Ηλεκτροτεχνία 3 ο εξάμηνο Σ λή Ν ώ Μ λό Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ
Ενότητες που καλύφθηκαν Σήματα και Συστήματα Ηλεκτρικά μεγέθη Ηλεκτρικά στοιχεία και κυκλώματα Επίλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων Ημιτονική Μόνιμη Κατάσταση Μεγέθη Ισχύος Τριφασικά Κυκλώματα ΜΟνοφασικά ισοδύναμα κυκλώματα Μετασχηματισμός Laplace Κίνδυνοι από ηλεκτρικό ρεύμα Κανόνες Ασφαλείας
Σήματα και Συστήματα Σήμα : χρονοσυνάρτηση xf() ανεξάρτητη μεταβλητή ο χρόνος Σύστημα : πεπλεγμένη χρονοσυνάρτηση yg(x()) x(): είσοδος ή διέγερση y(): έξοδος ή απόκριση Σήμα εισόδου x Σύστημα f(x) Σήμα εξόδου y και πολλές μεταβλητές στην είσοδο (διεγέρσεις) έ και έξοδο (αποκρίσεις) ί
Σήματα και Συστήματα Αναλογικό σήμα Ψηφιακό Σήμα (α) Περιοδικό σήμα f(+t)f() Άρτιο Σήμα f(-)f() Περιττό Σήμα f(-) - f() (β) r() Μαθηματική έκφραση Αναρρίχησης ης (ράμπα) μ Ramp funcion 0, < 0 r( ), 0
Σήματα και Συστήματα Βηματική Sep funcion u() Μαθηματική έκφραση 0, < 0 u( ), 0?, 0 0 + d u ( ) r( ) d r( ) u(τ ) dτ Κρουστική (δ) Impulse, Dirac, δ- δ() Μαθηματική έκφραση 0, < 0 δ ( ) 0, > 0?, 0 0 + + δ ( ) d d δ ( ) u( ) d u( ) δ ( τ ) dτ
Σήματα και Συστήματα Ημιτονοειδής f() Μαθηματική έκφραση A Τ f() Α sin( π + ϕ) Τ Ορθογωνικός παλμός P() Μαθηματική έκφραση P( ) u( τ) u( τ ), P( ) 0 τ τ < τ, > τ τ τ
Σήματα και Συστήματα Τριγωνικό σήμα < < T T T T A T T A f / ), / 4 ( / 0 ), 4 ( ) ( Τετραγωνικό σήμα f() T Τετραγωνικό σήμα f() A < + T A f / 0, ) ( Τ < T T A f /, ) ( Ενεργός Τιμή (rms) Ε δ ύ ή T d f ) ( fˆ Ενδεικνύμενη τιμή (ένδειξη μετρητικών οργάνων) d f T 0 ) ( f
Ηλεκτρικά Μεγέθη Επαναληπτικό μάθημα Ηλεκτρική τάση (διαφορά δυναμικού) v Vols Ηλεκτρικό ρεύμα i Amperes v Είσοδος + - i Έξοδος i i i + i + e v e v i s v i s - v Πηγή τάσης - Πηγή ρεύματος (έντασης)
Ηλεκτρικά Μεγέθη ιαφορικός Τελεστής D και Ολοκληρωτικός Τελεστής D - d D (.) D d Σχέσεις τάσεων-ρευμάτων Ν. Οhm v + - R i v R.i Επέκταση εννοιών Σύνθετη Αντίσταση Ζ (Ω): v.i Σύνθετη Αγωγιμότητα Υ (Ω - ): iy.v (.) dτ Ωμική αντίσταση R (Ω, Οhm) i Gv G.v Αγωγιμότητα γμ G (S, Ω -, mho)
Ηλεκτρικά Μεγέθη ιαφορικός Τελεστής D και Ολοκληρωτικός Τελεστής D - d D (.) d D (.) dτ Σχέσεις τάσεων-ρευμάτων Σύνθετη Αντίσταση Ζ (Ω): v.i Σύνθετη Αγωγιμότητα Υ (Ω - ): iy.v v + - L i v di L. d LDi Πηνίο επαγωγή Ηenry v + - C i i dq d dv C. d CDv Χωρητικότητα πυκνωτής Farad
Ωμική Αντίσταση Επαγωγή Χωρητικότητα Γενικευμένος Νόμος του Ohm v.i ή iy.v Σύνθετη ΖR L.D (/C).D - αντίσταση Ζ Σύνθετη αγωγιμότητα Υ ΥGR - Y(/L). D - YC.D Αρχικές συνθήκες -- i(0 - ) v(0 - )
Ηλεκτρικά Μεγέθη Ζ Μη ιδανική πηγή τάσης e i v ve-i. δυαδικώς ισοδύναμα Μη ιδανική πηγή ρεύματος i s v iis-v/ i Οποιοδήποτε κύκλωμα μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω ενός από τα δύο δυαδικά κυκλώματα
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων κόμβος + βρόχος ΝΡΚ ΝΤΚ
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων ΝΡΚ i i NPK i 4 i +i- i 3 - i 4 0 i 3 ή i + i i 3 + i 4 v v NΤK ΝΤΚ v 3 + v + v -v 3 -v 4 +v 5 0 ή v 4 v + v +v 5 v 3 +v 4 v 5 Α το πλήθος κλάδους Ν το πλήθος κόμβους Μ το πλήθος απλούς βρόχους Α περιγραφικές σχέσεις v-i Ν- εξισώσεις ΝΡΚ, Μ εξισώσεις ΝΤΚ
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων Κ Παράλληλη Σύνδεση i v i i Ζ Ζ i v ισ Υισ Υ+Υ(/+ /) Ζ /Υ ισ (α) Ζ (β) /Υ ισ / Y ισ /Ζ Ζ +/Ζ ιαιρέτης ρεύματος i Y i. Y + Y Y i. Y ισ i. + i Y i. Y + Y Y i. Y σ ι i. +
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων Ισοδύναμα Κυκλώματα Α v AB Β ΖΤΗ A Ζ ΑΒ Τhevenin i AB V ΤΗ v AB i AB Ζ AB B (α) (β) Α v AB Ζ ΑΒ Β A i AB Y N v AB Noron i Ζ AB N i AB (α) (β)
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων Ισοδύναμα Κυκλώματα Millman i n.. E E En v i Ε ισ ισ v ισ n k (/ k ) Ε ισ n k n k ( E / ) k (/ k k )
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων Ισοδύναμα Κυκλώματα Ν Ζ Ν Ζ 3 Ζ 3 Rosen Ζ 3 3 3 Ζ Ν. +. + N N N Ζ 3Ν 3 (α) 3N 3N. 3N N. N + N. 3N + 3N. N N. +. + N N N 3N 3N N N. N (β) Εάν ίσες οι αντιστάσεις 3 3 3. N 3. N 3. 3N
Επίλυση Ηλεκτρικών ικτύων Ισοδύναμα Κυκλώματα Ζ Ζ Ζ 3 Kennely 3 Ζ 3. 3 N + 3 + 3. 3 N + 3 + 3. Ζ 3 3 (α) Ν (β) 3 3 3 N + N N 3N 3 3 + 3 3 3 3 3 Ζ Ν Ν Ν Ζ 3 Εάν ίσες οι αντιστάσεις
Ημιτονική Μόνιμη Κατάσταση (ΗΜΚ) x ( ) X cos( ω + φ ) x( ) Re{ X e } X Re{ e j( ω + φ ) j( ω+ φ ) } στρεφόμενος μιγάδας (phasor) j( ω+ φ ) x Xe X /_( ω + φ)
Ημιτονική Μόνιμη Κατάσταση (ΗΜΚ) Πεδίο Χρόνου Πεδίο Συχνότητας (ΗΜΚ) Μιγαδικό Επίπεδο x() x ( ) X cos( ω + φ ) jφ x Xe X Im /_ φ x ω φ Re Im φ α φ β ω Re a Ο μιγάδας προπορεύεται του μιγάδα β ή ισοδύναμα ο μιγάδας β επιπορεύεται (καθυστερεί) του μιγάδα a
Ημιτονική Μόνιμη Κατάσταση (ΗΜΚ) Πεδίο Χρόνου Πεδίο Συχνότητας (ΗΜΚ) Μιγαδικό Επίπεδο Μέτρο Γωνία Διαφόριση (D) jω ω +π/ (προπορεία) Ολοκλήρωση (D - ) /jω /ω -π/ (επιπορεία) Σύνθετη αντίσταση Πεδίο χρόνου Πεδίο Συχνότητας Ωμική αντίσταση R ΖR ΖR Επαγωγή L ΖLD ΖjωL Χωρητικότητα η C ΖC - D - Ζ/(jωC)-j/(ωC) ) j ( ) X L ωl επαγωγική αντίδραση X C χωρητική αντίδραση ωc
Μεγέθη Ισχύος Επαναληπτικό μάθημα v() i() p ( ) v ( ). i ( ) ισχύς P pd () v()() i d T T Μέση ισχύς T T Σε ΗΜΚ v ( ) V cos( ω ) V V /_ 0 i( ) I cos( ω φ) ή I I/_ φ
Μεγέθη Ισχύος Επαναληπτικό μάθημα v() φ i() φ φ v() i() () p()
Μεγέθη Ισχύος Επαναληπτικό μάθημα * p ( ) v ( ). i ( ) VI cos( ω )cos( ω φ ) cos(ω φ) + cosφ > p( ) VI > p( ) VI cosφ + cos(ω) + VI sinφ sin(ω ( ) ) P V.I.cosφ Μέση, ενεργός, πραγματική ισχύς Wa Q V.I.sinφφ S V. I VI (cos φ + j sin φ ) P + Άεργος, φαντατική ισχύς VAr jq S S P + Q V I Φαινόμενη ισχύς VΑ Μιγαδική ισχύς
Μεγέθη Ισχύος P V.I.cosφ Επαναληπτικό μάθημα Μέση, ενεργός, πραγματική ισχύς Wa Q V.I.sinφ Άεργος, φαντατική ισχύς VAr Στοιχείο Τάση Ρεύμα Ενεργός Ισχύς Αντίσταση R o I I /_ 0 PVII R Πηνίο L o I I /_ 90 P0 o Πυκνωτής C V V /_ 0 o I I /_ + 90 P0 Σύνθετη V PVIcosφ αντίσταση I I /_ φ
Μεγέθη Ισχύος P V.I.cosφ Επαναληπτικό μάθημα Μέση, ενεργός, πραγματική ισχύς Wa Q V.I.sinφ Άεργος, φαντατική ισχύς VAr Στοιχείο Τάση Ρεύμα Άεργος Ισχύς Αντίσταση R o I I /_ 0 Q0 Πηνίο L o I I /_ 90 QVII X L o Πυκνωτής C V V /_ 0 o I I /_ + 90 QVI-I X C Σύνθετη V QVIsinφ αντίσταση I I /_ φ
Μεγέθη Ισχύος P V.I.cosφ Επαναληπτικό μάθημα Μέση, ενεργός, πραγματική ισχύς Wa Q V.I.sinφ Άεργος, φαντατική ισχύς VAr S φ Q Τρίγωνο Ισχύος P ΣΙ P S Συντελεστής Ισχύος ΣΙ
Τριφασικά Κυκλώματα Επαναληπτικό μάθημα πρόκειται για ηλεκτρικά δίκτυα στα οποία αναγνωρίζεται ότι υπάρχει ομοιότητα μεταξύ τριών υπο- κυκλωμάτων. Εάν αυτή η ομοιότητα ικανοποιεί συγκεκριμένους περιορισμούς τότε μπορεί η επίλυση να γίνει ευκολότερα με ένα μόνον από τα τα τρία υποκυκλώματα (το μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα
Τριφασικά Κυκλώματα Επαναληπτικό μάθημα παραδείγματα συνδεσμολογίας σε Υ Ζ L Ζ L Ν Ζ L E 3 E Ν E I 3 I (α) (β) (γ) I
παραδείγματα συνδεσμολογίας σε Ζ L Ζ E Ζ L E I E 3 Ζ L E I I 3 (α) (β) (γ) Φορτία πηγές τάσης πηγές ρεύματος
Πηγές τάσης και φορτία σε Υ με (α) E σύνδεση Ν E ουδετέρων E 3 κόμβων (ουδέτερος αγωγός Ν Ν) Ν) Ζ L Ζ L Ν Ζ L Πηγές τάσης σε Υ και φορτία σε (β) E Ν E E 3 E Ζ L Ζ L Ζ L
Συμμετρικά Τριφασικά κυκλώματα συνθήκες συμμετρίας μεταξύ των τριών υπο- κυκλωμάτων οι πηγές στις αντίστοιχες θέσεις ίσα μέτρα αλλά διαφορά φάσης 0 ο Ε Ε Ε3, Ε Ε +0 ο, Ε3 Ε -0 ο οι σύνθετες αντιστάσεις στις αντίστοιχες θέσεις ίσες
Συμμετρικά Τριφασικά κυκλώματα μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα διαλέγω και κρατώ μόνον τη μία φάση (κατά σύμβαση την η φάση) λύνω το μονοφασικό αντί το πλήρες τριφασικό!!!
Τριφασικά κυκλώματα Συμμετρικό σε Υ Μονοφασικό ισοδύναμο I γρ I φ Ν V φ V πολ V φ 3 I V πολ V φ 3 φ Ζ V φ I φ I φ Πολική τάση, Vπολ: διαφέρει από την φασική τάση κατά 3 (αγνοείται η γωνιακή διαφορά) Φασική τάση, Vφ: Ρεύμα γραμμής, Ιγρ: συμπίπτει με το ρεύμα φάσης Αντίσταση ανά φάση, Ζφ: φασική τάση/ρεύμα / φάσης
Τριφασικά κυκλώματα α Συμμετρικό σε Υ E 3 E Ν E V I γρ Iφ φ V πολ V φ 3 I V πολ V φ 3 φ E V I φ V φ I φ Πολική τάση, Vπολ: διαφέρει από την φασική τάση κατά 3 (αγνοείται η γωνιακή διαφορά) Φασική τάση, Vφ: Ρεύμα γραμμής, Ιγρ: συμπίπτει με το ρεύμα φάσης Αντίσταση ανά φάση, Ζφ: φασική τάση/ρεύμα / φάσης
Τριφασικά κυκλώματα Συμμετρικό σε Μονοφασικό ισοδύναμο Εσωτερικό φ-ισοδύναμο I φ V V πολ V φ I γρ I φ 3 Ζ V φ I φ I φ Εξωτερικό φ-ισοδύναμο Ζ/3 V πολ / 3 I γρ Πολική τάση, Vπολ: συμπίπτει με την τάση μίας φάσης Φασική τάση, Vφ: Ρεύμα γραμμής, Ιγρ: διαφέρει από το ρεύμα φάσης κατά 3 (αγνοείται η γωνιακή διαφορά) Αντίσταση ανά φάση, Ζφ: φασική τάση/ρεύμα φάσης
Τριφασικά κυκλώματα Συμμετρικό σε Μονοφασικό ισοδύναμο Εσωτερικό φ-ισοδύναμο E I γρ I φ V πολ V φ 3 E V φ I φ E I φ E 3 I φ Εξωτερικό φ-ισοδύναμο /3 E / 3 I γρ V πολ / 3 Πολική τάση, Vπολ: συμπίπτει με την τάση μίας φάσης Φασική τάση, Vφ: Ρεύμα γραμμής, Ιγρ: διαφέρει από το ρεύμα φάσης κατά 3 (αγνοείται η γωνιακή διαφορά) Αντίσταση ανά φάση, Ζφ: φασική τάση/ρεύμα φάσης
Τριφασικά κυκλώματα Επίλυση συμμετρικού με μονοφασικό ισοδύναμο Χαρακτηριστικά μεγέθη τριφασικής συσκευής / διάταξης/ κυκλώματος Ισχύς τριφασική (S3φ) Τάση πολική (Vπολ) Ρεύμα γραμμής (Ιγρ) Σύνθετη Αντίσταση ανά φάση (Ζ) Χαρακτηριστικά μεγέθη στο μονοφασικό ισοδύναμο κύκλωμα Ισχύς μονοφασική (Sφ) Τάση φασική (Vφ) Ρεύμα (τυλίγματος) φάσεως (Ιφ) ή ρεύμα γραμμής (Ιγρ) κατά περίπτωση Σύνθετη Αντίσταση ανά φάση (Ζ)
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι μαθηματικό εργαλείο λί που μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές. Η συνάρτηση του χρόνου γίνεται συνάρτηση της παραμέτρου s (που καλείται μιγαδική συχνότητα). Η επίλυση γίνεται πιο εύκολα στο πεδίο s αλλά στο τέλος πρέπει να επιστρέψουμε στο πεδίο. Η αντιστροφή δεν είναι πάντα εύκολη. D s D - /s R R, YG/R L Ls, Y/(Ls) C /(Cs), YCs
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace Ευθύς μετασχηματισμός Laplace ( s) s Fs () f () e d 0 Aντίστροφος μετασχηματισμός Laplace (s ). f σ + jω - ( ) L {F(s)} πj σ jω F ( s ) e s ds D s D - /s Μιγαδική Συχνότητα s σ + jω Πεδίο χρόνου f() Πεδίο συχνότητας (Laplace) F(s)
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace Ευθύς μετασχηματισμός Laplace ( s). s παραδείγματα 0 Fs () f () e d Πεδίο του χρόνου Mετασχηματισμός Laplace /s δ() u() /s r() /s n- /(n-)! /s n e α sin(α) cos(α) /(s-α) s a + a s s + a e α /(s-α)
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace Aντίστροφος μετασχηματισμός Laplace (s ). f σ + jω - ( ) L {F(s)} πj σ jω F ( s ) e s ds Παραδείγματα με μερικά μρ κλάσματα A Bs + Γ + s ( s + 5) s ( s + 5) s : A+Β0 A/5 s: Γ0 B-/5 s 0 : 5A Γ00 / 5 s s ( s + 5) s 5 s + 5 L s( s + 5) (- cos5) 5
Επίλυση ηλεκτρικών δικτύων με μετασχηματισμό Laplace Μθ Μεθοδολογία επίλυσης ) Οι πηγές τάσης και ρεύματος μετατρέπονται κατά Laplace ) Καταστρώνονται ασ α οι εξισώσεις ΝΤΚ,ΝΡΚ ΝΡΚ (ή αξιοποιούνται ο ού α και κανόνες MILLMAN, Thevenin, Noron, Rosen, Kennely κ.λπ) 3) Επιλύεται το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων του s: V (), s I () s 4) Όλες οι εκφράσεις τάσεων και ρευμάτων αντιστρέφονται στο πεδίο του χρόνου : v(), i() Ωμική Αντίσταση Επαγωγή Χωρητικότητα V RI V LsI Li(0) I CsV Cv(0) Προσοχή στις αρχικές συνθήκες!!