Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β = γ και α +β = γ και αναζητούμε το ζεύγος των αριθμών (, ) που είναι ταυτόχρονα λύση και των δύο εξισώσεων, τότε λέμε ότι έχουμε να επιλύσουμε ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και. Λύση γραμμικού συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους και ονομάζεται κάθε ζεύγος (, ) που επαληθεύει τις εξισώσεις του. Ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, επιλύεται γραφικά αλλά και αλγεβρικά. Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. Σύστημα με μοναδική λύση Αν σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο α+β=γ α +β =γ σύστημα αξόνων των δύο γραμμικών εξισώσεων ενός A(,) συστήματος και αυτές οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε λέμε ότι οι Ο(0,0) - συντεταγμένες του σημείου - αυτού είναι και η μοναδική λύση του συστήματος των δύο εξισώσεων. Αδύνατο σύστημα Αν σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων των δύο γραμμικών εξισώσεων ενός συστήματος και αυτές οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε λέμε ότι δεν έχουν κοινό σημείο, οπότε το σύστημα δεν έχει λύση επομένως είναι αδύνατο. α+β=γ - - - - α +β =γ Ο(0,0) -10

7 ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αόριστο σύστημα Αν σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων των δύο γραμμικών εξισώσεων ενός συστήματος και αυτές οι ευθείες συμπίπτουν, τότε λέμε ότι έχουν όλα τα σημεία τους κοινά, οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και επομένως είναι αόριστο. α+β=γ - - - Ο(0,0) α +β =γ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση = 5 Το σύστημα + = 1 έχει ως λύση τις συντεταγμένες του σημείου α) Α ( 3, ) β) Β (1, 1) γ) Γ (1, ) δ) Δ (, 3). ΑΠΑΝΤΗΣΗ = 5 Το σύστημα + = 1 έχει ως λύση τις συντεταγμένες του σημείου Δ (, 3) γιατί αυτές επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις του συστήματος. Πράγματι -(-3)=+3=5 και.-3=-3=1, άρα σωστό το δ.. Αν οι εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος παριστάνονται με τις ευθείες (ε 1 ) και (ε ), να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ζεύγος ευθειών της στήλης Α, το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη Β. Στήλη Α α. Οι ευθείες ε 1, ε τέμνονται. β. Οι ευθείες ε 1, ε είναι παράλληλες γ. Οι ευθείες ε 1, ε συμπίπτουν. α β γ Στήλη Β 1. Το σύστημα είναι αόριστο.. Το σύστημα έχει μία λύση. 3. Το σύστημα είναι αδύνατο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α β γ 3 1

ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 73 3. Με τη βοήθεια του σχήματος να βρείτε τη λύση σε καθένα από τα παρακάτω συστήματα. 3 = 0 3 = 0 α) β) + = + 3 = 1 = 0 = 0 γ) δ) + 3 = 1 3 = 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3 = 0 α) το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι των αριθμών (-3,-) + = γιατί οι ευθείες -3=0 και -+= τέμνονται στο σημείο (-3,-). 3 = 0 β) το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι των αριθμών (3,) γιατί οι ευθείες -3=0 και +3=1 τέμνονται στο σημείο (3,). + 3 = 1 = 0 γ) το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι των αριθμών (,0) + 3 = 1 γιατί οι ευθείες =0 και +3=1 τέμνονται στο σημείο (,0). = 0 δ) το σύστημα έχει λύση το ζευγάρι των αριθμών (0,0) γιατί 3 = 0 οι ευθείες =0 και -3=0 τέμνονται στο σημείο (0,0).

7 ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να λύσετε γραφικά τα συστήματα = 3 = 3 + = 0 α) β) γ) + = 7 + = 1 = 0 3 = 3 + = 9 = 10 δ) ε) στ) = 0 + = = 1 ΛΥΣΗ Θα παραστήσουμε γραφικά τις εξισώσεις των συστημάτων α) Η =3 είναι μια ευθεία που περνά από το σημείο (3,0) και είναι παράλληλη προς τον άξονα. Για την ευθεία +=7 έχουμε: Για = 0 τότε 0 + = 7 ή = 3,5 Για =0 τότε +. 0 = 7 ή = 7 +=7 =3 A(3,) Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(3,) άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος - (,)=(3,) - β) Η =3 είναι μια ευθεία που περνά από το σημείο (0,3) και είναι παράλληλη προς τον άξονα. Για την ευθεία -+=1 έχουμε: Για = 0 τότε -.0 + = 1 ή = 1 Για =0 τότε -+ 0 = 1 ή = -0,5 0-0,5 1 0 -+=1 =3 Α(1,3) Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(1,3) άρα η λύση του συστή 0 7 3,5 0 - -

ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 75 ματος είναι το ζεύγος (,)=(1,3) γ) Για την ευθεία +=0 έχουμε: Για = 0 τότε 0 + = 0 ή = 0 Για =1 τότε 1+ = 0 ή = -1 Για την ευθεία -=0 έχουμε: Για = 0 τότε 0 - = 0 ή = 0 Για =1 τότε 1- = 0 ή = 1 =- = -10 0 1 0-1 0 1 0 1 Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο O(0,0) άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (,)=(0,0) - δ) Για την ευθεία 3-= έχουμε: Για = 0 τότε 3.0 - = ή = - Για =1 τότε 3.1- = ή = 1 Για την ευθεία -=0 έχουμε: Για = 0 τότε 0 - = 0 ή = 0 Για =1 τότε 1- = 0 ή = 1 0 1-1 0 1 0 1 = Α(1,1) Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(1,1) άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (,)=(1,1) - ε) Για την ευθεία 3+=9 έχουμε: Για = 1 τότε 3.1 + = 9 ή = 1 Για =3 τότε 3.3+ = 9 ή = 0 1 3 1 0

7 ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Για την ευθεία += έχουμε: Για = 1 τότε.1 + = ή = 1 Για =0 τότε +.0 = ή = 3 3+=9 ή += 1 3 1 0 Παρατηρούμε οι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε Το σύστημα είναι αόριστο έχει δηλαδή άπειρες λύσεις - στ) Για την ευθεία -=10 έχουμε: Για = 0 τότε.0 - = 10 ή = -10 Για =0 τότε -0= 10 ή = 5 Για την ευθεία -=1 έχουμε: Για = 0 τότε.0 - = 1 ή = -0,5 Για =0 τότε -.0 = 1 ή = 1/ -=1 -=10 0 5-10 0 0 1/ -0,5 0 Παρατηρούμε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες οπότε Το σύστημα είναι αδύνατο - ΑΣΚΗΣΗ Να προσδιορίσετε γραφικά το πλήθος των λύσεων σε καθένα από τα παρακάτω συστήματα + = 5 3 = + = α) β) γ) + = 1 = + 3 = ΛΥΣΗ

ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 77 α) Για την ευθεία +=5 έχουμε: Για = 0 τότε.0 + = 5 ή =,5 Για =0 τότε +.0= 5 ή = 5 Για την ευθεία +=1 έχουμε: Για = 0 τότε 0 + = 1 ή = 0,5 Για =0 τότε +.0 = 1 ή = 1 0 5,5 0 0 1 0,5 0 +=5 +=1 - -10 Παρατηρούμε οι δύο ευθείες είναι παράλληλες οπότε Το σύστημα είναι αδύνατο β) Για την ευθεία -3= έχουμε: Για = -1 τότε -1-3 = ή = -1 Για =0 τότε -3.0= ή = - -1-1 0 Για την ευθεία -= έχουμε: Για = -1 τότε.(-1) - = ή = -1 Για =0 τότε -.0 = ή = -1-1 0-3= ή -= -10 Παρατηρούμε οι δύο ευθείες ταυτίζονται οπότε Το σύστημα είναι αόριστο έχει δηλαδή άπειρες λύσεις - -

7 ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ γ) Για την ευθεία += έχουμε: Για = 0 τότε 0 + = ή = Για =0 τότε +0= ή = 0 0 Για την ευθεία +3= έχουμε: Για = 0 τότε 0 +3 = ή = Για =0 τότε +3.0 = ή = 0 0 += +3= Α(0,) -10 - Ο(0,0) Παρατηρούμε ότι οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Α(0,) άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (,)=(0,) ΑΣΚΗΣΗ 3 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. Να βρείτε : α) Την αρχική ταχύτητα κάθε αυτοκινήτου. β) Σε πόσο χρόνο μετά την εκκίνησή τους τα δύο αυτοκίνητα θα έ- χουν την ίδια ταχύτητα και ποια θα είναι αυτή. ΛΥΣΗ α) Η αρχική ταχύτητα του αυτοκινήτου Α είναι 0 γιατί για t=0 είναι u=0, ενώ του αυτοκινήτου Β είναι 10 γιατί για t=0 είναι u=10 (Η πρώτη ευθεία ξεκινά από το σημείο (0,0) ενώ η δεύτερη από το (0,10) ) β) Από το σχήμα φαίνεται ότι την ίδια ταχύτητα (15 m/sec) τα δύο αυτοκίνητα θα την έχουν για t=10 sec γιατί οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο (t,u)=(10,15).

ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 79 ΑΣΚΗΣΗ Ένας φίλαθλος για να παρακολουθήσει τους αγώνες μιας ομάδας πρέπει να πληρώσει ένα ποσό και ο ίδιος έχει τις εξής δυνατότητες. - Να πληρώνει 0 ευρώ για κάθε αγώνα που παρακολουθεί. - Να πληρώσει 0 ευρώ ως αρχική συνδρομή και για κάθε αγώνα που παρακολουθεί να πληρώνει 10 ευρώ - Να πληρώσει 300 ευρώ και να παρακολουθήσει όσους αγώνες ε- πιθυμεί. Η σχέση που συνδέει το πλήθος των αγώνων που θα παρακολουθήσει ο φίλαθλος με το χρηματικό ποσό που θα πληρώσει σε κάθε περίπτωση παριστάνεται με μια από τις ευθείες ε 1, ε, ε 3. α) Να αντιστοιχίσετε κάθε περίπτωση σε μια από τις τρεις ευθείες. β ) Πόσους αγώνες πρέπει να παρακολουθήσει ένας φίλαθλος, ώστε τα χρήματα που θα πληρώσει να είναι τα ίδια στην δεύτερη και τρίτη περίπτωση ; γ) Aν ο φίλαθλος σκοπεύει να παρακολουθήσει 1 αγώνες, ποια περίπτωση είναι η πιο συμφέρουσα ; δ ) Αν κάποιος παρακολούθησε μόνο 15 αγώνες και δεν είχε επιλέξει την πιο συμφέρουσα περίπτωση, πόσα ευρώ ζημιώθηκε ; ε ) Πότε είναι πιο συμφέρουσα κάθε περίπτωση ; ΛΥΣΗ α) Εάν υποθέσουμε ότι είναι οι αγώνες και τα χρήματα που πρέπει να πληρώσει ο φίλαθλος τότε στην πρώτη περίπτωση αντιστοιχεί η ευθεία ε 1 γιατί τα χρήματα που απαιτούνται είναι =0 ή 0-=0. Στην δεύτερη περίπτωση αντιστοιχεί η ευθεία ε γιατί τα χρήματα που απαιτούνται είναι =10+0 ή 10-+0=0 και τέλος στην τρίτη περίπτωση αντιστοιχεί η ευθεία ε 3 γιατί τα χρήματα που απαιτούνται είναι =300. β) Για να είναι τα χρήματα που θα πληρώσει τα ίδια στην δεύτερη και τρίτη περίπτωση πρέπει η τιμή του να ικανοποιεί ταυτόχρονα και τις δύο εξισώσεις που αντιστοιχούν στις περιπτώσεις αυτές, δηλαδή την =300 και την =10+0. Λύνουμε το σύστημα των δύο αυτών εξισώσεων.

0 ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ = 300 = 300 ή = 10 + 0 10 + 0 = 300 Εφαρμόζουμε την μέθοδο της αντικατάστασης. Τοποθετούμε στην δεύτερη εξίσωση την τιμή = 300 = 300 του από την πρώτη εξίσωση και λύνουμε την ή εξίσωση πρώτου βαθμού που προκύπτει βρίσκοντας ότι απαιτούνται αγώνες για να είναι τα 10 = 300 0 10 = 0 χρήματα τα ίδια. = 300 = γ) Για =1 στην γραφική παράσταση υψώνουμε κάθετο στον άξονα και βλέπουμε ότι η ποιο συμφέρουσα περίπτωση είναι η δεύτερη γιατί η κάθετη αυτή τέμνει πρώτη την ευθεία που αντιστοιχεί σε αυτή την περίπτωση σε σημείο με τεταγμένη (δηλαδή το ποσό των χρημάτων) =10 ενώ μετά τέμνει την ευθεία που αντιστοιχεί στην πρώτη περίπτωση σε σημείο με τεταγμένη (δηλαδή το ποσό των χρημάτων) =0. Τέλος τέμνει τελευταία την ευθεία =300. Εδώ τον συμφέρει η δεύτερη περίπτωση, δηλαδή να πληρώσει 0 ευρώ συνδρομή και για κάθε αγώνα να δίνει 10 ευρώ. δ) Για =15 στην γραφική παράσταση υψώνουμε κάθετο στον άξονα και βλέπουμε ότι τέμνει την ευθεία 10-+0=0 σε σημείο με τεταγμένη =10 και τις ευθείες 0-=0 και =300 σε σημείο με τεταγμένη =300 οπότε η ζημιά είναι 1 =300-10=90 Ευρώ. Επομένως η πιο συμφέρουσα περίπτωση είναι η δεύτερη με 10 ευρώ. ε) Εάν δοκιμάσουμε και εμείς φέρνοντας καθέτους από το =0 και δεξιότερα στον άξονα θα διαπιστώσουμε ότι η πρώτη περίπτωση είναι συμφέρουσα μέχρι = αγώνες, η δεύτερη περίπτωση από = αγώνες μέχρι = αγώνες και τέλος η τρίτη περίπτωση είναι συμφέρουσα από = αγώνες και πάνω.