ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Συστήματα Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα Ι, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΠΩΣ ΘΑ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΜΕ ΟΛΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ? ΠΩΣ ΘΑ ΜΕΛΕΤΗΣΟΥΜΕ ΟΛΑ ΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ? ΚΑΙ ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΙ ΤΑ ΔΗΜΙΟΥΡΓΗΘΕΝΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΝΘΡΩΠΟ??? ΚΑΙ ΜΕ ΤΙ ΜΟΝΤΕΛΑ?? 4
u(t) Τ y(t)
Μαθηματικό??????? 6
Σκοπός Μελέτη Μαθηματικό πρότυπο μοντέλο εισόδου-εξόδου Γραμμικά συστήματα Χρονικώς αμετάβλητα συστήματα Συστήματα με μνήμη Αιτιατά συστήματα Ευστάθεια Δυναμικά συστήματα 7
Σύστημα Ένα φυσικό ή συμβολικό σύστημα είναι μία διάταξη που επιτελεί μία συγκεκριμένη λειτουργία. Χαρακτηρίζεται από την λειτουργία που επιτελεί και όχι από τις φυσικές συνιστώσες του Mπορεί να εκφρασθεί σαν μία απεικόνιση (mapping) σημάτων Η περιγραφή του συστήματος γίνεται με τη βοήθεια ενός προτύπου (model), φυσικού ή συμβολικού Π.χ. Μηχανικό Σύστημα (Φυσικό πρότυπο) Το ηλεκτρικό ανάλογο (Συμβολικό πρότυπο) Οι μαθηματικές σχέσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του 8
Μαθηματικό πρότυπο (μοντέλο) συστήματος Η θεώρηση ενός συστήματος ως μία απεικόνιση (mapping) από ένα σύνολο σημάτων σε ένα άλλο σύνολο επιτρέπει την περιγραφή του συστήματος από μαθηματικές σχέσεις που αποτελούν αυτό που αποκαλείται μαθηματικό πρότυπο (mathematical model) του συστήματος. Παρατήρηση: μπορούν να αναπτυχθούν πολλά διαφορετικά μαθηματικά πρότυπα για το ίδιο σύστημα Παρακάτω θα αναφερθεί το μαθηματικό πρότυπο εισόδου-εξόδου 9
Το μαθηματικό πρότυπο εισόδου- εξόδου (1) Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο το σύστημα ορίζεται ως εξής: Σύστημα είναι μία οποιαδήποτε απεικόνιση S από ένα σύνολο σημάτων U σε ένα άλλο σύνολο σημάτων Y. Τα σήματα u που ανήκουν στο πρώτο σύνολο U ονομάζονται είσοδοι (inputs) του συστήματος ενώ οι εικόνες τους y που είναι και αυτά σήματα ονομάζονται έξοδοι (outputs) του συστήματος. Τόσο η είσοδος u όσο και η έξοδος y είναι σήματα και μπορεί να είναι διανυσματικές συναρτήσεις. Αυτές ορίζονται σε ένα σύνολο χρόνου Τ και παίρνουν τιμές στον m-διάστατο και p-διάστατο πραγματικό ή μιγαδικό χώρο αντιστοίχως. Έτσι u(τ), u:τc m και y(t), y:tc p και εννοούμε τις διανυσματικές συναρτήσεις ) ( ) ( ) ( ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 τ τ τ τ τ τ τ τ m y p y y y u u u u 10
Το μαθηματικό πρότυπο εισόδου- εξόδου (2) Η μαθηματική σχέση που συνδέει την έξοδο με την είσοδο: y( ) S[ u( )] Διανυσματικό σήμα εισόδου το οποίο ανήκει στο σύνολο U Διανυσματικό σήμα εξόδου το οποίο ανήκει στο σύνολο Υ Απεικόνιση από το σύνολο συναρτήσεων U στο οποίο ανήκει η u(.) στο σύνολο συναρτήσεων Y στο οποίο ανήκει η y(.). H απεικόνιση S είναι μονοσήμαντη 11
Το μαθηματικό πρότυπο εισόδου-εξόδου (3) To σύστημα Σ παριστάνεται σαν ένα μαύρο κουτί που επικοινωνεί με τον έξω κόσμο μέσω των εισόδων u j και εξόδων y i : u Σ y Τα u, y είναι συνήθως διανύσματα 12
Ταξινόμηση συστημάτων Η βασική κατηγοριοποίηση των συστημάτων γίνεται με το διαχωρισμό τους σε συστήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Έτσι ένα σύστημα είναι συνεχούς (διακριτού) χρόνου αν τόσο η είσοδος όσο και η έξοδος είναι σήματα συνεχούς (διακριτού) χρόνου Παράδειγμα: Σύστημα συνεχούς χρόνου (ολοκληρωτής) t y( t) u( ) d Σύστημα διακριτού χρόνου (συσσωρευτής) n y [ n] u[ k] k Οι άλλες κατηγοριοποιήσεις των συστημάτων δεν εξαρτώνται από την φύση των σημάτων εισόδου και εξόδου αλλά από τις ιδιότητες της απεικόνισης S. 13
Γραμμικά συστήματα (1) Ένα σύστημα Σ με μαθηματικό μοντέλο y( ) S[ u( )] είναι γραμμικό αν και μόνο αν για κάθε ζεύγος εισόδων 1 2 ( u ( ), u ( )) και κάθε ζεύγος αριθμών (α 1,α 2 ) ισχύει η σχέση S [ 2 a1 y1( ) a2 y2 ( )] a1s[ u1( )] a2s[ u ( )] Όπως φαίνεται παραπάνω ένα σύστημα είναι γραμμικό αν η έξοδος σε οποιοδήποτε γραμμικό συνδυασμό εισόδων και είναι ίση με τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων εξόδων Γραμμικά συστήματα: Μη γραμμικά συστήματα: dy( t) dt y( t) 2u( t) 2y( t) u( t) 5 y[ n] 2u[ n] y[ n] 2Re{ u[ n]} 14
Γραμμικά συστήματα (2) Ιδιότητες: Ο τελεστής S στα γραμμικά συστήματα είναι Προσθετικός (additive), δηλαδή οι σχέσεις y y ( ) S[ u1( )] 1 ( ) S[ u2 2 ( )] συνεπάγονται την σχέση y ( ) y2 ( ) S[ u1( ) u2 1 ( )] Ομογενής (homogeneous), δηλαδή αν από τη σχέση y( ) S[ u( )] προκύπτει η σχέση ay( ) S[ au( )] για κάθε α αριθμό 15
Χρονικώς αμετάβλητα συστήματα (1) D t0 - Τελεστής μετατοπίσεως (shifting operator) O τελεστής μετατοπίσεως είναι μία απεικόνιση από σύνολο συναρτήσεων σε σύνολο συναρτήσεων και έχει την ιδιότητα D τ 0 u( τ) u( τ τ0) για οποιαδήποτε συνάρτηση u( ) και κάθε τ Τ Ενα σύστημα y(.)=s[u(.)] λέγεται χρονικώς αμετάβλητο (timeinvariant) αν: S[ D τ 0 u( )] D τ 0 y( ) για κάθε τ 0 T. 16
Χρονικώς αμετάβλητα συστήματα (2) Παράδειγμα: Χρονικά αμετάβλητο σύστημα D 5 Χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα D 10 17
Συστήματα με μνήμη Ένα σύστημα ονομάζεται στιγμιαίο η σύστημα μηδενικής μνήμης (memoryless system) αν η τιμή της εξόδου του σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου την ίδια χρονική στιγμή. Παράδειγμα: υ(t) = R u(t) Ένα σύστημα έχει μνήμη αν η τιμή της εξόδου του σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή εξαρτάται από τις τιμές της εισόδου σε ένα χρονικό διάστημα. Παράδειγμα: t 1 y ( t) u( τ) dτ C Η έξοδος "θυμάται" το παρελθόν. y(t)=u(t+2) Οι τιμές της εξόδου εξαρτώνται από μελλοντικές τιμές της εισόδου 18
Συστήματα αιτιατά Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό όταν υπάρχει μία απεικόνιση S : UY τέτοια ώστε y(τ) = S[u(-,τ)] για κάθε είσοδο και κάθε τ Τ. Ένα σύστημα λέγεται μη αιτιατό όταν η τιμή της εξόδου την χρονική στιγμή t* εξαρτάται από την συμπεριφορά της εισόδου σε μελλοντικές χρονικές στιγμές t>t*. Τα μη αιτιατά συστήματα είναι μη πραγματοποιήσιμα φυσικώς (physically unrealizable). 19
Ευστάθεια (1) Είναι η πιο σημαντική ιδιότητα ενός συστήματος. Σχετίζεται με την συμπεριφορά του όταν αυτό υφίσταται ανεπιθύμητες διαταραχές (perturbations). Διαταραχές Στη δομή του συστήματος (αλλάζει η σχέση εισόδουεξόδου) Στιγμιαίες διαταραχές (instantaneous perturbations) Στην είσοδο του συστήματος Επιμένουσες διαταραχές (persistent perturbations) 20
Ευστάθεια (2) Επιμένουσες διαταραχές Ένα σύστημα στο οποίο επιδρούν μόνιμες διαταραχές στην είσοδο του έχει την εξής μορφή: u*(τ) + + Δu(τ) Σ y*(τ)+δy(τ) Η έξοδος του συστήματος δεν είναι η προβλεπόμενη y*(τ) αλλά μία άλλη της μορφής y*(τ)+δy(τ) Για την αξιολόγηση της λειτουργίας του συστήματος πρέπει να είναι γνωστό ποιες θα είναι οι συνέπειες της επίδρασης της διαταραχής Δu(τ) στην προβλεπόμενη τροχιά y*(τ) 21
Επιμένουσες διαταραχές Ευστάθεια (3) Ερώτημα: Ο περιορισμός του εύρους της διαταραχής Δu(τ) στην είσοδο του συστήματος θα έχει σαν συνέπεια το εύρος της απόκλισης Δy(τ) της εξόδου του συστήματος από την προβλεπόμενη τιμή της y*(τ) να είναι επίσης περιορισμένο; Ευστάθεια κατά Lagrange (Lagrange stability) Η έξοδος y*( τ) είναι ευσταθής κατά Lagrange, αν υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί a και b τέτοιοι ώστε για κάθε τ 0 και κάθε επιμένουσα διαταραχή Δu(τ) που ικανοποιεί την ανισότητα Δu(τ) a τ τ 0 για την προκύπτουσα έξοδο y(τ)=y*(τ)+δy(τ) να αληθεύει η ανισότητα Δy(τ) b Ένα σύστημα είναι ευσταθές Φραγμένης Εισόδου - Φραγμένης Εξόδου (Bounded Input - Bounded Output stable) αν όλες οι έξοδοί του για κάθε είσοδο είναι ευσταθείς κατά Lagrange. 22
Στιγμιαίες διαταραχές Ευστάθεια (4) Ένα σύστημα που έχει υποστεί στιγμιαία διαταραχή έχει την εξής μορφή: u*(τ) Σ y*(τ)+δy(τ) Λόγω του στιγμιαίου χαρακτήρα της διαταραχής, τόσο πριν από την χρονική στιγμή τ 0 όσο και μετά από αυτήν η είσοδος του συστήματος είναι ίση με την u*(τ) Περιορίζοντας καταλλήλως το εύρος της αρχικής απομάκρυνσης Δy(τ 0 ) της εξόδου από την προβλεπόμενη τιμή της y*(τ 0 ), είναι δυνατόν να εξασφαλισθεί ότι η έξοδος του συστήματος για τ>τ 0 δεν θα απομακρυνθεί από την προβλεπόμενη τροχιά y*(τ) περισσότερο από από κάποια επιθυμητή τιμή; Θα επιστρέψει (έστω ασυμπτωτικώς) ή όχι η έξοδος y(τ)=y*(τ)+δy(τ) στην αρχικώς προβλεπόμενη τιμή της y*(τ); 23
Στιγμιαίες διαταραχές Ευστάθεια (5) Ασυμπτωτική ευστάθεια (asymptotic stability) Η έξοδος y*(τ) είναι ασυμπτωτικώς ευσταθής (asymptotically stable) αν Για κάθε θετικό αριθμό ε υπάρχει άλλος θετικός αριθμός δ(ε) τέτοιος ώστε αν Δy(τ 0 ) δ τότε Δy(τ) ε για κάθε τ τ0 Υπάρχει άλλος θετικός αριθμός η τέτοιος ώστε αν Δy(τ 0 ) lim y( ) 0 t η τότε: Αν όλες οι έξοδοι του συστήματος είναι ασυμπτωτικώς ευσταθείς τότε το σύστημα είναι ασυμπτωτικώς ευσταθές. 24
Κατάσταση του συστήματος Δυναμικά Συστήματα (1) Η σχέση εισόδου εξόδου ενός συστήματος με μνήμη έχει την εξής μορφή: y(τ)=s[u [-,τ] ] Για να προσδιοριστεί η τιμή της εξόδου είναι αναγκαίο να παρατηρείται το σύστημα από t= - Υπάρχουν συστήματα τέτοια που η έξοδός τους y(τ) είναι συνάρτηση της u[ τ 0, τ] αντί της u(, τ ] t Π.χ. 1 y ( t) is ( τ) dτ C t 0 1 x( t0) is ( ) d C όπου x t ) t 0 t 1 ( 0 C Μπορεί να προσδιορίσει κάποιος την έξοδο y(t) γιά tt 0 γνωρίζοντας την είσοδο μόνο για tt 0, αρκεί επί πλέον να γνωρίζει την x(t 0 ). u( τ) dτ 25
Κατάσταση του συστήματος Δυναμικά Συστήματα (2) Η x(t 0 ) περιέχει όλες τις πληροφορίες για το παρελθόν του συστήματος που είναι απαραίτητες για τον προσδιορισμό της εξόδου y(t) για tt0. Ονομάζεται κατάσταση (state) του συστήματος την χρονική στιγμή t 0 Η κατάσταση x(t 0 ) εκφράζει το σύνολο των πληροφοριών που μαζί με την u [ t 0, t] είναι αρκετές για τον προσδιορισμό της εξόδου y(t) για οποιοδήποτε tt 0. 26
Δυναμικά Συστήματα (3) Το σύνολο των "πληροφοριών" που ορίζουν την κατάσταση του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή τ 0 μπορεί να περιγραφεί από ένα πεπερασμένης διαστάσεως διάνυσμα x(τ 0 ), x(τ 0 ) q y( τ) S[ x( τ 0 ), u[ τ0, τ] S: n xu p Τότε ] Για τ 0 = τ y τ) S[ x( τ), u ] ( [ τ, τ] η αλλιώς y( τ) g[ τ, x( τ), u( τ)] Η έξοδος του συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί αν είναι δυνατόν να προσδιορισθεί η κατάσταση x(τ) την χρονική στιγμή τ από την τιμή της x(τ 0 ) την χρονική στιγμή τ 0 και την u[ τ0, τ ] Αυτό θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί αν υπήρχε μία απεικόνιση S*: q U n τέτοια ώστε x τ) S *[ x( τ ), u ] ( 0 [ τ0, τ] 27
Δυναμικά Συστήματα (4) Ένα σύστημα λέγεται δυναμικό αν υπάρχει μία συνάρτηση x(τ), x:t q, μία απεικόνιση S*: q U p και μία άλλη συνάρτηση g: T q m p τέτοιες ώστε x( ) S *[ x( ), u ] 0 [, ] y( τ) g[ τ, x( τ), u( τ)] 0 γιά κάθε τ 0 T και τ> τ 0. Οι συνιστώσες x 1, x 2,..., x q του διανύσματος x λέγονται μεταβλητές καταστάσεως (state variables) του συστήματος ενώ η x(τ 0 ) υποδηλώνει την κατάσταση του συστήματος την χρονική στιγμή τ 0 28
Δυναμικά Συστήματα (5) Καταστατικές εξισώσεις συνεχούς χρόνου Η μαθηματική περιγραφή των δυναμικών συστημάτων συνεχούς χρόνου γίνεται με διαφορικές εξισώσεις (όταν το διάνυσμα καταστάσεως x είναι συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση για οποιαδήποτε κατά τμήματα συνεχή είσοδο u): x ( t) f [ t, x( t), u( t)] y( t) g[ t, x( t), u( t)] Οι εξισώσεις αυτές ονομάζονται καταστατικές εξισώσεις (state equations) συνεχούς χρόνου 29
Δυναμικά Συστήματα (6) Καταστατικές εξισώσεις διακριτού χρόνου Ένα δυναμικό σύστημα διακριτού χρόνου θα περιγράφεται από τις εξής σχέσεις: x[ n] S *[ x[ n0 ], u[ n, 1] ] 0 n Θέτοντας όπου n 0 y[ n] g[ n, x[ n], u[ n]] τo n και όπου n το n+1 προκύπτουν οι σχέσεις x[ n 1] S *[ x[ n, u[ n, n] ] y[ n] g[ n, x[ n], u[ n]] Θέτοντας f [ n, x[ n], u[ n]] S *[ x[ n, u[ n, n] ] f:tx q x m q x[ n 1] f [ n, x[ n], u[ n]] y[ n] g[ n, x[ n], u[ n]] 30
Λυμένες Ασκήσεις (1) Άσκηση 1: Για το σύστημα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα να καθοριστεί αν α) έχει μνήμη, β) είναι αιτιατό, γ) γραμμικό, δ) χρονικά αμετάβλητο, ε) ευσταθές x(t) Χ yt xtcos c t cosω c t 31
y t x t t 1α) cos c Λυμένες Ασκήσεις (2) Η τιμή της εξόδου εξαρτάται μόνο από τις τρέχουσες τιμές της εισόδου άρα το σύστημα δεν έχει μνήμη. 1β) Επειδή η έξοδος δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου το σύστημα είναι αιτιατό 1γ) Αν xt x t x t τότε 1 1 2 2 y t 1x1 t 2x2 t cosct 1x1 t cosct 2x2 t cosct 1 1 2 2 y t y t Η ιδιότητα της υπέρθεσης ικανοποιείται άρα το σύστημα είναι γραμμικό. 32
x t x t t Λυμένες Ασκήσεις (3) 1δ) Έστω y1 t η έξοδος που προκύπτει από την εφαρμογή μετατοπισμένης εισόδου 1 0 Όμως yt t xt t t y t cos c 0 0 1 Άρα το σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο cos 1 1ε) Επειδή c t y t x t cos t x t c y t T x t t x t t t 0 0 cos c Άρα το σύστημα είναι ευσταθές (Φραγμένης εισόδου-φραγμένης Εξόδου) 33
Λυμένες Ασκήσεις (4) Άσκηση 2: Έστω σύστημα που περιγράφεται από την παρακάτω σχέση εισόδου y n T x n nx n Να καθοριστεί αν α) έχει μνήμη, β) είναι αιτιατό, εξόδου γ) γραμμικό, χρονικά αμετάβλητο, δ)ευσταθές 2α) Επειδή η τιμή της εξόδου τη στιγμή n εξαρτάται από την τιμή της εισόδου στο n το σύστημα δεν έχει μνήμη. 2β) Επειδή η έξοδος δεν εξαρτάται από μελλοντικές τιμές της εισόδου το σύστημα είναι αιτιατό. 34
Λυμένες Ασκήσεις (5) 2γ) Για είσοδο xn x n x n 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 y n T x n n x n x n nx n nx n y n y n Η ιδιότητα της υπέρθεσης ικανοποιείται άρα το σύστημα είναι γραμμικό. 2δ) Αν y1[n] είναι η έξοδος στην μετατοπισμένη είσοδο x n xn n Τότε y n T x n n nx n n 1 0 0 1 0 Όμως yn n n n xn n y n 0 0 0 1 35
Λυμένες Ασκήσεις (6) 2ε) Για x[n]=s[n] υ[n]=n s[n] Όπως φαίνεται, η φραγμένη μοναδιαία ακολουθία παράγει μια ακολουθία στην έξοδο που συνεχώς μεγαλώνει χωρίς όριο. Το σύστημα δεν είναι ευσταθές (Φραγμένης εισόδου-φραγμένης Εξόδου) 36
Λυμένες Ασκήσεις (7) Άσκηση 3: Να υπολογισθεί η κρουστική απόκριση του συστήματος πρώτης y t 3y t 2x t τάξης Η κρουστική απόκριση θα πρέπει να ικανοποιεί τη διαφορική εξίσωση: 3 2 h t h t t Η ομογενής λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι της μορφής: Υποθέτοντας ειδική λύση της μορφής h C t p 2 3t hh C1e s t η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης δίνεται από 3t 1 2 h C e s t C t Αντικαθιστώντας προκύπτει: 3t 3t 3t C 1 3e s t e t C2 t 3 C1e s t C2 t 2 t 37
Λυμένες Ασκήσεις (8) Εξισώνοντας τους συντελεστές των δ(t) και δ (t) προκύπτούν 2 εξισώσεις με 2 αγνώστους. C Τελικά 1 C 2 2 0 h t 2e s t 3t Άρα 38
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Πέτρος Γρουμπός. «Σήματα και Συστήματα Ι, Συστήματα». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/opencourses.php?fc=15 39