ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΡΟΪΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΓΡΩΝ ΣΕ ΚΛΙΝΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΕ ΑΠΛΕΓΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΡΟΪΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΚΩΝ ΥΓΡΩΝ ΣΕ ΚΛΙΝΙΚΑ ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΜΕ ΑΠΛΕΓΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Ε. Δ. Σκούρας, 1,2 Χ. Α. Παρασκευά, 3 Μ. Σ. Βαλαβανίδης, 4 Α. Ν. Καλαράκης, 2 Ι. Καλογήρου, 2 Κ. Μαυρίδης 2 1 Ίδρυμα Τεχνολογίας & Έρευνας (ΙΤΕ)/Ινστιτούτο Επιστημών Χημικής Μηχανικής (ΙΕΧΜΗ), Σταδίου, Πλατάνι, 26504 Πάτρα, Ελλάδα 2 ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας/Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών T.E., Μ. Αλεξάνδρου 1, 26334 Πάτρα, Ελλάδα 3 Πανεπιστήμιο Πατρών/Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Καραθεοδωρή 1, 26504 Πάτρα, Ελλάδα 4 ΤΕΙ Αθήνας/Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε., Αγ. Σπυρίδωνος, 12243 Αθήνα, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η υπολογιστική ρευστοδυναμική (CFD) αποτελεί ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα και σύγχρονα επιστημονικά αντικείμενα στη μοντελοποίηση και προσομοίωση της ροής βιολογικών υγρών (αίματος ή ούρων) σε αγγεία και αρτηρίες και την εκτίμηση των ρευστοδυναμικών παραμέτρων αυτής. Δημοσιευμένες μελέτες σε πειραματικά μοντέλα και υπολογιστικές τεχνικές σε ομοιώματα αρτηριών και πραγματικές, στενωμένες αρτηρίες καταδεικνύουν ότι οι φυσικοχημικές ιδιότητες που διέπουν την τοπική μεταφορά μάζας και την ανάπτυξη διατμητικών τάσεων στην επιφάνεια συνάφειας βιολογικού υγρού (αίματος ή ούρων) και τοιχώματος αγγείου αποτελούν σημαντικές αιμοδυναμικές παραμέτρους που επηρεάζουν τόσο την παθογένεση όσο και την εξέλιξη της αθηρωμάτωσης/στένωσης. Επίσης τονίζουν ότι οι τοπικές αιμοδυναμικές παράμετροι, που είναι ειδικές για κάθε ασθενή, θα πρέπει να χαρακτηρίζονται με ακρίβεια, ιδιαίτερα πριν από τη λήψη της ιατρικής απόφασης για θεραπευτική παρέμβαση. Προς αυτήν την κατεύθυνση είναι προφανές ότι η εφαρμογή της υπολογιστικής ρευστοδυναμικής θα πρέπει να υλοποιηθεί σε δεδομένα του ίδιου του ασθενούς και πιο συγκεκριμένα πάνω σε πραγματικές αγγειακές δομές και αθηρώματα Το παρόν έργο έχει εστιάσει στην εφαρμογή των CFD αλγορίθμων σε στενωμένες νεφρικές αρτηρίες. Στην παρούσα εργασία, η απλεγματική μέθοδος της τοπικής ταύτισης χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση των τρισδιάστατων εξισώσεων παροδικής, ασυμπίεστης, και στρωτής ροής αιμοδυναμικού ρευστού σε στενωμένες αρτηρίες. Οι ισχύουσες εξισώσεις εκφράζουν τη διατήρηση της μάζας και της ορμής, γραμμένες στη μορφή ταχύτητας-στροβιλότητας. Οι συνιστώσες της ταχύτητας προσδιορίζονται επιλύοντας ελλειπτικές εξισώσεις τύπου Poisson, ενώ η μέθοδος διόρθωσης της ταχύτητας εφαρμόζεται στις εξισώσεις ισοζυγίου ορμής ώστε να εξασφαλίζεται η συνέχεια της μάζας. Η μέθοδος προσέγγισης Μετακυλούμενων Ελαχίστων Τετραγώνων (Moving Least Squares, MLS) χρησιμοποιείται για την κατασκευή των συναρτήσεων σχήματος και τις παραγώγους των άγνωστων μεταβλητών πεδίου. Θεωρούνται τόσο 2D όσο και 3D παραδείγματα ροής. Η ευστάθεια και η ακρίβεια του προτεινόμενου συστήματος απεικονίζεται συγκριτικά με συμβατικές μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων ή πεπερασμένων διαφορών. Για τους υπολογισμούς με μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων, όπου απαιτείται, έχει χρησιμοποιηθεί το λογισμικό ANSYS CFX. Για υπολογισμούς ροής χρησιμοποιήθηκε εναλλακτικά για σύγκριση και η μέθοδος Lattice-Boltzmann προτύπου BGK μονής χαλάρωσης. Το φυσικό πρόβλημα μοντελοποιήθηκε λαμβάνοντας υπόψη σημαντικές αιμοδυναμικές παραμέτρους σχετικά με τη τοπική μεταφορά μάζας και την ανάπτυξη διατμητικών τάσεων στην επαφή βιολογικού υγρού και τοιχώματος αγγείου, οι οποίες αναλύθηκαν τόσο με απλεγματικές όσο και με τυπικές CFD μεθόδους FEM. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων ανέδειξε την ακρίβεια χρήσης αυτών των ταχύτερων -σε σχέση με τις συμβατικές- καινοτόμων υπολογιστικών μεθόδων, όπως και την αποτελεσματικότερη χρήση τους για την υπολογιστική διερεύνηση σε εύρος συνθηκών που σχετίζονται τόσο με την παθογένεση όσο και την εξέλιξη της αθηρωμάτωσης/στένωσης. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Για δεκαετίες, οι μέθοδοι των Πεπερασμένων Διαφορών, των Πεπερασμένων Όγκων και των Πεπερασμένων Στοιχείων έχουν επικρατήσει ως τα αριθμητικά σχήματα τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση πλήθους προβλημάτων, τα οποία καλύπτουν ευρεία περιοχή επιστημονικών και τεχνολογικών εφαρμογών. Μια συνήθης δυσκολία των μεθόδων αυτών προέρχεται από το χρόνο και την προσπάθεια που απαιτούνται για την διακριτοποίηση και αρίθμηση των στοιχείων του υπολογιστικού χώρου, δηλαδή αυτού που ονομάζουμε δημιουργία πλέγματος. Στο στάδιο αυτό δαπανάται συνήθως η περισσότερη προσπάθεια, ιδιαιτέρως όταν

πρόκειται για προβλήματα τριών διαστάσεων (3Δ) με υψηλές βαθμώσεις των συναρτήσεων πεδίου. Επιπλέον, αυτές οι παραδοσιακές μέθοδοι είναι συχνά πολύ αργές στη σύγκλισή τους, απαιτώντας την επίλυση χιλιάδων εξισώσεων προκειμένου να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. Τα τελευταία έτη μια καινοτόμος ομάδα τεχνικών, καλούμενες «Απλεγματικές» μέθοδοι (Meshless methods), έχει ταχύτατα αναπτυχθεί και έχουν τραβήξει την προσοχή της επιστημονικής κοινότητας. Είναι μια κατηγορία αριθμητικών τεχνικών που βασίζονται σε παρεμβολές τοπικού τύπου σε ακανόνιστα κατανεμημένες χωρικές κατανομές σημείων. Στις μεθόδους αυτές, σε καμία φάση της διαδικασίας επιλύσεως του αντίστοιχου προβλήματος, δεν απαιτείται πολυγωνοποίηση είτε του υπολογιστικού χωρίου είτε της επιφάνειάς του. Το κύριο πλεονέκτημά τους έναντι των παραδοσιακών αριθμητικών μεθόδων που βασίζονται σε πλέγματα είναι το γεγονός ότι συνήθως δεν υπάρχει ανάγκη για ύπαρξη πλέγματος και της γνώσης της συνδεσιμότητας μεταξύ γειτονικών στοιχείων, μειώνοντας έτσι την προσπάθεια που αφιερώνεται στην παραγωγή πλέγματος. Οι μέθοδοι αυτές είναι σχεδιασμένες έτσι ώστε να χειρίζονται προβλήματα με μεγάλη παραμόρφωση, κινούμενα όρια και πολύπλοκη γεωμετρία. Σήμερα υπάρχουν διαφόρων τύπων απλεγματικές μέθοδοι, όπου κάθε μία εξ αυτών παρουσιάζει πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Για τον λόγο αυτό το διεθνές ερευνητικό ενδιαφέρον εστιάζεται και στη βελτίωση των μεθόδων αυτών. Αυτές οι τεχνικές είναι υπό ανάπτυξη συνεχώς τα τελευταία χρόνια [1-4]. Για την αριθμητική επίλυση προβλημάτων ασυμπίεστης, στρωτής ροής ρευστού έχουν προταθεί διάφορες απλεγματικές μέθοδοι, λαμβάνοντας υπόψη τόσο διαφορικές (ισχυρές, strong) όσο και ολοκληρωτικές (ασθενής, weak) προσεγγίσεις [5, 6]. Πιο συγκεκριμένα, απλεγματικές μέθοδοι τοπικής ταύτισης και μέθοδοι τοπικών προσεγγίσεων Petrov-Galerkin (MLPG) [4] χρησιμοποιούνται συχνά για την επίλυση προβλημάτων ροής. Οι δύο τελευταίες μέθοδοι είναι πραγματικά απλεγματικές δεδομένου ότι δεν απαιτείται πλέγμα σε καμία φάση επίλυσης. Λίγες μελέτες επικεντρώνονται σε τρισδιάστατες ροές, και ακόμη λιγότερες σε ακανόνιστες γεωμετρίες. Στην παρούσα εργασία, η απλεγματική μέθοδος τοπικής ταύτισης χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση της τρισδιάστατης παροδικής, ασυμπίεστης, στρωτής εξίσωσης ροής του ρευστού. Οι ισχύουσες εξισώσεις, εκφράζοντας τη διατήρηση της μάζας και ορμής, όπου γραμμένο σε σκευάσματα ταχύτητας-στροβιλότητας τους. Οι συνιστώσες της ταχύτητας λυθεί χρησιμοποιώντας ένα Poisson σαν ελλειπτικές εξισώσεις, ενώ μια μέθοδο ταχύτητας-διόρθωση εφαρμόζεται για τις εξισώσεις ορμής. Για τον υπολογισμό της ροής εφαρμόστηκε και η μέθοδος Lattice-Boltzmann προτύπου BGK μονής χαλάρωσης, τετραγωνικού πλέγματος 9 ταχυτήτων (D 2 Q 9 ) σε δύο διαστάσεις και κυβικού εδροκεντρωμένου πλέγματος 15 ταχυτήτων (D 3 Q 15 ) [7]. Αποδεικνύεται ότι από τις πλεγματικές μεθόδους η μέθοδος Lattice- Boltzmann είναι προτιμητέα αφενός λόγω της ευελιξίας της αντιμετώπιση των τυχαίων γεωμετριών και αφετέρου λόγω της ταχύτερης σύγκλισης του πεδίου ροής [8, 9]. Η εργασία είναι δομημένη ως εξής. Στο επόμενο τμήμα, η προσέγγιση Κυλιόμενων Ελαχίστων Τετραγώνων (MLS) αναλύεται εν συντομία, ενώ ακολουθούν οι εξισώσεις και η διαμόρφωση της ταχύτητας-στροβιλότητας. Στο επόμενο τμήμα παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα που μελετήθηκαν. Τέλος, συμπεράσματα ολοκληρώνουν την εργασία. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΚΥΛΙΟΜΕΝΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Μεταξύ των διαθέσιμων συστημάτων απλεγματικής προσέγγισης, η μέθοδος Κυλιόμενων Ελαχίστων Τετραγώνων (MLS) [10] θεωρείται γενικά για να είναι μια από τις καλύτερες και ευρέως χρησιμοποιούμενες μεθόδους για να παρεμβάλει τυχαία δεδομένα με εύλογη ακρίβεια, λόγω της πληρότητας του, της ευστάθειάς τους και της παροχής συνεχούς λύσης σε όλο το πεδίο επίλυσης. Στο πλαίσιο της μεθόδου MLS, μια άγνωστη μεταβλητή πεδίου u(x) προσεγγίζεται από u h (x) και εκφράζεται ως h u m p i i1 T x x x p xax i (1) όπου p T (x) είναι πολυωνυμική βάση στις συναρτήσει χώρου, και m είναι ο συνολικός αριθμός όρων στη βάση (εδώ m=6 εφόσον χρησιμοποιούμε 2 ης τάξης πολυώνυμο) και α(x)=(α 1 (x), α 2 (x),, α m (x)) T είναι διάνυσμα συντελεστών. Χρησιμοποιήσαμε το πολυώνυμο μετατοπισμένης βάσης, η οποία για δισδιάστατο χωρικό πεδίο ορίζεται ως T c c c c c c c 1, x x, y y, x x, x x y y, y y T p x p x x 2 2 (2α) και για τρισδιάστατο χωρικό πεδίο:

1,,,,...,,, T T c c c c c 3 c 3 c 3 p x p x x x x y y z z x x y y z z (2β) οπου x c είναι το κέντρο του τομέα υποστήριξης (support domain) στο οποίο λαμβάνεται η προσέγγιση στο σημείο x. Ο τομέας υποστήριξης είναι ο τομέας όπου η τρέχουσα τιμή όλων των κόμβων μέσα σε αυτόν χρησιμοποιείται για να καθορίσει τις πληροφορίες στο σημείο x. Προκειμένου να προσδιοριστεί η μορφή του α(x), κατασκευάζεται ένα σταθμισμένο διακριτό σφάλμα (ορίζουσα) και ελαχιστοποιείται n T c J x wi x i - u p x x a x i i1 2 (3) u i =u(x i ) είναι η κομβική τιμή της κατά προσέγγιση συνάρτησης στο κόμβο i, n είναι ο αριθμός των κόμβων στο πεδίο υποστήριξης του υπολογιστικού σημείου που βρίσκεται στο x, και η συνάρτηση βάρους w i (x)=w(x i -x c ) κατασκευάζεται συνήθως με τέτοιο τρόπο ώστε να καθίσταται μονάδα στην περιοχή του σημείου x i,, όπου η συνάρτηση και οι παράγωγοί της είναι να υπολογιστούν, και μηδενίζεται εκτός της περιοχής υποστήριξης Ω i κόμβου i, που περιβάλλει το σημείο x i. Η επιλογή της συνάρτησης βάρους w(x-x I ) (στο παρόν έργο χρησιμοποιείται συνάρτηση βάρους τύπου Gauss [11]) επηρεάζει την προσέγγιση u h (x) σημαντικά. Με την ελαχιστοποίηση της ορίζουσας οι πίνακες A(x) και B(x) ορίζονται ως n T wj j j A x x p x p x j1 B x x p x x p x x p x w1 1 w 2 2... w n n (4) (5) Εάν ο πίνακας A(x) είναι αντιστρέψιμος, οι συντελεστές α(x) μπορούν να εκφραστούν ως 1 x x x a A B u (6) Η προσέγγιση της συνάρτησης u(x) μπορεί τώρα να γραφεί ως u h n T x xu x i1 i i u (7) όπου φ i (x) είναι η συνάρτηση σχήματος του κόμβου i, οριζόμενη ως 1 1 2 n p A B,,..., T T c x x x x x x x x (8) Η συνάρτηση σχήματος φ i (x) αναλύεται ως n n n i k kj ji ij ji j1 k1 j1 T 1 1 x p 0A xb x A xb x (9) Οι παράγωγοι της συνάρτησης σχήματος μπορούν να ληφθούν με κατάλληλη διαφόριση της Εξ. (9) ως προς τις χωρικές συντεταγμένες. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Οι εξισώσεις για ιξώδη στρωτή ροή ενός ασυμπίεστου βιορευστού βασίζονται στην διατήρηση της μάζας και της ορμής. Η αδιάστατη μορφή των εξισώσεων αυτών στη ανάλυση ταχύτητας-στροβιλότητας μπορεί να γραφτεί ως εξής: 2 u (10α) 1 2, (10β), t u u f Re

όπου u=(u,v,w) είναι οι όροι ταχύτητας, ω=(ξ,η,ζ) είναι οι όροι στροβιλότητας, Re ο αριθμός Reynolds, και Ω είναι το χωρίο υπολογισμών με σύνορο Ω. Αναζητάμε τη λύση των Εξ. (10α-β) στο χωρίο Ω που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες (σε χρόνο t=0) και τις συνοριακές συνθήκες u u0 u 2 u u 3 X a ij i0 j0 0 0 u 0 (11) σε t0. (12) i P P T T j c Περισσότερες πληροφορίες για την μέθοδο γραμμικοποίησης των όρων ταχύτητας-στροβιλότητας μπορεί να βρεθούν αλλού [11, 12]. Σε μια σύντομη περιγραφή του αλγορίθμου, η διαδικασία ακολουθεί τα εξής βήματα. Οι αρχικές τιμές ταχύτητας u (0), v (0), και w (0) χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των αρχικών συστατικών πεδίο στροβιλισμού (ξ (0),η (0,ζ (0) ) χρησιμοποιώντας τον τύπο ω (0) = u (0), Οι κλίσεις στο δεξιό μέρος της Εξ. (10α)-(10β) υπολογίζονται και οι εξισώσεις επιλύνονται για τους όρους ταχύτητας. Νε τον τρόπο αυτό, το πεδίο ταχύτητας u (*) =(u (*),v (*),w (*) )υπολογίζεται εκ νέου. Εφαρμόζεται η μέθοδος διόρθωσης της ταχύτητας Ελέγχεται η σύγκλιση του σφάλματος και η διαδικασία επίλυσης συνεχίζεται. c (13) ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στο παρόν έργο μελετήθηκε η ευστάθεια και η ακρίβεια της προτεινόμενης μεθόδου, με έμφαση στην εφαρμογή της τόσο σε κανονικές γεωμετρίες όσο και σε πλήρως ακανόνιστες. Μελετήθηκαν διδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα σταθερής ή παλμικής, ασυμπίεστης, και στρωτής ροής. Χρησιμοποιήθηκε μια τακτική κατανομή κόμβων ενσωματωμένη στη χωρική γεωμετρία, εξασφαλίζοντας τη ευστάθεια και τη ακρίβεια της μεθόδου. Η επίδραση των στενώσεων σε σωλήνα δύο διαστάσεων έχει πολλές σημαντικές εφαρμογές, ειδικά σε βιορευστά. Η μερική απόφραξη των αρτηριών λόγω στενωτικών αποθέσεων είναι μια από τις πιο συχνές ανωμαλίες στην κυκλοφορία του αίματος. Στένωση αρτηρίας προσβάλλει ασθενείς με αθηροσκληρωτική νόσο και οδηγεί σε αγγειακή υπέρταση. Στένωση συνήθως προκαλείται από το σχηματισμό πλάκας κοντά σε εισόδους αγγείων με ενδεχόμενη απόφραξη και σήμερα θεωρείται ότι είναι ένας ανεξάρτητος προγνωστικός δείκτης θνησιμότητας, ανεξάρτητα από την έκταση και τη σοβαρότητα της συστηματικής αθηροσκλήρωσης. Για τους παραπάνω λόγους, τα αποτελέσματα μιας ανάλυσης σταθερής ροής για την κατάσταση αυτή είναι ένα σημαντικό πρώτο βήμα για τη μελέτη των επιπτώσεων της αρτηριακής στένωσης στο ανθρώπινο σώμα. Είναι γνωστό ότι, εφόσον σχηματιστεί τέτοια απόφραξη, η ροή του αίματος μεταβάλλεται σημαντικά και ρευστοδυναμικοί παράγοντες διαδραματίζουν πλέον σημαντικό ρόλο καθώς η στένωση συνεχίζει να αναπτύσσεται. Στην παρούσα μελέτη, έχει θεωρηθεί ένα 2D αγγειακό μοντέλο με ενιαία στένωση (απόφραξη), όπως φαίνεται στο Σχ. 2. Τυπικό παραβολικό προφίλ ταχύτητας (u = y y 2, v = 0), θεωρήθηκε στις συνοριακές συνθήκες εισροής και εκροής, λαμβάνοντας υπόψη πλήρως ανεπτυγμένη ροή. Γεωμετρικό σχήμα έλλειψης χρησιμοποιήθηκε για την περιγράψει την στένωση και το ποσοστό μείωσης της διαμέτρου του αγγείου. Λόγω της απότομης μείωσης της διαμέτρου στην περιοχή στένωσης, τα αριθμητικά συστήματα χάνουν ευστάθεια και τείνουν να αποκλίνουν. Εδώ, η μέθοδος διόρθωσης ταχύτητα εξασφαλίζει την ικανοποίηση της εξίσωσης συνέχειας, οδηγώντας στην σύγκλιση και τη ευστάθεια του προτεινόμενου αριθμητικού συστήματος. Οι υπολογισμοί πραγματοποιούνται για διάφορους αριθμούς Reynolds και έχουν ληφθεί λύσεις σε μόνιμη κατάσταση. Τα αποτελέσματα συγκρίθηκαν με τα αποτελέσματα που προέκυψαν με την χρήση του ευρέως χρησιμοποιούμενου, εμπορικού πακέτου υπολογιστικής ρευστομηχανικής ANSYS CFX, στις ίδιες γεωμετρίες και συνθήκες.

είσοδος 0.5 1 έξοδος 1 5 5 Σχήμα. 1. Αναπαράσταση γεωμετρίας αγγείου με στένωση ορισμένη ως x 2 +4y 2 =1 Η ομοιόμορφη κατανομή κόμβων στους υπολογισμούς ήταν τύπου Ι [13], ενσωματωμένη στην ανωτέρω γεωμετρία και φαίνεται στο Σχ. 2 [14]. Η κατανομή κόμβων τύπου Ι που χρησιμοποιείται εξασφαλίζει τη σύγκλιση του διακριτού αρμονικού τελεστή. Επιπροσθέτως, θεωρήθηκε επίσης μία μη ομοιόμορφη κατανομή κόμβων. Ο συνολικός αριθμός των κόμβων για την περίπτωση του Re=750 είναι 4096. (γ) Σχήμα. 2. Δομημένη κατανομή κόμβων τύπου-i, γραμμές ροής, και (γ) ισοϋψείς στροβιλισμού, για Re=750. Η σύγκριση του μέτρου της ταχύτητας δείχνεται στο Σχ. 2, όπως υπολογίζεται με την μέθοδο τοπικής ταύτισης (MPC) και της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων (FΕΜ). Οι ισοϋψείς του μέτρου της ταχύτητας καταδεικνύουν την πολύ καλή ποιοτική συμφωνία μεταξύ των τιμών που προβλέπεται από τη FVM και τις λύσεις των MPC. Συγκεκριμένα, η απλεγματική μέθοδος MPC αποτυπώνει τη μορφοποίηση της δίνης πίσω από το εμπόδιο, με αρκετά μεγάλη ταύτιση με την μέθοδο FΕΜ. Για λόγους σύγκρισης, τα αποτελέσματα της οριζόντιας (u) συνιστώσας της ταχύτητας που λαμβάνεται με την προτεινόμενη μέθοδο και το ANSYS CFX παρουσιάζονται στο Σχ. 3. Σχήμα 3. Ισοϋψείς u-ταχύτητας για Re = 750 χρησιμοποιώντας απλεγματική μέθοδο MPC, και συμβατική μέθοδο FΕΜ. Για την ποσοτική επικύρωση της ακρίβειας της απλεγματικής μεθόδου, γίνεται περαιτέρω εστίαση και υπολογισμός των κατανομών ταχυτήτων με την απλεγματική μέθοδο και την συμβατική πλεγματική μέθοδο FEM σε τρεις κάθετες τομές λίγο πριν το εμπόδιο (x = 2), πάνω σε αυτό (x = 0), και αμέσως μετά από αυτό (x = 2). Οι κατανομές ταχύτητας δείχνουν ένα αξιοσημείωτο επίπεδο ποσοτικής συμφωνίας μεταξύ της καινοτόμας απλεγματικής και της συμβατικής πλεγματικής μεθόδου επίλυσης.

(γ) Σχήμα 4. Κατανομή u-ταχύτητας σε τρεις διατομές x=-2 x=0 και (γ) x=2 με τις μεθόδους MPC και FΕΜ. Προκειμένου να αναδειχθεί η δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου MPC σε ροές σε αυξημένους αριθμούς Reynolds, θεωρήθηκε υπόθεση με Re = 1500, Σχ. 5. Το σύνορο εκροής τώρα έχει μετατοπιστεί στη θέση x = 10 για να αναπτυχθεί πλήρως η ροή μετά τη στένωση. Σχήμα. 5. Γραμμές ροής και ισοϋψείς στροβιλισμού, για Re=1500 Για να απεικονιστεί η γενικότητα εφαρμογής του προτεινόμενου απλεγματικού σχήματος, χρησιμοποιήσαμε τυχαία (ακανόνιστη) τυχαία κατανομή κόμβων, όπως φαίνεται στο Σχ. 6. Τα αποτελέσματα που λαμβάνονται είναι σε πολύ καλή συμφωνία με εκείνα της ίδιας απλεγματικής μεθόδου με διατεταγμένη κατανομή κόμβω σε διάταξη τύπου Ι, και των αποτελεσμάτων πλεγματικών μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων. Σχήμα. 6. Τυχαία κατανομή κόμβων, και διανύσματα ταχυτήτων, για Re=750. Στη συνέχεια έγινε προσομοίωση ανακατασκευασμένων γεωμετριών πραγματικής αρτηρίας με διακλάδωση, με βάση αντίστοιχα πειράματα. Θεωρούμε χρονομεταβαλλόμενη (παλμική), στρωτή και ασυμπίεστη ροή σε μια διακλαδιζόμενη αρτηρία. Στην είσοδο της αρτηρίας θεωρείται παραβολικό προφίλ ταχύτητας (u,v)=(1-y 2,0) sin(ωt), με συχνότητα ω ίση με 75 παλμούς το λεπτό, καθώς και πλήρως ανεπτυγμένη ροή στις δύο εξόδους. Στα τοιχώματα θεωρούνται οριακές συνθήκες μη ολίσθησης. Μελέτη της σύγκλισης της λύσης πραγματοποιήθηκε για να εξασφαλίσει αριθμητική λύση ανεξάρτητη του πλήθους των κόμβων. Πλήθος 25892 κόμβων βρέθηκε ότι είναι ικανοποιητικό για τους υπολογισμούς αυτούς. Χρησιμοποιήθηκε χρονικό βήμα dt = 10-4 και τα αριθμητικά αποτελέσματα της κατάστασης μέγιστης ροής του ρευστού για Re = 200 απεικονίζονται στο Σχ. 7. Η ακρίβεια του προτεινόμενου συστήματος έχει δοκιμαστεί από τη σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων που λαμβάνονται με εκείνα που δίνονται από αλγορίθμους υπολογιστική ρευστομηχανικής με πεπερασμένα στοιχεία (ANSYS CFX).

Σχήμα 7. Κατανομή u-ταχύτητας Κατανομή v-ταχύτητας, για Re=200 Πρόβλημα ροής με στένωση στην είσοδο και διεύρυνση σε συγκεκριμένη θέση (backward facing step, BFS) μελετήθηκε ως τρισδιάστατη εφαρμογή. Το χωρικό πεδίο είναι (-5,15)x(0,1)x(-0.5,0.5), και χρησιμοποιήθηκε διατεταγμένο σύνολο κόμβων. Παλμική ροή (u,v)=(1,0) θεωρήθηκε στην είσοδο του καναλιού, και πλήρως ανεπτυγμένη ροή στην έξοδο, καθώς και συνοριακές συνθήκες μη ολίσθησης στο υπόλοιπο των τοιχωμάτων. Σχήμα 8. Διατεταγμένη κατανομή κόμβων στο χωρίο επίλυσης, διανύσματα ταχυτήτων σε y = 0.5 για Re = 75. Πραγματοποιήθηκε μελέτη της σύγκλισης για την διασφάλιση αριθμητικής λύσης ανεξάρτητης του επίπεδου διακριτοποίησης. Χρησιμοποιήθηκε τελικά ένα πλήθος 48256 κόμβων, με χρονικό βήμα ολοκλήρωσης dt=10-4. Το Σχ. 8 δείχνει τα διανύσματα ταχυτήτων σε μεσαίο επίπεδο (y = 0.5) για μόνιμη κατάσταση σε Re = 75. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μια απλεγματική μέθοδος τοπικής ταύτισης κυλούμενων ελαχίστων τετραγώνων παρουσιάζεται για την αριθμητική επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes με χρήση της διαμόρφωσης ταχύτητας-στροβιλότητας. Μια τεχνική διόρθωσης της ταχύτητας εξασφαλίζει τη ισχύ της εξίσωσης συνέχειας. Η προτεινόμενη μέθοδος, που είναι πραγματικά απλεγματική, αποφεύγει εντελώς τις χρονοβόρες διαδικασίες δημιουργίας πλέγματος και προσαρμογής του σε πολύπλοκες γεωμετρίες που διέπουν τις παραδοσιακές μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων όγκων, ενώ η εφαρμογή των συγκεκριμένων κατανομών κόμβων εξασφαλιστεί την ακρίβεια και τη σύγκλιση σε συνήθεις χωρικές διαμερίσεις. Η μέθοδος λαμβάνει αριθμητικές λύσεις χρησιμοποιώντας είτε ομοιόμορφη ή μη ομοιόμορφη κατανομή κόμβων για ένα ευρύ φάσμα αριθμών Reynolds (έως 10000). Οι αριθμητικές λύσεις των προβλημάτων αναφοράς συγκρίθηκαν με προηγούμενες εργασίες, καθώς και με τα αποτελέσματα του εξομοιωτή δικτύου-boltzmann, με εξαιρετική συμφωνία. Τα αποτελέσματα της μεθόδου τοπικής ταύτισης επίσης συγκρίθηκαν με αυτά που προκύπτουν από συμβατικές μεθόδους υπολογιστικής ρευστομηχανικής που χρησιμοποιούν πλέγμα για ακανόνιστη γεωμετρία, όπου η ακρίβεια της μεθόδου σε μέτριες διακριτοποιήσεις ήταν εμφανής. Η μέθοδος τοπικής ταύτισης με την τεχνική της διόρθωσης ταχύτητας μπορεί να επεκταθεί ευθέως σε τρισδιάστατες πολύπλοκες γεωμετρίες για προβλήματα σταθερής και μεταβατικής ροής.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ H παρούσα έρευνα έχει συγχρηματοδοτηθεί από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο - ΕΚΤ) και από εθνικούς πόρους μέσω του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» του Εθνικού Στρατηγικού Πλαισίου Αναφοράς (ΕΣΠΑ) - Ερευνητικό Χρηματοδοτούμενο Έργο: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ Επένδυση στην κοινωνία της γνώσης μέσω του Ευρωπαϊκού Κοινωνικού Ταμείου. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1]. Belytschko T., Lu Y.Y., Gu L., Int. J. Numer. Methods Eng. 37:229 (1994). [2]. Liu W.K., Jun S., Lit S., Adee J., Belytschko T., Int. J. Numer. Methods Eng. 38:1655 (1995). [3]. Oñate E., Idelsohn S., Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Sacco C., Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 139:315 (1996). [4]. Atluri S.N. and Zhu T., Comput. Mech. 22:117 (1998). [5]. Atluri S.N. and Shen S., Adv. Comput. Math. 23:73 (2005). [6]. Liu G.R. Meshfree Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, Second Edition, CRC Press: (2009). [7]. Kalarakis A.N., Burganos V.N., Payatakes A.C., Phys. Rev. E Stat. Nonlinear Soft Matter Phys. 67:167021 (2003). [8]. Michalis V.K., Kalarakis A.N., Skouras E.D., Burganos V.N., Water Resour. Res. 45 (2009). [9]. Kalarakis A.N., Bourantas G.C., Skouras E.D., Loukopoulos V.C., Burganos V.N., Int. J. Numer. Methods Fluids 70:1428 (2012). [10]. Lancaster P. and Salkauskas K., Math. Comput. 37:141 (1981). [11]. Bourantas G.C., Skouras E.D., Loukopoulos V.C., Nikiforidis G.C., CMES-Comp. Model. Eng. 64:187 (2010). [12]. Bourantas G.C. and Burganos V.N., Eng. Anal. Bound. Elem. 37:1117 (2013). [13]. Kim D.W. and Liu W.K., SIAM J. Numer. Anal. 44:515 (2006). [14]. Bourantas G.C., Skouras E.D., Nikiforidis G.C., CMES - Computer Modeling in Engineering and Sciences 43:1 (2009).