Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in Wonderland (1951), Clyde Geronimi Κάθε εξίσωση της μορφς αx βy γ με δύο αγνώστους ονομάζεται γραμμικ εξίσωση. Κάθε ζεύγος αριθμών ( xy, ) που επαληθεύει τη γραμμικ εξίσωση αx βy γ ονομάζεται λύση της εξίσωσης. Κάθε εξίσωση της μορφς αx βy γ παριστάνει μια ευθεία. Αν ένα σημείο ανκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, και αντίστροφα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, τότε το σημείο ανκει στην ευθεία αυτ. Η ευθεία y κ είναι παράλληλη στον άξονα x' x και τέμνει τον άξονα y ' y στο σημείο (0, κ ). Η ευθεία x κ είναι παράλληλη στον άξονα y ' y και τέμνει τον άξονα x' x 138

Διαγωνιστικά Mαθηματικά στο σημείο ( κ,0). Δεν αποτελεί γραφικ παράσταση συνάρτησης, καθώς στο ίδιο x αντιστοιχούν άπειρα y. Ο άξονας x' x έχει εξίσωση y 0. Ο άξονας y ' y έχει εξίσωση x 0. Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους πρώτου βαθμού αποτελείται από δύο εξισώσεις της μορφς: α x β y γ και α2x β2y γ2. 1 1 1 Ένα τέτοιο σύστημα συμβολίζεται ως εξς: α x β y γ ( Σ) α x β y γ 1 1 1 2 2 2 Αναζητούμε όλα τα ζεύγη ( xy, ) που επαληθεύουν συγχρόνως και τις δύο εξισώσεις, δηλαδ αναζητούμε την κοιν λύση τους, αν υπάρχει. Όταν δεν υπάρχει ζεύγος ( xy, ) τέτοιο ώστε να επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστματος, τότε λέμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για τη γραφικ επίλυση ενός γραμμικού συστματος της μορφς ( Σ α x β y γ ) α x β y γ μαστε ως εξς: 1 1 1 2 2 2 εργαζό- Σχεδιάζουμε σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων τις ευθείες: Τα σφάλματα κατά τη σχεδίαση δε βοηθούν στον ακριβ προσδιορισμό των λύσεων ενός συστματος γραφικά. ( ε ): α x β y γ και 1 1 1 1 ( ε ): α x β y γ. 2 2 2 2 Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο Μ ( x, y ), οι συντεταγμένες o o του σημείου αυτού θα επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις, διότι το ση- 139

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων μείο αυτό είναι κοινό και των δύο ευθειών. Επομένως το ζεύγος των συντεταγμένων του σημείου αυτού αποτελεί τη μοναδικ λύση του συστματος, δηλαδ ( xy, ) ( x, y). o o Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, δηλαδ δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, τότε το σύστημα δεν έχει λύση, δηλαδ λέμε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. Αν οι δύο ευθείες ταυτίζονται, τότε έχουν άπειρα κοινά σημεία, οι συντεταγμένες των οποίων επαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις του συστματος. Τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις και λέγεται αόριστο. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Κάθε αλγεβρικ μέθοδος για την επίλυση ενός συστματος είναι μια διαδικασία κατά την οποία το σύστημα μετατρέπεται σε ένα άλλο σύστημα, που έχει ακριβώς την ίδια λύση, δηλαδ σε ισοδύναμο σύστημα. Στο τέλος της διαδικασίας καταλγουμε στη λύση του αρχικού συστματος. Για να λύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων, ακoλουθούμε τα παρακάτω βματα: Απαλείφουμε τους παρονομαστές. 140

Διαγωνιστικά Mαθηματικά Εκτελούμε τις πράξεις σύμφωνα με την προτεραιότητα των πράξεων. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, μεταφέροντας τους άγνωστους όρους στο πρώτο μέλος και τους γνωστούς στο δεύτερο μέλος κάθε εξίσωσης. Κάνουμε αναγωγ όμοιων όρων, φροντίζοντας οι ίδιοι άγνωστοι να βρίσκονται ο ένας κάτω από τον άλλον σε κάθε εξίσωση. Λύνουμε το σύστημα ακολουθώντας μια αλγεβρικ μέθοδο επίλυσης. Η μέθοδος των αντίθετων συντελεστών Για να λύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών, ακολουθούμε τα παρακάτω βματα: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη κάθε εξίσωσης του συστματος με τον κατάλληλο αριθμό, ώστε να δημιουργηθούν αντίθετοι συντελεστές σε έναν από τους δύο αγνώστους, για να οδηγηθούμε στην απαλοιφ του. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο εξισώσεις, οπότε προκύπτει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο. Επιλύουμε την εξίσωση και έτσι βρίσκουμε την τιμ του ενός από τους δύο αγνώστους. Επιλέγουμε μία από τις δύο εξισώσεις του συστματος και αντικαθιστούμε την τιμ του αγνώστου που βρκαμε. Έτσι, βρίσκουμε την τιμ και του άλλου αγνώστου. Καταγράφουμε τη λύση του συστματος. Η μέθοδος της αντικατάστασης Για να λύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της αντικατάστασης, ακολουθούμε τα παρακάτω βματα: Επιλύουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις του συστματος ως προς έναν άγνωστο. Ο άγνωστος τον οποίο προτιμάμε είναι αυτός που έχει τον μικρότερο συντελεστ. Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση την τιμ του αγνώστου που βρκαμε στο προηγούμενο βμα και δημιουργούμε εξίσωση με έναν άγνωστο. 141

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων Επιλύουμε την εξίσωση και υπολογίζουμε την τιμ του αγνώστου. Αντικαθιστώντας την τιμ του αγνώστου στην αρχικ εξίσωση, υπολογίζουμε και τον άλλο άγνωστο. Καταγράφουμε τη λύση του συστματος. Η μέθοδος της σύγκρισης Για να λύσουμε αλγεβρικά ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο της σύγκρισης, ακολουθούμε τα παρακάτω βματα: Λύνουμε και τις δύο εξισώσεις του συστματος ως προς τον ίδιο άγνωστο. Εφόσον τα πρώτα μέλη των εξισώσεων που δημιουργσαμε είναι ίσα, μπορούμε να εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη έτσι ώστε να δημιουργηθεί μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο. Επιλύουμε την εξίσωση και υπολογίζουμε την τιμ του αγνώστου. Κρατάμε μία από τις δύο εξισώσεις που δημιουργσαμε στο πρώτο βμα και αντικαθιστούμε σε αυτν την τιμ του αγνώστου που βρκαμε. Έτσι, υπολογίζουμε την τιμ του άλλου αγνώστου. Καταγράφουμε τη λύση του συστματος. Συστματα μη γραμμικών εξισώσεων Ένα σύστημα στο οποίο η μία από τις δύο εξισώσεις έχει άγνωστο υψωμένο σε μια δύναμη υπάρχει γινόμενο πηλίκο μεταξύ των αγνώστων, ενώ η άλλη εξίσωση είναι γραμμικ, ονομάζεται σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων. Για την επίλυση ενός τέτοιου συστματος χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης. 142

Διαγωνιστικά Mαθηματικά Λυμένα Παραδείγματα Παράδειγμα 6.1 Να βρεθεί η τιμ του λ και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη ευθεία σε κάθε περίπτωση, ώστε η ευθεία 2λ1x7λy 13να είναι: α. παράλληλη στον άξονα x' x, β. παράλληλη στον άξονα y ' y. α. Για να είναι η ευθεία παράλληλη στον άξονα x' x, πρέπει 2λ10 λ. Για αυτ 1 2 την τιμ του λ η εξίσωση της ευθείας γίνεται 7 y 13 y 13 y 2. 2 1 13 2 β. Για να είναι η ευθεία παράλληλη στον άξονα y ' y, πρέπει 7λ 0 λ 7. Για αυτ την τιμ του λ η εξίσωση της ευθείας γίνεται: 27 1x 13 13x 13 x 1. Παράδειγμα 6.2 3x6y 3 Να λυθεί το σύστημα και με τις τρεις μεθόδους. x 2y 4 143

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών Μέθοδος της αντικατάστασης Μέθοδος της σύγκρισης 3x6y 3 x 2y 4 3x6y 3 x 2y 4 3x6y 3 x 2y 4 3x6y 3 x2y 4 3 3x6y 3 3x 6y 12 3x3x6y6y 312 0x0y 15 0 15. Το σύστημα είναι αδύνατο. 3x6y 3 x 2y 4 32 y46y 3 x 2y4 6y126y 3 x 2y4 0y 123 x 2y 4 0y 15 x 2y 4. Το σύστημα είναι αδύνατο. 3x 6y3 x 2y 4 6y 3 x 3 x 2y4 x 2y1 x 2y 4 x 2y1 2y12y4 x 2y1 1 4. Το σύστημα είναι αδύνατο. Παράδειγμα 6.3 ( α 5) x y 5 Να βρεθούν οι τιμές των α και β αν το σύστημα έχει μονα- αxβ2y 0 δικ λύση το ζεύγος xy, 1,1. Το ζεύγος xy, 1,1 θα επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις του συστματος, καθώς είναι λύση του: 144

Διαγωνιστικά Mαθηματικά β ( α 5) 1 15 α515 α 1 α 1 2 10 α β20 α β 2 α 1 α 1 1 β 2 β 3 Επομένως για αβ, 1,3 το σύστημα έχει μοναδικ λύση το ζεύγος xy, 1,1. Παράδειγμα 6.4 7x2y 20 Να βρεθούν οι τιμές των α και β αν το σύστημα ( α2) xβ1y 40 έχει άπειρες λύσεις. Εφαρμόζοντας τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών έχουμε: 7x2y 20 7x2y 20 2 ( α2) xβ1y 40 ( α2) xβ1y 40 1 14x4y 40 ( α 2) x β 1y 40 α β α β 16 αx5 βy 0. 14x 2 x4y 1 y 0 142 x 4 1 y 0 Εφόσον το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, πρέπει 16α 0 και 5 β 0, επομένως α 16 και β 5. Παράδειγμα 6.5 Δίνονται τα συστματα: Σ 1 x y yx 7 2 3 6 x y y x 14 5 3 15 και Σ 2 α x α β 5 10 y 17 αx7 βy112αx6βx Να βρεθούν οι τιμές των α και β, αν τα δύο συστματα είναι ισοδύναμα. 145

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων Εφόσον τα συστματα είναι ισοδύναμα, λύνουμε το πρώτο και αντικαθιστούμε τις τιμές των x και y στο δεύτερο: x y yx 7 6 2 3 6 3x y2yx7 x y yx 14 3x y5yx14 15 5 3 15 3x3y2x2y 7 5x y 7 8 3x3y5x5y 14 2x8y 14 40x8y 56 2x 8y 14 x 1 και y 2. 42x 42 Για x 1 και y 2 α51α β102 17 α52α2β2017 α17 β2112α16β1 α 7 2β 11 2α 6β 0 3α2β 2 1 3α2β 2 3α4β 4 3α4β 4 β 1 και α 0. 2β 2 Παράδειγμα 6.6 1 4 0 Να λύσετε το σύστημα x y 2x y xy Πρέπει x 0 και y 0. Κάνοντας απαλοιφ παρονομαστών στην πρώτη εξίσωση έχουμε: 1 4 1 4 0 0 xy xy 1 xy 4 0 x y x y x y 2x y xy 2x y xy 2x y xy 146

Διαγωνιστικά Mαθηματικά y4x 0 y 4x y 4x 2x yxy 0 2x yxy 0 2x4xx4x0 y 4x y 4x y 4x y 4x 2 2 2x4x4x 0 4x 2x 0 2xx10 x 0 x 1 Tο x 0 απορρίπτεται. Άρα η λύση του συστματος είναι το ζεύγος xy, 1,4. Παράδειγμα 6.7 3 ( x 2) ( y 1) 2 Να λύσετε το σύστημα 2 2 x y 6 Το σύστημα θα λυθεί με τη μέθοδο της αντικατάστασης. Έχουμε: 3 3 ( x2) ( y1) 2 2 ( x2) 2( y1) 22 2 2 2 2 x y 6 x y 6 3( x2) 2( y1) 4 3x6 2y2 4 2y 4 8 3x 2 2 2 x y 6 x y 6 x y 6 3 3 3 3 y 6 x y 6 x y y 6 x 2 6 x 2 2 2 2 2 3 2 3 x y 6 x 6 x 6 x x 0 3 x x 0 2 2 2 3 y 6 x 2 3 x 0 x 2 Άρα οι λύσεις του συστματος είναι τα ζεύγη xy, 0,6και, 3 33 xy, 2 4. 147

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ Να χαρακτηρίσετε ως σωστ (Σ) λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις επόμενες προτάσεις: 1. Η εξίσωση y 2 παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα y ' y. 2. Η ευθεία 5x3y 8διέρχεται από το σημείο 1,1. ax βy γ 3. Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. 2αx2βy 2γ 4. Αν δύο ευθείες είναι κάθετες, τότε το σύστημα των εξισώσεών τους είναι αόριστο. 5. Οι ευθείες ε 1 :6x2y 24και ε 2 :2x3y 19 τέμνονται στο σημείο 5,3. 6. Όταν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων είναι αδύνατο, οι ευθείες που το αποτελούν είναι παράλληλες. 3x6y 3 7. Αν για το σύστημα εφαρμόσουμε τη μέθοδο των αντίθετων x 2y 4 συντελεστών, τότε προκύπτει η εξίσωση 6x 12. 8. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (3,3) και Β (6,2) είναι 1 y x 4. 3 9. Αν για δύο αριθμούς γνωρίζουμε ότι έχουν άθροισμα 15, ενώ το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι 117, τότε βρίσκουμε ότι αυτοί οι αριθμοί είναι ο αριθμός 9 και ο αριθμός 6. 10. Οι πραγματικοί αριθμοί α και β, ώστε η εξίσωση x α 2 α 4 x 2 β 4 0 να έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και 3, είναι ίσοι με 1 και 6 αντίστοιχα. 148

Διαγωνιστικά Mαθηματικά 14ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Θέμα 1ο Να λύσετε το σύστημα: x y x y 2 5 0 x y 2 Θέμα 2ο Δίνονται οι ευθείες ε 1 : x2y 5, 2 :3x y 1 ε3 : λ 7λ1 x3λy 1, οι οποίες διέρχονται από το ίδιο σημείο. Εφόσον βρείτε το σημείο τομς των τριών ευθειών, να βρείτε τις τιμές του λ. 2 ε και Θέμα 3ο Κατά τη διάρκεια των φιλικών παιχνιδιών, οι Αετοί κέρδισαν το 45% των αγώνων μπάσκετ. Κατά τη διάρκεια της κανονικς περιόδου του πρωταθλματος, οι Αετοί κέρδισαν 6 ακόμα αγώνες και έχασαν 2 αγώνες, ενώ τελειώνοντας τη σεζόν είχαν κερδίσει τους μισούς από τους αγώνες. Σε πόσους αγώνες έπαιξαν συνολικά οι Αετοί; (American Mathematics Contest, 2007) Θέμα 4ο Να βρείτε την εξίσωση της παραβολς που διέρχεται από τα σημεία Α(0,3) και Β (1, 0) και έχει κορυφ το σημείο Κ( 1,2). 149

6 Συστματα γραμμικών εξισώσεων 15ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Θέμα 1ο Ένας ζωολογικός κπος έχει ένα πλθος από δίποδα πουλιά και ένα πλθος από τετράποδα θηλαστικά. Σε μια επίσκεψη στον ζωολογικό κπο, η Μαργαρίτα μέτρησε 200 κεφάλια και 522 πόδια. Πόσα από τα ζώα που μέτρησε η Μαργαρίτα ταν δίποδα πουλιά; (American Mathematics Contest, 2012) Θέμα 2ο Να βρεθούν οι τιμές των αριθμών α και β ώστε η εξίσωση α 7β x 2α 7β 3 7 να είναι αόριστη. Θέμα 3ο Να λύσετε το σύστημα: 1 1 14 x y 2y 5x 55 xy Θέμα 4ο Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: 3 z 2y 3 x 2z 3 y 2x x 1, y 2, z 3. y z z x x y (EME, 2014) 150