HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #3 Ιδιάζοντα σήματα Βασικές κατηγορίες συστημάτων Διασυνδέσεις συστημάτων

2 Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Τα ιδιάζοντα σήματα είναι σήματα τα οποία είναι ιδεατά (δηλ. δεν υπάρχουν στη φύση ακριβώς όπως ορίζονται μαθηματικά), τα οποία μας βοηθούν στην ανάλυση σημάτων/ συστημάτων Μοναδιαίο βηματικό σήμα/ συνάρτηση (uni sep signal/funcion) 1 0 u () = 0 < 0 u(): Ασυνεχής στο μηδέν x ( ) 0 y () = xu () () = 0 < 0 Τετραγωνικός παλμός (recangular pulse) 1 -T T rec( ) = 2 2 T 0 αλλιώς rec( ) = u ( + T ) u ( T ) T 2 2

3 Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Κρουστικό σήμα/συνάρτηση ή συνάρτηση Dirac(impulse signal/funcion or Dirac dela funcion) Ερώτηση: Πως ορίζεται η παράγωγος του βηματικού σήματος στο μηδέν? Το βηματικό σήμα u() μπορεί να προσεγγιστεί ως: d d du() d = 0 Στο όριο (Δ 0), το πλάτος της παραγώγου τείνει στο άπειρο αλλά η περιοχή κάτω από τον παλμό παραμένει σταθερή και ίση με 1. Έτσι, προσεγγίζουμε ένα σήμα (κρουστικό σήμα δ()) με τις εξής ιδιότητες: δ ( ) = 0 0 δ () d= 1

4 Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Ορισμός: Το κρουστικό σήμα δ() είναι το σήμα το οποίο ικανοποιεί: δ ( ) = 0 0 f () δ () d = f(0) για κάθε διαφορίσιμη συνάρτηση f(). Γραφικά: lim f() δ () d = f(0)lim δ () d = f(0) Δ 0 Δ Δ 0 Δ Η κρουστική συνάρτηση δεν είναι μια συνηθισμένη συνάρτηση (δεν ορίζεται στο μηδέν) αλλά μια γενικευμένη συνάρτηση, δηλ. ορίζεται από τις ιδιότητές της. f ( ) δ ( ) = f ( ) δ ( ) f() δ ( ) d = f( ) 1 δ( a) = δ( ) a 0 0

5 Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Σχέση μεταξύ του βηματικού και κρουστικού σήματος. Είδαμε ότι: du() δ () = d Άρα: u () δ ( τ) dτ = < 0 0 > 0 1

6 Ιδιάζοντα σήματα (singular signals) Σε διακριτό χρόνο το κρουστικό σήμα ορίζεται ως: 1 n= 0 δ[ n] = 0 n 0 ενώ το βηματικό σήμα ως: 1 n 0 un [ ] = 0 n < 0 Βασικές ιδιότητες (ανάλογες με συνεχή χρόνο): n= δ [ n ] = 1 un [ ] = δ[ m] n m= δ [ n ] = u [ n ] u [ n 1] x[ n] δ[ n n ] = x[ n ] δ[ n n ] 0 0 0

7 Συστήματα και διασυνδέσεις συστημάτων Μαθηματικά, ένα σύστημα αναπαριστάται ως η απεικόνιση (mapping) μεταξύ του σήματος εισόδου x και του σήματος εξόδου y Ανάλυση συστημάτων: Ποια είναι η έξοδος ενός δεδομένου συστήματος (S γνωστό) σε μια γνωστή είσοδο x? Σχεδίαση/σύνθεση συστημάτων: Ποιο είναι το σύστημα που παράγει μια επιθυμητή έξοδο y σε μια γνωστή είσοδο x? Αναγνώριση συστημάτων: Ποια είναι μια ακριβής περιγραφή της (άγνωστης) απεικόνισης S που αντιστοιχεί στις (γνωστές) τιμές της εισόδου και εξόδου? Αλληλουχία ή σειριακή σύνδεση συστημάτων (cascade/serial inerconnecion) x S y y ( ) = S [ z ( )] = S [ S [ x ( )]] z() S 1 S 2 Παράλληλη σύνδεση (parallel inerconnecion) y ( ) = S[ x ( )] + S[ x ( )] 1 2 S 1 S 2

8 Συστήματα και διασυνδέσεις συστημάτων Ανάδραση (feedback): Θετική ή αρνητική ανάδραση = S1 z = x() z() + - y() [ ()] y() S [ x() S [ y()]] z () = x () S[ y ()] S 2 S 1 y() Παράδειγμα: y () = S2[ y2()] y2( ) = S1[ y1( )] S3[ y( )] y1() = x() S4[ y()] y ( ) = S [ S [ y ( )] S [ y ( )]] = S [ S [ x ( ) S [ y ( )]] S [ y ( )]]

9 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Στατικά και Δυναμικά Συστήματα (Saic and Dynamic Sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται στατικό ή σύστημα χωρίς μνήμη (saic/ memoryless) εάν η έξοδός του y() για κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την τιμή της εισόδου x() την ίδια χρονική στιγμή μόνο Παραδείγματα: Αντίσταση υ () = Ri () y() = sin( x()) x () y () = + x 3 1 ( ) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται δυναμικό ή σύστημα με μνήμη (dynamic/ sysem wih memory) αν η έξοδός του y() τη χρονική στιγμή εξαρτάται από κάποια/ κάποιες τιμές της εισόδου x(τ) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές (τ ) Παραδείγματα: Πυκνωτής υ 1 () = i( ) d C τ τ y () = x ( 2)

10 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Αντιστρέψιμα και μη αντιστρέψιμα συστήματα (Inverible and non inverible sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο εάν δύο οποιαδήποτε διαφορετικά σήματα εισόδου x 1 () και x 2 () έχουν ως αποτέλεσμα διαφορετικά σήματα εξόδου y 1 () και y 2 (), δηλαδή: x () x () S[ x ()] S[ x ()] Ισοδύναμα: Η απεικόνιση S είναι ένα προς ένα Παραδείγματα: y () = Kx () Αντιστρέψιμο 2 y () = x() Μη αντιστρέψιμο Εάν ένα σύστημα S είναι αντιστρέψιμο, τότε υπάρχει ένα αντίστροφο σύστημα το οποίο συμβολίζουμε S 1 το οποίο εάν συνδεθεί σειριακά με το S δίνει ως αποτέλεσμα το μοναδιαίο σύστημα I x() z() S S -1 x() x() Ι x() Παράδειγμα: x() x( τ ) dτ y() dy () S -1 d x()

11 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Αιτιατά και μη αιτιατά Συστήματα (Causal and noncausal Sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό (causal) εάν η έξοδός του y() για κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται μόνο από τιμές της εισόδου x(τ) στο παρόν και το παρελθόν (τ ) Ισοδύναμα: Οι μεταβολές της εξόδου ενός αιτιατού συστήματος έπονται των μεταβολών της εισόδου του x() () y() x() S y() 0 0 Παραδείγματα: 1 Πυκνωτής υ() = i( ) d Αιτιατό C τ τ y () = x ( + 2) Μη αιτιατό Γιαίμαςενδιαφέρουν Γιατί τα αμηαιιαά αιτιατά συστήματα? ήμαα? Η ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να μην είναι χρόνος Η επεξεργασία μπορεί να γίνεται εκτός γραμμής (offline)

12 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Ευστάθεια (sabiliy): Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί ευστάθειας. Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται ευσταθές φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου (ΦΕΦΕ ) (bounded inpu bounded oupu (BIBO) sable) αν για κάθε φραγμένη είσοδο x(), η έξοδος y() είναι επίσης φραγμένη, δηλ. υπάρχουν θετικοί πραγματικοί αριθμοί Μ,Κ ώστε: Αν x ( ) M τότε y ( ) K Παραδείγματα: υ () = Ri() Ευσταθές ΦΕΦΕ 1 υ () = i ( τ ) d τ Ασταθές ΦΕΦΕ C

13 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Χρονικά αμετάβλητα και χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα (ime invarian and ime varying sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται χρονικά αμετάβλητο (ime invarian) αν μια οποιαδήποτε χρονική μετατόπιση χρονική μετατόπιση 0 στην είσοδο x() έχει ως αποτέλεσμα την ίδια χρονική μετατόπιση στην έξοδο y() Ισοδύναμα: Η έξοδος y() σε μια συγκεκριμένη είσοδο x() είναι ανεξάρτητη από το ποια ακριβώς χρονική στιγμή διεγείρουμε το σύστημα Αν x ( ) y ( ) τότε x ( ) y ( ) 0 0 x() S y() x() y(- S 0 ) x() x(-0) y() y(-0) x() S y() 0 0

14 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Παραδείγματα: y() = cos( x()) Χρονικά αμετάβλητο y() = x() Χρονικά μεταβλητό R,C σταθερά: χρονικά αμετάβλητο R(), C(): χρονικά μεταβλητό

15 Βασικές κατηγορίες/ ιδιότητες συστημάτων Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα (linear and nonlinear sysems) Ορισμός: Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό (linear) αν ικανοποιεί την αρχή της υπέρθεσης: Sax [ ( ) + ax( )] = asx [ ( )] + asx [ ( )] a, a Ισοδύναμα: Η απόκριση του συστήματος σε οποιονδήποτε γραμμικό συνδυασμό δύο εισόδων x 1 (), x 2 () ισούται με τον ίδιο γραμμικό συνδυασμό των εξόδων του συστήματος των αντίστοιχων εξόδων y 1 (), y 2 () Αν x1( ) y1( ), x2( ) y2( ) τότε a1x1() + a2x2() a1y1() + a2y2() y()=y1()+y2() x1() x2() x()=x1()+x2() y2() y1() x() () S y() 2 Παραδείγματα: y() = x () Μη γραμμικό y() = Kx() Γραμμικό