Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #3: Εκτιμητική Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί Ενότητας Στόχος της 3ης Ενότητας είναι η εξοικείωση του φοιτητή με την έννοια της εκτιμητικής. Διάκριση των εκτιμητριών ανάλογα με τα κριτήρια της Αμεροληψίας, Συνέπειας, Αποτελεσματικότητας, Επάρκειας, μέγιστης Πιθανοφάνειας). Εκτίμηση διαστημάτων εμπιστοσύνης ενός και δύο δειγμάτων. 4

Περιεχόμενα Ενότητας Σημειακές εκτιμήτριες Είδη εκτιμητριών (Αμεροληψία, Συνέπεια, Αποτελεσματικότητα, Επάρκεια, κριτήριο Πιθανοφάνειας) Εκτίμηση Διαστήματος Διαστήματα εμπιστοσύνης ενός δείγματος Επιλογή μεγέθους δείγματος Διαστήματα εμπιστοσύνης δύο δειγμάτων Λυμένες Ασκήσεις 5

Εκτιμητική - Η συνάρτηση F(x) ή f(x) εμπεριέχει τη συνολική στοχαστική πληροφορία για τη τυχαία μεταβλητή Χ. Γνώση της F(x) ή f(x) σημαίνει : γνώση της συναρτησιακής της μορφής γνώση των τιμών των παραμέτρων της π.χ. στην εκθετική κατανομή γνώση του λ (μονοπαραμετρική περίπτωση) στην κανονική κατανομή γνώση των μ, σ (διπαραμετρική περίπτωση) Φυσική θεώρηση του στοχαστικού φαινομένου οδηγεί πολλές φορές είτε στον προσδιορισμό, είτε σε μια τεκμηριωμένη παραδοχή της συναρτησιακής μορφής Ο υπολογισμός των παραμέτρων απαιτεί τη συλλογή και επε-ξεργασία παρατηρήσεων στατιστικών δεδομένων 6

Υπολογισμός πιθανοτήτων X, f ( x,ϑ ) στατιστικός πληθυσμός συλλογή στατιστικών δεδομένων σημείο αναφοράς Samplg επεξεργασία δεδομένων - εκτίμηση του ϑ Εκτιμητική υπολογισμός πιθανοτήτων μέσω της f (x, ϑ) - λήψη αποφάσεων στατιστικός πληθυσμός πληθυσμός με τη στενή έννοια διάρκεια ζωής υλικών μέχρι θραύσης λόγω κόπωσης όγκος κυκλοφορίας, ύψος βροχόπτωσης, ισχύς σεισμού κ.λ.π. 7

Συλλογή στατιστικών δεδομένων Συλλογή στατιστικών δεδομένων Α π ο γ ρ α φ ή Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α αντιπροσωπευτική χρονοβόρα ανέφικτη σε μεγάλους (άπειρους) πληθυσμούς ( x, x,,x ) : Δείγμα τάξης πληθυσμός δείγμα ε π α γ ω γ ή 8

Δειγματοληψία Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Τ υ χ α ί α Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Κ α τ ε υ θ υ ν ό μ ε ν η Δ ε ι γ μ α τ ο λ η ψ ί α Ο αναλυτής τοποθετεί υποκειμενικά κριτήρια επιλογής. Η ποιότητα των αποτελεσμάτων εξαρτάται από την ικανότητά του Μέτρηση της αβεβαιότητας προβληματική Κάθε άτομο του πληθυσμού έχει την ίδια πιθανότητα να συμπεριληφθεί στο δείγμα Μέτρηση της αβεβαιότητας εφικτή 9

Τυχαία δειγματοληψία ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ( X, f ( x,ϑ ) ) ( x, x,, ) x ( x, x,, ) x. Δείγμα τάξεως. Δείγμα τάξεως Οι θέσεις.,.,,. του δείγματος αντιστοιχούν σε τυχαίες μεταβλητές Χ,, Χ ( X,, ) X Το δείγμα καλείται τυχαίο αν οι Χ,, Χ είναι ανεξάρτητες και η κατανομή τους ισούται με τη κατανομή του πληθυσμού. 0

Συνεχεια τυχαίας δειγματοληψίας f ( x ) f ( x ) f (, ϑ ) X X x και ( x ) f ( x x,, x ) f ( x ) f ( x ) [ f ( x, ) ], X X f ϑ Οι προϋποθέσεις αυτές ισχύουν αν η επιλογή είναι τυχαία και γίνεται επανάθεση. Στη πράξη αρκεί να ισχύει / N < <, όπου το μέγεθος του δείγματος και Ν το μέγεθος του πληθυσμού Ισχύει πάντα σε άπειρους πληθυσμούς!

Το βασικό πρόβλημα της εκτιμητικής Το βασικό πρόβλημα της εκτιμητικής είναι, με βάση ένα ( τυχαίο) δείγμα, να προσδιορίσει κατά βέλτιστο τρόπο τις παραμέτρους, ή να δώσει ένα διάστημα που να περιέχει τα με καθορισμένη πιθανότητα. ϑ ϑ Ο προσδιορισμός της παραμέτρου εκτίμηση ϑ ϑ καλείται σημειακή κατασκευή ενός διαστήματος που περιέχει την καλείται εκτίμηση κατά διάστημα ϑ

Σημειακές εκτιμήτριες Κάθε συνάρτηση των τιμών του δείγματος που δεν περιέχει άγνωστα μεγέθη, δηλ. Στατιστικό δείγματος ˆ καλείται ε κ τ ι μ ή τ ρ ι α προφανώς η Θˆ Θ του ϑ ( X, X, ) g, είναι τυχαία μεταβλητή X! Συμβολισμοί ϑ : υπό εκτίμηση παράμετρος ˆΘ : εκτιμήτρια της ϑ ϑˆ : πεδίο τιμών της ˆΘ, ( εκτίμηση ) Υπάρχουν προφανώς άπειρες επιλογές για την Θˆ! π.χ. προκειμένου να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή μ μιας κανονικά κατανεμημένης μεταβλητής Χ Ν ( μ, σ ) έχουμε μεταξύ άλλων τις επιλογές : 3

Τι ισχύει στην κανονική κατανομή Στην κανονική κατανομή ισχύει : μέση τιμή διάμεσος πιθανότερη τιμή µ m τ 3, 3.5, 3.5, Έστω δείγμα τάξης 9 : ( 3.5, 4, 4.5, 5, 6, 6.5 ) δειγματικός μέσος : X X 9 ( 39.5 ) 4. 39 δειγματική διάμεσος : ˆ m 4 δειγματική πιθανότερη τιμή : τˆ 3,5 4

Κριτήρια επιλογής εκτιμητριών Κριτήρια επιλογής καλών εκτιμητριών αποτελούν οι εξής ιδιότητες : Α μ ε ρ ο λ η ψ ί α - u b a s e d e s s Σ υ ν έ π ε ι α - c o s s t e c y Α π ο τ ε λ ε σ μ α τ ι κ ό τ η τ α - e f f c e c y Ε π ά ρ κ ε ι α - s u f f c e c y Εκτός ολίγων περιπτώσεων, μόνο μερική κάλυψη των παραπάνω ιδιοτήτων 5

Αμεροληψία Παράδειγμα ˆϑ ˆϑ 4 E ϑ N ˆϑ 3 { Θˆ } Lm Σ ˆ ϑ ϑ N N ˆϑ ˆϑ 5 πλήθος δειγμάτων τάξης Εκτίμηση μέσης τιμής μ της Χ, δηλ. ϑ µ Αν Δειγματικός μέσος : Θˆ X E µ { Θˆ } E { X } E { X } µ ˆ Δειγματική διασπορά : Θ S ( X X ) X όχι αμερόληπτη, αλλά η διαφορά μικρή για μεγάλα 6

Παράδειγμα Έστω ( x, x x ), 3 τυχαίο δείγμα από κάποιο πληθυσμό. Ποιές από τις παρακάτω εκτιμήτριες είναι αμερόληπτες εκτιμήτριες του μέσου μ του πληθυσμού ; Θˆ 0 ( X + X + X ) 7 3 E { Θ } [ µ + µ + 7 µ ] µ ˆ 0 Θˆ 7 ( 6 X + X X ) 3 E { Θ } [ 6 µ + µ µ ] µ ˆ 7 Θˆ 3 3 ( X + X + X ) 3 E { Θ } [ µ + µ + µ ] µ ˆ 3 3 ˆ 9 ( X + X + X ) Θ E { Θ } [ µ + µ + 5µ ] µ µ 4 5 3 ˆ 4 9 8 9 7

Συνέπεια ˆ ϑ Είναι ευνόητο, ότι μεγαλώνοντας το επιθυμούμε η εκτίμηση καλύτερα τη παράμετρο, δηλ. ϑ Lm Θˆ Παράδειγμα : Είναι ο δειγματικός μέσος συνεπής x; ϑ ϑ ϑˆ > να προσεγγίζει ϑˆ VAR { x } VAR X VAR { X } VAR { X } VAR { X } 0 f Θˆ f x µ x 8

Αποτελεσματικότητα ˆΘ E { } ϑ { ˆ } Έστω με ˆ και Θ VAR Θ σ και ˆΘ E { ˆ } ϑ VAR { Θˆ } σ με Θ και Η εκτιμήτρια αν σ < σ ˆΘ καλείται πιο αποτελεσματική από την ˆΘ Παράδειγμα : X X + X είναι αμερόληπτη με σ σ x X X + X 3 + X 3 είναι αμερόληπτη με σ σ x 3 9

Επάρκεια Η ιδιότητα μιας εκτιμήτριας να χρησιμοποιεί όλη τη στατιστική πληροφορία του δείγματος καλείται ε π ά ρ κ ε ι α. Παράδειγμα : ( ) Δίδεται δείγμα τάξεως 3, δηλ. x, x x, 3 Προφανώς η εκτιμήτρια επαρκής, ενώ η X X + X X 3 + X X 3 + X είναι. του προηγούμενου παρα- δείγματος δεν είναι 0

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφανειας F s h e r ( maxmum lkelhood method ) Σκεπτικό : βασικά θα μπορούσε να έλθει οιοδήποτε δείγμα. Το γεγονός ότι ήλθε το συγκεκριμένο δείχνει ότι έχει μεγάλη πιθανότητα εμφάνισης. ϑ Καθορισμός του, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα εμφάνισης του συγκεκριμένου δείγματος.! L f ( x, ϑ ) Σ υ ν ά ρ τ η σ η ( L k e l h o o d ) Π ι θ α ν ο φ ά ν ε ι α ς Προσδιορισμός του ϑ από τις σχέσεις : L ϑ l L 0 ή ϑ 0 ;,, 3,...,κ όπου κ, το πλήθος παραμέτρων ϑ ϑ

Για να υπολογιστεί το ποσοστό ελαττωματικών p ενός πληθυσμού εξαρτημάτων, επιλέγεται δείγμα τάξης 6 : Να βρεθεί η MLE του p. Παράδειγμα ( K, K, E, K, E, K ) Έχουμε, L ( p ) ( p ) p ( p) p ( p ) l L 4 l ( p ) + l p l L p 4 p p ( ) + 0 pˆ 6 3 Γενικά : pˆ κ πλήθος ελαττωματικών

Για να υπολογιστεί η αξιοπιστία ενός εξαρτήματος επιλέγεται δείγμα τάξεως 7 και έστω, Παράδειγμα t, ; t 3,0 ; t 6,3 ; t 3 4 0, t 5 5, ; t 6, 4 ; t 7 7, οι χρόνοι ωφέλιμης ζωής που παρατηρήθηκαν. Να υπολογιστεί ο MLE (maxmum lkelhood estmator) για την παράμετρο λ, με την υπόθεση ότι οι χρόνοι ωφέλιμης ζωής είναι εκθετικά κατανεμημένοι. 3

t e L λ λ Έχουμε : t L l l λ λ 5,04 35,3 7 ˆ 0 l t L λ λ ( ) ( ) 04 5, t e t F t R Relablty αξιοπιστία ˆ Συνέχεια παραδείγματος 4

Υπολογίστε με την ΜΜΠ εκτιμήτρια για τη μέση τιμή και τη διασπορά κανονικά κατανεμημένου πληθυσμού. Έχουμε : ( ) ) ( σ µ π σ x e x f συνάρτηση πυκνότητας πληθυσμού ),, ( ),, ( σ µ σ µ x f x L ( ) x e µ π σ ( ) l l µ σ σ π x L σ Παράδειγμα 3 5

( ) ( ) 0 l µ σ µ x L ( ) x x x M L ˆ 0 µ µ Η εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας της μέσης τιμής κανονικού πληθυσμού ισούται με τον δειγματικό μέσο x ( ) 0 l + x x L σ σ σ ˆ Μ x x L σ μη αμερόληπτη Η εκτιμήτρια ΜΠ της διασποράς κανονικού πληθυσμού είναι διάφορη της δειγματικής διασποράς. Συνέχεια παραδείγματος 3 6

Η εκτιμήτρια Θˆ είναι τυχαία μεταβλητή. Έτσι κάθε δείγμα οδηγεί σε διαφορετική ϑ σημειακή εκτίμηση για τη παράμετρο. ( ) f Θˆ E { } ϑ Έστω ϑˆ η συνάρτηση πυκνότητας της και ˆΘ VAR { ˆ } Θ σ Εκτίμηση διαστήματος Θˆ f ( ϑ ˆ ) Θ ˆ Θˆ (αμεροληψία) ˆ ϑ, ˆ, ˆ ϑ ϑ3 : ϑˆ ϑˆ { Θ } ϑ E ˆ εκτιμήσεις με βάση διαφορετικά δείγματα Πιθανότητα Θˆ ϑ είναι 0! ϑˆ 3 7 ϑˆ

Συνέχεια εκτίμησης ( ) ϑ, ϑ P α ( ϑ, ϑ ) : διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α, δηλ. ( ϑ ϑ ϑ ) α μεγαλύτερη εμπιστοσύνη μεγαλύτερο διάστημα P ϑ ( ϑ Θˆ ϑ ) α f ( ˆ ϑ ) ϑˆ ˆ d Τυποποίηση της Θˆ, δηλ : ϑ Ζ Θ Θˆ ϑ σ Θˆ 8

Προϋποθέσεις P ( ) Θˆ Θˆ ϑ ϑ ϑ P κ α κ α σ Θˆ κρίσιμη τιμή αν μη συμμετρικό κ α ( Θˆ κ σ ϑ Θˆ + κ σ ) P α Θˆ α Θˆ ϑ ϑ ( ) Προϋποθέσεις για την κατασκευή του διαστήματος ϑ, ϑ : κ κ α α γνώση των τιμών,, δηλ. γνώση της κατανομής f ˆΘ ( ϑˆ ) γνώση της τυπικής απόκλισης γνώση των τιμών του Θˆ σ Θˆ της εκτιμήτριας Δ ε ί γ μ α 9

Διαστήματα εμπιστοσύνης μέσης Σαν σημειακή εκτιμήτρια επιλέγεται ο δειγματικός μέσος : Θ ˆ Χ Γνωρίζουμε ότι : E { Χ } µ και VAR { Χ } αμεροληψία τιμής Για την κατασκευή του διαστήματος ξεχωρίζουμε τις εξής περιπτώσεις : X σ Κανονικός πληθυσμός, διασπορά γ ν ω σ τ ή f Χ μένη μεταβλητή ( ) x Ν µ, σ f ( x) Ν µ, σ Χ Ζ Χ µ σ είναι κατανεμημένη κατά Ν ( 0, ). κ κ α α και η τυποποιη- Οι κρίσιμες τιμές υπολογίζονται από τον Πίνακα της κανονικής 30

Κανονικός πληθυσμός, διασπορά ά γ ν ω σ τ η Η διασπορά του πληθυσμού εκτιμάται μέσω της δειγματικής διασποράς : Διασπορά άγνωστη S σ ( Χ Χ ) Το μέγεθος X µ ακολουθεί την κατανομή S t u d e t με - βαθμούς ελευθερίας. T σ μονοπαραμετρική κατανο-μή, με παράμετρο το f Τ ( t ) 0 3 3 t

Η κατανομή S t u d e t είναι συμμετρική με { } 0 και VAR Κατανομή Studet { T } E T Για μεγάλα, η κατανομή S t u d e t τείνει στην Ν ( 0, ) Τα εκατοστιαία σημεία συμβολίζονται με, t p, εκατοστιαίο σημείο βαθμοί ελευθερίας 3

Μη κανονικοί πληθυσμοί Mη κανονικοί πληθυσμοί, μεγάλα δείγματα Επίκληση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος δίδει : X N µ, σ, βασικά για > 5... 30 Η διασπορά του πληθυσμού σ εκτιμάται μέσω της δειγματικής διασποράς S, εφόσον είναι άγνωστη κ Οι κρίσιμες τιμές α υπολογίζονται από τους Πίνακες της α κανονικής, δεδομένου ότι για μεγάλα, η κανονική κατανομή προσεγγίζει ικανοποιητικά την κατανομή Studet κ 33

Κεντρικό οριακό θεώρημα Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ,..Χ έχουν την ίδια κατανομή και είναι ανεξάρτητες με { } και Ε Χ µ τότε η τυχαία μεταβλητή { } VAR Χ σ Χ Χ Είναι για μεγάλα ( ) κατανεμημένη κατά N µ, σ Στη πράξη η κανονική κατανομή προσεγγίζει την f x ( x ) για σχετικά μικρά 34

Παράδειγμα Η ημερήσια συγκέντρωση διαλυμένου οξυγόνου ενός ποταμού μετριέται 30 φορές και ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται x,5 mg / l. Από προηγούμενη εμπειρία είναι γνωστό ότι η διασπορά της ημερήσιας συγκέντρωσης είναι 4. (mg/l) και ότι η ημερήσια συγκέντρωση ακολουθεί κανονική κατανομή. ) Να υπολογιστούν διαστήματα εμπιστοσύνης επιπέδου 95 % και 99% για τη μέση ημερήσια συγκέντρωση. Έστω μ η μέση ημερήσια συγκέντρωση. 35

Συνέχεια παραδείγματος,5 ±,96 4, 30 0,733 [,79 ; 3. ] 5 0,99,5 ±,58 4, 30 0,965 z 0,005 z 0, 995 µ, 58 [,56 ; 3, ] 49 μεγαλύτερη εμπιστοσύνη μεγαλύτερο διάστημα 36

) Δεκαπλασιασμός του δείγματος Πως επιδρά στα αποτελέσματα δεκαπλασιασμός του δείγματος ; 95 % : 99 % : 4,,5 ±,96 300 4,,5 ±,58 300 [,8 ;,75 ] [, ;,8 ] όπως αναμένετο, μεγαλύτερα δείγματα οδηγούν σε μικρότερα διαστήματα ) Αν θεωρήσουμε ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, η δε τιμή 4, αποτελεί εκτίμησή της, πως μεταβάλλονται τα αποτελέσματα ( 30) ; Δεδομένου ότι η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, η μεταβλητή Χ µ s ακολουθεί κατανομή Studet με 9 - βαθμούς ελευθερίας 37

Πίνακας κατανομής Studet Οι κρίσιμες τιμές προσδιορίζονται τώρα από τον Πίνακα της κατανομής Studet. Έχουμε : 95 % : t 9 ; 0,975,045 4,,5 ±,045 30 [,75 ; 3, 8 ] 0, 7 65 99 % : t 9 ; 0,995,756 4,,5 ±,756 30 [,49 ; 3,55 ], 03 Παρατηρούμε, ότι τα διαστήματα είναι μεγαλύτερα από τα αντίστοιχα του ), δεδομένου ότι η άγνοια της διασποράς εισάγει επιπρόσθετη αβεβαιότητα 38

Άγνωστη κατανομή συγκέντρωσης ) Ποια η διαδικασία, αν η κατανομή της συγκέντρωσης θεωρηθεί άγνωστη ; Δεδομένου ότι 30 ή 300, με καλή προσέγγιση μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα αποτελέσματα ), ) ή ) ανάλογα με το αν η διασπορά είναι γνωστή ή όχι. 39

Γνωρίζουμε ότι αν Χ,Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από έναν Ν (μ, σ ) πληθυσμό, τότε, το μέγεθος ( ) S χ σ ~ ( ) α σ χ α α χ S P,, ( ) α σ χ α χ α S P,, ( ) ( ) α χ σ α α χ S S P,, Διαστήματα εμπιστοσύνης διασποράς κανονικού πληθυσμού 40

Διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου -α Άρα το διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α, δίδεται : χ ( ) S ( ), α ; χ, S α Όπου οι κρίσιμες τιμές χ προσδιορίζονται από τους Πίνακες της κατανομής χ ( χ-τετράγωνο) 4

Μετρήθηκε η διάρκεια ζωής Χ 5 λαμπτήρων και υπολογίστηκε τυπική απόκλιση S, 6h διασπορά του πληθυσμού, αν Χ Ν ( μ, σ ). Έχουμε : Παράδειγμα Να εκτιμηθεί διάστημα εμπιστοσύνης 95% για την ~ ( ) S 4 (, 6 ) χ, α 39, 37, 56 χ 4 ; 0,975 ( ) S 4 (, 6 ) χ µ, α, 4 4, 95 χ 4 ; 0,05!,56 σ 4,95 4

Διάστημα εμπιστοσύνης αναλογίας (ποσοστού) πληθυσμού Έστω p η αναλογία (ποσοστό) ενός πληθυσμού που έχει μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Ορίζουμε : Χ μέλος πληθυσμού έχει την ιδιότητα 0 μέλος πληθυσμού δεν έχει την ιδιότητα Προκειμένου για τυχαίο δείγμα τάξης έχουμε, Χ X κ πλήθος μελών με την ιδιότητα στο δείγμα E { X } 0 P { Χ 0 } + P { Χ } p E { Χ } p για,,, VAR { } { } { } Χ Ε Χ Ε Χ p ( p) 43

Δειγματική αναλογία { X } p p E Ο δειγματικός μέσος αποτελεί αμερόληπτη εκτιμήτρια του ποσο-στού, και συμβολίζεται στη περί-πτωση αυτή με pˆ δειγματική αναλογία VAR { } p ( p ) X VAR X σ 44

Για μεγάλα δείγματα η μεταβλητή, { } ( ) ( ) 0, ˆ ˆ ˆ ˆ N p p p p p E p p Ζ σ σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα. Οπότε το διάστημα επιπέδου - α καθορίζεται ως, ( ) ( ) + p p p p p p ˆ ; ˆ κ α κ α p p ˆ ( ) ( ) + p p p p p p ˆ ˆ ˆ ; ˆ ˆ ˆ κ α κ α όπου οι κρίσιμες τιμές προσδιορίζονται από τον Πίνακα της κανονικής κατανομής., δεδομένου ότι το p άγνωστο Τιμή μεταβλητής για μεγάλα δείγματα 45

Από μια μεγάλη παρτίδα εξαρτημάτων, παίρνουμε τυχαίο δείγμα τάξης 50 και ελέγχουμε την ποιότητά τους επί καθημερινής βάσης. α) Αν η αναλογία των ελαττωματικών προϊόντων ισούται, με 0,, υπολογίστε διάστημα που θα περικλείει το 90 % των δειγματικών αναλογιών. Ρ Ρ κ p κ α Παράδειγμα 3 pˆ p κ α α p ( p ) p ( p ) p ( p ) pˆ p + κ α α α Ρ κ 0,95 0, 0,8 0, 0,8 0,,65 ˆ 0,,65 50 50 p + [ 0,07 ; 0, 93 ] 0,9 46

Παράδειγμα 3 ερώτημα β β) Έστω ότι σε ένα τυχαίο δείγμα βρήκαμε 6 ελαττωματικά. Υπολογίστε διάστημα εμπιστοσύνης 90% για την αναλογία των ελαττωματικών του πληθυσμού. Έχουμε : Ρ κ α pˆ p κ α α pˆ ( pˆ ) Ρ pˆ Θέτοντας, κ pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) p pˆ + κ α α α 6 pˆ 0, ; pˆ 0, 88 50 0,,65 0, 0,88 50 ; 0, +,65 0, 0,88 50 [ 0,044 ; 0,96 ] 0, 046 47

Όπως γνωρίζουμε, το σφάλμα δειγματοληψίας εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος. Έτσι η ακρίβεια μιας εκτίμησης επηρεάζεται άμεσα από την εκάστοτε τάξη του δείγματος. Εκτίμηση μέσης τιμής Δεδομένου ότι, ( ) κ σ ; x + κ σ x α α το εύρος του διαστήματος εμπιστοσύνης είναι, d εύρος διαστήματος κ α Επιλογή μεγέθους δείγματος d σ x κ α κ α σ σ 4 κ α d ελάχιστη τάξη δείγματος, που εξασφαλίζει με πιθανότητα -α, εύρος διαστήματος d Η διασπορά σ, αν άγνωστη, πρέπει να εκτιμηθεί, είτε από συνο-πτικές πληροφορίες, είτε με κάποιο προκαταρκτικό μικρό δείγμα σ 48

Εκτίμηση αναλογιών Έχουμε, όπου pˆ ( pˆ ) pˆ ( pˆ ) pˆ κ α ; pˆ + κ α d κα pˆ ( pˆ ) max pˆ pˆ Δεδομένου ότι ( ) 0, 5 d d 0, 5 κ α κ α κ α d! Ελάχιστη τάξη δείγματος, που με πιθανότητα -α, εξασφα-λίζει εύρος διαστήματος d d 49

Παράδειγμα 4 και 5 Ένας υποψήφιος αγοραστής ενδιαφέρεται για το μέσο ύψος πωλήσεων κάποιου καταστήματος. Έστω ότι η τυπική απόκλιση για παρόμοια καταστήματα είναι 45. Πόσες ημέρες πρέπει να παρατηρήσει, αν επιθυμεί ακρίβεια εκτίμησης ± 50 και επίπεδο εμπιστοσύνης 0,99 ; Έχουμε, κ,575 45 0,995 4 κ α d σ 55,76 56 ημέρες 00 Για να εκτιμηθεί η αναλογία ελαττωματικών με ακρίβεια ±0, 05 εμπιστοσύνης 99 %, υπολογίστε τη τάξη του απαιτούμενου δείγματος και επίπεδο κ α d,575 0, 663 50

Διαστήματα εμπιστοσύνης για διαφορές μέσων τιμών Y Y,..., Y Έστω X, X,..., X και, m δύο τυχαία δείγματα, τάξης και m αντίστοιχα, από δύο ανεξάρτητους πληθυσμούς. Έστω µ x, σ x και µ Υ, σ Υ οι μέσες τιμές και αποκλίσεις των πληθυσμών. Θεωρούμε ότι τα δείγματα είναι μεγάλα, ώστε να ισχύει το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Εκτίμηση διαφοράς μέσων τιμών µ x µ y Η εκτιμήτρια Χ Υ είναι κατανεμημένη κατά Ν µ x µ y, σ x + σ y m 5

Διαστήματα εμπιστοσύνης για διαφορά αναλογιων Διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου - α pˆ x pˆ y ± κ α pˆ x ( ) ( ) pˆ pˆ pˆ x + y m y Αντίστοιχοι τύποι ισχύουν και για αθροίσματα ( ) x y x + y ; pˆ pˆ pˆ + pˆ x y x y 5

Για ένα τύπο βερνικιού ο χρόνος στέγνωσης (ώρες) παρατηρήθηκε σε 9 περιπτώσεις και τα αποτελέσματα έχουν ως εξής : 6,7 7,0 6,8 7,5 α) Δώστε μια αμερόληπτη εκτίμηση για την μέση τιμή του χρόνου στέγνωσης. Αποδείξτε ότι η εκτιμήτρια που χρησιμοποιήσατε είναι α μ ε ρ ό λ η π τ η Ο δειγματικός μέσος μέσης τιμής επειδή : Ε X X 8,0 7,3 6,6 { Χ } Ε Χ Χ µ µ Άσκηση 7, 6,0 είναι αμερόληπτη εκτιμή-τρια της αμερόληπτη εκτίμηση : x 9 9 x 63 9 7 53

Απάντηση ερωτήματος β β) Με την υπόθεση ότι ο χρόνος στέγνωσης ακολουθεί κανονική κατανομή Ν ( μ, 0,5 ) εκτιμήστε διάστημα εμπιστοσύνης 95 % x κ α σ ; x + κ α σ Έχουμε : x 7 ; σ 0,5 ; 9 ; κ α κ κ 0,05 0, 975,96 Π ί ν α κ α κ α ν ο ν ι κ ή ς ( Δ ι α σ π ο ρ ά γ ν ω σ τ ή ) 0,5 0,5 7,96 ; 7 +,96 3 3 ( 6,673 ; 7,37 ) 0,37 54

Απάντηση ερωτήματος γ γ) Ποια η πιθανότητα σε ένα άλλο δείγμα επίσης τάξης 9, ο δειγματικός μέσος του χρόνου στέγνωσης να είναι : ακριβώς 7 ώρες τουλάχιστον 7,5 ώρες P ( Χ 7 ) 0, δεδομένου ότι X συνεχής τυχαία μεταβλητή P ( Χ 7,5 ) P ( x < 7,5 ) Φ 7,5 µ σ 3 Χ ~ Ν ( ) µ, σ, µ, σ χαρακτηριστικά πληθυσμού Υποθέτοντας ότι µ X 7 : P 0,5 ( Χ 7,5 ) Φ Φ ( 3 ) 0,5 0,9987 3 0, 003 55

Ασκηση Σ ένα έλεγχο κυκλοφορίας, όπου μετρούνται οι ταχύτητες οχη-μάτων, επιθυμούμε να εκτιμήσουμε την μέση ταχύτητα. Από μια προκαταρκτική μελέτη βρίσκουμε ότι η τυπική απόκλιση της ταχύτητας είναι 3,58 km/h. α) Στα πλαίσια τυχαίου δείγματος τάξεως 50, βρείτε το επίπεδο εμπιστοσύνης διαστήματος ± km / h γύρω από τη μέση τιμή Γενικά : Χ ± σ 3, 58 κ α 50 56

Απάντηση ασκησης ερωτημα α κ α σ 3, 58 α 50 κ κ κ α α 50 3,58 3, 4 0,9997 3,4 α 0,9997 α 0, 0006 0,9994 57

Απάντηση άσκησης ερωτήμα β β) Υπολογίστε τη τάξη του δείγματος που απαιτείται, ώστε το διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου 99% να κυμαίνεται Έχουμε γύρω από τη μέση τιμή. α 0,99 α 0,005 κ κ α κ α σ α α κ σ,58 ± km / h (,58 3,58 ) 85,58 3, 58 γ) Τι επίπτωση θα είχε στα αποτελέσματα, αν θεωρούσαμε ότι η διασπορά σ 3,58 του πληθυσμού δεν ήταν γνωστή αλλά αποτελούσε επίσης εκτίμηση. Ουδεμία, δεδομένου ότι οι τάξεις δείγματος είναι μεγάλες ( Studet κανονική) 58

Άσκηση 3 Για να εκτιμηθεί η αναλογία των γυναικών στα ανώτερα διοικητικά στελέχη επιχειρήσεων, επελέγη τυχαίο δείγμα τάξης 400. α) Αν το πλήθος των γυναικών στο δείγμα ανέρχεται σε 0, δώστε διάστημα εμπιστοσύνης επιπέδου 95% για την ζητούμενη αναλογία Σημειακή εκτίμηση αναλογίας : pˆ κ 0 400 0,05 ( pˆ ) pˆ pˆ ± κ α 0,05 ± κ 0, 975 0,05 0,95 400,96 ( κανονική κατανομή, δεδομένου ότι ) [ 0,05 ± 0,04 ] [ 0,086 ; 0,074 ] 59

Απάντηση ασκησης 3 ερώτημα β β) Να υπολογιστεί το απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, ώστε το εύρος του διαστήματος επιπέδου 95% να είναι < 0% της δειγματικής εκτίμησης. Έχουμε : κ α pˆ ( pˆ ) Ε 4 Ε pˆ ( pˆ ) < 4 κ α κ α Ε Ε 0, 0,05 ( ),96 ( 0, 0,05 ) 7.683 60

Άσκηση 4 Σώμα κινείται πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών εκτελώντας βήματα πλάτους cm. Η πιθανότητα να κινηθεί προς τα δεξιά είναι / 5, προς τα αριστερά 4 / 5. Αν ξεκινά από το 0, ποια η πιθανότητα μετά από 00 βήματα να βρίσκεται στο διάστημα [ -8, +8 ]. Έστω Υ η θέση του σώματος, όπου Υ 00 Χ και Χ + κίνηση προς δεξιά κίνηση προς αριστερά Π ι θ : / 5 Π ι θ : 4 / 5 Έχουμε : Ε { Χ } + ( ) 5 5 5 4 3 VAR { Χ } Ε { Χ } Ε { Χ } 5 + ( ) 4 5 3 5 9 5 6 5 6

Απάντηση άσκησης 4 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα : Y ~ Ν 00 ( ) 3 6, 00 5 5 Υ ~ Ν µ Υ σ Υ ( 60, 64 ) P 8 + 60 8 + 8 8 60 ( 8 Υ 8 ) P Ζ Ν ( 0, ) P ( 4 Ζ ) Φ ( ) Φ ( 4 ) 0 6

Άσκηση 5 Σε πρόσφατη μελέτη ελέγχου μόλυνσης θαλασσίων περιοχών, σε δείγμα 588 ψαριών της Μεσογείου, βρέθηκαν μολυσμένα από κάποια παράσιτα. Στον Ατλαντικό ωκεανό, από 3 που εξετάστηκαν βρέθηκαν μολυσμένα τα 6. Συγκρίνετε την αναλογία των παρασίτων στις δύο θάλασσες χρησιμοποιώντας διάστημα εμπιστοσύνης 90 % και ερμηνεύστε το αποτέλεσμα. ˆ ˆ 588 6 3 Έχουμε : p 0,36 ; p 0, Μεσόγειος Ατλαντικός pˆ pˆ ± κ α ( ) ( pˆ pˆ pˆ p ˆ + m ) 63

Απάντηση άσκησης 5 [ ] 0,36 0,64 0, 0,79 0,36 0, ± κ + 0,95 588 3,64 (κανονική) [ ] 0,5 ± 6,84 0 [ 0,08 ; 0, ] Η διαφορά pˆ pˆ πάντα θετική ( p > p ) μεγαλύτερη πυκνότητα παρασίτων στην Μεσόγειο 64

Άσκηση 6 Στα πλαίσια γενικής αξιολόγησης αξιοπιστίας δίσκων μνήμης ηλεκτρονικών υπολογιστών, μετρήθηκε και η διάρκεια καλής λειτουργίας 60 δίσκων και υπολογίστηκαν τα ακόλουθα στατιστικά : x 76 ώρες και s 5 ώρες α) Εκτιμήστε την πραγματική μέση τιμή της διάρκειας καλής λειτουργίας με διάστημα εμπιστοσύνης 90 % Δεδομένου ότι το δείγμα είναι μεγάλο, παρόλο που η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη, θεωρούμε ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί η κανονική κατανομή (Studet Kανονική) x ± κα s 5 76 +,645 60 [.76 ;.808 ] κ 0,95,645 45,66 65

Απάντηση άσκησης 6 β) Αν οι απαιτήσεις καλής λειτουργίας είναι µ 700 ωρών, πως ερμηνεύεται το αποτέλεσμα ; Η ελάχιστη απαιτούμενη μέση τιμή μ 700, εμπεριέχεται στο διάστημα, οπότε με εμπιστοσύνη 90% θεωρούμε το αποτέλεσμα ικανοποιητικό. γ) Αν τα παραπάνω δειγματικά στατιστικά συγκεντρώθηκαν από δείγμα τάξης 5, πως αλλάζουν τα αποτελέσματα α) και β). Τώρα η διαφορά Studet από Κανονική μπορεί να αποδειχθεί σημαντική x ± κα Studet με 5-4 βαθμούς ελευθερίας s 76 ± t0,95 ; 4,7 5 5 [.76 ± 73,6 ] [.688 ; 836 ] Με βάση το διάστημα αυτό, η αξιοπιστία του δίσκου δεν κρίνεται ικανοποιητική, δεδομένου ότι το κάτω άκρο του διαστήματος είναι μικρότερο από την επιθυμητή τιμή µ 700 66

Άσκηση 7 Μελετάται η απόδοση ενός καινούργιου αλγόριθμου για τη λύση διαφορικών εξισώσεων. Ένα τυχαίο δείγμα χρόνων επίλυσης τάξης 5 έδωσε : x 0,8 και s, 64 Υπολογίστε διαστήματα εμπιστοσύνης επιπέδου 95% για τη μέση διάρκεια επίλυσης και για τη διασπορά της διάρκειας επίλυσης. Διάστημα μέσης τιμής x ± S,505 κ 0,8 ±,96 [ 0, 403 ;, ] α 5 κ,96 (κανονική) 0, 409 0,975 67

Διάστημα διασποράς Απάντηση άσκησης 7 χ ( ) S ( ) ; α ; χ S ; α 5,64 ; χ 5,64 χ 5 ; 0,975 5 ; 0, 05 [,6 ; 3,56 ] 7,4 3,4 68

Άσκηση 8 Ένα προϊόν έχει μέσο βάρος 0,638 kg και τυπική απόκλιση 0,0 kg. Υπολογίστε διάστημα που να περικλείει το βάρος κιβωτίου 00 προϊόντων, επιπέδου 99%. Έστω Υ η τυχαία μεταβλητή του βάρους του κιβωτίου και Χ,,,.., 00 οι τυχαίες μεταβλητές του βάρους των προϊόντων. Έχουμε Υ 00 X ( µ ; 00 σ ) Υ ~ Ν 00 x x 638 και από το κεντρικό οριακό θεώρημα : 0, ( 0,0) ~ ( ( ) ) Ν 63,8 ; 0, επειδή : E { Υ} E { } Ε{ Χ} Χ µ x VAR { } { } Υ VAR Χ VAR{ Χ} µ VAR{ X } σ x ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ 69

Απάντηση άσκησης 8 Ζητάμε όρια y ε, yµ ώστε : P ( y y y ) 0, 99 ε µ y 63,8 63,8 ε y P Ζ µ 0, 0, κ κ 0, 995 κ α 0,005 Από Πίνακες κανονικής κατανομής έχουμε : 0,99 y ε 63,8,58 y 0, yµ 63,8,58 yµ 0, [ 63,49 ; 64,] ε 63,8 63,8 + 0,3 0,3 70

Άλυτες ασκήσεις 7

Άλυτες ασήσεις 7

Τέλος Ενότητας 73