι µία αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω 0, τότε ισχύει: α007 α 008 = ω. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Γ) Για τις παρακάτω ερωτήσεις α γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα, που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση, δίπλα στο αριθµό κάθε ερώτησης.. Η συάρτηση f () = α µε α > είαι : Α. γησίως αύξουσα στο R Β. σταθερή στο R Γ. γησίως φθίουσα στο R. καέα από τα προηγούµεα. Α > 0 και ισχύει ln =, τότε : 4 Α. = e Β. = e Γ. = e. = e 6 9 ÈÅÌÁÔÁ 008. Η εξίσωση ηµσυ + ηµσυ = 4, R: Α. έχει λύση το = 0 π Β. έχει λύση το = Γ. έχει λύση το = π. είαι αδύατη 4. Α το πολυώυµο P() έχει παράγοτα το, τότε έχει οπωσδήποτε παράγοτα και το Α. + Β. Γ.. καέα από τα προηγούµεα.
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 5. Οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω f () = e και g() = ln είαι συµµετρικές ως προς : Α. το άξοα y y Β. τη ευθεία y = Γ. το άξοα χ χ. τη ευθεία y = 6. Το πολυώυµο () ( ) ( ) ( ) ( ) ΘΕΜΑ ο Ρ = λ + λ + λ + λ + λ είαι το µηδεικό πολυώυµο, ότα το λ ισούται µε : Α. Β. Γ.. καέα από τα προηγούµεα. ΜΟΝΑ ΕΣ ίοται τα πολυώυµα P() = 5 +6 και F() = +5 6. α) Να λύσετε τη εξίσωση Ρ() = F() (). ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Να βρείτε το διάστηµα, που αήκει το, έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συάρτησης Ρ(), α βρίσκεται κάτω από το άξοα. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 * γ) Έστω (α ), v Nµία γεωµετρική πρόοδος µε πρώτο όρο τη µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης () και λόγο λ τη µεσαία ρίζα της (), τότε: ΘΕΜΑ ο i) Να υπολογίσετε τη τάξη του όρου της γεωµετρικής προόδου α, που ισούται µε 9. ΜΟΝΑ ΕΣ 5 α008 α005 ii) Να υπολογίσετε τη τιµή της παράστασης α α. ίεται η συάρτηση f() = ηµ4 + ηµ, µε συ 007 006 π κπ +,κ Ζ. ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ÈÅÌÁÔÁ 008 α) Να αποδείξετε ότι: f() = 8ηµ 8ηµ. β) Να λύσετε τη εξίσωση f() = 6ηµ. ΜΟΝΑ ΕΣ 9 ΜΟΝΑ ΕΣ 8
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 008 π γ) Να αποδείξετε ότι, οι αριθµοί f( ), f(0), f( π ) µε τη σειρά που δίοται 6 6 είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ΘΕΜΑ 4 ο ίεται η συάρτηση f () = ln( + α β),όπου α, β R. Α. Α π ln 6 + f ( ) ln 5 = ln π,τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α β = π. ΜΟΝΑ ΕΣ 8 β) Να λύσετε τη εξίσωση ηµ(e ) συ(e ) =. f ( ) f ( ) ΜΟΝΑ ΕΣ 5 Β. Α η γραφική παράσταση της f τέµει το άξοα χ χ στο σηµείο Α(,0), τότε: α) Να αποδείξετε ότι: α β = 0. β) Nα λύσετε τη αίσωση 6 < 4 f() ln(e ). ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΜΟΝΑ ΕΣ 4 ΜΟΝΑ ΕΣ 8 ÈÅÌÁÔÁ 008
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Θέµα ο Α. α) Για κάθε τόξο α α αποδείξετε ότι: συa = συa ηµ a = συa β) Α 0 a < και θ, θ > 0, α αποδείξετε ότι: log θθ = log θ + log θ ( ) a a a Μοάδες 7 Β. Να απατήσετε α είαι Σωστή ή Λάθος κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις:. Ισχύει ( ) P = a + a + K + a + a = για κάθε χ α και µόο α a0= a= K = a = 0. 0 0. Α το πολυώυµο P ( ) είαι βαθµού ( ) τότε το P ( ) είαι βαθµού.. Η εξίσωση συ = a έχει λύση για κάθε α. 4. Η συάρτηση ( ) = α, 0 < 0,+. f a έχει σύολο τιµώ το ( ) 5. Η συάρτηση f ( ) = ln έχει πεδίο ορισµού το ( 0,+ ). 6. Για κάθε > 0 ισχύει: ln e =. 7. Για κάθε 0 ισχύει: ln = ln. 8. Για κάθε > ισχύει: ln < 0. Θέµα ο ίεται ότι το πολυώυµο: Ρ = + a + β + 4 όπου α, β R ( ) Μοάδες ÈÅÌÁÔÁ 007 έχει παράγοτες τους +,. α) Να αποδείξετε ότι: a = και β= 0 Μοάδες 8 β) Να λύσετε τη εξίσωση Ρ = ( ) 0 Μοάδες 8
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 007 γ) Έστω C η γραφική παράσταση της συάρτησης Ρ ( ). Να βρείτε i) Τις συτεταγµέες του σηµείου στο οποίο η C τέµει το άξοα y y. Μοάδες ii) Τις τιµές του για τις οποίες η C είαι κάτω από το άξοα. Θέµα ο Έστω η αριθµητική πρόοδος ( ) π διαφορά ω= ηµ, όπου 0,. + a α) Να αποδείξετε ότι: = σϕ. a + a a µε πρώτο όρο a = συ και 4 8 β) Να αποδείξετε ότι: a + a + a +... + a = 0συ + 45ηµ 0 γ) Να λύσετε τη εξίσωση: a + a + a +... + a = 0 + 55ηµ Θέµα 4 ο 0 Έστω η συάρτηση f ( ) = ln( e ) α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f β) Να λύσετε τη εξίσωση: f = ln7+ f ( ) ( ) γ) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί f ( a ), f ( β ), f ( ) Μοάδες 9 Μοάδες 7 Μοάδες 9 Μοάδες Μοάδες 7 γ είαι διαδοχικοί ÈÅÌÁÔÁ 007 β α γ όροι Αριθµητικής προόδου α και µόο α: ( e ) = ( e ) ( e ) δ) Να αποδείξετε ότι: 0 00 0 + 00 ( ) ( ) ( ) e f + e f +... + e f = e e e Μοάδες 7 Μοάδες 8
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο Α α) Να ατιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α µε έα και µόο έα στοιχείο της στήλης Β που είαι ίσο Στήλη Α Α. εφα Β. συα Γ. συ α. ηµ(α-β) Στήλη Β.-ηµ α. συασυβ-ηµαηµβ ÈÅÌÁÔÁ 006. εφα εφ α 4. ηµασυβ-ηµβσυα 5. συα + συα 6. Μοάδες 5 β)να αποδείξετε ότι το άθροισµα τω πρώτω όρω µιας γεωµετρικής προόδου (α ) µε λόγο λ είαι Να εξετάσετε και τη περίπτωση λ= S = α λ λ Μοάδες 0 Β. α) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Η τιµή της παράστασης Α=συ64 0 συ6 0 -ηµ64 0 ηµ6 0 είαι : i) α. β. 0 γ. δ.- ii) Η τιµή της παράστασης 0 -log είαι α. β.5 γ. δ.0 Μοάδες 5
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 β) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις γράφοτας στο τετράδιό σας τη έδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί στη κάθε πρόταση: α. Α σε µια ακολουθία είαι α 0 και α α + ακολουθία (α ) είαι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ β. Ισχύει ότι: ηµ5 0 συ5 0 = γ. Ισχύει ότι: συ 0 0 -ηµ 0 0 =συ60 0 δ. log α (θ +θ )=log α θ +log α θ logα θ ε. = logα θ logα θ log θ α ΘΕΜΑ ο ÈÅÌÁÔÁ 006 = λ για κάθε * N τότε η Μοάδες 5 ίεται το πολυώυµο P()= +α +β-0 µε α,β R α) Α το πολυώυµο P() έχει παράγοτα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης µε το + είαι το -6 α αποδείξετε ότι α= και β=6 Μοάδες 8 β) Να λυθεί η εξίσωση P()=0 Μοάδες 8 γ) Να λυθεί η αίσωση P()>0 Μοάδες 9 ΘΕΜΑ ο α) Να λύσετε τη εξίσωση εφ=- β) Θεωρούµε τους θετικούς πραγµατικούς κ =κπ- π, κ=,,... Μοάδες 5 i) Να δείξετε ότι είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και α βρείτε το πρώτο όρο και τη διαφορά της Μοάδες 5 ii) Να βρείτε το κ ώστε ο αριθµός εξίσωσης 607π iii) Να υπολογίσετε το άθροισµα + +... 0 α είαι λύση της παραπάω Μοάδες 7 Μοάδες 8
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 006 ΘΕΜΑ 4 Ο Έστω η συάρτηση f()= l n, >0 α. Να λύσετε τη εξίσωση f(-ηµ)-f(συ)=f() α 0, ÈÅÌÁÔÁ 006 π 4 β. Α α>0 και f(α) + f(α )+...+f(α 00 )=5050 α αποδείξετε ότι α=e γ. Έστω α,β,γ>0. Να αποδείξετε ότι:α οι f(α), f(β), f(γ) είαι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου τότε οι α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Μοάδες 5 δ. Να λύσετε τη αίσωση f () f() + f() > 0 Μοάδες 8
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005 ε π α α λ η π τ ι κ ά θ έ µ α τ α 0 0 5 B ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο π Α. Α α, β, α + β κπ +, z κ α δειχθεί ότι εφ( α + β) Β. Το παρακάτω γράφηµα είαι της συάρτησης f συ i) f ( ) = συ + ii) f ( ) = ηµ+ iii) f ( ) = iv) f ( ) = ηµ + εφα + εφβ = εφαεφβ (Μοάδες 0) (Μοάδες 4) Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού γράφοτας στο τετράδιο σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση α. Το σύολο τιµώ της συάρτησης f ( ) = log είαι το ( 0,+ ) Q t= Q 0 e β. Η συάρτησης που εκφράζει το όµο της εκθετικής απόσβεσης είαι ( ) ct όπου c< 0. γ. Η εκθετική συάρτηση f ( ) = α, α > 0, α είαι γήσια αύξουσα ότα 0<α<. δ. Το άθροισµα τω v πρώτω όρω κάθε Γεωµετρικής Προόδου µε λ είαι v α( λ ) Sv = λ ε. Ο τύπος που υπολογίζει το ηµίτοο γωίας α από το συηµίτοο της γωίας α είαι συα ηµ + α= (Μοάδες 5) OEΦE ΘEMATA 005
Επααληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 005. Να συµπληρώσετε στο τετράδιο σας στις παρακάτω ισότητες, τα κεά που σηµειώοται µε α. συ ( α β) = όπου α, β γωίες (Μοάδες ) β. l oge ln0 = (Μοάδες ) θ γ. l og =.. θ όπου θ και θ θετικοί αριθµοί (Μοάδες ) ΘΕΜΑ ο Α. Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός α οι αριθµοί,, - είαι διαδοχικοί όροι Γεωµετρικής Προόδου. (Μοάδες 0) Β. ίεται το πολυώυµο P( ) + ( α β) ( α β) + β R α το P ( ) έχει ρίζα το και παράγοτα το + 4 =. Να βρεθού τα α και (Μοάδες 5) ΘΕΜΑ ο π ίοται οι αριθµοί α = α = συα και α = ηµ α µε α 0, α. α δειχθεί ότι α,α, α αποτελού τρεις πρώτους διαδοχικούς όρους Αριθµητικής Προόδου (Μοάδες 5) β. α βρεθεί η τιµή του α α το S 4 = όπου S 4 το άθροισµα τω 4 πρώτω όρω (Μοάδες 8) γ. α π α= α υπολογιστεί το άθροισµα S 0 τω 0 πρώτω όρω της Α.Π. 4 (Μοάδες 7) P 5 5 4 4 + (Μοάδες 5) δ. α βρεθεί ο βαθµός του πολυωύµου ( ) = S + S + S + S + S 005 ΘΕΜΑ 4ο + Έστω η συάρτηση f µε τύπο f ( ) = l n( e + + e ) OEΦE ΘEMATA 005 α. α βρεθεί το Πεδίο Ορισµού της και α δειχθεί ότι το γράφηµά της τέµει το y y στο σηµείο A( 0,+ ln) (Μοάδες 7) β. α λυθεί η εξίσωση f ( ) = (Μοάδες 0) γ. α βρεθού τα διαστήµατα που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη ευθεία y= (Μοάδες 8)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 004 Θέµατα Άλγεβρας Β Λυκείου Γεικής Παιδείας ΖΗΤΗΜΑ Ο Α. Απατήστε (χωρίς αιτιολόγηση) στα επόµεα ερωτήµατα.. ίεται η συάρτηση f ( ) = 004 συ (4 ). Γράψτε τη µέγιστη τιµή, τη ελάχιστη τιµή και τη περίοδο της συάρτησης. ( µοάδες). Α α, β δύο οµόσηµοι πραγµατικοί αριθµοί, οοµάζουµε γεωµετρικό µέσο τω α, β το αριθµό α+ β αβ ± αβ αβ ( µοάδες). Συµπληρώστε σωστά τη επόµεη πρόταση: Το σηµείο τοµής της ευθείας y= e και της γραφικής παράστασης της συάρτησης y= ( ) είαι.. e ( µοάδες) 4. Είαι σωστός ή λάθος, ο ισχυρισµός ότι «το υπόλοιπο της διαίρεσης εός πολυωύµου P( ) µε το, είαι ο αριθµός P (0)». ( µοάδες) Β. Έστω α, κ, δύο πραγµατικοί αριθµοί µε a (0,) (, + ) και k> 0.. Τι οοµάζουµε «λογάριθµο του κ ως προς βάση α»; ( µοάδα). είξτε ότι loga = 0 και log a ( µοάδες) Γ. ίεται η πολυωυµική εξίσωση α χ + α χ +... + αχ+ α0= 0, µε ακέραιους συτελεστές. Α ο ακέραιος αριθµός κ 0 είαι λύση της εξίσωσης, α δείξετε ότι το κ είαι διαιρέτης του σταθερού όρου a 0. Ισχύει το ατίστροφο; ( ικαιολογήστε τη απάτησή σας). (7 µοάδες). Να συγκριθού οι θετικοί αριθµοί, y, α είαι γωστό ότι, για a (, + ), ισχύει ln ln y ( ) > ( ). ( µοάδες) a a ÈÅÌÁÔÁ 004 ΖΗΤΗΜΑ Ο ηµθ Α. Α Α = Να δείξετε ότι Α=. (0 µοάδες) (συθ - ηµθ) Β. Να βρεθού οι πραγµατικοί αριθµοί [ 0, π] για τους οποίους: ηµ 4ηµ συ + συ = 0 (5 µοάδες)
ΖΗΤΗΜΑ Ο ίεται το πολυώυµο = + + +, µε a, b R, a 0, για το 4 P( ) ( a ) b b a οποίο είαι γωστό ότι έχει παράγοτα το ( ) και ρίζα το.. Βρείτε τους αριθµούς a, b ( µοάδες). Α a=6, b=7 και,, οι ρίζες του P( ) µε < <, δείξτε ότι οι αριθµοί,,, µε τη σειρά που ααφέροται, αποτελού διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου, εώ οι αριθµοί e, e, e, επίσης µε τη σειρά που ααφέροται, αποτελού διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. (6 µοάδες). Να βρεθού τρεις αριθµοί β, β, β εδιάµεσοι τω e και e ώστε και οι πέτε α αποτελού διαδοχικούς όρους της ίδιας Γεωµετρικής Προόδου. (8 µοάδες) ΖΗΤΗΜΑ 4 Ο Έστω, y θετικοί αριθµοί, µε.. είξτε ότι ισχύει: ln y log = log y ln (5 µοάδες) l. Α ισχύει η ισότητα ny logy 4 + 4 0 ln log = βρείτε ποια σχέση συδέει τους αριθµούς, y. (8 µοάδες) y. Α είαι y= και το y είαι λύση της εξίσωσης e y 0 = (004), α βρείτε τους αριθµούς, y. (5 µοάδες) 4. Α για το πολυώυµο P() = 4 + 4 ισχύει P(ln ), α δείξετε y e, e 6 (7 µοάδες) ότι [ ] ÈÅÌÁÔÁ 004
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 00 ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο Α Α α>0 µε α τότε για οποιουσδήποτε θ θ 0 α δείξετε ότι ισχύου :. logα(θ θ ) = logαθ + logαθ, >. logα θ κ = κ logαθ, R κ (ΜΟΝΑ ΕΣ 7,5) Α ίεται η συάρτηση f ( ) = log, ( 0, + ) Να γράψετε στο τετράδιο σας ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι σωστές και ποιες λαθασµέες α) f ( + y) = f ( ) f ( y) β) Η f είαι γησίως αύξουσα συάρτηση γ) f(e)= (ΜΟΝΑ ΕΣ 7,5) B Ατιστοιχίστε τα ούµερα της στήλης Α µε τα γράµµατα της στήλης Β ΣΤΉΛΗ Α ΣΤΉΛΗ Β. ηµα α. συα συ(-β)-ηµαηµ(-β). συ(α-β). ηµ α 4. ηµ(α-β) β. συα π π γ. ηµ ( α) συ ( α ) δ. α α ηµ συ π π ε. συ ( α) συβ ηµβ ηµ ( α) 5 συα (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) Β Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράµµα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση: Α σε τρίγωο ΑΒΓ ισχύει ηµασυβ+ηµβσυα= τότε το τρίγωο είαι ÈÅÌÁÔÁ 00 α. Οξυγώιο β. Ισόπλευρο γ. Ορθογώιο δ. Καέα από τα παραπάω. (ΜΟΝΑ ΕΣ 5)
ΘΕΜΑ Ο ίεται το πολυώυµο P( ) = (λ 4λ) + (λ λ) λ + α) Να βρείτε το βαθµό του Ρ() για τις διάφορες τιµές του λ (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) β) Για λ= α βρεθεί το Ρ() και α δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συάρτησης Ρ διέρχεται από το σηµείο (,-). (ΜΟΝΑ ΕΣ 7) ΘΕΜΑ ο γ) Να λύσετε τη αίσωση Ρ()<-. (ΜΟΝΑ ΕΣ 0) ίοται οι συαρτήσεις f ( ) = 5 log log 5 g ( ) =, ( 0,+ ) Α. Να αποδείξετε ότι:. f ( ) = g( ). f ( y) = f ( ) f ( y). f = y f ( ) f ( y) 4. ( ) = [ f() ] Ν f (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) Β. Να λύσετε τη εξίσωση: f ( ) = 5 + 4 g( ) (ΜΟΝΑ ΕΣ 8) Γ. Να λύσετε τη αίσωση: f () > f ( 4) (ΜΟΝΑ ΕΣ 9) ΘΕΜΑ 4 ο Α. Α α = lne και α 4 = ln 8+ ο πρώτος και τέταρτος όρος µιας αριθµητικής προόδου α βρεθού τα εξής.. Η διαφορά της προόδου. (ΜΟΝΑ ΕΣ ). Α S είαι το άθροισµα τω πρώτω όρω της παραπάω αριθµητικής προόδου, α v( v ) δείξετε ότι: S = + ln (ΜΟΝΑ ΕΣ 7). Να βρεθεί το πλήθος τω όρω ώστε : S =+ ln (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) Β. ίοται οι αριθµοί 6,α,α,,α -,6 ώστε α αποτελού διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. α) Να βρεθεί η διαφορά της προόδου συαρτήσει του. (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) β) Να προσδιορίσετε το αριθµό α είαι γωστό ότι ο α - είαι διπλάσιος του τέταρτου όρου της προόδου. (ΜΟΝΑ ΕΣ 5) ÈÅÌÁÔÁ 00